Спектральная теория произведения самосопряженных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

на правах рукописи

ДЕНИСОВ МИХАИЛ СЕРГЕЕВИЧ

Спектральная теория произведения самосопряженных операторов.

01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2008

003454006

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук, профессор Азизов Томас Яковлевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

Ведущая организация - механико-математический факультет Московского государственного университета.

Защита состоится "2" декабря 2008 г в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212 038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан 29 октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212 038.22, доктор физико-математических паук,

кандидат физико-математических наук, доцент Барсуков Андрей Иванович

профессор

Ю.Е Глнклнх

Общая характеристика работы.

Актуальность работы. Линейные операторы, действующие в пространствах с индефинитной метрикой, играют заметную роль в современной математике, в частности в математической физике и теории функций, см., например работы следующих авторов: С.Л. Соболев, М.Г. Крепи, И.С. Иохвидов, М.Г. Крейн, С Г. Крсйн, Н.Н Моисссев, С Г. Крейя, Н.Д. Копачсвский, Р Филипс, П Лаке.

Одним нз центральных вопросов, возникающих при изучении линейных операторов, самосопряженных относительно введенной индефинитной метрики, является существование у них собственной спектральной функции. Этот вопрос привлекал внимание исследователей с 50-х годов прошлого века. Первый результат в этой области — работа М Г. Крсйна, опубликованная в 1940 году. В ней (в современной формулировке) было построено спектральное разложение J-неотрицателыгого интегрального оператора специального вида. Далее, М Г Крейном и Г. Лангером была построена спектральная функция для J-самосопряжешюго оператора в пространстве Понтрягнна Пк. Затем Г. Лапгер исследовал вопросы существования спектральной функции для J-самосопряжсиных операторов в пространстве КреГша и в регулярном G-нространстве.

Альтернативное доказательство существования спектральной функции для J-нсотрицателыюго оператора в пространстве Крсйпа, было предложено Я Богнаром. Его подход существенно используется в пашей работе.

Исследованию различных вопросов связанных со спектральными функциями а также приложения этой теории к исследованию дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, посвящены работы Р.В Акопяна, V. Jalava, Р. Jonas и К. Vcselic.

Для J-унитарных операторов в пространстве КреГша аналогичный круг проблем изучался в работах Г Лангсра, В.А. Штрауса, Р. Jonas.

Существование спектральной функции для G-самосопряжешюго оператора в сингулярном G-пространстве было анонсировано в работе Е.А Ларионова. Но заявленные результаты оказались ошибочными, что показывает, в частности, пример, построенный в параграфе 2, главы 2, пашей работы.

В диссертации были найдены условия на G-самосопряжеиный оператор, действующий в сингулярном С-пространствс, при которых он обладает собственной спектральной функцией.

Не менее важным вопросом, возникающим при изучении линейных операторов, дсйствущих в пространстве с индефинитной метрикой, явля-

стся вопрос о существовании максимальных неотрицательных или неположительных инвариантных подпространств. Впервые этот вопрос был исследован С.Л. Соболевым для J-самосопряжмшого оператора в ГЦ В работе Л.С. Поптрягина было доказано существование максимального неположительного подпространства у J-самосопряжеиного оператора в пространстве Пк. Далее, Г. Лангером этот результат был обобщен па случай ./-самосопряженного оператора в пространстве Крейна.

Для J-диссипативного оператора, действующего в пространстве Понтрягика Пк, доказательство существования максимального инвариантного ссмндефшштного подпространства было независимо получено в работах Т.Я. Азизова, и совместной работе Г. Лангера и М.Г Крейна. Изучению вопроса о существовании максимального семидефшштного инвариантного подпространства у J-диссипативного оператора, действующего в пространстве Крейна, посвящены работы Т.Я. Азизова, Г. Лангера, A.A. Шкаликова.

Целью работы является изучение спектральных свойств произведений самосопряженных операторов. В частности, нахождение условий, при которых, у произведения самосопряженных операторов существует спектральная функция. Основным техническим приемом здесь является введение на гильбертовом пространстве 7i, дополнительной структуры — индефинитной метрики [х, у]

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного функционального анализа и теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой. В частности спектральная теория J-самосопря-женпых операторов, а также отдельные элементы теории функций комплексного переменного

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные'

1 Доказано существование спектральной функции для непрерывного оператора Т, который допускает представление в виде произведения двух непрерывных самосопряженных операторов, Т = AG, где А — неотрицательный оператор, а ker(G) = 9.

2. Найдены условия существования спектральной функции для непрерывного дефшшзируемого оператора Т, который представим в виде произведения двух непрерывных самосопряженных операторов, А и G, где ker (G) = 9.

3. Доказано существование максимального инвариантного подпространства у непрерывного оператора Т, который представим в виде произведения двух непрерывных операторов, Т = BG, где В — дисснпативен, а

— самосопряжен и кег(С) = в.

4 Дана оценка количества (с учетом кратности) отрицательных собственных значений для произведения двух самосопряженных операторов специального вида

5. Изучено количество и локализация нулей у голоморфной функции особого типа.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, основанных на теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и се приложениях, проводимых в Воронежском, Московском, Югорском университетах, в институте математики им. С Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, в математическом институте им Стеклова Российской академии наук, в научно исследовательском институте математики Воронежского государственного университета

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались н обсуждались на семинаре проф. Т.Я. Азизова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. А Г. Баскакова в Воронежском государственном университете, Воронежских зимних математических школах - 2006, 2007; Воронежских весенних математических школах "Поптрягипские чтения - XVII", "Поитрягинские чтения - XVIIIм, Воронеж, 2006, 2007; на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и операторным полиномам, Берлин,

2006, Германия; на международной конференции "Современный анализ и приложения"МАА 2007, Одесса, Украина, на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Москва,

2007, л а международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и спектральному анализу, Берлин, 2007, Германия.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1] - [9]. Из совместной работы [2] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих восемь параграфов, и списка литературы Объем диссертации 83 страницы. Библиографический список содержит 65 наименований

Краткое содержание работы.

Всюду в диссертации по возможности используются стандартные обозначения, которые не оговариваются особо В частности, для обозначения различных объектов теории пространств с индефинитной метрикой, используются термины из монографии ТЯ. Азизова и И С Иохвидова: Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. / Азизов Т.Я. Иохвидов И.С. // М Наука, - 1986. - 352 с

В первой главе приведены необходимые первоначальные сведения из геометрии пространств с индефинитной метрикой Введено определение С-самосопряженного оператора. Основным результатом главы является теорема о числе и расположении!! пулей голоморфных функций специального вида

Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. В нем излагаются основные определения гсометриии пространств с индефинитной метрикой.

Пусть Л это гильбертово пространство со скалярным произведением (х, у) и нормой ||х|| = (х, ху/2. На гильбертовом пространстве Л зададим иолуторалинейную форму [я, у], то есть функцию [х, у] : Л х Л —> С, обладающую свойствами:

• [ж, у] = [у, х) для любых х, у из Л.

• [ах + Ру, г] = а[х, у] + ¡3[х, у] для любых х,у из Л и а, (3 из С.

Форму [а;, у] называют индефинитной метрикой

Определение 1.1 Гильбертово пространство 1С, с введенной на нем индефинитной метрикой [х,у], называется пространством Крейна, если оно допускает разложение в прямую, ортогональную относительно введенной индефинитной метрики, сумму подпространств'

/С = /С+[+]/С",

где {/С+, [х, ж]} и {/С", —[х, х]} являются гильбертовыми пространствами относительно норм ([х, и (—[х,х])2, соответственно.

Пусть линейный оператор С : Л. —> Л самосопряжен, и А = О не является собственным значением оператора б, (0 ф. оуДб)) Зададим форму [х, у] следующим образом: [х, у] := ((?£, у) для любых х,у из Л. Определение 1.2 Гильбертово пространство Л с формой [х, у] будем называть сингулярным С-нространством, если А = 0 — точка непрерывного спектра оператора й, и регулярным С-пространством, если А = О — регулярная точка оператора С.

Определение 1.3 Подпространство £ из {71,[х,у]} называют максимальным неположительным, (максимальным неотрицательным), если не существует неположительного (неотрицательного) подпространства £ из Л, такого, что верно включение £ С £ и £ ф £.

В параграфе 1.2 вводится понятие сопряженного относительно индефинитной метрики оператора, и некоторые свойства линейных операторов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой. Всюду далее мы считаем, что ?1 это пространство с индефинитной метрикой, которое допускает корректное определение сопряженного относительно индефинитной метрики оператора. Все рассматриваемые далее операторы — линейны.

Определение 1.5 Пусть Л пространство с индефинитной метрикой, и йот{А) С Н — это область определения оператора А, а его область значений гап(А) С Н, причем йот{А) = И. Линейный оператор А° : йот{Ас) С Н —> ТС, определенный на линеале (1от(Ас).

йот{Ас) = {у е П : Эг € ТС : [Ах, у] = [ж, г] Ух € йот{А)}

формулой Асу = г, называют сопряженным к А относительно индефинитной метрики

Таким образом, оператор А будем называть б-самосопряженным в С-прострапстве, если А = Ас

Определение 1.7 Пусть ТС — пространство с индефинитной метрикой. Оператор А : йот{А) —* ТС, где с1от(А) = ТС, называют диссинативным относительно индефинитной метрики, если: 1т[Ах, х] > 0 для любого х из (1от(А). Строго диссинативным, если 1т[Ах,х] > 0 при любом ненулевом х из йот^А). Оператор А называется максимальным диссинативным, если он не имеет диссипативпых расширений.

В параграфе 1.3 исследуется количество и расположение пулей у голоморфной функции специального вида.

В пионерской работе Л.С.Понтрягипа по теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой был доказан следующий основной результат. В современной формулировке он звучит так. Теорема 1.2 (Теорема Понтрягина). Пусть Пк — это пространство Поитрягииа, а ё,от(А) — область определения линейного оператора А, ¿отп(А) = П к, А : йот(А) —> Пк и А — Ас — салюсопряэ/сенный, относительно формы [х, у], оператор в Пк. Тогда у оператора А существует инвариантное к - мерное неотрицательное подпространство Ь, причем мнимая часть собственных значений, принадлео/еащих спектру сужения оператора А на инвариантное подпространство Ь, больше или равна пулю (1т{а{А\Ь)) > 0).

Доказательство этой теоремы было основано на лемме 1 1, которую Л. С. Понтрягнн доказал методами теории функций комплексного переменного

Лемма 1.1 Пусть R\ — (V — А/)-1 — резольвента некоторого самосопряженного оператора V, действующего в гильбертовом пространстве П_, {tti,U2,...,UK} это произвольная конечная система векторов из П_, a G = 119pq11 и Е = ||еР9||, где p,q = 1,/с, эрмитовы матрицы, последняя из которых положительно определена. Тогда уравнение.

( Sil + (Я\Щ,щ) + геи - А ... gÍK + (R\uK, щ) + геи \ dct .921 + (ÍÍAJíi,u2) + ге21 . д2к + (П\иЛ,и2) + ге2к ^

V gKi + (R\Ui,uK) + ieKl ... дкк + (П\ик,иЛ) + гекк-\ ) относительно А имеет ровно к корней в замкнутой верхней полуплоскости, с учетом их кратности.

В данном параграфе, исходя из известного результата об инвариантном подпространстве для J-диссипативных операторов, полученного независимо Т.Я. Азизовым и Г. Лангсром доказывается аналог леммы Понт-рягина для "диссипативного случая"

Основной результат данного параграфа — это следующая теорема Теорема 1.6 Пусть V — линейный оператор, действующего в гильбертовом пространстве П_, такой что —V является максимальным диссипативиым оператором. Обозначим через R\ = (V — А/)-1 его резольвенту. Пусть {tíi, r¿2,..., ик} — произвольная конечная система векторов из П_. Матрица G = Цд^Ц, где р, q = 1,к, — диссипатив-ная:

Im(Gx, х) > 0 при всех х из Ск,

матрица Е = ||ерд||, гдер, q = 1, к, эрмитова и неотрицательная. Тогда уравнение

Í 9п + №\Щ,щ) + гсп - А ... glK + (Яхик,щ) + ге1к dt .921 + (R\U\,u2) + ге21 • Ч2к + + ге2к

\ 9к1 + (Лл«1>И/с) + 1еК1 ... gKK + (R\uK,uK) + ieKK-\

относительно А имеет ровно к корней с 71еотрицателъной мнимой частью (ImX > 0), с учетом их кратности.

Во второй главе исследуется вопрос о существовании спектральной функции для произведения двух непрерывных самосопряженных операторов

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля:

-V"{t) + q(t)y(t) = Ar (t)y{t), где t G [0,1].

2/(0) = y(l) = 0. W

Пусть а € (0,1), если г(а) = 0 п (( - а)г(£) > О при ( / а, функции (7(£) > О и г(Ь) принадлежат ¿2[О,/]. Задача (3) называется задачей Штурма-Лнувилля с нндефнпитным весом.

Оператор Штурма-Лиувилля А — + <?(£), с областью определения

йот(А) = (ы(£) € С1 [О, I] П Ь2[0, ¿] : абсолютно непрерывна,

действует из гильбертова пространства ¿2([0, /]) в гильбертово пространство ¿2([0, /]) Этот оператор неограниченный, самосонряженый, и неотрицательный Прн этом он является и непрерывно обратимым, то есть существует непрерывный оператор Л-1, который также является самосопряженным н неотрицательным, и при этом А = 0 — точка непрерывного спектра оператора Л-1. О € <тс(Л-1)

Оператор Л-1 является интегральным оператором:

где функция G(t,s) £ (L2[0,l] х L2[0, /]) Функция G(x,y) называется функцией Грина оператора Л.

Обозначим символом G оператор умножения на функцию r(i), то есть-Gf(t) = r(t)f(t) Он действует из гильбертова пространства ¿2([0, ¿]) в гильбертово пространство ¿г([0, ¿]). Оператор G непрерывен, самосопряжен, ker(G) = {0} и 0 6 ac{G).

Таким образом задачу (3) можно записать в операторном виде

где х элемент некоторого гильбертова пространства Л. Линейный оператор б : Н —+ "Н непрерывен и самосопряжен, причем кегб = {в}. Линейный оператор Л : йот(А) —► И, самосопряжен и непрерывно обратим. Пользуясь непрерывной обратимостью оператора Л, задачу (4) можно переписать в виде:

Таким образом, исследование приведенной выше модельной задачи Штурма-Лиувилля, а также и других задач, которые допускают операторную постановку (5) сводится к изучению спектральных свойств произведения двух непрерывных самосопряженных операторов. Этим вопросам посвящено большое число работ А. А Шпаликова, С Г Пяткова, R. Bcals, W Bose, а также монография С Г. Крейна и Н.Д Копачевского.

u"(t) е L2[0,l] и u(0) = u(l) = 0}

Ах = A Gx

(4)

В параграфе 2.1 доказывается существование спектральной функции для произведения двух непрерывных самосопряженных операторов А и G, при условии, что оператор А — неотрицательный, и ker(G) = в.

Пусть "Н — гильбертово пространство со скалярным произведением (х, у) и нормой ||х|| = (х, х)1/2 Рассмотрим полуторалинейную форму [х, у] := (Gx,y), где х, у G Н, порожденную самосопряженным оператором G : И. —> И таким, что А = 0 не собственное значение оператора G (О i (TP(G)).

Пусть Е — гомоморфизм, отображающий кольцо Dt , порожденное некоторыми интервалами вещественной оси, и содержащее в качестве едеинцы интервал (—оо, +оо), в множество G-самосопряжсиных проекторов Е(А) : "Н —► Н, и при этом выполнены требования

• Е{0) = 0.

• £(Д П д') = Е(А)Е(д').

• Е(Д U Д') = Е(Д) + Е(А) при Д П Д'= 0, где Д, д'б

Носитель этого гомоморфизма обозначим символом <j{E).

Обозначим символом множество линеалов £ таких, что для

любого х из С выполнены соотношения [х,х] > 0 ([х, х] < 0 соответственно)

Число А, принадлежащее носителю гомоморфизма <т(Е), называется точкой дефинитного (положительного или отрицательного) типа, если существует интервал Д из кольца 9Я, содержащий А, и такой, что E{L)TL принадлежит ф+ или Е(А)Н принадлежит соответственно

Множество точек положительного и отрицательного типа обозначим <у+{Е) и &-{Е) соответственно. Пусть s = {а;}"=1 — конечное множество вещественных точек, а iH(s) — кольцо, порожденное интервалами, для которых точки из множества s = {dj}"=i не являются граничными

Введем основное для данной главы определение Определение 2.1 Гомоморфизм Е определенный на 9i(s), называется G-спсктралыюй функцией с множеством s = s(E) критических точек, если при Xo,ßQ ^ s(E), /jq < Ао и ß | /хо существует предел в сильной операторной топологии операторов Е(ц, Ао] и он совпадает с Е(/ло, Ао] : s - \im)ilfla (Е(ц, А0]) = Е(цо, А0]

Далее вводится классификация критических точек. Определение 2.2 Точка а € s{E) называется регулярной критической точкой G-спектралыюй функции Е, если существуют сильные пределы: s-lim,\|a Е{—оо, А] и s-lim^a Е(Х, +оо) В противном случае точку а называют сингулярной критической точкой.

Если з(Е) не содержит сингулярных критических точек, то Е называется регулярной б-спсктральной функцией

Определение 2.3 С-спсктральпая функция Е, с множеством з(Е) критических точек, называется собственной спектральной функцией С-само-сонряжснного оператора А, если:

• ае(а) = е(а)а

• о{А\Е(а)Н) С Д

Множество в(Е) называют множеством критических точек оператора А и обозначают «(Л), то есть з(Е) = 5(Л).

При доказательстве теоремы 2.1 мы следуем подходу Я.Богнара. Теорема 2.1 Пусть линейные операторы А : Л Л, С : Н ^ Н непрерывны и самосопряэюеиы, причем оператор А неотрицательный, и ноль не принадлеэюит точечному спектру оператора й (0 $ стг)((3)). Тогда каждому ненулевому вещественному числу А можно поставить в соответствие один и только один такой С?-самосопряженный проектор Е\, что функция А —» Е\, ставящая в соответсвие непулевому числу А С-салюсопряженный проектор Е\, удовлетворяет следующим условиям:

1. Если А < ц, то Е\Ец = ЕЙЕ\ = Е\.

2. Если А < ц < 0, то [Ехх,х] > [Е^х, х], а если ц > А > 0, то [Ецх,х] > [Е\х,х] для любого х из Н.

3. Если А < -||Л||||С||, то Ех = 0, а если А > ЦЛЦЦСЦ, то Ех = I.

4. Если А ф 0, то существует предел э - Нт^д Ед = Е\+о в сильной операторной топологии, и он совпадает с Е\.

5. Если Т - ограниченный оператор, коммутирующий с оператором АС, то ТЕ\ = Е\Т, в частности, АйЕх = Е\АС.

6. Спектр а{АС\ЕхП) С (-оо, А], а а{АС\(1 - ЕХ)Н) С [А, +оо).

ИП|С||

7. Интеграл / ийЕ» сходится в сильной операторной топологии

-и\т\

как несобственный интеграл с сингулярной точкой А = 0.

Как следствие из теоремы 2.1 получаем теорему 2.2. Теорема 2.2 Оператор АС, где операторы А и С удовлетворяют условиям теоремы 2 1.1, обладает собственной С-спектральной функцией Е с единственной критической точкой А = 0. При этом выполняются следующие соотношения:

1. а(Е)\{0} = а+(Е)иа.(Е),

2. а+{Е) = (0, +оо) П а(Е)

3. <Т-(Е) = (-оо, 0) П а{Е).

В параграфе 2.2 показывается, что в общем случае, когда Т — это непрерывный б-самосопряженный и С-неотрицательный оператор, но его нельзя представить в виде Т = АС, где А и С удовлетворяют условиям теоремы 2 1.1, он не обязательно обладает собственной (7-спектральпой функцией. Приводится иллюстрирующий это пример.

В параграфе 2.3, пользуясь известным результатом Г. Лангера, доказывается теорема о существования спектральной функции для некоторых класса дефинизируемых б-самосопряженпых операторов Важную роль в изложении играет следующее определение 10, которое было впервые введено Г. Лапгером.

Определение 2.4 Непрерывный ^/-самосопряженный оператор А, действующий в пространстве Крейна, называется дсфшшзирусмым, если существует такой многочлен р(£), что ]р(А)х, х] > 0 для любого вектора х из Л.

Одно из важных свойств класса дефинизируемых операторов, действующих в пространстве Крейна, это то, что каждый из операторов этого класса обладает собственной спектральной функцией Для дефпппзи-руемого ./-самосопряженного оператора это было доказано Г Лапгером. В этом параграфе мы получаем аналогичный результат для некоторого класса непрерывных С-самосопряженных операторов с вещественным спектром, действующих в сингулярном б-иространстве.

Основной результат этого параграфа это следующая теорема. Теорема 2.4 Пусть линейные непрерывные операторы А : Л —> Л, С : Л —> Л. самосопряжены, оператор АС дефипизируем в С-прост-ранстве Л, и имеет только вещественный спектр, а(АС) СК, и число А = 0 не является собственным значением оператора С (0 $ сгр{С)). Тогда существует отображение Д—>/?(Д), которое каждому интервалу Д из $К(з) единственным образом ставит в соответствие С-самосопряженный проектор Е(А) на инвариантное подпространство оператора АС. При этом выполняются следующие условия.

1. £(Д1)Е(Д2) = Е(А1ПД2)

2. Если Дх, Дг из 0\(з) и Дх П Дг = 0, то выполняется равенство:

Е^и А2) = Е(А1) + Е(А2)

3. Если для некоторого, дефинизирующего оператор А полинома р верно, 4mop(t) > 0 для любого t из А, иличтор{{) < О для любого t из А, то подпространство E{A)TL является G-положительным, (G-отрицательным) соответственно

4- Спектр суэ/сения оператора AG на подпространство E{A)TL содержится в Д : а(А\Е(А)Н) С Д.

5. Е(Ш) = I.

6. Если А = (a,ß\, где а, ß € R, тогда при \о,Цо fi S(E), ßo < Ло и ß I ßo существует сильный предел операторозиачной функции E(ß, Ао], и он совпадает с E(ßo,Xo]:

s - lim {E(ß, Ао]) = E(ßо, А0].

/4/'о

В главе 3 исследуются вопросы существования инвариантных подпространств у G-диссинативиых операторов, а также свойства спектра произведения самосопряженных операторов Найдены условия, при которых у произведения самосопряженных операторов существует инвариантное подпространства Также получена теорема об оценке числа отрицательных собственных значениях для произведения самосопряженных операторов.

В параграфе 3.1 доказывается теорема о существовании максимального G-иеотрицатслыюго инвариантного подпространства у G-диссипа-тивпого оператора специального вида.

Вводится следующее определение: Определение 3.5 Линейный непрерывный оператор А ■ TL —+ TL называется G-днссипатнвным, если 1т[Ах,х] > 0 для любого х £ Н.

Основной результат этого параграфа это следующая теорема: Теорема 3.5 Пусть В : TL —> TL — линейный непрерывный и диссипа-тивиый оператор, а G : TL —* TL — линейный непрерывный самосопряженный оператор.

Если А = 0 не является собственнъш значением операторов В и G, а отрицательный спектр оператора G состоит из к, собственных значений (с учетом кратностей), где О < к < оо, то у оператора BG существует к-мериое G-неполоэюительное инвариантное подпространство С, такое, что мнимая часть спектра суэ/сения оператора BG на инвариантное подпространство С больше либо равна пуля, Im(a(BG [ С)) > 0.

В параграфе 3.2 мы находим нижнюю границу для количества отрицательных собственных значений у произведения самосопряженных

операторов Эта задача играет важную роль в исследовании устойчивости солитопиых решений

Пусть гамильтонова система задана уравнением:

~ = ЗЕ\ч{1)), и(1) е Н (6)

где Е : И, —> К, Е € С2 — функционал, определенный па гильбертовом пространстве Н и оператор 3 : Н —> Н, при этом У2 = = J~1.

Точка 1р из Н называется критической точкой уравнения (6), если Е (</?) = О В том случае, когда (р является экспоненциально убывающим на бесконечности решением, оно называется солитоном Солитонные решения были найдены для многих нелинейных эволюционных уравнений. Наиболее известными примерами нелинейных эволюционных уравнений являются нелинейное уравнение Шредингера, нелинейное волновое уравнение Клейна-Гордона, а также иерархия уравнений Картсвьега-де-Фриза с различными его модификациями.

Устойчивость солитонного решения уравнения (6) исследуют, линеаризуя гамильтонову систему в окрестности </г

и проводя анализ спектра оператора ЗЁ' В случае, когда оператор ЗЁ" допускает блочное представление вида:

—и/„)

задача на собственные значения оператора ЗЁ' записывается системой уравнений.

Ь+и = —Лги, = — Ам (8)

При некоторых ограничениях на спектральные свойства операторов Ь+ и исследование спектральных свойств оператора ЗЕ , который допускает представление в виде 7, сводиться к изучению спектральных свойств операторного пучка следующего вида

Ь(7) :=А--уВ, 7 = -Л2. (9)

где оператор А — А* непрерывно обратим, оператор В = В* непрерывен и кет В = {6>}.

Собственное значение 7 обобщенной задачи Аи = уВи называют спектрально устойчивым если оно неотрицательно и является полупростым

(у него нет присоединенных собственных векторов). В противном случае собственное значение называется спектрально неустойчивым. Поскольку 7 = -Л2, то если 7 — неустойчивое собственное значение задачи Аи = 7Ви, следовательно, существует Л приводящее к неустойчивости солитонного решения.

Вводится необходимое для дальнейшего изложения определение: Определение 3.6 Корневым линеалом С\(А) линейного оператора А, отвечающим его собственному значению А, называют подпространство состоящее из векторов х, таких, что существует число I = 1(х) 6 Н, при котором (А — А 1)1х = в

Основной результат этого параграфа это следующая теорема: Теорема 3.6 Пусть {Л, (•, •)} — гильбертово пространство, операторы А : Л —* Л и В : Л —» Л — линейные, непрерывные, самосопряженные.

Если выполнены следующие три условия,

1. сг(В) П (—оо, 0) состоит из п отрицательных собственных значений, с учетом их кратности и кег(.В) = {#}.

2. а(А) П (—со, 0) состоит из т отрицательных собственных значений, с учетом их кратности и кег(-А) = {0}.

3. \n-m\ji0

то операторы АВ : Н —> Н и ВА : Л —> Л имеют не менее |п — т\ отрицательных собственных значений с учетом их кратностей.

Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 0501- 00203-а, грант 08-01-00566-а)

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору Т.Я. Азизову за научное руководство и постоянный интерес к работе.

Публикации по теме диссертации.

[1] Денисов М С. Существование спектральной функции для некоторых произведений самосопряженных операторов / М.С. Денисов // Материалы Воронежской весенней математической школы "Попт-рягинские чтения - XVIIм - Воронеж: ВорГУ,- 2006 - С. 53-54.

[2] Денисов М.С. О нулях голоморфных функций специального вида / М.С. Денисов, К.С Денисова // Труды математического факультета ВГУ, - 2006. - Вып. И.(Новая серия) - С. 69-76.

[3] Денисов М С. О чнсле отрицательных собственных значений у произведения самосопряженных операторов / М.С. Денисов // Вестник Воронежского гос. ун-та Сер. Физика, Математика, - 2007. - N 2. -С 100-103.

[4] Денисов М.С. Спектральная функция для некоторых произведений самосопряженных операторов / М С Денисов // Математические заметки, - 2007. - 81 6 - С. 948-951.

[5] Денисов М.С Спектральные свойства G-самосопряженных операторов. / М.С Денисов // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г. Петровского. Сборник тезисов. - Москва: Московский государственный университет - 2007. - С. 76

[6] Денисов М.С Спектральная функция для некоторых произведений самосопряженных операторов / М.С. Денисов // Материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж' ВорГУ , - 2007 - С 69-70.

[7] Dcnisov М S. Spectral functions for some product of selfajoint operators. / M.S Dcnisov /'/ Operator theory m Kicin spaces and operator polynomials, 6th workshop Book of abstracts. - Technische Universität, Berlin, - 2006. - P. 12.

[8] Denisov M.S. Spectral function for definitizable G-selfajoint operator / M.S. Dcnisov // MAA2007, Modern analysis and applications, dedicated to the centenary of Mark Krcin, International conference Book of abstracts - Institute of Mathematics, National Acad. Sei. of Ukrain, Odessa. - 2007. - P 40.

[9] Denisov M.S. On number of negative eigenvalue for some multiplication of selfajoint operators. / Denisov MS.// Operator theory in Krein spaces and spectral analysis, 7th workshop. Book of abstracts. - Technische Univcrsit at, Berlin, 2007. - P 14.

Работа [4] соответствует списку ВАК РФ.

Подписано в печать 23 10 08 Формат 60*84 Vi« Уел печ л 0,93 Тираж 80 экз Заказ 1984

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, Воронеж, ул Пушкинская, 3

Ведение

1 Теорема о нулях голоморфных функций.

1.1 Пространства с индефинитной метрикой.

1.2 Операторы в пространствах с индефинитной метрикой.

1.3 Нули голоморфных функций специального вида.

2 Спектральная функция для произведения самосопряженных операторов.

2.1 Спектральная функция для произведения двух самосопряженных операторов AG, где А - неотрицательный.

2.2 Пример G - самосопряженного оператора, у которого не существует спектральной функции.

2.3 Спектральная функция для дефинизируемого оператора, представимого в виде двух самосопряженных.

3 Свойства спектра произведения самосопряженных операторов

3.1 Инвариантные подпространства G - диссипативных операторов

3.2 Оценка числа отрицательных собственных значений для произведения двух самосопряженных операторов

Линейные операторы, действующие в пространствах с индефинитной метрикой, играют заметную роль в современной математике, в частности в математической физике и теории функций, см., например: С.Л. Соболев [39], М.Г. Крейн [22], И.С. Иохвидов, М.Г. Крейи [21], С.Г. Крейн, Н.Н. Моисееев [29], С.Г. Крейн, Н.Д. Копачевский [28], Р. Филипс, П. Лаке [30].

Одним из центральных вопросов, возникающих при изучении линейных операторов, самосопряженных относительно введенной индефинитной метрики, является существование у них собственной спектральной функции. Этот вопрос привлекал внимание исследователей с 50-х годов прошлого века. Первый результат в этой области — это работа М.Г. Крейна [22], опубликованная в 1940 году. В ней (в современной формулировке) было построено спектральное разложение J-неотрицательного интегрального оператора специального вида. Далее, М.Г. Крейном и Г. Лангером в их совместной работе [26], была построена спектральная функция для J-самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина Пк. Затем Г. Лангер в работах [60], [62], исследовал вопросы существования спектральной функции для J-самосопряженных операторов в пространстве Крейна и в регулярном С-пространстве.

Альтернативное доказательство существования спектральной функции для J-неотрицательного оператора в пространстве Крейна, было предложено Я. Богнаром в статье [51]. Его подход существенно используется в нашей работе.

Исследованию различных вопросов связанных со спектральными функциями а также приложения этой теории к исследованию дифференциальных уравнений и уравнений математической физики, посвящены работы Р.В. Акопяна [7], V. Jalava [57], [58], P. Jonas [59] и К. Veselic [65].

Для «/-унитарных операторов в пространстве Крейна аналогичный круг проблем изучался в работах в работах Г. Лангера [60], В.А. Штрауса [45], P. Jonas [59],

Существование спектральной функции для С-самосопряженпого оператора в сингулярном (^-пространстве было анонсировано в работе Е.А. Ларионова [33]. Но заявленные результаты оказались ошибочными, что показывает, в частности, пример, построенный в параграфе 2, главы 2, нашей работы.

В диссертации были найдены условия на (7-самосопряженный оператор, действующий в сингулярном С-пространстве, при которых он обладает собственной спектральной функцией.

Не менее важным вопросом, возникающим при изучении линейных операторов, действущих в пространстве с индефинитной метрикой. является вопрос о существовании максимальных неотрицательных или неположительных инвариантных подпространств. Впервые этот вопрос был исследован С.Л. Соболевым для «/-самосопряженного оператора в Пь В работе Л.С. Понтрягина [36] было доказано существование максимального неположительного подпространства у J-самосопряженного оператора в пространстве Пл. Далее, Г. Лангером этот результат был обобщен на случай J-самосопряженного оператора в пространстве Крейна, см. [32].

Для J-диссипативного оператора, действующего в пространстве Понтрягина Пк, доказательство существования максимального инвариантного семидефинитного подпространства было независимо получено в работах Т.Я. Азизова [2], и совместной работе Г. Лангера и М.Г. Крейна [27]. Изучению вопроса о существовании максимального семидефинитного инвариантного подпространства у J-диссипативного оператора, действующего в пространстве Крейна, посвящены работы Т.Я. Азизова [3], Г. Лангера [27], А.А. Шкаликова [40], [41], [42].

Целью работы является изучение спектральных свойств произведений самосопряженных операторов. В частности, нахождение условий, при которых, у произведения самосопряженных операторов существует спектральная функция. Основным техническим приемом здесь является введение на гильбертовом пространстве 7Y, дополнительной структуры — индефинитной метрики [х,у].

Методика исследований. Использовались идеи и методы современного функционального анализа и теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой. В частности, спектральная теория «/-самосопряженных операторов, а также отдельные элементы теории функций комплексного неременного.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Доказано существование спектральной функции для непрерывного оператора Т, который допускает представление в виде произведения двух непрерывных самосопряженных операторов, Т — AG: где А —неотрицательный оператор, a ker (G) — {(9}.

2. Найдены условия существования спектральной функции для непрерывного дефинизируемого оператора Т, который представим в виде произведения двух непрерывных самосопряженных операторов, А и G, где ker (G) = {в}.

3. Доказано существование максимального инвариантного подпространства у непрерывного оператора Т, который представим в виде произведения двух непрерывных операторов, Т ~ BG, где В — дис-сипативен, a G — самосопряжен и ker{G) = {0}.

4. Дана оценка количества (с учетом кратности) отрицательных собственных значений для произведения двух самосопряженных операторов специального вида.

5. Изучено количество и локализация нулей у голоморфной функции особого типа.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут применяться при исследовании задач гидродинамики, и математической физики.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре проф. Т.Я. Азизова в Воронежском государственном университете, на семинаре проф. А.Г. Баскакова в Воронежском государственном университете, Воронежской зимней математической школе (Воронеж 2007), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, 2007), международной научной конференции "МАА 2007" посвященной столетию М.Г. Крейна (Одесса, 2007), международных конференциях "6 Workshop Operator Theory in Krein spaces and Operator polinornials" (Berlin, 2006), "7^ Workshop Operator Theory in Krein spaces and Operator polinornials"(Berlin, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [12] - [17], [53] - [55]. Из совместной работы [13] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, разбитых на 8 параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации 83 стр. Библиографический список включает 65 наименований.

1. Азизов Т.Я. О спектрах некоторых классов операторов в гильбертовом пространстве. / Т.Я. Азизов // Мат. заметки, - 1971. - Т.9, № 3. - С. 303-310.

2. Азизов Т.Я. Инвариантные подпространства и критерии полноты системы корневых векторов J-диссипативных операторов в пространстве Понтрягина ГЦ. / Т.Я. Азизов // Докл. АН СССР, 1971.- 200, № 5. С. 1015-1017.

3. Азизов Т.Я. Диссипативные операторы в пространстве с индефинитной метрикой. / Т.Я. Азизов // Изв. АН СССР. Сер. Матем., -1973. 37, № 3. - С. 639-662.

4. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. / Азизов Т.Я. Иохвидов И.С. // М.: Наука, 1986. - 352 с.

5. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Линейные операторы в пространстве с индефинитной метрикой и их приложения./ Т.Я.Азизов, И.С.Иохвидов // Математический анализ. М.:ВИНИТИ, - 1979.- С. 113-207. (Итоги науки и техники; Т. 17).

6. Азизов Т.Я., С.А. Хорошавин. Об инвариантных подпространствах операторов, действующих в пространстве с индефинитной метрикой. / Т.Я. Азизов, С.А. Хорошавин // Функц. анлиз и его прилож.,- 1980. 14, № 4. - С. 1-7.

7. Акопян Р.В. К теории спектральной функции J-неотрицательного оператора./Р.В. Акопян // ИАН АрмССР, сер. Физ.-мат. н., 1978.- Т. 13, № 2, С. 114-121.

8. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. / Н.И.Ахиезер, И.М.Глазман // М., Наука,- 1966. 543 с.

9. Гинзбург Ю.П. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой. /Ю.П. Гинзбург // Успехи мат. наук, 1962. - 17, № 4, - С. 3-56.

10. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория. /Н.Данфорд Д.Т.Шварц // - М.: Едиториал УРСС, - 2004. - 896 с.

11. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория. /Н.Данфорд Д.Т.Шварц //— М.: "Мир", 1966. - 1063 с.

12. Денисов М.С. Существование спектральной функции для некоторых произведений самосопряженных операторов. / М.С. Денисов // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XVII". - Воронеж: ВорГУ., - 2006. - С. 53-54.

13. Денисов М.С. О нулях голоморфных функций специального вида. / М.С. Денисов, К.С Денисова // Труды математического факультета ВГУ, 2006. - Вып. 11. (Новая серия) - С. 69-76.

14. Денисов М.С. О числс отрицательных собственных значений у произведения самосопряженных операторов / М.С. Денисов // Вестник Воронежского гос. ун-та. Сер. Физика, Математика, 2007.- N 2. С. 100-103.

15. Денисов М.С. Спектральная функция для некоторых произведений самосопряженных операторов / М.С. Денисов // Математические заметки, 2007. - 81:6. - С.948-951.

16. Денисов М.С. Спектральная функция для некоторых произведений самосопряженных операторов / М.С. Денисов // Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ.,- 2007. С. 69-70.

17. Иохвидов И.С. Линейные операторы в гильбертовых пространствах с G метрикой. /И.С. Иохвидов // Успехи мат. наук, - 1971.- Т. 26, № 4. С. 43-92.

18. Иохвидов И.С. G-изометрические и J-полуунитарные операторы в гильбертовом пространстве. / И.С. Иохвидов // Успехи мат. наук,- 1965, Т. 20, № 3. - С. 175-181.

19. Иохвидов И.С. О максимальных дефинитных линеалах в гильбертовых пространствах с G метрикой. / И.С. Иохвидов // Укр. мат. ж., - 1965, - Т. 17, № 4. - С. 22-28.

20. Иохвидов И.С. Спектральная теория опреаторов в пространствах с индефинитной метрикой / И.С. Иохвидов, М.Г. Крейн // Труды московского математического общества. 1956. - 5. - С. 308-496.

21. Крейн М.Г. О нагруженных интегральных уравнениях, функции распределения которых не монотонны./ М.Г.Крейн // Сб. памяти акад. Граве, 1940. - С. 88-103.

22. Крейн М.Г. Про лшшны цшком неперервш оператори в функцю-нальних просторах з двома нормами. / М.Г.Крейн // Ж. Ин-та, матем. АН УССР, 1947. - 9. - С. 104-129.

23. Крейн М.Г. Об одном приложении принципа неподвижной точки в теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой. / М.Г.Крейн // УМН, 1950. - 50. - С. 180-190.

24. Крейн М.Г. Об одном новом применении принципа неподвижной точки в теории операторовв пространстве с индефинитной метрикой. /М.Г.Крейн // ДАН СССР, 1964. - 154, № 5. - С. 1023-1026.

25. Крейн М.Г., Лангер Г.К. О спектральной функции самосопряженного оператора в пространстве с индефинитной метрикой. / М.Г.Крейн, Г.К.Лангер // Докл. АН СССР, 1963, - Т. 152, № 1. -С. 39-42.

26. Крейн М.Г., Лангер Г.К. О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова оператора в пространстве Икарра / М.Г.Крейн, Г.К.Лангер // Функциональный анализ и приложения, - 1971. - Т.5, № 2. - С. 59-71; № 3. - С. 54-69.

27. Крейн С.Г. Дифференциальные уравнения в банаховых пространствах / С.Г.Крейн // М., Наука, 1966. - 543 с.

28. Крейн С.Г., Моисеев Н.Н. О колебаниях твердого тела содержащего жидкость со свободной поверхностью. / С.Г.Крейн, Н.Н. Моисеев // Прикл. матем. и механ., 1957. - 21, 2. - С. 169-174.

29. Лаке П., Филлипс Р., Теория рассеяния. / П.Лаке Р.Филлипс // "Мир", М., 1971. - 312 с.

30. Лангер Г.К. Инвариантные подпространства линейных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. / Г.К. Лангер // Докл. АН СССР, 1966. - Т. 169, № 1. - С. 12-15.

31. Лангер Г.К. О J эрмитовых операторах. / Г.К. Лангер // ДАН СССР, - 1962. - Т. 134, № 2. - С. 263-266.

32. Ларионов Е.А. О самосопряженных квадратичных пучках в гильбертовом пространстве. / Е.А. Ларионов // Докл. АН Арм. ССР, -1969. Т. 49, № 4. - С. 161-165.

33. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной./ И.П.Натансон // — М.: Наука, 1974.

34. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. /А.И. Плеснер // М., Наука, 1965. - 624 с.

35. Понтрягин JI.C. Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой. / Понтрягин JI.C. // Изв. Ан СССР. Сер. Матем.,- 1944. 8, - С. 243-280.

36. Пятков С.Г. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В.Попов // Новосибирск: Наука,- 2000. - 336 с.

37. Рудин У. Функциональный анализ / У.Рудип // СПб: Издательство "Лань",- 2005. - 448 с.

38. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью, на-полненой жидкостью. / С.Л.Соболев // ЖПМТФ, 1960. - 3. - с. 20-55.

39. Шкаликов А.А. Диссипативные операторы в пространстве Крейна. Инвариантные подпространства и свойства сужений. /А.А. Шкаликов // Функциональный анализ и приложения, 2008. - Т. 13, № 2, - С. 114-121.

40. Шкаликов А.А. О существовании инвариантных подпространств у диссипативных операторов в пространстве Крейна. / А.А.Шкаликов // Фунд. и прикл. мат., 1999. - 5, № 2. - С. 627-635.

41. Шкаликов А.А. Инвариантные подпространства диссипативных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. / А.А.Шкаликов // Труды МИРАН им. В.А. Стеклова, 2005. - 248.- С. 294-303.

42. Шкаликов А.А. Эллиптические задачи в гильбертовом пространстве и спектральные задачи связанные с ними. / А.А.Шкаликов // Тр. семинара имю И.Г.Петровского. 1989. - Вып. 14. - С.140-224.80

43. Штраус В.А. О спектральном разложении Q-неотрицательиых операторов в правильных (93, (^-пространствах./ В.А Штраус // Изв. АН Эст. ССР, Физ., мат., 1972. - 21, № 4. - С. 360-363.

44. Штраус В.А. К теории самосопряженных операторов в банаховых пространствах с эрмитовой формой./ В.А Штраус // Сиб. матем. журнал, 1978. - 19, № 3. - С. 685-692.

45. Шубин М.А. Лекции об уравнениях математической физи-ки./М.А.Шубин // М.: МЦНМО, - 2003. - 303 с.

46. Beals.R., Indefinite Sturm Liouville problems and half-range completeness/ R.Beals // J.Differential Equations. — 1985. - V.56, № 3. -P. 685-692.

47. Beals.R., Protopopescu V., Half-range completeness for the Fokker -Plank equation / Beals.R., Protopopescu V. // J.Statist.Phys. — 1983. V.32, № 3. - P. 565-584.

48. Bothe W., Die Streueabsorption der Electronenstronenstrahlen / W.Bothe // Z.Phyz. 1929. - Bd.5. - P. 101-178.

49. Bognar J. Indefinite Inner Product Spaces./ J.Bognar // Berlin.: Springer-Verlag, 1974.

50. Bognar J. A proof of the spectral theorem for J-pozitive operators. / J.Bognar // Acta sci. math., 1983. - 15, № 1-2. - P. 75-80.

51. Bottcher A. Lectures on Operator Theory and Its Applications. / A. Bottcher, A.Dijksma, H.Langer, M.A.Dritschel, J. Rovnyak, M.A.Kaashoek // Fields Institute Monographs, ISSN 1069-5273; 3, -1995. 340 p.

52. Denisov M.S. Spectral functions for some product of selfajoint operators. / M.S. Denisov // Operator theory in Krein spaces and operator polynomials, 6th workshop. Book of abstracts. Technische Universitat, Berlin, - 2006. - P. 43-44.

53. Denisov M.S. On number of negative eigenvalue for some multiplication of selfajoint operators. / Denisov M.S. // Operator theory in Krein spaces and spectral analysis, 7th workshop. Book of abstracts. -Technische Universit at, Berlin, 2007. P. 54.

54. Iohvidov I.S. Introduction to the spectral theory of operators in spaces with an indefinite metric / I.S. Iohvidov, M.G. Krein, H. Langer. -Akademie-Verlag. Berlin. - 1982. - 121 p.

55. Jalava V. On spectral decompositions of operators in J-spaces. / V. Jalava // Ann. Acad. Sci. Fenn., 1969. - Ser Alf446. - 10 p.

56. Jalava V. On spectral decompositions of a class of bounded operators in a Banach space with a nondegenerate Hermitian form./ V. Jalava // Univ. Javaskyla Dept. Math., 1970. - Report 9.

57. Jonas P. On the functional calculus and the spectral function for definitizable operators in Krein space. /Р. Jonas // Beitrage Anal., 1981. - T. 16. - P. 121-135.

58. Langer H. Spektralfunctionen einer Klasse J-selbstadjungierter Oper-atoren. / H. Langer // Math. Nachr., 1967. - 33, № 1-2. - P. 107-120.

59. Langer H. Eine Veralgemeinerung eines Satzes von L.S. Pontrjagin / H. Langer // Math. Ann., 1963. - 152, № 5. - P. 434-436.

60. Langer H. Spectral Function of definitizable operators in Krein space. / H. Langer // Lecture Notes in Mathematics 948, Berlin.: Springer-Verlag, - 1982. - P. 1-46.

61. Langer H. Invariant subspaces for a class of operators in space with idefmite metric. / H. Langer // J. Funkt. Anal. 1975. - V 19, № 3. -P. 232-241.

62. Langer H., Daho K., Sturm-Liuville operators with an idefinite weight function. "Proc. Roy. Soc. Edinburg", 1977. - A78, № 1-2. - C. 161-191.

63. Vccelic K. A spectral theorem for a class of J-normal operators. / K. Vecelic // Glass, mat. 1970. - 5, No. 1, - P. 97-102.