Базисность по Риссу собственных функций иденфинитных эллиптических задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Парфёнов Антон Игоревич

Базисность по Риссу собственных функций

индефинитных эллиптических задач

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2005

Работа выполнена в Институте математики им. C.JI. Соболева СО РАН

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор С.Г. Пятков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических

наук, профессор A.A. Шкаликов

кандидат физико-математических наук H.H. Романовский

Ведущая организация

Воронежский государственный университет (г. Воронеж)

Защита состоится в ^ \ часов на заседании

диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 630090 Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики

Автореферат разослан 2?2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Гутман А.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы базисности по Риссу в индефинитных спектральных задачах обусловлена тем, что базисность по Риссу влечет так называемую базисность половин, позволяющую решать соответствующие спектральным задачам дифференциальные уравнения методом разделения переменных. Базисность по Риссу в индефинитных спектральных задачах изучали, в частности, С.Г. Пятков, Б. Чургус, А. Фляйге, Б. Найман, X. Волкмер, П. Биндинг, Н.Л. Абашеева, М. Файерман и X. Лангер.

Цель работы — получить как достаточные, так и необходимые условия базисности по Риссу собственных функций индефинитных задач в терминах определяющих эти задачи объектов (весовых функций или мер), а также обобщить полученные и ранее известные результаты на более общие ситуации.

Основные результаты:

1. Для банаховых пространств X, У и оператора Я 6 Ь(Х,У) изучены свойства банахова пространства X^ = ЯХ с нормой \\у\\хл = ийхеХ:Пх=у \\х\\х-

2. Рассмотрена индефинитная спектральная задача, соответствующая ситуации из п. 1, когда X — гильбертово пространство, У — пространство Крейна, а оператор Я компактен и имеет плотную область значений. Доказано, что базисность по Риссу собственных функций этой задачи в пространстве У равносильна равенству (Х^, Х^)1/2,2 — где ХЦ — построенное по Ха и У негативное пространство, а круглые скобки обозначают метод вещественной интерполяции банаховых пространств.

3. Показано, что условие Зз € (0,1) {А, В)«,2 С (А, где А, В (с А) и С (С А) — банаховы пространства, может быть сформулировано без терминов теории интерполяции.

4. На основании п. 2 и п. 3 для простейшей одномерной индефинитной спектральной задачи с нечетной мерой доказан критерий базисности в терминах этой меры.

рос национальна*

библиотека

с.пстея*ург »

5. Доказано, что существование сжимающего оператора, сохраняющего граничные значения, достаточно для базисности по Риссу в индефинитных спектральных задачах в евклидовом пространстве.

6. Условие из п. 5 изучено для многомерных задач.

7. Связанные с проблемой базисности интерполяционные условия обобщены со случая гильбертовых на случай рефлексивных банаховых пространств, и указана связь этих обобщений с нелинейными дифференциально-операторными уравнениями.

Методика исследования. Абстрактные результаты основаны на элементарных сведениях из теории интерполяции банаховых пространств. Конкретные спектральные задачи и соответствующие конкретные интерполяционные условия исследуются переходом к пространствам последовательностей через дискретизацию в стиле разбиения Уитни при помощи неравенства Гёльдера и гёльдеровости функций из пространств Соболева.

Научная новизна и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и имеют значение для теории интерполяции банаховых пространств, теории пространств с индефинитной метрикой и теории дифференциальных уравнений смешанного типа. Все результаты диссертации, в частности приведённые ниже леммы 1, 2 и теоремы 1-10, являются новыми и получены автором лично. В диссертации указано, какие из результатов являются непосредственными обобщениями ранее известных, с указанием соответствующих работ.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались

• на семинаре под руководством профессора B.C. Белоносова и доцента М.В. Фокина в ИМ СО РАН (г. Новосибирск);

• на семинаре под руководством профессора А.И. Кожанова в ИМ СО РАН (г. Новосибирск);

• на семинаре под руководством академика Ю.Г. Решетняка в ИМ СО РАН (г. Новосибирск);

• на международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы» (г. Стер-литамак, 2003 г.);

• на международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (г. Новосибирск, 2004 г.);

• на Воронежской весенней математической школе «Понтря-гинские чтения — XVI» (2005 г.).

Публикации. Почти все результаты диссертации опубликованы в работах [2], [3], [6].

Объём и структура диссертации. Диссертация изложена на 114 страницах и состоит из титульного листа, оглавления, соглашений об обозначениях, введения, трёх глав и списка литературы, который содержит 64 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложение ведётся в соответствии с пунктами «Актуальность темы», «Постановка задачи», «Историография вопроса», «Краткое содержание диссертации» и «Апробация результатов».

Первая глава «Абстрактные результаты» концентрируется вокруг следующей ситуации. Пусть

V — рефлексивное банахово пространство, К — пространство Крейна с индефинитной ,л,

метрикой [•,•], и оператор К € Ь(У,К) компактен и имеет плотный образ.

Норма IMI = infxeV:Rx=y ll^llv превращает линеал VQ = RV в рефлексивное банахово пространство, плотно и компактно вложенное в К. Обозначим через пополнение пространства К по норме

[х,у]

WvWvs - sup

xevd

Имеет смысл условие

M\vd

(^,^1/2,2 = к, (2)

где круглыми скобками обозначен метод вещественной интерполяции банаховых пространств, а равенство понимается с точностью до эквивалентности норм.

Теорема 1. Определим оператор В € Ь(У, V*) тождеством (Ви,у) ~ [Ли, Л«], и, у е V. Пусть 0 < Т < оо, Я ~ (О,Т), 1 < р < оо, рГ = р/(р - 1), V = Ьр(5; V), V, = Ьр, (5; V*) и

УУ — {у Е V : существует об. производная ^-Ву € V*},

аъ

где V* — сопряженное пространство. Если дано каноническое разложение К = К~^[(В]К~ пространства Крейна К и выполняется (2), то оператор Ь : V -> V», где

Б(1/) = {v <Е УУ : Д«(0) € К~, Д«(Т) € К+} и

Л г, Ьу = -Ву,

является максимальным монотонным.

Данная теорема позволяет ставить корректные начально-краевые задачи для нелинейных дифференциально-операторных уравнений.

Пусть теперь пространство V из (1) гильбертово. Назовём вектор и € У\0 собственным вектором спектральной задачи (и, -)у =

А[Ли, Л*], если для некоторого Л € К и всех и 6 V выполняется равенство {и,ь)у = А[Ли,Ли].

Теорема 2. Из Я-образов некоторых собственных векторов задачи (и, -)у = А [Яи,Я-] можно составить базис Рисса пространства К тогда и только тогда, когда верно (2).

При исследовании интерполяционных условий, в частности условия (2), важны следующие доказанные в [2] леммы, в которых А, В и С — банаховы пространства, причём В к С вложены в А. Лемма 1. Условие

30 6(0,1) (А,В)в,2С(А,С)в>2

выполняется тогда и только тогда, когда

3)9 6(0,1) (А,В)р>1С(А,С)р, оо,

причем вир/? = эирб*.

Лемма 2. Пусть 0 < @ < 1. Тогда {А,В)р^ С (А,С)р>00 в том и только в том случае, когда

Эс > 0 Уи € В Щ > 0 Зю € С ||и - ь\\А + %||<7 <

Если С является замкнутым подпространством в В и В С А, то имеет место такое следствие лемм 1 и 2.

Теорема 3. Условие 39 € (0,1) (А,В)в12 = (А,С)е,2 равносильно условию

существуют отображение Т : В В и константы 6 (0,1), N2 > 1 такие, что для всех и & В имеем Т(и) — и & С,

1№)|Ц < вди и \\Т(и)\\в < N2\\и\\в.

Во второй главе «Одномерный случай» считается, что V = и К = Ь2>ы(-1,1) в (1), где т > 1 целое,

1 < р < оо, а ^ — знакопеременная борелевская мера в (—1,1) с разложением Хана (—1,1) = Х+1>Х-, Х+ - (0,1), Х- = (—1,0]. Индефинитная метрика в К равна [и,ь] = иу<1ц. Оператор В. из (1) действует так: для и € V берём непрерывный представитель и полагаем Ии равным классу эквивалентности этого представителя в пространстве К. Заметим, что при т = 1 и р — 2 условие (2) равносильно базисности по Риссу в пространстве К обобщенных собственных функций задачи

-и"{х) Ах = Аи(г) ¿р(х), -1 < х < 1; «(-1) = и(1) = 0. (3)

Теорема 4. Для базисности по Риссу в задаче (3) достаточно существования таких с,/3> 0, что

(0 < г, < е < 1) =» тш(/+, /") < с 1е,

где 1+ = м((0,г7)), 1~ = -^((-^О]) и 1е = 1+ + 1~.

Теорема 5. Для базисности по Риссу в задаче (3) необходимо условие

Зт > 1, N е (0,1/4) Уе 6 (0,1/г] 1-1+ < те1„.

Из теорем 4 и 5 вытекает следующая

Теорема 6. Если мера ц нечетна, то базисностъ по Риссу в задаче (3) равносильна условию

За; €(0,1) Уе€(0,1) /+ < ±1+.

Теорема 7. Пусть а\,а2 > 0, 0 < < 1, ох Ф 902, аг ф год. = аудк для нечётных к и из^ = ачцк для чётных к, 0 < I <

0<77i<lu0< r)k+1 < lr)k при к > 1. Тогда есть базисностъ по Риссу в задаче (3) для меры ц — l)kwk$ek> ®к —

(—1 )кщ и обозначает меру Дирака массы 1 в точке 9.

Также в главе 2, среди прочего, показано, что условие из теоремы 4 не является необходимым для базисности, и что теорему 6 можно установить без помощи теории интерполяции банаховых пространств, только с использованием критерия из статьи 6urgus В. On the regularity of the critical point infinity of definitizable operators // Integral Equations and Operator Theory. 1985. V. 8, N 4. P. 462-488.

В третьей главе «Многомерный случай» считается, что V = W?{D) и К = L2M{D) в (1), где D = (-1,1) х F„ F* = (О, l)n_1, 1 < р < оо, целые n > 1 и т > 1, причём тр > п, а знакопеременная борелевская мера /jbd имеет разложение Хана D+ U D-, D+ = (0,1) х D_ = (-1,0] х Fm. Оператор R из (1) и индефинитная метрика в К определяются так же, как в одномерном случае.

Все результаты главы 3 используют только сужение меры ц на D+ и относятся к условию (4) ниже. По техническим причинам удобно считать, что это сужение задано не на D+, а на Е+ — (0,1) х F, где F = [0,1)п~1. Обозначим через Я пространство L2iIX(E+), через Z — пространство всех функций из W™(D+) с нулевым полным следом на dD+ \ (0 х F*), а через Zo — совпадающее с W™(D+) подпространство всех функций и € Z с нулевым полным следом на 0 х Ft. Можно, рассматривая продолжения по непрерывности, считать, что Z и Zq состоят из функций над Е+\ определим оператор R+ € L(Z,H) аналогично R € Ну,К). Доказан следующий аналог теоремы 3.

Теорема 8. Для выполнения (2) достаточно выполнения усло-

>

вия

существуют отображение Т -. 2 ^ 2 и константы N1 е (0,1), N2 > 1 такие, . .

что для всех и € 2 имеем Т(и) — и £ ^ '

ЦЯ+Т(и)Ця < М||Д+и||я « ||Г(М)||г < М2\\и\\2.

Пусть куб — это декартово произведение полуинтервалов вида [а, Ь) одинаковой длины. Для куба Р С К"-1 пусть 1р — его ребро. Через 7Р обозначим концентричный с Р куб с ребром 71р.

Теорема 9. Если верно (4), то

для любого р > 0 существует такое С е (0,1/2], что для любого куба Р С Р выполняется неравенство

р((0,С1р)х%Р)<Рм((0,1р)хР)-

Пусть а е (0,1] и полуинтервал I С = [0,1). Обозначим ст/ = [о, Ь) и dJnd.Fi = П. Через г (а, I) обозначим: [а, Ь) при 0 = 0, [О,Ь) при О = {0}, [а, 1) при О, = {1}, и [0,1) при П = {0,1}. Для куба I С Р вида I = /2 х • • ■ х 1п введём параллелепипед г (а, I) = г(а,/2) х ••• х г (о, 1п). Следующий результат есть объединение теорем 25, 27 и 28 диссертации.

Теорема 10. Если

Ур > О Э( € (0,1/2] такое, что для любого куба Р С Р /;((0, С/р) х г(3/4,Р)) < рцЦУрМ х Р)

и либо т= 1, либо т~2, п~2и1<р<2, либо т — 2, п = 3 и 3/2 < р <2, либо мера у. задана такой плотностью у, что для некоторых 6 € (0,1) иМ > 1 из х,у € Е+, \х — у\ < 6х\ вытекает неравенство д(у) < Мд(х), то выполняется (4)-

В доказательстве используются полиномиальная аппроксимация функций с малой соболевской нормой и конструкция типа разбиения Уитни.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Парфёнов А.И. О базисности по Риссу собственных функций индефинитных задач Штурма-Лиувилля // Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы. / Труды международной научной конференции, 24-28 июня 2003 г., г. Стерлитамак. Уфа: Гилем, 2003. Т. 1. С. 53-58.

[2] Парфёнов А.И. Об одном критерии вложения интерполяционных пространств и его приложении к индефинитным спектральным задачам // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 4. С. 810-819.

[3] Парфёнов А.И. Об условии Чургуса в индефинитных задачах ШтурмагЛиувилля // Мат. труды. 2004. Т. 7, № 1. С. 153-188.

[4] Парфёнов А.И. О существовании сжимающего отображения, сохраняющего граничные значения // Международная школа-конференция по анализу и геометрии, поев. 75-летию акад. Ю.Г. Решетняка, 23 августа - 2 сентября, Новосибирск. / Тезисы докладов. Новосибирск: Омега Принт, 2004. С. 194-196.

[5] Парфёнов А.И. Сжимающий оператор и граничные значения // Воронежская весенняя математическая школа *Понтрягин-ские чтения — XVI». / Современные методы теории краевых задач. Воронеж: ВГУ, 2005. С. 121-122.

[6] Парфёнов А.И. Сжимающий оператор и граничные значения / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Препринт № 155. Новосибирск: Омега Принт, 2005.

Парфёнов Антон Игоревич

ч

Базисность по Риссу собственных функций индефинитных эллиптических задач

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Издание подготовлено с использованием пакета АМБ-ЬАТЕХ

Подписано в печать 27.06.05. Формат 60 х 841/1б-Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,75. Тираж 70. Заказ № 85.

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090 Новосибирск, пр. Лаврентьева, 6

г

í

У

»

т

»14820

РНБ Русский фонд

2006-4 11893