Компьютерное моделирование физических процессов на основе нового класса атомарных и фрактальных функций в теории антенн тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Одномерные антенные решетки

Введение в теорию фракталов.

1.1. Алгоритмы построения некоторых классических фрактальных функций.

1.2. Построение одномерных антенных решеток с фрактальным распределением тока.

1.3. Функции Кравченко-Вейерштрасса при анализе и синтезе антенных решеток с фрактальными характеристиками излучения.

Глава 2. Двумерные антенные решетки

2.1. Двумерные фрактальные антенные решетки, построенные на основе классических фрактальных функций и функций Кравченко.

2.2. Фрактальные антенные решетки на основе нового класса атомарно-фрактальных функций Кравченко.

2.3. Анализ и синтез много диапазонных двумерных фрактальных антенных решеток.

Глава 3. Кольцевые антенные решетки

3.1. Основные соотношения

3.2. Линейные решетки.

3.3. Плоские квадратные решетки.

3.4. Плоские треугольные решетки.

3.5. Гексагональные решетки.

3.6. Численный эксперимент и анализ полученных результатов.

История развития идей фрактальной геометрии [1-9] тесно связана с именами таких известных математиков, как Больцано, Вейерштрасс, Хан-кель, Дарбу, Пеано, Хаусдорф, Кох, Серпинский, Безикович, Ван-дер-Варден и др. Так, Вейерштрасс впервые ввел в обращение непрерывную, но нигде недифференцируемую функцию, а Хаусдорф в 1919г.- понятие о дробной размерности множеств и привел первые примеры таких множеств. Среди них были канторовское множество, кривая Коха и другие экзотические объекты, в то время малоизвестные за пределами чистой математики. Оригинальные идеи Хаусдорфа впоследствии были существенно развиты Безиковичем. Таким образом, наступила эра фрактальной геометрии. Язык фрактальной геометрии стал необходимым для обоснования применения фрактальной теории в задачах синтеза антенн.

Фракталы представляют собой класс геометрических объектов с уникальными свойствами, которые уже более 10 лет интересуют специалистов в области радиофизики. Основой новой геометрии является идея самоподобия. Она отражает тот факт, что иерархический принцип организации фрактальных структур не претерпевает значительных изменений при изменении масштаба. Здесь следует провести разницу между геометрией Евклида, имеющей дело исключительно с гладкими кривыми, и бесконечно изрезанными самоподобными фрактальными кривыми. Элементы кривых у Евклида всегда са-моподобны, но тривиальным образом: все кривые являются локально прямыми, а прямая линия всегда самоподобна. В идеале фрактальная кривая на любых, даже самых маленьких масштабах не сводится к прямой и является в общем случае геометрически нерегулярной, хаотической. Заметим, что многие крупные достижения науки о фракталах стали возможны только с использованием методов вычислительной математики.

Актуальность работы. Сегодня известно применение фракталов в электродинамике, обнаружении малоконтрастных целей в радиолокации, в теории синтеза антенн. Фрактальные модели антенных объектов обычно строятся на основе различных математических алгоритмов с использованием современной компьютерной графики. В радиофизике и антенной технике фракталы применяются не так давно: широко представленные публикации на эту тему появились в начале 90-х годов. С точки зрения фрактальной теории исследовалось использование миниатюризированных фрактальных элементов в решетках для повышения плотности упаковки и понижения взаимосвязей, что приводит к увеличению ширины углов сканирования [3]. Кроме того, изучаются способы оценки свойств пространственного заполнения фрактальных форм и ДН таких антенн [19-22, 80-88]. С этой точки зрения фрактал может являться кривой, которая приближается к поверхности: из свойств размерности Хаусдорфа-Безиковича следует, что линия может быть искривлена таким образом, чтобы почти полностью заполнять некоторую поверхность. Свойство пространственного заполнения позволяет получить кривые, которые являются электрически длинными, но физически компактны и занимают малую площадь. Благодаря этому свойству можно добиться миниатюризации антенных элементов.

На данный момент принята определенная терминология для лучшего понимания фракталов и их применений в практических задачах. С точки зрения человеческого восприятия, фрактал кажется бесконечно сложным при больших и малых масштабах. Форма фрактала, после усечения глубины итерационного процесса, названа предфракталом [3]. Обычно предфракталом называют геометрическую форму, обладающую таким уровнем самоподобия, который не различим в практических задачах. Для антенны это означает, что её сложность растет при увеличении числа рабочих диапазонов частот. На практике это позволяет реализовать бесконечно сложную структуру, которую можно проанализировать математически.

Актуальность задач анализа и синтеза антенных решеток с использованием фрактальных методов обусловлена прежде всего тем, что непрерывно повышается сложность антенных систем, увеличивается число их элементов, усложняются схемы возбуждения и, как следствие, усложняются алгоритмы анализа и синтеза. Использование новых разработанных методов, особенно для больших решеток, позволяет существенно упростить вычислительные алгоритмы и, в ряде случаев, получить новые физические эффекты, благодаря свойству самоподобия: каждая из решаемых задач сводится к некоторым подзадачам, отличающихся только масштабными коэффициентами. В настоящей работе предложены принципиально новые методы анализа и синтеза антенных решеток, основанные на применении теории атомарных функций и фрактальной геометрии. Математические модели разрабатываемых фрактальных антенных решеток основаны на классических теоретических разработках [47, 61, 62], а полученные результаты являются адекватными поставленной задаче.

Целью диссертационной работы является исследование и разработка методов моделирования характеристик излучения одномерных и двумерных антенных решеток с точки зрения теории атомарных функций и фрактальной теории, а также разработка и обоснование оригинальные алгоритмов для анализа и синтеза фрактальных антенных решеток с фрактальными диаграммами направленности (ДН), фрактальной структурой расположения элементов и фрактальным распределением тока.

Практическая значимость применения фракталов в задачах анализа и синтеза антенн. Современные антенные системы требуют эксплуатационной гибкости и минимальных размеров. Часто требуется найти системы, которые могут работать на максимальном количестве диапазонов частот или имеют возможность перестройки при возникновении необходимости изменения антенной системы. Кроме того, важно учитывать затраты на проектирование систем, как вычислительные, так и материальные. Некоторые задачи требуют от антенн максимально возможной миниатюризации. Значимость полученных в работе результатов связана с систематизацией новых методов исследования фрактальных антенных решеток, а также в дальнейшем развитии и совершенствовании теории атомарно-фрактальных функций и генераторных функций на их основе. Обоснованные и разработанные методы и оригинальные алгоритмы могут найти применение при решении широкого класса задач радиофизики, включая задачи анализа и синтеза фрактальных излучателей, фрактальных многочастотных антенных решеток, используемых в радиолокации, радиосвязи, дистанционном зондировании Земли и др. Предложенные и обоснованные методы доведены до численной реализации. Это позволило выявить определенные закономерности и особенности исследуемых физических процессов, связанных с их фрактальной природой.

Методы исследования. Для достижения этих целей в работе были предложены различные методы применения фракталов и атомарных функций в теории антенн. На рис.В.1 показаны всевозможные варианты и области применения фракталов в антенной технике.

Рис. В.1. Схема, иллюстрирующая исследования в области фракталов применительно к задачам анализа и синтеза антенн.

При физическом моделировании существует два способа использования фракталов для улучшения параметров антенны. Первый способ заключается в разработке миниатюризированных антенных элементов. Второй метод состоит в использовании самоподобия формы антенны для достижения многодиапа-зонности или появлению более чем одной резонансной частоты у антенны. Это позволяет также объединить несколько компонентов системы в одной антенне, получая адаптивные системы. На рис. В.2 представлены способы изготовления фрактальных антенн, а также методы моделирования и основные математические алгоритмы.

Рис. В.2 Способы изготовления и методы моделирования, которые используются в исследованиях фрактальных антенн

Научная новизна. В работе рассматривается синтез фрактальных диаграмм направленности антенных решеток с заданной размерностью Хаус-дорфа-Безиковича, проведено исследование антенных решеток с фрактальным распределением токов, а также приведены и обоснованы оригинальные алгоритмы синтеза кольцевых антенных решеток с заданной фрактальной структурой на основе атомарных функций. Изучено влияние различных параметров фракталов и вводимых генераторных функций Кравченко на физи-| ческие характеристики антенных решеток, впервые изучено влияние спадающих токовых распределений при синтезе многодиапазонных неэквидистантных антенных решеток.

При математическом моделировании физических процессов большая часть исследований связана с характеристиками ДН антенны и способами формирования главного луча. Здесь объединены несколько подходов: в алгоритмах анализа и синтеза антенн использовались как классические фрактальные функции, так и впервые комбинированные атомарно-фрактальные. Применение новых классов атомарно-фрактальных функций позволило устранить некоторые принципиальные ограничения, характерные для классических фрактальных функций и получить оригинальные результаты. Так, антенны, построенные с использованием фракталов, можно условно разделить на следующие большие группы: антенны, имеющие фрактальную ДН, антенны с токовым распределением, построенным по фрактальному закону и антенны, имеющие фрактальную структуру расположения элементов.

В первой главе рассмотрены методы анализа и синтеза одномерных антенных решеток с фрактальным токовым распределением (данный тип решеток имеет относительно низкий уровень боковых лепестков, высокий коэффициент направленного действия (КНД), но требователен к точности изготовления и расположению излучателей и, в общем, свойства таких решеток близки к классическим) и решеток с фрактальной ДН (синтезируются введением эквидистантных антенных подрешеток - генераторных функций). Во второй главе рассматривается класс двумерных фрактальных антенных решеток, построенных с использованием классических фрактальных функциий: Больцано, Ван-дер-Вардена, Безиковича и комбинаций их с атомарными функциями. Также во второй главе предложен новый метод синтеза многочастотных антенных решеток на основе весовых функций (окон) Кравченко. В третьей главе предложены методы конструирования кольцевых фрактальных решеток с фрактальной структурой расположения элементов, проведен численный эксперимент и изучено влияние геометрической формы на поведение их основных энергетических характеристик, введено токовое распределение, основанное на теории атомарных функций. Показана эффективность предложенных конструкций фрактальных кольцевых решеток и указаны пути их практической реализации. В работе имеется 4 приложения, в которых приведены: основные положения фрактальной теории, разработанные алгоритмы построения некоторых фрактальных функций, дополнительные графики ДН антенных решеток с фрактальным распределением тока и графики ДН многочастотных антенных решеток.

Основные положения, выносимые на защиту. Автором получены и выносятся на защиту следующие результаты:

• новые алгоритмы построения ряда классических фрактальных и нового класса атомарно-фрактальных функций;

• основные свойства атомарно-фрактальных функций, а также их применимость в антенной технике;

• методы анализа и синтеза одномерных и двумерных антенных решеток с фрактальным распределением тока. Показано, каким образом можно достичь вычислительной эффективности алгоритмов. Проведена оптимизация алгоритмов с целью их упрощения;

• алгоритмы синтеза многодиапазонных фрактальных антенных решеток с использованием нового класса весовых функций (окон). Проанализированы основные свойства нового класса весовых функций (окон). Получены зависимости числа диапазонов, уровня боковых лепестков, ширины главного луча от параметров весовых функций;

• алгоритмы построения фрактальных антенных решеток, основанных на применении кольцевых генераторных подрешеток.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на всероссийских и международных конференциях, в том числе: IV-th International Conference on Antenna Theory and Techniques, Sevastopol, Ukraine, September, 9-12, 2003; IX Всероссийская школа-семинар "Физика и применение микроволн" (Звенигород, 2003); The fifth international Kharkov symposium on physics and engineering of microwaves, millimeter and submillimeter waves, Kharkov, Ukraine, June 21-26, 2004; The IASTED International Conference on Antennas, Radar, and wave propagation, July 8-10, 2004, Banff, Canada; Всероссийская школа-конференция по дифракции и распространению волн в Российском Новом Университете (Москва, 2002).

Выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору В.Ф. Кравченко за постановку задач, постоянное внимание при выполнении диссертационной работы и ценные замечания при ее обсуждении.

Заключение

Основные научные и практические результаты диссертационной расостоят в следующем

• приведены новые алгоритмы построения ряда классических фрактальных функций;

• исследованы основные положения фрактальной теории и ее применимости в радиофизических приложениях, приведены области ее применения, преимущества и недостатки по сравнению с классическими методиками;

• впервые к анализу и синтезу антенных решеток с фрактальной диаграммой направленности предложены генераторные функции Кравченко-Больцано, Кравченко-Вейерштрасса, Кравченко-Дарбу, Крав-ченко-Безиковича и др., проведены соответствующие вычислительные эксперименты;

• построены новые методы анализа и синтеза одномерных и двумерных антенных решеток с фрактальным распределением тока. Показано, каким образом можно достичь вычислительной эффективности алгоритмов. Проведена оптимизация алгоритмов с целью их упрощения и уменьшению времени вычислений;

• с использованием нового класса весовых функций (окон) были получены и обоснованы алгоритмы синтеза многодиапазонных канторов-ских и вейерштрассовских фрактальных антенных решеток. Проанализированы основные свойства нового класса весовых функций (окон). Получены зависимости числа полос, уровня боковых лепестков, ширины главного луча от параметров весовых функций;

• приведены алгоритмы построения фрактальных антенных решеток, основанных на применении кольцевых генераторных подрешеток.

1. Falconer, К., Fractal geometry. Mathematical foundation and applications, John Wiley & Sons Ltd, 1990.

2. Falconer, K., Techniques in fractal geometry, John Wiley & Sons Ltd, 1997.

3. Gouyet, Jean-Francois. Physics and Fractal Structures. New York: Springer, 1996.

4. Mandelbrot, B.B., Fractals: form, chance and dimension. San Francisko: Freeman, 1977.

5. Mandelbrot, B.B., The fractal geometry of nature. New geometry of nature, New York: Freeman and Co., 1983.

6. Шредер M. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Пер. с англ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

7. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ.- М.: Мир, 1991.

8. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Пер. с англ.- М.: Постмаркет, 2000.

9. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации.— М.: Логос, 2002.

10. Ю.Хаусдорф Ф. Теория множеств М.: ОНТИ, 1934.

11. Кантор Г. Труды по теории множеств М.: Наука, 1985.

12. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике.- М.: Постмаркет, 2001.

13. Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества. Функции,-распределения.-Киев: Наукова думка, 1992.

14. М.Бржечка В.Ф. О функции Больцано Успехи математических наук, 1949, вып. 4, №2, с. 15-21.

15. Безикович А.С. Исследование непрерывных функций в связи с вопросом об их дифференцируемости.- Математический сборник, 1924, т. 31, вып. 3-4, с. 529-556.

16. Waerden, B.L., Van der. Ein einfaches Beispiel einer nichtdifferentierbaren stetigen Funktion, Math. Z., 1930, no. 32, pp. 46-75.

17. Darboux, G., Memoire sur les functions discontinues, Ann, Sci. Ecole Norm. Super, 1875, no. 4, p. 57-112.

18. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах Киев: Наукова думка, 1979.

19. Gianvittorio, J.P. and Rahmat-Samii Y., Fractal antennas: a novel antenna miniaturizatition technique, and applications., IEEE Antennas and Propagation Magazine, 2002, vol. 44, no. 1, pp. 20-36.

20. Werner, D.H., and Werner, P.L., Frequency-independent features of self-similar fractal antennas, Radio Science, 1996, vol. 31, no. 6, pp. 1331-1343.

21. Werner, D.H., Werner, P.L., and Haupt, R.L., Fractal antenna engineering: the theory and design of fractal antenna arrays, IEEE Antennas and Propagation Magazine, 1999, vol. 41, no. 5, pp. 37-59.

22. Werner, D.H. and Werner, P.L., On the synthesis of fractal radiation patterns, Radio Science, 1995, vol. 30, no. 1, pp. 29-45.

23. Кравченко В.Ф., Потапов A.A., Масюк B.M. Атомарно-фрактальные функции в задачах синтеза антенн Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 2001, № 6, с. 4—40.

24. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Масюк В.М. R-функции, атомарные функции и их применение Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 2001, № 8, с. 5-40.

25. Кравченко В.Ф. Применение нового класса фрактальных функций в антенной технике Труды XII Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн. 2001, Москва, 19-23 декабря, т. 2, с. 371-372.

26. Кравченко В.Ф. Синтез антенн на основе нового класса атомарно-фрактальных функций ДАН РАН, 2002, т. 385, № 6.

27. Кравченко В.Ф. Применение функции Больцано к теории фрактальных антенн ДАН РАН, 2002, т. 386, № 2. с.169-175.

28. Кравченко В.Ф., Масюк В.М. Функция Больцано в теории фрактальных антенн Электромагнитные волны и электронные системы, 2002, т. 7, № 1, с. 15-31.

29. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Новый класс самоподобных антенных решеток Докл. РАН, 2002, т. 383, № 3, с. 337-342.

30. Колпаков И.В., Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Атомарные функции и их применение в задачах сплайн-интерполяции Электромагнитные волны и электронные системы. 2002, т. 7, № 8, с. 32-40.

31. Кравченко В.Ф. Новые синтезированные окна ДАН РАН, 2002, т. 382, №2, с. 190-198.

32. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Метод обработки многомерных сигналов с использованием R-функций и атомарных функций, ДАН РАН, 2002, т. 383, № 1, с. 40-45.

33. Рвачев B.JI. Теория R-функций и некоторые ее приложения Киев: Наукова думка, 1982.

34. Рвачев В.А. Финитные решения функционально-дифференцальных уравнений и их применения Успехи математических наук, 1990, т. 45, вып. 1 (271), с. 77-103.

35. Кравченко В.Ф. Рвачев В.А., Рвачев B.JT. Математические методы обработки сигналов на основе атомарных функций Радиотехника и электроника, 1995, т. 40, № 9, с. 1385-1406.

36. Соболев СЛ. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций.- М.: Наука, 1989.

37. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике-М.: Наука, 1976.

38. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл.- М.: Изд-во Факториал Пресс, 2002.

39. Старец Г.А. Один класс атомарных функций и его применение. Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Харьков, ХГУ, 1984.

40. Rao, R.M. and Bopardikar, A.S., Wavelet transforms: introduction to theory and applications. Addison Wesley Longman, Inc., 1998.

41. Mallat, S. A., A wavelet tour of signal processing. Academic Press, 1998.

42. Lemarie-Rieusset, P.G., Fontion d'echelle interpolantes, polynomes de Bernstein et ondelettes non stationnaires, Revista Matematica Iberoamericana, 1997.

43. Meyer, Y., Wavelets, vibrations and scaling. American Mathematical Society, USA, 1998.

44. Вендик О.Г., Парнес М.Д. Антенны с электрическим сканированием (введение в теорию). М.: Сайнс-пресс, 2002.

45. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Построение уравнений границ областей фрактальной геометрии с помощью метода R-функций. Электромагнитные волны и электронные системы. 2001, т. 6., №6, с. 31-37.

46. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. -М.:Радиотехника, 2003.

47. Berry M.V., Lewis Z.V. On the Weierstrass-Mandelbrot fractal function Proceedings of the Royal Society of London A. 370 (1980), pp. 459-484.

48. Hector E. Dimas Spiral fractal arrays, University of Pennsylvania NSF/SUNFEST Summer Undergraduate Research, 2000.

49. Кравченко В.Ф. Синтез антенн на основе нового класса атомарно-фрактальных функций-ДАН РАН, 2002, т.385, №1, с.754-761.

50. Кравченко В.Ф., Масюк В.М. Новый класс фрактальных функций в задачах анализа и синтеза антенн Антенны, 2002, №10 (65),с.З-72

51. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики.- М.: Физматлит, 2004.

52. Масюк В.М. Построение двумерных фрактальных антенных решеток на основе функций Кравченко-Дарбу и Кравченко-Безиковича -Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, №9, с.26-30.

53. Kravchenko V.F. The theory of fractal antenna arrays, IV-th International Conference on Antenna Theory and Techniques, Sevastopol, Ukraine, 2003, September, 9-12, vol.1, pp. 183-189.

54. Masyuk V.M. Method for mathematical modeling of fractal antenna arrays, IV-th International Conference on Antenna Theory and Techniques, Sevastopol, Ukraine, 2003, September, 9-12, vol.1, pp.220-223.

55. Werner D.H., Gingrich M.A., and Werner P.L. A self-similar fractal radiation pattern synthesis technique for reconfigurable multiband arrays, IEEE Transaction on antennas and propagation, 2003, vol.51, no.7, pp. 1486-1498.

56. Ремез Е.Я. Общие вычислительные методы чебышевского приближения.-Киев, Изд-во АН УССР, 1957.

57. Rabiner L.R., McClellan J.H., and Parks T.W. FIR digital filter design techniques using weighted Chebyshev approximation, 1975, Proc. IEEE, no.67, pp.595-610.

58. Rabiner L.R., Gold B. Theory and application of digital signal processing, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1975.

59. Кравченко В.Ф., Масюк B.M. Новый класс атомарно-фрактальных функций в теории антенн. Труды IX Всероссийской школы-семинара "Физика и применение микроволн", Звенигород, 26-30 мая, 2003, с.44-45.

60. Кравченко В.Ф., Масюк В.М. Анализ и синтез многочастотных антенных решеток, Электромагнитные волны и электронные системы, 2004, т.9, №3-4, с. 31-44.

61. Кравченко В.Ф., Масюк В.М. Кольцевые фрактальные антенные решетки, Электромагнитные волны и электронные системы, 2004, т.9, №5, с.

62. Кравченко В.Ф., Масюк В.М. Новый метод синтеза многодиапазонных фрактальных антенных решеток на основе семейства атомарных функций ДАН РАН (в печати)

63. Kravchenko V.F., Masyuk V.M. Peculiarities of the Design of Spiral Fractal Antenna Arrays "The fifth international Kharkov symposium on physics and engineering of microwaves, millimeter and submillimeter waves". Kharkov, Ukraine, June 21-26, 2004.

64. Kravchenko V.F., Masyuk V.M. A New Class of weighting functions for solving problems of multiband planar antenna array synthesis. The IASTED1.ternational Conference on Antennas, Radar, and wave propagation (ARP 2004), July 8-10, 2004, Banff, Canada.

65. Kravchenko V.F., Masyuk V.M. The theory of fractal arrays on the base of the atomic function. The IASTED International Conference on Antennas, Radar, and wave propagation (ARP 2004), July 8-10, 2004, Banff, Canada.

66. Ma, M.T., Theory and Application of Antennas, New York, Wiley, 1974.

67. Stutzman, W.L. and Thiele, G.A., Antenna Theory, New York, Wiley, 1997.

68. Puente-Baliarda, C., J. Romeu, R. Pous, and A. Cardama. " On the Behavior of the Sierpinski Multiband Fractal Antenna." IEEE Transactions on Antennas and Propagation April 1998, pp. 517-524

69. Gianvittorio, John P., Yahya Rahmat-Samii, and Jordi Romeu. "Fractal FSS: Various Self-Similar Geometries Used for Dual-Band and Dual-Polarized FSS". IEEE International Symposium on Antennas & Propagation. Boston, Massachusetts. July, 2001.

70. Jaggard, D. L. and Jaggard A. D., Cantor Ring Arrays, In Microwave and Optical Technology Letters, vol. 19, no. 2, October 5, 1998.

71. Jaggard, D. L., Jaggard A. D. and Frangos V. P., Fractal Electrodynamics Surfaces and Superlattices, Jan. 1999.

72. Jaggard, D. L., Jaggard A. D., Cantor Ring Diffractals., In Optics Communications. Elsevier, October, 1998.

73. Lauwerier, Hans. Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1991.

74. Kritikos, H.N., and D.L. Jaggard, eds. Recent Advances in Electromagnetic Theory. New York: Springer-Verlag, 1990.

75. Gianvittorio, John. Fractal Antennas: Design, Characterization and Applications. Master's Thesis. University of California, Los Angeles, 2000.

76. Puente C., J. Romeu, R. Pous, J. Ramis, and A. Hijazo. Small but Long Koch Fractal Monopole. Electronics Letters vol. 34, no.l, 1998, pp.9-10.

77. Puente Baliarda, C., Jordi Romeu, and A. Cardama. The Koch Monopole: A Small Fractal Antenna. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol.48 no.l 1, 2000, pp. 1773-1781.

78. Werner, Douglas H., A. Rubio Bretones, and B. R. Long. Radiation Characteristics of Thin-Wire Ternary Fractal Trees. Electronics Letters vol. 35, no.8, 1999, pp.609-610.

79. Puente, C. J. Romeu, R. Pous, X. Garcia and F. Benitez. Fractal multiband antenna based on the Sierpinski gasket. Electronics Letters, vol.32, no.l, 1996, pp. 1-2.

80. Romeu, J. and Y. Rahmat-Samii. Dual band FSS with fractal elements. Electronics Letters, vol. 35, no. 9, 1999, pp. 702-703.

81. Romeu, J. and Y. Rahmat-Samii. Fractal FSS: A Novel Dual-Band Frequency Selective Surface. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, vol. 48, no. 7, 2000, pp. 1097-1105.

82. Werner, D.H. and D. Lee. Design of dual-polarized multiband frequency selective surfaces using fractal elements. Electronics Letters, vol. 36, no. 6, 2000, pp. 487-488.