Базисность по Риссу собственных функций индефинитных эллиптических задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Об обозначениях.

Введение

1 Абстрактные результаты

1.1 Предварительные сведения.

1.1.1 Двойственность.

1.1.2 Интеграл Бохнера, обобщенные производные и пространства Ьр(0,Т]Х).

1.1.3 Теория интерполяции банаховых пространств.

1.1.4 Пространства Крейна.

1.2 Основные условия данной главы.

1.3 Достаточные условия.

1.4 Погружение и пространство-образ.

1.5 Переформулировка интерполяционных условий без помощи теории интерполяции.

1.5.1 Две леммы.

1.5.2 Существование сжимающего оператора.

1.5.3 О перестановочности Я и 5.

1.6 Мотивация изучения условия (1.11).

1.6.1 Оператор В.

1.6.2 Построение оператора Ь.

1.7 Спектральные задачи.

1.7.1 Одно спектральное свойство равномерно «/-положительных операторов.

1.7.2 Соответствие А Нг(А).

1.7.3 Одна специальная спектральная задача.

2 Одномерный случай 41 2.1 Конкретизация погружения Я.

2.1.1 О пространствах Соболева.

2.1.2 Меры.

2.1.3 Конкретизация погружения Я.

2.1.4 О задачах, соответствующих нашему выбору И.

Оглавление

2.2 Двусторонние результаты.

2.2.1 Некоторые пространства и операторы Я и ¿Г.

2.2.2 Характеризация интерполяционного условия.

2.2.3 Переформулировка условия типа Чургуса.

2.2.4 Пример дискретной меры со свойством (1.11).

2.2.5 Критерий существования Б со свойствами (I)1 и (и)'

2.3 Односторонние результаты.

2.3.1 Одностороннее условие.

2.3.2 Одно условие на функции

2.3.3 Применение сжимающего оператора.

2.3.4 Применение условия типа Чургуса.

2.4 Различные замечания. щ 2.5 Случай произвольной картины перемен знака.

2.5.1 Редукция к вычислению О).

2.5.2 Вычисление<5).

3 Многомерный случай

3.1 Необходимое условие и контрпримеры.

3.2 Конструкция ^-покрытия.

3.3 Основная теорема.

3.4 Полиномиальная аппроксимация

3.5 Доказательство леммы 22.

3.6 Три теоремы.

Актуальность темы

В настоящей диссертации при исследовании базисности по Риссу в индефинитных спектральных задачах автор акцентировал своё внимание на весовой функции или мере из правой части рассматриваемых задач и при этом игнорировал интересы приложений: возможность постановки более общих задач при помощи более общих дифференциальных операторов в левой части и более общих граничных условий, а также вопрос о том, какие классы весовых функций (мер) возникают в приложениях. По мнению автора, изучаемый аспект проблемы базисности имеет прежде всего теоретическое значение. Теоретическую важность исследуемой проблеме придают её нетривиальность, простота постановки и тот интерес, который она уже к себе привлекла.

Если же ограничиться простейшими весовыми функциями, то можно сказать следующее. Индефинитные спектральные задачи с такими функциями часто встречаются в приложениях; см., например, примеры в [31] и ссылки на литературу в [32], [8]. Из недавних работ укажем на [48]. Базисность по Риссу важна потому, что она влечет, см. раздел 1.7.1, так называемую half-range базисность (базисность половин), позволяющую решать приведшее к спектральной задаче уравнение методом Фурье.

Пусть д £ Ь\{—1,1) — такая вещественнозначная интегрируемая функция, что хд(х) > 0 для почти всех х е (—1,1). Рассмотрим спектральную задачу где А — спектральный параметр, а уравнение выполняется в обобщенном смысле. Для этой задачи рассматривается вопрос о базисности по Риссу собственных функций в весовом пространстве Ь2,\д\{—1,1) с нормой

Данный вопрос в целях краткости называется базисностью. Основной проблемой, стоявшей перед автором, было получение критерия базисности в терминах

Постановка задачи

-и"{х) = \д(х)и(х), -1 < х < 1; и(-1) = и(1) = 0, (0.1) весовой функции д, а также исследование аналогичной проблемы для многомерных спектральных задач. Заметим, что критерий базисности для нечетной функции д был впервые установлен автором в 2002 г. в магистерской диссертации (опубликовано в [14]). Оказалось, что при нечетной функции д базисность равносильна тому, что ruie 1 re

3UJ G (0,1) Ve G (0,1) / g(x) dx<- g(x) dx. (0.2)

Jo 2 J о

В этом критерии возникла величина If = Jq д(х) dx, поэтому представилось естественным изучать обобщение задачи (0.1) — задачу

-и"(х) dx = Хи(х) dn(x), -1 < х < 1; и(-1) = и(1) = 0, (0.3) где ц — знакопеременная мера на (—1,1) с разложением Хана (0,1) U (—1,0]; нечетность функции д при этом переходит в нечетность меры ц, а критерий (0.2) — в критерий

3u/e(0,l) Ve€(0,l) I+E<\l?, где If = //((0,е)). (0.4)

Так к основным проблемам добавилась проблема рассмотрения обобщения (0.3) задачи (0.1) и аналогичного обобщения многомерных задач. При исследовании многомерных задач возникли некоторые условия, которые естественно рассматривать в пространствах Соболева W™ не только при р = 2, но для всех р € (1,оо). Автору показалось желательным как-нибудь связать эти условия с дифференциальными уравнениями.

Историография вопроса

Проблема базисности по Риссу в индефинитных спектральных задачах систематически изучалась С.Г. Пятковым, Б. Чургусом, А. Фляйге, X. Лангером и Б. Найманом; отдельные работы есть у Р. Билса, М. Файермана, П. Биндинга, X. Волкмера, H.JI. Абашеевой и других авторов. Первые существенные результаты были получены в 1984-1985 годах; отметим, что в этих работах нередко использование слова полнота (completeness) для обозначения базисности по Риссу (full-range & half-range completeness). Базисность была установлена: в работе [53] Капера, Квонга, Леккеркеркера и Зеттла для одномерной задачи с весовой функцией д(х) = х при помощи асимптотики собственных значений и собственных функций, в ставшей сейчас классической работе [32] Р. Билса для одномерной задачи и весовой функции д(х) = |a:|a/i(x)sign х, где а > —1/2, h{ 0) ^Ои/iGC'b окрестности нуля, и в работе [20] С.Г. Пяткова для многомерной задачи и весовой функции д такой, что и существенно ограничены. Б. Чургус привёл в (36] удобный критерий регулярности критической точки оо дефинизируемого оператора в пространстве Крейна, называемый в дальнейшем условием Чургуса; базисность равносильна регулярности критической точки оо оператора, который можно сопоставить рассматриваемым спектральным задачам. Чургус пользовался понятиями спектральной функции (оператора в пространстве Крейна) и регулярности её критических точек, приведёнными в [56]. К тому же периоду времени относятся работы П. Гривара [50] и А. Макинтоша [58], связь которых с исследуемой тематикой обнаружилась впоследствии.

Проблеме базисности посвящена серия работ С.Г. Пяткова 1984-2001 годов. Содержание этих исследований отражено в монографиях [8] и [62]. Опишем некоторые работы серии. В [21] приведены критерий базисности на языке теории интерполяции банаховых пространств и достаточное интерполяционное условие, а также в многомерном случае рассмотрены весовые функции степенного вида. В [22] приведён пример бесконечное число раз меняющей знак весовой функции, для которой нет базисности. В [60] рассмотрена проблема базисности для самосопряженного операторного пучка Ьи = АВи; похожие результаты изложены в [23]. В совместной с Н.Л. Абашеевой статье [27] приведены достаточные условия небазисности в случае одной точки перемены знака у весовой функции. Работы [61] и [24] посвящены интерполяции весовых пространств Соболева.

Опишем теперь работы по небазисности, то есть по необходимым условиям базисности. Кроме уже упоминавшихся [22] и [27] это работы Волкмера [63], Абашеевой [1], Фляйге [46] и Биндинга и Чургуса [33]. В [1] рассмотрения из [27] обобщены на случай многомерных задач высокого порядка. В [63] теорема Бэра о категориях использовалась, чтобы доказать существование весовой функции с одной точкой перемены знака и свойством небазисности. В [46], как и в [27], [1], приведены конструктивные примеры. В [33] показано, что антипериодические краевые условия /(1) + /(—1) = /'(1) + /'(—1) = 0 (для спектральной задачи — /" = Ад/) превращают концы интервала (—1,1) в аналог точки перемены знака, так что можно получить небазисность, определяя функцию д на (-1,-1 + е) и (1 — е, 1) подходящим образом. [В других работах были взяты условия Дирихле.]

Но в основном исследования были посвящены поиску достаточных условий базисности. Есть два абстрактных достаточных условия — достаточное интерполяционное условие и условие Чургуса. Достаточное интерполяционное условие использовалось Пятковым, а также в работе [38] Чургуса и Наймана, где даны обобщения условия Чургуса и достаточного интерполяционного условия, а также разобрана многомерная спектральная задача в неограниченной области, когда \д\ и существенно ограничены. В остальных работах применялось условие Чургуса, которое требует существования некоторого оператора. Этот оператор обычно строился построениями, близкими методу Хестенса продолжения функций. Это относится, например, к работе [37] Чургуса и Лангера, где рассматривалась индефинитная спектральная задача для обыкновенного дифференциального оператора высокого порядка с локально интегрируемыми коэффициентами. Базисность была установлена при степенном поведении весовой функции справа и слева от любой из точек перемены знака; предполагается, что их конечное число, а показатели степени для правой и левой полуокрестностей точки перемены знака могут быть различными. В работе [42] Фляйге показал достаточность для базисности степенного поведения весовой функции с одной только стороны от точки перемены знака, и назвал это односторонним условием Билса. В работах [39] Чургуса и Наймана и [44] Фляйге и Наймана доказана регулярность критических точек 0 и оо не имеющего собственных значений оператора -Цщ-^ при д(х) = |a:|ssign х, s > —1. В [45] Фляйге и Найман получили на основе абстрактных рассмотрений некоторые не очень удобные достаточные условия базисности для многомерных задач; вообще, условия для многомерных задач обычно громоздки, см. работы [60, 23, 24] Пяткова и [41] Файермана и Лангера.

Приведём ещё несколько работ по тематике диссертации. В [9] с помощью формул для собственных функций А.А. Зябловым установлена базисность в одномерной задаче с весовой функцией степенного типа. В монографии [43] Фляйге обсуждалась постановка одномерных индефинитных спектральных задач, задаваемых мерой вместо весовой функции; для дискретной меры получаются разностные уравнения, рассматривавшиеся также в [44] и [45]. В работе [47] Фляйге индефинитность возникала в левой (дифференциальной) части операторного пучка Lu = \Ви, а не в правой. В работе [34] Биндинга и Р. Хринива рассматриваются full-range & half-range типы базисности в абстрактной постановке; в частности, приведен пример оператора, для которого есть half-range базисность, но нет full-range базисности. В [35] Биндинг и Чургус рассмотрели задачу с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, соглашений об обозначениях, введения, трёх глав и списка литературы. Главы разбиты на разделы, разделы иногда разбиты на подразделы, тоже именуемые разделами. Нумерация разделов, теорем и лемм сквозная, номер формулы состоит из номера главы и номера формулы в главе.

1. Мазья В.Г. Пространства С.Л. Соболева. JL: изд-во Ленингр. ун-та, 1985.

2. Парфёнов А.И. Об одном критерии вложения интерполяционных пространств и его приложении к индефинитным спектральным задачам // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 4. С. 810-819.

3. Парфёнов А.И. Об условии Чургуса в индефинитных задачах Штурма-Лиувилля // Мат. труды. 2004. Т. 7, № 1. С. 153-188.

4. Парфёнов А.И. Сжимающий оператор и граничные значения // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения — XVI". / Современные методы теории краевых задач. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 121— 122.

5. Парфёнов А.И. Сжимающий оператор и граничные значения / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Препринт № 155. Новосибирск: Омега Принт, 2005.

6. Покорный Ю.В. Интеграл Стилтьеса и производные по мере в обыкновенных дифференциальных уравнениях // Докл. АН. 1999. Т. 364, № 2. С. 167-169.

7. Пятков С.Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН. СССР. 1985. Т. 285. С. 1322-1327. f

8. Пятков С.Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 4. С. 111-124.

9. Пятков С.Г. О некоторых свойствах собственных функций линейных пучков // Мат. заметки. 1992. Т. 51, Я® 1. С. 141-148.

10. Пятков С.Г. Индефинитные эллиптические спектральные задачи // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2. С. 409-426.

11. Пятков С.Г. Интерполяция весовых пространств Соболева // Mam. труды. 2001. Т. 4, № 1. С. 122-173.

12. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

13. Хёрмандер JT. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986.

14. Abasheeva N.L., Pyatkov S.G. Counterexamples in indefinite Sturm-Liouville problems // Sib. Advances in Math. 1997. V. 7, N 4. P. 1-8.

15. Auscher P., Hofmann S., Lacey M., Mcintosh A., Tchamitchian Ph. The solution of the Kato square root problem for second order elliptic operators ont" // Ann. Math. 2002. V. 156, N 2. P. 633-654.

16. Auscher P., Mcintosh A., Nahmod A. Holomorphic functional calculi of operators, quadratic estimates and interpolation // Indiana Univ. Math. J. 1997. V. 46, N 2. P. 375-403.

17. Baouendi M.S., Grisvard P. Sur une équation d'évolution changeant de type // J. Funct. Anal. 1968. V. 2, N 3. P. 352-367.

18. Beals R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering // J. Funct. Anal. 1979. V. 34, N 1. P. 1-20.

19. Beals R. Indefinite Sturm-Liouville problems and half-range completeness //J. Differ. Equations. 1985. V. 56, N 3. P. 391-407.

20. Binding P., Curgus B. A counterexample in Sturm-Liouville completeness theory // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A., Math. 2004. V. 134, N 2. P. 241248.

21. Binding P., Hryniv R. Full- and partial-range completeness // Oper. Theory: Adv. Appl. Basel: Birkhàuser, 2002. V. 130. P. 121-131.

22. Binding P., Curgus B. Riesz bases of root vectors of indefinite Sturm-Liouville problems with eigenparameter dependent boundary conditions, I. / Препринт, 2004.

23. Curgus B. On the regularity of the critical point infinity of definitizable operators // Integral Equations and Operator Theory. 1985. V. 8, N 4. P. 462488.

24. Curgus В., Langer H. A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function //J. Diff. Eq. 1989. V. 79, N 1. P. 31-61.

25. Curgus В., Najman В. A Krein space approach to elliptic eigenvalue problems with indefinite weights // Diff. Integ. Eq. 1994. V. 7, N 5/6. P. 1241-1252.A ,2

26. Curgus В., Najman B. The operator (sgn x)-^ is similar to a selfadjointoperator in L2(R) // Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V. 123, N 4. P. 1125-1128.

27. Dijksma A., Langer H. Operator theory and ordinary differential operators // Fields Institute Monographs. / Lectures on operator theory and its applications. Providence: AMS, 1996. V. 3. P. 73-139.

28. Faierman M., Langer H. Elliptic problems involving an indefinite weight function. // Oper. Theory: Adv. Appl. Basel: Birkhauser, 1996. V. 87. P. 105127.

29. Fleige A. The "turning point condition" of Beals for indefinite Sturm-Liouville problems // Math. Nachr. 1995. V. 172. P. 109-112.

30. Fleige A. Spectral theory of indefinite Krein-Feller differential operators. / Mathematical Research. V. 98. Berlin: Akademie Verlag, 1996.

31. Fleige A., Najman B. Nonsingularity of critical points of some differential and difference operators // Oper. Theory: Adv. Appl. Basel: Birkhauser, 1998. V. 102. P. 85-95.

32. Fleige A., Najman B. Perturbations of Krein spaces preserving the nonsingularity of the critical point infinity // Oper. Theory: Adv. Appl. Basel: Birkhauser, 1998. V. 106. P. 147-155.

33. Fleige A. A counterexample to completeness properties for indefinite Sturm-Liouville problems // Math. Nachr. 1998. V. 190. P. 123-128.

34. Fleige A. Non-semibounded sesquilinear forms and left-indefinite Sturm-Liouville problems // Integral Equations and Operator Theory. 1999. V. 33, N 1. P. 20-33.

35. Freiling G., Vietri M., Yurko V. Half-range expansions for an astrophysical problem // Lett. Math. Phys. 2003. V. 64, N 1. P. 65-73.

36. Gajda Z. Local stability of the functional equation characterizing polynomial functions // Ann. Pol. Math. 1990. V. 52, N 2. P. 119-137.

37. Grisvard P. An approach to the singular solutions of elliptic problems via the theory of differential equations in Banach spaces // Lecture Notes in Mathematics. Berlin etc.: Springer Verlag, 1986. V. 1223. P. 137-155.

38. Ivanov S., Kalton N. Interpolation of subspaces and applications to exponential bases // Алгебра u анализ. 2001. Т. 13, № 2. С. 93-115.

39. Kalton N., Mitrea M. Stability results on interpolation scales of quasi-Banach spaces and applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1998. V. 350, N 10. P. 39033922.

40. Kaper H., Kwong M., Lekkerkerker C., Zettl A. Full- and half-range completeness theory of Sturm-Liouville problems with indefinite weights // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A. 1984. V. 98. P. 69-88.

41. Kato T. A generalization of the Heinz inequality // Proc. Japan Acad. 1961. V. 37, N 6. P. 305-308.

42. Kato T. Fractional powers of dissipative operators //J. Math. Soc. Japan. 1961. V. 13, N 3. P. 246-274.

43. Langer H. Spectral functions of definitizable operators in Krein spaces // Lecture Notes in Mathematics. Berlin etc.: Springer Verlag, 1982. V. 948. P. 146.

44. Mcintosh A. On the comparability of A1/2 and A*1'2 // Proc. Amer. Math. Soc. 1972. V. 32, N 2. P. 430-434.

45. Mcintosh A. Operators which have an H°° functional calculus // Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis. Canberra: ANU, 1986. V. 14. P. 210-231.

46. Mingarelli A.B. Volterra-Stieltjes integral equations and generalized ordinary differential expressions / Lecture Notes in Mathematics. Berlin etc.: Springer Verlag, 1983. V. 989.

47. Pyatkov S.G. Elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Siberian Advances in Math. 1994. V. 4, N 2. P. 87-121.

48. Pyatkov S.G. Interpolation of some function spaces and indefinite Sturm-Liouville problems // Oper. Theory: Adv. Appl. Basel: Birkhauser, 1998. V. 102. P. 179-200.

49. Pyatkov S.G. Operator theory. Nonclassical problems. / Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.

50. Volkmer H. Sturm-Liouville problems with indefinite weights and Everitt's inequality // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A. 1996. V. 126, N 5. P. 1097-1112.

51. Yomdin Y. The set of zeroes of an "almost polynomial" function // Proc. Amer. Math. Soc. 1984. V. 90, N 4. P. 538-542.