Базисность по Риссу собственных функций индефинитных эллиптических задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Парфенов, Антон Игоревич АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ
2005 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.01 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Базисность по Риссу собственных функций индефинитных эллиптических задач»
 
 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Парфенов, Антон Игоревич

Об обозначениях.

Введение

1 Абстрактные результаты

1.1 Предварительные сведения.

1.1.1 Двойственность.

1.1.2 Интеграл Бохнера, обобщенные производные и пространства Ьр(0,Т]Х).

1.1.3 Теория интерполяции банаховых пространств.

1.1.4 Пространства Крейна.

1.2 Основные условия данной главы.

1.3 Достаточные условия.

1.4 Погружение и пространство-образ.

1.5 Переформулировка интерполяционных условий без помощи теории интерполяции.

1.5.1 Две леммы.

1.5.2 Существование сжимающего оператора.

1.5.3 О перестановочности Я и 5.

1.6 Мотивация изучения условия (1.11).

1.6.1 Оператор В.

1.6.2 Построение оператора Ь.

1.7 Спектральные задачи.

1.7.1 Одно спектральное свойство равномерно «/-положительных операторов.

1.7.2 Соответствие А Нг(А).

1.7.3 Одна специальная спектральная задача.

2 Одномерный случай 41 2.1 Конкретизация погружения Я.

2.1.1 О пространствах Соболева.

2.1.2 Меры.

2.1.3 Конкретизация погружения Я.

2.1.4 О задачах, соответствующих нашему выбору И.

Оглавление

2.2 Двусторонние результаты.

2.2.1 Некоторые пространства и операторы Я и ¿Г.

2.2.2 Характеризация интерполяционного условия.

2.2.3 Переформулировка условия типа Чургуса.

2.2.4 Пример дискретной меры со свойством (1.11).

2.2.5 Критерий существования Б со свойствами (I)1 и (и)'

2.3 Односторонние результаты.

2.3.1 Одностороннее условие.

2.3.2 Одно условие на функции

2.3.3 Применение сжимающего оператора.

2.3.4 Применение условия типа Чургуса.

2.4 Различные замечания. щ 2.5 Случай произвольной картины перемен знака.

2.5.1 Редукция к вычислению О).

2.5.2 Вычисление<5).

3 Многомерный случай

3.1 Необходимое условие и контрпримеры.

3.2 Конструкция ^-покрытия.

3.3 Основная теорема.

3.4 Полиномиальная аппроксимация

3.5 Доказательство леммы 22.

3.6 Три теоремы.

 
Введение диссертация по математике, на тему "Базисность по Риссу собственных функций индефинитных эллиптических задач"

Актуальность темы

В настоящей диссертации при исследовании базисности по Риссу в индефинитных спектральных задачах автор акцентировал своё внимание на весовой функции или мере из правой части рассматриваемых задач и при этом игнорировал интересы приложений: возможность постановки более общих задач при помощи более общих дифференциальных операторов в левой части и более общих граничных условий, а также вопрос о том, какие классы весовых функций (мер) возникают в приложениях. По мнению автора, изучаемый аспект проблемы базисности имеет прежде всего теоретическое значение. Теоретическую важность исследуемой проблеме придают её нетривиальность, простота постановки и тот интерес, который она уже к себе привлекла.

Если же ограничиться простейшими весовыми функциями, то можно сказать следующее. Индефинитные спектральные задачи с такими функциями часто встречаются в приложениях; см., например, примеры в [31] и ссылки на литературу в [32], [8]. Из недавних работ укажем на [48]. Базисность по Риссу важна потому, что она влечет, см. раздел 1.7.1, так называемую half-range базисность (базисность половин), позволяющую решать приведшее к спектральной задаче уравнение методом Фурье.

Пусть д £ Ь\{—1,1) — такая вещественнозначная интегрируемая функция, что хд(х) > 0 для почти всех х е (—1,1). Рассмотрим спектральную задачу где А — спектральный параметр, а уравнение выполняется в обобщенном смысле. Для этой задачи рассматривается вопрос о базисности по Риссу собственных функций в весовом пространстве Ь2,\д\{—1,1) с нормой

Данный вопрос в целях краткости называется базисностью. Основной проблемой, стоявшей перед автором, было получение критерия базисности в терминах

Постановка задачи

-и"{х) = \д(х)и(х), -1 < х < 1; и(-1) = и(1) = 0, (0.1) весовой функции д, а также исследование аналогичной проблемы для многомерных спектральных задач. Заметим, что критерий базисности для нечетной функции д был впервые установлен автором в 2002 г. в магистерской диссертации (опубликовано в [14]). Оказалось, что при нечетной функции д базисность равносильна тому, что ruie 1 re

3UJ G (0,1) Ve G (0,1) / g(x) dx<- g(x) dx. (0.2)

Jo 2 J о

В этом критерии возникла величина If = Jq д(х) dx, поэтому представилось естественным изучать обобщение задачи (0.1) — задачу

-и"(х) dx = Хи(х) dn(x), -1 < х < 1; и(-1) = и(1) = 0, (0.3) где ц — знакопеременная мера на (—1,1) с разложением Хана (0,1) U (—1,0]; нечетность функции д при этом переходит в нечетность меры ц, а критерий (0.2) — в критерий

3u/e(0,l) Ve€(0,l) I+E<\l?, где If = //((0,е)). (0.4)

Так к основным проблемам добавилась проблема рассмотрения обобщения (0.3) задачи (0.1) и аналогичного обобщения многомерных задач. При исследовании многомерных задач возникли некоторые условия, которые естественно рассматривать в пространствах Соболева W™ не только при р = 2, но для всех р € (1,оо). Автору показалось желательным как-нибудь связать эти условия с дифференциальными уравнениями.

Историография вопроса

Проблема базисности по Риссу в индефинитных спектральных задачах систематически изучалась С.Г. Пятковым, Б. Чургусом, А. Фляйге, X. Лангером и Б. Найманом; отдельные работы есть у Р. Билса, М. Файермана, П. Биндинга, X. Волкмера, H.JI. Абашеевой и других авторов. Первые существенные результаты были получены в 1984-1985 годах; отметим, что в этих работах нередко использование слова полнота (completeness) для обозначения базисности по Риссу (full-range & half-range completeness). Базисность была установлена: в работе [53] Капера, Квонга, Леккеркеркера и Зеттла для одномерной задачи с весовой функцией д(х) = х при помощи асимптотики собственных значений и собственных функций, в ставшей сейчас классической работе [32] Р. Билса для одномерной задачи и весовой функции д(х) = |a:|a/i(x)sign х, где а > —1/2, h{ 0) ^Ои/iGC'b окрестности нуля, и в работе [20] С.Г. Пяткова для многомерной задачи и весовой функции д такой, что и существенно ограничены. Б. Чургус привёл в (36] удобный критерий регулярности критической точки оо дефинизируемого оператора в пространстве Крейна, называемый в дальнейшем условием Чургуса; базисность равносильна регулярности критической точки оо оператора, который можно сопоставить рассматриваемым спектральным задачам. Чургус пользовался понятиями спектральной функции (оператора в пространстве Крейна) и регулярности её критических точек, приведёнными в [56]. К тому же периоду времени относятся работы П. Гривара [50] и А. Макинтоша [58], связь которых с исследуемой тематикой обнаружилась впоследствии.

Проблеме базисности посвящена серия работ С.Г. Пяткова 1984-2001 годов. Содержание этих исследований отражено в монографиях [8] и [62]. Опишем некоторые работы серии. В [21] приведены критерий базисности на языке теории интерполяции банаховых пространств и достаточное интерполяционное условие, а также в многомерном случае рассмотрены весовые функции степенного вида. В [22] приведён пример бесконечное число раз меняющей знак весовой функции, для которой нет базисности. В [60] рассмотрена проблема базисности для самосопряженного операторного пучка Ьи = АВи; похожие результаты изложены в [23]. В совместной с Н.Л. Абашеевой статье [27] приведены достаточные условия небазисности в случае одной точки перемены знака у весовой функции. Работы [61] и [24] посвящены интерполяции весовых пространств Соболева.

Опишем теперь работы по небазисности, то есть по необходимым условиям базисности. Кроме уже упоминавшихся [22] и [27] это работы Волкмера [63], Абашеевой [1], Фляйге [46] и Биндинга и Чургуса [33]. В [1] рассмотрения из [27] обобщены на случай многомерных задач высокого порядка. В [63] теорема Бэра о категориях использовалась, чтобы доказать существование весовой функции с одной точкой перемены знака и свойством небазисности. В [46], как и в [27], [1], приведены конструктивные примеры. В [33] показано, что антипериодические краевые условия /(1) + /(—1) = /'(1) + /'(—1) = 0 (для спектральной задачи — /" = Ад/) превращают концы интервала (—1,1) в аналог точки перемены знака, так что можно получить небазисность, определяя функцию д на (-1,-1 + е) и (1 — е, 1) подходящим образом. [В других работах были взяты условия Дирихле.]

Но в основном исследования были посвящены поиску достаточных условий базисности. Есть два абстрактных достаточных условия — достаточное интерполяционное условие и условие Чургуса. Достаточное интерполяционное условие использовалось Пятковым, а также в работе [38] Чургуса и Наймана, где даны обобщения условия Чургуса и достаточного интерполяционного условия, а также разобрана многомерная спектральная задача в неограниченной области, когда \д\ и существенно ограничены. В остальных работах применялось условие Чургуса, которое требует существования некоторого оператора. Этот оператор обычно строился построениями, близкими методу Хестенса продолжения функций. Это относится, например, к работе [37] Чургуса и Лангера, где рассматривалась индефинитная спектральная задача для обыкновенного дифференциального оператора высокого порядка с локально интегрируемыми коэффициентами. Базисность была установлена при степенном поведении весовой функции справа и слева от любой из точек перемены знака; предполагается, что их конечное число, а показатели степени для правой и левой полуокрестностей точки перемены знака могут быть различными. В работе [42] Фляйге показал достаточность для базисности степенного поведения весовой функции с одной только стороны от точки перемены знака, и назвал это односторонним условием Билса. В работах [39] Чургуса и Наймана и [44] Фляйге и Наймана доказана регулярность критических точек 0 и оо не имеющего собственных значений оператора -Цщ-^ при д(х) = |a:|ssign х, s > —1. В [45] Фляйге и Найман получили на основе абстрактных рассмотрений некоторые не очень удобные достаточные условия базисности для многомерных задач; вообще, условия для многомерных задач обычно громоздки, см. работы [60, 23, 24] Пяткова и [41] Файермана и Лангера.

Приведём ещё несколько работ по тематике диссертации. В [9] с помощью формул для собственных функций А.А. Зябловым установлена базисность в одномерной задаче с весовой функцией степенного типа. В монографии [43] Фляйге обсуждалась постановка одномерных индефинитных спектральных задач, задаваемых мерой вместо весовой функции; для дискретной меры получаются разностные уравнения, рассматривавшиеся также в [44] и [45]. В работе [47] Фляйге индефинитность возникала в левой (дифференциальной) части операторного пучка Lu = \Ви, а не в правой. В работе [34] Биндинга и Р. Хринива рассматриваются full-range & half-range типы базисности в абстрактной постановке; в частности, приведен пример оператора, для которого есть half-range базисность, но нет full-range базисности. В [35] Биндинг и Чургус рассмотрели задачу с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, соглашений об обозначениях, введения, трёх глав и списка литературы. Главы разбиты на разделы, разделы иногда разбиты на подразделы, тоже именуемые разделами. Нумерация разделов, теорем и лемм сквозная, номер формулы состоит из номера главы и номера формулы в главе.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Парфенов, Антон Игоревич, Новосибирск

1. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. JL: изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

2. Парфёнов А.И. Об одном критерии вложения интерполяционных пространств и его приложении к индефинитным спектральным задачам // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 4. С. 810-819.

3. Парфёнов А.И. Об условии Чургуса в индефинитных задачах Штурма-Лиувилля // Мат. труды. 2004. Т. 7, № 1. С. 153-188.

4. Парфёнов А.И. Сжимающий оператор и граничные значения // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения — XVI". / Современные методы теории краевых задач. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 121— 122.

5. Парфёнов А.И. Сжимающий оператор и граничные значения / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Препринт № 155. Новосибирск: Омега Принт, 2005.

6. Покорный Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях // Докл. АН. 1999. Т. 364, № 2. С. 167-169.

7. Пятков С.Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН. СССР. 1985. Т. 285. С. 1322-1327. f

8. Пятков С.Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 4. С. 111-124.

9. Пятков С.Г. О некоторых свойствах собственных функций линейных пучков // Мат. заметки. 1992. Т. 51, Я® 1. С. 141-148.

10. Пятков С.Г. Индефинитные эллиптические спектральные задачи // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2. С. 409-426.

11. Пятков С.Г. Интерполяция весовых пространств Соболева // Mam. труды. 2001. Т. 4, № 1. С. 122-173.

12. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

13. Хёрмандер JT. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986.

14. Abasheeva N.L., Pyatkov S.G. Counterexamples in indefinite Sturm-Liouville problems // Sib. Advances in Math. 1997. V. 7, N 4. P. 1-8.

15. Auscher P., Hofmann S., Lacey M., Mcintosh A., Tchamitchian Ph. The solution of the Kato square root problem for second order elliptic operators ont" // Ann. Math. 2002. V. 156, N 2. P. 633-654.

16. Auscher P., Mcintosh A., Nahmod A. Holomorphic functional calculi of operators, quadratic estimates and interpolation // Indiana Univ. Math. J. 1997. V. 46, N 2. P. 375-403.

17. Baouendi M.S., Grisvard P. Sur une équation d'évolution changeant de type // J. Funct. Anal. 1968. V. 2, N 3. P. 352-367.

18. Beals R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering // J. Funct. Anal. 1979. V. 34, N 1. P. 1-20.

19. Beals R. Indefinite Sturm-Liouville problems and half-range completeness //J. Differ. Equations. 1985. V. 56, N 3. P. 391-407.

20. Binding P., Curgus B. A counterexample in Sturm-Liouville completeness theory // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A., Math. 2004. V. 134, N 2. P. 241248.

21. Binding P., Hryniv R. Full- and partial-range completeness // Oper. Theory: Adv. Appl. Basel: Birkhàuser, 2002. V. 130. P. 121-131.

22. Binding P., Curgus B. Riesz bases of root vectors of indefinite Sturm-Liouville problems with eigenparameter dependent boundary conditions, I. / Препринт, 2004.

23. Curgus B. On the regularity of the critical point infinity of definitizable operators // Integral Equations and Operator Theory. 1985. V. 8, N 4. P. 462488.

24. Curgus В., Langer H. A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function //J. Diff. Eq. 1989. V. 79, N 1. P. 31-61.

25. Curgus В., Najman В. A Krein space approach to elliptic eigenvalue problems with indefinite weights // Diff. Integ. Eq. 1994. V. 7, N 5/6. P. 1241-1252.A ,2

26. Curgus В., Najman B. The operator (sgn x)-^ is similar to a selfadjointoperator in L2(R) // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V. 123, N 4. P. 1125-1128.

27. Dijksma A., Langer H. Operator theory and ordinary differential operators // Fields Institute Monographs. / Lectures on operator theory and its applications. Providence: AMS, 1996. V. 3. P. 73-139.

28. Faierman M., Langer H. Elliptic problems involving an indefinite weight function. // Oper. Theory: Adv. Appl. Basel: Birkhauser, 1996. V. 87. P. 105127.

29. Fleige A. The "turning point condition" of Beals for indefinite Sturm-Liouville problems // Math. Nachr. 1995. V. 172. P. 109-112.

30. Fleige A. Spectral theory of indefinite Krein-Feller differential operators. / Mathematical Research. V. 98. Berlin: Akademie Verlag, 1996.

31. Fleige A., Najman B. Nonsingularity of critical points of some differential and difference operators // Oper. Theory: Adv. Appl. Basel: Birkhauser, 1998. V. 102. P. 85-95.

32. Fleige A., Najman B. Perturbations of Krein spaces preserving the nonsingularity of the critical point infinity // Oper. Theory: Adv. Appl. Basel: Birkhauser, 1998. V. 106. P. 147-155.

33. Fleige A. A counterexample to completeness properties for indefinite Sturm-Liouville problems // Math. Nachr. 1998. V. 190. P. 123-128.

34. Fleige A. Non-semibounded sesquilinear forms and left-indefinite Sturm-Liouville problems // Integral Equations and Operator Theory. 1999. V. 33, N 1. P. 20-33.

35. Freiling G., Vietri M., Yurko V. Half-range expansions for an astrophysical problem // Lett. Math. Phys. 2003. V. 64, N 1. P. 65-73.

36. Gajda Z. Local stability of the functional equation characterizing polynomial functions // Ann. Pol. Math. 1990. V. 52, N 2. P. 119-137.

37. Grisvard P. An approach to the singular solutions of elliptic problems via the theory of differential equations in Banach spaces // Lecture Notes in Mathematics. Berlin etc.: Springer Verlag, 1986. V. 1223. P. 137-155.

38. Ivanov S., Kalton N. Interpolation of subspaces and applications to exponential bases // Алгебра u анализ. 2001. Т. 13, № 2. С. 93-115.

39. Kalton N., Mitrea M. Stability results on interpolation scales of quasi-Banach spaces and applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1998. V. 350, N 10. P. 39033922.

40. Kaper H., Kwong M., Lekkerkerker C., Zettl A. Full- and half-range completeness theory of Sturm-Liouville problems with indefinite weights // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A. 1984. V. 98. P. 69-88.

41. Kato T. A generalization of the Heinz inequality // Proc. Japan Acad. 1961. V. 37, N 6. P. 305-308.

42. Kato T. Fractional powers of dissipative operators //J. Math. Soc. Japan. 1961. V. 13, N 3. P. 246-274.

43. Langer H. Spectral functions of definitizable operators in Krein spaces // Lecture Notes in Mathematics. Berlin etc.: Springer Verlag, 1982. V. 948. P. 146.

44. Mcintosh A. On the comparability of A1/2 and A*1'2 // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. V. 32, N 2. P. 430-434.

45. Mcintosh A. Operators which have an H°° functional calculus // Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis. Canberra: ANU, 1986. V. 14. P. 210-231.

46. Mingarelli A.B. Volterra-Stieltjes integral equations and generalized ordinary differential expressions / Lecture Notes in Mathematics. Berlin etc.: Springer Verlag, 1983. V. 989.

47. Pyatkov S.G. Elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Siberian Advances in Math. 1994. V. 4, N 2. P. 87-121.

48. Pyatkov S.G. Interpolation of some function spaces and indefinite Sturm-Liouville problems // Oper. Theory: Adv. Appl. Basel: Birkhauser, 1998. V. 102. P. 179-200.

49. Pyatkov S.G. Operator theory. Nonclassical problems. / Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.

50. Volkmer H. Sturm-Liouville problems with indefinite weights and Everitt's inequality // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A. 1996. V. 126, N 5. P. 1097-1112.

51. Yomdin Y. The set of zeroes of an "almost polynomial" function // Proc. Amer. Math. Soc. 1984. V. 90, N 4. P. 538-542.