Индефинитные спектральные задачи и их приложения к теории краевых задач для уравнений математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б Ой

Ч ПГ.1

ГН '(""Г4!.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Пятков Сергей Григорьевич

УДК 517.95

ИНДЕФИНИТНЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск —1994

Работа выполнена в Институте математики СО РАН О

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических

наук, профессор Петрушко И.М. доктор физико-математических наук, профессор Кислов Н.В. доктор физико-математических наук, профессор Сказка В.В. ЬЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Московский государственный

университет

Защита состоится Ф^Ъ 19М. года в ^

часов на заседании Специализированного Совета Д 063.98.02 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск-90, ул.Пирогова., 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

С

Автореферат разослан "^З." ^^O-fo ft ^_19Ml

года

Учений секретарь Специализированного Совета доктор физико-математических наук,

профессор //~ / /A.B. К&жихов

\Pf-< ^''- --^ ci:/ —

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Состояние вопроса я актуальность темы. Под индефинитными спектральными задачами мы понимаем спектральные задачи, в которые входят операторы являющиеся самосопряженными (или диссип&тивлымн и т.п.) не в смысле исходного скалярного произведения данного Гильбертова пространства, а в смысле некоторой индефинитной метрики или можно сказать индефинитного скалярного произведения введенного в этом пространстве. Теория линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой берет свое начало с работ Л.С. Понтрягина 50-х годов этого века. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах М.Г. Крейна, И.С. Иохвидова, В.Ц. Потапова, ЮЛ. Гинзбурга, Э. Песонена, Р. Филлипса, Г.Л. Лангера, М.А. Наймарха, Ю.Л. Шмульяна, Ж. Богиара и многих других математиков.

Мы будем рассматривать спектральные задачи вида

Ьи = \ Ви. (1)

где Ь, В - самосопряженные операторы в данном гильбертово.! пространстве Е. Центральное место в диссертации занимает исследование вопроса о базисности го Риссу (безусловной базисшсти) собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (1) в гильбертовом пространстве ^ с нормой

1Нк = '

Мы находим необходимые и достаточные условия в терминах теории интерполяции, отыскиваем простые и легко проверяемые достаточные условия гарантирующие безусловную базисность. Пространства такого вида возникают в приложениях, как правило, в конкретных ситуациях, это пространство является либо пространством (<7 с л") с весом, либо пространством Соболев^ с весом. Мы будем предполагать, что оператор Ь ограничен снизу, а оператор В вообще говоря определенного знака не имеет. При этих предположениях я некоторых дополнительных усло1. шх спектральная задача вида (1) сводится к спектральной задаче для самосопряженного в некотором пространстве Крейна оператора. Задачи

вида (1) возникают при исследовании Краевых задач для уравнений смешанного типа, параболических уравнений, с меняющимся наг правлением времени, в теории полиномиальных операторныэ^пуч-ков и во многих других областях математической физики и анализа. Следует отметить, что вопрос о безусловной базисности очень труден и не исследован даже для простейших классов дифференциальных операторов, например, эллиптических операторов. Вопросы полноты и базисности собственных и присоединенных элементов полиномиальных операторных пучков рассматривались в многочисленных работах Келдыша М.В., Костюченко А.Г., Крей-иа М.Г., Оразова М.Б., Радзиевсхого Г.В., Маркуса A.C., Лангера Г.К., НГкаликова A.A. и многих других авторов. Мы рассматриваем простейший случаГ, то есть случай лилейного пучка (1), к рассмотрению которого спектральная задача для полиномиального операторного лучка может быть сведена, причем различными способами. Второй вопрос, рассмотренный в диссертации, это есть вопрос о выделении максимальных, инвариантных, семидефинит-ных подпространств для J-диссипатиаиых в некотором пространстве Крейна операторов, который, как мы увидим, тесно связан с нашими результатами о базисности собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (1). Вопрос о существовании максимальных, семидефинитных, инвариантных подпространств для J-диссипативлых, J-самосопряженных операторов рассматривался в работах Азизова Т.Я., йохвидова Е.И., Лангера Г.К., Крейна М.Г., Кужеля A.B. и многих других авторов. Наши результаты получены при предположениях, отличных от вышеупомянутых работ, а наш подход к исследованию этих задач основан на методах теории интерполяции банаховых пространств. Простейшим примером задачи вида (1) является задача

Lu = \д(х)и, х € G С й", (2)

-Mr = 0, j = (3)

где L - самосопряженный в Lj(G) и полуограниченный снизу дифференциальный оператор порядка 2т, определенный в области G С Ra ' границей Г, J9,— дифференциальные операторы, определенные на Г, а измеримая по Лебегу функция меняющая знак в обла-

~ с»

сти в. В частности в качестве оператора X мы можем взять эллиптический или вырождающийся эллиптический оператор. Незнакоопределенность функции д(х) индуцирует естественное разложение

с7 = с?ч-и<?-ис0, С° = С\<7+и<Г,

где = {х 6 5 : д(х) > 0 (д(х) < 0)}. Пусть и С)

есть пространство измеримых в С?"1" и С?~ функций и(х) таких, что б Ьг<д(0+ и <7~). Аналогично можно также определить пространства ¿^(б4), Ьъл{С~). Мы подробно исследуем спектральную задачу (2), (3) (в вариационной формулировке). При этом мы используем результаты полученные для задачи (1). После чего мы применяем полученные результаты для случая, когда Ь есть эллиптический оператор или обыкновенный дифференциальный оператор. Спектральные задачи (2)-(3) были предметом большого количества исследований. Вначале следует упомянуть первые работы Гильберта, кто для случая т = 1, п = 1, ^-положительный оператор доказал существование бесконечного числа положительных и отрицательных собственных значений и рассмотрел соответствующее разложение по собс: зешшм функциям. Аналогичные вопросы рассматривались в работах Хаупта, Хилба, Ричардсона начала этого века. В многомерном случае первым результатом был результат Хольмгрена. Он рассмотрел задачу Дирихле для уравнения

Ди4 \д(х)и = 0, геСС Й2,

когда д(л) есть непрерывная меняющая знак функция; было доказано существование бесконечного числа положительных и отрицательных собственных, значений, которые могут быть охарактеризованы "тт-тах" принципом. Асимптотическое распределение этих собственных значений было установлено в работе Плейеля. Говоря о распределении собственных значишй, следует сослать г также на серию работ М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка на работы Ж. Флекмнтера и М.Л. Лапидуса и ряда других авторов. Е >■ просы полноты и базисностн собственных и присоединенных элементов задачи (2)-(3) стали исследоваться сравнительно недавно. Много литературы посвящено изучению некоторых моде! ных задач, возникающих в математической физике. Вопросами, рассмотренными в этих работах, были вопросы: плотность собственных

функций в Ljj(G+ U G~), плотность собственных функций соответствующих положительным (отрицательным) собственным значениям в L2j(G+) ( Li^G')). Наиболее о^щие результаты в ¿¡том направлении появились недавно в работах М. Файермана. Файер-ман рассмотрев даже случай, когда L - не самосопряженный оператор. Первыми работами, посвященными вопросам базисности собственных и присоединенных функций задачи (2)-(3), были работы Р. Билса, М. Файермана, Лангера и Сегеса, Файермана и Роуча и автора- Фактически, в литературе рассматривались лишь случаи, когда L - эллиптический оператор второго порядка или когда L - обыкновенный дифференциальный оператор. Наиболее общие результаты были получены в работах автора. Результаты, полученные при исследов ании задачи (1), мы применяем не только для исследования спектральной задачи (2)-(3) но и для исследования краевых задач для олераторно - дифференциальных уравнений смешанного типа первого и второго порядка, как наиболее часто возникающих в приложениях. Здесь мы обобщаем рад результатов Н.В. Кислова о обобщенной разрешимости поставленных краевых задач, рассматриваем вопрос о гладкости решений и исследуем не рассмотренные ранее краевые задачи. Опишем основные области применения полученных результатов. Прежде всего - это краевые задачи для уравнений смешанного типа, теория которых разрабатывается достаточно давно в связи с многочисленными приложениями в гидродинамике, газовой динамике, физике. Количество работ посвященныг этой теме огромно. Мы можем сослаться, например, на известные монографии A.B. Еицадзе, М.М. Смирнова, Т.Д. Джураева, М.С. Салахитдинова и других авторов. В частности, в класс исследованных в диссертации уравнений входят хорошо известные уравнения Трикоми, Лаврентьева-Бицадзе и некоторые другие. В этой связи, касаясь спектральных задач непосредственно для уравнений смешанного типа, мы можем сослаться на цикл работ Моисеева В.И., изложенный в его недавно вышедшей книге, на работы Т.Ш. Кальменова и ряд других. Другая область приложений - краевые задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени, в класс которых входят так называемые кинетические уравнения описывающих диффузи-

онные процессы, броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике. Можно отметить, например, что в класс исследуемых дифференциально

- операторных уравнений первого порядка входит знг ительное количество уравнений, взятых из физики. Полученные для задачи (1) результаты иогут быть легко использованы в теории полиномиальных операторных пучков, поскольку, как уже было отмечено, спектральные задачи для таких пучков легко сводятся к спектральным задачам для линейных пучков, причем различными способами. При определенных условиях может быть исследован Donpoc о базис-ности собственных и присоединенных элементов для таких пучков, вопрос о факторизации пучка. Мы можем сослаться, например, на результаты А.Г. Костюченко, М.Б. Оразова, A.A. Шкалмко-г,а и других авторов, которые могут быть легко использованы при развитии исследований в ^том направлении. Полученные результаты также могут послужить основой при постановке и исследовании новых краевых задач. Все результаты диссертации являются новыми.

Цель работы — исследование вопроса о базнсиости по Рис-су (соответственно, безусловной базнсиости) собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (1) в гильбертовом пространстве Fo; исследование вопроса о выделении максимальных, инвариантных, семидефинитных подпространств для J-диссипатив-ных в некотором пространстве Крейна. неограниченных операторов; доказательство базисности по Риссу (при определенных предположениях) собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (2)-(3) в гильбертовом пространстве £2}i(G+U(7~); доказательство базнсиости но Риссу соответствующих частей собственных и присоединенных элементов (собственные и присоединенные элементы соответствующие положительным (отрицательным) соб стенным значениям) в ¿2,д(С+), Lnl}(G~) соответственно; применение полученных результатов к исследованию дифференциалы^

- операторных уравнений первого и второго порядков и к исследованию краевых задач для некоторых уравнений смешанного типа, параболических уравнений с меняющимся направлением времени.

Методик,- исследований. При исследовании используются

методы функционального анализа: теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой, методы теории интерполяции банаховых пространств, методы теории дифференциальных давлений в частных производных.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты.

1. Получен ряд результатов о ограниченности п рос ¿торов Рисса, которые соответствуют неограниченной компоненте спектра некоторого замкнутого неограниченного оператора. Исследован вопрос о непрерывности некоторых функционалов по параметру шкалы гильбертовых пространств.

2. При условии, что оператор Ь ограничен снизу и некоторых дополнительных естественных предположениях в пространстве с нормой ||и|| = |||5|'^2и|] исследован вопрос о базисности по Рис-су собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (1). Найдены как необходимые и достаточные так и достаточные условия базисности, которые легко проверяются в конкрегных ситуациях. Условия формулируются в терминах теории интерполяции.

3. Исследован вопрос о выделении максимальных семидефинит-ных инвариантных подпространств для .1-дисс.ипативии,, н некотором пространстве Крейна операторов.

а. В пространстве ьг с весом исследован вопрос о базисности но Риссу собственных и присоединенных функций задачи (2)-(3), где в качестве оператора Ь может быть вчят, например, самосопряженный эллиптический или вырождающийся эллиптический оператор, квазиэллиптический или вырождающийся квазиэллмптиче-схий оператор.

5. Рассмотрен вопрос о существовании, единственности и гладкости решений краевых задач для дифференциально - операторных уравнении первого и второго порядка смешанного типа, для некоторых уравнений смешанного типа и параболических уравнений с меняющимся направлением времени.

Апробация работы. Диссертация выполнена в 1983 - 1994 гг. в йистит) ге математики СО РАН. Результаты се докладывались па аучных семинарах Института, на семинарах но дифференци-

альным уравнениям и их приложениям в МИ АН России им. В. А. Стеклова под руководством В.П. Михайлова , в Московском университете: на семинаре по спектральной теории под руководством А.Г. Костюченко и на семинаре В.А. Ильина, » Московском энергетическом институте на семинаре Ю.А. Дубинского, в Институте Гидродинамики СО РАН на семинарах под руководством П.И. Плотникова и A.D. Кажихова. Основные положения диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: на совместных заседаниях семинара им. И.Г.Петровского и Московского математического общества ( 1986, 1988), на Всесоюзной конференциях по условно-корректным задачам математической физики и анализа (Новосибирск, 1992 гг.), на Всесоюзных школах-семинарах по неклассическим уравнениям (Новосибирск, 1980,1981 гг.), на Всесоюзных конференциях по дифференциальным уравнениям и спектральной теории (Алма-Ата, 1991 г.), на Всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям и оптимальному управлению (Ашгабат, 1986 г.), на конференции "Нелинейные граничные задачи математической физики" (Донецк, 1987 г.), на международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (EquadifF-8) (Братислава, 1993 г.), на советско-японском семинаре по обратным и некорректным задачам (Новосибирск, 1991 г.), на конференции по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск 1994 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14]. Из совместных работ (с А.Г. Подгаевым) в диссертацию включены результаты, непосредственно принадлежащие автору. Совместная гябота с В.Н. Враговым, А.И. Кожано-вым и С.Н. Глаэатовым носит обзорный характер.

Объем и структура диссертации. Писсертацня изложена на 242 страницах и состоит из введения, четырех глав и списка литературы, который содержит 131 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение носит обзорный характер. Дается состояние ьопроса, приводится библиография работ, связанных с темой диссертации.

Излагаются цедм диссертации, в сжатом виде приводится ее содержание.

Гяапа 1 носит вспомогательный характер и состоит из дк^х параграфов. Прежде чем описывать содержание этой главы, введем некоторые обозначения. Если Л, В - банаховы пространства, то под (Л, В)$,2 ([A, мы понимаем пространства, полученные с помощью метода действительной (комплексной) интерполяции. Под L{A,B) мы понимаем пространство линейных непрерывных операторов определенных на А со значениями в В. Если А = В, то мы пишем просто Ь(Л) вместо ЦА, Л). Через p(S), a(S) как обычно обозначаем резольвентное множество и спектр оператора S : А —> Л. Мы будем иметь дело с комплексными гильбертовыми пространствами, < чно из которых плотно вложено в другое, скажем Н\, Но, Hi С Hq. Как известно, пространство Н1 можно определить как область определения некоторого неограниченного, самосопряженного в Но, положительно определенного оператора Л такого, что 0 € р(А) и («, у)я, = (Au,Av)¡[0. В нашем случае имеет место равенство

где D(A') - область определения оператора Л*. В нрос. ранствах Нл мы можем ввести семейство норм

и соответствующих скалярных произведений (и, и),. В (5) Е\-спектральное семейство оператора Л, || • ¡|о~ норма в На- Пусть Т € П Ь(Н0) и Л/,, />/; («' = 0,1) - гильбертовы пространства

являющиеся подпространствами #;, причем вложения ЛГ1 С М0, N1 С N0 плотны. С помощью интерполяции мы можем построить ладщ. -грансгва

Один из главных вопросов, рассмотренных в первом параграфе главы 1, есть вопрос о непрерывности функций вида

tf, = (tfbtfo)j-,.2 = D(A'),

(4)

»

(5)

о

M, =(MbAÍ0)i-,,2, ^(JVuiVoW

. (Ги,и), (Ta.u),

jnf Tm , «нр Jtn-

||u||. 'иен. ||«||. no параметру з G [0, 2]. Оз-сгада, в частности, вытекает, что для некоторых классов операторов свойство оператора иметь ограниченный обратный непрерывно по параметру а, характеризующему шкалу пространств. Затем полученные результаты используются при исследовании непрерывности свойства подпространства М, быть замкнутым подпространством пространства II, и непрерывности свойства подпространств м„ n, образопыпать между собой ненулевой угол (т.е. cos (Л/,,7V,) < 1). Такие имеется и ряд других результатов. Мы приведем одно из утверждений из тех, которые по существу используются в последующих главах.

Утверждение 1.Пусть ЛГц = П0 и оператор Л G L(1Iо) обладает свойствами:

¡мл к,ц)0 > Vu е но, л е l{iium,).

Тогда шИдстся > 0 такое, что

м, Va е [о,д0].

Утверждения подобные утверждению 1 можно использовать, например, при исследовании некоторых свойств весовых прострэ т.тв СЛ. Соболева.

Подобные вопросы, по-видимому, ранее никем не рассматривались, хотя задачи §1 могут быть сведены к некоторым задачам теории возмущений.

§2 п основном ппг.нящен исследованию вопроса о различимости спектра некоторого замкнутого неограниченного оператора, который состоит, в главном, в вопросе о ограниченности проекторов Рисса, соответствующих неограниченной компоненте снекч'ча этого опрратора. '.:)-гот вопрос ранее исследовался в случае банаховых пространсав в работе Доре и Венни и в случае гильбертовых пространств в одной го работ Гривара. Мы в этом .параграфе "'общим условие Гривара, приведем ряд других условий. Кроме тою, в эхом параграфе приведен и ряд некоторых технических лемм.

Глава 2 состоит из 5 параграфов. §1 гл.2 посвящен в основном определениям и некоторым вспомогательным утверждениям. В §2

рассматриваете« спектральная задача (1). Приведены в терминах теории интерполяции необходимые и достаточные условия базис-ности по Риссу собственных и присоединенных элементов задачи (1) в пространстве /о- Кроме того мы рассматриваем вопрос о выделении максимальных семидефинитных инвариантных относительно оператора В (если Ь обратим) подпространств и некоторые связанные с этим результаты. Отметим , что с помощью спектральных проекторос еператора В в Р0 можно легко ввести структуру пространства Крекяг., так, что вопрос о неотрицательности (неположительности) подпространства имеет смысл. Чтобы не загромождать изложение мы сейчас сформулируем один из основных результатов §1-2 в простейшем случае, когда кег В = {0} и оператор Ь положительно определен в пространстве Е, то есть {Ьи,и) > ¿||и||2 Уи е £>(£), где (•,•) и || • || скалярное произведение и норма в Е. Положим /*! = Р{ — негативное простран-

ство, построенное по Р^ и Е, Ра — пополнение 0(|Д|1/2) по норме ||и||А = |||1| и, соответственно, Л] есть пополнение Р0 по норме ||и||г_, = Под собственным элементом спектральной задачи (1) мы понимаем элемент и 6 Я такой, что для некоторого А € С в пространстве Р( имеет место равенство (1). Под резольвентным множеством пучка Ь — ХВ мы понимаем А £ С такие, что оператор Ь — ХВ есть изоморфизм и Р[. Соответственно спектр пучка будет состоять из точек дополнения к резольвентному множеству.

Утверждение 2. Пусть имеет место плотное вложение С 0(|В|1/2) и спектр пучка Ь — ХВ имеет не более чем счетное число точек сгущения (что выполнено, если вложение С компактно). Тогда из собственных векто-

ров пучка (I), нормированных в Га, можно образовать базис по Риссу простр1Чства Рц тогда и только ,..огда, когда

= (6)

§3 посвящен исследованию вопроса о супь.., ^ании максимальных семидефинитных инвариантных подпро'--" ->нств для .1-дисси-пативных в некотором пространстве Крей. ^..торов. ш

существования этих подпространств так же как и п §2 даются в терминах теории интерполяции. Точнее, при некоторых естественных условиях на соответствующий Л-диссипативный оператор и при выполнении условия типа условия (6) мы показываем, что данный оператор имеет инвариантные подпространства, являюпдаеся максимальными семидефинитнымн, максимальными дефинитными, или, соответственно, максимальными равномерно дефинитными. Мы поясним здесь также и связь §2 и §3. §4 посвящен достаточным условиям, при которых результаты §2 и §3 имеют место. В §5 приведен ряд примеров, показывающих нетривиалыюсть теорем из §2,3 и близость полученных достаточных условий к необходимым. Некоторые результаты из гл. 2, в частности результаты §3, близки к некоторым из результатов Гривара.

Глава 3 состоит из 4-х параграфов и посвящена эллиптическим спектральным задача? вида (2)-(3). §1 носит вспомогательный характер. В нем рассматриваются некоторые вспомогательные функциональные пространства, исследуются их свойства. В §2,3 мы рассматриваем вопрос о базисностл собственных и присоединенных функции эллиптических спектральных задач. Более точно, мы рассматриваем спектральную задачу вида

а(н,и) - Л(д(х)и,ь) - 0 Уи € (7)

где (•,•) есть скалярное произведение в ¿г(О) (С - ограниченная область в Л"), д{х)- некоторая измеримая функция, о(и,симметричная, ограниченная снизу в ¿2(^)1 билинейная форма, определенная в некотором весовом пространстве Р плотно вложенном в ьч(ст). В этих параграфах мы приводим условия (к; : необходимые и достаточные, так и достаточные) при которых собственные, присоединенные функции задачи (7) образуют базис по Рис-СУ " и С?-) ( множества были определена, ранее).

Мы также приводим условия, при выполнении которых "половины" собственных и присоединенных функций (грубо говоря собственные функции соответствующие положительным (отрицательным) собственным значениям вместе с некоторыми конечными наборами из собственных и присоединенных функций) образуют базисы по Рис-су в Ь2,5(С-), соответственно.

При выполнении наших предположений существует самосопряженный в L%{G) оператор L такой, Что

(Ж- D{L) dcïii oômtti ощаяепъшя оператора L. Условия на форму tliUi V) у liât таковы, <tto и класс операторов L входят самосояря-AK'Ititiiië эллиптические и квазиэллиптическне операторы, вырожда-КИЦйёс« эллиптические и некоторые другие операторы.

LI §4 Мь 3 UU рассматриваем некоторые специальные случаи, точнее МЫ Применяем результаты §3 для исследования спектральных задач видя (7) » случае, когда оператор L (см.(8)) является эллиптическим ИЛИ обшиойенным дифференциальным оператором. Мы Приводим также И ряд условий, которые гарантируют выполнение соответствующих условий, использованных в §2,3.

В §1 главы 4 мы рассматриваем краевые задачи для дифференциально - операторных уравнений 1-го и 2-го порядков и применяем эти результаты простейшим типам уравнений: уравнениям параболического тина с меняющимся направлением времени, уравнениям смешанного типа второго порядка. Условия на операторы таковы, что, фактически, мы получаем дифференциально - операторные уравнения, которые могут быть названы уравнениями смешанного тина. Как уже отмечалось, результаты этого параграфа близки к результатам Н.В. Км слова. В отличие от работ Кислова Н.В., мы рассматриваем вопрос о гладкост-я решений поставленных краевых задач, исследуем и не рассмотренные ранее краевые задачи. Затем мы фактически иллюстрируем абстрактные результаты §1 на конкретных примерах: уравнений смешанною типа второго порядка, уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени.

В §2 мы ра : ;матриваем начально-краевые задачи для нелинейною параболического уравнения вида

где функция Trij(i) лишь асимптотически положительна. Уравнение (Э) было предложено Яненко H.H. при моделировании сложных течет; , вязкой жидкости. Мы рассматриваем случай Д = 0 и

(8)

(9)

доказываем существование континуального количества (при определенных условиях на данные задачи) различных решений данных начально-краевых задач. Среди работ, посвященных уравнению (8), отметим работы К. Холлига, М.М. Лаврентьева(мл.), М. Слемрода, Н. Аликакоса, П.И. Плотникова. В этих и других работах содержатся теоремы существования фактически лишь для случая, когда множество изменения функции иог(*0 вложено в некоторый интервал, целиком принадлежащий области, где и/(£) > 0. Здесь щ- начальные данные, т.е.

и|«=0 = «о(г)

Фактически, §1,2 кал и вся глава 4 носят иллюстративный характер.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [1], [2], [5], [7], [8]; главы 2 в работах [1]-[2,, [4]-[5], [7]-(8], [13]-[14]; главы 3 в работах [1]-[3], [6]-[8]; и главы 4 в работах [9]-[12], [2], [6]. Из совместной с А.Г. Подгаевым [11| работы в диссертацию включены только результаты принадлежащие автору. Совместная работа [13] носит обзорный характер.

Работы автора по теме диссертации:

[1] Пятков С.Г. Некоторые свойства собственных функций ли-койиых пучковЦ Снбир. матем. жур..- 1989.- т. 30, N.4.- с.111-124.

[2] Пятков С.Г. Свойства собственных функций одной спектральной задачи и некоторые их приложения// Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физ ки: Сб. науч. тр./ АН СССР. Сиб. отд-ние. Институт математики,- 1986.-с.65-84.

[3] Пятков С.Г. О свойствах собственных функций одног спектральной задачи и их приложения// Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. науч. тр./ АН СССР. Сиб. отд-ние. Институт математики.- 1984.- с.115-130.

[4] Пятков С.Г. О некоторых свойствах собственных функций линейных пучков.// Матем. заметки,- 1992.- т.51, в.1,- с.141-148.

(5] Пятков С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных самосопряженных пучков// Мат. сборник.-1994.- т.185, N.3.- с. 93-116.

[в] Пятков С.Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени// Докл. АН СССР.- 1985.- т.285, N.6.- с.1322-1327.

[7] Pyatkov S.G. Riesz's bases bom the eigenvectors and associated vectors of elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Siberian J. Diff. Equat., Nova Science Publishes, Inc.(New York).-1994.- v.l, N.2.- p.87-104.

[8] Pyatkov S.G. Elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Siberian Advances in Mathematics., Allerton Press, Inc.(New York).- 1994.- v.4, N.2.- p.87-127.

|9] Pyatkov S.G. Some properties of eigenfunctions of linear pencils and applications to mixed type operator-differential equations// Bauach center publications, Waiszawa.- 1992.- v.27, part 2 - p.373-382.

[10] Пятков С.Г. Разрешимость краевых задач для одного уравнения смешанного типа второго порядка// Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных: Сб. науч. тр./ АН СССР. Сиб. отд-иие. Институт математики.- 1988.- с.77-90.

[11] Пятков С.Г., Псига«в А.Г. О разрешимости одной краевой задачи для нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени// Сиб. матем. журнал.- 1987.- т.28, N.3.-с.184-192.

[12] Пятков С.Г. Разрешимость начально-краевых задач для одного нелинейного параболического уравнения с меняющимся направлением времени- Новосибирск, 1987.- 30с. (Препринт/ АН СССР. Сиб. Отд-ние. Ин-т математики; N.16).

[13] Vragov V.N., Kozhanov A.I., Pyatkov S.G., and Glazatov S.N. On the theory of nonclassical equations of mathematical physics// Conditionally well-posed problems. - Moscow, Utrecht: TVP/TSP, 1993.- p.299-321.

[14] Pyatkov S.G. Maximaleemi^efinite invariant subspace 'or some classes of operators// Conditionally well-posed problems,- Moscow, Ut scht: TVP/TSP, 1993.- p.336-338.