J-диссипативные операторы и J-сжатия: инвариантные подпространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1 Инвариантные подпространства

1.1 Базовые определения

1.2 Инвариантные подпространства семейств С^-несжи-мающих операторов.

1.3 Инвариантные подпространства семейств J-бинесжи-мающих операторов.

2 О непрерывности гамильтонианов

2.1 Постановка задачи.

2.2 Вспомогательные результаты.

2.3 Свойство (L) в пространстве JCj.

2.4 Свойство (L) в пространстве /Сд

2.5 Примеры

3 Гамильтоновы оператор-функции

3.1 Постановка задачи.

3.2 Максимальные инвариантные подпространства J-ак-кретивного оператора А: интерполяционный подход

3.3 Непрерывность некоторых проекторнозначных функций.

3.4 Максимальные инвариантные подпространства J-ак-кретивного оператора А с регулярной полосой

3.5 Проблема диагонализации.

Диссертационная работа посвящена, главным образом, исследованию одной из центральных проблем теории операторов, действующих в пространствах с индефинитной метрикой — проблеме существования максимальных семидефинитных инвариантных подпространств. Впервые вопрос об инвариантных подпространствах для самосопряженных операторов в пространствах Понтрягина рассматривался C.JI. Соболевым [28] и Л.С. Понтрягиным [26] в связи с проблемами гидродинамики. С других позиций этот вопрос получил развитие в работах М.Г. Крейна [18], [19], И.С. Иохвидова [15], [17], Г. Лангера [25], [40], [41], Р.С. Филлипса [43] и др.

Для нас отправной явилась следующая задача, порожденная работами М.Г. Крейна [18], [19]: Пусть U = {У} — коммутативное семейство J-несжимающих операторов, а С + — их общее инвариантное неотрицательное подпространство. Существует ли максимальное неотрицательное подпространство £ + такое, что С + С С + и С £+ ?

Решение этой задачи в предположении, что С + - вполне инвариантное относительно U подпространство (т.е. VC + — С |., V € U), а семейство U - произвольное, еще не найдено. Предложен ряд достаточных условий, выделены специальные классы операторов, имеющих максимальные семидефинитные инвариантные подпространства, такие как:

1) операторы в пространстве Понтрягина (см. Т.Я. Азизов. И.С. Иохвидов [1], I.S. Iohvidov, M.G. Krein, Н. Langer [39]);

2) дефинизируемые операторы (см. Г. Лангер [25], [40], [41]):

3) операторы с компактным "уголком" Р+АР~(см. Т.Я. Азизов, И.С. Иохвидов [1], М.Г. Крейн [19]);

4) равномерно ограниченные группы операторов (см. R. Phillips [43]).

ГГПГТЯ/ТПТТНГ» ТТП 1ТТТЯ.5Т f^T/гблИПГПЯгЬиЯ мпжет бъттт> НЯ.ЙПРНЯ, ня.ттпи

И^ О -А- -V -А ▲ АХ АЖ w VA.XA vv« A w АА \/lf AAA A AAA А А*А V AAA «У -A W----- --- - - а а -^-%/аа^Г V « VV j а а —' *---------мер, в монографиях Т.Я. Азизов, И.С. Иохвидов [1]; J. Bognar [35]; Т. Ando [31]; I.S. Iohvidov, M.G. Krein, H. Langer [39] и обзорах Т.Я. Азизов, И.С. Иохвидов [2], [3].

Отметим, что во всех этих случаях накладываются условия на операторы. В частности, Р. Филлипс [43] доказал, что каждое се-мидефинитное инвариантное подпространство ограниченной коммутативной группы унитарных операторов допускает расширение до максимального семидефинитного инвариантного подпространства. В нашей работе предпринят другой подход, а именно: мы накладываем условия на расширяемое подпространство и доказываем результаты без ограничения на операторы.

Методы индефинитной метрики широко применяются в исследовании канонических (гамильтоновых) систем дифференциальных уравнений. Примерами тому служат работы М.Г. Крейна [20], В.И. Дергузова [10] и др. При этом особую актуальность приобретает вопрос о "диагонализации" полученных гамильтонианов, что позволяет проследить за асимптотикой решений, выделить начальные условия, при которых решения устойчивы. Проблеме условной приводимости гамильтонианов посвящен ряд работ. Среди них отметим работы: (i) W. Wasow [45]; (ii) Y. Sibuya [44]; (iii) Г.А. Курина, Г.В. Мартыненко [23], [24]; (iv) Т.Я. Азизов, В.К. Кириакиди, Г.А. Курина [4], [34].

В статьях Т.Я. Азизова, В.К. Кириакиди, Г.А. Куриной [4], [34] обсуждаемая нами проблема приводимости находит положительное решение, если гамильтонова оператор-функция является ограниченным оператором. Полученные результаты мы хотели бы обобщить на случай неограниченных гамильтонианов. Примеры показывают, что спектр таких операторов может содержать все точки комплексной плоскости. (Как известно, между проблемой приводимости и проблемой расщепления спектра существует тесная связь.) И, следовательно, проблема расщепления спектра остается нерешенной. Поэтому первым шагом в этом направлении было рассмотрение операторов специального класса, так называемого класса (L). Важными здесь для нас являются результаты А.А. Шкаликова [29].

Условие (L) было введено Г. Лангером в работах [40], [41] в теоремах о существовании инвариантных подпространств у самосопряженных операторов в пространстве Крейна. Это условие естественным образом возникает в задачах механики. Действительно (см., например, работу М.Г. Крейна, Г. Лангера [21]), целый ряд таких задач может быть сведен к исследованию операторного пучка вида:

L(A) = А2 + А В + С, где В — максимальный диссипативный оператор, а С — ограниченный положительный (самосопряженный) оператор в гильбертовом пространстве.

Работа выполнялась в рамках исследований по грантам РФФИ 99-01-00391 и 02-01-00353 и совместно нидерландско-российскому гранту NWO 047-008-008.

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Среди них отметим следующие:

• Решена задача продолжения семидефинитных инвариантных относительно коммутативного семейства бинесжимающих операторов подпространств до максимальных семидефинитных в предположении, что исходные подпространства имеют конечный дефект,

• Получены условия, гарантирующие непрерывность замкнутых плотно заданных неотрицательных гамильтонианов.

• Исследована задача условной приводимости гамильтоновых оператор-функций со значениями во множестве неограниченных J-ак-кретивных операторов.

Теперь перейдем к описанию главных результатов, полученных в работе.

Предметом исследования главы 1 является проблема существования инвариантных подпространств. Эта глава посвящена изложению основных понятий, относящихся к обсуждаемой нами теме, обобщению полученных ранее результатов и возможности их приложений.

В пункте 1.1 напоминаются определения и некоторые свойства пространств с индефинитной метрикой.

Особый интерес для нас представляют специальные подпространства, называемые максимальными. Символами (Л4 + (Н) ~)ЛЛ (M.~(7i) =)М~ будем обозначать множества максимальных неотрицательных и максимальных неположительных подпространств пространства Н .

Вместо класса инвариантных подпространств в некоторых случаях рассматривается его подкласс — вполне инвариантные подпространства. Подпространство С пространства Л. условимся называть вполне инвариантным относительно семейства операторов U = {т/}, если VC = С для каждого V G Ы.

Второй пункт посвящен вопросу о выделении максимального неположительного подпространства у семейств С^-несжимающих операторов. Здесь следует упомянуть монографию Т.Я. Азизова, И.С. Иохвидова [1], где было доказано утверждение о существовании максимального неположительного подпространства инвариантного относительно коммутативного семейства (У^-унитарных операторов. Этот результат мы обобщаем на случай коммутативного семейства С^-несжимающих операторов.

В отличии от гильбертовых пространств и регулярных индефинитных пространств, в случае G^-пространства сопряженный к непрерывному всюду заданному оператору не обязательно всюду задан (даже может оказаться, что он задан только в нуле) и может не быть ограниченным оператором (см., например, Т.Я. Ази-зов, И.С. Иохвидов [2]). Поэтому мы будем предполагать, что G^-несжимающие операторы удовлетворяют условию dom Vе = Н .

Итог выше изложенному подводит Теорема 1.2.1 Пусть Н — 7i + ® — G^-пространство, U = = {У} — коммутативное семейство G^-несжимающих операторов, dom У = dom Vе = Н для каждого V е U. Если С- — максимальное инвариантное относительно U неположительное подпространство, то С £ Л4 ~.

Отсюда немедленно вытекает Следствие 1.2.1 Пусть семейство U удовлетворяет условиям теоремы 1.2.1, а — неположительное инвариантное подпространство семейства U. Тогда найдется такое подпространство С-еМ~, что U С - С и £ С

В пункте 1.3 доказана Теорема 1.3.1 Пусть Ы = {У} — коммутативное семейство J-бинесжимающих операторов, £ + — максимальное вполне инвариантное неотрицательное подпространство семейства Ы и def£+ < оо. Тогда С+ еМ+.

Здесь же приводится новый, на наш взгляд, метод доказательства следующего результата:

Теорема 1.3.2 Пусть U = {У} — коммутативное семейство J-бинесжимающих операторов, £ — максимальное инвариантное неположительное подпространство семейства Ы и def £ < оо. Тогда С - еМ~.

В главе 2 центральное место отводится исследованию вопроса о непрерывности гамильтонианов. Замкнутый плотно определенный в гильбертовом пространстве Н = Q ф Q оператор 21 будем называть гамильтонианом, если оператор Ш является самосопряженным в пространстве При этом гамильтониан 21 — неотрицательный, если гЯ1 — диссипативный оператор в пространстве JCj. Здесь в пространствах Крейна /Cj = и JC% = {Н: [-,-]з} соответствующие индефинитные метрики порождаются операторами J и

3: 0 I' "о и' 3 =

I 0 -и 0

Основные определения и историческую справку по изучаемому вопросу можно найти в пункте 2.1.

В следующем пункте сформулированы и доказаны утверждения, которые, на наш взгляд, носят не только вспомогательный характер, но и представляют независимый интерес.

Эти утверждения представлены в следующих трех леммах: Лемма 2.2.2 Пусть К\ иК-2~ пространства Крейна с одинаковой размерностью: dim /Сi = dim /С2, £>j и M.j — нейтральные подпространства в K,j и

JCj^Cj + Mj 0'= 1,2).

Тогда существует унитарный оператор V : }С\ —» /С2 такой, что

VCi = С2 и VMi = М2.

Лемма 2.2.3 Пусть А — максимальный диссипативный оператор, действующий в пространстве Крейна. Тогда, если А £ (L), то Ас е (L).

Лемма 2.2.4 Пусть А = Ас — самосопряженный оператор в пространстве Крейна /С. Предположим, что (т{А) П Ж = 0 и = = и {А) П С+ — ограниченное множество. Пусть Р+(А) — проектор Рисса, соответствующий <т+(А). Тогда Р+(А)}С — максимальное нейтральное подпространство в том и только том случае, когда А — ограниченный оператор.

Эти утверждения использованы для доказательства основных результатов главы 2. В пунктах 2.3 и 2.4 приводятся их формулировки: Теорема 2.3.1 Пусть 21 — неотрицательный гамильтониан, заданный в гильбертовом пространстве TL — Q ф Q. Если 21 £ (L) в ICj, то 21 — ограниченный оператор.

Теорема 2.4.1 Пусть 21 — неотрицательный гамильтониан, заданный в гильбертовом пространстве Л = Q ф Q. Если 21 Е (L) в /Cjj то Ш — ограниченный оператор.

Содержание последнего пункта включает примеры, являющиеся наглядной иллюстрацией того, что условия, накладываемые на гамильтонианы в теоремах 2.3.1-2.4.1, а именно: условие (L) и условие неотрицательности являются существенными для ограниченности операторов.

В главе 3 обсуждается проблема условной приводимости гамиль-тоновых оператор-функций. По своей сути эта глава является развитием теории, изложенной в статьях Т.Я. Азизова, В.К. Кириакиди, Г.А. Куриной [4], [34], основные результаты которых получены при условии, что операторы ограничены.

Наше желание обобщить полученные результаты на случай неограниченных операторов столкнулось с рядом трудностей, описание которых содержится в пункте 3.1.

Последующие пункты 3.2 и 3.4 посвящены изложению некоторых результатов о существовании максимальных семидефинитных инвариантных подпространств у J-аккретивных операторов, обладающих рядом характеристических свойств. Приводятся достаточные условия (см. работы И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов [11], Н. Langer, С. Tretter [42]), при которых пространство 7i разлагается в прямую сумму максимальных семидефинитных подпространств. Однако, чтобы воспользоваться ими, надо решить непростую задачу о непрерывности оператор-функций как функций аргумента t : t Е [0,1]. Нами она решена в пункте 3.3.

В рамках этого пункта рассматриваются неотрицательно гамильтонова оператор-функция ад = & + »(*) (t е [о, 1]), где So — некоторый неограниченный гамильтониан с Ж с p(So). а 33 (t) — неотрицательно гамильтонова непрерывная оператор-функция со значениями во множестве ограниченных операторов, и порожденное 2t(t) семейство проекторнозначных функций р 1 fmm^)idx.

Ъгг J А г±

Справедлива

Теорема 3.3.1 Если резольвента оператора So удовлетворяет неравенству

IKSo-A)-1!) < А еж, то P±(t) — непрерывные функции аргумента t : t G [0,1].

В пункте 3.5 исследуется проблема диагонализации неограниченных оператор-функций и предлагается следующее ее решение: Теорема 3.5.1 ПустьН — комплексное гильбертово пространство, являющееся ортогональной суммой двух экземпляров одного и того же гильбертова пространства Q:

Пусть 21(£) — неотрицательно гамильтонова операторнозначная функция, заданная на отрезке [0,1], вида: ад = So+ «(*), где So — неограниченный гамильтониан с Ж С p(So), а 33 (t) — неотрицательно гамильтонова непрерывная оператор-функция со значениями во множестве ограниченных операторов.

Тогда, если пространство разлагается в прямую сумму максимальных семидефинитных подпространств C±(t), инвариантных относительно то оператор-функция 21(t) условно (Н2)-npueoduMa, т,е, cyyj.ecmeyem такая непрерывная и непрерывно обратимая оператор-функция что %li(t) = = (t)$i(t)V(t) - блочно-диагональная матрица:

Sti(i) = diag{Slii+W,ai>(t)},Reff(Stil+(«)) > 0, Rea(2li (£)) < О.

Более того, V(t) можно выбрать так, что %\{t) — гамилътонова матрица.

Все результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть применены, например, в научных исследованиях, основанных на теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и ее приложениях; использованы в спецкурсах для студентов и аспирантов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9], [12]—[14], [33], [36]. В совместной с Т.Я. Азизовым и A. Dijksma работе [36] им принадлежит постановка задач.

Полученные в диссертационной работе результаты докладывались и обсуждались на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач" в 2000 г, на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в 2001 г, на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения И.Г. Петровского, "Differential Equations and Related Topics" в 2001 г, на Крымской математической школе-симпозиуме в 2001 г, на семинаре проф. A.Dijksma (Гронинген, Нидерланды) в 2002 г, на семинарах по теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой руководитель — проф. Т.Я. Азизов).

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации 89 стр. Библиография содержит 45 наименований. Текст работы иллюстрируют 2 рисунка.

1. Азизов Т.Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т.Я. Азизов, И.С. Иохвидов. - М.: Наука, 1986. - 352 с.

2. Азизов Т.Я. Линейные операторы в гильбертовых пространствах с G-метрикой / Т.Я. Азизов, И.С. Иохвидов // УМН. -1971. Т. 26, № 4.

3. Азизов Т.Я. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой и их приложения / Т.Я. Азизов, И.О. Иохвидов. В кн.: Математический анализ (Итоги науки и техники, ВИНИТИ). - 1979. - Т. 17. - С. 113-205.

4. Азизов Т.Я. Индефинитный подход к задаче о приводимости неотрицательно гамильтоновой оператор-функции к блочно-диагональной форме / Т.Я. Азизов, В.К. Кириакиди, Г.А. Курина // Функ. анализ и его прил. 2001. - Т. 35, Xй 3. - С. 73-75.

5. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов / Ю.М. Березанский. Киев: На-укова думка, 1965. - 789 с.

6. Бродский M.JI. О свойствах оператора, отображающего в себя неотрицательную часть пространства с индефинитной метрикой / М.Л. Бродский // УМН. 1959. - Т. 14, №1. - С. 147-152.

7. Былов Б.Ф. О топологических причинах аномального поведения некоторых почти периодических систем / Б.Ф. Былов,Р.Э. Виноград, В.Я. Лин // Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. Киев, 1977. - С. 54-61.

8. Гинзбург Ю.П. О проектировании в гильбертовом пространстве с билинейной метрикой / Ю.П. Гинзбург // ДАН СССР. -1961. Т. 139, № 4. - С. 775-778.

9. Гриднева И.В. О непрерывности неотрицательных гамильтонианов / И.В. Гриднева // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Понтрягинские чтения-XI: Тез. докл. Воронеж, 2001. - С. 304.

10. Дергузов В.И. Об устойчивости решений уравнений Гамильтона с неограниченными периодическими операторными коэффициентами / В.И. Дергузов // Мат. сб. 1964. - Т. 63, № 4. -С. 591-619.

11. Егоров И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов. Новосибирск: Наука, 2000. - 336 с.

12. Иванова И.В. Максимальные инвариантные подпространства семейств J-бинесжимающих операторов / И.В. Иванова: Сб. статей асп. и студ. мат. факультета ВГУ. Воронеж, 1999. -С. 54-59.

13. Иванова И.В. О существовании максимальных инвариантных подпространств семейств J-бинесжимающих операторов / И.В. Иванова // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Понтрягинские чтения-Х: Тез. докл. Воронеж, 2000. - С. 70.

14. Иванова И.В. Об инвариантном подпространстве ./-самосопряженного оператора / И.В. Иванова: Сб. тр. молодых ученых мат. факультета ВГУ. Воронеж, 2001. - С. 76-79.

15. Иохвидов И.С. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой / И.С. Иохвидов: Тр. 3-го Всесоюзн. мат. съезда. 1958. - Т. 3. - С. 254-261.

16. Иохвидов И.С. О некоторых классах операторов в пространстве с общей индефинитной метрикой / И.С. Иохвидов. В кн.: Функц. ан. и его прим. - Баку: АН ССР. - 1961. - С. 90-95.

17. Иохвидов И.С. Об одной лемме К.Фана, обобщающей принцип неподвижной точки А.Н. Тихонова / И.С. Иохвидов // ДАН СССР. 1964. - 159, № 3. - С. 501-504.

18. Крейн М.Г. Об одном применении принципа неподвижной точки в теории линейных преобразований с индефинитной метрикой / М.Г. Крейн // УМН. 1950. - Т. 5, № 2. - С. 180-190.

19. Крейн М.Г. Об одном новом применении принципа неподвижной точки в теории операторов в пространстве с индефинитной метрикой / М.Г. Крейн // ДАНН СССР. 1964. - Т. 154, № 5. - С. 1023-1026.

20. Крейн М.Г. Основные положения теории А-зон устойчивости канонической системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами / М.Г. Крейн: Сб. Памяти А.А. Андронова. Изд.: АН СССР. - 1955. - С. 413-498.

21. Крейн М.Г. О некоторых математических принципах линейной теории демпфированных колебаний континуунов /' М.Г.Крейн, Г. Лангер // Тр. межд. симп. по прил. теории функций в механике сплошной среды. М.: Наука, 1966. - Т. 2. - С. 283-322.

22. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунин, Е.М. Семенов. М.: Наука, 1978. - 399 с.

23. Курина Г.А. О приводимости неотрицательно гамильтоновых периодических оператор-функций, действующих в вещественном гильбертовом пространстве, к блочно-диагональной форме / Г.А. Курина, Г.В. Мартыненко // Докл. РАН. 2000. - Т. 371, № 5. - С. 594-596.

24. Курина Г.А. О приводимости неотрицательно гамильтоновой вещественной периодической матрицы к блочно-диагональной форме / Г.А. Курина, Г.В. Мартыненко // Матем. заметки. -1999. Т. 66, № 5. - С. 688-695.

25. Лангер Г.К. О J-эрмитовых операторах / Г.К. Лангер // ДАН СССР. 1960. - Т. 134, № 2. - С. 263-266.

26. Понтрягин Л.С. Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой / Л.С. Понтрягин // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1944. - Т. 8.- С. 243-280.

27. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. М.: Мир, 1979. - 577 с.

28. Соболев С.Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью / С.Л. Соболев // ЖПМТФ. 1960. -Т. 3. - С. 20-55.

29. Шкаликов А.А. О существовании инвариантных подпространств у диссипативных операторов в пространстве с индефинитной метрикой / А.А. Шкаликов // Фундам. и прикл. математика. 1999. - Т. 5, ДО 2. - С. 627-635.

30. Шмульян Ю.Л. О делении в классе J-нерастягивающих операторов / Ю.Л. Шмульян: Мат. сб. 1967. - Т. 74, ДО 116. - С. 516-525.

31. Ando Т. Linear operators on Krein spaces / Т. Ando. Sapporo, Japan, 1979.

32. Arocena R. On Commutant Lifting with Finite Defect, II / R. Arocena, T.Ya. Azizov, A. Dijksma, A.M. Marcantognini // J. of Functional Analysis. 1997. - V. 144, № 1. - P. 106-116.

33. Azizov T.Ya. Approach to the Problem of Reducibility of a Nonnegatively Hamiltonian Operator Function to a Block-Triangular Form / T.Ya. Azizov, V.K. Kiriakidi, G.A. Kurina // J. of Mathern. Physics. 2001. - V. 8, ДО 4. - P. 414-421.

34. Bognar J. Indefinite inner product spaces / J. Bognar. Berlin: Springer, 1974.

35. Gridneva I.V. Invariant subspaces of families of Krein space binoncontractions / I.V. Gridneva // Differential Equations and Related Topics: Book of Abstracts. Moscow, 2001. - R 156.

36. Gohberg I.C. Classes of Linear Operators / I.C. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser, Basel. 1990. - V. 49, № 1. - P. 329-340.

37. Dritschel M.A. Extension theorems for contraction operators on Krein spaces / M.A. Dritschel, J. Rovnyak // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1990. - V. 47. - P. 221305.

38. Iohvidov I.S. Introduction to the Spectral Theory of Operators in Spaces with an Indefinite Metric / I.S. Iohvidov, M.G. Krein, H. Langer. Berlin: Akademie -Verlag, 1982.

39. Langer H. Zur Spektraltheorie J-selbststadjungierter Operatoren / H. Langer // Math. Ann. 1962. - B. 146, №1. - S. 60-85.

40. Langer H. Eine Verallgemeinerung eines Satzes von .S. Pontrjagin / H. Langer // Math. Ann. 1963. - B. 152, №5. - S. 434-436.

41. Langer H. Spectral decomposition of some nonselfadjoint block operator matrices / H. Langer, Chr. Tretter // J. of Operator Theory. 1998. - V. 39. - P. 339-359.

42. Sibuya Y. Some global properties of matrices of functions of one variable / Y. Sibuya // Math. Ann. 1965. - V. 161. - P. 67-77.

43. Wasow W. On holomorphically similar matrices / W. Wasow // J. of Math. Anal, and Appl. 1962. - V. 4. - P. 202-206.