О замкнутости многопараметрического операторного пучка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

введение з

1 Замкнутость линейных многопарамертических операторных пучков.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Примеры.

1.3 Критерий замкнутости.

1.4 Конусно равномерная положительность.

1.5 Косинус.

1.6 Аккретивные операторы.

1.7 Замкнутость операторных матриц.

2 Возмущение самосопряженных операторов

2.1 Гильбертово пространство.

2.2 Пространство Понтрягина.

2.2.1 Базовые определения.

2.2.2 Возмущение самосопряженых операторов в пространстве Понтрягина.

Проблеме исследования замкнутости операторов, оператор-функций уделяется большое внимание в научной литературе. Впервые этот вопрос возник при исследовании класса интегродифференциальных операторных уравнений в гильбертовом пространстве, порожденных начально-краевой и спектральной задачами о малых движениях вязкоупругой жидкости в полностью заполненном контейнере. Одной из моделей таких жидкостей является модель Олдройта [44], которая при т = 1 исследовалась в работах А.И.Милославского [11]-[13]: t + + j e'^Bu{s)ds = f(t), u(Q) = щ, о где % — гильбертово пространство, и : [0, оо) [О, ос) —> // — положительное число, wo £ и /1 и 5 -самосопряженные равномерно положительные операторы на с одинаковыми областями определения:

А = А* >> О, В = В* » О, dorn ,4 - dorn

В работе Т.Я.Азизова, Н.Д.Копачевского, Л.Д.Орловой [2] доказано,что она имеет единственное сильное решение при обычных условиях на /. Эту задачу можно привести к стандартному виду линейной дифференциальной задачи в пространстве = % 0 Ц. Тогда возникает вопрос о замкнутости операторной матрицы. Подобные задачи были исследованы в работах Н.Langer, V.M.Adamyan [15], Н.Langer, V.M.Adamyan, R.Mennicken, J.Sauer

16], НХаг^ег, СЬг.Тгеиег [42]), Б.А1Ьегю, Л.ВгавсЬе, НЛисИтг^

17], а также Ы.Мепшскеп, А.А.ЗЬкаНкоу [43] и др. В нашей работе рассматривается операторный пучок, связанный с задачей Коши

Л? = з = Хп)

Найдено достаточное условие замкнутости этого операторного пучка, которое основывается на понятии "косинуса угла между операторами". Впервые это понятие было введено и исследовано П.Е.Соболевским [14]. Достаточно полная теория построена К.С^г&оп [29](см. также [30]-[33])

Понятие замкнутости играет важную роль в теории возмущений и расширений линейных операторов. Теория возмущений линейных операторов представляет собой набор довольно разнообразных результатов по спектральной теории линейных операторов. Со времени ее создания Рэлеем и Шредингером эта теория заняла важное место в прикладной математике. Этому направлению посвящено много научных трудов, см., например, Т.Като [5], М.Г.Крейн [7]-[8], М.Г.Крейн, М.А.Красносельский [9], М.Г.Крейн, М.А.Красносельский, Д.П.Мильман [10], М.С.Кгет, А-А-ИисЫтап

36]. Теория возмущений исследуется в работах В.Д.Кошманенко

37] (а также [38]-[41]), В.Д.Кошманенко, Т.Каратаева [35], 8.А1Ьепо, \Y.Karwowski, У.В.КовЬтапепко [19],а также Н.^сШагсИ;, Л.ВгавсЬе [22]-[24] Н^ёаЬапИ;, Л.ВгавсЬе, Л.ААШтап [25]-[26] и др.

Мы предлагаем, возможно, новый подход к этой задаче в случае гильбертова пространства и распространяем его на случай пространства Понтрягина. сЫ А0и + е-^-") А5и(з)<18 = /(£), «(0) щ.

Работа выполнялась в рамках исследований по грантам РФФИ 99-01-00391, 02-01-00353 и 01-01-06106 MAC и совместно нидерландско-российскому гранту NWO 047-008-008. Основные результаты являются новыми. Среди них отметим следующие:

• Получено достаточное условие самосопряженности многопараметрического операторного пучка.

• В случае аккретивности операторных коэффициентов исследован вопрос о максимальной аккретивности операторного пучка Ln{Л).

• Представлены новые результаты для "косинуса угла между операторами".

• Дан новый подход в исследовании вопроса о сингулярном возмущении самосопряженного оператора в пространстве Понтрягина Пк.

В главе 1 исследуется вопрос о замкнутости многопараметрического операторного пучка.

Приведены примеры самосопряженных, равномерно положительных операторов А и В с одинаковыми областями определения таких, что L{А) = А + ХВ не всегда самосопряженный оператор (§2).

В §3 рассматривается операторный пучок с п + 1 операторами и Л = {Ло,ЛьЛ2,.,Лп} G {1} х R", где R+ = [0,оо). Например, операторный пучок п

Ьп{\) = Aj - А* » О, dorn Л о С dorn Aj, j =Ö(1) з=о связанный с задачей Коши (Аj ~ 1/ßj, j = l,n) t

1 P n + Лом + / Afu(s)ds = f(t), u(0) = «0. (2)

0 3=1

С этим пучком ассоциируем (n + l)x(n + l) матрицу А — где ay = cos (Л,-, Ay) = Inf I ж е ^ ^

AiX\\ \\AjX\\

Символом Е будем обозначать множество комплексных чисел С или множество вещественных чисел R, Обозначим Еш — т—мерное гильбертово пространство с евклидовым скалярным произведением, а Е™ — конус неотрицательных векторов и = {£i,. ,£m} £ Em, где & >0, г = 1 ,гп. Будем говорить, что т х га матрица А конусно равномерно положительная в Ет , если существует положительное число такое, что

Аи, и) > кА(и, м), м € Е™.

Пучок (1) будет самосопряженным для всех Л G {1} х R" тогда и только тогда, когда он замкнут для всех Л Е {1} xR" и достаточным условием этого является конусно равномерная положительность (n+ 1) х (п +1) матрицы А — (cos (A^Aj)). Основным результатом является следующая

Теорема 1.1 Пусть операторные коэффициенты пучка Ьп(А) таковы: — максимальный (равномерно) аккретивный, операторы Aj, j = 1 , п, аккретивные. Если матрица А, ассоциируемая с Ln(X), конусно равномерно положительная, то Ln(\) — максимальный (равномерно) аккретивный оператор для всех А G {1} х R". Отсюда вытекает

Следствие 1.1 Пусть операторный коэффициент Ао — самосопряженный оператор, а операторы Aj, j = 1, n, симметрические. Тогда Ln{Л) самосопряженный оператор для всех А € {1} х R" тогда и только тогда, когда он замкнут для всех Л G {1} х R". Достаточным условием этого является конусно равномерная положительность матрицы А,ассоциируемой с Ьп[\).

В завершение рассматривается случай п ~ 1, то есть операторный пучок вида Li (Л) = А + АБ. В этом случае была сформулирована и доказана

Теорема 1.2 Пусть А и В — аккретивные (симметрические) операторы такие, что dorn А С domi?.

1) Если А — максимальный аккретивный (самосопряженный) оператор и cos (А, В) > —1, то А 4- А В — максимальный аккретивный {самосопряженный) оператор для всех А > 0.

2) Если А и В — максимальные равномерно аккретивные (равномерно положительные самомопряженные) операторы и dorn А = dorn Б, то А + XВ — максимальный равномерно аккретивный (равномерно положительный самосопряженный) оператор для всех А > 0 тогда и только тогда, когда cos (А, В) > -1.

Первая часть теоремы 2 для cos (А, В) > О была доказана в [45] Н.Оказава. К. Густафсон в [29] вместо условия cos (А, В) > —1 рассмотрел следующее условие: для некоторых a, b £ R, b < 1,

Re (Ах, Вх) > -ф-||2 - Ъ\\Ах\\\\Вх1 х е П. Для замкнутых операторов А и В, таких что dorn А С dorn В нормы

М2 + IMMI2 + ад2 + \\{Ах + XBx)f эквивалентны при 8 > max (0, а), и следовательно, А + ХВ — замкнутый оператор для всех Л > 0 (см. доказательство леммы 1.1). Во второй части теоремы 1.2, условие Густафсона эквивалентно условию cos (А, В) > —1, по крайней мере, когда А и В — максимальные равномерно аккретивные (равномерно положительные самосопряженные) операторы с одинаковыми областями определения dorn А = dorn В. Теорема 2(2) неверна, если условие dorn А = dorn В заменить на dorn А С dorn В. В работе приводится пример, подтвержающий это.

В §4 исследуется задача о конусно равномерной положительности квадратных матриц. Сформулирована и доказана

Теорема 1.3 Пусть А — самосопряженная т X т матрица и пусть

Р» = {и е Его : (Ли, и) = 0},

Тогда матрица А конусно равномерно положительная тогда и только тогда, когда Рд Г) Е™ = {0} и существует вектор щ € Е™ = {0} такой, что (Ли, и) > 0.

Это утверждение было использовано при доказательстве следующего факта:

Следствие 1.6 Пусть операторные коэффициенты Aj пучка Ln( Л) — самосопряженные, ограниченные снизу операторы. Положим Aj = Bj + Сj. где Bj — самосопряженные, a Cj — ограниченные самосопряженные операторы. Пусть резольвенты операторов Bj коммутируют, j = 0, п. Тогда Ln{ Л) — самосопряженный оператор для всех Л £ {1} х R" . В §§5,6 представлены новые результаты для "косинуса угла между операторами"А и В:

Теорема 1.6 Для каждой тройки «оь а02 и ^12 чисел из интервала (—1,0] существуют самосопряженные и равномерно положительные операторы Aq, А\ и А%, действующие в 71 (dim % > 6) и имеющие одинаковые области определения такие, что eos (Ао, Ai) = аоъ cos [А^А^) — ao2 u cos [А^Ау) = an-А также приводятся иные доказательства для некоторых известных фактов:

Теорема 1.7 Пусть А ф 0 — ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве %. Если т := min {AjA € <г(А)}, М := max{A|A € or (А)}, то имееют место следующие утверждения: (1) га < 0 cos (А) = -1,

2) m > 0 => cos (A) = 2у/тпМ[im + M).

Теорема 1.8 Пусть А — аккретивный оператор в гильбертовом пространстве i) Если А — неограниченный оператор, то cos [А] = 0. ii) Если А — ограниченный оператор,то cos (А) < 2л/тМ/(т + М), (3) где т = inf {Re (Aar,х) : ||ar|| = 1} и М = sup{\(Ay,y)\ : ||з/|| = 1}.

В §7 рассматривается замкнутость некоторых операторных матриц. Основным результатом является

Теорема 1.9 Пусть Н = T-Li © ортогональное разложение гильбертова пространства пусть А : Hi —> Hi — неограниченный самосопряженный равномерно положительный оператор, пусть В : Н2 —> W-i допускающий замыкание плотно заданный неограниченный оператор и dorn В* Э dorn А1?2, и пусть С : %2 П.2 ограниченный равномерно положительный оператор. Тогда операторная матрица Г AB А =

-В* С незамкнутая максимальная в существенном равномерно аккретивная.

Глава 2 посвящена исследованию сингулярных возмущений самосопряженного оператора.

В пункте 2.1 рассматриваем случай гильбертова пространства. Основными результатами являются следующие утверждения:

Теорема 2.1 Пусть % — гильбертово пространство, А — неограниченный ограничено обратимый оператор в Пусть С —

4) подпространство В : С С — ограниченный симметрический оператор, такой что область значений оператора(1 — РА~1В) гап(/— РА~1В) замкнута. Здесь оператор Р — ортопроектор на

С.

Тогда следующие предположения эквивалентны: (г) существует самосопряженный оператор А, такой что С С dorn А, А\с = В и область определения оператора А' АП А плотна в Н;

И) множество V := {/ Е domА : (Ваг,/) = (x,Af), ж Е £} плотно в Н; in) ran (I — А-1В) П dorn А С ran (/ - А^В), и Вх — Ах для х € £С\ dom А.

О/ш выполнено (гг)-(гп), то каждое расширение А оператора А\, такого что domAi = С + D и А\(х + /) = Вх + Af, где х Е С, / Е D соответственно, искомое.

Теорема 2.2 Пусть 71 — сепарабельное гильбертово пространство, A4 — подпространство Н. Если А : % —» Н — неограниченный самосопряженный оператор, В : A4 Л4 — самосопряженный оператор и о(В\) П ст(А) = 0, то существует самосопряженный оператор А такой, что АПА плотно определен и А\изометрически подобен оператору В\; здесь Е — спектральная функция оператора А.

В этом пункте приводится пример пары операторов {А, В} таких, что dorn А П С = {0}, но множество

V := {/ Е dom А : (Вх, /) = (х, Af), х Е С] не плотно.

В §2 обобщаются результаты, полученные в §1, на случай пространства Понтрягина:

Теорема 2.3 Пусть Пк — пространство Понтрягина, А — самосопряженный, неограниченный ограничено обратимый оператор в ПЛ. Пусть С — подпространство Лк, dim С < оо, В : С —> L — ограниченный симметрический оператор. Тогда следующие предположения эквивалентны: (г) существует самосопряженный оператор А, такой что С С dorn А, А\с = В и область определения оператора А' := АП А плотна в Н;

И) множество £>:={/€ dorn Л : [Bx,f] = [a?, A/], х € С} плотно в Пл;

Если выполнено (ii), то каждое расширение А оператора А\, такого что domAi = С + Т> и А\(х + /) = Вх + Af, где х £ С, / € Т> соответственно, искомое.

Для доказательства этого факта мы использовали следующую лемму:

Лемма 2.2 Пусть Пк — пространство Понтрягина, А — неограниченный замкнутый оператор. С — подпространство Пк, dim£ < оо и СП dorn А = {0}. Тогда существует невырожденное подпространство М. такое, что С С М. и Л4П dorn А = {0}. Все результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть применены, например, в научных исследованиях, основанных на теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и ее приложениях, использованы в спецкурсах для студентов и аспирантов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3]— [5], [21], [27], [28]. Они докладывались на воронежских весенних и зимней математических школах "Современные методы в теории краевых задач"в 2000-2002 гг., на семинарах проф. Т.Я.Азизова (1999-2002 г.г.), на международной математической конференции (г. Киев), на Крымской математической школе-симпозиуме в 2001 г., на семинаре проф. А.Букета (Гронинген, Нидерланды) в 2002 г. Работа состоит из введения, двух глав и списка используемой литературы. Объем диссертации 84 страницы. Библиография содержит 46 наименований.

1. Азизов Т.Я, Основы теории линейных операторов впростанствах с индефинитной метрикой./ Азизов Т.Я. Иохвидов И.С. / М: "Наука", 1986 - 352 с.

2. Глазкова М . Ю . Критерий замкнутостимногопараметрического пучка./ Глазкова М.Ю. / / Сб. трудов математического факультета ВГУ - Воронеж, 2001 - 26-30.

3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов./КатоТ . / / М., 1972 - 740 с.

4. Крейн М.Г. О самосопряженных расширенияхограниченых и полуунитарных эрмитовых операторов./ Крейн М.Г. / / ДАН, № 48, 1945 - 323-386.

5. Крейн М.Г. Теория самосопряженных расширенийполуограниченных эрмитовых операторов и ее приложения./ Крейн М.Г. / / Математический сборник - т. 29, Ж^ 62, 1947 - 431-498,

6. Крейн М.Г. Устойчивость индекса неограниченногооператора./ Крейн М.Г., Красносельский М.А. / / Математический сборник - т. -30, Jf^ 72, 1952 - 219224.

7. Милославский А . И . Спектр малых колебанийвязкоупругой наследственной среды./ Милославский А.И. / / ДАН СССР - Т309. 3, 1989 - 532-536.

10. Brasche J . Some Remarks on Krein's extension Theory. /Brasche J., Neidhardt H. / / Math. Nachr. - V . 165, 1994 P. 159-181.

12. Brasche J . On the singular continuon spectrum of self-adjointextensions. / Brasche J., Neidhardt H. / / Math. Zeitschr. - V. 222, 1996 - P. 533-542.

13. Brasche J . On the point spectrum of self-adjoint extensions./ Brasche J., Neidhardt H. , Weidman J. / / Math. Zeitschr.V. 214, 1993 - R 343-355.

15. Glazkova M . Y u . On the uniform cone operators./ Glazkova M.Yu. / / Тез. докл. международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И.Г.Петровского - М., 2001 - 148-149.

18. Gustafson, K. Operator Trigonometry./ Gustafson, K . / /1.near and Multihnear Algebra - V . 37, 1994 - R 139-159.

21. Gustafson, K. On the cosine of unbounded operators.Gustafson, K. and Zwahlen, B. / / Acta. Sci. Math. - V . 30, 1969 - R 33-34.

22. Hille, E . Functional analysis and semi-groups. / Hille, E . andRhillips, R.S. / / Amer. Math.Soc, Rrovidence, R.I., 1957.