Симметрические, самосопряженные и J-самосопряженные дилатации линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ДИЛАТАЦИИ ДИССИПАТИВНЫХ

ОПЕРАТОРОВ.

§ I.I. Диссипативные операторы

§ 1.2. Дилатации линейных операторов

§ 1.3. Пространства вектор-функций

§ 1.4. Эрмитова и симметрическая дилатации диссипа-тивного оператора (спектральное представле ние).

§ 1.5. Симметрическая дилатация диссипативного оператора А в случае - *Р(А*).

§ 1.6. Симметрическая дилатация диссипативного оператора (трансляционное представление)

ГЛАВА П. САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИЛАТАЦИИ ДИССИПАТИВНЫХ

ОПЕРАТОРОВ

§ 2.1. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора (спектральное представление)

§ 2.2. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора (трансляционное представление)

§ 2.3. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора А в случае ограниченности мнимой компоненты оператора А

§ 2.4. Минимальность самосопряженной дилатации

ГЛАВА Ш. J-ЭРМИТОВЫ И J-САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ДИЛАТАЦИИ

ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

§ 3.1. J -эрмитова дилатация линейного оператора

§ 3.2. Спектральное представление J -самосопряженной дилатации линейного оператора

§ 3.3. Трансляционное представление J -самосопряженной дилатации линейного оператора

Дополнение. Об одной модификации понятия характеристической функции линейного ограниченного оператора

При изучении неунитарных и несамосопряженных операторов полезными оказываются развиваемые в последние десятилетия как метод характеристических функций, так и метод дилатаций Сто есть ме -тод "растяжений" заданного оператора до унитарного или самосопряженного). При этом теория унитарных дилатаций сжатий довольно полно разработана в ряде работ Б.С.-Надя и Ч.Фояша [i^ . Затем Ч.Дэвис [14] , Ч.Фояш и Ч.Дэвис [15] , Л.А.Сахнович [l6j , А.В.Кужель [5,17^| , опираясь на метод Надя-Фояша, построили и исследовали J -унитарные дилатации произвольного плотно заданного замкнутого оператора и произвольного ограниченного оператора.

А.В.Кужель в [5, 17] построил одно из трансляционных представлений J -самосопряженной дилатации произвольного плотно заданного линейного оператора с непустым множеством регулярных точек.

Простейшие соображения говорят о том, что в случае диссипа-тивных операторов должны существовать симметрическая и самосопряженные дилатации. Для этого достаточно воспользоваться преобразованием Кэли.

Таким образом, в случае диссипативных операторов задача сводится к явному построению симметрической и самосопряженной дилатаций. Эта задача была решена в работе Б.С.Павлова [У] для оператора Шредингера А - -Д + ^ + <-р , где <р и J5 - вещественные непрерывные функции из 1? 3 ,

О ^-J = £ co^bt <00 и оператор А ~ + % предполагается самосопряженным на

При этом существенно используется тот факт, что

AV)^ и мнимая компонента оператора А\ ограничена. Анализ показывает, что этот метод применим и в абстрактной ситуации.

В [ц] и [13] самосопряженная дилатация построена в случае некоторых других конкретных диссипативных дифференциальных операторов (порожденных соответственно самосопряженным дифференциальным уравнением второго порядка и стационарным волновым уравнением).

Данная работа посвящена явному построению и исследованию различного типа симметрической и самосопряженной дилатаций диссипа-тивного оператора, а также J-симметрической и J -самосопряженной дилатаций произвольного линейного оператора и, кроме того, исследованию свойств дилатаций и установлению связи между их различными представлениями. Явное построение спектрального представления самосопряженной дилатации диссипативного оператора является одним из основных результатов, полученных в диссертации. При этом в процессе построений существенно используются идеи работ Б.С.Павлова.

В главе I дается явное построение симметрической дилатации L диссипативного оператора А » действующего в гильбертовом пространстве с непустым множеством регулярных точек j^A") , плотной областью определения (А^ , и исследуются некоторые свойства такой дилатации.

В частности, в § I.I рассматриваются некоторые известные свойства диссипативных операторов, а также операторов где R„ = (A- л г)"', > ej>(A).

Пусть -L вт0ГДа обозначим 8 = 8-t- , 8 ~ , о*\Гь . G=\IT .

В § 1.2 рассматриваются различные определения дилатаций линейных операторов и некоторые общие свойства дилатаций.

В случае ограниченных операторов оператор IB , действующий в гильбертовом пространстве Н , называется дилатацией [i] оператора А , который действует в гильбертовом пространстве yCZ Н , если

АИ = РВИ] (Vnev) С») где Р - оператор ортогонального проектирования в Н на . При этом условие (#■) эквивалентно любому из следующих: з) R"(Ay)l = PR*(B>,u)l (Vlefr л 1/ибЖл л о1 £ где

Последние два условия имеют смысл и в случае неограниченных операторов, и, таким образом, любое из них можно принять в качестве определения дилатации произвольного линейного оператора

А , У которого J)(А^ Ф Ф .

Дилатации /8* к 1В2 оператора /i , действующие соответственно в пространствах и Н^ » называются изоморфными, если существует унитарное отображение it пространства на

Н^ такое, что

1) L6U U (Н^),

2) /Й2 = /8, и1.

ТЕОРЕМА I.I. Пусть А - линейный оператор в пространстве и /В - дилатация оператора А , действующая в Н СГ Н) . Если при этом оператор /8^ , действующий в Hi » удовлетворяет следующим условиям:

1) Ht ;

2) существует унитарное отображение 66 пространства Н на Hi такое, что в) Ul = L (Vie**), e) ъ^ьаьи1. то /8Х - дилатация оператора А .

В § 1.3 рассматриваются некоторые известные свойства пространств вектор-функций: где - гильбертово пространство. Доказываются необходимые для дальнейшего свойства оператора дифференцирования в этих пространствах.

В случае сепарабельности пространства ^ устанавливается изоморфизм между пространствами н+ „ & = . н. , = с помощью ортонормированной системы функций Чебышева-Лаггера [2] в L, (о,со) И 4 о) .

Далее в § 1.4 получен основной результат главы I - спектральное представление эрмитовой и симметрической дилатаций диссипативного оператора А • При этом вначале рассматривается оператор А , область определения которого не предполагается плотной.

Рассмотрим пространство где и построим в нем оператор L следующим образом.

Вектор li = j , где Ц £ , , принадлежит тогда и только тогда, когда

1) L+ £ \Л/£*(о,оо ; , где класс Соболева;

2) 1о 6 9(A) ; где S) = Q(A+n).

При этом оператор L определяется так:

О \ - ; Д+ где S^. U+ - ^ j-j- ♦

ТЕОРЕМА 1.2. Оператор L является эрмитовой дилатацией оператора А .

Следствие. Если диссипативный оператор А плотно задан, то L - симметрическая дилатация оператора А .

Для симметрической дилатации L получены следующие свойства:

2) Индексы дефекта оператора L : о, d^^JZ.(A)).

Далее рассматривается свойство минимальности дилатации L .

Пусть Mi и М£ - линейные многообразия пространства Н . Тогда VMz обозначает наименьшее подпространство пространства Н , содержащее и Mz .

ТЕОРЕМ^ Если пространство ^ = - се пара бел ьное, то эрмитова дилатация L является минимальной в том смысле, что о

Доказательство проводится непосредственно нахождением т.

В случае можно построить следующее представление дилатации. Рассмотрим оператор L,v в пространстве Н = Ф Э' , где = Lz

Е = \Д7Р(А) ,

Вектор ь - j | t J тогда и только тогда, когда

I) l!+6 W/ (о,£);

2) V,0ef)(Ay>

3) l!+(ow vEvL.

Тогда ^ 9/\l0).

ТЕОРЕМА 1.4. Оператор Lv является симметрической дила-тацией оператора А •

При доказательстве этой теоремы одновременно показано, что дилатации Lv и L изоморфны.

§ 1.6 посвящен трансляционному представлению симметрической дилатации диссипативного оператора А .

Здесь рассматривается оператор LT , зависящий от параметра У>о . При У = 2 этот оператор был построен в [3^ . Рассмотрим гильбертово пространство -§f (D , где Ф^ , ~ Q^r с элементами оо vc — о

В пространстве рассмотрим неограниченный оператор S+ :

Оператор /jt , зависящий от параметра У>о , действует в пространстве следующим образом.

I. Вектор £ тогда и только тогда, когда

I) . гле o

VC

2) /об^ГА)

3) sj-^afo, где S)*Q(A + il).

П. Если то где = Л /о , =» У*' Sn / ^ б Ж) •

ТЕОРЕМА 1.5. При У=2 оператор т , определенный условиями I и П, является симметрической дилатацией диссипатив-ного оператора А .

ТЕОРЕМА 1.6. Пусть А - диссипативный оператор и пространство - сепарабельное. Тогда дилатация ^ унитарно эквивалентна оператору LT при ЗГ-i

Из доказательства этой теоремы следует, что LT - дилатация оператора А при , изоморфная дилатации L .

Минимальность дилатации LT при '&W доказывается с помощью следующей теоремы.

ТЕОРЕМА 1.7. Если Bi и /62 - изоморфные дилатации оператора А > действующие соответственно в пространствах и Н^ , и со 00 л о

Явному построению различных представлений самосопряженной дилатации диссипативного оператора, установлению связей между и ними и исследованию некоторых свойств таких дилатаций посвящена глава П.

В § 2.1 проводится построение спектрального представления таких дилатаций следующим образом.

Пусть А - плотно заданный диссипативный оператор, действующий в гильбертовом пространстве "^г и -L

Рассмотрим пространства вектор-функций Н+ - Lz (о,°о к = iz) , где *, .

Образуем гильбертово пространство Н - Ф fy Ф Н+ построим в нем оператор J следующим образом:

ЛЛ

Вектор ) » где £ М+ , , надлежит тогда и только тогда, когда

1) UeW^o.-^Oi

2) f = L + eL(o)6 при где Г*- Г**;/?*-,

Если с P(s) ,

Si - s

ЛЛ U о то [-Л0 + (A*ii )f <&L где о \ = i dk , = c/L

L jT

ТЕОРЕМА 2.1. Оператор 5 является самосопряженной дилата-цией диссипативного оператора А .

Используя вид дилатации, доказываются следующие ее свойства: х) £>(А)Л $>(!>) = Ga; 2) <rp(s)d 6*р(А).

§ 2.2. посвящен построению трансляционных представлений самосопряженной дилатации диссипативного плотно заданного оператора Д ? -I £ J) (А) . Устанавливается связь с дилатацией •

Рассмотрим гильбертово пространство ~ Ф $ ,

1 со где •

Элементами являются векторы

-а 1 * 1 /<■ > где ^ при к , при , /о^ ,

ОО со

- (ТО

Срамка означает, что помещенный в нее элемент расположен на нулевом месте).

В пространстве ^ рассмотрим неограниченные операторы S+ и S- : во

ОО где ^ = . . , , /0, , . . . ) •

Построим в пространстве оператор $ , зависящий от параметра Jf>o , следующим образом:

I. Вектор £>(Sr) тогда и только тогда, когда D оо ОО где П

4=1 *

ОО

2) f = + g ^

3) S*f-T*S.f +i£><P .где 2>*Q(A*il\

T'l-iiR-i . Если /б J>CSr) , то Srf•(., Z-t.^fr,.) где у-^ + ЩА+И)*,^*^ (\Дб2Ч°3).

ТЕОРЕМА 2.2. Оператор Sr » определяемый условиями I и П, при У- 2 является самосопряженной дилатацией диссипативно-го оператора А .

Эта дилатация при у была получена А.В.Кужелем в [5].

Затем в теореме 2.3. доказывается, что в случае сепарабельности пространств ^ = б и ^ 55 б оператор Sr при i является дилатацией оператора А изоморфной дилатации 5 •

В § 2.3. рассматривается построение самомопряженной дилатации в случае ограниченности мнимой компоненты V оператора А .

Образуем гильбертово пространство - S ^ (В Нгде н:= Lz(°>~;£) , H:=L2(-~.о;Е).

- А-А' xi

Построим в Ж оператор о следующим образом.

Вектор V = I V0 \ € ) тогда и только тогда, когда \ V+ /

1) уЛвбЦУо.^Е), v-(06to£Y—-o5E);

2) 1.6

3) № \Дл7Ч. + v-М.

Если V6 ^(s), то v. \ / £ v- ^ v+

АЦ + \[2vV.(°) 9+V+

Далее в случае Q ^ ^С^) Б теореме 2.4 устанавливается, что 5 ~ дилатадия оператора Д , изоморфная дилатации S •

В § 2.4 доказывается минимальность дилатаций S , Sr (при ) и s • Доказательство проводится непосредственно, используя выражение для резольвенты оператора 5 и связь между дилатациями.

Самосопряженная дилатация , действующая в гильбертовом пространстве Н^ , оператора А » действующего в пространстве , называется минимальной, если где

Основным результатом главы Ш является явное построение спектрального представления J -самосопряженной дилатации произвольного плотно заданного линейного оператора с непустым cJ>(A) . Это обобщение результатов глав I и П.

В § 3.1 строится спектральное представление J -эрмитовой дилатации произвольного линейного оператора А , действующего в гильбертовом пространстве , при условии, что

Рассматривается оператор 8 , введенный в § 1,1, и операторы

Э = V/6/ ,J=si|hB.

В пространстве Н+ - L*z (о,<хэ ; ) , где ^ = Q^y , индефинитная метрика вводится с помощью оператора : ЗШ оператор J действует на векторы 1,+. (i) при каждом фиксированном ~t ) и

L-, (ji 1+, U)H+ .

Оказывается (теорема 3.1), что оператор L , построенный в § 1.4, является J -эрмитовой дилатацией оператора А . Мы его будем обозначать Lj .

Если *р(А) = ^f , то Lj - J" -симметрическая дилатация оператора А .

§ 3.2 посвящен построению спектрального представления J -самосопряженной дилатации произвольного плотно заданного оператора Д при условии, что -l

Рассматриваются введенные в § I.I операторы В и 6 и

Л* / ^ 1 Л. /V операторы Затем в пространстве

- Lz °> ^г.), где - Q ^ так же, как и в пространстве , вводится индефинитная метрика с помощью л— оператора Jt . к ъ пространстве H = w -t- Ф Ф Н- индефинитная метрика вводится с помощью оператора J :

J -самосопряженная дилатация Sj имеет тот же вид, что и дилатация S , только условие 3) на область определения дилатации несколько отличается от прежнего:

LtW = T4.(e)ti 3Q(A + il)f.

ТЕОРЕМА 3.2. Оператор Sj является J -самосопряженной дилатацией оператора Д .

Эта теорема доказывается с помощью леммы.

ЛЕММА 3.1. Если оператор F , действующий в невырожденном пространстве И с индефинитной метрикой, задаваемой оператором J , является J -симметрическим и CZ J>(F) » то F- J-самосопряженней оператор.

- 18

Теорема 3.3 устанавливает вид оператора Sj- .

В § 3.3 рассматривается трансляционное представление J -самосопряженной дилатации и дан метод построения дилатации для определенного класса конкретных операторов, в частности, оператора Итурма-Лиувилля. J

В пространстве рассмотрим оператор

Оператор J задает в пространстве Ж индефинитную метрику. Затем рассматривается оператор ST с параметром }f > о , построенный выше, имея в виду, что операторы б? и О определяются равенствами

Q-\fm , , а ©=,7<2(А*;г) •

Этот новый оператор, который мы обозначим STij , при является J -самосопряженной дилатацией оператора Д ,

Устанавливаются некоторые свойства J -самосопряженных дила-таций, в частности, минимальность и связь различных представлений.

В заключение главы Ш рассматривается построение J* -самосопряженной и самосопряженной дилатации конкретных операторов, используя результаты работы Черновой Г.И. .

Дилатации строятся для операторов следующего вида.

Пусть А0 - симметрический оператор, действующий в гильбертовом аространстве ^ , и и, YZ* * «л*. У?*3 *, fc^ytj, где - ^ 6 (А" ^(71) - дефектное подпространство оператора А , отвечающее числу Д .

Рассмотрим расширение А оператора Д0 с областью определения где: f , Л и @ - постоянные, /а1 +

Оператор А действует так:

Оператор А является правильным расширением [б"] оператора А0 • Для этих операторов и строятся дилатации. Заметим, что для таких операторов т).

В дополнении рассматривается одна модификация понятия характеристической функции линейного ограниченного оператора, а именно: характеристическая а -функция оператора.

В случае сжатий Б.С.-Надь и Ч.Фояш [i] определили характеристическую функцию равенством i й ^ где swr-rr) - дефектный оператор, отображающий пространство , в котором действует оператор ~Г , в дефектное подпространство - &)т оператора ~Т~ .

При этом, как было показано в [i] , при .наличии инвариантного подпространства ^ » у оператора Т характеристическая функция 0Т(>) допускает факторизацию: 11 О

О I о

9Т00= I W о тг. L iV г) где \J , № , V - постоянные унитарные операторы, а

0Т (>0 - характеристическая функция оператора Т^ , где * т, = ат

Т>Т у,

Указанное свойство характеристической функции играет существенную роль при изучении различных классов сжатий.

В [is] А.В.Кужель ввел понятие характеристической функции в случае произвольного ограниченного оператора ~Г равенством

0T(>)=Tj-*Qr.(l->T*yQr, о) где J=s;r(r-ГТ), 6Т ~ 11~Т*Т\ ■

В частности, если - сжатие, то У - Р , где Р - оператор проектирования на . В этом случае указанное определение характеристической функции совпадает с определением Б.С.-Надя и Ч.Фояша.

В [il] был также получен аналог теоремы Надя-Фояша о факторизации характеристической фун:кции. Однако при этом вводилось понятие WF -подпространства и теорема о факторизации была получена только в случае существования у рассматриваемого оператора инвариантного и/F -подпространства. Все попытки избавиться от указанного ограничения на инвариантные подпространства оказались безрезультатными.

Здесь введена некоторая модификация,понятия характеристической функции, что дает возможность установить в общем виде теорему о факторизации, перенести многие результаты Б.С.-Надя и Ч.Фо-яша и других авторов на ограниченные операторы, не являющиеся сжатиями, и упростить доказательство ряда утверждений.

Пусть А - линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве ^ . Оператор-функцию определяемую равенством

AJ-2QA.(r-MTQA > где -А*А\ Од- |(Х2Г-А"А| ^ , а- произвольное фиксированное положительное число, будем называть характеристической функцией оператора Д , соответствующей параметру а , или, кратко, характеристической а -функцией оператора А .

В частности, понятие характеристической I -функции совпадает с понятием характеристической функции из работ [п, 18 ] .

Оказывается, что характеристическая а-функция оператора А связана с характеристической функцией (3) оператора Т=а* А равенством:

- Q 0T(ai) ■ (4)

При этом в случае /|А(1 ^ можно считать, что в равенстве

4) 9Т есть характеристическая функция Б.С.-Надя и Ч.Фояша.

Пусть ^ - инвариантное относительно оператора Д подпространство . Тогда

Al Г V где А,= ал|5х

Д - линейный ограниченный оператор, отображающий ^ в ^ . Инвариантное подпространство называется и/F -подпространством, если Г-Q^* L Одя , где L - некоторый ограниченный оператор, отображающий ^ в . Используя процесс факторизации, описанный в [п] , доказано, что в случае наличия у оператора л/ F -подпространства, характеристическая а -функция допускает факторизацию i//V, (Wa'm:)v о W^d) j l о I 2 где U , uP, V , как и в [il] , есть некоторые постоянные операторы типа изометрических.

При этом если ||Д(| й <Х , то каждое инвариантное подпространство оператора Д является Л/F -подпространством, и,следовательно, в этом случае характеристическая а-функция может быть факторизована без каких-либо ограничений на инвариантные подпространства. В этом случае операторы JJ и \/ являются унитарными, а оператор сО удовлетворяет соотношениям

На случай характеристической d -функции перенесены также результаты Д.Кларка [12^ , полученные для характеристической I-функции.

В данной работе внутри глав принята сквозная нумерация теорем, лемм и формул, в которой первое число указывает номер главы, а второе - номер соответствующего утверждения главы.

Настоящая работа выполнена в Симферопольском государственном университете им.М.В.Фрунзе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах , [l9-22j и докладывались во Всесоюзной летней школе по операторам в функциональных пространствах в 1982 г. в г.Минске, на семинарах по функциональному анализу Симферопольского госуниверситета (руководитель - проф. А.В.Кужель), на семинаре по теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой Воронежского госуниверситета (руководитель - проф. И.С.Иохвидов), на семинаре кафедры высшей математики физического факультета Харьковского госуниверситета (руководитель - доцент В.К.Дубовой).

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Явное построение спектрального представления симметрической дилатации диссипативного оператора и связь этого представления с другими. 9

2. Минимальность симметрических дилатации.

3. Явное построение спектрального представления самосопряженной дилатации диссипативного оператора и связь этого представления с трансляционным представлением и представлением в случае ограниченности мнимой компоненты диссипативного оператора.

4. Свойство минимальности самосопряженных дилатации.

5. Спектральное представление J -самосопряженной дилатации произвольного линейного оператора с плотной областью определения и непустым множеством регулярных точек.

6. Факторизация характеристической а -функции линейного ограниченного оператора.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А.В.Кужелю за постоянное внимание к работе.

1. Секефальви-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Мир, 1970. - 431 с.

2. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

3. Кужель А.В., Кудряшов Ю.Л. Симметрические и самосопряженные дилатации диссипативных операторов. ДАН СССР, 1980, т.253, № 4, с. 812-815.

4. Павлов Б.С. Теория дилатаций и спектральный анализ несамосопряженных дифференциальных операторов. В сб.: Матем. про-граммир. и смежн.вопр. Теория операторов в линейных пространствах. - М., 1976, с. 3-69.

5. Кужель А.В. Самосопряженные и J -самосопряженные дилатации линейных операторов. Теория функций, функц.анализ и их прил. 1982, вып. 37, с. 54-62.

6. Кужель А.В. Правильные расширения эрмитовых операторов. ДАН СССР, 1980, т. 251, № I, с. 30-33.

7. Павлов Б.С. Самосопряженная дилатация диссипативного оператора Шредингера и разложение по его собственным функциям. -Мат. сб., 1977, 102(144), №4, с. 511-536.

8. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 400 с.

9. Кужель А.В. Аналог формулы М.Г.Крейна для резольвент несамосопряженных расширений эрмитова оператора. Теория функций, функц. анализ и их прил. 1982, вып. 36, с. 49-55.

10. Чернова Г.И. Об одном общем случае вычисления характеристических функций линейных операторов. Динам.системы. 1983, вып.2, с. 122-129.

11. Кужель А.В. Обобщение теоремы Надя-Фояша о факторизации характеристической оператор-функции. Acta Sci.math., 1969, 30, № 3-4, с. 225-234.

12. Clark D.N. On models for noncontrations. Acta Sci.math., 1974, 36, 1-2, p. 5-16.

13. Павлов Б.С., Фадеев JI.Д. Построение самосопряженной дилатации для задачи с импедансными граничными условиями. Зап. ЛОМИ АН СССР, 1977, 73, с. 217-223.

14. Davis Ch. J -unitary dilation of general operators. Acta Sci. math., 1970, 31, № 1-2, p. 75-86.

15. Davis 0., Foias C. Operators with bounded characteristic function and their J -unitary dilation. Acta Sci. math., 1971, 32, № 1-2, p. 127-139.

16. Сахнович Л.A. 0 J -унитарной дилатации ограниченного оператора. Функц. анализ и его прил., 1974, т. 8, вып. 3,с. 83-84.

17. Кужель А.В. J -самосопряженные и J-унитарные дилатации линейных операторов. Функц. анализ и его прил. 1983, т. 17, вып. I, с. 75-76.

18. Кужель О.В. Характеристична оператор-функЩя дов1льного обмеж-ного оператора. ДАН УРСР, сер. А, 1968, 3, с. 233-236.

19. Кудряшов Ю.Л. Симметрические и самосопряженные дилатации дис-сипативных операторов. Сб.: Теория функций, функц.анализ и их прил., 1982, вып. 37, с. 51-54.

20. Кудряшов Ю.Л. Связь между различными представлениями самосопряженной дилатации диссипативного оператора. Рукопись деп. в ВИНИТИ, К> 3-83. Деп. от 3.01.83. - 15 с.

21. Кудряшов Ю.Л. Минимальные симметрические и самосопряженные дилатации диссипативных операторов. Рукопись деп. в ВИНИТИ,2.83 Деп. от 3.01.83. -II с.

22. Кудряшов Ю.Л. Об одной модификации понятия характеристичес кой функции линейного ограниченного оператора. В кн.: Ма тематический анализ и теория вероятностей. Сб. науч. тр. Киев: Наук, думка, 1978, с. 92-95.