Развитие и обобщение теорий R-функций и атомарных функций в задачах электродинамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

УДК 517.95: 621.37: 621.396.67

БАСАРАБ Михаил Алексеевич

РАЗВИТИЕ И ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИЙ R-ФУНКЦИЙ И АТОМАРНЫХ ФУНКЦИЙ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Специальность: 01.04.03 - радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

На правах рукописи

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре «Высшая математика» (ФН-1)

Московского Государственного Технического Университета им. Н.Э. Баумана

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор

Виктор Филиппович Кравченко

Официальные оппоненты:

член-корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор

Лев Давидович Бахрах, доктор физико-математических наук, профессор

Дмитрии Сергеевич Лукин, доктор физико-математических наук, профессор

Олег Станиславович Лит винов

Ведущая организация:

Институт радиотехники и электроники РАН, г. Москва

Защита диссертации состоится 2004г. в " ч.

на заседании диссертационного совета Д 212,156 03

при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., д.9, Московский физико-технический институт

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ (ГУ) Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.156.03 канд. физ.-мат. наук, доцент

ЛОрь-н

921 332-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Разработка численных и численно-аналитических методов решения задач электродинамики имеет большое теоретическое и практическое значение, в частности, при проектировании антенн и устройств СВЧ. В настоящее время, в связи с развитием вычислительной техники, появились широкие возможности моделирования радиофизических процессов в телах сложной формы. Существующие вычислительные методы можно условно разбить на три класса: аналитические, численные и численно-аналитические. Первые пригодны для решения задач в узком классе областей канонической формы (метод Фурье в системах координат с разделяющимися переменными); вторые универсальны, но дают решение в виде набора чисел, неудобном при качественном анализе результатов. Кроме того, численным методам свойственно накопление погрешности вследствие того, что в общем случае приближения к точному решению априори не удовлетворяют ни дифференциальному уравнению, ни краевым условиям. Этих недостатков можно избежать, используя численно-аналитические методы. Особое распространение получили вариационные и проекционные методы решения краевых задач (Ритца, Бубнова-Галеркина, коллокации, наименьших квадратов и др). Благодаря своей простоте, гибкости и универсальности, метод Я-функций (структурный метод), предложенный В.Л. Рвачевым в 60-х гг. XX в., занимает особое место в ряду других численно-аналитических методов решения краевых задач. Его основной особенностью является использование идей алгебры логики в комбинации с известными вариационными и проекционными методами. Разработка метода Я-функций применительно к внутренним и внешним задачам электродинамики (расчет полей в волноводах и резонаторах, включая сверхпроводящие, дифракция электромагнитных волн на объектах сложной формы) выполнялась в работах В.Ф. Кравченко. Определенный вклад в развитие этого направления внесли

1иКт1 дрV1 НС

1 ну. |1>

рии Я-функций в радиофизических приложениях до сих пор недостаточно хорошо разработаны в силу сложностей математического и вычислительного характера. Особенно это касается решения внешних задач дифракции на объектах.. сложной формы. Решение внутренних краевых задач классическим вариантом метода Я-функций также не всегда эффективно и зачастую уступает в быстродействии методам конечных или граничных элементов. Еще одна сложность заключается в появлении в последние десятилетия принципиального нового объекта исследований - областей с фрактальной геометрией границ. Метод Я-функций изначально был разработан как метод описания границ объектов хоть и сложной, но классической конфигурации. В этой связи, для решения указанных задач возникла необходимость существенного обобщения и развития метода Я-функций в комбинации с другими средствами вычислительной математики.

К наиболее актуальным проблемам электродинамики можно отнести задачи анализа и синтеза антенн простой и сложной геометрии. При этом особый интерес представляют задачи синтеза антенн со сг^^^^Щ^ЩО^ртЗЭГРаммы

ммиоша ся о»

еом С!^

®гра

направленности (ДН), малым уровнем боковых лепестков, высоким коэффициентом направленного действия (КНД) и т.п. Основы математической теории синтеза антенных излучателей были заложены в работах отечественных ученых Л.Д. Бахраха, Л.С. Бененсона, Л.А. Вайнштейна, Е.Г. Зелкина, Г.Т. Маркова, Б.М. Минковича, А.А. Пистолькорса, Д.М. Сазонова, Я.Н. Фельда,

A.З. Фрадина, Я.И. Хургина, А.Ф. Чаплина, А.В. Чечкина, Я.С. Шифрина,

B.П. Яковлева и др. Для строгого и приближенного решения задач синтеза антенн ими широко были использованы результаты классической теории аппроксимации, теории целых функций экспоненциального типа, гармонического анализа, специальных функций, теорий функций вещественного и комплексного переменного. Существенный прогресс в данной области оказался возможен благодаря классическим работам Н.И.Ахиезера, С.Н.Бернштейна, Н.Винера, А.Н. Колмогорова, В.А. Котельникова, Р. Пэли, Е. Титчмарша, А.Н. Тихонова, Э.Т. и Дж.М. Уиттекеров, К. Шеннона и др. Была отмечена также глубокая связь между такими областями, как радиофизика, теория связи, оптика, теория управления, цифровая обработка сигналов, основанная на общности применяемого в них математического аппарата. Последние десятилетия XX в. ознаменовались появлением таких новых (неклассических) конструктивных средств теории аппроксимации, как сплайны, вейвлеты, а также атомарные функции (АФ). Последние представляют собой бесконечно-дифференцируемые финитные решения функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) и могут в некотором смысле рассматриваться как сплайны бесконечной гладкости, а также предшественники вейвлетов. Простейшая базовая АФ была введена п п Рвачевым в 1971г. Впоследствии были обнаружены д^ик и-.^ч,. и изучены их основные свойства. Практические вопросы приложения АФ (в том числе в комбинации с другими известными функциями) к решению ряда задач вычислительной математики, радиофизики и цифровой обработки сигналов рассматривались в работах В.Ф. Кравченко. Благодаря своим уникальным аппроксимативным свойствам, АФ позволяют по-новому взглянуть на постановку и решение различных задач анализа и синтеза антенн. Актуальной является разработка и обоснование методов и быстродействующих алгоритмов на основе АФ для решения этих задач.

В области теории антенн за последние годы произошли существенные перемены, связанные с прогрессом как в области антенной технологии, так и в сфере математического и компьютерного моделирования. Это касается разработки волноводных и рупорных излучателей сложной формы, а также антенных решеток на их основе, антенн фрактальной геометрии и т.д. При синтезе таких излучателей многие из классических аналитических подходов оказались неприемлемыми либо малоэффективными, в то время как прогресс вычислительных технологий позволил выйти на первый план численным и численно-аналитическим методам и алгоритмам. Принципиально задача анализа антенн заключается в приближенном (например, по Кирхгофу) нахождении поля вокруг излучателя при известном способе подвода электромагнитной энергии и конструкции излучателя и сводится к решению уравнений Максвелла при определенных граничных условиях". Учет этих условий и нахождение поля в апер-

туре могут быть выполнены с помощью теорий R-функций и АФ. Значительно более сложными являются обратные задачи синтеза антенных излучателей. Разработка новых методов и алгоритмов их решения является одной из актуальных проблем, исследуемых в данной работе.

Связь работы с научными программами, планами, темами. Работы по теме диссертации частично выполнялись в рамках госбюджетной темы «Резонатор» (заказчик «Росавиакосмос», исполнители ЦНИИМаш и НУК ИУ МГТУ им. Н.Э. Баумана) (2001-2003гг.), а также Договора №2/2002 о научно-техническом сотрудничестве между ОПМ и ВМ ИПМаш НАНУ и Научно-учебным комплексом "Информатика и системы управления" (НУК ИУ) МГТУ им. Н.Э. Баумана (2002-2005гг.).

Цель и задачи работы. Целью работы является развитие и обобщение конструктивных теорий R-функций и АФ, создание новых численных и численно-аналитических методов и алгоритмов на их основе для решения следующих типов внутренних и внешних задач электродинамики:

- задачи электростатики на двумерных объектах сложной конфигурации, включая области с фрактальной геометрией границ; учет сингулярностей решения в окрестности входящих углов;

- расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах и волноводных резонаторах сложного поперечного сечения; учет особенностей решения в окрестности угловых точек (условия Мейкснера);

- моделирование излучения электромагнитных волн из открытого конца волновода произвольного поперечного сечения; анализ волноводных излучателей и антенных решеток;

- решение задач дифракции электромагнитных волн на диэлектрике, помещенном в закрытый или открытый резонатор сложной формы и на идеально проводящих цилиндрических экранах со сложной формой образующей;

- анализ и синтез линейных и двумерных антенных излучателей и антенных решеток.

Методы исследования. В качестве методологической основы полученных в работе результатов следует выделить широкое использование результатов и средств следующих научных направлений:

- вычислительная электродинамика;

- теория анализа и синтеза антенн;

- цифровая обработка сигналов;

- методы алгебры логики и теории функций вещественного переменного;

- теория аппроксимации и интерполяции функций, в частности, теория целых функций экспоненциального типа и спектральный анализ;

- численный анализ: приближенные методы решения ИУ и дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП);

- фрактальная геометрия и фрактальная электродинамика.

В соответствии с поставленными в работе проблемами, использовался единый универсальный подход к их решению с помощью конструктивных теорий

R-функций и АФ. На основе этих теорий были предложены и обоснованы новые методы и алгоритмы одномерной и многомерной аппроксимации функций (атомарная квазиинтерполяция, интерполяция обобщенным рядом Котельнико-ва и полиномами Левитана), а также решения ряда задач численного анализа (ДУЧП, ИУ Фредгольма 1-го и 2-го рода). Новые подходы совместно с методами теории целых функций и фурье-анализа были использованы в задачах синтеза антенных излучателей по заданной диаграмме направленности. Часть основных результатов диссертации получена путем распространения методов теорий R-функций и АФ на новые классы задач, в частности это относится к нахождению излучения из открытого конца волновода регулярного произвольного поперечного сечения, а также исследованию электродинамических свойств объектов фрактальной геометрии методом R-функций. Эти задачи решались путем совместного использования R-функций с вариационными и проекционными методами.

Достоверность результатов работы. Правомерность теоретических результатов работы основывается на строгости использования математического аппарата. Достоверность численных результатов подтверждается их сравнением с данными, полученными с использованием других приближенных методов, а также результатами численных экспериментов, опубликованными в отечественной и зарубежной литературе. Все используемые в работе алгоритмы и программы тестировались на модельных задачах, имеющих известные точные решения.

Научная новизна. Научная новизна работы состоит в создании новых численных и численно-аналитических методов и алгоритмов решения задач электродинамики, включая задачи анализа и синтеза антенных излучателей сложной формы. Она заключается в

- развитии теории R-функций, создании новых конструктивных средств на ее основе с целью повышения точности и быстродействия структурного метода решения внешних и внутренних краевых задач электродинамики, включая области фрактальной геометрии;

- развитии и обобщении аппроксимативного аппарата теории АФ, создании новых конструктивных средств на основе АФ и их применению к решению задач анализа и синтеза антенн;

- распространение аппарата теории R-функций на новую предметную область - анализ и синтез апертурных излучателей сложной геометрии, включая вол-новодные антенны и антенные решетки.

Основные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие основные положения и результаты диссертационной работы:

- метод квазиинтерполяции дифференцируемых функций одного и многих переменных на основе базисов сплайнов и АФ; метод решения ИУ Фредгольма 2-го рода с помощью представления ядра вырожденным на основе базиса АФ и алгоритма атомарной квазиинтерполяции; метод решения задачи Дирихле для ДУЧП с помощью квазиинтерполяции R-функции границы области базисом АФ;

- новые классы сингулярных и локально-сингулярных R-функций и структуры решения краевых задач электростатики и электродинамики на их основе, учитывающие геометрические особенности (условия Мейкснера); алгоритм совместного использования обобщенного метода Шварца и метода R-функций для учета особенностей в угловых точках;

- алгебрологический метод конструктивного описания областей фрактальной геометрии (ковер и салфетка Сер пинского, остров Коха) и решения краевых задач электродинамики в областях с фрактальными свойствами границ;

- новые численно-аналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева, а также гибридные структуры на основе обобщенной интерполяционной формулы Лагранжа для решения краевых задач электродинамики с произвольными граничными условиями вариационными и проекционными методами;

- гибридный метод решения задач дифракции электромагнитных волн на диэлектрике в закрытых и открытых резонаторах на основе обобщенного метода собственных колебаний и метода R-функций;

- метод построения уравнений контуров сложной геометрии с помощью R-функций в полярной системе координат и на его основе алгоритм построения вспомогательных контуров метода решения задач дифракции на идеально проводящих цилиндрических экранах сложной формы путем разложения по неортогональным функциям; алгоритм амплитудно-фазового синтеза многомерных излучателей с помощью описания границы сложной области R-функциями;

- метод расчета ДН антенного излучателя в виде открытого конца регулярного волновода произвольного поперечного сечения на основе теории R-функций;

- методы аппроксимации целых функций экспоненциального типа обобщенными рядами Котельникова и полиномами Левитана на основе АФ, а также алгоритмы анализа и синтеза антенн на их основе; новые конструкции ядер типа Фейера с использованием АФ;

- проекционные методы решения задачи синтеза линейного излучателя с помощью разложения искомого тока по базису АФ и алгоритма неявной регуляризации ИУ Фредгольма 1-го рода;

- синтез оптимальных безлепестковых и секторных ДН линейных антенн с использованием АФ в качестве токового распределения; новый тип самоподобной антенной решетки с распределением токов на основе рекуррентной последовательности, определяющей чередование знаков производных АФ.

- численные методы решения многомерных ИУ с ядрами, зависящими от разности аргументов на конечном промежутке; методы расчета гиперсфероидальных функций и оптимизации соотношения неопределенности в сложных областях, необходимых для конструирования излучателей сложной формы с низкой реактивностью.

Теоретическая и практическая значимость результатов работы. Ценность

полученных в работе теоретических результатов заключается в развитии и совершенствовании теорий R-функций и АФ, разработке новых конструктивных

средств на их основе, позволяющих повысить их эффективность при решении задач теории аппроксимации и математической физики. Обоснованные и разработанные методы и алгоритмы могут найти широкое применение при решении широкого класса задач электродинамики и техники СВЧ, включая задачи анализа и синтеза излучателей сложной формы и фазированных антенных решеток, используемых в радиолокации, радиоастрономии, дистанционном зондировании Земли и др. Все предложенные методы доведены до численной реализации, что позволило выявить некоторые закономерности и особенности электродинамических процессов, происходящих в ранее неизученных или слабо-изученных областях сложной формы, включая объекты фрактальной природы.

Личный вклад соискателя. Автором самостоятельно определена проблематика исследований и предложены методы решения задач, представленных в главах 1 (разделы 1.2-1.4), 2, 5 а также разделах 3.3, 4.2-4.3 диссертационной работы. Постановки задач, описанных в разделах 3.1, 3.2, 4.1,4.2 были определены совместно с д.ф.-м.н. проф. В.Ф. Кравченко и частично (раздел 4.1) с д.т.н. проф. Е.Г. Зелкиным. Методы и алгоритмы решения данных задач, а также их обоснование и численная реализация выполнены лично автором.

Апробация результатов работы. Основные результаты исследований, составляющих содержание диссертационной работы, докладывались и обсуждались на следующих международных научных конференциях и семинарах:

- Int. Conf. "Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation", DSMSI'1999 (25-29/05, 1999, г. Киев, Украина);

- УШ Межд. научная конф. им. акад. М. Кравчука (11-14/05, 2000, НТУ КПИ, г. Киев, Украина);

- Int. Conf. "Modem Trends in Computational Physics", MTCF2000 (24-29/07, 2000, Dubna, Russia);

- Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, MMET'2000 (1215/09, 2000, Kharkov, Ukraine);

- The First Int. Workshop on Mathematical Modeling of Physical Processes in Inhomogeneous Media, MMPPIM'2001 (20-22/03, 2001, Guanajuato, Gto., Mexico); The Second Int. Workshop on Random Fields Modeling and Processing in Inhomogeneous Media, RFMPIM'2002 (27-29/11, 2002, Guanajuato, Gto., Mexico);

- URSI Int. Symp. on Electromagnetic Theory (3-17/05, 2001, Victoria, ВС, Canada);

- Int. Seminar "Days on Diffraction", DD'2001 (29-31/05, 2001, St.-Petersburg, Russia); DD'2002 (5-8/06, 2002, St.-Petersburg, Russia); DD'2003 (24-27/06, 2003, St. Petersburg, Russia); DD'2004 (29/06-2/07, 2004, St. Petersburg, Russia);

- Int. Symp. "Physics and Engineering of Millimeter and Sub-Millimeter Waves", MSMW2001 (4-9/06,2001, Kharkov, Ukraine); MSMW2004 (June 21-26,2004, Kharkov, Ukraine);

- Дальневост. школа-семинар по математическому моделированию и численному анализу, FESS-MMNA (22-28/08,2001, г. Находка, Россия);

- The 1st Int. Symp. on Signal Processing and Information Technology ISSPIT'2001 (28-30/12,2001, Cairo, Egypt);

- The 6th Int. Workshop on Finite Elements for Microwave Engineering - Antennas. Circuits and Devices (30/05-1/06, 2002, Chios, Greece);

- The 4th European Conf on Synthetic Aperture Radar, EUSAR'2002 (4-6/06.

2002, Cologne, Germany);

- IEEE Antennas and Propagation Society Int. Symp. (16-21/06, 2002. San Antonio. Texas, USA);

- IX Всеросс. школа-семинар "Физика и применение микроволн" (26-30/05,

2003, г. Звенигород, Россия);

- Int. Conf on Antenna Theory and Techniques, ICATT'2003 (9-12/09, 2003, Sevastopol, Ukraine);

- The IASTED Int. Conf. on Antennas, Radar, and Wave Propagation, ARP'2004, ( 8-10/07,2004, Banff, Canada);

- Int. Symp. on Electromagnetic Theory, (23-27/05,2004, Pisa, Italy).

- HI Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов» (6-12/09,2004, Волгоград, Россия).

В общей сложности по теме диссертации представлено 32 доклада. Результаты: работы также докладывались и получили положительную оценку на семинарах "Математическое моделирование волновых процессов" (24/09 и 30/10,2002, РОСНОУ, Москва) и семинаре по электродинамике в ИРЭ РАН (2/06, 2003, Москва).

Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации представлены в 68 научных публикациях (из которых 14 выполнено лично автором и 54 - в соавторстве), включая 1 монографию, 35 статей в ведущих отечественных и международных научных журналах, 22 материала и 10 тезисов докладов международных научных конференций.

Структура и объем работы. Диссертация содержит 288 страниц машинописного текста, 80 рисунков, 42 таблицы. Состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (включающего 162 наименования отечественных и зарубежных источников, в том числе ссылки на 27 работ автора) на 13 страницах, приложения на 23 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даны постановка и обоснование актуальности проблемы, сформулированы цели работы, основные задачи исследования и положения, выносимые на защиту. Приведена структура диссертации, а также сведения об апробации результатов работы и публикациях.

В первой главе дан краткий обзор современного состояния теорий R-функций и АФ, очерчен круг задач, решаемых с их помощью. Приведены конструктивные особенности и свойства R-функций и АФ с точки зрения их применимости к решению внешних и внутренних краевых задач электродинамики.

Численно-аналитический метод R-функций решения краевых задач заключается в представлении искомого решения в виде ряда по базисным функциям, удовлетворяющим краевым условиям (линейным однородным), после чего неопределенные коэффициенты разложения находятся из условия удовлетворения основному уравнению (методы Ритца, Бубнова-Галеркина, коллокации, наименьших квадратов и др.). Основная трудность здесь заключается в выборе базиса, так как необходимо уметь описывать в аналитическом виде уравнение границы произвольной области. Пусть сложная (для определенности, двумерная) область Q образована путем теоретико-множественного пересечения (или объединения) двух более простых областей неявные уравнения границ

которых известны и имеют вид соответственно. Имеем

П = или 0 = и Тогда, при достаточно общих предположениях,

неявное уравнение границы можно записать как или

(0 = (0Х V /У, =0, где Л, V - символы R-конъюнкции и R-дизъюнкции, соответствующих логическим операциям пересечения и объединения областей. При этом внутри за ее пределами и на гра-

нице сИ. Среди систем R-функций наиболее распространена система операции которой имеют вид

('\ д0 аг = <а, + со2 - + (о\ , со, v0 юг =о\+ ы2 + +со\ . (I)

Последовательное применение указанного приема позволяет построить уравнение границы области практически любой сложности. Имея такое уравнение, можно сконструировать структуру решения краевой задачи, т.е. выражение, точно удовлетворяющее краевым условиям и зависящее от неопределенной компоненты. Известны структуры решений основных типов краевых задач (Дирихле, Неймана, 3-го рода и смешанных) для ДУЧП, возникающих в задачах электродинамики: Лапласа, Пуассона, Гельмгольца. Например, решение и задачи Дирихле ищется в форме структуры Канторовича-Рвачева

и = <уф. (2)

Неопределенная компонента Ф структур решения аппроксимируется рядом с неопределенными коэффициентами

где - элементы некоторой полной системы базисных функций. Коэффициенты находятся одним из вариационных или проекционных методов из условия удовлетворения дифференциальному уравнению.

R-операции системы (1) содержат радикал, т.е. имеют корневую особенность, наличие которой может существенно исказить характер поведения искомого решения краевой задачи. Один из путей уменьшения погрешности аппроксимации при решении краевых задач в невыпуклых областях заключается в сглаживании входящих углов и последующем добавлении к структуре решения членов, отличных от нуля в окрестности особых точек и учитывающих

особенности поведения искомого решения. Для сглаживания углов в работе предложено использовать почти R-операции вида

В главе подробно изучены свойства этих операций, в частности, получены выражения для радиуса закругления, а также введены локальные почти R-операции. Кроме (3), рассматривается также сглаживание по формуле вида

Х,у) = (0(х,у)-£. (5)

Другой путь учета геометрических сингулярностей (условий Мейкснера) заключается в использовании сингулярных R-функций. Пусть граница области

= i¿)Q,. Обозначим через 6t угол между касательными к (Ql и в

угловой точке отсчитываемый внутри области против ча-

совой стрелки, для практики наибольший интерес представляют так называемые входящие углы (ж < 2к). Тогда для решения уравнения Лапласа или Гельмгольца в окрестности каждой угловой точки í.v,,J',) имеет место асимптотическое представление где Для учета особенности можно использовать следующие сингулярные R-дизъюнкции:

<У, V 6)2 = (ft>, +(02+ ^ + ú}¡ )(fi>,J + щ (6)

где в окрестности сингулярности.

В настоящее время большой интерес вызывают задачи расчета физических полей на объектах фрактальной природы. Метод R-функций позволяет легко строить уравнения границ областей фрактальной (точнее, предфракгальной) геометрии, что дает возможность осуществить эффективную численную реализацию вариационных методов применительно к областям такого рода. В главе рассмотрены вопросы построения методом R-функций уравнений границ известных областей фрактальной геометрии: ковер и салфетка Серп и некого, остров Коха. Уравнения базируются на простых рекуррентных процедурах, использующих свойство самоподобия таких структур. Аналогично вышесказанному, можно провести сглаживание углов предфракталов либо воспользоваться сингулярными R-операциями.

Другим неклассическим средством теории аппроксимации, развиваемым в данной работе, являются АФ, представляющие собой финитные решения ФДУ с постоянными коэффициентами. Наиболее простой и в тоже время ф) ндамеп-гальной в классе АФ является функция ир(д:) с носителем [-1,1], удовлетворяющая ФДУ

up'(x) = 2[up(2x +1) - up(2.v - ])].

Ее преобразование Фурье имеет вид ^Г(/') = ]П11 ), где

Атомарные функции удовлетворяют ФДУ

определены на носителе а их фурье-образы имеют вид

В главе рассмотрены вопросы приближения функций

и

с помощью линейных комбинаций сдвигов сжатий АФ Разработан эффективный алгоритм квазиинтерпо-

ляции, позволяющий находить коэффициенты такого разложения без необходимости решения СЛАУ, при сохранении порядка аппроксимации.

На основе алгоритма двумерной атомарной квазиинтерполяции разработан и обоснован метод решения ИУ Фредгольма 2-го рода

о

1{х) = /(х) + А\К(х,1)у№,

(7)

с помощью аппроксимации ядра вырожденным. В (7)

- действительный параметр. Известно сравнительно небольшое число способов такой аппроксимации и, как следствие, недостаточная приспособленность метода приближенных вырожденных ядер в численной реализации. Эффективный алгоритм разложения ядра по АФ по количеству операций сопоставим с простейшим методом коллокации. Кроме метода аппроксимации ядра вырожденным, рассмотрены также другие проекционные методы решения ИУ Фредгольма 2-го рода на основе АФ: моментов, коллокации, наименьших квадратов. Приведены оценки погрешностей приближенного решения.

Во второй главе предложены и обоснованы новые варианты метода Я-функций применительно к решению ДУЧП, возникающих при решении внутренних скалярных задач электродинамики. Пусть в двумерной области р с липшицевой границей сЮ требуется найти решение (потенциал и) уравнения Пуассона

с известной правой частью/или задачи на собственные значения (с.з.) для оператора Лапласа

Ди = Ли (86)

с краевыми условиями Дирихле

,= 0.

(9)

Предположим, что представима в виде теоретико-множественного пересечения некоторой канонической области с другой областью (□ = П*ГШ„), Т.е. ОсА', а с.з. и соответствующие собственные функции (с.ф.) ик (к = 1,2,...) краевой задачи вида (8), (9) в области О известны:

Ди1=Я1и[ в О.', (10)

Пусть известна функция (о0(х,у) границы сО{1 области П(1, причем (оп >0 в Ц, (а также сои > 0 внутри П), ®0 < 0 в Л" \ С2(|, (о„ = 0 и | ^ Она Ш0. Составим далее систему функций (структура Фурье-Канторовича-Рвачева)

Теорема 1. Система функций (12) полна в энергетическом npocmpaiicmee H, невырождающегося положительно определенного эллиптического оператора

Как частный случай, из теоремы следует полнота системы (18) в энергетическом пространстве оператора Лапласа. Ранее аналогичная теорема была доказана для случая аппроксимации с помощью системы функций (структура Кан-торовича-Рвачева)

где - элементы некоторой полной в функциональной системы, а функция области

Кроме выражения (12), на основе обобщенной интерполяционной формулы Лагранжа разработан также широкий класс структур решения краевых задач с условиями дифференциального типа. На численных примерах показана их эффективность.

В главе рассматривается также метод решения задачи (8), (9) с помощью аппроксимации функции границы области финитными функциями. Для области достаточно сложной геометрии, функция границы , построенная с помощью Я-операций, будет представлять собой громоздкое выражение, что усложняет многократное вычисление интегралов, определяющих компоненты матриц СЛАУ. Аппроксимируем с помощью квазиинтерполяции функцию двух переменных со с помощью той же системы координатных функций ф., которая используется при построении исходной структуры решения

В результате получим приближенную функцию области и при-

ближенную СЛАУ для определения неизвестных коэффициентов В силу финитности функций <р1 значительное число компонент матриц этой СЛАУ б\-дут зависеть не от геометрии области, а лишь от комбинации некоторой системы целочисленных индексов. Эти стандартные интегралы для каждой системы могут быть затабулированы и использованы в дальнейшем при решении однотипных краевых задач в различных областях.

Рассмотрен новый гибридный метод для учета геометрических особенностей в виде входящих углов. Он основан на совместном использовании обобщенного метода Шварца и метода Я-функций. При этом исходная сложная область й разбивается на две частично перекрывающиеся области: секгориаль-ную О, с центром в вершине входящего угла, и область П, без входящего угла. В секториальной решение находится точно, а в сложной области - струк-

т>рным методом R-функций. Далее осуществляется рекуррентная процед>ра, позволяющая в пределе с высокой точностью получить приближенное решение, удовлетворяющее условию Мейкснера.

Исследованы возможности метода R-функций в задачах моделирования физических процессов в областях с фрактальными свойствами границ. Известно, что граница среды существенно влияет на структуру электромагнитного поля и характер распространения волн, так как вследствие их взаимодействия с поверхностью раздела сред возникают явления полного либо частичного отражения, дифракции и т.п. Один из путей моделирования реальных поверхностей раздела сред заключается в использовании идей фрактальной геометрии. В качестве примера методом R-функций решались задачи электростатики в области «ковер Серпинского» и рассчитывались ГА/-волны в регулярном волноводе с поперечным сечением в виде предфрактала острова Коха. Для последнего были исследованы различные типы колебаний (рис. 1) и отмечено вырождение некоторых мод, а также возникновение эффектов типа волн шепчущей галереи.

I II III

IV V VI

Рис. 1

Предложен алгоритм моделирования поверхностей гофрированных волноводов сложного поперечного сечения с помощью R-операций в полярной системе координат. Алгоритм позволяет получать аналитические выражения для боковых поверхностей волноводов и путем замены переменных перейти к решению задачи для регулярного цилиндрического волновода с переменным заполнением.

В третьей главе идеи метода R-функций применены к решению задач излучения электромагнитных волн из открытого конца регулярного волновода произвольного поперечного сечения и их дифракции на диэлектрике в закрытом или открытом резонаторе и замкнутых экранах сложной формы. Расчет излучения из открытого конца волновода по А.З. Фрадину выполняется с учетом

приближенного коэффициента отражения Г = (к -у)/(к + у), где к - волновое число, а у - поперечное волновое число, найденное из решения внутренней краевой волноводной задачи методом R-функций. Составляющие электрического и магнитного полей, найденные внутри волновода методом R-функций, должны быть домножены на (1 + Г) и (1 - Г), соответственно. Тангенциальные компоненты поля в дальней зоне имеют вид

Е0{в,<р)

ЕЖ<Р)

=-1 4л,3

2>1 (Б

СО503'|П0>

\(р ] ' [СОБ^СОЗ^

хехр[-;1(х51П(9 соэ <р + .у бш в эт <р)\<Ихс!у,

(15)

где - сферические координаты; - скорость света; - тан-

генциальные компоненты поля в раскрыве.

На рис. 2а приведены линии уровня (а) потенциала Ню-волны в Н-образном волноводе, найденного методом R-функций, а на рис. 26 - соответствующая ДН в Н- (сплошная линия) и Е- (пунктирная линия) плоскостях.

Другим классом задач, для решения которых может быть эффективен метол R-функций, являются задачи дифракции на диэлектрическом теле в резонаторе сложной формы. Для их решения ранее Н.Н. Войтовичем, Б.З. Каценеленбаумом и А.Н. Сивовым был разработан обобщенный метод собственных колебаний (ОМСК). Он является развитием метода собственных частот применительно к решению широкого класса внутренних и внешних задач теории дифракции. С точки зрения численного анализа, ОМСК на

решении некоторой вспомогательной задачи на собственные значения в сложной области путем разложения искомого решения в ряд по некоторой системе базисных функций и нахождения коэффициентов этого ряда одним из вариационных методов. Функции базиса должны удовлетворять определенным требованиям, в частности, краевым условиям. В случае области произвольной формы проблема выбора базиса может быть осуществлена с помощью теории

Я-функций. В главе рассмотрено совместное использование ОМСК (к- и е-методы) и метода Я-функций для решения внешних и внутренних скалярных задач теории дифракции. На рис. 3 в качестве примера приведена геометрия задачи дифракции на диэлектрике в волноводном резонаторе Н-образного поперечного сечения, на рис. 4 - зависимости первых трех собственных значений от геометрии резонатора, а на рис. 5 - линии уровня первых трех четных собственных колебаний, найденных с помощью ОМСК в комбинации с методом Я-функций.

I II Ш

Рис.5

Чаще всего решение внешних задач электродинамики эффективно реализуется путем сведения их к граничным ИУ, чем достигается понижение размерности аппроксимируемого пространства. Одним из основных подходов к решению задач такого рода является предложенный В.Д. Купрадзе метод дискретных источников. Он является, в свою очередь, одним из вариантов разработанного М.А. Алексидзе метода разложения по неортогональным функциям (МРНФ). Рассмотрим цилиндрический экран с идеально проводящей бесконечно тонкой поверхностью в, образованной плоской замкнутой гладкой (или кусочно-гладкой) кривой д£1. Пусть П - внутренняя область с границей <Ю. Направим ось Ог вдоль образующей поверхности и положим, что падающее на экран поле не зависит от координаты В этом случае электромагнитная задача дифракции на экране состоит в определении скалярной функции (рассеянного поля) и, являющейся решением однородного уравнения Гельмгольца в

Я2 \ (П), удовлетворяющей краевым условиям Дирихле (Е-поляризация) или Неймана (Н-поляризация) с правой частью / на ¿Ю и условиям излучения Зоммерфельда на бесконечности

и = 0(г~"2), — -/Ь = о(г"2), (г->00), дг

(16)

где Кроме того, поле должно удовлетворять требованию ограни-

ченности энергии в любом конечном объеме пространства. Единственное решение краевых задач ищется в виде потенциалов

(простой слой) для задачи Дирихле и

«М>)=7 Л/, ей2 \ Й

(18)

(двойной слой) для задачи Неймана. Здесь - евклидово расстояние между точками М, М„; //¿2'(г) - функция Ханкеля второго рода нулевого порядка. Из

краевых условий с /

7 {яГ^ш.Мт, = -ЛЛ/0), А/, еШ

(19)

(сингулярно / 5

43аи,/пда и

(20)

(гиперсингулярное) для задачи Неймана.

Функция и(|"мд^) может быть аналитически продолжена за пределы своей первоначальной области определения т.е. внутрь Пусть граница

при этом перейдет в некоторый замкнутый вспомогательный контур внутри Пусть также - звездные контуры Ляпунова. Контур дол-

жен охватывать все особенности аналитического продолжения функции и(гии ) в область внутри и, кроме того, не должно являться собственным значением внутренней однородной краевой задачи для области внутри . Введем в качестве параметра полярный угол и запишем уравнения в полярных

координатах:

г = гху(а), г=г_(в\ 0<а,в<2ж. (21)

Тогда = ^^(а) + гг{0) - 2гХ1г С0$(а - в). Решим, например, задачу Дирихле с помощью МРНФ в комбинации с методом коллокации. Пусть точки Мп с координатами (>',(&„)<&„) и расположены всюду плотно на Г , т.е.

Тогда система неортогональных функций (фундаментальных решений) полна в Решение краевой задачи Дирихле ишется в виде ряда 17

и(М)»£авН?\кгЮт),

(22)

коэффициенты ал которого определяются из СЛАУ

Поскольку сумма (22) автоматически удовлетворяет уравнению Гельмгольца и условиям излучения (16), то погрешность полученного решения оценивается по степени выполнения краевого условия (величине невязки) в точках с£2.

В работе рассмотрен следующий способ построения вспомогательных контуров с помощью метода R-функций. Пусть г = 1]((р) и г = г2(<р) - уравнения в полярных координатах границ ограниченных областей звезд-

ных относительно начала координат. Очевидно, 1\(<р) — г>0 И г2(<р)-г>О внутри соответственно. Аналогично, за пределами выполняют-

ся неравенства гх(<р) — г<0 и г-,{ф) — г<0. Если сложная область(звездная) образована путем пересечения или объединения П,, П2, т.е. П = Г2, или

то уравнение ее границы в неявной форме может быть запи-саио с помощью Л-операций конъюнкции и дизъюнкции, соответственно:

Пусть л, V - символы R-операций системы (1). Тогда из (24) получаем сле-

[\'}( )| I [ и, ' ПТ.ТПУ .[,'1 Ч Г ТТ',[ •

{л 1 [тт[гЛ<р),гЛ<р)} ]

в полярных координатах определяющие границу

Если, вводя малый параметр £'>0, воспользоваться почти R-операциями, то вместо (25) имеем

-е.

(26)

Выражения (26) и определяют границу вспомогательного контура Г" . Из условия г >0 следует

При выборе в контур будет деформироваться (расширяться)

внутрь области , внешней к . Вспомогательный контур Г+ будет тогда

внешним по отношению к с'П, а условие (27) становится излишним.

Если уравнение границы получено путем применения выраже-

ний (25) к гладким функциям то в общем случае, его правая часть

имеет особенности (недифференцируема) при г1(<р) = 1'2(<р). Формулы (26) приводят к функциям, описывающим гладкие контуры и уже не имеющим особенностей в угловых точках сопряжения участков границы. Используя уравнения

границ гладких контуров Г", Г+: г=г_(<р), г = Г^(д>), можно построить уравнение сглаженного контура близкого к ¿Ю, следующим образом:

г(1>) = 1Ф) + Ш]' 2-

Например, в случаях, когда

г_=гх л1? г2, г; =гх л;"' г, или г_ =г, у1," г2, л =/] л,

имеем, соответс ч 1Г , ч /•,_ /г / \ , чПд „ 21

На рис. 6 показана геометрия задачи дифракции на экране секториального поперечного сечения (основной и вспомогательный контуры), а на рис. 7 - логарифм ДН по мощности при дифракции плоской волны на цилиндре секториального сечения для угла падения) Зв^'дЗдерьураЬнение области:

7. Ф) = ~.-+ 7Т-

геометрические параметры: с = Л = 0.6Л ,а = Ь = 1. 1Л, Л = Л.

90

У / / / / / » / г 1 } 1»' я-с к \ ч \ \ \ ( \ * 1 М *

11 \» \ V ■ч 0 ;/я > 1 Ь-И ;) ! / / / у У

1 1 \

Рис.6

Четвертая глава посвящена разработке новых методов аппроксимации, использующих спектральные свойства АФ, и их применению к задачам теории антенн. Предложены и обоснованы новые интерполяционные ряды (обобщенные ряды Котельникова), а также полиномы Левитана, строящиеся на основе сдвигов-сжатий преобразований Фурье АФ. Как известно, сигнал _Дх), спектр

которого может быть восстановлен по множеству своих от-

счетов (ряд Котельникова)

где 0<Д<л/П. На практике необходимо ограничиться конечным числом членов в (28), причем оно должно быть достаточно велико, так как функция Бтфт) медленно убывает при стремлении х к бесконечности.

Для интерполяции сигналов с финитным спектром можно также использовать преобразования Фурье АФ Иа(х), так как нули этих преобразований расположены регулярным образом. Кроме того, спектры АФ стремятся к нулю на бесконечности значительно быстрее функции что позволяет ограни-

читься сравнительно небольшим числом членов интерполяционного ряда. Атомарные фунйции(я> 1) являются финитными решениями ФДУ

(29)

Функция Ай(х)=0 при и АДх^о/2 при \х\<(а-2)1а{а-\), а>2. Пре-

образование Фурье имеет вид

Для сравнения, на рис. 8 показаны графики соседних функций ряда Котель-никова (28) (а) и функций ряда (31) (5) при а = 3, обладающих существенно более низким уровнем боковых лепестков.

Обозначим через И^((7>0) совокупность всех целых функций /(¿) (г В С) экспоненциального типа <сг, для которых /(х)/\х-1 |е > а через

- пространство целых функций экспоненциального типа ограниченных на вещественной оси. При этом ,Ва О Цга. Б.М. Левитаном доказана теорема о том, что для любой функции Дг) класса Ва можно построить бесконечную последовательность периодических тригонометрических сумм ограниченных на вещественной оси той же константой, что и и сходящихся к равномерно в каждой конечной части комплекс-

ной плоскости. Положим к = о1п, п = 1,2,... Тогда обобщенные полиномы Левитана на основе АФ имеют вид

Л

2'Д

(г + Щ

(33)

е вещественны;

и обладают следующими свойствами:

1) если /(х) (х е К) вещественна, ж

2) если /(*)>()(*€ И), то />„(/;*)^0 (* 6 Я).

Погрешность, возникающая при аппроксимации функции обобщенным полиномом Левитана на основе АФ (36) существенно ниже, чем при аппроксимации обычным полиномом Левитана и определяется следующей теоремой. Теорема 3. Если /(г) е У/а (ст > 0) и\/{х)\<А

( 4 I № - 1- П^пс2[*Х/(2' Д)]

Полиномы Левитана более высокого порядка имеют вид

/*'(/;*)= ¿/(г+*д) №пс2"2Г^7

к*-* 1.2 I

В главе также рассмотрены конструкции ядер типа Фейера на основе АФ и приведены примеры использования обобщенных рядов Котельникова, Левитана для решения ряда задач синтеза антенн (аппроксимация ДН, синтез нулей ДН антенной решетки и др.)

Рассмотрены способы решения некорректных задач электродинамики, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода с гладким ядром. Эти подходы используют алгоритмы саморегуляризации на основе АФ, обладающих сглаживающими свойствами. Пусть в общем случае необходимо решить интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода

(2 + М)

,г = 0,1,2,..

(34)

(35)

Согласно методу парциальных диаграмм, неизвестное решение, а также правая часть}равнения представляется в виде рядов соответственно по полным системам функций сдвигов сжатий АФ {<р1} и {у/к}

У(') = !«><( О, /(') = £^(')- (37)

- известные коэффициенты, а «4- подлежащие определению. Считаем, что выполняются условия нормировки

1=0 1=0

Результирующая СЛАУ относительно коэффициентов имеет вид

Ш = ^ (38)

где

Н„ = (/,;■=МО

а

для метода коллокации,

ль л _

Ич = \ц/,{х)с1х\к(х,1)(р1(1)с!1, ^ = {/(*)у/,(л-)Л-, (/,7=0, Л')

для метода моментов и ~ь

(/\у = 0,Я) для метода наименьших квадратов. Пусть

\

(39)

- элемент наилучшего приближения неизвестного решения _1"(л"). Погрешность приближенного решения и(/) зависит от нормы обратной матрицы Н аналитическая оценка которой представляет собой непрост)ю задачу. С увеличением Л' величина ["-.уЦ стремится к нулю, в то время как неограниченно

возрастает. Задача заключается в нахождении такого параметра разбиения Л' (для простоты предполагаем его равномерным), при котором достигается устойчивое приближенное решение с наименьшей погрешностью. Как известно, задача синтеза линейной ангенны заключается в определении поля в ее рас-крыве по заданной ДН и сводится к решению уравнения Фредгольма 1-ю рода

(43)

где лг=£5т0, к=1ж!к - волновое число; у(х) - ДН; 1а - длина раскрыва. В главе приведены примеры эффективного использования указанных методов решения ИУ к задаче синтеза линейного излучателя.

Одними из важных вопросов в задачах синтеза антенн являются задачи синтеза оптимальных ДН. При этом требования в первую очередь предъявляются не к форме основного лепестка, а к некоторым параметрам ДН: минимизация уровня боковых лепестков при заданной ширине основного лепестка, оптимизация крутизны спада основного лепестка при заданном уровне бокового излучения и др. Частным случаем задач такого рода является синтез ДН, совсем не имеющих боковых лепестков. Несмотря на то, что такие ДН имеют так называемые затянутые "хвосты", задача их синтеза представляет определенный теоретический и практический интерес. При этом амплитудное распределение тока в линейных антеннах имеет вид Я-сплайнов определенной степени гладкости. В главе рассмотрен метод синтеза безлепестковых ДН, основанный на использовании различных типов АФ в качестве амплитудного распределения тока непрерывного излучателя.

С помощью К-функций и АФ разработаны и обоснованы новые алгоритмы синтеза разностных и секторных плосковершинных ДН. При этом использовано понятие нормализованности функции, что дает возможность строить реализуемые ДН, в окрестности фазового центра аппроксимирующие линейную функцию (разностные ДН) или постоянную функцию (секторные ДН). Рассмотрены вопросы, связанные с понижением уровня боковых лепестков таких ДН.

Предложена конструкция самоподобной равноамплитудной антенной решетки, фазы распределений токов в элементах которой выбираются в соответствии с законом чередования знаков производных АФ ки(х).

В пятой главе рассмотрены вопросы, связанные с анализом и синтезом плоских излучателей сложной формы. Представлен алгоритм амплитудно-фазового синтеза многомерных излучателей с помощью описания границы сложной области К-функциями. Исследованы вопросы оптимизации соотношения неопределенности и его обобщений для случая, когда исходная функция определяет распределение тока в двумерном излучателе сложной формы, а ее фурье-образ - ДН. Представлены численные методы расчета оптимальных распределений (гиперсфероидальных функций), обеспечивающих минимальный коэффициент сверхнаправленности (добротность) антенны. Методы основаны на использовании базиса АФ при решении многомерного интегрального уравнения типа свертки. С помощью аппарата К-функций осуществлен также синтез оптимальных распределений, удовлетворяющих некоторым дополнительным краевым условиям на границе излучателя.

В приложении кратко приводятся следующие сведения: формулы упорядочения двумерных полиномов; метод построения уравнений составных поверхностей в сферических координатах; основные типы атомарных функций; алгоритм построения уравнений границ гофрированных волноводов; нормализованные уравнения границ поперечных сечений волноводов; вопросы построения опорных функций произвольных областей, основанные на использовании К-операций в полярных координатах.

В заключении резюмируются основные результаты, полученные в работе:

- разработаны и обоснованы новые методы аппроксимации одномерных и двумерных функций с помощью базиса АФ: атомарная квазиинтерполяция, метод аппроксимации ядра ИУ Фредгольма 2-го рода вырожденным на основе квазиинтерполяции АФ, аппроксимация функции области в структуре Дирихле для ДУЧП с помощью квазиинтерполяции АФ;

- теория К-функций развита и обобщена на случай решения краевых задач в областях с геометрическими сингулярностями (входящими углами); для учета условий Мейкснера разработаны новые конструкции сингулярных К-операций, а также гибридный метод на основе обобщенной альтернирующей процедуры Шварца и структурного метода К-функций; обоснован аппарат почти К-функций сглаживания углов области;

- введены новые полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева, а также гибридные структуры на основе обобщенной интерполяционной формулы Лагранжа для решения краевых задач электродинамики в сложных областях, образованных путем теоретико-множественного пересечения канонической области с другой областью;

- методом К-функций решена .обратная задача аналитической геометрии для областей с фрактальными границами и решен ряд задач электростатики и электродинамики в таких объектах, как ковер Серпинского и остров Коха;

- предложен новый гибридный метод, основанный на совместном использовании ОМСК и метода К-функций для решения скалярных задач дифракции;

- с помощью теории К-функций разработаны методы построения уравнений границ сложных областей в полярных координатах, а также сглаживания угловых точек; эти подходы использованы при построении вспомогательных контуров МРНФ для решения задач дифракции электромагнитных волн на цилиндрических экранах сложного поперечного сечения;

- разработаны и обоснованы новые методы аппроксимации и интерполяции целых функций экспоненциального типа на основе АФ (обобщенные ряды Котельникова и полиномы Левитана), позволяющие решать задачи синтеза линейного излучателя и антенных решеток по заданной ДН; введены новые конструкции ядер типа Фейера на основе АФ;

- предложены и обоснованы проекционно-итерационные алгоритмы решения задачи синтеза линейной антенны с помощью разложения по базису АФ и неявной регуляризации ИУ Фредгольма 1-го рода с гладким ядром;

- на основе АФ, выбранных в качестве распределения тока в линейном излучателе, а также теории К-функций синтезированы новые типы безлепестковых, разностных и секторных ДН; разработана модель самоподобной равно-амплитудной антенной решетки на основе АФ кй{х);

- на основе АФ и К-функций в комбинации с процедурами БПФ и ДПФ предложены численные методы решения многомерных ИУ с ядрами, зависящими от разности аргументов на конечном промежутке; методы использованы для нахождения гиперсфероидальных функций и оптимизации соотношения неопределенности в сложных областях, что позволяет конструировать излучатели сложной формы с низкой реактивностью.

Результаты диссертации опубликованы в следующих научных работах:

Монография

Кравченко В.Ф., БасарабМ.А. Булева алгебра и методы аппроксимации в

краевых задачах электродинамики. - М: Физматлит, 2004.

Статьи в журналах

1. Басараб МА, Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И. Атомарные функции и прямые методы решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода в задаче синтеза линейных антенн. -Доклады РАН, 2000, т.374, №3, с.324-329.

2. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Итерационный метод разложения интерполяционного алгебраического полинома по атомарным функциям. -Электромагнитные волны и электронные системы, 2000, т.5, №4, с.4-10.

3. Басараб М.А. Итерационные процессы в задаче локальной сплайн интерполяции. - ДоповЛ НАН УкраТни, 2000, №12, с.7-11.

4. Кравченко В.Ф., Басараб МА, Перес-Меана X. Спектральные свойства атомарных функций в задачах цифровой обработки сигналов. - Радиотехника и электроника, 2001, т.46, №5, с.534-552.

5. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Приближение атомарными функциями и численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. - Дифференциальные уравнения, 2001, т.З7, №10, с. 1406-1414.

6. Басараб МА, Кравченко В.Ф. R-функции и атомарные функции в задачах цифровой обработки многомерных сигналов. - Электромагнитные волны и электронные системы, 2001, т.6., №4, с.3-26.

7. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Построение уравнений границ областей фрактальной геометрии с помощью метода R-функций. - Электромагнитные волны и электронные системы, 2001, т.6., №6, с.31-37.

8. Басараб МА, Кравченко В.Ф., Масюк В.М. R-функции, атомарные функции и их применение. - Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 2001, №8, с.5-40.

9. Kravchenko.V.F. and Basarab, MA, Atomic Functions and the Construction of New Types of Self-Similar Antenna Arrays. - Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 2001, №8, с.69-72.

10. Басараб МА Периодическая атомарная квазиинтерполяция. - УкраТнським математичний журнал, 2001, т.53, №10, с. 1422-1426.

11. Кравченко В.Ф., БасарабМ.А Метод обработки многомерных сигналов с использованием R-функций и атомарных функций. - Доклады РАН, 2002, т.383,№1,с.40-45.

12. КравченкоВ.Ф., БасарабМ.А. Новый класс самоподобпых антенных решеток. - Доклады РАН, 2002, т.383, №3, с.337-342.

13. КравченкоВ.Ф., БасарабМ.А. Применение атомарных функций для восстановления сигналов с финитным спектром. - Доклады РАН, 2002, г.385, №1,с.36-40.

14. Зелкин Е.Г., КравченкоВ.Ф., БасарабМ.А. Интерполяция сигналов с финитным спектром с помощью преобразований Фурье атомарных функций

и ее применение в задачах синтеза антенн. - Радиотехника и электроника,

2002, т.47, №4, с.461-468.

15. Колпаков И.В., Кравченко В.Ф., Басараб МА Атомарные функции и их применение в задачах сплайн интерполяции. - Электромагнитные волны и электронные системы, 2002, т.7, №1, с.32-40.

16. Kravchenko, V.F. and Basarab, MA, The Use of Weighting Windows Based on Atomic Functions in SAR Digital Signal Processing. - Электромагнитные волны и электронные системы, 2002, т.7, №4-5, с. 134-140.

17. Басараб МА, Кравченко В.Ф. Конструктивные методы аппроксимации целых функций экспоненциального типа с использованием атомарных функций. - Электромагнитные волны и электронные системы, 2002, т.7, №8, с.4-13.

18. Басараб МА Синтез антенн с безлепестковыми диаграммами направленности на основе атомарных функций. - Антенны, 2002, вып. 5(60), с.4-8.

19. Басараб МА, Кравченко В.Ф. R-функции и соотношение неопределенности для пространственных сигналов с финитным носителем. -Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, т.8, №1, с. 16-25.

20. Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Басараб МА Новые итерационные алгоритмы решения смешанной задачи синтеза антенн.- Антенны, 2003, вып. 03-04 (70-71), с.45-49.

21. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Решение краевых задач электродинамики в областях фрактальной геометрии методом R-функций. - Письма в ЖТФ,

2003, т. 29, вып. 24, с. 89-94.

22. Басараб М.А. Решение краевых задач в областях фрактальной геометрии методом R-функций. - Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, т.8, №9, с.31-39.

23. Басараб МА Сингулярные R-функции в краевых задачах электродинамики. - Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, т.8, №10, с.30-38.

24. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Новый численно-аналитический метод решения краевых задач в областях с входящими углами. - Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, т.8, №11-12, с.63-69.

25. Кравченко В.Ф., Басараб МА Функции В.Л. Рвачева в обобщенном методе собственных колебаний.- Успехи современной радиоэлектроники, 2003, №8, с.77-80.

26. Басараб МА, Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Яковлев В.П. Аппроксимация финитными функциями и теорема Уиттекера-Котельникова-Шеннона в цифровой обработке сигналов.- Успехи современной радиоэлектроники, 2003, №9, с.3-36.

27. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Методы решения краевых задач электродинамики в областях сложной формы.- Успехи современной радиоэлектроники, 2003, №12, с.3-93.

28. Кравченко В.Ф., Басараб М.Л. Обобщенный метод собственых колебаний и R-функции в задачах дифракции волн. - Доклады РАН, 2004, т. 396, Л» 2, с.178-182.

29. Басараб МА, Кравченко В.Ф. Полуаналитические координатные последовательности для решения краевых задач Дирихле в областях сложной формы. - Доклады РАН, 2004, т.398, №2.

30. Басараб МА, Кравченко В.Ф. Применение R-функций к решению интегральных уравнений дифракции электромагнитных волн. - Радиотехника и электроника, 2004, т. 48, №10.

31. Кравченко В.Ф., Басараб МА Численные методы решения интегральных уравнений для функций с двойной ортогональностью. - Дифференциальные уравнения, 2004, т. 40, №8.

32. Басараб М.А. Полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева для решения краевых задач в областях сложной формы. - Электромагнитные волны и электронные системы, 2004, т. 9, № 3-4, с. 19-30.

33. Басараб МА, Кравченко В.Ф. Численно-аналитические методы решения задач дифракции и рассеяния электромагнитных волн на объектах сложной формы. - Успехи современной радиоэлектроники, 2004, № 4, с. 3-71.

34. Басараб МА Гибридные структуры решений краевых задач электродинамики на основе обобщенной интерполяционной формулы Лагранжа, Радиотехника, 2004, № 9.

35. Басараб МА, Матвеев ВА Рекуррентные алгоритмы построения новых классов дифференцирующих и плосковершинных фильтров, Электромагнитные волны и электронные системы, 2004, т.9, №8, с.39-49.

Тезисы докладов и труды симпозиумов, конференций, семинаров

1. Басараб М.А. Решение краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка методом коллокаций с использованием базиса сдвигов сжатий функций up(x). - Int. Conf "Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation", Thesis of Conf. Reports, May 25-29, 1999, г. Киев, c.5.

2. Basarab, MA, Modified Algorithm of the R-Functions Method for Solving Boundary Value Problems. - Материалы VIII Межд. науч. конф. им. акад. М. Кравчука, May 11-14,2000, НТУ (КПИ), г. Киев, с. 19.

3. Basarab, М.А and Kravchenko,V.F., Double Atomic Approximation and Solving Fredholm First Kind Integral Equations in the Problem of Synthesis of Linear Antennas. - Int. Conf. "Modern Trends in Computational Physics", Abstracts, July 24-29,2000, Dubna,p.41.

4. Basarab, M.A Atomic Quasi-Interpolation of Differentiable Periodic Functions in the Problem of Digital Signal Processing. - Int. Conf. "Modern Trends in Computational Physics", Abstracts, July 24-29,2000, Dubna, p.40.

5. Kravchenko,V.F. and Basarab, MA, Atomic Quasi-Interpolation in the Problem of Digital Signal Processing. - Proc. of the Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Sept. 12-15,2000, vol.1, pp.230-232.

6. Kravchenko,V.F. and Basarab, MA, Solving Integral Equations for Ill-Posed Problems of Electromagnetics Based on the Atomic Functions. - Proc. of the Int. Conf on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Sept. 12-15, 2000, vol.2, pp.682-684.

7. Basarab, MA Modified Algorithm of the R-Functions Method for Sohing Electromagnetics Boundary Value Problems. - Proc. of the Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Kharkov, Sept. 12-15, 2000, vol.2, pp.700-702.

8. Kravchenko,V.F., Basarab, MA, and Perez-Meana, H., The New Class of Weighting Windows Based on Atomic Functions in Problems of Digital Signal Processing. - Proc. of the First International Workshop on Mathematical Modeling of Physical Processes in Inhomogeneous Media, March 20-22, 2001, Guanajuato. Gto., Mexico, pp.5-7.

9. Kravchenko,V.F. and Basarab, MA, Atomic Functions in Numerical Solution of Integral Equations. - Proc. of the First International Workshop on Mathematical Modeling of Physical Processes in Inhomogeneous Media, March 20-22, 2001, Guanajuato, Gto., Mexico, pp.8-10.

10. Kravchenko,V.F. and Basarab, MA, Novel Numerical Algorithms Based on Atomic Functions for Solving Ill-Posed Problems of Electrodynamics. - Proc. of the URSI Int. Symposium on Electromagnetic Theory, 2001, May 13-17, Victoria, BC, Canada, pp.716-718.

11. Kravchenko,V.F. and Basarab, MA, Solving Singular Integral Equations of Diffraction of Electromagnetic Waves by Means of the Collocation Method with the Use of Atomic Functions. - Abstracts, Int. Seminar "Days on Diffraction'', May 29-31,2001, St.-Petersburg, p.71.

12. Kravchenko,V.F., Basarab, MA, Golubin. M.V., and Masyuk, V.M., The New Class of Quadrature Formulas Based on Atomic Functions and its Applications in Solving Direct and Inverse Electrodynamic Problems. - Abstracts, Int. Seminar "Days on Diffraction", May 29-31,2001, St.-Petersburg, p.72.

13. Kravchenko,V.F. and Basarab, MA, New Methods of Signal Filtering Based on Atomic Functions. - Proc. of The Fourth International Symposium "Ph>sics and Engineering of Millimeter and Sub-Millimeter Waves", June 4-9, 2001, Kharkov, Ukraine, vol.1, pp.235-237.

. 14. Kravchenko,V.F. and Basarab, MA, Atomic Functions and Direct Methods for Solving Singular Integral Equations of Electromagnetics. - Proc. of The Fourth International Symposium "Physics and Engineering of Millimeter and SubMillimeter Waves", June 4-9, 2001, Kharkov, Ukraine, vol.1, pp.238-240.

15. Kravchenko,V.F., El-Khamy,S.E., and Basarab,MA, Properties of Atomic Functions and the Construction of Non-fractal Self-Similar Antenna Arrays. -Proc. of the 1st Int. Symp. on Signal Processing and Information Technology, Dec. 28-30, 2001, Cairo, Egypt, pp.237-241.

16. Kravchenko, V.F. and Basarab MA, The R-function Method for Sohing Problems of Radiation from Arbitrarily-Shaped Apertures. - The 6th Int. Workshop on Finite Elements for Microwave Engineering - Antennas, Circuits and Devices, Abstracts, May 30 - June 1,2002, Chios, Greece.

17. Kravchenko, V.F. and Basarab MA, Weighting Windows Based on Atomic Functions and Their Use in SAR Digital Signal Processing. - Proc. of The 4th European Conference on Synthetic Aperture Radar EUSAR'2002, June 4-6, 2002, Cologne, Germany, pp. 101-104.

18. Kravchenko, V.F. and Basarab MA, An Algebraic Method Based on R-functions for Reconstructing Tomographic Images in Complex-Shaped Domains and Its Application in Wave Diffraction Problems. - Abstracts, Int. Seminar "Days on Diffraction", June 5-8,2002, St.-Petersburg, Russia, pp.46-47.

19. Kravchenko, V.F. and Basarab MA, The Use of Atomic Functions for Interpolation of Bandlimited Signals and Solving Some Antenna Synthesis Problems. - Proc. of the IEEE Antennas and Propagation Society Int. Symp., June 16-21,2002, San Antonio, Texas, USA, vol.2, pp. 152-155.

20. Kravchenko, V.F. and Basarab MA, New Methods for Approximation of Entire Functions of Exponential Type with the Use of Atomic Functions. - Proc. of the Second International Workshop on Random Fields Modeling and Processing in Inhomogeneous Media, 2002, Nov.27-29, Guanajuato, Gto. Mexico, pp. 12-14.

21. Basarab, MA, Kravchenko,V.F., and Rvachev, V.L., Modeling Radiation Processes in Open Waveguides with Complex-Shaped Apertures by the R-function Method. - Proc. of the Second International Workshop on Random Fields Modeling and Processing in Inhomogeneous Media, 2002, Nov.27-29, Guanajuato, Gto. Mexico, pp.55-57.

22. Кравченко В.Ф., БасарабМ.А Применение метода R-функций к решению краевых задач электродинамики в областях сложной формы. - Труды IX Всс-

2003, Звенигород, часть 1, с.38-39.

23. Басараб МА Сингулярные R-функции и их применение к решению краевых задач электродинамики. - Труды IX Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн», 26-30/05, 2003, Звенигород, часть!, с.32-33.

24. Kravchenko, V.F. and Basarab MA, New Methods for Modeling Radiation from Open-Ended Arbitrarily Shaped Waveguides with the 1'se of the Theory of R-Functions. - Abstracts, Int. Seminar "Days on Diffraction", June 24-27, 2003. St.-Petersburg, Russia, p.53.

25. Kravchenko, V.F. and Basarab MA, R-function Theory in Problems of Electromagnetic Wave Radiation from Arbitrarily Shaped Waveguides. - Proc. of the Int. Conf on Antenna Theory and Techniques, Sevastopol, Ukraine, Sept. 9-12, 2003, vol.1, pp.l 90-195.

26. Basarab M.A Solving an Arbitrarily Shaped Flat Radiator Synthesis Problem b) the R-Function Method. - Proc. of the Int. Conf. on Antenna Theory and Techniques, Sevastopol, Ukraine, Sept. 9 12,2003, vol.1, pp. 196-198.

27. Kravchenko, V.F. and Basarab, MA, Application of the Generalized Method of Eigenoscillations and the R-function Theory for Solving Diffraction Problems, Int. Symp. on Electromagnetic Theory, May 23-27, 2004, Pisa, Italy.

28. Kravchenko, V.F. and Basarab, MA, R-functions in the Generalized Method of Eigenoscillations, The Fifth Int. Symp. on Physics and Engineering of Micro-

wa\es, Millimeter and Submillimeter Waves (MSMW04), June 21-26, 2004, Kharkov, Ukraine, vol.2, pp.931-933.

29. Basarab, MA Semi-anahtical Solution Structures for Solving Electrodvnamic Boundary-Value Problems b> the R-function Method, The Filth Int. Svmp. on Physics and Engineering of Microwa\es, Millimeter and Submillimeter Waxes (MSMW04), June 21-26,2004, Kharkov, Ukraine, \ol.2, pp.934-936.

30. Basarab, M.A. and Kravchenko, V.F. The R-functions Method for Solving Integral Equations of Electromagnetic Wave Diffraction, The LASTED Int. Conf on Antennas, Radar, and Wave Propagation (ARP'2004), July 8-10, 2004, Banff, Canada, pp. 103-106

31. Basarab, MA and Kravchenko, V.F. Application of the R-functions Technique to Solving Electromagnetic Wa\e Scattering Problems b> the Modified Method of Discrete Sources, Abstracts, Int. Seminar "Da>s on Diffiaction" (DD*2004), June 29-July 2, 2004, St.-Petersburg, Russia, pp. 16-17.

32. Басараб МА, Кравченко В.Ф., Кравченко О.В. R-функции в задачах моделирования волновых процессов, Тезисы докладов и сообщений ILL Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов», 6-12/09,2004, Волгоград, с.64-72.

АННОТАЦИЯ

Басараб MA Развитие и обобщение теорий К-функций и атомарных функций в задачах электродинамики. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.03 - радиофизика, Московский физико-технический институт, Москва, 2004 г.

Диссертационная работа посвящена развитию и обобщению неклассических конструктивных методов и средств теории аппроксимации на основе К-функций и атомарных функций (АФ) применительно к внешним и внутренним скалярным задачам электродинамики. Предложены и обоснованы новые методы алгоритмы аппроксимации функций, решения дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений. Разработанные подходы использованы при расчете электромагнитных полей в регулярных волноводах произвольного поперечного сечения, для решения внутренних задач дифракции на диэлектрических телах в закрытых резонаторах, рассеяния на цилиндрических экранах сложной формы. Усовершенствованы алгоритмы метода К-функций в комбинации с другими численными методами для решения внешних и внутренних краевых задач электродинамики в областях сложной формы с учетом геометрических сингулярностей (условия Мейкснера на ребре), а также условий Зоммерфельда на бесконечности. Рассмотрен приближенный метод расчет диаграммы направленности излучателя в виде открытого конца регулярного волновода произвольного поперечного сечения. С помощью АФ обобщены известные интерполяционные ряды Котельникова и Левитана для целых функций экспоненциального типа. Показано применение нового аппроксимативного аппарата к задачам синтеза линейных антенн и антенных решеток, а также двумерных апертурных излучателей. Разработаны и обоснованы новые алгебрологические методы описания ряда областей фракт&тьной геометрии (ковер Серпинского, остров Коха) и решения внешних и внутренних задач электродинамики в таких объектах.

Ключевые слова: атомарные функции, К-функции, интерполяция, аппроксимация, краевые задачи, дифференциальные уравнения в частных производных, интефальные у равнения, антенны, антенные решетки, фракталы.

321741

БасариоМихаыI 4 к

V

РНБ Русский фонд

20054 21156

РАЗВИТИЕ И ОЬОЬиаНИЕ 1ГОГИИ К-Ф> 11КЦИ11 И АТОМАРНЫХ ФУНКЦИИ В ИДАЧЛ\ ЭЛРК1РОДИНАМНКИ

11о инк иш в т I иь У П' 1М й»ОрЧП М М )к»1 иы <{син и» >4.1 неч 1 I 9 >н «I I М II рм (О »И 1|К 1 \ Ф 2»Г

I ос* 1ар1Тж.нн<ч оорлоюгс н нос ччриь иимс

ВЫСШЕЮ 11|Чх[м.С1.1Ю1( 1.1114010 оорионаиня Московский фиэико-гсчшчилин МШГМПТ (ГО<Л 14рс1 В1ННЫЙ \НИНСрС1ПС1) Отит авгочапииронанныч И1 июмлич систем ФИЗТГХ 110 НИ РАФ" 141700 Моек о(м I До1гонр\_1шж Ннингмский нер 9

Введение.

1. R-функции и атомарные функции в задачах аппроксимации и численного анализа.

1.1. Основные понятия теории R-функций. Структуры решения краевых задач .:.

1.2. Почти R-функции. Сингулярные R-функции.

R-функции в полярных координатах

1.3. Уравнения границ фрактальных областей

1.4. Атомарные функции и новые методы аппроксимации на их основе

Выводы.

2. Алгебрологические методы и алгоритмы решения внутренних краевых задач электродинамики.

2.1. Постановки краевых задач и классический вариант метода R-функций.

2.2. Глобальный базис. Полуаналитические структуры

Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева.

2.3. Локальный базис. Структурный метод на основе аппроксимации функции области финитными функциями

2.4. Совместное использование обобщенного метода Шварца и метода R-функций.

2.5. Расчет электромагнитных полей в областях фрактальной геометрии.

Выводы.

3. Применение метода R-функций к задачам излучения и дифракции электромагнитных волн.

3.1. Излучение из открытого конца регулярного волновода произвольного поперечного сечения.

3.2. Метод R-функций и обобщенный метод собственных колебаний для решения скалярных задач дифракции.

3.3. R-функции и построение вспомогательных контуров метода разложения по неортогональным функциям.

Выводы.

4. Атомарные функции и R-функции в задачах анализа и синтеза линейных антенн.

4.1. Обобщенные ряды Котельникова, полиномы Левитана и ядра Фей-ера в задачах теории антенн.

4.2. Аппроксимация атомарными функциями fup„(x) в задаче синтеза линейного излучателя.

4.3. Синтез безлепестковых и секторных диаграмм направленности

4.4. Конструирование самоподобных антенных решеток

Выводы.

5. Алгебрологические методы в задачах анализа и синтеза плоских излучателей

5.1. Постановка задачи анализа и синтеза антенн с плоским раскрывом.

5.2. Амплитудно-фазовый синтез антенн с плоским раскрывом.

5.3. R-функции и соотношение неопределенности в теории антенн. 229 Выводы.

Разработка численных и численно-аналитических методов решения задач электродинамики имеет большое теоретическое и практическое значение, в частности, при проектировании антенн и устройств СВЧ. В настоящее время, в связи с развитием вычислительной техники, появились широкие возможности моделирования радиофизических процессов в телах сложной формы. Существующие вычислительные методы можно условно разбить на три класса: аналитические, численные и численно-аналитические. Первые пригодны для решения задач в узком классе областей канонической формы (метод Фурье в системах координат с разделяющимися переменными); вторые универсальны, но дают решение в виде набора чисел, неудобном при качественном анализе результатов. Кроме того, численным методам свойственно накопление погрешности вследствие того, что в общем случае приближения к точному решению априори не удовлетворяют ни дифференциальному уравнению, ни краевым условиям. Этих недостатков можно избежать, используя численно-аналитические методы. Особое распространение получили вариационные и проекционные методы решения краевых задач (Ритца, Бубнова-Галеркина, коллокации, наименьших квадратов и др).

Благодаря своей простоте, гибкости и универсальности, метод R-функций (структурный метод), предложенный B.JL Рвачевым в 60-х гг. XX в., занимает особое место в ряду других численно-аналитических методов решения краевых задач. Его основной особенностью является использование идей алгебры логики в комбинации с известными вариационными и проекционными методами. Разработка метода R-функций применительно к внутренним и внешним задачам электродинамики (расчет полей в волноводах и резонаторах, включая сверхпроводящие, дифракция электромагнитных волн на объектах сложной формы) выполнялась в работах В.Ф. Кравченко. Определенный вклад в развитие этого направления внесли также другие исследователи. Вместе с тем, многие вопросы использования теории R-функций в радиофизических приложениях до сих пор недостаточно хорошо разработаны в силу сложностей математического и вычислительного характера. Особенно это касается решения внешних задач дифракции на объектах сложной формы. Решение внутренних краевых задач классическим вариантом метода R-функций также не всегда эффективно и зачастую уступает в быстродействии методам конечных или граничных элементов.

Еще одна сложность заключается в появлении в последние десятилетия принципиального нового объекта исследований - областей с фрактальной геометрией границ. Метод R-функций изначально был разработан как метод описания границ объектов хоть и сложной, но классической конфигурации. В этой связи, для решения указанных задач возникла необходимость существенного обобщения и развития метода R-функций в комбинации с другими средствами вычислительной математики.

К наиболее актуальным проблемам электродинамики можно отнести задачи анализа и синтеза антенн простой и сложной геометрии. При этом особый интерес представляют задачи синтеза антенн со специальной формой диаграммы направленности (ДН), малым уровнем боковых лепестков, высоким коэффициентом направленного действия (КНД) и т.п. Основы математической теории синтеза антенных излучателей были заложены в работах отечественных ученых Л.Д. Бахраха, JI.C. Бененсона, JI.A. Вайнштейна, Е.Г. Зелкина, Г.Т. Маркова, Б.М. Минковича, А.А. Пистолькорса, Д.М. Сазонова, Я.Н. Фельда, А.З. Фрадина, Я.И. Хургина, А.Ф. Чаплина, А.В. Чечкина, Я.С. Шифрина, В.П. Яковлева и др. Для строгого и приближенного решения задач синтеза антенн ими широко были использованы результаты классической теории аппроксимации, теории целых функций экспоненциального типа, гармонического анализа, специальных функций, теорий функций вещественного и комплексного переменного. Существенный прогресс в данной области оказался возможен благодаря классическим работам Н.И.Ахиезера, С.Н.Бернштейна, Н.Винера, А.Н. Колмогорова, В.А. Котельникова, Р. Пэли, Е. Титчмарша, А.Н. Тихонова, Э.Т. и Дж.М. Уиттекеров, К. Шеннона и др. Была отмечена также глубокая связь между такими областями, как радиофизика, теория связи, оптика, теория управления, цифровая обработка сигналов, основанная на общности применяемого в них математического аппарата.

Последние десятилетия XX в. ознаменовались появлением таких новых (неклассических) конструктивных средств теории аппроксимации, как сплайны, вейвлеты, а также атомарные функции (АФ). Последние представляют собой бесконечно-дифференцируемые финитные решения функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) и могут в некотором смысле рассматриваться как сплайны бесконечной гладкости, а также предшественники вейвлетов. Простейшая базовая АФ ир(лг) была введена B.JI. Рвачевым в 1971 г. Впоследствии были обнаружены другие классы АФ и изучены их основные свойства. Практические вопросы приложения АФ (в том числе в комбинации с другими известными функциями) к решению ряда задач вычислительной математики, радиофизики и цифровой обработки сигналов рассматривались в работах В.Ф. Кравченко. Благодаря своим уникальным аппроксимативным свойствам, АФ позволяют по-новому взглянуть на постановку и решение различных задач анализа и синтеза антенн. Актуальной является разработка и обоснование методов и быстродействующих алгоритмов на основе АФ для решения этих задач.

В области теории антенн за последние годы произошли существенные перемены, связанные с прогрессом как в области антенной технологии, так и в сфере математического и компьютерного моделирования. Это касается разработки волноводных и рупорных излучателей сложной формы, а также антенных решеток на их основе, антенн фрактальной геометрии и т.д. При синтезе таких излучателей многие из классических аналитических подходов оказались неприемлемыми либо малоэффективными, в то время как прогресс вычислительных технологий позволил выйти на первый план численным и численно-аналитическим методам и алгоритмам. Принципиально задача анализа антенн заключается в приближенном (например, по Кирхгофу) нахождении поля вокруг излучателя при известном способе подвода электромагнитной энергии и конструкции излучателя и сводится к решению уравнений Максвелла при определенных граничных условиях.

Учет этих условий и нахождение поля в апертуре может быть выполнен с помощью теорий R-функций и АФ. Значительно более сложными являются обратные задачи синтеза антенных излучателей. Разработка новых методов и алгоритмов их решения является одной из актуальных проблем, исследуемых в данной работе.

Целью работы является развитие и обобщение конструктивных теорий R-функций и АФ, создание новых численных и численно-аналитических методов и алгоритмов на их основе для решения следующих типов внутренних и внешних задач электродинамики:

- задачи электростатики на двумерных объектах сложной конфигурации, включая области с фрактальной геометрией границ; учет сингулярно-стей решения в окрестности входящих углов;

- расчет электромагнитных полей в регулярных волноводах и волновод-ных резонаторах сложного поперечного сечения; учет особенностей решения в окрестности угловых точек (условия Мейкснера);

- моделирование излучения электромагнитных волн из открытого конца волновода произвольного поперечного сечения; анализ волноводных излучателей и антенных решеток;

- решение задач дифракции электромагнитных волн на диэлектрике, помещенном в закрытый или открытый резонатор сложной формы и на идеально проводящих цилиндрических экранах со сложной формой образующей;

- анализ и синтез линейных и двумерных антенных излучателей и антенных решеток.

В качестве методологической основы полученных в работе результатов следует выделить широкое использование результатов и средств следующих научных направлений:

- вычислительная электродинамика;

- теория анализа и синтеза антенн;

- цифровая обработка сигналов;

- алгебра логики и теория функций вещественного переменного;

- теория аппроксимации и интерполяции функций, в частности, теория целых функций экспоненциального типа и спектральный анализ;

- численный анализ: приближенные методы решения интегральных уравнений (ИУ) и дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП);

- фрактальная геометрия и фрактальная электродинамика.

В соответствии с поставленными в работе проблемами, использовался единый универсальный подход к их решению с помощью конструктивных теорий R-функций и АФ. На основе этих теорий были предложены и обоснованы новые методы и алгоритмы одномерной и многомерной аппроксимации функций (атомарная квазиинтерполяция, интерполяция обобщенным рядом Котельникова и полиномами Левитана), а также решения ряда задач численного анализа (ДУЧП, ИУ Фредгольма 1-го и 2-го рода). Новые подходы совместно с методами теории целых функций и фурье-анализа были использованы в задачах синтеза антенных излучателей по заданной диаграмме направленности. Часть основных результатов диссертации получена путем распространения методов теорий R-функций и АФ на новые классы задач, в частности это относится к нахождению излучения из открытого конца волновода регулярного произвольного поперечного сечения, а также исследованию электродинамических свойств объектов фрактальной геометрии методом R-функций. Эти задачи решались путем совместного использования R-функций с вариационными и проекционными методами.

Правомерность теоретических результатов работы основывается на строгости использования математического аппарата. Достоверность численных результатов подтверждается их сравнением с данными, полученными с использованием других приближенных методов, а также результатами численных экспериментов, опубликованными в отечественной и зарубежной литературе. Все используемые в работе алгоритмы и программы тестировались на модельных задачах, имеющих известные точные решения.

Научная новизна работы состоит в создании новых численных и численно-аналитических методов и алгоритмов решения задач электродинамики, включая задачи анализа и синтеза антенных излучателей сложной формы. Она заключается в

- развитии теории R-функций, создании новых конструктивных средств на ее основе с целью повышения точности и быстродействия структурного метода решения внешних и внутренних краевых задач электродинамики, включая области фрактальной геометрии;

- развитии и обобщении аппроксимативного аппарата теории АФ, создании новых конструктивных средств на основе АФ и их применению к решению задач анализа и синтеза антенн;

- распространение аппарата теории R-функций на новую предметную область - анализ и синтез апертурных излучателей сложной геометрии, включая волноводные антенны и антенные решетки.

На защиту выносятся следующие основные положения и результаты диссертационной работы:

-метод квазиинтерполяции дифференцируемых функций одного и ' многих переменных на основе базисов сплайнов и АФ; метод решения ИУ Фредгольма 2-го рода с помощью представления ядра вырожденным на основе базиса АФ и алгоритма атомарной квазиинтерполяции; метод решения задачи Дирихле для ДУЧП с помощью квазиинтерполяции R-функции границы области базисом АФ;

- новые классы сингулярных и локально-сингулярных R-функций и структуры решения краевых задач электродинамики на их основе, учитывающие геометрические особенности (условия Мейкснера); алгоритм совместного использования обобщенного метода Шварца и метода R-функций для учета особенностей в угловых точках;

- алгебрологический метод конструктивного описания областей фрактальной геометрии (ковер и салфетка Серпинского, остров Коха) и решения краевых задач электродинамики в областях с фрактальными свойствами границ;

- 10- новые полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева, а также гибридные структуры решения краевых задач для ДУЧП электродинамики вариационными и проекционными методами на основе обобщенной интерполяционной формулы Лагранжа;

- гибридный метод решения задач дифракции электромагнитных волн на диэлектрике в закрытых и открытых резонаторах на основе обобщенного метода собственных колебаний и метода R-функций;

- метод построения уравнений контуров сложной геометрии с помощью R-функций в полярной системе координат; алгоритм расчета электромагнитных полей в гофрированных волноводах сложного поперечного сечения с помощью R-операций в полярной системе координат; алгоритм построения вспомогательных контуров метода решения задач дифракции путем разложения по неортогональным функциям; алгоритм амплитудно-фазового синтеза многомерных излучателей с помощью описания границы сложной области R-функциями;

- метод расчета ДН антенного излучателя в виде открытого конца регулярного волновода произвольного поперечного сечения на основе теории R-функций;

- методы аппроксимации целых функций экспоненциального типа обобщенными рядами Котельникова и полиномами Левитана на основе АФ, а также алгоритмы синтеза антенн на их основе; новые конструкции ядер типа Фейера с использованием АФ;

- проекционные методы решения задачи синтеза линейного излучателя с помощью разложения искомого тока по базису АФ и алгоритма неявной регуляризации ИУ Фредгольма 1-го рода;

- синтез оптимальных безлепестковых, разностных и секторных ДН линейных антенн с использованием АФ в качестве токового распределения; новый тип самоподобной антенной решетки с распределением токов на основе рекуррентной последовательности, определяющей чередование знаков производных АФ.

Теоретическая и практическая значимость результатов работы заключается в развитии и совершенствовании теорий R-функций и АФ, разработке новых конструктивных средств на их основе, позволяющих повысить их эффективность при решении задач теории аппроксимации и математической физики. Обоснованные и разработанные методы и алгоритмы могут найти широкое применение при решении широкого класса задач электродинамики и техники СВЧ, включая задачи анализа и синтеза излучателей сложной формы и фазированных антенных решеток, используемых в радиолокации, радиоастрономии, дистанционном зондировании Земли и др. Все предложенные методы доведены до численной реализации, что позволило выявить некоторые закономерности и особенности электродинамических процессов, происходящих в ранее неизученных или слабоизученных областях сложной формы, включая объекты с фрактальной геометрией границ.

Автором самостоятельно определена проблематика исследований и предложены методы решения задач, представленных в главах 1 (разделы 1.2-1.4), 2, 5 а также разделах 3.3, 4.3-4.4 диссертационной работы. Постановки задач, описанных в разделах 3.1, 3.2, 4.1, 4.2 были определены совместно с д.ф.-м.н. проф. В.Ф. Кравченко и частично (раздел 4.1) с д.т.н. проф. Е.Г. Зелкиным. Методы и алгоритмы решения данных задач, а также их обоснование и численная реализация выполнены лично автором.

Основные результаты исследований, составляющих содержание диссертационной работы, прошли апробацию на международных научных конференциях и семинарах. В общей сложности по теме диссертации представлен, доложен и опубликован 31 доклад. Основные результаты диссертации опубликованы в 67 научных работах (из которых 13 выполнено лично автором и 54 — в соавторстве), включая 1 монографию, 35 статей в ведущих отечественных и международных научных журналах, 21 материалов и 10 тезисов докладов международных научных конференций.

С точки зрения структуры и объема работы диссертация содержит 289 страниц машинописного текста, 80 рисунков, 42 таблицы. Состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы (включающего 162 наименования отечественных и зарубежных источников, в том числе ссылки на 28 работ автора) на 13 страницах, приложения на 23 страницах.

Выводы

В главе получены следующие основные результаты:

1) Рассмотрены вопросы амплитудно-фазового синтеза многомерных излучателей с помощью описания границы сложной области R-функциями.

2) Аппарат R-функций и АФ применен к решению задачи о нахождении распределений, оптимизирующих обобщенное соотношение неопределенности. Предложенный метод использован для расчета оптимального распределения тока излучателей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Резюмируем основные результаты, полученные в диссертационной работе: разработаны и обоснованы новые методы аппроксимации одномерных и двумерных функций с помощью базиса АФ: атомарная квазиинтерполяция, метод аппроксимации ядра ИУ Фредгольма 2-го рода вырожденным на основе квазиинтерполяции АФ, аппроксимация функции области в структуре Дирихле для ДУЧП с помощью квазиинтерполяции АФ; теория R-функций развита и обобщена на случай решения краевых задач в областях с геометрическими сингулярностями (входящими углами); для учета условий Мейкснера разработаны новые конструкции сингулярных R-операций, а также гибридный метод на основе обобщенной альтернирующей процедуры Шварца и структурного метода R-функций; обоснован аппарат почти R-функций сглаживания углов области; введены новые полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева, а также гибридные структуры на основе обобщенной формулы Лагранжа для решения краевых задач в сложных областях, образованных путем теоретико-множественного пересечения канонической области с другой областью; методом R-функций решена обратная задача аналитической геометрии для областей с фрактальными границами и решен ряд задач электростатики и электродинамики в таких объектах, как ковер Серпинского и остров Коха; предложен новый гибридный метод, основанный на совместном использовании ОМСК и метода R-функций для решения задач дифракции на диэлектрическом теле в резонаторе; с помощью теории R-функций разработаны методы построения уравнений границ сложных областей в полярных координатах, а также сглаживания угловых точек; эти подходы использованы при моделировании гофрированных волноводов сложного поперечного сечения, а также при построении вспомогательных контуров МРНФ для решения задач дифракции электромагнитных волн на цилиндрических экранах; разработаны и обоснованы новые методы аппроксимации и интерполяции целых функций экспоненциального типа на основе АФ (обобщенный ряд Котельникова, обобщенные полиномы Левитана), позволяющие решать задачи синтеза линейного излучателя и антенных решеток по заданной ДН; введены новые конструкции ядер типа Фейера на основе АФ; предложены проекционно-итерационные алгоритмы решения задачи синтеза линейной антенны с помощью разложения по базису АФ и неявной регуляризации ИУ Фредгольма 1-го рода с гладким ядром; на основе АФ, выбранных в качестве распределения тока в линейном излучателе, синтезированы новые типы безлепестковых и секторных ДН; разработана конструкция самоподобной равноамплитудной антенной решетки с распределением токов в соответствии с законом чередования знаков АФ ha(x);

R-функции в полярных координатах применены к моделированию опорных функций сложных областей, представляющих собой спектры двумерных целых функций экспоненциального типа (ДН антенн); рассмотрены вопросы амплитудно-фазового синтеза многомерных излучателей с помощью описания границы сложной области R-функциями; на основе АФ и R-функций в комбинации с процедурами БПФ и ДПФ предложены численные методы решения многомерных ИУ с ядрами, зависящими от разности аргументов на конечном промежутке; методы использованы для нахождения гиперсфероидальных функций и оптимизации соотношения неопределенности в сложных областях, что позволяет конструировать излучатели сложной формы с низкой реактивностью.

1. Рвачев В.Л. Методы алгебры логики в математической физике. - Киев: Наукова думка, 1974.

2. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Неклассические методы теории приближений в краевых задачах. Киев: Наукова думка, 1979.

3. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения. Киев: Наукова думка, 1982.

4. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям-М.: Радиотехника, 2003.

5. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики М.: Физматлит, 2004.

6. Карри Х.Б. Основания математической логики М.: Мир, 1969.

7. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Масюк В.М. R-функции, атомарные функции и их применение- Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 2001, № 8, с. 5-40.

8. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. R-функции и атомарные функции в задачах цифровой обработки многомерных сигналов, Электромагнитные волны и электронные системы, 2001,т.6.,№4,с.3-26.

9. Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. и др. Линейные уравнения математической физики / Под ред. С.Г. Михлина. М.: Физматгиз, 1964.

10. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа-М.-Л.: Физматгиз, 1962.

11. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.- М.: Наука, 1970.

12. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.

13. МарчукГ.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.-М.: Наука, 1981.

14. ХаррикИ.Ю. О приближении функций, обращающихся в нуль на границе области, функциями особого вида- Матем. сборник, 1955, т. 37(79), № 2, с. 353-384.

15. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике.-М.: Мир, 1985.

16. Стрельченко А.И. Определение собственных чисел и собственных функций оператора Лапласа в областях сложной формы. Дис. . канд. физ.-мат. наук Киев, 1971.

17. Рвачев В.Л., Гончарюк И.В. Кручение стержней сложного профиля. -Харьков: Харьк. политехи, инст., 1973.

18. Колодяжный В.М., Рвачев В.А. Структурное построение полных последовательностей координатных функций вариационного метода решения краевых задач. Препринт №10 Харьков: ИПМаш АН УССР, 1975.

19. Гончарюк И.В. Почти R-функции и некоторые их свойства. Вкн. Математические методы анализа динамических систем.- Харьков: Харьк. авиац. инст., 1984. Вып. 8, с. 35-40.

20. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Методы решения краевых задач электродинамики в областях сложной формы. Успехи современной радиоэлектроники, 2003, №12, с.3-92.

21. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров-М.: Физматлит, 1970.

22. Meixner, J. The Behavior of Electromagnetic Fields at Edges IEEE Trans., 1972, AP-20, July, pp. 442-446.

23. Басараб M.А. Сингулярные R-функции в краевых задачах электродинамики- Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, т.8, №10, с.30-38.

24. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Численно-аналитические методы решения задач дифракции и рассеяния электромагнитных волн на объектах сложной формы. Успехи современной радиоэлектроники, 2004, №4, с. 3-71.

25. Басараб М.А. Решение краевых задач в областях фрактальной геометрии методом R-функций.- Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, т. 8, № 9, с. 31-39.

26. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Решение краевых задач электродинамики в областях фрактальной геометрии методом R-функций Письма в ЖТФ, 2003, т. 29, вып. 24, с. 89-94.

27. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1981.

28. Рвачев В.Л., Шапиро В., Шейко Т.Н. Применение метода R-функций к построению уравнений л оку сов, обладающих симметрией Электромагнитные волны и электронные системы, 1999, т. 4, № 4, с.4-20.

29. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1976.

30. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе-М.: Мир, 1974.

31. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. Атомарные функции в математической физике. В кн. Математизация знаний и научно-технический прогресс Киев: Наукова думка, 1975. С. 188-199.

32. Рвачев В.Л., Рвачев В.А. О применении функции ир(х) в методе конечных элементов-Математическая физика, 1975, вып.17, с. 170-175.

33. Рвачев В.А. Применение функции ир(х) в вариационно-разностных методах. Препринт №16 Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975.

34. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А. Применение атомарных функций для решения краевых задач математической физики Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1996, № 8, с. 6-22.

35. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Приближение атомарными функциями и численные методы решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Дифференциальные уравнения, 2001, т.37, №10, с.1406-1414.

36. Басараб М.А. Периодическая атомарная квазиинтерполяция. -Украшський математичний журнал, 2001, т. 53, № 10, с. 1422-1426.

37. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Итерационный метод разложения интерполяционного алгебраического полинома по атомарным функциям — Электромагнитные волны и электронные системы, 2000, т. 5, №4, с. 4-10.

38. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ.- Киев: Наукова думка, 1978.

39. Заргано Г.Ф., Jlepep A.M., Ляпин В.П., Синявский Г.П. Линии передачи сложных сечений. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 1983.

40. Заргано Г.Ф., Ляпин В.П., Михалевский B.C. и др. Волноводы сложных сечений. М.: Радио и связь, 1986.

41. Волноводы с поперечным сечением сложной формы / под ред. В.М. Седых. Харьков: Изд. ХГУ, 1979.

42. Альховский Э.А., Головченко Г.С., Ильинский А.С. и др. Гибкие волноводы в технике СВЧ. М.: Радио и связь, 1986.

43. Марков Г.Т., Васильев Е.Н. Математические методы прикладной электродинамики. М.: Советское радио, 1970.

44. Ефимов И.Е., Сермина Г.А. Волноводные линии передачи. М.: Радио и связь, 1979.

45. Григорьев А.Д Электродинамика и техника СВЧ. М: Высшая школа, 1990.

46. Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика. — М.: Радио и связь, 2000.

47. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967.

48. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн.-М.: Наука, 1989.

49. Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ. М.: Высшая школа, 1988.

50. Литвин О.Н., Рвачев В.Л., Ярмолюк В.К. О решении одного класса краевых задач со смешанными граничными условиями для областей сложной формы. Дифференциальные уравнения, 1968, т.4, №11, с.2089-2093.

51. Кравченко В.Ф., Рвачев ВJL, Торчинов ВВ. Метод R-функций в краевых задачах электродинамики с произвольными граничными условиями. -Электромагнитные волны и электронные системы, 1999, т.4, №5, с.7-20.

52. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы, спектральная теория. -М.: Мир, 1966.

53. Справочник по антенной технике. Т.1. Под ред. Я.Н. Фельда и

54. Е.Г. Зелкина.-М.: ИПРЖР, 1997.%

55. Ильинский А.С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М.: Изд-во МГУ, 1983.

56. Ерофеенко В.Т., Кравченко В.Ф. Об импедансных граничных условиях, учитывающих кривизну поверхности Радиотехника и электроника, 2000, т. 45, №11, с. 1300-1306.

57. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

58. Jeng, G. and Wexler, A. Self-Adjoint Variational Formulation of Problems Having Non-Self-Adjoint Operators IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1978, vol. MTT-26, no. 2, pp. 91-94.

59. Chen, Ch.H. and Lien, Ch.-D. The Variational Principle for Non-Self-Adjoint Electromagnetic Problems IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1980, vol. MTT-28, no. 8, pp. 878-886.

60. Кравченко В.Ф., Полевой В.И., Рвачев В.Л. Применение R-функций для решения краевых задач электродинамики. Тез. докл. Междунар. симпозиума по дифракции и распространению волн. Тбилиси, сент. 1970.-М.: Наука, 1971, с.9-15.

61. Кравченко В.Ф., Манько Г.П., Рвачев В.Л., Ивахов В.В. Определение оптимальных параметров волноводов сложной формы. Метролог, вопросы радиофизики Л.: ВНИИ метрологии, 1974, вып. 158, с.55-70.

62. Кравченко В.Ф., Нефедов Е.И. Магнитные волны в волноводах одно-связного поперечного сечения сложной формы- ДАН СССР, 1981, т.256, №2, с.1097-1100.

63. Кравченко В.Ф., Кравченко ВВ., Рвачев ВЛ., ШейкоТИ, Манько ГЦ Расчет методом R-функций электродинамических характеристик волноводов сложной формы. Измерит, техника, 1993, № 1, с. 26-29.

64. Веретельник В.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Применение R-функций к расчету желобкового волновода. Измерит, техника, 1993, №2, с.59-61.

65. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Ф., Талдыкин И.В. Об одном методе решения краевых задач электродинамики для областей сложной формы с различным импедансом. Докл. РАН, 1993, т.302, № 1, с. 72-74.

66. Веретельник В.В., Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л. Расчет электродинамических характеристик биконического резонатора методом R-функций. Докл. РАН, 1993, т.329, №1, с.33-35.

67. Фаддеев Д.К., ФаддеваВ.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1963.

68. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

69. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

70. Хейли С.Б. Обобщенная проблема собственных значений: вычисление полюсов и нулей. ТИИЭР, 1988, т.76, №2, с.7-29.

71. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Мир, 1969.-26076. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

72. Басараб М.А. Полуаналитические структуры Фурье-Канторовича и Фурье-Канторовича-Рвачева для решения краевых задач в областях сложной формы Электромагнитные волны и электронные системы 2004, т. 9, №3-4, с. 19-30.

73. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Полуаналитические координатные последовательности для решения краевых задач Дирихле в областях сложной формы. Доклады РАН, 2004, т.398, №2, с. 172-176.

74. Басараб М.А. Гибридные структуры решений краевых задач электродинамики на основе обобщенной интерполяционной формулы Лагранжа, Радиотехника, 2004, № 9, с.60-65.

75. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. IV. М.: Гостехиздат, 1957.

76. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. -М:Мир, 1977.

77. Bulley, R.M. and Davies, J.B. Computation of Approximate Polynomial Solutions to ТЕ Modes in an Arbitrarily Shaped Waveguide. IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques, 1969, vol. MTT-17, no. 8, pp. 440-446.

78. Бахвалов H.C. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1973.

79. Веретельник В.В., Курпа Л.В., Манько Г.П. Применение метода R-функций к решению задач на собственные значения. В кн. Математические методы анализа динамических систем. Харьков: Харьк. авиац. инст., 1983. Вып. 7, с. 60-64.

80. Терешин Д.А. Численно-аналитический метод решения задачи Дирихле в областях, содержащих входящие углы. Моделирование процессов обработки информации и управления. Междувед. сб. М.: Моск. физ,-техн. инст., 1992. С. 79-87.

81. БасарабМА., Кравченко В.Ф. Новый численно-аналитический метод решения краевых задач в областях с входящими углами.-Элеюромагнитные волны и электронные системы, 2003, т.8, №11-12, с.63-69.

82. Falconer, К. Techniques in Fractal Geometry New York: John Wiley & Sons, 1997.

83. Фрадин А.З. Антенны сверхвысоких частот. -М: Советское радио, 1957.

84. Вендик О.Г., Парнес М.Д. Антенны с электрическим сканированием (Введение в теорию). М.: Радиотехника, 2002.

85. Амитей Н., Галиндо В., By Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток. М.: Мир, 1974.

86. Collin, R.E. Antennas and Radiowave Propagation. New York: McGraw1. Hill, 1985.

87. Зелкин Е.Г., Петрова P.A. Линзовые антенны. M.: Сов. радио, 1974.

88. ГоробецН.Н., Шишкова А.В. Характеристики электромагнитного излучения из открытого конца круглого волновода в ближней и промежуточной зонах. Радиотехника и электроника, 2002, т. 47, № 5, с. 579-582.

89. Войтович Н.Н., Каценеленбаум Б.З., Сивов А.Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М.: Наука, 1977.

90. Кравченко В.Ф. Методы определения скорости света, основанные на ^ импедансных измерениях сверхпроводников. Радиотехника

91. Электромагнитные волны, №3). 1995. № 10. С. 108-117.

92. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Функции В.Л. Рвачева в обобщенном методе собственных колебаний. Успехи современной радиоэлектроники, 2003, № 8, с.77-80.

93. Веретельник В.В. О реализации метода R-функций в задачах дифракции. Препринт 284. Харьков: ИПМаш АН УССР, 1988.

94. Веретельник В.В. Приближенное решение задач дифракции волн методом R-функций. В кн. Математические модели, методы и системы об* работки информации и принятия решений. Харьков: Харьк. авиац.инст., 1988, с. 33-35.

95. Kriegsman, G. and Morawetz, C.S. Numerical Solution of Exterior Problems with the Reduced Wave Equation. J.Comput.Phys., 1978, vol.28, pp.181-197.

96. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. -М.: Наука, 1978.-262101. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991.

97. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987.

98. Кюркчан А.Г., Минаев С.А. Решение задач дифракции волн с использованием техники вейвлетов. Радиотехника и электроника, 2003, т.48, №5, с.552-557.

99. Кюркчан А.Г., Анютин А.П. Метод продолженных граничных условий и вейвлеты. Докл. РАН, 2002, т.385, №3, с.309-313.

100. Кравченко В.Ф., Рвачев B.JI. Применение метода R-функций для решения скалярной задачи теории дифракции. Радиотехника, 1970, вып. 13. Харьков: Изд. ХГУ им. A.M. Горького. С. 163-167.

101. Кравченко В.Ф., Поляков В.Ф., Рвачев В.JI. К решению задачи дифракции плоской волны на системе лент методом R-функций. Радиотехника, 1970, вып. 13. Харьков: Изд. ХГУ им. A.M. Горького. С. 168-176.

102. Кравченко В.Ф., Полевой В.И., Рвачев В.JI. Решение задачи дифракции на усеченном цилиндре с использованием аппарата R-функций. Радиотехника, 1971, вып. 17. Харьков: Изд. ХГУ им. A.M. Горького. С. 89-96.

103. Kravchenko V.F., Polevoy V.I., and Rvachyov V.L. Application of the R-function Theory for the Solution of Boundary-Value Problems in Electrodynamics. Труды международного симпозиума по дифракции и распространению волн.-М: Наука, 1971. С. 9-15.

104. Кравченко В.Ф., Полевой В.И., Поляков В.Ф., Рвачев В.JI. К теории дифракции и рассеяния электромагнитных волн на ограниченных телах сложной формы. В кн. Проблемы дифракции и распространения волн, 1973, вып. 12. Л.: Изд. ЛГУ. С. 29-34.

105. Кравченко В.Ф., Рвачев В.Л., Шейко Т.И. Метод построения новых структур решения внешних задач электродинамики для областей сложной формы. ДАН СССР, 1990, т. 311, № 1, с.67-71.

106. Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: ИПРЖР, 1996.

107. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

108. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: Янус, 1995.

109. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд. МГУ, 1987.

110. Миттра Р., Гао В., Рахмат-Самий Я. Применение интегральных преобразований в теории рассеяния электромагнитных волн. ТИИЭР, 1979, т.67, №11, с.20-39.

111. Потехин А.И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн. -М.: Сов. радио, 1948.

112. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Методы теории целых функций радиофизике, теории связи и оптике. М.: Физматгиз, 1962.

113. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике им технике. -М.: Наука, 1971.

114. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Прогресс в Советском Союзе в области теории финитных функций и ее применений в физике и технике. -ТИИЭР, 1977, т.65, №7, с. 16-45.

115. Котельников В.А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи. Всесоюзный энергетический комитет. Материалы к Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции связи и развития слаботочной промышленности, 1933.

116. Джерри А. Дж. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и приложения. Обзор. ТИИЭР, 1977, т.65, №11, с.53-89.

117. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А. Применение атомарных функций в задачах интерполяции. Электромагнитные волны и электронные системы, 1998, т.3,№3, с. 16-26.

118. Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф. Аппроксимация диаграммы направленности атомарными функциями. Антенны, 1999, т.2 (43), с.47-49.

119. Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Интерполяция сигналов с финитным спектром с помощью преобразований Фурье атомарныхфункций и ее применение в задачах синтеза антенн. Радиотехника и электроника, 2002, т.47, №4, с.461-468.

120. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Применение атомарных функций для восстановления сигналов с финитным спектром. Доклады РАН, 2002, т.385, №1, с.36-40.

121. Басараб М.А., Зелкин е.Г., Кравченко В.Ф., Яковлев В.П. Аппроксимация финитными функциями и теорема Уиттекера-Котельникова-Шеннона в цифровой обработке сигналов. Успехи современной радиоэлектроники, 2003, № 9, с. 3-36.

122. Литвин О.М., Рвачов В.Л. Класична формула Тейлора, ii узагальнен-ня та застосування. — Киев: Наукова думка, 1973.

123. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

124. Зелкин Е.Г. Построение излучающей системы по заданной диаграмме направленности. -М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963.

125. Андрейчук М.И., Войтович Н.Н., Савенко П.А. Синтез антенн по амплитудной диаграмме направленности. Численные методы и алгоритмы. Киев: Наукова думка, 1993.

126. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами.-М.: Наука, 1977.

127. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

128. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Конструктивные методы аппроксимации целых функций экспоненциального типа с использованием атомарных функций. Электромагнитные волны и электронные системы, 2002, т.7, №8, с.4-13.

129. Минкович Б.М., Яковлев В.П. Теория синтеза антенн. М.: Сов. радио, 1969.135.3елкин е.Г., Соколов В.Г. Методы синтеза антенн. -М: Сов.радио, 1980.

130. Морозов В.А., Гребенников А.И. Методы решения некорректно поставленных задач. Алгоритмический аспект. М.: Изд. МГУ, 1992.

131. Басараб М.А., Кравченко В.Ф., Пустовойт В.И. Атомарные функции и прямые методы решения интегрального уравнения Фредгольма 1-города в задаче синтеза линейных антенн. Доклады РАН, 2000, т.374, №3, с.324-329.

132. Басараб М.А. Синтез антенн с безлепестковыми диаграммами направленности на основе атомарных функций. Антенны, 2002, вып. 5(60), с.4-8.

133. Басараб М.А., Матвеев В.А. Рекуррентные алгоритмы построения новых классов дифференцирующих и плосковершинных фильтров,-Электромагнитные волны и электронные системы, 2004,т.9,№8,с.39-49.

134. Werner, D.H., Haupt., R.L., and Werner, P.L. Fractal Antenna Engineering: The Theory and Design of Fractal Antenna Arrays. IEEE Antennas and Propagation Magazine. 1999. V.41. №5. P.37-58.

135. Kmvchenko,VP. and Basarab, MA, Atomic Functions and the Construction of New Types of Self-Similar Antenna Arrays. Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 2001, №8, с.69-72.

136. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Новый класс самоподобных антенных решеток. Докл. РАН, 2002, т.383, №3, с.337-342.

137. Stutzman, W.L. and Thiele, G.A. Antenna Theory and Design. New York: Wiley, 1981.

138. Peitgen, H.O., Jurgens, H., and Saupe, D. Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer Verlag, 1992.

139. El-Khamy, S.E. and Elkashlan, M.I. Combined Double-Scaled Fractal Arrays. Proc. of the URSI Int. Symp. on Electromagnetic Theory. May 1317, 2001. Victoria, Canada, pp. 16-18.

140. Бахрах JI.Д., Кременецкий С.Д. Синтез излучающих систем (теория и методы расчета). М.: Сов. радио, 1974.

141. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. -М.: Наука, 1985.

142. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. R-функции и соотношение неопределенности для пространственных сигналов с финитным носителем-Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, т. 8,№ 1,с. 16-25.

143. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике М.: Мир, 1971.

144. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной плоскости-М.: Наука, 1964.

145. Slepian, D. and Pollak, Н.О. Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier Analysis and Uncertainty, I.-Bell Syst. Tech. J., 1961,vol.40,no.l,pp.43-64.

146. Landau, H.J. and Pollak, H.O. Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier Analysis and Uncertainty, II Bell Syst. Tech. J., 1961,vol.40,no.l,pp.65-84.

147. Красичков И.Ф. Системы функций со свойством двойной ортогональности- Мат. заметки, 1968, вып. 4, № 5.

148. Крейн М.Г., Нудельман П.Я. О некоторых новых задачах для функций класса Харди и континуальных семействах функций с двойной ортогональностью.- Докл. АН СССР, 1973, т.209, №3, с.537-540.

149. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике. США, 1961-1968 гг. Пер. с англ. под ред. М.К. Разманихина и В.П. Яковлева. М.: Сов. радио, 1971.

150. Комаров И.В., Пономарев JI.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и ку-лоновские сфероидальные функции. М.: Наука, 1976.

151. Фламмер К. Таблицы волновых сфероидальных функций. М.: ВЦ АН СССР, 1962.

152. Slepian, D. Prolate Spheroidal Wave Functions. Fourier Analysis and Uncertainty IV. Extension to Many Dimensions Bell Syst. Tech. J., 1964, vol. 43, no. 6, pp. 3009-3057.

153. Виленчик JI.C., Катулев A.H., Малевинский М.Ф. Метод вычисления вытянутых волновых сфероидальных функций на основе ряда Котельникова. Электромагнитные волны и электронные системы, 1997, т.2, №4, с.5-9.