Индефинитные функции Шура и их свойства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

№

Андреищева Елена Николаевна Индефинитные функции Шура и их свойства

01 01 01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

¡11111111111111111111

003 161521

Воронеж - 2007

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Азизов Томас Яковлевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Баскаков Анатолий Григорьевич,

доктор физико-математических наук, профессор Курбатов Виталий Геннадьевич,

Ведущая организация Механико-математический факультет

Московского государственного университета им М В Ломоносова

Защита состоится 23 октября 2007 года в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212 038 05 при Воронежском государственном университете по адресу 394006, г Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан /<Р сентября 2007 года Ученый секретарь

диссертационного совета К 212 038 05, доктор физико-математических наук,

профессор

Гликлих Ю Е

Актуальность темы Данная диссертация посвящена исследованию свойств обобщенных функций Шура и ее унитарной реализации, построению алгоритма Шура на единичной окружности для обобщенной функции Ка-ратеодори, а также решению основной граничной интерполяционной задачи и задачи факторизации для обобщенной функции Каратеодори

Классом Шура в комплексном анализе называют множество голоморфных функций, определенных и ограниченных единицей на единичном круге Понятие функций Шура встречается как в интерполяционной теории и теории инвариантных подпространств, так и в приложениях Некоторые ядра, индуцированные функцией Шура встречаются в теории наиболее часто Это воспроизводящие ядра для функциональных гильбертовых пространств, которые сегодня понимаются как пространства состояний для канонических коизометрических, изометрических и унитарных операторных узлов, чьи характеристические функции совпадают с данной функцией Шура

Операторное обобщение понятия класса Шура определяется множеством функций в (г), заданных и голоморфных на подобласти единичного круга содержащей нуль, и принимающих значения во множестве <25) непрерывных операторов, где т?, 0 - гильбертовые, пространства Поитрягина либо пространства Крейна

Каждой такой функции поставим в соответствие три ядра

I - 5(г)5Н* I - 5(г)5И*

\ г-ш /

где Б (г) = Б (г)* и I обозначает скалярную единицу или единичный оператор в зависимости от контекста Когда эти ядра неотрицательны, они являются воспроизводящими ядрами гильбертовых пространств -$3(5), 5)(5) векторно-значных функций Данные пространства появляются в канонической модели сжимающих операторов для случая гильбертовых пространств в теории Л де Бранжа и Дж Ровняка

ч

V

В общем случае у данных трех ядер предполагалось наличие а отрицательных квадратов, для некоторого неотрицательного целого числа >с Тогда мы говорим, что функция Б(г) принадлежит обобщенному классу Шура 0) Согласно теории Л Шварца и П Сорьонена, в случае обобщенного класса Шура пространства #(5), 55(5) также существуют, однако те-

перь как пространства Понтрягина с отрицательным индексом к Заметим, что ипдефинитность появляется и тогда, когда пространства ^ и 0 являются пространствами Понтрягина или Крейна Данный подход впервые исследовался В П Потаповым

Индефинитные случаи также были изучены в сериях работ Д Алпая, Т Я Азизова, М Г Крейна и Г Лангера и недавних работах Л де Бранжа

Теория Крейна-Лангера предполагает, что пространства 5 и © гильбертовы, и необходимость такого подхода мотивируется спектральной теорией, классическими представлениями резольвент и вопросами теории функций

Теория де Бранжа охватывает различные системы точек зрения и использует понятие дополнения для создания ключевой конструкции

Однако, несмотря на то, что получено множество выдающихся результатов, индефинитная теория менее изучена, нежели гильбертов случай

Свое развитие теория пространств с индефинитной метрикой и действующих в них операторов получила в работах М Г Крейна, И С Иохвидова, Р Филлипса, М А Наймарка, Г К Лангера, П Йонаса, Т Я Азизова, А А Шкаликова, в ряде совместных работ Д Алпая, Т Я Азизова, А Дайксмы и Г Лангера и многих-многих других математиков

В свете вышеизложенного исследование качественных свойств функций Шура представляет несомненный интерес

В настоящей работе мы подробно остановимся на аналоге результатов исследования М Г Крейна и Г Лангера, полученных в 1977 году и связанных с актуальными проблемами современной математики, а именно с теорией приближения и факторизации функций в пространствах с индефинитной метрикой Также мы исследуем свойства функции Каратеодори, близкие к полученным в 2006 году Д Алпаем, А Дайксмой и Г Лангером и касающиеся алгоритма Шура для функций Шура и Неванлинны, факторизации и ин-

терполяции матричных функций В качество результата, получен алгоритм построения преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодори для точки, принадлежащей единичной окружности

Цель работы. Исследование качественных свойств обобщенных функций Шура, построение преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодори на единичной окружности, исследование вопросов факторизации и интерполяции обобщенных функции Каратеодори

Методика исследований В диссертации используются методы математического анализа, теории приближений, операторной теории, теории интерполяции функций

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами Основные результаты работы

1 Приведен пример операторно-значной функции, для которой ядро и сопряженное ядро имеют различное количество отрицательных квадратов

2 Доказана теорема об аппроксимации обобщенной функции Шура в окрестности единицы и приведены условия ее представления в некоторой области

3 Доказана теорема о принадлежности вектора области определения

4 Получено преобразование Шура для обобщенной функции Каратеодори в точке принадлежащей единичной окружности

5 Доказаны теоремы о факторизации и интерполяции рациональных матричных функций для случая преобразования Шура обобщенной функции Каратеодори на единичной окружности

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер Ее результаты представляют интерес для исследований в рамках теории инвариантных пространств, теории аналитических функций, теории приближений и интерполяции линейных операторов

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносовские чтения" 2006 года (Севастополь, 2006), Воронежской зимней математической школе С Г Крейна (Воронеж, 2006), Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории

краевых задач" "Поптрягинские чтения - XVII" (Воронеж, 2006), Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007), Международной конфренции "Шестая Международная Конференция по операторной теории в пространствах Крейна и операторным многочленам" (Берлин, 2006), Международной конференции "Современный анализ и его приложения" (Одесса, 2007), Международной научной конференции "Петровские чтения - 2007" (Москва, 2007), на семииаре "Спектральная теория операторов в индефинитных пространствах" (Воронежский государственный университет, руководитель проф ТЯ Азизов)

Публикации Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [10] Из них по теме диссертации опубликовано 10 работ

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих в общей сложности тринадцать параграфов, и списка литературы Объем диссертации 107 стр Библиография содержит 70 наименований Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и параграфа

Краткое содержание работы

В первой главе вводятся основные понятия, собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе

На протяжении всей работы мы рассматриваем три класса скалярных функций - Шура, Неванлинны и Каратеодори, которые связаны между собой дробно-линейными преобразованиями Функции из этих трех классов будем обозначать s,g, и / соответственно Для их определения нам понадобятся некоторые понятия и обозначения Через D всюду в диссертации будем обозначать открытый единичный круг D = {£ < 1}, через Г2 -подобласть ©, содержащую нуль

Определение 111. Скалярная функция K(z,ui) двух переменных, определенная на О, у. О, называется эрмитовым ядром, если

К(г,ш) = K(w,z), lo,Z&VL

Определение 112. Говорят, что эрмитово ядро K(z,w) имеет к отрицательных квадратов, если для любых конечных наборов {аг}[=1 с fi матрица (К(\и A_,))[J=1 имеет не более я отрицательных собственных значений, а хотя бы для одного набора их ровно х

Символами Kg(a,ß), Kf(z,w) будем обозначать ядра, порож-

денные функциями Шура, Невашшнны, Каратеодори соответственно Класс мероморфпых па D функций s, для которых ядро вида

= -—ще А, /х из области голоморфости функции s, имеет конечное число отрицательных квадратов назовем обобщенным классом Шура и обозначим где ж число отрицательных квадратов с учетом их кратностей

Символом С+ будем обозначать открытую верхнюю комплексную полуплоскость Обобщенным классом Невашшнны назовем множество меро-

, _ , г, , .. g(a) — g(ß)

морфных в <L+ функций д, для которых ядро Кд{а,р) = -=—, где

а — ß

а, ß из области голоморфости функции д, имеет конечное число к отрицательных квадратов, и обозначим N^

Обобщенным классом Каратеодори назовем множество мероморфпых в D

функций /, дта которых ядро Kf(z, ш) = имеет конечное число

1 — ZLO

х отрицательных квадратов, и обозначим Сх

В параграфе 1 2 напоминается понятие индефннитиой метрики, рассматривается структура индефинитных пространств, а также приводятся индефинитные аналоги определений, характерных для гильбертова случая

Параграф 1 3 посвящен геометрии пространств Крейна - главной арены действия линейных операторов, изучаемых в диссертации Важнейший частный случай пространств Крейна - пространства Понтрягина - также рассматривается в параграфе 1 3

Определение 13 3 Операторным узлом назовем структуру (lC,C,T,u,v,■у), где К. является пространством Крейна с индефинитной метрикой [ , ] и называется пространством состояний, оператор Т непрерывный и называется связующим оператором, элементы u,v являются векторами пространства /С, 7 - комплексное число

Таким образом, с операторным узлом можно ассоциировать оператор V £ L(/C © С, К. Ф С) вида

Оператор Т называется главным оператором узла

Определение 13 4 Характеристической функцией узла V называется функция, порожденная оператором V вида (1)

©v(Л) = 7 + А[( 1 — AT)v\, и, veJC, AeD

Далее для краткости речи всюду в работе операторный узел будем называть оператором

Задача реализации функции состоит в ее представлении, как характеристической функции некоторого операторного узла

в(А) = 0К(А) (2)

на D А само представление (2) называется реализацией функции s(A) Мы назовем реализацию унитарной, изометрической или коизометрической, в зависимости от соответствующих свойств оператора V

В параграфе 1 3 вводится основной объект исследования - функция Шура и ее унитарная реализация Каждая функция Шура допускает унитарную реализацию, то есть может быть представлена в виде (2), где оператор V является унитарным

Определение 13 5 Оператор V называется минимальным, если

/С = з ло{Тпи,{Тс)ту п,т = 0,1,2, }

Минимальная реализация функции Шура единственна с точностью до унитарного подобия

Определение 1 3.6 Пусть Т — сжатие в пространстве Понтрягина Нк Скажем, что элемент и € Пх является порождающим для оператора Т, если

Пж= з л о {(I - XT)~lu, АеП, \iap{T)},

Л

где Q - малая окрестность пуля

Определение 1 4.2 Будем говорить, что У(А) £ Пх, если оператор V является 3ф^-унитарным, а пространство К\ является пространством Понтрягина с ж отрицательными квадратами

В качестве одного из результатов в параграфе 1 4 приводится пример голоморфной оператор-функции У(Л), для которой ядро и сопряженное ядро имеют различное число отрицательных квадратов

Цель параграфа 1 4 - показать, что если выполнено лишь одно условие -

ядро вида-- имеет а отрицательных квадратов, то, вообще

1 — А/и говоря, У(А) £ П"

В качестве примера в параграфе 1 4 мы рассматриваем функцию

= /с+ф/с-->/с+ф/с-,

где 11 Кг —> Кг - оператор сдвига по базису вправо такой, что всякий вектор вида х~ = (Х1,Х2, ) £ К~ переходит в вектор 17х~ = (0, , ), /+ - тождественный оператор, действующий в пространстве К+

Вторая глава посвящена исследованию вопросов аппроксимации функций Шура в окрестности единицы В параграфе 2 1 осуществляется постановка задачи, напоминаются некоторые определения, рассматривается вспомогательные теоремы 212и213 В параграфах 2 2-2 3 рассмотрены некоторые теоретические факты спектральной теории и гармонического анализа операторов, которые понадобятся нам в дальнейшем

Через £ = {Л} обозначим класс плотно заданных операторов А, для каждого из которых при некотором а = а(А) > О все д Яе д > а являются регулярными и найдется константа с = с(Л) такая, что

-1м - с

ИСА-^ПК

Reß — а Через fобозначим множество

7Г

Пр = {ß | argß\ ^ </?}, где 0 < <р < -

В параграфе 2 4 доказываются следующие теоремы, необходимые нам в параграфе 2 5 при доказательстве леммы 2 5 1

Теорема 2 4.4. Пусть П ^ = П+[+]П~ - пространство Понтрягипа с сЬтП. = х < оо Пусть Т - сжатие в Их и 10 &р(Т) Пусть х Е П^ Тогда для выполнения условия

Шп[(/ — ХГ)~1х, (I — ЛТ)_1а;] < оо, А = ¡1 € Ц,,

необходимо и достаточно, чтобы х е гап(Т — I) В этом случае

Ига(I -\Т)~1х = {1 -ТуЧ

Теорема 2 4 3 Пусть А - максимальный диссипативный оператор в пространстве Понтрягипа

Ик = П+[+]П~, dim П~ = х < оо

Пусть при некотором х 6 П^ имеет место неравенство

lim [L(ß, А)х, L(ß, А)х] < оо,

/j—>оо

где L(ß, А) = ß + ß2(A - ßl)'1 Тогда х е dorn А

В параграфе 2 5 доказаны лемма 2 5 1 и теорема 2 5 1

Лемма 2 5.1 Для функции s, А € Ад с s(0) ф 0 следующие свойства

1 seSH,

2 hm s(A) = 1, Л-1

выполнены тогда и только тогда, когда существуют пространство Понтрягипа Пж, сжимающий оператор Т в П^ и порождающий элемент и 6 dorn(I — T)~l для оператора Т такие, что справедливо представление

«(А) = 1 - - \Т)~\1 - Т)~1и, ТЧ АбВ,Ь ор{Т)

s(0) А

Теорема 2 5 1 Пусть s(А) = XkSk(X), Sk(0) ф 0, k ^ п, тогда следующие свойства

и

-/ее где Б^— обобщенный класс Шура,

2 для некоторого натурального числа п > 0, существуют 2п чисел С1,С2, , С2П таких, что имеет место разложение

2 н

5(А) = 1-£С„(А-1Г + 0((А-1)2"+1), А —> 1, X е Ад,

v=\

выполнены тогда и только тогда, когда существуют пространство Понтрягина П.х, сжимающий оператор Т в Пя и порождающий элемент и <Е дот{{1 — Т)"(п+1)) для оператора Т такой, что справедливо представление

а(А) = Хк — =к=хк(\ - 1)[(/ - АТ)-\1 - Т)~1Тк+1и,Тки],

вк( о)

А е О, - £ ар(Т)

В этом случае

= £С&К1 -Т)~{г+1]Тк+\Тки] -СИ, 1 < I/< к + 1,

=¿=[(1 - ТГ^Т'и, Тки], к + 1 < V < п, в*(0)

—!—[(/ - Т)-('г+1)Тпи, {I - тс)-^-^Тс{-"~п)Тки], п + 1 < V < 2п

Третья глава посвящена исследованию обобщенной функции Каратео-дори, которая связана с обобщенной функцией Шура дробно-линейным преобразованием - преобразованием Кэли-Неймана Через Т обозначим единичную окружность Пусть гь 20 еТ, гг ф 20, \г\ < 1

Мы рассматриваем обобщенную функцию Каратеодори /(г), которая для некоторого целого р ^ 1 имеет в 2\ 6 Т ассимптотическое разложение вида 2р-1

/(*) = 7-0 + ]Г тг{г - + 0{{2 - 2г)2П, г ^ 2, 1=1

Дробно-линейное преобразование /(г) = ГДе © ~ матричная

функция, будем называть обобщенным преобразованием Шура для функции

Каратеодори

Функция &{г) может быть представлена следующим образом

е(г) = к - (1 - г4)Р{х)0~1Р{х

где го - точка единичной окружности, отличная от точки гг, оператор

= ^ ^ ^ ^ , й - подматрица размерности к матрицы Грама векторов /г(У), г = 0,1, ,р — 1 вида

-1/ т^'

1-1/ ^ (1 - г^)^2^ Исходя из этого, доказано, что матрица С имеет следующий вид

( Тк 0 0 0\

4+1 Тк 0 0

в = 4+2 Тк+1 Тк 0

\T2fc-l Т2к-2 1~2к-3

/о о о о

О

V-*!

Тк/

(-1

2£-3

Функция -Р(г) представима в виде ^(г) = иЯ{г), где = ((1-2*!*) (1-гг?)2 (1-2»?)*) ' " =

-1

Обозначим через р{г) полином степени ^ к — 1 вида

р(г) = (1 - г^)*Д(г)С_1Д(гь)*

(3)

Исходя из вышесказанного, формула представления матрицы 0(г) имеет вид

-1 и/7 г (! " ггЪ) ( то -то^-о

0(2) = Уии*3} = -^р(г)

I1 гг1) у—1

Найдем обратную матрицу ©(г)-1

то

Итак, получили преобразование Шура для обобщенной функции Каратео-дори в точке на окружности

= V (= К1 ~ г4)к ~ М1 ~ ^о)р(г)}/0) - т0т$(1 ~ гг*0)р{г)

(5)

В параграфе 3 3 мы формулируем и приводим доказательство основной граничной интерполяционной задачи для обобщенной функции Каратеодори Пусть € Т, где Т - единичная окружность, для целого числа к ^ 1 существует набор комплексных чисел то, 7^,7^+1, ,Т2к-\ с условием г0 + 7ц = 0, Тк ф 0 и такой, что матрица С вида (3) является эрмитовой

Основная граничная интерполяционная задача состоит в том, чтобы определить все функции / е СК такие, что имеет место асимптотика 2к~\

Яг)=т0+^ф-г1у + О((г-г1)2к), г - ^ (6)

г=к

Через С^'2к обозначим обобщенный класс Каратеодори функций, голоморфных в точке г% и для которых справедлива асимптотика (6) Если функция /(г) является решением основной граничной интерполяционной задачи, то /(г) принадлежит некоторому классу С^'2к, где х 6 Ъ и к > я-(С) - число отрицательных квадратов матрицы С

Определим также точку го е Т\{21} и полином р(г) по формуле (4) Теорема 3.3 1 Дробно-линейное преобразование

Пг) = {(1 - ггрк - 70*(1 - ггЪ)р{гЩг) + 7070*(1 - гг$)р(г) (1 - гг1)р{г)Кг) + {(1 - - т0(1 - г%)р(г)}

устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми решениями /(г) е С^'2к основной граничной интерполяционной задачи и всеми функциями /(г) € Сх, для которых

где я = хг —

Цель параг рафа 3 4 исследовать факторизацию класса рациональных функций на элементарные множители

Определение 3 4.1 Произведение (или факторизация)

где 6(г), ©1(г), - рациональные рхр матричные функции, называется минимальной, если deg©l©2 = с^©х + с1姩2, где степень понимается в смысле Макмиллана

Факторизация (7) называется тривиальной, если не менее одного множителя является постоянной матрицей

Рациональная функция ©(г) называется элементарной, если она не допускает нетривиальных минимальных факторизаций

Если функция ©(г) является ./-унитарной, факторизация (7) называется ./-унитарной только тогда, когда оба множителя ©1(2) и ©2(2) - ./-унитарны Обозначим через Щ1, где г\ е Т, класс всех рациональных 2x2 матричных функций, обладающих свойством 3-унитарности на Т\{гх} и имеющих единственный полюс в точке гх

Пусть точка го е Т\{2х} - фиксированная на окружности Определение 3 4 2 Функция Ф(г) = 0(г)0(2;о)^1 называется нормализованной матричной функцией

В параграфе 3 4 доказан следующий результат

Теорема 3 4 3 (1) Нормализованная матричная функция ©(г) € Щ1 элементарна тогда и только тогда, когда она представима в виде

Ити^ |/(г) Тц| > О,

в(г) = вх(г)&2(г),

(7)

где к 6 Ъ, к ^ 1, вектор

3-нейтральный и*3и = 0, р(г) - полином

степени с1е§ р{г) ^ к — 1 и удовлетворяющий условиям р(г) - гоС-^-'р^Г = 0, р{г1) ф О

(2) Каждая функция 6(г) € 1Л^ допускает единственную минимальную факторизацию

9(г) =01 (г) вп{х)и,

для которой каждая функция ©^(г) является нормированной элементарной матричной функцией из класса Ы^1 и и = 0(го) является 3$-унитарной константой

Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 05-01-00203-а)

В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук Т Я Азизову за постановку задачи, постоянное внимание к работе, поддержку и полезные советы в ходе исследования

Результаты диссертации опубликованы в работах

[1] Андреищева Е Н Об аппроксимации обобщенной функции Шура / Е Н Андреищева // Воронежская зимняя математическая школа С Г Крей-на - 2006 Тезисы докладов - Воронеж, 2006 - С 8-9

[2] Андреищева Е Н Условия представления обобщенной функции Шура в окрестности единицы / Е Н Андреищева // Современные методы теории краевых задач "Понтрягинские чтения - XVII" материалы Воронеж весен мат школы - Воронеж, 2006 - С 6-7

[3] Андреищева Е Н Об аппроксимации обобщенной функции Шура / Е Н Андреищева // Материалы научн конференции "Ломоносовские чте-ния"и Международной научн конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов - 2006" Тезисы докладов - Севастополь, НПЦ "ЭКОСИ - Гидрофизика 2006 - С 135

[4] Андреищева Е Н Пример голоморфной оператор-функции, для которой ядро и сопряженное ядро имеют различное число отрицательных квад-

ратов / Е Н Андрешцева // Труды молодых ученых Воронежского государственного университета - Воронеж, 2006 - № 1-2 - С 4-6

[5] Андрешцева Е Н Задача о представлении обобщенной функции Шура в окрестности единицы /Е Н Андрешцева // Современные методы теории функций и смежные проблемы материалы Воронеж зимн мат школы -Воронеж, 2007 - С 9-10

[6] Андреищева Е Н О некоторых задачах аппроксимации обобщенных функций Шура в окрестности единицы / Е Н Андреищева // Матем заметки

- 2007 -- Т82, № 1 - С 154-159

[7] Андреищева Е Н О некоторых задачах аппроксимации обобщенных функций Шура в окрестности единицы / Е Н Андреищева // Вестн Воронеж гос ун-та Сер Физика, математика - 2007 - №1 - С 86-94

[8] Andreishcheva Е Approximation of Generalized Schur functions / E Andreishcheva // International Conference "Sixth Workshop Operator Theory m Krem Spaces and Operator Polynomials" Book of abstracts - Berlin, 2006

- P 10

[9] Andreishcheva E Representation of Schur function for case of unitary realization / E Andreishcheva // International Conference "Modern Analysis and Applications" Book of abstracts - Kyiv, 2007 - P 8-9

[10] Andreishcheva E On the Representation of Schur function for case of unitary realization / E Andreishcheva // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы " Сборник тезисов - Москва, 2007 -С 18

Работа [6] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК РФ

Подписано в печать 04 09 07 Формат 60х84 '/1б Уел печ л 0,93 Тираж 100 экз Заказ 1811

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, Воронеж, ул Пушкинская, 3

Введение.

1 Обобщённые функции Шура. Основные понятия и теоретические факты

1.1 Определение и общие свойства обобщённых функций Шура, Неванлинны и Каратеодори.

1.2 Геометрия индефинитных пространств.

1.3 Пространства Понтрягина и операторные узлы. Основной объект исследования.

1.4 Пример голоморфной оператор-функции, для которой ядро и сопряжённое ядро имеют различное число отрицательных квадратов.

2 Исследование некоторых вопросов аппроксимации обобщённых функций Шура в окрестности единицы

2.1 Постановка задачи. Теорема Крейна - Лангера.

2.2 Преобразование Кэли - Неймана.

2.3 Спектральный анализ унитарных и самосопряжённых операторов.

2.4 О принадлежности вектора области определения оператора.

2.5 Условия аппроксимации обобщённой функции Шура в окрестности единицы.

3 Преобразование Шура для обобщённой функции Каратеодори в индефинитном случае на окружности

3.1 Классический анализ Шура. Вспомогательные определения.

3.2 Преобразование Шура для обобщённой функции Каратео-дори на окружности. Схема алгоритма.

3.3 Основная граничная интерполяционная задача.

3.4 Факторизация в классе функций^1.

Конечномерные пространства с индефинитной метрикой впервые появились в работах учёных в конце XIX века в связи с запросами физики. Известно, что все законы механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Однако открытые в 1864 году Максвеллом уравнения распространения электромагнитных волн оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея. Поиски формул перехода от одной инерциальной системы координат к другой, не меняющих вида уравнений Максвелла, привели к преобразованиям, называемым ныне преобразованиями Лоренца. В 1905 году А. Пуанкаре обнаружил, что преобразования Лоренца соответствуют повороту в четырёхмерном пространстве, имеющем три пространственных измерения и одно временное. В этом же году А. Эйнштейн опубликовал статью "К электродинамике движущихся тел", в которой заложил основы специальной теории относительности. В 1908 году Г.Минковский завершил построение четырёхмерной картины мира и на её основе создал соответствующую физическую модель.

С.Л.Соболев [30] в 1943 году, моделируя движение симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью, построил бесконечномерное пространство с индефинитной метрикой. В 1944 году появилась работа Л.С. Понтрягина [24], посвящённая самосопряжённым операторам в индефинитных пространствах (относительно индефинитной метрики). Дальнейшее своё развитие теория пространств с индефинитной метрикой и действующих в них операторов получила в работах М.Г.Крейна [19, 20],

И.С.Иохвидова [16], Р.Филлипса [69], М.А.Наймарка [22, 23], Г.К.Лангера [68], П.Йонаса [64], Т.Я.Азизова [1, 2, 3], А.А.Шкаликова [31], а также совместной работе И.С.Иохвидова и М.Г.Крейна [17], ряде совместных работ М.Г.Крейна и Г.К.Лангера [65, 66, 67], совместной работе И.С.Иохвидова, М.Г.Крейна и Г.Лангера [63], совместных работах Д.Алпая, Т.Я.Азизова, А.Дайксмы и Г.Лангера [32, 33, 34, 35, 36] и многих-многих других математиков (подробнее см. монографии [6] или [55]).

Одновременно в теоретической физике в связи с построением нелинейной теории элементарных частиц появились работы, в которых затрагивались вопросы, связанные с индефинитной метрикой.

В настоящее время библиография по теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и её приложениям практически необозрима.

Данная диссертация посвящена исследованию свойств обобщённых функций Шура и её унитарной реализации, построению алгоритма Шура на окружности для обобщённой функции Каратеодори, а также решению основной граничной интерполяционной задачи и задачи факторизации для обобщённой функции Каратеодори.

Классом Шура в комплексном анализе называют множество голоморфных функций, определённых и ограниченных единицей на единичном круге. Понятие функций Шура встречается как в интерполяционной теории и теории инвариантных подпространств, так и в приложениях. Некоторые ядра, индуцированные функцией Шура, встречаются в теории наиболее часто. Это воспроизводящие ядра для функциональных гильбертовых пространств, которые сегодня понимаются как пространства состояний для канонических коизометрических, изометрических и унитарных операторных узлов, чьи характеристические функции совпадают с данной функцией Шура.

Операторное обобщение понятия класса Шура определяется множеством функций S(z), заданных и голоморфных на подобласти единичного круга содержащей нуль и принимающих значения во множестве непрерывных операторов б), где (5 - гильбертовые, пространства Пон-трягина либо пространства Крейна.

Каждой такой функции поставим в соответствие три ядра

I - S(z)S(cv)* I - S(z)S(uy

KsM = 1-zSJ ' = 1-257 '

Ds(uj,Z) = Ks{u<z) S(z)-SW \ z-u / где S(z) = S(z)* и / обозначает скалярную единицу или единичный оператор в зависимости от контекста. Когда эти ядра неотрицательны, они являются воспроизводящими ядрами гильбертовых пространствfj(S), D(S) векторно-значных функций. Данные пространства появляются в канонической модели сжимающих операторов для случая гильбертовых пространств в теории JI. де Бранжа [56] и Дж. Ровняка [57]. В общем случае у данных трёх ядер предполагалось наличие к отрицательных квадратов, для некоторого неотрицательного целого числа х. Тогда мы говорим, что функция S(z) принадлежит обобщённому классу Шура Sx^, (5). Согласно теории Л. Шварца и П. Сорьонена, в случае обобщённого класса Шура пространства Sj(S), f)(S), также существуют, однако теперь как пространства Понтрягина с отрицательным индексом к. Заметим, что индефинитность появляется и тогда, когда пространства $ и 65 являются пространствами Понтрягина или Крейна. Данный подход при конечномерных б впервые исследовался В.П. Потаповым [25] .

Индефинитные случаи также были изучены в сериях работ Т.Я. Ази-зова [4, 5], М.Г.Крейна и Г.Лангера [65, 66, 67], и недавних работах Л. де Бранжа.

Теория Крейна-Лангера предполагает, что пространства # и б гильбертовы, и необходимость такого подхода мотивируется спектральной теорией, классическими представлениями резольвент и вопросами теории функций.

Теория де Бранжа охватывает различные системы точек зрения и использует понятие дополнения для создания ключевой конструкции.

Однако, несмотря на то, что получено множество выдающихся результатов, индефинитная теория менее изучена, нежели гильбертов случай.

В свете вышеизложенного исследование качественных свойств функций Шура представляет несомненный интерес.

В настоящей работе мы подробно остановимся на аналоге результатов исследования М.Г. Крейна и Г. Лангера [66], полученных в 1977 году и связанных с актуальными проблемами современной математики, а именно с теорией приближения и факторизации функций в пространствах с индефинитной метрикой. В третьей главе мы исследуем свойства обобщённой функции Каратеодори, близкие к полученным в 2006 году Д. Алпаем, А. Дайксмой и Г. Лангером [41] и касающиеся алгоритма Шура для функций Шура и Неванлинны. В качестве результата, в третьей главе построено обобщённое преобразование Шура для обобщённой функции Карате-одори для точки, принадлежащей окружности.

Перейдём к краткому описанию основных результатов диссертации.

В первой главе вводятся основные понятия, собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

На протяжении всей работы мы рассматриваем три класса скалярных функций - Шура, Неванлинны и Каратеодори, которые связаны между собой дробно-линейными преобразованиями. Функции из этих трёх классов будем обозначать s,g, и / соответственно. Для их определения нам понадобятся некоторые понятия и обозначения. Через D всюду в диссертации будем обозначать открытый единичный круг D = {£ : |£| < 1}, через 0, - подобласть D, содержащую нуль.

Определение 1.1.1. Скалярная функция K(z,u) двух переменных, определённая на £1 х П называется эрмитовым ядром, если

K{z, ш) = К (и, z), cj, z е Q.

Определение 1.1.2. Говорят, что эрмитово ядро K(z,w) имеет к отрицательных квадратов, если для любых конечных наборов {А,-}[=1 С матрица (К{\, Aj))[j=i имеет не более я отрицательных собственных значений, а хотя бы для одного набора их ровно к.

Символами Ks(X,fi), Kg(a,{3), Kf(z,u) будем обозначать ядра, порождённые функциями Шура, Неванлинны, Каратеодори соответственно.

Класс мероморфных на Р функций s, для которых ядро вида Ks(A,/z) = -—где X,fi из области голоморфости функции s, имеет конечное число отрицательных квадратов назовём обобщённым классом Шура и обозначим где к - число отрицательных квадратов с учетом их кратностей.

Символом С+ будем обозначать открытую верхнюю комплексную полуплоскость. Обобщённым классом Неванлинны назовём множество мероморфных в С+ функций д, для которых ядро Кд(а,(3) = ^^— ос — (3 где а,(3 из области голоморфости функции д, имеет конечное число к отрицательных квадратов, и обозначим Nx.

Обобщённым классом Каратеодори назовём множество мероморфных в В функций /, для которых ядро Kf(z, uS) = ^^ имеет конечное

1 — ZUJ число х отрицательных квадратов, и обозначим Ся.

В параграфе 1.2 напоминается понятие индефинитной метрики, рассматривается структура индефинитных пространств, а также приводятся индефинитные аналоги определений, характерных для гильбертова случая.

Через (£ обозначим векторное пространство над полем С комплексных чисел. Мы определим на <£ полуторалинейную эрмитову форму Q{x,y), то есть отображение Q : (£ х (8 —> С, линейное по первому аргументу:

Q{\iXi + \2X2}y) = \iQ{xi}y) + \2Q{x2,y)} {xhx2,ye<£; АьЛ2бС),

1.2.1) и эрмитово симметричное:

Q(y,x) = Q(x,y), (ж,у е€). (1.2.2)

Эрмитову форму Q(x, у) со свойствами (1.2.1) и (1.2.2) называют (^-метрикой. Нам удобно будет ввести для неё и более краткое обозначение x,y] = Q(x,y) (х,у£<В). (1.2.3)

Заметим, что вещественное число [х, х] = Q(x,x) может иметь любой знак. Это даёт основание называть Q-метрику [я, у] также индефинитной метрикой. Введём следующую классификацию векторов и линеалов пространства (£; при этом договоримся, прописная готическая буква £ (возможно с индексами: £+, £~, £° и т. д.) будет обозначать линеал.

Определение 1.2.1. Вектор х 6 назовём положительным, отрицательным или нейтральным в зависимости от того, будет ли [;х, х] > 0, [х, х) < 0 или [х, х] = 0 соответственно.

Положительные (соответственно отрицательные) и нейтральные векторы объединяются общим термином неотрицательные (соответственно неположительные) векторы. Множества всех положительных, отрицательных и нейтральных векторов пространства (£ обозначим соответственно через 03++, 03" и 03°.

Обозначим также через 23+, 03" множества всех неотрицательных и неположительных векторов из (£ соответственно: 03+ = 03++ U 03°, 03" = 03"" U 03°.

Определение 1.2.2. Линеал £ С (£ назовём неотрицательным, неположительным или нейтральным, если £ С 03+, £ С 03~, £ С 03° соответственно. Все эти три типа линеалов объединяются общим названием семидефинитные линеалы.

Определение 1.2.3. Линеал £ называется положительным (отрицательным), если £ С 03++ U {0} (£ С 03 U {0}). Положительные и отрицательные линеалы объединяются общим названием - дефинитные линеалы.

Напротив, линеал £, содержащий как положительные, так и отрицательные векторы называется индефинитным.

Определение 1.2.4. Векторы х,у € (£ называются Q-ортогональными, если [х,у] = 0. Этот факт обозначается символом [L] : х[А.]у.

-ортогональность произвольных множеств 9Л, 51 С 6 естественно определяется требованием х[±]у (для всех хе9Лиу€У1)и обозначается

Щ±]У1.

Q-ортогональным дополнением множества Ш С £ называется множество = {х | ж[1]Ш1}.

Вектор Хо G £ называется изотропным вектором для £ С <£, если хо ^ 0 и х0[±]£.

Определение 1.2.5. Линейная оболочка всех изотропных векторов Хо 6 £ называется изотропным для £ линеалом и обозначается £°. Иными словами, £° = £ П Равенство £° = {0} означает отсутствие в £ изотропных векторов. В случае £° = {0} линеал £ называется невырожденным, в противном случае - вырожденным.

Параграф 1.3 посвящён геометрии пространств Крейна - главной арены действия линейных операторов, изучаемых в диссертации. Важнейший частный случай пространств Крейна - пространства Понтрягина -также рассматривается в параграфе 1.3.

Пусть J и б - векторные пространства с индефинитной метрикой. Обозначим прямое произведение и прямую ортогональную сумму пространств $ и 0 через $х<3 и ^[-fjtS соответственно. Напомним некоторые определения, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Определение 1.3.1. Пространство 6 с индефинитной метрикой [х,у], допускающее каноническое разложение (£ = (£+[+](£", где (£+ и <£~ являются гильбертовыми пространствами по отношению к нормам а;|| = [ж,я]2 (х € <£+) и ||я|| = (—[х,х\)ъ (х € <£~) соответственно, будем называть пространством Крейна и обозначать К.

Если на пространстве Крейна /С индефинитная метрика задаётся как [•, •] = («/•, •), где J - самосопряжённый унитарный оператор, то /С называют J-пространством, а метрику, заданную таким образом - J-метрикой.

Определение 1.3.2. Оператор Т : /С —> /С назовём J-сжатием, если для любого х 6 JC выполнено неравенство [Тх,Тх] ^ [ж, ж].

Если одновременно с Т J-сжатием будет иТс = JT* «7, где Т* - гильбертов сопряжённый оператор, то Т будем называть J-бисжатием.

Свяжем с пространством /С числа ind±K = dim/С*, которые являются целыми или бесконечностью, не зависят от выбора канонического разложения и называются положительным и отрицательным индексами этого пространства.

Частным случаем пространств Крейна является пространство Понтря-гина и обозначается Пх, где к иногда называют числом положительных или отрицательных квадратов, в зависимости от того размерность какого подпространства (положительного или отрицательного) в каноническом разложении Пх минимальна.

Далее без ограничения общностей будем считать я числом отрицательных квадратов (размерностью максимального отрицательного подпространства).

Всё это нам понадобится в дальнейшем изложении работы.

Определение 1.3.3. Операторным узлом назовём структуру (К, С, Т, и, г>,7); где JC является пространством Крейна с индефинитной метрикой [•, •] и называется пространством состояний, операторТ непрерывный и называется связующим оператором, элементы и, v являются векторами пространства 1С, у - комплексное число. Таким образом, с операторным узлом можно ассоциировать оператор

Оператор Т называется главным оператором узла.

Всюду далее мы будем рассматривать операторный узел V, предполагая, что главный оператор Т является J-сжатием.

Определение 1.4.1. Будем говорить, что функция V(X) порождается непрерывным оператором или оператор V порождает функцию К(Л)), где К,\ является J\-пространством, если в некоторой окрестности нуля

Определение 1.3.4. Характеристической функцией узла V называется функция, порождённая оператором V вида (1.3.4);

Далее для краткости речи всюду в работе операторный узел будем называть оператором.

Задача реализации функции состоит в её представлении, как характеристической функции некоторого операторного узла

V е L(JC@C,1C®C) вида

У(А) = Vn + ЛVl2{I - XV22)~lV2l.

Qv( Л) = 7 + A[(l - Л Т)-ги, v], и, ve 1С, Хеш. s(X) = QV(X)

1.3.5) на Р. А само представление (1.3.5) называется реализацией функции5(Л). Мы назовём реализацию унитарной, изометрической или коизометриче-ской, в зависимости от соответствующих свойств оператора V.

В параграфе 1.3 вводится основной объект исследования - обобщённая функция Шура и её унитарная реализация. В параграфе 2.5 предполагается, что оператор V унитарен, то есть справедлива следующая система равенств (здесь 7 = 5(0)):

Каждая функция Шура допускает унитарную реализацию, то есть может быть представлена в виде (1.3.5), где оператор V является унитарным.

Также в параграфе 2.5 предполагается, что реализация минимальна, что означает минимальность оператора V.

Определение 1.3.5. Оператор V называется минимальным, если

Минимальная реализация функции Шура единственна с точностью до унитарного подобия: вместе с V вида (1.3.4) минимальной будет и реализация, соответствующая оператору

ТТ =/-[•,«]«, [i>, v] + |s(0)|2 = 1,

Tv + s(0)u = 0, TTC = /-[•, u]u, M + |s(0)|2 = l, Tcu + s(0)v = 0.

1.3.6)

К = з.л.о.{Тпи, (Tc)mv : n, m = 0,1,2,.}. где оператор

S 0 .

- J-унитарный.

V0

Определение 1.3.6. Пусть Т — сжатие в пространстве Понтря-гина Пн. Скажем, что элемент и 6 Пх является порождающим для оператора Т, если I

Пх= з.л.о.{(1 - ХТ)~1и, ЛеП, -т<£аР(Т)}, А где О - малая окрестность нуля.

Определение 1.4.2 нам понадобятся в параграфе 1.4. Определение 1.4.2. Будем говорить, что V(X) Е ГIх, если оператор V является Jф Ji-унитарным, а пространство является пространством Понтрягина с к отрицательными квадратами.

В качестве одного из результатов в параграфе 1.4 приводится пример голоморфной оператор-функции, для которой ядро и сопряжённое ядро имеют различное число отрицательных квадратов.

Известно [6, стр.328], если V(X) = XlVi - голоморфная в окрестности нуля оператор-функция, то следующие утверждения эквивалентны: а) V(X) 6 IF; б) отрицательные части спектров каждого из операторов jin)—y(n)*j(n)v^ состоят не более, чем из к отрицательных собственных значений, а отрицательные части спектров операторов J — VqJVq и J — VqJVq - из равного количества н\ ^ х отрицательных собственных значений (с учётом крат-ностей), где № = J ф J $ • • • ф J, V^ = (Kj')fj=o ~ теплицевы матп+1 рицы, действующие из /С^ в KSn\ где является -пространством, /С(п) = К, ф /С ф • • • ф К и выполнено V-j = 0 при i > j, Vy = Vj-i при n+l j, i,j = 0,n, n = 0, oo; . J-V(\)JV(n) . в) ядро -—— имеет не более к отрицательных квадратов,

1 — \\i а отрицательные части спектров каждого из операторов J — VqJVq и J — V0JVq состоят из к\ < х собственных значений (с учётом кратности).

Цель параграфа 1.4 - показать, что указанные в пунктах (б) и (в) уело- J-V(\)JV(H) вия нельзя ослабить, положив лишь, что ядро вида-=-име

1 — Хц ет х отрицательных квадратов. Заметим, что в [6, Лемма 3.14] показано, что при условии 1 6 p{V{0)) для выполнения пункта (а) достаточно, что-J - V*(\)JV{fi) бы лишь ядро-—— имело х отрицательных квадратов.

1 — X/I

Таким образом, в качестве примера в параграфе 1.4 мы рассматриваем ь Л функцию V(A) = V = :К+е/С- -*/С+ф/С', 0 U) где С/ : /С —» К - оператор сдвига по базису вправо такой, что всякий вектор вида х~ — (xj, х^ ,.) G Кг переходит в вектор Ux~ = (0, Xi, >•••)> 1+ ~ тождественный оператор, действующий в пространстве /С+.

Вторая глава посвящена исследованию вопросов аппроксимации функций Шура в окрестности единицы. В параграфе 2.1 осуществляется постановка задачи, напоминаются некоторые определения, рассматривается вспомогательные теоремы 2.1.2 и 2.1.3. В параграфах 2.2-2.3 рассмотрены некоторые теоретические факты спектральной теории и гармонического анализа операторов, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Теорема 2.1.2 используется для доказательства основного результата второй главы - теоремы 2.5.1.

Пусть 5 - голоморфная в окрестности нуля функция. Если |s(0)| < 1 и для любого к ^ 2 выполнено условие 5(0) = . = ^(0) = 0, то справедливо преобразование Шура вида:

1 s(A)-s(0)

Sfc(A) = ке{ 1,2,.}.

Afcl-s(0)5(A):

Наиболее подробно о преобразовании Шура будет рассказано в третьей главе.

Теорема 2.1.2.[36] Пусть 5(A) голоморфная в окрестности нуля функция, |s(0)| < 1 и для некоторого натурального числа k ^ 2 выполнено: s(0) = . = s^k-1\0) = 0.

Пусть V — минимальный унитарный оператор, характеристическая функция которого совпадает с 5(A).

Тогда

С = з.л.о.{у, Tcv,., Т^-%}, С' = з.л.о.{и, Ти,., Т^Ц k-мерные положительные подпространства К, и функция sk(А) является характеристической для минимальных операторов Vk и V'k :

14

Tk Uk l,vk] sk(0)

С С с с

2.1.4)

Причём

Тк = РТР, 1 ик =

Vk =

Л-Н0)|2

1 РГЧ 5,(0)^

Ри

2.1.5)

Ш —|s(0)|2 где Р — ортопроектор в К на подпространство К, = K,Q С. vA

Vk =

Tk ч

Л) 4(0) с с с с

2.1.6)

Причём

T'k = QTQ, щ = 1 Qu,

V 1 ~ 1-®С°>1 to 1 71 v - 1 i (0) - 1 sW(0) (2'L7) k\l — |s(0)|2 ' где Q — ортопроектор в К на подпространство К' = 1С О

Через 5 = {Л} обозначим класс плотно заданных операторов Л, для каждого из которых при некотором а = а (Л) > 0 все /2 : Re/x > а являются регулярными и найдётся константа с = с(Л) такая, что

1Р-МПК с

Re !i — а Через Г1у обозначим множество

7Г = {//: | arg/z| ^ у»}, где 0 < <р < -.

В параграфе 2.4 доказываются следующие теоремы, необходимые нам в параграфе 2.5 при доказательстве леммы 2.5.1.

Теорема 2.4.4. Пусть Пх = П+[+]П~ - пространство Понтрягина с dimEL = к < оо. Пусть Т - сжатие в Пх и 1 ар(Т). Пусть х 6 Пх. Тогда для выполнения условия л

Шп[(/ - АТ)-1^, (/ - ЛТ)"1^] < оо, Л = j^p б Цр, (2.4.23) необходимо и достаточно, чтобы х G ran(Т — I). В этом случае lim(7 - ЛТ)"1^ = (/ - Т)"1^. (2.4.24)

А—* 1

Теорема 2.4.3. Пусть А - максимальный диссипативный оператор в пространстве Понтрягина

Пх = П+[+]ГГ, dimir = x<oo. (2.4.20)

Пусть при некотором х Е Т1Х имеет место неравенство: lim [L(fi, А)х, L(II, А)Х] < оо, (2.4.21) где Ь(ц, А) = ц + /л2(А - pi)'1. Тогда х G dom А.

Теоремы 2.4.1 и 2.4.2 параграфа 2.4 носят вспомогательный характер. Теорема 2.4.1. Пусть В - банахово пространство и оператор А : В В, пусть А € £. Тогда при каждом х € В имеем: lim ц(А - [il)~lx = -х. (2.4.16) ц-юо, цеПр

Теорема 2.4.2. Пусть В - рефлексивное банахово пространство и А 6 £. Обозначим через L(/i, А) = + /л2(Л — ju/)-1. Тогда при фиксированном х Е В множество

Ла1 = {L(/i, А)х\ Re ц ^ а! > а, /2 £ ограничено тогда и только тогда, когда х G dom Л. Если Afll ограничено, то lim L(fi,A)x = —Ах. (2.4.18)

В работе [66] была доказана следующая теорема

Теорема 2.1.1.(Крейн-Лангер)[66] Для функции g в некоторой области Wg следующие свойства:

1. 9 е NK

2. для некоторого целого числа п ^ О, существуют 2п вещественных чисел sq,s\,. ., S2n-i таких, что имеет место разложение:

2п-1 / 1 \ ffW + £ ^ТТ = 0 Ьяг . а - 00, а 6 (2.5.36) выполнены тогда и только тогда, когда существуют пространство Понтрягина Пх , максимальный эрмитовый оператор А в Пх и порождающий элемент и Е dom Ап для оператора А такие, что справедливо: g(a) = [(А - aiy\u\, a 6 С+\ар{А). (2.1.2)

В этом случае:

Su={ J (2.1.3) [Апи, А"~пи], n<v^2n-l.

Наша цель - получить подобный результат для функции Шура. Идейно такой результат ожидаем, но только сейчас удалось решить его технически. С этим связаны кажущиеся слишком подробными вычисления второй главы.

Лемма 2.5.1. Для функции s, Хе Ад с 5(0) ф 0 следующие свойства:

1. 5 € Sx;

2. lims(A) = 1; л—>1 я —1 — |s(A)|2 выполнены тогда и только тогда, когда существуют пространство Понтрягина Пх, сжимающий оператор Т в Пх и порождающий элемент и £ dom(/ — Т)"1 для оператора Т такие, что справедливо представление: s(X) = lJ-^-[(I-XT)-1(I~T)-\Tcu], АеЮ), i фар(Т). (2.5.26) s(0) л

Теорема 2.5.1. Пусть s(A) = XkSk{X), sj.(0) Ф 0, k < п, тогда следующие свойства:

1. s £ SH, где Sx— обобщённый класс Шура;

2. для некоторого натурального числа п > 0, существуют 2п чисел Ci,C2,., С2п таких, что имеет место разложение:

2 п s{\) = 1 - СЛЛ - 1У + °((л - Ч2^1)' А 1, А е Л*; (2.5.31) и=1 выполнены тогда и только тогда, когда существуют пространство Понтрягина Пх, сжимающий оператор Т в Пх и порождающий элемент и € dom((/ - Т)"(п+1)) для оператора Т такой, что справедливо представление: s{А) = Xk - =Afc(A - 1)[(/ - ХТ)~\1 - Ту1Тк+\Тки], sfc(O)

AgB, \$ор(Т). (2.5.32) Л

В этом случае 1

Г С1~Ш - ТкиI - CI 1 < I/ < к + 1;

Су = - Ту^Ги, Тки], к + 1 ^ zy < п; - Т)~^Тпщ (/ - ТС)-^ТС^Т% п + Ю < 2п.

2.5.33)

Третья глава посвящена исследованию обобщённой функции Карате-одори, которая связана с обобщённой функцией Шура дробно-линейным преобразованием - преобразованием Кэли-Неймана.

Параграф 3.2 посвящён построению обобщённого преобразования Шура для обобщённой функции Каратеодори. Через Т обозначим единичную окружность. ПуСТЬ Z\, Zq £ Т, Z\ ф z0, \z\ < 1.

Мы рассматриваем обобщённую функцию Каратеодори f(z), которая для некоторого целого р ^ 1 имеет в^еТ ассимптотическое разложение

2р-1 f(z) = то + £ ф - z{f + 0((z - Zl)2n, z-*ZL (3.2.3)

Дробно-линейное преобразование f(z) = Xe~l(f(z)), гДе © ~ матричная функция, будем называть обобщённым преобразованием Шура для обобщённой функции Каратеодори.

По теореме [41, Теорема 1.1] функция Q(z) может быть представлена следующим образом где zq - точка единичной окружности, отличная от точки z\% G - подматрица размерности к матрицы Грама векторов fi(z), г = 0,1, .,р — 1 вида

Исходя из этого доказано, что матрица G имеет следующий вид

0(z) = h - (1 - z4)F(z)G-lF(z0yjf, тк 0 0 . О

П+1 п о . о G = 4+2 п+1 Тк . о ох j2k-l r2k-2 ^2fc-3 ••• Ч I

О О

О О

О C\z\ ~zl C\i2

О (-1 fCUz\

2 Jfc-Л

-1 r^ci^x-3 (-1 fcilZ

Лк-2

Функция F(z) представима в виде

ZTj

F(z) = I {l-zzl) {\-zz\Y

1 г

-«,*) (l-zz?)2

Иначе можно записать следующим образом где = z ro (1 -zz\)k rfe-i tn U = l-ZZjf) (1-ZZj)2

Обозначим через p(z) полином степени deg p(z) ^ к — 1 вида p(z) = (l-zzl)kR(z)G-lR(z0)\

-1

3.2.10)

Исходя из вышесказанного, формула представления матрицы 6(2:) имеет вид

9(г) = I2-(l-zz*0)R(z)G-lR{z0)*uu*Jf = /2

1 ~ zzS)

1 - zz\)k p(z)

-1

Найдём обратную матрицу Q(z)

-1 rv \-i г (12;2о) / ч I т° тото

1 - zz*)kJ

1 Tn

Итак, получили обобщённое преобразование Шура для обобщённой функции Каратеодори в точке z\ на окружности: м =

1 - zz\)k - 7-0(1 - zzj)p(z)}f(z) - r0r0*(l - zz*0)p(z) -(1 - zz*0)p(z)f{z) + {(1 - ZZt)k - 7j( 1 - ZzS)p{z)} (3.2.13)

В параграфе 3.3 мы формулируем и приводим доказательство основной граничной интерполяционной задачи для обобщённой функции Каратео-дори.

Пусть z\ £ Т, где Т - единичная окружность, для целого числа к ^ 1 существует набор комплексных чисел то, г^, 1,., Tik-\ с условием то + ro = тк Ф 0 и такой, что матрица G вида (3.2.9) является эрмитовой.

Основная граничная интерполяционная задача состоит в том, чтобы определить все функции / 6 Сх такие, что имеет место асимптотика

2Jfc-l и=то+Y, - +- z (3-3-14) i—k

Через C^'2k обозначим обобщённый класс Каратеодори функций, голоморфных в точке z\ и для которых справедлива асимптотика (3.3.14).

Если функция f(z) является решением основной граничной интерполяционной задачи, то f(z) принадлежит некоторому классу С^'2к, где я е Ъ и к ^ *c-(G) - число отрицательных квадратов матрицы G.

Определим также точку zq е T\{zi} и полином p(z) по формуле (3.2.10).

Теорема 3.3.1. Дробно-линейное преобразование {(1 - zz\)k - т0*(1 - zz*Q)p(z)}f(z) + т0т0*(1 - zzSMz) (1 - z4)p(z)J(z) + {(1 - zz\Y - r0(l - zzl)p(z)} устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми решениями f(z) е С%;2к основной граничной интерполяционной задачи и всеми функциями f(z) 6 для которых liminf \f(z) — го| > 0, (3.3.16)

Z—tZi где к = я — х (G).

Цель параграфа 3.4 - исследовать факторизацию класса рациональных функций на элементарные множители.

Определение 3.4.1. Произведение (или факторизация) e(z) = 0i(z)©2(z), (3.4.18) где 0(2;), ©1(2), 02(z) - рациональные р х р матричные функции, называется минимальной, если deg©i@2 = degOi + deg©2, где степени deg@i@2,deg@i,deg©2 понимаются в смысле Макмиллана.

Факторизация (3.4.18) называется тривиальной, если не менее одного множителя является постоянной матрицей.

Рациональная функция @(z) называется элементарной, если она не допускает нетривиальных минимальных факторизаций.

Если функция Q(z) является J-унитарной, факторизация (3.4.18) называется J-унитарной только тогда, когда оба множителя ©1(2) и ©2(2) - J-унитарны.

В случае, когда @(z) является рациональной и J-унитарной функцией на Т, ядро . , Jf - e(z)jfe(wy

KQ(Z, W) = -i

1 - zw* имеет конечное число положительных и отрицательных квадратов.

Обозначим через V(Q) пространство Понтрягина, порождённое ядром Ke(z,w).

Обозначим через Щ1, где zi в Т, класс всех рациональных 2x2 матричных функций, обладающих свойством J-унитарности на T\{£i} и имеющих единственный полюс в точке z\. Класс Щ1 является подпространством ?(©).

Пусть точка zq € T\{2i} - фиксированная на окружности. Определение 3.4.2. Функция = 0(z)O(2;o)~1 называется нормализованной матричной функцией.

В параграфе 3.4 был доказан следующий результат Теорема 3.4.3. (1)Нормализованная матричная функция Q(z) е Щ1 элементарна тогда и только тогда, когда она представила в виде e<z) = h - (l-zSP(Z)UU'J'' (ЗА20) М где k G Z, к ^ 1, вектор - J-нейтральный: и* J и = 0, p(z)

-ч полином степени deg p(z) ^ к — 1 и удовлетворяющий условиям p(z) - z0(-zl)kzk-lp(l/zr = 0, p(Zl) ф 0.

2) Каждая функция 0(z) G Щ1 допускает единственную минимальную факторизацию e(z) = el(z)--.en(z)U, для которой каждая функция Oj(z) является нормированной элементарной матричной функцией из класса Щ1 и U = G(zo) является Jf-унитарной константой.

Это показывает, что функция 0(г), соответствующая обобщённому преобразованию Шура для обобщённой функции Каратеодори и основной граничной интерполяционной задаче в предыдущем параграфе, является нормированным элементарным множителем в Uzfl.

Основные результаты диссертации докладывались на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносовские чтения" 2006 года (Севастополь, Черноморский филиал МГУ им. М.В. Ломоносова, 2006); Воронежской зимней математической школе им.С.Г.Крейна (Воронеж, 2006); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения -XVII" (Воронеж, 2006); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007); Международной научной конференции "Операторная теория в пространствах Крейна и операторные многочлены "(Берлин, 2006); Международной конференции "Современный анализ и его приложения "(Одесса, 2007); Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" "Петровские чтения - 2007"(Москва, 2007); на семинаре "Спектральная теория операторов в индефинитных пространствах" (Воронежский госуниверситет, руководитель проф. Т.Я. Азизов).

Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 05-01-00203-а).

В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук Т.Я. Азизову за постановку задачи, постоянное внимание к работе, поддержку и полезные советы в ходе исследования, а также профессору А.Дайксме (Нидерланды, Университет г.Гронингена) за внимание к работе и полезные советы.

1. Азизов Т.Я. Инвариантные подпространства и критерии полнотысистемы корневых векторов J-диссипативных операторов в пространстве Понтрягина П* / Т.Я. Азизов // ДАН СССР. 1971. -Т.200, №5. - С.1015-1017.

2. Азизов Т.Я. Об инвариантных подпространствах коммутативных семейств операторов в пространстве с индефинитной метрикой / Т.Я. Азизов // Укр.мат.журн. 1976. - Т.28, №3, с.293-299.

3. Азизов Т.Я. О полноте и базисности системы собственных и присоединённых векторов J-самосопряжённых операторов класса К{Н) Т.Я.Азизов // ДАН СССР. 1980. - Т.253, №5. - С.1033-1036.

4. Азизов Т.Я. К теории расширений изометрических и симметрических операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т.Я.Азизов // Деп. ВИНИТИ., 1982, 29 с. №3420-82.

5. Азизов Т.Я. К теории расширений J-изометрических и Jсимметрических операторов/ Т.Я.Азизов // Функ.анализ и его прилож. 1984. - Т. 18, №1. - С.57-58.

6. Азизов Т. Я. Основы теории линейных операторов в пространствес индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов. М.: Наука, 1986. - -352 с.

7. Андреищева Е.Н. Об аппроксимации обобщённой функции ШураЕ.Н.Андреищева //Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2006: Тез. докл. - Воронеж, 2006. - С. 8-9.

8. Андреищева Е.Н. Условия представления обобщённой функции Шурав окрестности единицы /Е.Н.Андреищева // Современные методы теории краевых задач "Понтрягинские чтения XVII": материалы Воронеж весен, мат. школы. - Воронеж, 2006. - С. 6-7.

9. Андреищева Е.Н. Пример голоморфной оператор-функции, для которой ядро и сопряжённое ядро имеют различное число отрицательных квадратов /Е.Н.Андреищева //Труды молодых ученых Воронежского государственного университета. Воронеж, 2006. -№ 1-2. - С. 4-6.

10. Андреищева Е.Н. Задача о представлении обобщённой функции Шура в окрестности единицы /Е.Н.Андреищева // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. школы. Воронеж, 2007. - С. 9-10.

11. Андреищева Е.Н. О некоторых задачах аппроксимации обобщённыхфункций Шура в окрестности единицы / Е.Н.Андреищева // Ма-тем.заметки. 2007. - Т.82, № 1. - С. 154-159.

12. Андреищева Е.Н. О некоторых задачах аппроксимации обобщённых функций Шура в окрестности единицы / Е.Н.Андреищева // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2007. - Ж. - С. 86-94.

13. Ахиезер Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. М.: Наука, 1966. -316 с.

14. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов / Ю. М. Березанский. К.: Наукова Думка, 1965. - 798 с.

15. Иохвидов И. С. Унитарные операторы в пространстве с индефинитной метрикой / И. С. Иохвидов // Зап. НИИ мат. и мех. Харьков, гос. ун-та и мат. о-ва. 1949. - № 21, - С. 79-86.

16. Иохвидов И. С. Спектральная теория операторов в пространствах синдефинитной метрикой / И. С. Иохвидов, М. Г. Крейн // Тр. московского матем. общества. Москва, 1956. - Т. 5. - С. 367-496.

17. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. М.: Наука, 1989. - 624 с.

18. Крейн М.Г. Об одном применении принципа неподвижной точки втеории линейных линейных преобразований с индефинитной метрикой / М.Г. Крейн // УМН. 1950. - Т.5, №. - С.180-190.

19. Крейн М.Г. О спектральной функции самосопряжённого оператора впространстве с индефинитной метрикой / М.Г. Крейн, Г.К. Лангер // ДАН СССР. 1963. - Т. 152, М. - С.39-42.

20. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховомпространстве / С. Г. Крейн. М.: Наука, 1967. - 464 с.

21. Наймарк М.А. О перестановочных унитарных операторах в пространстве Пж / М.А. Наймарк // ДАН СССР. 1963. - Т.149, №6. -С.1261-1263.

22. Наймарк М.А. Аналог теоремы Стоуна в пространстве с индефинитной метрикой / М.А. Наймарк // ДАН СССР. 1966. - Т.170, №6.- С.1259-1261.

23. Понтрягин Л.С. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой / Л.С. Понтрягин // Изв. АН СССР, серия матем.- Москва, 1944. Т.VIII, № 6. - С. 243-280.

24. Потапов В.П. Мультипликативная структура J-нерастягивающихматриц-функций / В.П. Потапов // Тр. Москов. мат. о-ва. Москва, 1955. - Т.4, С.125-236.

25. Рудин У. Основы математического анализа. / Н. Рудин. М.: Мир,1966. 320 с.

26. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. М.: Мир, 1975. - 445 с.

27. Садовничий В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий. М.: Высшая школа, 1999. 368 с.

28. Секефальви-Надь Б. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве / Б. Секефальви-Надь, Ч. Фояш. М.: Мир, 1970. - 432 с.

29. Соболев C.JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью / С.Л. Соболев. ЖПМТФ. - 1960. - Т.З. -С. 20-55.

30. Шкаликов А.А. Диссипативные операторы в пространстве Крейна.Инвариантные подпространства и свойства сужений / А.А. Шкаликов // Функц.анализ и его прилож. 2007. - Т.41, №2. -С. 93-110.

31. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions, I:Coisometric realizations / D. Alpay, T. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2001. -Vol.129. - P.l-36.

32. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions II: Jordanchains and transformations of characteristic functions / D. Alpay, T. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Monatsh. Math. 2003. - Vol.138, M. - P. 1-29.

33. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions, III: Junitary matrix polynomials on the circle / D. Alpay, T. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. 2003. - Vol. 369. -P.113-144.

34. Alpay D. A basic interpolation problem for generalized Schur functionsand coisometric realizations / D. Alpay, T. Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2003. - Vol. 143. - P. 39-76.

35. Alpay D. The Shur Algorithm for Generalized Schur Functions IV:Unitary Realizations / D. Alpay , T. Ya. Azizov , A. Dijksma , H. Langer , G. Wanjala // Oper. Theory Adv. Appl., Birkhauser, Basel. 2004. - Vol. 149. - P. 23-45 .

36. Alpay D. Colligations in Pontryagin spaces with a symmetriccharacteristic function / D. Alpay , T. Ya. Azizov , A. Dijksma , J. Rovnyak // Oper. Theory Adv. Appl., Birkhauser, Basel. 2002. -Vol. 130. - P. 55-82 .

37. Alpay D. Interpolation problems, extensions of symmetric operators andreproducing kernel spaces II / D. Alpay , P. Bruinsma , A. Dijksma , H. de Snoo // Integral Equations and Operator Theory. 1991. - Vol. 14. - P. 465-500.

38. Alpay D. Factorization of J-unitary matrix polynomials on the line anda Schur algorithm for generalized Nevanlinna functions / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. 2004. - Vol. 387. -P.313-342.

39. Alpay D. ^-unitary factorization and the Schur algorithm for Nevanlinnafunctions in an indefinite setting / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. 2006. - Vol. 419. - P. 675-709.

40. Alpay D. The transformation of Issai Schur and related topics in indefinitesetting / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2007. - Vol. 176. - P.l-98.

41. Alpay D. The Schur transformation for generalized Nevanlinna functions:interpolation and self-adjoint operator realizations / D. Alpay, A.Dijksma, H. Langer, Y. Shondin // Complex Analysis and Operator Theory. 2006. - №1 (2). - P.l-56.

42. Alpay D. Basic boundary interpolation for generalized Schur functionsand factorization of rational J-unitary matrix functions / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Linear Algebra Appl. 2006. - Vol. 165. - P.1-29.

43. Alpay D. Schur functions, operator colligations, and reproducing kernelPontryagin spaces / D. Alpay, A. Dijksma, J. Rovnyak, H. de Snoo // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1997. -Vol. 96. - P.229.

44. Alpay D. Hilbert spaces of analytic functions, inverse scattering andoperator models, I / D. Alpay, H. Dym // Integral Equations and Operator Theory. 1984. - Vol. 7. - P. 589-641.

45. Alpay D. On applications of reproducing kernel spaces to the Schuralgorithm and rational J-unitary factorization / D. Alpay, H. Dym // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1986. -Vol. 18. - P. 89-159.

46. Alpay D. On reproducing kernel spaces, the Schur algorithm, andinterpolation in a general class of domains / D. Alpay, H. Dym // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1992. -Vol. 59. - P. 30-77.

47. Alpay D. On a new class of reproducing kernel spaces and a newgeneralization of the Iohvidov laws / D. Alpay, H. Dym // Linear Algebra Appl. 1993. - Vol. 178. - P.109-183.

48. Alpay D. On a new class of realization formulas and their applications /D. Alpay, H. Dym // Linear Algebra Appl. 1996. - Vol. 241-243. -P.3-84.

49. Alpay D. Unitary rational matrix functions / D. Alpay, I. Gohberg //Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1988. - Vol. 33. - P.175-222.

50. Alpay D. Discrete analogs of canonical systems with pseudoexponentialpotential. Definitions and formulas for he spectral matrix functions / D. Alpay, I. Gohberg // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2006. - Vol. 161. - P.l-47.

51. Andreishcheva E. Approximation of Generalized Schur functions /E. Andreishcheva // International Conference "Sixth Workshop Operator Theory in Krein Spaces and Operator Polynomials": Book of abstracts. Berlin, 2006. - P. 10.

52. Andreishcheva E. Representation of Schur function for case of unitaryrealization / E. Andreishcheva // International Conference "Modern Analysis and Applications": Book of abstracts. Kyiv, 2007. - P. 8-9.

53. Andreishcheva E. On the Representation of Schur function for case ofunitary realization / E. Andreishcheva // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы ": Сборник тезисов. Москва, 2007. - С. 18.

54. Bognar J. Indefinite inner product spaces /J. Bognar. Berlin: Springer,1974. 345p.

55. De Branges L. Some Hilbert spaces of analytic functions I / L.de BrangesTrans. Amer.Math.Soc. 1963. - Vol.106. - P.445-468.

56. De Branges L. Canonical models in quantum scattering theory / L.deBranges, J.Rovnyak // Wiley. New York, 1966. - P.295-392.

57. Dijksma A. Minimal realizations of scalar generalized Nevanlinnafunctions related to their basic factorization / A. Dijksma, H. Langer, A. Luger, Y. Shondin // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2004. - Vol. 154. - P. 69-90.

58. Dijksma A. Generalized Schur functions and augmented Schurparameters / A. Dijksma, G. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2005. - Vol. 162. - P. 135-144.

59. Dym H. J-contractive matrix functions, reproducing kernel Hilbert spacesand interpolation / H. Dym //Conference Board of the Mathematical Sciences, regional conference series in mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI. 1989. - Vol.71.

60. Dym H. On reproducing kernel spaces, J-unitary matrix functions,interpolation and displacement rank / H. Dym // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1989. - Vol. 41. - P. 173-239.

61. Gohberg I. Schur methods in operator theory and signal processing / I.Gohberg // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1986. - Vol. 18. - P. 30-77.

62. Iohvidov I. S. Introduction to the Spectral Theory of Operators in Spaceswith an Indefinite Metric / I. S. Iohvidov, M. G. Krein, H. Langer,Berlin: Mathematical Research, Akademie-Verlag, Band 9, 1982. -120 p.

63. Jonas P. On the functional calculus and the spectral function fordefinizable operators in Krein space /Р. Jonas // Beitrage Anal. -1981. Vol.16. - P. 121-135.

64. Krein M.G. Uber die verallgemeinerte Rezolventen und die charakteristische Funktion eines isometrischen Operators in Raume Пк / M. G. Krein, H. Langer // Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai. Tihany (Hungary), 1970. - Vol.5. - P.353-399.

65. Krein M.G. Uber einige Fortsetzungsprobleme, die eng mit der Theoriehermitescher Operatoren im Raume П« zusammenhangen. I. Einige Funktionenklassen und ihre Darstellungen / M. G. Krein, H. Langer // Math. Nachr. 1977. - Vol.77. - P.187-236.

66. Krein M.G. Some propositions on analytic matrix functions related to thetheory of operators in the space Пк / M.G. Krein, H. Langer // Acta Sci. Math. Szeged. 1981. - Vol. 43. - P. 181-205.

67. Langer H. Spectral functions of definitizable operators in Krein spaces /H.Langer // Lecture Notes in Mathematics. 1982. - №948, P.l-46.

68. Phillips R. The extension of dual subspaces invariant under an algebraR. Phillips // Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces. Paris: Pergamon Press, 1961. - P. 366-398.

69. Wanjala H. Closely connected unitary realizations of the solutions to thebasic interpolation problem for generalized Schur functions /H. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2005. - Vol. 160. - P. 441-468.