Индефинитные функции Каратеодори. Интерполяционные свойства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

на правах рукописи

ЛОШ/ШАНСКАЯ ЕКАТЕРИНА ВЛАДИМИРОВНА

Индефинитные функции Каратеодори. Интерполяционные свойства

01 01 01 — математический анализ Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2008

003169971

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Азизов Томас Яковлевич

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Л обода Александр Васильевич

Ведущая организация - Институт математики им С Л Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится "24" июня 2008 г в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д 212 038 22 при Воронежском государственном университете по адресу 394006, г Воронеж, Университетская пл , 1, ВГУ, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан ¡3 мая 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212 038 22, доктор физико-математических наук,

доктор физико-математических наук, профессор Пятков Сергей Григорьевичч

профессор

Ю Е Гликлих

Общая характеристика работы.

Актуальность работы. В начале двадцатого века И Шур опубликовал две работы, где он решает несколько важных проблем интерполяции для классов аналитических функций, заданных на единичном круге Одна из них — ставшая в последствии знаменитой проблемой Шура по заданным комплексным числам со,сх, ,с„ найти функцию

п оо

являющуюся аналитической в круге |г| < 1 и ограниченную единицей | в (г) | 1 Такую функцию позднее назвали функцией Шура Метод решения этой проблемы и других похожих проблем (например, проблемы Каратеодори-Теплица) основан на идее, которая впоследствии получила название алгоритма Шура Дробно-линейное преобразование

называется преобразованием Шура, а его повторяющееся применение к функциям Шура и есть указанный алгоритм Алгоритм Шура нашел применение в решении широкого круга задач как в фундаментальной, так и прикладной математике, к примеру, в теории операторов и вычислении сигналов Он служит началом новой области математики, называемой анализом Шура

В дальнейшем алгоритм Шура был применен к более общим классам функций, к таким как класс обобщенных функций Шура и класс обобщенных функций Неванлинны Преобразование Шура для обобщенных функций Шура было представлено в работах К Шамфи и Д Дуфресной, а также в монографии М Г Бертин, А Декомпс-Гьюлокс, М Грандет-Хьюгот М Пасиаукс-Делефоссэ, Д Шрейбер Далее оно изучалось в статьях таких авторов, как Д Алпай, ТЯ Азизов, А Дайксма, X Лан-гер, в их совместных работах с Г Ваняла Большое внимание этому же вопросу уделено в статьях Е Депретер и П Девилд, Т Константинеску, в совместной публикации последнего с А Геондэ и с М Баконый, а также в совместных работах Д Алпая и X Дыма, Р Акнер, Г Лев-Ари, Т Кайлас Введение алгоритма Шура для обобщенных функций Неванлинны и применению его к решению различных задач представлены в ряде работ Д Алпая, А Дайксмы, Г Лангера, их общей статье с Ю Шондиным и А Лугер, статье М С Деревягина

Настоящая работа посвящена изучению обобщенных (индефинитных) функций Каратеодори и их интерполяционных свойств Одна из основных целей работы — введение корректного понятия алгоритма Шура для обобщенной функции Каратеодори При этом будет показано, что алгоритм Шура зависит от того, является ли вещественная часть значения функции / в некой точке открытого единичного круга положительной, отрицательной или нулевой Основными инструментами, примененными в исследовании, являются свойства пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами, связанные с обобщенной функцией Каратеодори С помощью найденного алгоритма решена простейшая задача интерполяции для функции Каратеодори

Целью работы является нахождения алгоритма Шура для функции Каратеодори и решение задачи интерполяции для нее, определение преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодори, исследование поведения последней в специальной области решение задачи аппроксимации

Методика исследования. В работе использовались методы теории функций, функционального анализа, теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, а также методы и подходы теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми Среди них можно выделить следующие, наиболее важные

1 Введен в рассмотрение алгоритм Шура для классической функции Каратеодори С его помощью решена проблема интерполяции функции Каратеодори Данный результат расширяет возможности применения алгоритма Шура

2 Посредством использования теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами введено определение преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодори Доказана теорема о количестве отрицательных квадратов у преобразования Шура обобщенной функции Каратеодори

3 Изучено поведение обобщенной функции Каратеодори в специальной области и решена задача ее аппроксимации в этой области

Практическая и теоретическая значимость Работа носит теоретический характер Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, основанных на теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и ее приложениях, проводимых в Воронежском, Московском, Югорском университетах, в институте математики им С Л Соболева

Сибирского отделения Российской академии наук, в математическом институте им Стеклова Российской академии наук, в научно исследовательском институте математики Воронежского государственного университета

Апробация работы Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре проф Т Я Азизова в Воронежском государственном университете, на семинаре по функциональному анализу в государственном университете штата Джорджия, г Атланта, США, на семинаре кафедры высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительного университета, под руководством проф Ло-боды А В , Воронежских зимних математических школах - 2006, 2007, Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XVII", "Понтрягинские чтения - XVIII", Воронеж, 2006, 2007, международной летней школе и конференции по операторным алгебрам, теории операторов и их приложениям \VOAT 2006, Лиссабон, Португалия, на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и операторным полиномам, Берлин, 2006, Германия, на международной конференции "Современный анализ и приложения"МАА 2007, Одесса, Украина, на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Москва, 2007, на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и спектральному анализу, Берлин, 2007, Германия

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1|-[7], [8]-[10] Этот список также приведен в конце автореферата Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих десять параграфов, и списка литературы Объем диссертации 87 страниц Библиографический список содержит 56 наименований Текст иллюстрируют 2 рисунка

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся исторические сведения, методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам

Первая глава посвящена классическому определению преобразования Шура для функции Шура, а также введению алгоритма Шура для функции Каратеодори и решению проблемы интерполяции для нее

В параграфе 1.1 дается определение функции Шура 5, голоморфной функции, переводящей открытый единичный круг Ш> в себя, и вводится класс данных функций, обозначаемый Б Далее рассматривается дробно-линейное преобразование, отображающее весь класс функций

Шура, тождественно не равных по модулю единице, в Б

Функция называется преобразованием Шура функции в Если я(г) не является константой, по модулю равной единице, то преобразование можно повторить, заменив я(.г) на Повторяя эту процедуру, исходной функции Шура в ставятся в соответствие конечные или бесконечные последовательности функций и комплексных чисел а, £ В, называемых коэффициентами Шура, такие, что

50(г) = з(г), (т0 = 5О(0),

и для ] — 0,1,

^ 1 5;(г)-й7(0)

*>+1 = а>{г) = г1-8,{г)а,{оу> =

Данные рекуррентные соотношения называются алгоритмом Шура

В параграфе 1.2 определяется множество голоморфных в открытом единичном круге Ю> функций, вещественная часть которых является положительной — множество функций Каратеодори Со Акцент делается на исследование свойств этих функций, с помощью которых вводится алгоритм Шура с центром в точке г = 0 Алгоритм заключается в том, что фиксируется функция / € Со и определяются последовательность функций {/„} и последовательность чисел {£„} следующим образом

/о = /, £п = /„(0), п > 0,

Ш + ь-Щ^1^. Основные результаты параграфа сформулированы в последующих двух теоремах

Пусть Ф — множество конечных или бесконечных последовательностей комплексных чисел £ = {£о,£ъ , £п, } со свойством Яе£п > 0, п ^ 0 Такой набор бесконечен, если > 0 для любого у ^ 0, и конечен длиною щ, если >0, ] — 1, щ и Яе£„0 = 0

Теорема 1.2.1 Алгоритм Шура осуществляет взаимно-однозначное соответствие между множеством функций Каратеодори Со и описанным множеством Ф Если функции, к которой применяется алгоритм Шура, соответствует конечный набор комплексных чисел, то

она имеет вид f{z) = {iffjfj» gde s(z) ~ конечное произведение Бляшке степени щ

Теорема 1 2.2 Для любой функции / € Со существует последовательность функций {pn(z) = ffij}, где {sn(z)} — последовательность конечных произведений Бляшке, сходящихся к функции f на компактном подмножестве множества В>

В заключении параграфа определяется преобразование Шура, имеющее центр в любой точке единичного круга z\ £ Ю>

а Л ■ | /W-со

?( \ - Ш 1+CQ

nz) ~ fir) , т-со l+cs' + С о ьс(г) 1+со

где bc(z) = — множитель Бляшке

В параграфе 1 3 описывается решение простейшей задачи интерполяции для функции Каратеодори (Задача 2), заключающаяся в следующем дано комплексное число со 6 С, найти все функции Каратеодори f такие, что /(0) = Со

Решение этой задачи интерполяции находится в зависимости от знака вещественной части значения функции / в точке z = 0 и сформулировано в следующей теореме Теорема 1 3.1

1 Если Re со < 0, то задача 2 не имеет решений

2 Если Re Со = 0, то задача 2 имеет единственное решение, а именно f(z) ~ Со

3 Если Re cq > 0, то существует бесконечно много решений поставленной задачи

f(z) = zc-0( 1 + со)(1 - /I») - Сэ(1 + Cg)(l + /(*)) z(l + co)(-l + f(z))-(l+c&)(l + f{z)) '

где f — функция Каратеодори

Вместе с тем показывается, как с помощью алгоритма Шура решается рекурсивная проблема интерполяции (Задача 3) по заданным комплексным числам со, , cn_i найти все (если существуют) функции Каратеодори такие, что

f(z) = cq + zc, + +zn~'icn-1 + 0{zn), z-+ 0

Вторая глава посвящена нахождению алгоритма Шура для обобщенной (индефинитной) функции Каратеодори

Параграф 2.1 носит вспомогательный характер В нем напоминаются необходимые в работе определения пространств Крейна и Понтрягина Определение 1 Пространство Н с (¿-метрикой С2(х,у) = (х,у), допускающее разложение в С}-ортогональную прямую сумму

# = #+<+)Я~,

в котором Н+ и Н~ являются полными, то есть гильбертовыми пространствами по отношению к нормам ||а:|| = (х,х)*, (х 6 Н+) и ||ж|| = (~{х,х)^), (х 6 Н~), соответственно, называется пространством Крейна

Определение 2 Пространство Крейна Н = Н+{+)Н~ с конечным рангом индефинитности я — тгп{с1гтН+, йгтН~} называется пространством Понтрягина и обозначается Пх

Далее вводится понятие ядра с х-отрицательными квадратами К(г, и>), в соответствие которому специальным образом ставится пространство Понтрягина Р(К)

Рассмотрим натуральное число р ^ 1 и обозначим через Ср комплексное векторное пространство, состоящее из векторов, размером р х 1

Определение Зрхр матричная функция К двух переменных, определенная на множестве Г2 х где А с С, называется эрмитовым ядром, если

К(г,ги) = К*(и), г), г, го € П

Определение 4 Пусть множество Г2 — открытое множество на комплексной плоскости Тогда эрмитово ядро К(г,и>) называется аналитическим, если оно аполитично по г при фиксированном и) и анали-тично по и>* при фиксированном г

Определение 5 Говорят, что эрмитово ядро К(г, ги) имеет и отрицательных квадратов К(г,и;) = х), где н — целое неотрицательное число, если для любого натурального т ^ 1, любых конечных наборов векторов {с,}]" £ Ср и точек {г^}!1 € эрмитова тх т матрица

имеет не более ус отрицательных собственных значений, а хотя бы для одного набора их ровно к, с учетом кратности

Говорят, что ядро К(г,ш) — неотрицательно, если условие выполнено при х = 0, то есть матрица ((К(и},,ю3)с,,с})является неотрицательной

Определение 6 Ядру K(z, w) с я отрицательными квадратами ставится в соответствие пространство Понтрягина V(K), состоящее из вектор-функций, определенных на О. и со значениями в Ср Важным является выполнение следующих двух свойств

1 Для любого фиксированного элемента w 6 Í2 и вектора с б Ср функция (Kwc)(z) принадлежит V(К), где

(Kwc)(z) = K(z,w)c,

2 Для любой функции f £ V(K)

(f, Kwc)v(K) = c*f(w)

Также в данном параграфе рассматриваются некоторые необходимые свойства пространств Понтрягина с воспроизводящими, ядрами

Параграф 2 2 посвящен изучению свойств матрицы Пика для данного ядра с х отрицательными квадратами K(z,w)

Определение 7 Матрица коэффициентов в разложении

00

K{z,v})=Yil^z-zl)\w*-ziy, tj=0

то есть матрица Г = (7y)íj=o называется матрицей Пика данного ядра в точке z\

Параграф 2.3 посвящен определению J-унитарных матричных функций и напоминанию их необходимых в дальнейшем свойств

Определение 8 Рациональная матричная функция © называется J-унитарной на окружности, если

е(е")* JQ{elt) = J, te [О, 2jt), elt е hol{Q), J = J*, J2 = I2

В параграфе 2.4 рассматривается обобщенная функция Каратео-дори и доказываются теоремы, посвященные нахождению явного вида матрицы Пика для ядра

z,w Е hol(f)

и изучению свойств этой матрицы

Определение 11 Функция f называется обобщенной (или индефинитной) функцией Каратеодори, если она мероморфна в открытом единичном круге В) и ядро K¡{z,w) имеет конечное число отрицательных квадратов

Обозначим через С* — класс обобщенных функций Каратеодори с х отрицательными квадратами, а через С — и^о С* — множество всех обобщенных функций Каратеодори

Для точки 2\ 6 В обозначим через (С21) — множество функций, принадлежащих Су, (С соответственно), которые являются голоморфными в этой точке

Приводится результат о принадлежности функции / к классу являющийся прямым следствием известной теоремы о связи количества отрицательных квадратов ядра с количеством отрицательных собственных значений соответствующей ядру матрицы Пика

Следствие Функция / является обобщенной функцией Каратеодори с х отрицательными квадратами тогда и только тогда, когда число отрицательных собственных значений соответствующей ей матрицы Пика равняется х

к_(Г) = х

Теорема 2.4.1 Матрица Пика функции / 6 С*1 в точке может быть найдена из соотношения

Г = ЕГ° + Г°Е*,

где X — теплицева матрица коэффициентов в разложении Тейлора обобщенной функции Каратеодори / = с>(г ~ Zl),

/сп П П П \

Со 0 0 0

С1 Со 0 0

С2 С1 Со 0

сз С2 С1 Со

а Г° — матрица Пика для ядра

К {г, из) =

1 — ги/"

в точке 2:1 Е .

Обозначим через &о(Г) наименьшее положительное число ], такое, что главная подматрица Г; матрицы Г обратима

ко (Г) = тгп{з ¿е1Т3 ф 0}

Теорема 2 4.2 Для функции / 6 С21, не являющейся чисто мнимой константой, и для ее матрицы Пика выполнено

С0 + 4Ф0 Ао(Г) = 1 10

Если со + с^ = 0, то ко = 2к, где к ^ 1 — наименьшее целое число, такое что с^ф О

Основным результатом параграфа 2.5 является нахождение преобразования Шура / для обобщенной функции Каратеодори / с помощью использования теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами

л*) = гё\т)

Здесь матричная функция 0 находится в зависимости от вещественной части числа со = /(^1), г\ 6 Р, отображенной в следующей теореме

Теорема 2 5 3 Если вещественная часть числа Со — /(^1), г\ Е Ю отлична от нуля Ref(z■¡) ф 0, то матричная функция Э имеет вид

0 _ 1 ( со&с(г) + с^Ъс{г0) Ъс(г0) - Ьс{г) (со + Сд)6с(го) \сос5(Ьс(го) - Ьс(г)) <%Ьс(г) + с<>Ьс(г0)

где

ьс{г) = Т—го е Т 1 — гг\

Если же — 0, то

1

\г - Г1)*(1 - гг1)к - Сор{г) р(г)

-Сор(г) {г - гх)*(1 - гг{)к + сор(г)

где р — многочлен, удовлетворяющий следующим свойствам

ры = 0, й + л'ф-о

Преобразование Шура для обобщенной функции Каратеодори / находим следующим образом Если

П)~ с1р{г)

то преобразование не определено В случае, когда

(г - *!)'(! - гг\)к 1

СоР(г) со'

преобразование Шура зависит от того, является ли вещественная часть со нулевой или нет В связи этим рассматриваем следующие две возможности

Если / SC" и с0 + ф О, то

(cj$bc(z) + c0bc(z0))f(z) + (Ьс(г) - bc{zo))

М =

CoC*0(bc{z) - bc(z0))f(z) + (c5&c(z0) + Cobc{z)) 2 Если / G С21 и Co 4- 4 = 0, то

(сор(г) + (z - *i)*(l - «£)*)/(*) - p(z)

№

clp(z)f(z) + (z- z1)k( 1 - )* - Cqp(z) '

где к ^ 1 — наименьшее целое число, такое, что с^ ф 0, а р — многочлен степени 2fc, определяемый следующим образом Рассмотрим многочлен г, степени не превышающей к — 1, удовлетворяющий равенству

r(z)(f(z) - со) = Со(2 - - «l)* + 0((z - Zx)2*), Z ZX

и положим p(z) = r(z) - z2kr*{~)

Далее доказывается теорема о количестве отрицательных квадратов у преобразования Шура обобщенной функции Каратеодори

Теорема 2.5.4 Пусть функция f 6 С21 допускает разложение в ряд Тейлора

оо

/(zHX^z-zO' 1=0

и пусть f — преобразование Шура данной обобщенной функции Каратеодори Тогда f Е С-1, где при Reco ф О

Л \х, Reco > О,

н = <

[х - 1, Десо < О

При Reco = О

к = х — к,

где к ^ 1 — наименьшее натуральное число, такое, что в разложении функции f в ряд Тейлора с^ф О

Третья глава посвящена решению задачи аппроксимации для обобщенной функции Каратеодори в специальной области fI$

В параграфе 3.1 напоминается, что в работе М Г Крейна и Г Ланге-ра была решена задача об аппроксимации обобщенной функции Неван линны в некоторой области = {а G С+, \arga — || ^ где 0 ^ ■д < a С+ — верхняя полуплоскость комплексной плоскости Область

И7,5 представляет собой угол в верхней полуплоскости, градусная мера которого зависит от параметра д

Определение 12 Функция д называется обобщенной функцией Неван-линны, если она мероморфна в верхней полуплоскости С+ и ядро

имеет конечное число отрицательных квадратов, где Ъ.о1(д) — область голоморфности функции д

Обобщенная функция Каратеодори связана с обобщенной функцией Неванлинна с помощью преобразования Кели-Неймана Эта связь дает возможность найти аппроксимацию для обобщенной функции Каратеодори в специальной области которая является пересечением двух единичных кругов в комплексной плоскости и имеет вид

= А = —-■—, аеИЪ} а + г

В параграфе 3.2 сформулирована и доказана теорема об аппроксимации обобщенной функции Каратеодори в области Ей предшествует лемма о представлении обобщенной функции Каратеодори в этой области, которая, на наш взгляд, носит не только вспомогательный характер, но и представляет независимый интерес

Определение 13 Элемент V £ Пх называется порождающим элементом для унитарного оператора V Пх —> если

= зрап{(У - Л)~У а € В \ ар(У)}

Известно, что функция / принадлежит классу Сх тогда и только тогда, когда существует пространство Понтрягина П*, унитарный оператор V

—> Пх и его порождающий элемент V 6 П„ такие, что эта функция имеет следующее представление

/(А) = /(0) + 2А[{v - АГЧ v], (А е В \ ар(у)) Лемма 3 2.1 Функция / удовлетворяет свойствам 1 /(А)есх,

А—>1 11-А1 АеП<

3 1Ш1 /(А) = О Аеп*

тогда и только тогда, когда порождающий элемент V £ Пх в представлении

/(А) = /(0) + 2\[{у - А)~Ч v], (А 6 В \ <тр(у))

принадлежит области определения оператора (V — /)-1 ь £ ¿от(у — 1)~1 и представление функции / принимает вид

/(А) = —2(А - 1)[(К - А)~Ч (К - (А е ПД ар(У))

Теорема 3.2.1 Для функции / следующие свойства

1 /€С„,

2 Для целого числа п ^ 0 существуют 2п чисел во,51, ,в2п-1 та-кыж, что

2п-1

/(А) + «„(А - 1)"+1 = 0((А - 1)2"+1) (А —> 1, Л € П„)

1/=0

выполнены тогда и только тогда, когда существуют тхх- пространство Понтрягина Пя, тт-унитарный оператор V Пх —> Пя и порождающий для V элемент у £ ¿от{{У — 7)~("+1)) такие, что

/(А) = —2(А - 1)[(У - Х)-\ (V -1)-^] (ЛбПа\ ар(У))

При этом

_ Г2[(У - (V - 7)"1«], 0 < и < п

3" ~ \(-1)"-п2[(^ - 1)-("+1Ч У-П(У - 1)-»+п-1у], п<и<2п-1

Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 05-01-00203-а)

В заключение автор выражает глубокую благодарность профессору Т Я Азизову за научное руководство и постоянный интерес к работе, а также искреннюю признательность проф А Дайксма за поддержку и полезные советы в ходе исследования

Публикации по теме диссертации.

[1] Лопушанская Е В Об аппроксимации обобщенной функции Кара-теодори /ЕВ Лопушанская // Труды воронежской зимней математической школы С Г Крейна - 2006 - Воронеж ВорГУ, 2006 - С 62-63

|2] Лопушанская Е В О представлении функции Каратеодори /ЕВ Лопушанская // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVII" - Воронеж ВорГУ, 2006 -С 107-108

[3] Лопушанская Е В Алгоритм Шура для функций Каратеодори / Е В Лопушанская // Материалы Воронежской зимней математической школы - Воронеж ВорГУ - 2007 - С 137-138

[4] Лопушанская Е В Алгоритм Шура для обобщенной функции Каратеодори /ЕВ Лопушанская // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVIII" - Воронеж ВорГУ - 2007- С 111

[5] Лопушанская Е В Преобразование Шура для обобщенной функции Каратеодори в точке z\ € В / Е В Лопушанская // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И Г Петровского Сборник тезисов - Москва Московский государственный университет - 2007 - С 178

[6] Лопушанская Е В Об аппроксимации обобщенной функции Каратеодори /ЕВ Лопушанская // Вестник Воронежского государственного университета Вып 1 Физика Математика - Воронеж ВорГУ, 2007 - С 81-85

[7] Лопушанская Е В Некоторые вопросы аппроксимации обобщенной функции Каратеодори в специальной области Я„ / Е В Лопушанская // Матем заметки - 2007 - 81 5 - С 792-796

[8] Lopushanskaya EV On the approximation of the generalized Caratheodory functions / E V Lopushanskaya // WOAT 2006, Operator Algebras, Operator Theory and Applications, International Summer School and Workshop Book of abstracts - Instituto Superior Tecnico, U T L , Lisboa, 2006 - P 25

[9] Lopushanskaya E V On the representation of the generalized Caratheodory function m the area 0„/EV Lopushanskaya // Operator theory in Krein spaces and operator polynomials, 6th workshop Book of abstracts - Technische Universit at, Berlin, 2006 - P 43-44

[10] Lopushanskaya E V The Schur transformation for Caratheodory functions /Е V Lopushanskaya // MAA2007, Modem analysis and applications, dedicated to the centenary of Mark Krein, International conference Book of abstracts - Institute of Mathematics, National Acad Sci of Ukram, Odessa - 2007 - P 84

Работы [6], [7] соответствуют списку ВАК РФ

Подписано в печать 29 04 08 Формат 60x84/16 Уел печ л 0,93 Тираж 80 экз Заказ 867

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, Воронеж, ул Пушкинская, 3

Введение

1 Преобразование Шура для функции Каратеодори

1.1 Классическое определение преобразования Шура

1.2 Алгоритм Шура для функции Каратеодори

1.3 Проблема интерполяции.

2 Алгоритм Шура для обобщенной функции Каратеодори

2.1 Пространства Понтрягина с воспроизводящими ядрами.

2.2 Матрица Пика.

2.3 J-унитарные матричные функции и пространства V{Q).

2.4 Обобщенная функция Каратеодори.

2.5 Преобразование Шура для обобщенной функции Каратеодори.

3 Аппроксимация обобщенной функции Каратеодори

3.1 Предварительные сведения и постановка задачи

3.2 Аппроксимация обобщенной функции Каратеодори в специальной области 0,$.

В начале двадцатого века И. Шур опубликовал две работы (см.[54, 55]), где он решает несколько важных проблем интерполяции для классов аналитических функций, заданных на единичном круге. Одна из них — ставшая в последствии знаменитой проблемой Шура: по заданным комплексным числам со, ci,., сп найти функцию п оо s(z) = YlcizJ + 11, siz3i j=0 j-n+1 являющуюся аналитической в круге \z\ < 1 и ограниченную единицей: |s(>z)| ^ 1. Такую функцию позднее назвали функцией Шура. Метод решения этой проблемы и других похожих проблем (например, проблемы Каратеодори-Теплица) основан на идее, которая впоследствии получила название алгоритма Шура. Дробно-линейное преобразование s{z) н. s(z) = 1 - S(0) zl- s(0)*s(z) называется преобразованием Шура, а его повторяющееся применение к функциям Шура и есть указанный алгоритм. Алгоритм Шура нашел применение в решении широкого круга задач как в фундаментальной, так и прикладной математике, к примеру, в теории операторов и вычислении сигналов [53],[46]. Он служит началом новой области математики, называемой анализом Шура.

В дальнейшем алгоритм Шура был применен к более общим классам функций, к таким как класс обобщенных функций Шура и класс обобщенных функций Неванлинны. Преобразование Шура для обобщенных функций Шура было представлено в работах К. Шамфи [35] и Д. Дуфресной [45], а также в монографии М.Г. Бертин, А. Декомпс-Гьюлокс, М. Грандет-Хьюгот, М. Пасиаукс-Делефоссэ, Д. Шрейбер [31]. Далее оно изучалось в статьях таких авторов, как Д. Алпай, Т.Я. Азизов, А. Дайксма, X. Лангер [20, 21, 22], в их совместных работах с Г. Ваняла [23, 25]. Большое внимание этому же вопросу уделено в статье Е. Депретер, П. Девилд [39],Т. Ваняла [56], Т. Константинеску [36], в его совместной публикации с А. Геондэ [37] и с М. Баконый [30], а также в совместных работах Д. Алпая и X. Дыма [13, 17], Р. Акнер, Г. Лев-Ари, Т. Кайлас [12]. Введение алгоритма Шура для обобщенных функций Неванлинны и применению его к решению различных задач представлены в ряде работ Д. Алпая, А. Дайксмы, Г. Лангера [26, 28, 24], их общей статье с Ю. Шондиным [29] и А. Лугер [42], статье М.С. Деревягииа [40, 41].

Настоящая работа посвящена изучению обобщенных (индефинитных) функций Каратеодори и их интерполяционных свойств. Одна из основных целей работы — введение корректного понятия алгоритма Шура для обобщенной функции Каратеодори. При этом будет показано, что алгоритм Шура зависит от того, является ли вещественная часть значения функции / в некой точке открытого единичного круга z\ положительной, отрицательной или нулевой. Основными инструментами, примененными в исследовании, являются свойства пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами (напр. [19]), связанные с обобщенной функцией Каратеодори. С помощью найденного алгоритма решена простейшая задача интерполяции для функции Каратеодори.

Целью работы является нахождения алгоритма Шура для функции Каратеодори и решение задачи интерполяции для нее; определение преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодори; исследование поведения последней в специальной области решение задачи аппроксимации.

Методика исследования. В работе использовались методы теории функций, функционального анализа, теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, а также методы и подходы теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие, наиболее важные:

1. Введен в рассмотрение алгоритм Шура для классической функции Каратеодори. С его помощью решена проблема интерполяции для функции Каратеодори. Данный результат расширяет возможности применения алгоритма Шура.

2. Посредством использования теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами введено определение преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодори. Доказана теорема о количестве отрицательных квадратов у преобразования Шура обобщенной функции Каратеодори.

3. Изучено поведение обобщенной функции Каратеодори в специальной области и решена задача ее аппроксимации в этой области.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, основанных на теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и ее приложениях, проводимых в Воронежском, Московском, Югорском университетах, в институте математики им. C.JI. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, в математическом институте им. Стеклова Российской академии наук, в научно исследовательском институте математики Воронежского государственного университета.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре проф. Т.Я. Азизова в Воронежском государственном университете, на семинаре по функциональному анализу в государственном университете штата Джорджия, г. Атланта, США, на семинаре кафедры высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительном университета, под руководством проф. А.С. Лободы; Воронежских зимних математических школах - 2006, 2007; Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XVII", "Понтрягинские чтения - XVIII", Воронеж, 2006, 2007; международной летней школе и конференции по операторным алгебрам, теории операторов и их приложениям WOAT

2006, Лиссабон, Португалия; на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и операторным полиномам, Берлин, 2006, Германия; на международной конференции "Современный анализ и приложения"МАА 2007, Одесса, Украина; на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Москва, 2007; на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и спектральному анализу, Берлин,

2007, Германия.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [5]-[11], [49]-[51]. Этот список также приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих десять параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 87 страниц. Библиографический список содержит 56 наименований. Текст иллюстрируют 2 рисунка.

1. Азизов Т.Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т.Я. Азизов, И.С. Иохвидов. - М.: Наука, 1986. - 352 с.

2. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман. М.: Наука, 1966. - 543 с.

3. Иохвидов И.С. Спектральная теория опреаторов в пространствах с индефинитной метрикой / И.С. Иохвидов, М.Г. Крейн // Труды московского математического общества. 1956. - 5. - С. 308-496.

4. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. СПб.: Лань. - 2002. - 688 с.

5. Лопушанская Е.В. Об аппроксимации обобщенной функции Каратеодори / Е.В. Лопушанская // Труды воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна. 2006. - Воронеж: ВорГУ, 2006. -С. 62-63.

6. Лопушанская Е.В. О представлении функции Каратеодори / Е.В. Лопушанская // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XVIIм. - Воронеж: ВорГУ, 2006. - С. 107-108.

7. Лопушанская Е.В. Алгоритм Шура для функций Каратеодори / Е.В. Лопушанская // Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж: ВорГУ. - 2007. - С. 137-138.

8. Лопушанская Е.В. Алгоритм Шура для обобщенной функции Каратеодори / Е.В. Лопушанская // Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XVIII". - Воронеж: ВорГУ. - 2007,- С. 111.

9. Лопушанская Е.В. Об аппроксимации обобщенной функции Каратеодори / Е.В. Лопушанская // Вестник Воронежского государственного университета. Вып.1: Физика. Математика. Воронеж: ВорГУ, 2007. - С. 81-85.

10. Лопушанская Е.В. Некоторые вопросы аппроксимации обобщенной функции Каратеодори в специальной области Clv / Е.В. Лопушанская // Матем. заметки. 2007. - 81:5. - С. 792-796.

11. Ackner R. The Schur algorithm for matrix-valued meremorphic functions / R. Ackner, H. Lev-Ari, T. Kailath // Siam J. Matrix Anal. Appl.- 1994. Vol. 15(1). - P. 140-150.

12. Alpay D. On applications of reproducing kernel spaces to the Schur algorithm and rational J unitary factorization / D. Alpay, H. Dym // Operator Theory: Adv. Appl. 1986. - Vol. 18. - P. 89-159.

13. Alpay D. Unitary rational matri functions / D. Alpay, I. Gohberg // Operator Theory: Adv. Appl. 1988. - Vol. 33. - P. 175-222.

14. Alpay D. Structured invariant spaces of vector valued functions, hermitian forms and a generalization of the Iohkvidov laws / D. Alpay, H. Dym // Linear Algebra Appl. 1990. - Vol. 136/138. - P. 137-181.

15. Alpay D. Interpolation problems, extensions of symmetric operators and reproducing kernel spaces II/ D. Alpay,P. Bruinsma, A. Dijksma, H. de Snoo// Integral Equations and Operator Theory. 1991. - Vol. 14. - P. 465-500.

16. Alpay D. On reproducing kernel spaces, the Schur algorithm, and interpolation in a general class of domains / D. Alpay, H. Dym // Operator theory: Adv. Appl. 1992. - Vol. 59. - P. 30-77.

17. Alpay D. On a new class of reproducing kernel spaces and a new generalization of the Iohvidov laws / D. Alpay, H. Dym // Linear Algebra Appl. 1993. - Vol. 178. - P. 109-183.

18. Alpay D. Schur functions, operator colligations, and reproducing kernel Pontryagin spaces / D.Alpay, A. Dijksma, J. Rovnyak, H. de Snoo. Operator theory: Adv. Appl. - 1997. - Vol. 96. - 225 p.

19. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions I: Coisometric realization / D. Alpay, T.Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Operator Theory: Adv.Appl. 2001. - Vol. 129. - P. 1-36.

20. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions II: Jordan chains and transformations of characteristic functions / D. Alpay, T.Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Monatsh. Math. 2003.- Vol. 138(1). P. 1-29.

21. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions III: J-unitary matrix polynomials on the circle / D. Alpay, T.Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. 2003. - Vol. 169. - P. 113-144.

22. Alpay D. A basic interpolation problem for generalized Schur functions and coisometric realizations / D. Alpay, T.Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl. 2003. - Vol. 143.- P. 39-76.

23. Alpay D. Factorization of J unitary matrix polynomials on the line and a Schur algorithm for generalized Nevanlinna functions / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. - 2004. - Vol. 387. - P. 313-342.

24. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions IV: Unitary realizations / D. Alpay, T.Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Operator Theory: Adv.Appl. 2004. - Vol. 149. - P. 23-45.

25. Alpay D. J;-unitary factorization and the Schur algorithm for Nevanlinna functions in an indefinite setting / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Liniar Algebra Applications. 2006. - Vol. 419. - P. 675-709.

26. Alpay D. Basic boundary interpolation for generalized Schur functions and factorisation of rational J-unitary matrix functions / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl. -2006. Vol. 165. - P. 1-29.

27. Alpay D. The transformation of I. Schur and related topics in an indefinite setting / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Operator Theory: Adv. Appl. 2007. - Vol. 176. - P. 1-98.

28. Alpay D. The Schur transformation for generalized Nevanlinna functions: interpolation and self-adjoint operator realizations / D. Alpay, A. Dijksma", H. Langer, Y. Shondin // Complex analysis and operator theory. 2007. - Vol. 1.- P. 169-210.

29. Bakonyi M. Schur's algorithm and several applications / M. Bakonyi, T. Constantinescu // Pitman research Notes in Mathematics series, Longman Scientific & Technical. 1991. - Vol. 261. - P. 1-6.

30. Bertin M.G. Pisot and Salem numbers / M.G. Bertin, A. Decomps-Guilloux, M. Grandet-Hugot, M. Pathiaux-Delefosse, J.P. Schreiber. -Birkhauser Verlag, Basel. 1992. - 291 p.

31. Bolotnikov V. Functions with Pick matrices having bounded number of negative eigenvalues / V. Bolotnikov, A. Kheifets, L. Rodman // Contemp. Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI. 2003. - Vol. 323. - P. 393-417

32. Caratheodory C. Uber den Variabilitatsbereich der Koeffizientevon Potenzereihen, die gegebene Werte nicht annehmen / C. Caratheodory // Mathematische Annalen 1907. - Vol. 64. - P. 95-115.

33. Caratheodory C. Uber den Variabilitatsbereich der Fourierschen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen / C. Caratheodory // Rend. Circ. Matem. Palermo 1911. - Vol. 32. - P. 193-217.

34. Chamfy C. Fonctions meromorphes sur le circle unite et leurs series de Taylor / C. Chamfy // Ann. Inst. Fourier. 1958. - Vol. 8. - P. 211-251.

35. Constantinescu T. Schur analysis with a finite number of negative squares / T. Constaninescu // Operator theory: Adv. Appl. 1986. -Vol.17. - P. 87-108.

36. Constantinescu T. The Schur algorithm and coefficient characterizations for generalized Schur functions / T. Constaninescu, A. Gheondea // Proc. Amer. Math. Soc. 2000. - Vol. 128(9). - P. 2705-2713.

37. Delsarte Y. Pseudo-Caratheodory functions and hermitian Toeplitz matrices / Y. Delsarte, Y. Genin, Y. Kamp // Philips J. Res. 1986. -Vol. 41(1). - P. 1-54.

38. Depreter E. The generalized Schur algorithm / E. Depreter, P. Dewilde // Operator theory: Adv. Appl. 1988. - Vol. 29. - P. 97-115.

39. Derevyagin M.S. On the Schur algorithm for indefinite moment problem / M.S. Derevyagin // Spectral and evaluation problems: Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Math. School-Symposium, Simferopol. 2001. - Vol. 11. - P. 106-109.

40. Derevyagin M.S. On the Schur algorithm for indefinite moment problem / M.S. Derevyagin // Methods of Functional Analysis and Topology. 2003. - Vol. 9(2). - P. 133-145.

41. Dijksma A. Minimal realizations of scalar generalized Nevanlinna functions related to their basic factorization / A. Dijksma, H. Langer, A. Luger, Y. Shondin// Operator Theory: Adv. and Appl. 2004. -Vol. 154,- P. 69-90.

42. Donoghue W.F. Monotone matrix functions and analytic continuation / W.F. Donoghue. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften - 1974. - Vol. 207.

43. Dufresnoy J. Sur le probleme des coefficients par certaines fonctions dans le cercle unite / J. Dufresnoy // Ann. Acad. Sc. Fenn. Ser. A. I. 1958. - Vol. 250,9. - P. 1-7.

44. Dym H. J-contractive matrix functions, reproducing kernel Hilbert spaces and interpolation / H. Dym. Conference Board of the Mathematical Science, regional conference series in mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. - 1989. - Vol. 71.

45. Gohberg I. I.Schur methods in operator theory and signal processing / I. Gohberg // Operator Theory: Adv. Appl. 1986. - Vol. 18. - P. 1-30.

46. Iohvidov I.S. Introduction to the spectral theory of operators in spaces with an indefinite metric / I.S. Iohvidov, M.G. Krein, H. Langer. -Akademie-Verlag. Berlin. - 1982. - 121 p.

47. Krein M.G. Uber einige Forsetzungsprobleme, die eng mit der Theorie hermitescher Operatoren in Raume П^ zusammenhangen, I: Einige Funktionenklassen und ihre Darstellungen / M.G. Krein, H. Langer // Math. Nachr., 1977, Vol. 77, P.187-236.

48. Nevanlinna R. Uber beschrankte Funktion, die in gegebenen Punkten vorgeschriebene Werte annehmen / R. Nevanlinna // Ann. Acad. Sc. Fenn. 1919. - Vol. 1. - P. 1-71.

49. Schur I. On power series which are bounded in the interior of the unit circle I / I. Schur // Operator theory: Adv. Appl. 1986. - 18. - P. 31-59.

50. Schur I. On power series which are bounded in the interior of the unit circle II / I. Schur // Operator theory: Adv. Appl. 1986. - Vol. 18. -P. 61-88.

51. Wanjala G. The Schur transform of a generalized Schur function and operator realizations / G. Wanjala. PhD thesis. - Groningen: University of Groningen. - 2005. - 196 p.