Регуляризованные следы и спектральные асимптотики обыкновенных дифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1 Регуляризованные следы краевых задач в случае кратных корней характеристического полинома

1.1 Формальные решения. Диаграмма Пюизо.

1.2 Формальные решения в случае двукратных корней характеристического полинома.

1.3 Асимптотические разложения фундаментальной системы решений.

1.4 Характеристический определитель краевой задачи.

1.5 Дзета-функция, ассоциированная с функцией Д(А)

1.6 Аналитическое продолжение дзета-функции

Z(a) во всю сг-плоскость.

1.7 Регуляризованные суммы корней функции Д(А).

1.8 Регуляризованные следы для краевой задачи второго порядка

1.9 Двукратное разложение по собственным функциям краевой задачи второго порядка в случае кратного корня характеристического полинома.

Дополнение.

2 Следы для одного класса сингулярных операто

2.1 Характеристический определитель оператора

2.2 Асимптотическое разложение характеристического определителя при Л-^оо.

2.3 Асимптотический ряд для собственных значений

2.4 Дзета-функция Z(a).

2.5 Метод Лидского-Садовничего аналитического продолжения дзета-функции Z(a)

2.6 Дефект регуляризации в случае простейших краевых условий

Дополнение.

3 Концентрация спектра для одного семейства сингулярных операторов

3.1 Асимптотика производной спектральной меры р(А, г) оператора L(e) при А<

3.2 Асимптотика //(А, г) при А>

3.3 Дельтаобразное семейство р' (X, е) на отрицательной полуоси

3.4 Концентрация спектра семейства операторов L(e)

В 1953 г. И.М. Гельфанд и Б.М. Левитан [17] получили формулу

00

Е (*» - -2) = 4 п=1 где {Ап}?(^11 - собственные значения задачи Штурма-Лиувилля:

-у"+ 9 {х)у = ^У, у(0) = у(<к) = 0, д(х) - вещественная дифференцируемая на отрезке [0,7г] функция,

7Г причем j g(x)dx = 0. о

Формула (1) стала называться регуляризованным следом оператора Штурма-Лиувилля и послужила источником многочисленных работ. Л.А. Дикий [22], [23] и И.М. Гельфанд [18] для оператора Штурма-Лиувилля вычислили регуляризованные следы всех порядков, т.е. суммы вида

00

А™-Лт(п)), (2) п—1

Ат(п) - вполне определенные числа, предъявляемые по асимптотике собственных значений \п по степеням п при п —> сю и обеспечивающие сходимость рядов.

Л.Д. Фаддеевым и B.C. Буслаевым [8], [9], [89] получены формулы следов для сингулярных операторов с непрерывным спектром.

С. Хальберг, В. Крамер, Р. Гильберт [19]-[21] получили формулу

00 оо

Ап - Цп) = (ВсРп> <Рп) , (3) п—1 П = 1 оо

При условии, ЧТО ряд (в<рп, </?„) СХОДИТСЯ. Здесь Ц\ < < • • •

- собственные значения с учетом кратности самосопряженного ограниченного снизу оператора А , действующего в гильбертовом пространстве Н , а • • • соответствующая этим собственным значениям последовательность ортонормированных собственных векторов, А2 < А2 < . . - собственные значения с учетом кратности самосопряженного ограниченного снизу оператора С , причем операторы А и С имеют одинаковую область определения

Д4И В = С-А.

Так, для оператора А = ——г , действующего в пространстве ахг

•¿[0,71-] на функции, удовлетворяющие краевым условиям

2/(0) = з/(7г) = 0, собственные значения ¡лп = п2 , нормированные собственные функции (рп(х) = у^этих . Пусть, как и ранее, Ап - собственные значения оператора 9, с1х у(0) = »М = 0, где д(х) - дифференцируемая на [0,7г] функция, среднее значение которой на этом отрезке равно 0 . Оператор В является операоо тором умножения на функцию д(х) . Тогда ряд [дфп, <рп п—1 сходится [2-3], причем ч ^(0) +^(тг) {9<Рп, 4>п) =--^п=1 и формула (3) переписывается в виде (1).

Если А - регулярный оператор Штурма -Лиувилля в гильбертовом пространстве Ь2[0,7г] , а В - оператор умножения на вещественную дифференцируемую на [0, тг] функцию д(х) , причем

7Г оо д{х)(1х = 0 , то ряд ^ (В(рП1 срп) сходится и находится его п= 1 0 сумма [19] [21].

Р.Ф. Шевченко [94], [95] вычислил сумму разности собственных значений для несамосопряженных операторов А и А + В , задаваемых дифференциальными выражениями на отрезке [0, 1] п ¿п

-,--1- д(х) соо тветственно хп с1хп и одинаковыми регулярными краевыми условиями [52]. 1

Функция д(х) достаточно гладкая и J д[х)(1х — 0 . Тогда о

0(1)+ <7(0

У^ (Ап — дП/ п=1

Для сингулярных операторов Штурма-Лиувилля сумму разностей собственных значений вычислили М.Г. Гасымов и Б.М. Левитан [15], [16]. Пусть А - полуограниченный самосопряжённый оператор в 1у2[0,+сю) , заданный на полуоси выражением

1(у) =-у" + ч{х)у, 9(х)еС(И+) (2.3) и закрепленным граничным условием имеет дискретный спектр ¡лГ1 , п = 1,2,., В - оператор умножения на вещественнозначную функцию д(х) , причём о

Со(М+) - множество непрерывных, финитных на М+ функций.)

Обозначим через Хп спектр возмущённого оператора А + В . Тогда

А.Г. Костюченко [31] вычислил регуляризованные следы (2.5) для полуограниченных дифференциальных операторов высших порядков, при этом предполагалось, что возмущение д(х) удовлетворяет условиям (2.4).

В 1967 г. В.Б. Лидский и В.А. Садовничий [1] предложили метод вычисления регуляризованных сумм корней ^ , £ = 1,2,3,. целой функции ¡(г) , принадлежащей классу К:

2.4)

2.5) П n оо г-юо, к= 1 1/=0

1/=0

Регуляризованные суммы корней функции /(г): оо явно вычисляются через параметры асимптотики f(z) , Вт{£) -отрезок в асимптотическом представлении z™ по степеням i при t —оо , обеспечивающий сходимость ряда.

К изучению корней целых функций класса К приводят наиболее общие краевые задачи на отрезке. А именно, рассмотрим краевую задачу на отрезке [0, 1] , порождаемую дифференциальным уравнением dnv dn~1v dn~2v Pl(x' + P2{x> +'''+ Pn(x'X)y = 0 (u) и краевыми условиями п-1

Щу, Л) = £МА)^'>(0) + МЛ)/?)(1)1 = 0 , г = М . (1.2) з=о

Спектральный параметр Л £ С входит в уравнение (1.1) и краевые условия (1.2) полиномиально: а

Ра{х, А) = ^Р0/3(:г)А0Л а = ~Т/п , (1.3) о а^-(А) , - многочлены по А , при этом предполагается, что при каждом фиксированном А краевые условия (1.2) линейно независимы, Paß(x) - достаточно гладкие на отрезке [0, 1] функции.

В классической теории таких краевых задач, заложенной в работах Биркгофа Г.Д. [4], [5], Тамаркина Я.Д. [72] и Лангера P.E. [35] и продолженной в работах Келдыша М.В. [29], [30], Наймарка М.А. [52], Ильина В.А. [25]—[27], Лидского В.В., Садовничего В.А. [1], [2], Хромова А.П. [92], [93], Моисеева Е.И. [48], Шкаликова A.A. [96], [97], предполагалось (за исключением отдельных случаев, о которых будет сказано ниже), что характеристический полином по Тамаркину [72]

ПИ = + Р10шп-г + • • • + P*,un-a + • • • + Рп0 (1.4) не имеет кратных корней. Тогда характеристический определитель Д(А) , нулями которого являются собственные значения задачи (1.1)—(1.2), принадлежит классу К .

Поэтому регуляризованные следы (2) краевых задач (1.1)—(1.2), при условии простоты корней характеристического полинома (1.4), вычисляются по формулам (4) регуляризованных сумм корней целой функции класса К .

Мы снимаем условие простоты корней характеристического полинома (1.4).

В общем случае кратных корней ., шп полинома (1.4) фундаментальная система решений уравнения (1.1) имеет более сложные, чем в случае простых корней, асимптотические разложения в некоторых бесконечных областях комплексной плосткости А .

Отметим, что и в случае кратных корней возникают ситуации, когда фундаментальная система решений уравнения (1.1) имеет такие же асимптотические разложения как и в случае простых корней. Так, например, в известном уравнении Орра-Зоммерфельда [3] характеристический полином (1.4) имеет один корень = О кратности два и два однократных корня а^/2 = ■ Однако асимптотическое разложение фундаментальной системы решений не содержит дробных степеней спектрального параметра А в показателях экспонент (см. (1.5)). Поэтому характеристический определитель А (А) краевой задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда принадлежит классу К .

Рассмотрению краевых задач (1.1)—(1.2) вне зависимости от кратности корней характеристического полинома (1.4) посвящена первая глава настоящей работы.

В работах Тржитзинского В. [77] и Территтина X. ([79], теорема 1) построены п независимых формальных решений уравнения и дан алгоритм нахождения параметров kj £ N , £lji(t) , o-Jly(x) разложения (1.7). Для нахождения асимптотики собственных значений , I = 1, 2, . краевой задачи (1.1)—(1.2) необходимо, чтобы формальные решения (1.7) уравнения (1.1) являлись асимптотическими решениями при А —> ос в неограниченных областях, и эти области покрывали внешность круга достаточно большого радиуса с центром в начале координат.

Наложим следующее

Условие 1. Параметры > j = , i = kj — 1 в формальном представлении (1.7) решений уравнения (1.1) являются постоянными.

Установить постоянство параметров üJt в терминах коэффициентов Ра[з{х) уравнения (1.1) позволяет приведенный в первой главе алгоритм построения формальных решений (1.7) с использованием диаграмм Пюизо. Так, например, если коэффициенты Pai , а = 1,п являются постоянными и кратность корней полинома Щбо») не превышает двух, то условие 1 будет выполнено. Тогда каждому простому корню ш полинома П(о;) отвечает формальное решение

1.1):

1.7)

ОО у(х, А) = е*А* а каждому двукратному корню с^о отвечают два независимых формальных решения уравнения (1.1) (утверждение 1.1):

1 ОС и=0 оо

У2(хА) = и=О где 2 \ 1/2

При условии 1 во внешности круга |А| < Щ , Дд - достаточно большое положительное число, существует конечное число простых гладких кривых (р - полярный угол, /т - некоторый интервал), причем ш(^) —+00 при (р —(рт , <р € 1т (Теорема 1.1).

Эти кривые Фт , т = 1,М (см. Рис. 11) разбивают внешность круга |А| < Яо на конечное число неограниченных замкнутых областей 5т , т = 1, М (см. Рис. 12). В каждой области Бт формальные решения (1.7) уравнения (1.1) являются асимптотическими и справедлива

Теорема 1. 3. В каждой области , т = 1, 2, ., М существует фундаментальная система решений уШ1(ж, А) . Ут2(ху А) . . , Утп(х1 А) уравнения (1.1) такая, что

Лг / Л \ г оо ут](х,Х}~ем:>т (- + Ц-(А)) (1.13)

Л —у оо , A G Sm , i = 1, 2, ., п .

Из асимптотического разложения фундаментальной системы решений (1.13) уравнения (1.1) следует, что характеристический определитель Д(А) задачи (1.1)—(1.2) является целой функцией первого порядка, имеющей асимптотическое представление во всей плоскости при А —у оо:

Н h-]0 xh-l

A(A)~^V=o ^ (3Ík), (1.14) к—1 v=0 где h - наименьшее общее кратное чисел к^, . ., кп , £ Z , fe? ^ ^ ? Аз^ 0 ~ параметры асимптотики функции А(А) , определяемые через коэффициенты дифференциального уравнения (1.1) и краевых условий (1.2).

Характеристический определитель Д(А) не принадлежит классу К . Однако метод Лидского-Садовничего [1] введения дзета-функции, ассоциированной с классом К , можно распространить и на целые функции Д(А) , имеющие асимптотические представления (1.14). Дзета-функция, ассоциированная с функцией Д(А) , вводится с помошью интеграла

Z(a) = — [ Rea > 1, (1.17) v 7 2тTiJ Д(А) , v ; г где Г - некоторый контур на римановой поверхности л/А , и многозначная функция А~а определяется фиксированной ветвью логарифма, регулярной во внешности контура Г . Дзета-функция Z(a) аналитически продолжается во всю a-плоскость как целая функция, причем

Z(-h)=kw»h' Р = °' 2' ••• ' коэффициент асимптотического разложения

А € Г, А -> оо , (1.16)

Д'(А)

Д(А) m л h — v

4 } = v = 0, . h- 1. h

Нули Л^, £ = 1, 2, 3, . функции Д(А) асимптотически при больших номерах I располагаются в секторах ES1 s = 1, ., М раствора 2ё каждый, е > 0 - достаточно малое, биссектрисами которых являются критические направления arg А = ф3 (следствие 1.3). Для установления формул (4) регуляризованных сумм корней функции Д(А) нужна детальная информация об асимптотике нулей А^ , а именно необходимо получить явные выражения Вт{£) , обеспечивающие сходимость ряда (4). Для нулей функций класса К возникает ситуация [63], при которой получение асимптотических формул для нулей А^ по степеням £ принципиально невозможно. Это приводит к необходимости получения формул ре-гуляризованных следов с помощью теории возмущений. Поэтому, распространяя теорию Лидского В.Б. и Садовничего В.А. [1] на более широкий класс целых функций, чем класс К , будем считать выполненным следующее

Условие 3. Для корней А£ = 1, 2, 3, . функции Д(А) , лежащих в секторе ES1 s = 1, ., М , справедливо асимптотическое представление где а3 - некоторое не равное нулю комплексное число, ms

Xns ~ asnms п —оо

1.19) k=1 nms натуральное число, полиномы относителъно Inп степени k — h + 1 при k>h и нулевой степени при 1 < к < h — 1 .

Справедлива

Лемма 1. 4. При Reer > 1 I где h, <т = 0, ±1, ±2, .

Л(СГ) = < е-2тг/г^ 2

I —-—:-. в остальных точках.

К е~2™1 - 1 '

Возведем асимптотическое соотношение (1.19) в степень —а , по формуле Тейлора получим (1.20

V k=i nms J где k-h+l

Q{s](oMn)= e 4tV)b n и щ?1(сг) - полиномы относительно а степени к .

Для фиксированного натурального т заключаем, что функция

00 м / Е Е п=1 S=1 i-a I , , V^ <3tS)(ö,lnn)

А„т - 1 + E k=1 nms

1.21) допускает аналитическое продолжение в полуплоскость т + 1

Rea >---— + i. h

В асимптотической формуле (1.19) конечное число нулей функции Д(А) могут оказаться непронумерованными или же, наоборот, может оказаться избыток целочисленных индексов в конечном числе. В случае, когда оказываются непронумерованные корни, они включаются в сумму (1.21). Так как их конечное число, то они не влияют на существование аналитического продолжения Фт(а) . Если имеется избыток целочисленных индексов в (1.19), то в сумме (1.21) A~SCT , снабженные избыточными индексами, считаются нулями. Поэтому в (1.21) поставлен штрих над знаком суммы. Рассмотрим функцию + , (1-22) п = \ S = l V к= 1 nms ! регулярную при Re а > 1 .

Из соотношения (1.21) и леммы 1.4 при Rea > 1 имеем

Отсюда следует, что функция Фт(сг) аналитически продолжается как мероморфная функция в полуплоскость т + 1

Rea >-----Ь 1, h и значения Фг(о") выражаются через (-функцию Римана и ее производные. Вычисляя значения Фт(о") по формуле (1.23) при сг = 0, —1, —2, . , мы доказываем основную теорему первой главы т + 1

Теорема 1. 5. При любом целом т < —---1 справедливы равенства оо м

Е'Е n = 1 5=1 т

Лпз hm a™nms а, т. Е к=1 к—hm

П ms J

1) ш+1)/г

Фт(-гг1 где ^(^+1)/?. ~~ К0ЭФФиииенты разложения в (1.16), Фт(—ш определяются через (-функцию Римана и ее производные, as - коэффициент при главном члене в асимптотике (1.19), Qk\—т, Inn) - полином относительно Inп в представлении 1.20

Иллюстрацией теоремы 1.5 служит краевая задача второго по рядка с кратным корнем характеристического полинома (1.4):

0 - 2А^ + {ф) - А + А2) у = 0 , (1.25 dx

3/(0) = 2/(1), 2/(0) = 2/(1),

Р(Ж) ес°°[о, 1].

Характеристический полином (1.4)

П (и) = ш2-2и + 1

1.26 имеет корень = 1 кратности 2 .

Собственные значения краевой задачи, начиная с некоторого, простые, образуют четыре серии, причем для этих серий справедливы асимптотические разложения при к —> +оо 1

00 J1]

Хк1 ~ 2тiik + Vbrik + - + }

U=1 l 00 k2 ~ 2nik - у/ЪНк + - + > u=1 л т

-27тгк + у/-21\ък + - + У^ ос [з] V

1/=1

Чь ки/2 л. 1 оо [4] м ~- + ^ + £ ^ , и=1 коэффициенты г/1. , у — 1, 2, . последовательно определяются по рекуррентным формулам, причем 1

I т>1 \ 1 ) I / ч - 1

2л/2 Щ И 1 иг

5-1

Р№-~ I , г = 1,2, Г]11] = '¡¡1 , =

87гг

V1 р{г) I ^щм - ^ 1

2\ 5 = 1,4

0 0 \0 Дефект регуляризации н , т.е. целое число, равное недостатку или избытку собственных значений краевой задачи, равен 2. Поэтому, при заданном способе нумерации два собственных числа окажутся непронумерованными. Формула регуляризованного следа первого порядка имеет вид: оо 4 к/

ЕЕ

1 2 т и к1/' 1 к=1 з=1 где а\ = а<2 — 27гг, аз = оц = — 27гг.

Асимптотическое разложение фундаментальной системы решений (1.13) уравнения (1.1), полученное в теореме 1.3, позволяет установить базисные свойства системы собственных и присоединенных функций задачи (1.1)-(1.2). Если характеристический полином П(ы) не имеет кратных корней, то базисные свойства системы собственных и присоединенных функций хорошо изучены в

G(x,£, л)| < a g гдг работах [4], [5], [И], [29], [30], [45], [54], [83]—[85] [92], [93], [96], Обратимся к краевой задаче (1.25)—(1.26).

В А-плоскости построена расширяющаяся система контуров^ Г]у, на которых функция Грина А) задачи (1.25)—(1.26) имеет равномерную по х и £ , 0 < х < 1 , 0 < £ < 1 оценку: С где С - некоторая положительная постоянная. Из этой оценки функции Грина методом контурного интегрирования получается двукратная разложимость функций в равномерно сходящийся на [0, 1] ряд по собственным функциям задачи (1.25)—(1.26).

Теорема 1. 6. Пусть функции f(x) , д(х) удовлетворяют следующим условиям:

1) f(x) е С4[0, 1] , g(x) g С3[0, 1]

2) функции }{х), }'(х), }"(х), д(х), д'{х), cp(x)f(x) удовлетворяют краевым условиям (1.26).

Тогда справедливо разложение пары функций f(x) и д(х) в равномерно сходящийся на отрезке [0, 1] ряд

00 cy, и= 1 где

1 /"п

9{X)J -у \Л»УЛх), к} №)ш<%+}ш - 2/'(о - кошт

0 0 (Л 7 аи =-----, (1.7

2А„ - 1) / уШ,Ш - 2 / уЖ*Л№ о о уи(х) и ги(х) - собственные функции задачи (1.25)—(1.26) и ей сопряженной, отвечающие собственным значениям Хи и Хи соответственно.

Причем разложение пары функций /(ж) и д(х) в равноме]^И сходящийся ряд (1.76) единственно. ^

Теорема 1. 7. Если разложение пары функций /(ж) и д(рс) в ряд

Кх)\ ( \ д{х)) равномерно сходится на отрезке [0, 1] . то оно единственно, т.е. Д, = аи .

В дополнении к главе 1 приведены результаты, уточняющие базисные свойства системы собственных функций краевой задачи (1.25)-(1.26), полученные в теоремах 1.6, 1.7. Эти результаты получены совместно с Е.П. Богомоловой и опубликованы в работе [106].

Вычисление регуляризованных следов (2) сингулярных дифференциальных операторов с дискретным спектром является трудной задачей. Для вычисления суммы ряда (2) необходимо получить точные асимптотические равенства для собственных значений, что является следствием асимптотических разложений при больших значениях спектрального параметра фундаментальной системы решений дифференциального уравнения. Некомпактность области определения дифференциальных операторов или особенности коэффициентов дифференциального уравнения приводят к сложной асимптотической структуре при |А| —у оо фундаментальной системы решений. Однако для некоторых классов сингулярных дифференциальных операторов эту трудность удается преодолеть.

В.А. Садовничий [61] впервые вычислил регуляризованные следы всех порядков (2) для сингулярных операторов в ¿2[0,7г]: р(х) - финитная в окрестности нуля и достаточно гладкая функция, V > 1 . В этом случае используется метод дзета-функции оператора, который основан на асимптотике фундаментальной системы решений при Л —оо и полных асимптотических разложений для собственных значений.

Отмеченные трудности в вычислении регуляризованных следов (2) для широкого класса сингулярных операторов удается преодолеть, если рассматривать регуляризованные следы с точки зрения теории возмущений линейных операторов.

Во второй главе исследуется сингулярный дифференциальный оператор в пространстве О, сю) , порождаемый выражением п - произвольное натуральное число, и общими краевыми условиями в точке х = 0 , фиксирующими самосопряженное расширение: кщ т = 1, п , ато = 1, кп < кп-\ < • • • < к\ < 2п . (2.2) Если в уравнении на собственные значения

2пу

2.1) г-=0

2.1') сделать замену переменной

А — х гу. (2.7 то придем к уравнению

12пу ¿г2п

В работе [78] Тржитзинский показал, что плоскость г можно разбить на конечное число секторов, в каждом из которых существует фундаментальная система решений уравнения (2.7) со специальной асимптотикой при г —ь сю: оо у,{г) ~ сУ^ ехр(У„) саУ~а, ц = -п + 1, ., п , (2.9)

6=0 где = ещЯ^г/п) ,г = \ + п- ^^, Со = 1,

2п + 1 2 2п + 1 постоянные с, с5, 5 = 1, 2, 3, . определяются формальной подстановкой разложения (2.9) в уравнение (2.7) и приравниванием коэффициентов последующих степеней г к 0.

Для определенности дальнейшего рассмотрения ограничимся случаем четного п . Нас интересуют решения из £2(0,00) по переменной х . Поэтому в силу произведенной замены Л — х = г мы должны из 2п решений у^г) , ¡1 — —п + 1, ., п выбрать те решения, которые имеют отрицательные действительные части в показателях экспонент У^(г) при отрицательных £ . Это будет

71 71 выполнено, если ¡1 = —, .,--1 . Гогда характеристический

2 2 определитель Д(А) оператора (2.1)—(2.2) имеет вид

Д(А) =

Щу-пр), ЩУ-п/2),

• СМг/п/2-1

• и2{уп/2-1 ип{У-п/2), ••• Кг(Уп/2-1)

2.11

Рассматриваемый оператор является полуограниченным снизу и поэтому, чтобы получить асимптотическое разложение для собственных значений, нужно знать асимптотику целой функции Д(А) при А —у ос и А £ Я , где 5 - некоторый сектор, содержащий положительную часть действительной оси. Для этого выразим функции п п линейными комбинациями (коэффициенты линейной комбинации выражаются через множители Стокса [80]) другой фундаментальной системы решений уравнения (2.7), которая в секторе 5 имеет асимптотическое разложение (2.9). Из асимптотического разложения определителя Д(А) при А —)► оо , А Е 5 методом итераций [53] получим асимптотический ряд для собственных значений

А[2п+1)/2п-(2П + 1)тгА;/2П +

2п +1 / 1 п \ °° т=1 / з=1

Далее, этот асимптотический ряд возведем в степень — 2па/(2п + 1) для любого а Е С , получим теорему:

Теорема 2. 1. Для любого комплексного числа а справедливо асимптотическое разложение для собственных значений оператора (2.1)—(2.2) ((2п + 1)тгк/2п)~2п<Т^2п+1^ ^ + £ Ък-*^ , (2.18)

VI = ( п--^^ кт ~ 3/2 ) а/(2п + 1) , т=1 / и коэффициенты г]3 . 5 = 2,3,. последовательно выражаются через параметры асимптотики фундаментальной системы решений (2.9) и коэффициенты краевых условий (2.2).

Методом Лидского-Садовничего аналитического продолжения дзета-функции, ассоциированной с характеристическим определителем Д(А) рассматриваемого оператора, вычисляем регуляризо-ванные следы всех порядков:

Теорема 2. 2. Для любого натурального г и любого целого га, 0 < т < (2п + \)г/2п справедливы равенства: оо к=1 т

Лк

2п + I \ 2пт/(2п+1) Т

2п

-7Г С п+\)—3

5 = 1 71+2пш/(2п+1) - ^ ~ 2пга/(2п + 1)),

5 = 0 где

6 = Ъ

271+1 2ггт/(2п+1)

-7Г

2тг у

7/о = 1, т/5, 76. - коэффициенты асимптотических разложений (2.19) ы (2.18).

Если самосопряжённое расширение оператора (2.1) задается простейшими краевыми условиями

2/(0) = у'(0) = ---=2/("1)(0) = 0, то дефект регуляризации >с равен нулю. Поэтому при больших к в сколь угодно малой окрестности числа

2 п

2п + 1 \ и 2п

-71 1

2 п ) находится к-ое собственное значение, и для рассматриваемого оператора штрих над знаком суммы в теореме 2.2 можно убрать. Формула первого следа имеет вид

00 Е к=1

А*

2п + 1

-71

2п/(2п+1)

2 п J к2п/(2п+1) , (П ~ 2)П

V 2(2r¿ + 1 k-l/(2n+l)

2п + 1 И 2п/(2п+1)

2 п J С

2 п п — 2)п „ Л, с i

2r¿ + 1 / 2(2n + l

2n + 1

В дополнении к главе 2 приведены формулы регуляризованных следов для возмущения дискретного и полуограниченного оператора в гильбертовом пространстве Н . Результаты, изложенные в дополнении к главе 2, получены совместно с В.В. Дубровским и опубликованы в работах [104], [105].

Третья глава посвящена возмущению

Ку) = ~У"{Х) ~ £х>'у(х) , е > 0, 7=1,2,

2/(0) eos а + у (0) sin а = 0 , а £ М. оператора d2

L(0) := <¡ dx2 y( 0) cosa + ?/(0) sin a = 0 , действующего в пространстве ^[0, сю) .

Спектр оператора Ь(е) , е > 0 , непрерывный и заполняет всю действительную ось М . В этом случае спектральная мера оператора р(А,е) имеет непрерывную производную при всех А £ К. , которая связана с функцией Вейля-Титчмарша га(А, е) оператора Ь(е) соотношением: 1тш(А, е р'(\8)

71

3.3

Ограничимся случаем ctg а > 0 и будем исследовать поведение р'{\,е) на всей оси при в —> +0 .

Известны общие теоремы Б.М.Левитана и В.А.Марченко ([38], гл. II, [39], гл. II, [43], гл. 2, §4) об оценках р(А, е) при А —> ±оо считается, что произведена нормировка р(0) = 0 ): о(ехр(—ад/Щ)), (А —> —со) Va > 0, 5

Р(А) - р{-оо) = {

2л/А cosa . . /л N г- + —+ о !) А -> +оо . sin2«

7г эт "а

Предельный случай £ = 0 был исследован Титчмаршем в работе 76]. Оказалось, что ч/А р^д 0)— < ^(A sin2 a + cos2 а) ^(A-Ao)

А > 0, А < 0,

Sin CK где ó - дельта функция Дирака, Aq = — ctg2 а .

Титчмарш нашёл явное представление функции mi(A,e) при £ > 0 в случае 7 = 1 . Он установил [76], что при всех А Е К , А т^ 0 sin a — y/XH^liAi) cos а Щ1' (Ai) cos a + y/XH{i (Ai) sin a где

А, =2А3<,7(Зг); А3/2 = —А|3/2, у/\ = г\\\1'2 при А < О,

Нр1^ - функции Ханкеля 1 рода. Если 7 = 2 , то функция Вейля-Титчмарша Ш2(А,е) оператора имеет следующее представление при 1тЛ > 0:

1 гЛ \ | ¿Л еТШ - Т7-) та + 2е?Г(| - -М-) сова т2( А,е)= 14 4 а где Г(а) - гамма-функция.

Это явное представление функции ?тг2(А, е) в силу формулы (3.3) позволяет установить следующую теорему

Теорема 3. 2. При 7 = 2 для любых А £ М и е > 0 справедливо тождество

Ч\ Л 1 2у{А2)еЬ

71 {и^а?) сое а — 2^4 эт о:)2 + у2(а2) соб2 а где у/2 Г(| - гЛ2) ' у/2 Га-гА2)'

А.Ю. Попов [122], [117] уточнил оценки (5) для спектральной меры р(А, е) при отрицательных Л оператора Ь(е) , установленные Б.М. Левитаном и В.А. Марченко в общем случае непрерывного вещественного потенциала q(x) .

Следующая теорема устанавливает характер сходимости р[ (А, е) к р7(Л, 0) при £ —> +0 на положительной части действительной оси

Теорема 3. 4. Для разности Я^Х^е) = р[(А,е) — р'(А,0) на положительной полуоси справедливы следующие утверждения:

1) При любом е > 0 при X —у +оо имеем Я^Х^е) = 0(Х~2) .

2) Существует постоянная сз > 0 ; эффективно зависящая от а (т.е. она явно выражается через параметр а), такая, что при е £ (0, сз) справедливы оценки

Д1(Л,е) =0 (еЛ"2) , Л> 1,

Д1(Л,е) = 0 (еЛ-1) , < X <1

111(\,е) = 0(е з ,

О < Л < £3

3.13а

3.136

3.13в

Для разности А, е) = р'2(\у£) — //(А,0) на положительной полуоси выполняются следующие оценки

Теорема 3. 5. Существует постоянная с4 эффективно зависящая от а такая, что при £ £ (О, С4) справедливы оценки

ШКе) = I

Л > 1 д/еЬ- < Л < 1

О , 4у^< А < у/ЕЫ^,

О^1/4), 0 < Л < 4:л/Е .

Введем следующие обозначения: / = [2Ао, Ао/2] и,е = [Лт(£) - ^ МЮ + > > 0 > 7 = 1,2.

Ограничимся такими положительными (1 , чтобы 1]£ С I . Поведение р/1(А,£)и //2(А,е) на "критическом" отрезке / описывает

27

Теорема 3. 6. При любом d > О справедливы оценки р[(А, е) = О (d~2 exp f-4(~0A)3/2) V при A G > £ ^ +0

Зе

3.31 р2(А, е) = О I d 2 exp

7Г А при X е I\Ide , £ -> +0.

3.32

Если ехр ctg3 а Ъе d< то

2 ctg а dpi[\,e) = v9 +0(g), sin а 1 d,e

3.33^ если exp ctg2 а d<t то pf2(\e)dX

2 ctg а sin2 а 0(e

3.34)

Обозначим через Сал (а > 0, 7 = 1, 2) пространство функций F(x) , непрерывных на (—оо,0] , для которых выполнено предельное соотношение lim F(x) exp (— а\х\~^) =0. ж->-оо \ )

Пространство Сал становится банаховым пространством с нормой

4—7'

F||a?7 = max F(x) exp ( — a\x\~^

Через С*7 , как обычно, обозначим пространство всех линейных непрерывных функционалов на Сал . Пусть 1\ - произвольный фиксированный отрезок на отрицательной полуоси, и Л0 является внутренней точкой этого отрезка. Рассмотрим банахово пространство С(1\) непрерывных на Д функций Р(х) с нормой тах \ Р(х) \ . Н

Из теоремы 3.3 следует

Следствие 3. 1. Для любого а > 0 справедливо включение

Следствие 3. 2. Семейство функционалов р' {\,е) , 7 = 1, 2 сходится при е +0 в пространстве С* к т.е. семейство функций р' (\,е) является дельтообразным семейством на отрицательной полуоси).

Следствие 3. 3. Семейство функционалов р' [А,е) £ С*(1\) сходится при е —+0 к //(А,0) равномерно на любом компакте К С С{1\) .

Для рассматриваемого самосопряжённого оператора Ь(е) по основной спектральной теореме существует единственная оператор-нозначная функция (спектральный проектор) Е£х действительного параметра Л , при этом V/ Е Ь2[0, +оо) [38] и

Kf = / f{\)4>{x,\,e)dp\(\,e), оо а функция /(Л) является пределом в среднем квадратичном в

Ь2(М., с/р7(Л,е)) последовательности непрерывных функций ([86]) п

Ш = J }{х)ч>{х,\,е)(1х , о

-Ьоо

Hm / (/(A)-/„(A))2dp7(A,£) = 0.

ПЧ-00 J -00

Функция /(ж) представляется в виде интеграла по спектру оператора L(£): п +оо f(x) = lim / f(\)ip(x,\,£)dp7(\}£)= / f(\)ip(x,\,e)dpi(\,e)

L2(R+) n^co J J n —oo

3.28

Для любого борелевского множества 93 С М спектральные проекторы Е£(*3) определены в Х2[0, +ос) по правилу = I /(А )ф,\,е)йр,1(\е).

93

При £ > 0 положим (Ао - л/^, А0 + V^) и 0) , =

Теорема 3. 7. Для любой функции / Е 1у0,+оо) в случае 7=1 справедлива оценка

Следовательно, весь отрицательный спектр семейства , £ > О "сгущается" при е —»■ +0 вокруг нуля и точки Ао , т.е. отрицательный спектр сконцентрирован в сколь угодно малой окрестности спектра невозмущённого оператора Ь(0) .

Все результаты диссертации опубликованы в 14 работах, две из которых выполнены совместно с А.Ю. Поповым.

Результаты диссертации докладывались:

• на Международной конференции " Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (совместные заседания семинара имени И.Г. Петровского и Московского математического общества), МГУ, 1991 г., 1993 г., 1994 г.,1995 г.,1996 г., 1998 г.,

• на Международной школе по теории операторов (Г\¥ОТА 95), ФРГ, Регенсбург, 1995 г.,

• на Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, 1996 г.,

• на 4-ом Симпозиуме по математическому анализу и его приложениям, Югославия, Аранделовач, 1997 г.,

• на 17-ой Международной конференции по теории операторов, Румыния, Тимишуара, 1998 г.,

12(К+) < Сб^ехр + +ос) с постоянной с§ , эффективно зависящей от а . Поэтому для любой функции / с 1/2[0, +оо)

• на Международной конференции, посвященной девяностолетию со дня рождения Л.С. Понтрягина, Москва, 1998 г.,

• на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения IX", Воронеж, 1998 г.,

• на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения X", посвященной 60-летию со дня рождения В.А. Садовничего, Воронеж, 1999 г.

• на Крымских осенних математических школах-симпозиумах по спектральным и эволюционным задачам, с 1993 года по 1999 год,

• на 10-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения", 2000 г.

• на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XI", Воронеж, 2000 г.

Результаты работы докладывались на семинарах: академика РАН В.А. Садовничего, академика РАН В.А. Ильина, чл.-корр. РАН Е.И. Моисеева и профессора A.A. Дезина, профессора В.Б. Лид-ского, профессоров А.Г. Костюченко и A.A. Шпаликова, чл.-корр. РАН П.Л. Ульянова и чл.-корр. РАН B.C. Кашина, профессора А.И. Прилепко, профессора А.Л. Скубачевского, на семинаре профессора Р. Билса (США, Йельский университет).

Автор благодарит руководителей указанных семинаров за обсуждение результатов работы, высказанные замечания и предложения, способствовавшие улучшению работы.

Особенно я благодарен своему учителю В.А. Садовничему за по

1. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функциональный анализ и его приложения, 1967, т.1, №2, с. 52-59.

2. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Математический сборник, 1968, т. 75 (117), №4, с. 558-566.

3. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Формулы следов в случае уравнения Орра-Зоммерфельда // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1968. т. 32, вып. 3, с. 633-648.

4. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solutions of the certain linear differential equations containing parameter // Trans Amer. Math. Soc., 1908, vol.9, p. 219-231.

5. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ord. 1. dif. eq. // Trans.Amer. Math. Soc., 1908, vol.9, p. 373-395.

6. Баскаков А.Г. Метод подобных опреаторов и формулы регу-ляризованных следов // Изв.вузов. Мат.,1984,№3, с. 3-12.

7. Баскаков А.Г. Формулы регуляризованных следов для степеней возмущенных спектральных операторов // Известия вузов. Математика, 1985, №8, с. 68-71.

8. Буслаев B.C., Фаддеев JI.Д. О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма-Лиувилля // ДАН СССР, I960, т. 132, №1, с. 13-16.

9. Буслаев B.C. Формулы следов для оператора Шредингера в трехмерном пр-е//ДАН СССР,1962,т.143До5,с.1067-1070.

10. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений М., Изд. "Мир", 1968.

11. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых задач для обык. дифф. ур. с малым параметром при старшей производной // УМН, 1963, т. 18, вып. 3, с. 3-86.

12. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений, Наука, 1973.

13. Гасымов М.Г. О сумме разностей собств. зн. двух самосопряжённых оп-ров//ДАН СССР,1963,150,№ 6,с.1202-1205.

14. Ильин В.А. О необходимом условии равносходимости с тригонометрическим рядом спектр, разложения произвольной суммируемой функции//Диф. ур., 1985.т.21,№3,с.371-379.

15. Ильин В.А. О связи между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряжённого диф. оператора // Диф. ур. 1994.т.30,№ 9,с.1516-1529.

16. Ильин В.А. Спектральная теория дифференциальных операторов М., Наука, 1991.

17. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряжённых уравнений // ДАН СССР, 1951, Т. 77, №1, с. 11-14.

18. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряжённых операторов // УМН, 1971, Т. 26, №4, с. 15-41.

19. Костюченко А. Г. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов // Дисс. док. физ.-мат.н.М.,1966.

20. Костюченко А. Г. Асимптотика спектральной функции сингулярного дифференциального оператора порядка 2т // ДАН СССР, 1961, т. 168, №2, с. 276-279.

21. Костюченко А.Г. Асимптотическое поведение спектральной функции самосопряженных эллиптических операторов //В книге: IV математическая школа, Киев, 1968, с. 42-117.

22. Коплиенко J1.C. О формуле следов для возмущений неядерного типа // Сиб. матем. журн., 1984, т. 25, №5, с. 62-71.

23. Langer R.E. The boundary problem of an ord. 1. dif. s. in the complex domain // Trans. Amer. Math. Soc, 1939, vol. 46, p. 151-190.

24. Langer R., The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of the second order, with special reference to a turning point // Trans. Amer. Math. Soc. 1949, vol. 67, p. 461-490.

25. Langer R.E. On the construction of related differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1956, p. 394-410.

26. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию // М., Наука, 1970.

27. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля // М., Наука, 1984.

28. Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении спектральной функции самосопряжённого диф. ур. второго порядка и о разложении по собственным функциям // Изв. АН СССР, серия мат., 1953, т. 17, с. 331-364.

29. Ломов С.А., Елисеев А.Г. Асимптотическое интегрирование сингулярно возм. задач //Умн,1988,т.43,вып.3,е.3-53.

30. Любишкин В.А. Вычисление регуляризованного следа оператора Штурма-Лиувилля в случае предельного круга Вейля // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1981, вып. 6, с. 167-194.

31. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев, "Наукова Думка", 1977.

32. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений М.: Наука, 1988.

33. Михайлов В.П. О базисах Рисса в Ь2{0,1) // ДАН СССР, 1962, т. 144, №5, с. 981-984.

34. Мищенко Е.Ф. Асимптотическая теория релаксационных колебаний, описываемых системами второго порядка // Матем. сб. 1958, т. 44, №4, с. 457-480.

35. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференц. уравнения с малым параметром и релаксационные колебания М., Наука, 1975.

36. Моисеев Е.И. Формула среднего значения для регулярного решения об. диф. ур.//ДАН СССР,1975,т.223,№3,с.562-565.

37. Моисеев H.H. Асимптотическое представление решений линейных диф. ур. в случае кратных элементарных делителей// ДАН СССР,1966,т.170,№ 4,с.780-783.

38. Муртазин Х.Х., Амангильдин Т.Г. Асимптотика спектра оператора Штурма-Лиувилля. Мат. сб.,1977,т.110,№ 1,с.135-149.

39. Mac Coll L. A. On the distribution of the zeros of sums of exp. of pol. // Tr. Am. Math. S.1934, v.36, p.341-360.

40. Наймарк M.A. Линейные дифференциальные операторы M.: Наука, 1968.

41. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции М.: Наука, 1978.

42. Оразов М.Б., Шкаликов A.A. Об n-кратной базисности собственных функций некоторых регулярных краевых задач. // Сибирский Матем. журнал, 1976, т. XVII, №3, с. 627-639.

43. Понтрягин Л.С. Асимптотикое поведение решений некоторых систем диф. ур. с малым параметром при высших производных // Изв. АН СССР,сер. мат.,1957,т.21,№5,с.605-626.

44. Понтрягин Л.С. Системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Тр. Всесоюзного матем. съезда, т. III, Изд-во АН СССР, 1958, с. 570-577.

45. Расторгуев В.А., Шмелев Г.С. Регуляризованный след оператора с особенностью // Дифф. ур.,1986, т.22, №8, с. 1365-1373.

46. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики // М., Издательство "Мир", 1982.

47. Розов Н.Х. Асимптотическое вычисление близкиз к разрывным перидических решений систем дифференциальных уравнений второго порядка // ДАН СССР, 1962,т.145,№ 1,с.38-40.

48. Садовничий В.А. Теория операторов//Изд.МГУ., 1986.

49. Садовничий В. А. О некоторых тождествах для собственных чисел сингулярных об. диф. оп-ров. Соотношение для нулей функций Бесселя//Вест.МГУ,1971,№3.с.77-86.

50. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Белаббаси Ю. О регуля-ризованных суммах корней целой функции одного класса. // ДАН СССР, 1980, т. 254, №6, с. 1346-1348.

51. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций экспоненциального типа. // ДАН СССР, 1981, т. 256, №4, с. 794-798.

52. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Об одной абстрактной теореме теории возмущений, о формулах регуляризованных следов и о дзета-функции операторов // Дифференц. уравнения, 1977, т. XIII, №7, с. 2033-2042.

53. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дискретных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных производных // Дифф. уравн., 1977, т. XIII, №11, с. 1264-1271.66