Анализ Фурье в комплексной плоскости сингулярных мер тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.стр.

I. Преобразование Фурье меры Кантора-Лебега.

1.1. Мера Кантора-Лебега ¡Лсь и ее преобразование Фурье. Самоподобие и стохастическая природа меры Кантора-Лебега.

1.2. Асимптотика преобразования Фурье меры Кантора-Лебега на мнимой

1.3. Асимптотическое поведение преобразования Фурье меры Кантора

Лебега на горизонтальных прямых в С1.

1.4. Нули преобразования Фурье меры Кантора-Лебега. Флуктуации нулей и Р- числа.

II. Асимптотика и нули преобразования Фурье финитной меры с «сингулярностью Кантора-Лебега».

2.1. Класс мер >ШС1. Асимптотика преобразования Фурье меры

Л е Жсь на лучах = ф, (р ^ О, П.

2.2. Верхняя асимптотическая граница для последовательности нулей преобразования Фурье мер из класса *ЖС1. Точность верхней асимптотической границы.

III. Анализ Фурье самоподобных фрактальных мер.

3.1. Самоподобные фрактальные меры и их преобразования Фурье.

3.2. Асимптотика преобразования Фурье самоподобной фрактальной меры на мнимой оси.

3.3. Интегральная асимптотика преобразования Фурье самоподобной фрактальной меры на горизонтальных прямых в С1.

IV. Анализ Фурье стохастических моделей, порождающих фрактальные меры.

4.1. Случайные ряды с независимым равновероятным и марковским способом расстановки знаков.

4.2. Преобразование Фурье суммы случайного ряда с марковским способом расстановки знаков.

4.3. Нули преобразования Фурье суммы случайного ряда.

4.4. Анализ Фурье случайных рядов с независимым неравновероятным способом расстановки знаков.

Диссертация посвящена исследованию некоторых классов сингулярных мер на вещественной оси в терминах преобразований Фурье этих мер, а также приложениям полученной информации в задачах аппроксимации функций экспонентами на оси и вопросах стохастического анализа, возникающих в задачах суммирования случайных величин.

Хорошо известно лебеговское разложение любой меры Лебега-Стилтьеса на оси на три составляющие: дискретную, абсолютно непрерывную и сингулярную ([21, стр. 357], [29, стр. 18]). Анализ Фурье первых двух составляющих, т.е. исследование свойств преобразования Фурье в комплексной области, к настоящему времени продвинут достаточно далеко, чему способствовали задачи теории дифференциально-разностных уравнений [3], теории почти-периодических функций [22], [23], теории функций периодических в среднем [24]-[28], [56]-[61], теории тригонометрических рядов [2], [14], теории вероятностей [29], [37]. В противовес этому анализ Фурье сингулярных мер весьма беден, более того, автору неизвестны работы, касающиеся исследований свойств преобразований Фурье сингулярных мер в комплексной плоскости.

Исследования, касающиеся свойств преобразований Фурье сингулярных мер в действительной области, группируются вокруг проблемы единственности разложения функций в тригонометрические ряды [2, Гл. XIV] , в связи с чем обратим внимание на теоремы Пизо [79, СЬ. VI, р. 64] и Салема [79, СЬ VI, р. 73] (см., также, [14, Т. 2, Гл. XII, с. 220]), описывающие асимптотическое поведение преобразования Фурье меры Кантора-Лебега на вещественной оси. Другим значительным результатом является теорема Ивашева-Мусатова (см., напр, [20, стр. 174]) о скорости убывания коэффициентов Фурье сингулярных мер, в которой устанавливается, что ряд из их квадратов может расходится в определенном смысле как угодно медленно.

Интерес к исследованию сингулярных мер оживился в последние два десятилетия. Сначала обратим внимание на работу B.C. Владимирова и И.В. Воловича [7], в которой в контексте изучения гауссовой модели статистической физики авторы обращают внимание на следующую проблему: « . термодинамика системы определяется только абсолютно непрерывной частью меры и не зависит от ее сингулярной части. Интересно было бы выяснить, в какие характеристики системы дает вклад сингулярная составляющая меры». С другой стороны в 1975г. В. Mandelbrot ввел в науку термин «фрактал». Понятие фракталов вошло в сознание математиков, физиков и других ученых в 1983г., когда была опубликована книга В. Mandelbrot'a «The fractal geometry of nature» [85], в которой введенное понятие фрактала используется для описания широкого круга физических объектов и явлений (см., также, [66]). В настоящее время под фракталом понимается множество, размерность Хаусдорфа (DH) которого больше топологической размерности (DT). Часто добавляется требование самоподобия или самоаффинности. К примеру, канторово п троичное множество на прямой имеет L)H —-, броуновская кривая на

1пЗ плоскости - DH = 2, кривая Коха - DH = -——, «ковер» Серпинского

In 4

1пЗ

In 8

Dh=^Z [64].

1пЗ

В нашей работе мы будем иметь дело, во-первых, с сингулярными мерами, носитель которых фрактал канторовского типа - совершенное нигде не плотное множество с постоянным отношением разбиения G ^0, У^ (гл. I, гл. IV); во-вторых, с сингулярными мерами, носители которых можно назвать фракталами Салема (гл. III, IV) (в терминологии [79] эти множества называются «ensembles parfaits homogenes» и «ensembles parfaits symétriques»). В дальнейшем такие меры будем называть фрактальными мерами. В работе [96] R.S. Strichartz отмечает: «I believe that the fractal measure, rather than the fractal set, should play the leading role in fractal geometry, and that functions like the Fourier transform of Cantor measure should be regarded as the «special functions» associated with this area of mathematics.»^

Важно заметить, что анализ Фурье сингулярных мер необходимо требует создания процедур построения сингулярных мер или их функций распределения. Эта необходимость диктуется трудностями, связанными с интегрированием экспоненты по сингулярной мере. В связи с этим Ш.1 гл. I является в определенном смысле ключевым, так как представленное здесь свойство самоподобия меры Кантора-Лебега, а также ее «скрытая стохастичность», лежат в основе самоподобных фрактальных мер (гл. III) и стохастических моделей, порождающих сингулярные фрактальные меры (гл. IV). «Я полагаю, что фрактальная мера, скорее чем фрактальное множество, сыграла бы ведущую роль в фрактальной геометрии, и что функции типа преобразования Фурье канторовской меры могли бы быть рассмотрены как «специальные функции» этой области математики.» 8

Структура диссертации.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях, школах, семинарах:

1) 7й, 8й, 9й всероссийских школах по теории функций и приближений (Саратов 1994,1996,1998 г.г.)

2) Международной конференции по комплексному анализу (Уфа, 1996г.)

3) Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева (Нижний Новгород, 1997г.)

4) Международной конференции «Теория приближений и гармонический анализ» (Тула, 1998г.)

5) Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти чл.-корр. АН СССР Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 1998г.)

6) Воронежской зимней математической школе «Современный методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 1997г.)

7) 14м Международном семинаре по проблемам устойчивости стохастических моделей (Суздаль, 1991г.)

8) 3 й, 4й Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам (Туапсе, 1996; Уфа, 1997)

9) семинаре по комплексному анализу в Институте математики УНЦ РАН, руководитель чл.-корр. РАН В.В. Напалков (1993, 1999 г.)

10) семинаре по теории функций в МЭИ, руководитель проф. A.M. Седлецкий (1994 г.)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [38] (в соавторстве), [39], [40], [41], [42], [43], [44], [46], [50], [52], [53], [54], [55], [91], [92].

Краткое содержание отдельных глав диссертации.

Диссертация состоит из шести глав, включающих соответственно 4, 2, 3, 3, 2, 3 параграфов. Нумерация формул, равно как теорем, лемм, определений и др., использует три позиции: первое число - номер главы, второе - номер параграфа, третье - порядковый номер внутри параграфа. Глава I.

В первой главе проводится исследование свойств меры Кантора-Лебега и ее преобразования Фурье.

В §1.1 в контексте анализа классической процедуры построения канторовского множества Е^ CI \—G, й\ с постоянным отношением разбиения ^ G ^0, j/^j и функции Лебега строящейся по этому множеству и являющейся функцией распределения фрактальной меры (в дальнейшем, эта мера называется мерой Кантора-Лебега и обозначается jUcL) отмечается, во-первых, свойство самоподобия jilcL :

1 1

Mc-L (А) = ^Vc-L Ш + -Mc-L ($2 'Ш (1-1-2)

А - борелевское подмножество отрезка [—<2, а\,

S{.x —-а(1-<£); S2:x+a(l-g), х е[-о,а].

Термин самоподобия меры, по всей видимости, появился впервые в применении к фрактальным мерам и введен Hutchinson'oM в 1981г. [77].

Используя свойство самоподобия меры ¡Лсь мы получаем удобную формулу для ее преобразования Фурье df а оо

L(z) = ¡eiztd^(t) = flcosa(l-^kz. (1.1.3)

-а к=0

Представление преобразования Фурье в виде (1.1.3) позволяет взглянуть на меру ]ИСЬ с иной точки зрения, вскрывая ее стохастическую природу. Рассмотрим случайный ряд оо

1.1.4) к=0 в котором знаки расставляются равновероятно и независимо. Пусть Л (2)' соответственно сумма, функция распределения, вероятностное распределение и характеристическая функция (преобразование Фурье /И8) ряда (1.1.4). Поскольку ^ (г) = Ь(г), то в силу теоремы единственности для функций распределения [29] имеем ^(х)з^(х) => Мз =Мс-ь

Итак, вероятностное распределение суммы ряда (1.1.4) есть в точности мера Кантора-Лебега. В этом и состоит стохастическая природа меры

Ис-ь

Обобщение свойства самоподобия меры //с£ лежит в основе определения класса самоподобных фрактальных мер (гл. III), а ее стохастическая природа позволяет создать стохастические процедуры построения сингулярных мер на канторовском множестве Е^ , которые в гл. IV названы как стохастическое выметание и стохастическая перестройка меры Кантора-Лебега на Е^.

§1.2, §1.3 (сюда примыкает также теорема 2.1.2 гл. II) посвящены исследованию асимптотических свойств преобразования Фурье меры Кантора-Лебега.

Теорема 1.2.1. Пусть /Лсь - мера Кантора-Лебега на и Ь(г) ее преобразование Фурье. Тогда для \у\>к,, ЗН > О,

0» и ЬГе"м, Г = 7^. (1.2.1) о |1п£|

Аналогичная асимптотика устанавливается для Ь{£) и на лучах

Теорема 2.1.2. Пусть - мера Кантора-Лебега. Тогда для г где = х + 1у.\у\>Л\х\,\у\>у0,Зу0>0\, имеем

Сл\уГеаМ<\Ц2)\<С2\уГеаЫ, (2.1.5)

1п2 Г 4 ,

1п£| V |1п£| )

Как видно теорема 2.1.2 не охватывает ситуации, когда Z — X, X е К1.

Это и неудивительно, т.к. на действительной оси Ь(х) ведет себя весьма нерегулярно (см. рис. 1, 2). Относительно асимптотического поведения имеет место следующий результат (теоремы Пизо и Салема [79, СИ.

VI]):

Ь(х)-/> 0 при |х|—» оо тогда и только тогда, когда 0 = ^ 1 - число Пизо. Аналогичный результат справедлив для любой горизонтальной прямой ту. Но в интегральном смысле преобразование Фурье меры Кантора-Лебега на горизонтальных прямых имеет хорошие асимптотические свойства, а именно, пусть

Уу(Я) = ]\Ь(х + 1у)\Чх. (1.3.1) о

Теорема 1.3.1. Для \/у Е^О,^ тл /оч и о И- 1x12

К (Л) г,Г = -—- (1.3.2)

7 П 11п

Аналитическим ключом в доказательстве теоремы 1.3.1 является представление Ь{£) в виде (1.1.3), из которого для функции V {К) мы получаем соотношение скейлинга (нормировка — = 1): й

V, т = + 28Ь0 + £ / совМЩ/ + ,

2 2 о анализ которого позволяет получить асимптотику (1.3.2).

В §1.4 исследуется структура последовательности нулей Ь(г). Сейчас

П 1 удобной является нормировка -= 1. В связи с этим для

2<я(1 множества нулей А получим: со

А = 0Л(*} (1.4.2) к= 1

Л<*> = {Я^ = вк(2т + 1),\т\ = ОД,. ;в= }. (1.4.3)

Имея точное аналитическое описание (1.4.3) множеств , мы с точки зрения (1.4.2) не имеем пока никакой информации о Л, как-то: возможны ли кратные точки и каково асимптотическое поведение кратностей; обладает ли А свойством отделимости и т.д. Ответы на эти и другие вопросы об асимптотических свойствах последовательности Л мы получим, исследуя эффект образования в интервалах фиксированной длины

S> 0 скоплений из П (ri> 1) точек, принадлежащих различным Будем говорить, что последовательность А обладает F-свойством, если lim[N0 +1) - N(t)] = оо. (i.4.5) t-*co

Здесь N(t)

- считающая функция последовательности Л. Наша задача заключается в том, чтобы охарактеризовать те значения параметра ^, для которых Л обладает F-свойством. При обсуждении этой проблемы мы будем предполагать, что Е (ОД), наделяя задачу самостоятельным теоретико-числовым интересом.

Разобьем действительные числа интервала (0,1) на три подмножества:

1) £ еА{, если является алгебраическим числом степени Г > 2 и единственный неприводимый над полем рациональных чисел многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является ^ (назовем его определяющим многочленом для £), имеет вид:

•(х) = а0хг - с^х .-аг (1.4.6) а0 > 0,аг * 0, За,. * 0 (1 < i < г -1). если £ является алгебраическим числом степени

Г> 1, определяющий многочлен которого имеет вид:

Р(х) = а0хг - аг (1.4.7) aQ >0,аг ^0.

Заметим, что Л2 принадлежат все рациональные числа интервала (0,1)приГ=1. 3) £ Еу43, если ^ - трансцендентное число.

Теорема 1.4.1.

Пусть ^ . Тогда для того чтобы последовательность Л обладала ^-свойством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия: \)CIq нечетное число; (1.4.8)

2)среди (Xi, 1 < / < Г, есть хотя бы одно нечетное число. Теорема 1.4.2.

Пусть Тогда для того, чтобы последовательность Л обладала F-свойством, необходимо и достаточно, чтобы а 1 ,к=1,2,. (1.4.9) aQ 2 к

Теорема 1.4.3.

Пусть ^ е А3, т.е. трансцендентное число, тогда последовательность

А обладает ^-свойством.

Таким образом, теоремы 1.4.1, 1.4.2, 1.4.3 дают полное описание F-свойства последовательности А в терминах алгебраической структуры параметра £ Е (ОД).

1. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука,1984.

2. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1951.

3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

4. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

5. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир,1985.

6. Винер Н., Пэли Р. Преобразования Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964.

7. Владимиров B.C., Волович И.В. Об одной модели статистической физики// ТФМ. 1983. Т. 54. №1. С. 8-22.

8. Гапошкин В.Ф. Лакунарные ряды и независимые функции. // УМН. 1966. Т. 21. Вып. 6. С. 3-82.

9. Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М. Л.: ГИТТЛ, 1940.

10. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.

11. Гренандер У., Сегё Г. Теплицевы формы и их приложения. М.: ИИЛ, 1961.

12. Губреев Г.М. Спектральный анализ оператора дифференцирования и условие Макенхоупта// ДАН СССР. 1984. Т. 278. №5. С. 1052-1056.

13. Губреев Г.М. О периодических в среднем продолжениях функций// Функц. анал. и его прилож. 1986. Т. 20. Вып. 1. С. 67-68.

14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1,2. М.: Мир, 1965.

15. Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: ИИЛ, 1961.

16. Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. М.: ИИЛ, 1963.

17. Кацнельсон В.Э. О расположении в комплексной плоскости нулей преобразования Фурье//ДАН СССР. 1966. Т. 171. №2. С. 272-274.

18. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. M.: ГИФМЛ, 1958.

19. Кашин Б.С., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

20. Кисляков C.B. Классическая проблематика анализа Фурье. В кн.: «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 15 (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР)». М., 1986. С. 135196.

21. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

22. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. M.: ГИТТЛ, 1956.

23. Левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953.

24. Леонтьев А.Ф. О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1965. Т. 29. №2. С. 269-328.

25. Леонтьев А.Ф. Ряды Дирихле, последовательности полиномов Дирихле и связанные с ними функциональные уравнения. В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ. 13. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1975. С. 555.

26. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. M.: Наука, 1976.

27. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.

28. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука, 1983.

29. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979.

30. Макаров Б.М. и др. Избранные задачи по вещественному анализу. М.: Наука, 1992.

31. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т. 1,2. М.: Наука, 1967.

32. Никишин Е.М. Об одном свойстве сумм независимых величин// Матем. заметки. 1974. Т. 16. №5. С. 703-706.

33. Никишин Е.М. Ряды Дирихле с независимыми показателями и их некоторые применения//Матем. сб. 1975. Т. 96. №1. С. 3-40.

34. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига. М.: Наука, 1980.

35. Никольский Н.К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций. В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ. 12. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1974. С. 199-412.

36. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 1. М.: Наука, 1978.

37. Рамачандран Б. Теория характеристических функций. М.: Наука, 1975.

38. Рябинин A.A. О некоторых свойствах случайных рядов// Матем. заметки. 1979. Т. 25. №2. С. 311-315 (соавт. Антонов С.Н.)

39. Рябинин A.A. Вероятности больших уклонений в одной схеме суммирования зависимых случайных величин// В кн.: Проблемы теории вероятностных распределений. XI. (Зап. научн. семинаров ЛОМИ. Т. 177). Л.: Наука, 1989. С. 138-144.

40. Рябинин A.A. К обобщению задачи Штейнгауза о сходимости рядов со случайными знаками// В кн.: Исследования по математической статистике. IX (Зап. научн. семинаров ЛОМИ. Т. 184). Л.: Наука, 1990. С. 248-259.

41. Рябинин A.A. Ряды со случайной расстановкой знаков// Теор. вероятн. и ее примен. 1991. Т. 36. №4. С. 806.

42. Рябинин A.A. Об одном аналитическом свойстве марковской зависимости// В кн.: Вопросы аппроксимации в комплексных областях. Н.-Н.: Изд-во ННГУ, 1992. С. 45-51.

43. Рябинин A.A. О росте на мнимой оси преобразования Фурье меры Кантора-Лебега// В кн.: Фундаментальные проблемы математики и механики. Математика. М.: Изд-во МГУ, 1994. С. 49-51.

44. Рябинин A.A. Асимптотика и нули преобразования Фурье-Стилтьеса финитных мер Кантора-Лебега// Докл. АН. 1995. Т. 342. №6. С. 742-743.

45. Рябинин A.A. О флуктуации нулей преобразования Фурье меры Кантора-Лебега// В кн.: Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 8-й Саратовской зимней школы. С.: Изд-во СГУ, 1996. С. 95-96.

46. Рябинин A.A. Самоподобные фрактальные меры и задача о периодическом в среднем продолжении в классе С//В кн.: Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 9-й Саратовской зимней школы. С.: Изд-во СГУ, 1997. С. 140-141.

47. Рябинин A.A. Симметрические свертки Бернулли и системы нераспространения спектрального синтеза в I? II В кн.: Третья Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов. М.: Изд-во ТВП, 1996. С. 145-146.

48. Рябинин A.A. Преобразование Фурье в комплексной плоскости фрактальной меры// В кн.: Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы. В.: Изд-во ВГУ, 1997. С. 147.

49. Рябинин A.A. Свертки Бернулли в негармоническом анализе на оси// В кн.: Четвертая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. Тезисы докладов. М.: Изд-во ТВП, 1997. С. 399-400.

50. Рябинин A.A. Анализ Фурье фрактальных мер канторовского типа// В кн.: Тезисы докладов международной конференции «Теория приближений и гармонический анализ». Тула: Изд-во ТГУ, 1998. С. 228-229.

51. Рябинин A.A. О задаче периодического в среднем продолжения// Докл. АН. 1998. Т. 358. №5. С. 597-599.

52. Рябинин A.A. О системах нераспространения сходимости квазиполиномов//Матем. зам. 1998.Т.бА. febin.5". С.72Ъ~73Ъ

53. Рябинин A.A. Некоторые вопросы суммирования в схеме Изинга// В кн.: Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара. М.: ВНИИСИ. 1987. С. 79-82.

54. Седлецкий A.M. О функциях, периодических в среднем// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1970. Т. 34. №6. С. 1388-1412.

55. Седлецкий A.M. О разрешимости одного интегрального уравнения с начальным условием// Дифф. ур. 1975. Т. XI. №12. С. 2283-2285.

56. Седлецкий A.M. Об одном классе биортогональных разложений по показательным функциям// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1977. Т. 41. №2. С. 393-415.

57. Седлецкий A.M. Распространение сходимости квазиполиномов// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44. №5. С. 1131-11-49

58. Седлецкий A.M. Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси// УМН. 1982. Т. 37. №5. С. 51-95.

59. Седлецкий A.M. О нулях преобразований Фурье финитной меры// Матем. зам. 1993. Т. 53. №1. С. 111-120.

60. Синай Я. Г. Теория фазовых переходов. М.: Наука, 1980.

61. Титчмарш Е. Теория функций. M.-JL: ГИТТЛ, 1951.

62. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.

63. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1966.

64. Фракталы в физике: Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия, 9-12 июля, 1985). М.: Мир, 1988.

65. Функциональный анализ/ под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1972.

66. Хавин В.П. Методы и структура коммутативного гармонического анализа. В кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 15. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1987.

67. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 1980.

68. Beurling A., Malliavin P. On the closure of characters and the zeros of entire functions//Acta Math. 1967. V. 118. P. 79-93.

69. Billingsley P. The singular function of bold play// Am. Sci. 1983. V. 71. P. 392-397.

70. Cartwright M. The zeros of certain integral functions// Quart. J. Math. 1930. V. l.P. 38-59.

71. Delsarte J. Les fonctions «moyenne-periodiques».// J. Math. Pures et Appl. 1935. V. 14. P. 403-405.

72. Dubins L.E., Savage L.J. How to gamble if you must. N.Y.: McGrow Hill, 1965.

73. Falconer K.I. The geometry of fractal sets. N.Y.: Cambridge University Press, 1985.

74. Hill E., Tamarkin J.D. Remarks on known example of monotone continuous function//Am. Math. Mouthly. 1929. V. 36.P. 255-264.

75. Hutchinson J.E. Fractals and self-similarity// Indiana Univ. Math. J. 1981. V. 30. P.713-747.

76. Jessen B., Wintner A. Distribution functions and the Riemann Zeta function// Trans. Amer. Math. Soc. 1935. V. 38. P. 48-88.

77. Kahane J.-P., Salem R. Ensembles parfaits et series trigonométriques. Paris: Hermann, 1963.

78. Kerschner R. On singular Fourier transforms// Amer. J. Math. 1963. V. 58. P.450-453.

79. Kerschner R., Wintner A. On symmetric Bernoulli convolutions// Amer. J. Math. 1935. V. 57. P. 541-545.

80. Langer R.E. On the zeros of exponential sums and integrals// Bull. Amer. Math. Soc. 1931. V. 37. P. 213-239.

81. Levinson N. Gap and density theorems. N.Y., 1940.

82. Luxemburg W.A.J., Korevaar J. Entire functions and Müntz-Szasz type approximation// Truns. Amer. Math. Soc. 1971. V. 157. P. 23-37.

83. Mandelbrot B. The fractal geometry of nature. San Francisco: W.H. Freeman, 1982.

84. Newman Ch.M. Inequalities for Ising Models and Field Theories which obey the Lee-Yang Theorem// Comm. Math. Phys. 1975. V. 41. P. 1-9.

85. Newman Ch. M. An extension of Khintchine's inequality// Bull. Amer. Math. Soc. 1975. V. 81. №5. P. 913-915.

86. Newman Ch. M. Zeros of Partition Function for Generalized Ising System// Comun. Pure and Appl. Math. 1974. V. XXXVII. P. 143-159.

87. Polya G. Uber die Nullstellen gewisser ganzer Functionen// Math. Z. 1918. Bd. 2. S. 352-383.

88. Rodin V.A., Semyonov E.M. Rademacher series in symmetric spaces// Analysis Math. 1975. V.l. P. 207-222.

89. Ryabinin A.A. On the zeros of the Fourier transforms of Cantor-Lebesgue measures// Analysis Math. 1996. V. 22. P. 213-228.252

90. Ryabinin A.A. Asymptotical behavior of the Fourier transform of the Cantor-Lebesgue measure// East J. on Approx. 1997. V. 3. №1. P. 13-20.

91. Salem R. On some singular monotonie functions which are strictly increasing// Trans. Amer. Math. Soc. 1943. V. 53. P. 427-439.

92. Salem R. Sets of uniqueness and sets of multiplicity// Trans. Amer. Math. Soc. 1943. V. 54. P. 218-228; 1944. V. 56. P. 32-49.

93. Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques// Ann. Math. 1947. V. 48. №4. P. 857-918.

94. Strichartz R.S. Self-Similar Measures and Their Fourier Transforms. Ill Indiana Univ. Math. J. 1990. V. 39. №3. P. 797-817.97. -Titchmarsh E. The zeros of certain integral functions// Proc. London Math. Soc. 1926. V. 25. P. 283-302.

95. Verblunsky S. On an expension in exponential series// Quart. J. Math. 1956. V. 7. №27. P. 231-240.

96. Wiener N., Wintner A. On singular distributions// J. Math. Phys. 1939. V. 17. P. 233-246.