Теория бумва усреднения для исследования явления равномерного 2-раскрашивания в системах управления, в преобразователях сигналов и в моделях статистической механики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Множество J как базис равномерного 2-раокрашивания

1.1. Историко-литературное введение в главу 1.

1.2. Определение множества J.

1.3. Свойства слов ив множества J.

1.4. Функции h и £.

1.5. Эквивалентность конфигураций ХаСОарда, штурмовых цепочек и множества J.,.

1 .в. Минимаксные и максиминные свойства слов в J.

1.7. Самоподобие в множестве J.

1.8. Согласованность различных порядков в J.

1.9. Кластеры и их композиции.

1.10. Кластеры и цепные дроби,.,.

1.11. Сравнение результатов главы 1 с известными результатами.

Глава 2. Теория булева усреднения для исследования явления равномерного 2-раскрашивания в модели статистической механики.

2.1. Историко-литературное введение в главу 2.

2.2. Булева усредняющая процедура для минимизации гамильтониана Хаббарда.

2.3. Области существования периодических конфигураций в булевой усредняющей системе.

2.4. Основная теорема о периодических конфигурациях в булевой усредняющей системе.

2.4.1. Доказательство п. 1° теорели 2.3 (80). 2.4.2. Доказательство п. 2 теорели 2.3 (81). 2.4.3. Доказательство п. 3° теореш 2.3 (02). 2.4.4. Канторова лестница ($5).,

2.5. Пример двумерного варианта булевой усредняющей процедур!.

2.6. Феноменологические отличия булевой усредняющей процедур] от модели Буркова-Синая.

2.7. Единственность периодической конфигурации в случае выпуклой функции взаимодействия.

2.8. Самые слабые плюсы и минусы в периодической конфигурации.

2.9. Хаусдорфова размерность множества "пробелов** канторовой лестницы.

2.10. Близкодействие и конечные автоматы.

2.11. Показательная функция взаимодействия и разрывное кусочно-линейное отображение прямой в себя.

2.12. Сравнение результатов главы 2 с известными результатами.

Глава 3. Применение теории булева усреднения для исследования явления равномерного 2-раскрашивания в системах управления и в преобразователях сигналов.

3.1. Историко-литературное введение в главу 3.

3.1.1. Аналого-цифровые преобразователи с сигла-Оелъта лодуляцией и неполнил сулхированиел (144), 3.1,2. Релейно- и широтно-илпулъ-сные системы управления (147).

3.2. Ренормализация кусочно-линейного отображения и его циклов.

3.2.1. Нидинги и циклы (151). 3.2.2. Трихотомия (153). 3.2.3. Ре-норлалиэация отображений и циклов (156). Теорема о нидингах точек кусочно-линейного отображения (161).

3.3. Булева усредняющая процедура и кусочно-линейные отображения

3.3.1. Циклы как периодические конфигурации в булевой усредняющей систеле (164). 3.3.2. Свойства циклов кусочно-линейных отображений (167). 3.3.3. Языки Арнольда и ксшторова лестница для циклов. Группа вращений окружности (169)*

3.4. Самоподобная фигура (фрактал) для бесформульного конструирования канторовой лестницы для кусочно-линейного отображения. 174 З.б. Свойства АЦП о сигма-дельта модуляцией и обобщенным неполным суммированием.

3.5.1. Уравнение, определяющее работу АЦП (181). 3.5.2. Свойства, вытекающие us общей теории булевой усредняющей систем (2.8) (182). 3.5.3. Свойства, вытекающие из теории итераций кусочнолинейных отображений (188).

3.6. Релейно-имцульсная система управления.

3.7. Широтно-импульсная система управления и булева усредняющая система.

3.7.1. Широтно-импулъсная система (192). 3.7.2. Многотактные релейные периодические режим, работ шротно-импулъскых систем управления (193).

3.8. Нерелейные периодические режимы идетерминированный хаос в широтно-импулъсной системе управления.

3.8.1. Разностное уравнение. Существование детерминированного хаоса при сколь угодно малых периодах модуляции (198).

3.8.2. Неформальный очерк поведения систем в зависилости от чувствительности импульсного элемент (201). 3.8.3. Карты периодических режимов. ОтстроОт от хаоса (206).

3.9. Сравнение результатов главы 3 с известными результатами. .208 Литература.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ОБЪЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Объектами исследования в диссертации являются:

1) Введенная автором булева усредняющая процедура

00

Un = 8gn(<3j> - Е Ttunt;, (0.1) где <|> - действительное число, (и) и Гт,) (nez, («w; - после дои » вательности действительных чисел. Мы называем применение процедуры (0.1) булевым усреднением. Название процедуры оправдывается следующими соображениями. Можно считать, что на каждом п-м

00 шаге в процедуре (0.1) подсчитывавтся средневзвешенное е f.u

1 = 7 * членов последовательности un2, un3. с весовыми коэффициентами , 72, к3,. я делается попытка ограниченными средствами приблизить средневзвешенное к предписанному значению ф, полагая ип равным (+1), если средневзвешенное не достигает ф, и полагая ип равным (—1), если средневзвешенное превосходит ф.

2) Явление равномерного 2-раскрапшвания. Оно может быть описано следующим образом. Распределим равномерно счетное множество символов + (плюс) на прямой на расстоянии \х друг от друга, и счетное множество символов - (минус) на другой прямой на расстоянии v друг от друга; затем совместим обе прямые. Полученное распределение плюсов среди минусов есть равномерное 2-раскрашивание с числол вращения (долей плюсов в общем потоке символов), равным v/(\i+v). Булева усредняющая система (0.1) описывает поведение некоторых моделей и систем, в которых наблюдается равномерное 2раскрашивание, если положить, что на /i-м месте (пе&) на прямой находится символ + (плюс) при в (0.1) и находится символ минус) при ип=-1 в (0.1).

3) Модели статистической механики, в которых энергия выражается формально определенным гамильтонианом Хаббарда

В » -ф У ut + £ (0-2) teZ *><*

Здесь ип может указывать положительную (ип=1) или отрицательную (ип=-1) направленность спина частицы, занимающей п~е место на прямой; ф - напряженность внешнего поля; энергия взаимодействия частиц на расстоянии ( единиц. В других интерпретациях un может быть указателем наличия (и=1) или отсутствия электрона в п-м ft месте на прямой (ть&г); ф - химическим потенциалом. Эвристические соображения подтверждают, что булева усредняющая процедура (0.1) минимизирует гамильтониан (0.2).

4) Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием (leaky Integration) (рис. 0.1).

Линейный фильтр

Квантователь

Блок усреднения x(t)

Я и п AVg

Рис. 0.1. Аналого-цифровой преобразователь с сигма - дельта модуляцией и неполным суммированием

Импульсный Объект елемент управления Ф л i ИЭ и l(t) г г

Рис. 0.2. Широтно-имоульсная система управления

Здесь un указывает полярность выходного сигнала квантователя на гс-м такте его работы; хп - подлежащий преобразованию аналоговый сигнал; есть последовательность коэф£ициентов в передаточной функции линейного фильтра. Булева усредняющая процедура (0.1) описывает поведение выходного сигнала un квантователя q в аналого-цифровом преобразователе при постоянстве входного аналогового

00 сигнала хп и равенстве ф = хп Z Т{ I

5) Широтно-импульсная система управления с структурой, указанной на рис. 0.2. Здесь и - выходной сигнал импульсного элемента ИЭ, у(t) -импульсная переходная функция (ИПФ) объекта управления. Булева усредняющая процедура (0.1) описывает релейные режимы широтно-импульсных систем, в которых ип указывает полярность управляющего сигнала на n-м такте работы импульсного элемента в релейном режиме; ф - внешний сигнал; есть интеграл от импульсной переходной функции i((t) управляемого объекта по t-му периоду модуляции.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является создание теории булева усреднения и анализ средствами этой теории явления равномерного 2-раскрашивания в моделях статистической механики, в аналого-цифровых преобразователях и в системах управления.

В моделях статистической механики равномерное 2-раскрашивание означает равномерное распределение частиц с спином up среди частиц с спином down (в другой интерпретации - электронов среди дырок) в пропорции, определенной напряженностью внешнего поля (соответственно, химическим потенциалом). В системах управления и в аналого-цифровых преобразователях это означает равномерное распределение положительных импульсов среди отрицательных в пропорции, определяемой внешним сигналом. Наши исследования мы ограничиваем рациональными числами вращения и, следовательно, периодическими процессами в указанных системах и моделях.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Теория булевого усреднения является новым направлением в системном анализе. Результаты, впервые установленные автором в этой теории, таковы: 1) При монотонном убывании и положительности последовательности (yi) периодические конфигурации существуют в булевой усредняющей системе при почти всех значениях переменной ф. 2) Существует однозначная зависимость числа вращения (доли плюсов) в периодических конфигурациях от значения параметра ф; эта зависимость имеет вид канторовой лестницы; эта канторова лестница полна. 3) Все равномерно 2-раскрашенные последовательности символов + (плюс) и - (минус) являются периодическими конфигурациями в булевой усредняющей системе (0.1) 4) Бели последовательность (Ki) выпукла (т.е. 74+г<С7{+7{+2^ Д-пя всех t^N), то только равномерное 2-раскрашенные последовательности плюсов и минусов являются периодическими конфигурациями в булевой усредняющей системе (0.1).

В работе указан двумерный вариант булева усреднения, в котором обнаружено явление, сходное с двойникованием кристаллов.

Вне рамок теории булева усреднения новым в работе является построение совокупности равномерно 2-раскрашеннных слов как компонентов некоторого упорядоченного множества J посредством операции конкатенации (соединения) слов.

В приложениях теории булевого усреднения подучены следующие новые результаты.

1) В моделях статистической механики £82, 59, 71: булева усредняющая процедура (0.1) интерпретирована как процесс минимизации гамильтониана Хаббарда; впервые рассмотрены указанные модели, в которых функции взаимодействия (i(i) свободны от условия выпуклости, в то время как в предшествующих работах Дж. Хаббарда [82]

1978), П. Бака и Р. Брушсмы 159) (1982), С. Буркова и Я. Синая [7] (1963) рассматривались модели только с выпуклыми функциями взаимодействия; доказано существование однозначной зависимости числа вращения периодической конфигурации от химического потенциала даже при наличии неравномерно раскрашенных периодических конфигураций; доказана полнота канторовой лестницы, изображающей эту зависимость (аналогичные утверждения о полноте установлены ранее П. Баком и Р. Бруинсмой, С.Е. Бурковым и Я.Г. Синаем в других моделях и при ограничении выпуклыми функциями взаимодействия); определены понятия самых слабых плюсов и минусов в периодической конфигурации, первыми опрокидывающихся при медленном уменьшении (соответственно, увеличении) химического потенциала; даны алгоритмы поиска самых слабых плюсов и минусов; указана связь между конечными автоматами и исследуемыми моделями с близкодействием; указано существование "упрощенной канторовой лестницы** в случае близкодействия; поведение модели статистической механики с показательной функцией взаимодействия описано с помощью итераций кусочно-линейного отображения прямой в себя.

2) Б аналого-цифровых преобразователях (АЦП) с сигма-дельта модуляцией t34, 64, 66, 71, 72 , 74, 79-81, 84, 104, 122, 1231 с обобщенным неполным суммированием: впервые поставлена проблема периодических конфигураций; доказано существование однозначной зависимости выходного сигнала в периодических режимах от входного аналогового сигнала; показано, что эта зависимость имеет вид канторовой лестницы и эта лестница полна; доказано, что в периодических режимах АЦП появляются все те последовательности плюсов и минусов (а при выпуклости и только те), которые являются равномерно 2-раскрашенными. Впервые указано, какие выходные импульсы квантователя опрокидываются первыми при медленном изменении входного сигнала.

3) В широтно-импульсных системах управления [6, 12-15, 18-20, 22-31, 40, 41, 52-53 , 86, 89, 92-94, 103, 111, 113-116]: впервые показано, что в релейном варианте (при нулевом пороге чувствительности импульсного элемента) эти системы могут работать как аналого-цифровые преобразователи; впервые показано, что область многотактных релейных периодических режимов в пространстве параметров системы с показательной импульсной переходной функцией (ИПФ) образует самоподобную фигуру (фрактал).

Вне рамок теории булевого усреднения в работе впервые указаны области хаотического поведения системы с показательной ИПФ; доказано, что детерминированный хаос появляется при сколь угодно малых периодах модуляции.

В диссертации также впервые дано применение теории булева усреднения к проблеме циклов разрывного кусочно-линейного отображения прямой в себя; показано, что известные результаты Н.Н. Леонова [42] (1959), Дж. Кифера [911(1987), С. Парка и Р. Грея [104] (1992), автора [26] (1992) о существовании и полноте канторовой лестницы для указанного отображения являются простыми следствиями результатов теории булева усреднения. Кроме того, впервые постро-ена самоподобная фигура (фрактал) для бесформульного конструирования канторовой лестницы для кусочно-линейного отображения.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Многократные переоткрытия явления равномерного 2-раскрашивания от работ XIX века до девяностых годов нынешнего свидетельствуют о желательности создания общих теорий для этого явления. Вряд ли может быть дана одна универсальная теория. Но нужда в относительно общих теориях есть, и в диссертации предлагается одна из них - теория булевого усреднения, достаточно адекватно описывающая поведение разнородных систем, в которых наблюдается явление равномерного 2-раскравшвания.

Теория булевого усреднения в статистической механике дает пример применения идей теории управления в физике. Дж. Хаббард (82] в 1978 г. предложил гамильтониан с антиферромагнитным взаимодействием, минимум которого достигается в основных состояниях с равномерным в некотором смысле распределением спинов up и down. Ограничиваясь только случаем выпуклых функций взаимодействия, он описал номенклатуру периодических конфигураций, пере открыв явление равномерного 2-раскрашивания. Естественно, возникла проблема поведения модели при невыпуклой функции взаимодействия. В 1983 году С.Е. Бурков и Я.Г. Синай [7] ввели в рамки математических стандартов постановку задачи о минимизации гамильтониана Хаббарда и доказали полноту канторовой лестницы, с ним связанной. Аналогичные результаты получили П. Бак и Р. Бруинсма. Но и в этих работах не затрагивалась проблема поведения модели при не выпуклых функциях взаимодействия. В диссертации показано, что основные результаты предшественников (существование и полнота канторовой лестницы) в исследуемой модели сохраняются и при функциях взаимодействия, свободных от условия выпуклости.

В аналого-цифровых преобразователях (АЦП) с сигма-дельта модуляцией с 60-х годов исследовалась так называемая идеальная сигма-дельта модуляция С64, 741. С абстрактной точки зрения эта система связана с группой вращений окружности. С конца восьмидесятых годов появились работы американских исследователей Р. Грея (104), Д. Делчампса [1221, Л. Чуа [721 с сотрудниками и других по АЦП с сигма-дельта модуляцией с утечкой. Модель с утечкой оказалась более адекватной реальным АЦП. С абстрактной точки зрения она связана с итерациями кусочно-линейного отображения. И, наконец, в декабре 1993 г. появилась работа Д. Делчампса [711, в которой он рассмотрел модель АЦЯ с некоторым линейным фильтром, передаточная функция H(z) которого может иметь вид

Е (0.3) i-f z или

H(z)= Е ^ , (0.4) z где р есть утечка, (leakage), 0<р<1, или

Е Ь , (0.5)

1=1 zn где (7nJ-произвольная последовательность. Переход от (0.3) к (0.4) ведет от идеальной сигма-дельта модуляции к модуляции с утечкой; переход же от (0.4) к (0.5) является качественно новым шагом, поскольку вводит бесконечную последовательность параметров (Kt) вместо одного параметра - утечки р. Д. Двлчампс не ставил проблему периодических процессов в АЦП с фильтром (0.5). В диссертации же дана полная теория периодических режимов в АЦП указанного вида (мы будем говорить, что в таких случаях имеет место обобщенное неполное суммирование), поскольку теория булева усреднения оказалась адекватным инструментом для решения этой проблемы.

В широтно-импульсных системах управления теория булева усреднения выявляет символическую динамику поведения. В современной теории динамических систем интенсивно исследуются хаос и фракталы. В то же время только считанные работы посвящены символической динамике, хаосу и фракталам в системах управления. Обнаружение и исследование этих явлений отвечает нынешним потребностям науки.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Основная часть диссертации имеет теоретический характер. Созданная автором теория булева усреднения дает единое теоретическое обоснование явлению равномерного 2-раокрашивания в моделях статистической механики, в аналого-цифровых преобразователях и в широтно-импульсных системах управления. Центральные результаты теории булева усреднения - это доказательство существования и полноты канторовой лестницы, связывающей числа вращения периодических конфигураций в усредняющей системе с параметрами системы, а также доказательство единственности периодических конфигураций в случае выпуклой последовательности (К{)-Пример двумерного аналога булевой усредняющей системы указывает на связь булева усреднения с теорией кристаллов. Введение понятий самых слабых плюсов и минусов в периодической конфигурации утончает наше понимание как отдельно поведения исследуемых разнородных систем, так и неожиданных связей между ними.

Часть теории, посвященная системе с близкодействием, дает основание говорить о "памяти" исследуемых в приложениях систем. Теория итераций кусочно-линейных отображений обогащена в диссертации фрактальной структурой, с помощью которой бесформульно строится канторова лестница для таких отображений. Теория периодических процессов в АЦП с сигма-дельта модуляцией и обобщенным неполным суммированием полностью построена автором (для этого просто достаточно было интерпретировать понятия теории булевого усреднения в терминах АЦП). В теории АЦП с сигма-дельта модуляцией автор впервые ввел разграничение поведения преобразователя в зависимости от наличия или отсутствия свойств монотонности и выпуклости последовательности в (0.5). Теория широтно- и ре-лейно-импульсных систем управления пополнена исчерпывающим исследованием фрактальной области многотактных релейных периодических режимов, а также указанием на неизбежность детерминированного хаоса в системе.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В статистической механике модели с гамильтонианом Хаббарда, как указал П. Бак С591, описывают свойства интеркалированных графитов и органических проводников, интенсивно изучаемых в настоящее время в связи с обнаруженной в некоторых из них сверхпроводимостью. Естественно, результаты диссертации, в частности, снятие ограничения выпуклости функции взаимодействия в модели, проясняют ситуацию в этой области статистической механики.

Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией широко применяются в аудиотехнике. Переход от передаточной функции фильтра (0.3) к (0.4) с сохранением основных характеристик АЦП трактуется в работах американских исследователей Р. Грея, Д. Делчампса и Л. Чуа как указание на робастность АЦП с сигма-дельта модуляцией, как толерантность АЦП к несовершенству его компонентов. Доказанное же в диссертации сохранение основных свойств АЦП и при переходе от (0.4) к (0.5) усиливает наши представления об этой робастности и дает основание для конструирования АЦП с заданными характеристиками в широких пределах, ибо изменение счетного множества параметров (7t) в (0.5) дает, естественно/больше возможностей, чем изменение только утечки р в (0.4). Подсказанное теорией булева усреднения качественное разделение АЦП с сигма-дельта модуляцией на АЦП с монотонными последовательностями (когда гарантируется существование канторовой лестницы) и немонотонными (когда ее может не быть) также дает ориентиры в конструировании АЦП. То же касается разделения монотонных последовательностей (ц1) на выпуклые (когда периодические режимы однозначно зависят от входного сигнала) и невыпуклые (когда может не быть однозначной зависимости периодического режима от входного сигнала/но усредненный выходной сигнал все же однозначно зависит от входного). В АЦП с сигма-дельта модуляцией указанные дихотомии введены впервые автором.

В широтно-импульсных системах управления практически денно в диссертации обоснование возможности работы широтно-импульсной системы в релейном режиме в качестве аналого-цифрового преобразователя с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием. Практический интерес представляет вывод о неизбежности хаоса в широтно-импульсной системе, что предупреждает практиков об опасности настройки импульсного элемента на слишком высокую чувствительность.

МЕТОДЫ исследования. В теории булевого усреднения неожиданно плодотворным оказалось применение теории чисел, в частности, результатов, связанных с теоретико-числовой функцией <р Эйлера. Для описаний областей существования периодических конфигураций в булевой усредняющей системе (0.1) автор определил дискретные аналоги импульсно-частотных характеристик (ИЧХ). Ранее автор применя л ИЧХ для исследований периодических процессов в системах управления.

При исследовании кусочно-линейного отображения применен модифицированный вариант метода ренормализации, введенного в теорию итераций отображений Я. Старком [1181, К. Ханиным и Я. Синаем [881. Идеи ре-'нормализации проходят также и в изложении теории равномерного 2- раскрашивания. Работа в основном имеет теоретический характер, но также содержит результаты нескольких численных экспериментов, например, карты периодических режимов и хаоса в широтно-импульсной системе.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации были представлены на Международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук", Международных семинарах "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации", Втором коллоквиуме по дифференциальным уравнениям, Американской конференции по управлению, Второй Европейской конференции по управлению.

Эти результаты обсуждались на семинарах кафедры теоретической кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета, кафедр общих проблем управления, теории вероятностей и функционального анализа Московского государственного университета, а также на семинаре А.Н. Шарковского в Математическом институте Академии наук Украины и на семинарах Института системного анализа РАН.

ПУБЛИКАЦИИ. Все результата работы получены лично автором. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из Введения, трех глав и списка литературы. Каждая из трех глав предваряется аннотацией и историко-литературным введением, а завершается сравнением результатов главы с известными результатами. Диссертация изложена на 224 страницах. Библиография содержит 123 наименования.

1. Алексеев В.М. Символическая динамика. Тр. X1.мат. школы. Киев: Ин-т математики. 1976.

2. Арнольд В.И. Замечания о теории возмущений для задач типа Матье // УМН. 1983. Вып. 4. С. 189-203.

3. Асарин Е.А., Козякин B.C., Красносельский М.А., Кузнецов Н.А. Анализ устойчивости рассинхронизованных дискретных систем. 1,11. М.: Наука. 1992.

4. Берендее Д. А., Куку лиев P.M., Филиппов К. К. Приборы и системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. Л.: Машиностроение. 1982.

5. Берже П., Помо М. и Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир. 1991.

6. Боуэн Р. Методы символической динамики. Под ред. В.М. Алексеева. М.: Мир. 1979.

7. Бурков С.Е. и Синай Я.Г. Фазовые диаграммы одномерных решетчатых моделей с дальнодействукзщим антиферромагнитным взаимодействием // УМН. 1983. Т.38. Вып. 4. С, 205-225.

8. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. 1987.

9. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение. 1966.

10. Венков Б.А. Элементарная теория чисел. М.-Л.: 1937.

11. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука. 1965.

12. Гелиг А.Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. Л.: Изд-во ЛГУ. 1982.

13. Гелиг А.Х., Леонов Г.А. и Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.; Наука. 1978.

14. Гелиг А.Х. и Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейныхимпульсных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1993.

15. Гольц М.Е., Гудзенко А.В., Остреров В.М., Шевченко Б.П., Шпи-глер Л.А. Быстродействующие электроприводы постоянного тока с широтно-импульсными преобразователями. М.: Энергоатомиздат. 1986.

16. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования. М.: Наука. 1971.

17. Джури Е.И. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз. 1963.

18. Заславский А.Я. Основные состояния в модели типа Френкеля-Конторовой// Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1986. Т.50. С. 969-999.

19. Каретный О.Я. и Кипнис М.М. Периодические режимы работы ши-ротно-импульсных систем управления. I, II. // АиТ. 1987 . .№11. С. 46-54. #12. С. 42-48.

20. Каретный О.Я. и Кипнис М.М. Мера инерционности линейного динамического звена // АиТ. 1990. # 7. С. 16-23.

21. Керимов А.А. Об основных состояниях одномерных антиферромагнитных моделей с дальнодействием // Теор. и мат. физ. 1984. Т. 3. С. 473-479.

22. Кипнис М.М., Иванова И.В., Кибешев А.Н., Пак И.И., Рывкина В.А. Карты периодических режимов работы упрощенных моделей широтно-импульсных систем первого и второго рода. Деп. в ВИНИТИ. # 3795 В90. С. 1-28.

23. Кипнис М.М. Фазовые портреты широтно-импульсных систем// АиТ. 1990. # 12. С. 105-115.

24. Кипнис М.М. Карты периодических режимов работы упрощенной модели интегральных широтно-импульсных систем. Деп. в ВИНИТИ. # 1834 В90. С. 1-18. 3

25. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной широтноимпульсной системе управления//Актуальные проблемы фундаментальных наук. Мевдунар. научно-техн. конф. М. 1991. Т. 11. 0. 90-92.

26. Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсной системы управления//ДАН. 1992. Т. 324. * 2. С. 273-276.м

27. Кипнис М.М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтно-импульсной системе управления //Изв. АН. Техническая кибернетика. 1992. # 1. С. 107-112.

28. Кипнис М.М. Локальная устойчивость импульсных систем и устойчивость нулевого решения квазилинейных дискретных уравнений в свертках// АиТ. 1992. Л 3. С. 92-100.

29. Кипнис М.М. Применение дискретных уравнений в свертках для проверки устойчивости периодических процессов в широтно- имt пульсных системах // АиТ. 1992. * 4. С. 86-93.

30. Кипнис М.М. Устойчивость нулевого решения квазилинейного дискретного уравнения в свертках и устойчивость импульсных систем //Устойчивость и колебания нелинейных систем управл. Междунар. семинар. Тезисы докладов. М.: 1992. С. 62.

31. Кипнис М.М. Одномерные модели статистической механики с гамильтонианом Хаббарда и функцией взаимодействия, свободной от условия выпуклости // ДАН. 1994. Т. 336. * 3. С. 316-319.

32. Кипнис М.М. Самоподобие в периодических релейных режимах импульсных систем управления//Устойчивость и колебания не линейных систем управл. Междунар. семинар. Тезисы докладов. Сама ра. 1994. С. 23.

33. Кипнис М.М. Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией и обобщенным неполным суммированием //Челябинский гос. пед. ин-т. Челябинск. 1944. 10 С. Деп. в ВИНИТИ 24.11.-94. » 2698-В94.

34. Клепцын А.Ф. Исследование устойчивости рассинхронизованных двухкомпонентных систем //IX Всесоюзное совещание по проблемам управления. Тезисы докладов. М. 1983. С. 27-28.

35. Клепцын А.Ф. Об устойчивости рассинхрониз^ованных сложных систем специального вида// АиТ. 1985. J64. С. 169-172.

36. Клепцын А.Ф., Козякин B.C., Красносельский М.А., Кузнецов Н.А. О влиянии малой рассинхронизации на устойчивость сложных систем. I, 11,111. // АиТ. 1983. J6 7. С. 44-51. 1984. Л 3. С. 42- 47. 1984. J6 8. С. 63-67.

37. Козякин B.C. О наблюдаемости периодических режимов, возникающих при потере устойчивости положения равновесия. АиТ. 1985. * . С. 42-48.

38. Козякин B.C. Об анализе устойчивости рассинхрониз.^ованных систем методами символической динамики // ДАН СССР. 1990. Т. 311. * 3. С. 549-552.

39. Коршунов A.H. Грубость широтно-импульсных систем, скорректированных по методу компенсации нулей и полюсов непрерывной части // АиТ. 1990. * 12. С. 116-124.

40. Кунцевич В.М.,. Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Техн1ка. 1970.

41. Леонов Н.Н. О точечном преобразовании прямой в прямую // Изв. ВУЗ. Радиофизика. 1959. Т. 2. # 6. С. 942-956.43