Некоторые типы сингулярных интегральных операторов на плоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

^Му.-

МЕРКУЛОВ АЛЕКСЕЙ СЕРГЕЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА ПЛОСКОСТИ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 ОКТ 2014

Санкт-Петербург 2014

005553048

Работа выполнена на кафедре математического анализа математического факультета ФГБОУ ВПО «Российский государственна педагогический университет им. Л.И. Герцена» .^рстьеш.^

Научный руководитель

Широков Николай Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор,

заведующий кафедрой математического анализа'

ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Официальные оппоненты:

Коточигоз Александр Михайлович доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики №2 ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный электоотсхнический университет <ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)»

Васин Андрей Васильевич кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики ФГБОУ ВПО «Государственный университет морского ¡1 речного флота имени адмирала С.О. Макарова»

Ведущая организация

ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет»

Защита состоится ¿0 Л0_ 2014 года в Щ. часов „а заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в ФГБУН Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сай^е ФГБУН

Санкт-Петербургского отделения Математического института

им. В.А. Стеклова Российской академии наук, Шр//*%у%'.р<1гш.га8.ги/

Автореферат разослан 0<3 2014 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.01

доктор физико-математических наук ' Ала заЯцрв

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Развитие теории функций побудило ввести и изучить важные сингулярные интегральные оператор« иесверточного типа. Первый пример подобных операторов рассмотрел Кальдерой. В работе [2] доказано, что соответствующий оператор действует из пространства ЬР(Ш.) в пространство ¿/(И). Случай прямой оценки в норме ЬР(Ж) рассматривался также в работе [1|. Затем Койфман и Менер в [3], а также Койфмап, Макинтош и Менер в [1] обобщили определение оператора Кальдерона.

Важность изучения подобных операторов связана в случае прямой и с одним из возможных подходов к оценке интеграла типа Коши

для кривых Г, являющихся графиками функций, удовлетворяющих условию Липшица, хотя впервые такая оценка была получена Кальдероном Щ без применения коммутаторов.

Аналоги коммутаторов Кальдерона для комплексной плоскости были определены в работе [6], в ¡¡ей же была доказана ограниченность этих операторов в норме Ь*(€), 1 < р < х. Оказывается, что такие операторы ограничены и во всех весовых пространствах №{&) с весом о>. удовлетворяющим на плоскости условию Макенхаупта Ар. Эти результаты можно использовать для опенки некоторых сингулярных интегральных операторов специального вида.

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию вопроса ограниченности сингулярных интегральных операторов, аналогичных коммутаторам Кальдерона, на комплексной плоскости в весовых пространствах 1/(ы) с весом ш, удовлетворяющим на плоскости условию Макенхаупта.

Методы исследований. В работе применяются сильные результаты гармонического анализа.....оценки интегральных операторов с весами, удозле-

г

творяющими условию Макеихаупта. а также приемы анализа разработанные автором, позволяющие воспользоваться имеющейся теорией.

Основные результаты.

Получены весовые оценки сингулярных интегральных операторов на комплексной плоскости для весов, удовлетворяющих условию Макеихаупта. При этом сингулярные интегральные операторы оказываются несверточяого типа, что исключает получение для них оценки в I? с помощью преобразования Фурье.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут использоваться в других задачах, связанных с оценкой сингулярных интегральных операторов, аналогичных коммутаторам Кальдерона, на комплексной плоскости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по теории операторов и комплексному анализу в ПОМИ РАН в 2013 году.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работы в журнале из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на 11 параграфов, изложена на 57 страницах. Список литературы включает 9 названий.

Содержание работы

Первая глава посвящена изучению коммутаторов Кальдерона на комплексной плоскости в весовом пространстве IJ'iuj). Главной целью является обобщение результатов, полученных в [С] па случай веса, удовлетворяющего условию Макеихаупта.

В первом параграфе даются основные определения. Пусть V(z) - ком-плекенозначная функция, определенная па комплексной плоскости л удовле-

творяющая соотношению

те .г,.: г :;. (*)

Вес ы > 0, определенный на комплексной плоскости €, называют удовлетворяющим условию Макенхаупта ЛР, 1 < р < сс. если для любого круга В

справедливо неравенство

где а - плоская мера Лебега, \В\ - площадь В, а, = СгДы).

Рассмотри';,! оператор = р

f>0

где спС) - плоская мера Лебега в С, / е Щи).

Фиксируем <5 > II и обозначим через измеримую функцию на С. для которой c(z) > 5. Определим операторы:

•X

где Л - комплексное число. (А| < w взято аз условия (*). Основным результатом этого параграфа является оценка

J IIW,Iiz)f^iz)daiz) < I \f(z)f^iz)dau).

f ¡ViC > ^ J {—ГГ-)

Второй параграф содержит формулировку теоремы 1 и ее доказательство, основанное па связи между операторами Т^.)^ и Ьдд.к*, которая позволяет оценить сначала а потом и следующим образом:

Вторая глава содержит щшмшеше полученных результатов к оценке операторов специального вида.

Пусть и - вес на плоскости, удовлетворяющий условию Макевхаупта, 17(;) - комплекснозначная функция, определенная на комплексной плоскости и удовлетворяющая соотношению (#), / € ¿^(ь.')- Для целой функции

Р{г) = а о + ^ апг-п рассмотрим оператор

и его частный случаи

|<—г!>е

В первом параграфе формулируются следующие утверждепия. Теорема 2. Справедлива оценка

где М(2\-;) = шах ''¡'{г}\

Следствие. Для оператора Р~ верно

Второй параграф посвящен изучению вспомогательных операторов Рг и Рг.г, определенных следующим образом:

■"г.

(С ~ г)

Третий параграф завершает доказательство, используя полученные оценки для вспомогательных операторов;

\\PrJb» < ДВДсмнли 1|л/1и- < (-'ИЛ

В третьей главе происходит обобщенно понятия коммутатора Кадьдсрона. В первом параграфе рассматривается случай двух функций Щ;) а Х'гСг), таких, что 1-2 = Это приводит к рассмотрению нового оператора

5:Лг) =

ШС)-1"(с)|2- ло

^<7(0

(С-г)2" (С - -г)2

для которого формулируется теорема 3 с соответствующей оценкой

Во втором параграфе определяются вспомогательные операторы

|2п

Ми( А, ,»)(*) =

____№МС)_

(« + то + »ПО) -(* + АУ(-) +

а также доказывается оценка

с

Третий параграф содержит завершение доказательства теоремы 3 основанное на связи между операторами н Л//)£(Л,/4), которая используется для последовательного получения оценок для и 5**.

В четвертой главе получает дальнейшее развитие идея обобщения коммутаторов Кальдерона на случай нескольких функций

Первый параграф описывает ситуацию с четырьмя функциями, удовлетворяющими соотношению

Тогда соответствующий оператор будет иметь вид вир /

В этом случае также удается получить оценки для нормы V* с помощью рассмотрения дополнительных операторов Ль А-_>, Л3, Л4) и илл связанных с и*_. Если опенка для (г, Аь Л2, А?„ АО с очевидностью следует ш третьей главы, то соответствующие результаты для сформулированы в качестве леммы, доказательство которой вынесено в отдельный параграф. Далее формулируется к доказывается теорема 4 для оператора Щ с оценкой

\WJWv* < h(p,co)nt tog(n + 1))|

I'W«-"

Второй параграф полиостью посвящен доказательству леммы для Г/,,.,. Основной результат имеет вид

и получается при помощи связи между операторами 5/.е(г, Аь ,\2. Аз- А*) и

В третьем параграфе описываются частные случаи для ране!:; изученных операторов. После нескольких тривиальных примеров рассматриваются более сложные ситуации для функций V'(^) = и W(z) - e^'WI, но наиболее интересным представляется случай Vs(z) — r\^'(z), где V3 определены на замкнутых множествах Е, меры ноль (Ег — Ei,Ei = re(z) — dUi(z\E). Тогда при услошш

ВД = r]f (z). Щ=) = Vt(z), V3(z) = ВД = V3(z)

оценки для операторов U* и 5* выглядят следующем образом:

КЛи < h(р,Oj)32!!ni log(n + l)|:/i[p^

ilC/IU. < Ьф.^Ш'Чг! login + DII/IU-Завершает работу рассмотрение случая

V[z) = ф)1+«гй»

где г (г) = dist(z; Е), Е ~ замкнутое множество меры ноль, ip(a) веществен-нозначная функция, удовлетворяющая условиям:

Н«}| < Ou «#'(<*) bg«l <С2,а> 0.

В этой снхуации оценка для S* примет вид

IISÎ/IU < MiMV,)Cfn? login + ljll/U,

где C\ =

Список литературы!

1. Beuedek A., Panzone R., Continuity properties of the HUbert transform, J. Fursc, Anal.. 7, N2, 217 234, 1971

2. Cakieron A.P., Commutators of singular intégrai operators, Proc. Mat. Acad. Sci., 53, 1092 1099, 1965

3. Coifutan R.R., Meyer Y., Le double commutateur, Anal. Harm. D'Orsay, N180. 1976

4. Coifman R.R., Mcintosh A.. Meyer Y., L'intégrale de Cauchy définit un operateur borne sur L2 pour les courbes lipsehitziennes, Ann. of Math., 116, 361387. 1982

5. Calderon A.P., Cauchy integrals ou Lipschitz curves and related operators, Proc. Nat. Acad. Sei., USA, 74, 1324-1327, 1977

G. Широкой H.A.. Оценки a LP[C) некоторых сингулярных интегральных операторов. Изв. АН Арм. ССР. XV, N1, 63 76, 1980

Публикации по теме диссертации

1. Меркулов A.C., Широков H.A., Весовые оценки коммутаторов Кальде-рона на комплексной плоскости. Вестник СПбГУ, 1, N3, 48-54, 2010

2. Меркулов A.C., Широков H.A.. Применение весовых оценок коммутаторов Кальдерона, Вестник СПбГУ, 1, N2. 52 57, 2012

3. Меркулов A.C., Сингулярные интегральные операторы, аналогичные коммутаторам Кальдерона, Вестник СПбГУ, 1, N1, 91-96, 2013