Операторные алгебры и инвариантные подпространства почти изометрических операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В.А.СТЕККОЗА

(Ленинградское отделение)

На правах рукописи УДК 517.984

КАПУСТИН Владимир Владимирович

ОПЕРАТОРНЫЕ АЛГЕБРЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА ПОЧТИ ИЗОМЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ленинград 1991

Работа выполнена в Лаборатории математического анализа Лс шнградского отделения Математического института им. В.А.,Стеклова.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических наук

профессор Н.К.Никольский

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ - доктор физико-математических наук

профессор С.Н.Набоко

кандидат физико-математических наук В.С.%льман

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Одесский государственный университет

Защита состоится " 26 " ШЩас^А 1991г. в . час. на заседании специализированного совета Д.002.38.04 при Ленинградском отделении ордена Ленина и ордена Октябрьской Революции Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР по адресу: 191011, Ленинград, наб.р.Фонтанки, д.27, комн.311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛОМИ. Автореферат разослан "

" оку СМ & 1991г.

совета

А.П.Осколков

Ученый секретарь специализированно!: профессор [ Щ]

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. При изучении спектральных свойств ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве часто встречаются такие объекты» как решетка инвариантных подпространств, коммутант, функции от оператора. Содержательная спектральная теория, которая в основном занимается разложениями операторов в суммы или интегралы простейших операторов, возможна для операторов, мало (в каком-либо смысле) отличающихся от оператора, имеющего простую структуру: самосопряженного, унитарного, и т.п. Исследованию с*атмй, близких к изометрическому оператору, посвящена монография С.-Надя и Фойаша [т], в которой построен аппарат для изучения спектральных свойств сжатия с помощью его характеристической функции.

Одним из важных вопросов теории операторов является вопрос о рефлексивных операторных алгебрах, т.е. алгебрах, определяемых своими инвариантными подпространствами. Несколько известных задач, связанных с операторными алгебрами, могут быть записаны в терминах рефлексивности: например, проблема транзитивности алгебр сводится к вопросу о том, будет ли транзитивная алгебра рефлексивна, а гипотеза о симметричности рефлексивных алгебр равносильна вопросу об их рефлексивности. Подробнее о рефлексивных алгебрах можно прочитать, например, в книге Радхави и Роэенталя [3].

Вопрос о рефлексивности оператора - это вопрос о рефлексивности порожденной им слабо замкнутой алгебры. Свойство рефлексивности оператора имеет ясный агаюрокси-иационный смысл: оператор Т рефлексивен, если любой оператор, для которого все инвариантные относительно Т подпространства также являются инвариантными, может быть аппроксимирован полиномами от Т в слабой операторной

топологии. Для того, чтобы оператор бьш рефлексивным, нужно, чтобы у него было достаточно много инвариантных подпространств. Первые результаты о рефлексивных операторах содержатся в статье Сарасона , где доказывается рефлексивность нормальных операторов и аналитических операторов Тёплица . Дедденс £4^] доказал, что любой изометрический оператор рефлексивен. Вопрос о рефлексивности сжатий, близких к изометрическому оператору, изучали С.-Надь, Фойаш, Беркович, Такахаши, Ву, и др.; вопрос о рефлексивности почти изометрических сжатий сведен к случаю скалярной внутренней характеристической функции.

Для операторов, не являющихся сжатиями, аналогичные вопросы значительно сложнее. Сначала основным инструментом изучения таких операторов была 3 -унитарная дилатация', т.е. модельным пространством было пространство.с ивдефи-нитной метрикой, а не гильбертово пространство. Функциональную модель с модельным гильбертошм пространством построил С.Н.Набоко В.И. Васюнин и Н.Г. Макаров £ 5Г] систематически изложили теорию записи произвольного ограниченного линейного оператора на модели некоторого вспомогательного сжатия.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Получений критерия рефлексивности для сжатий со скалярной внутренней характеристической функцией и почти изометрических сжатий; построение функциональной модели для произвольного оператора в гильбертовом пространстве на основе пространств Харди без использования пространств с ивдефинитной метрикой. , ' •

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. Используются общие методы теории операторов, комплексного анализа, топологической алгебры; функциональная модель С.-Надя, £ойаша и беско-о^динатная функциональная модель.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ К ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в различных областях теории операторов и ее приложениях, в теории аналитических функций, ограниченных в единичном круге.

АПРОБАЩЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинаре ЛОМИ по функциональной модели, семинаре ЛОШ-ЛГУ по спектральной теории функций, на X/ Школе по теории операторов (Ульяновск, 1950).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах ¡Ъ-И].

СТРУКТУРА И ОБЖУ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из Введения и двух глав. Первая глава разбита на четыре, а •вторая - на три параграфа. Список литературы содержит 43 названия.

ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ. Основным объектом, изучаемым в диссертации, является почти изометрический оператор и ги бертовом пространстве, т.е. ядерное возмущение изометрического оператора.

Глава I диссертации посвящена "опросу о рефлексивности почти изометрических сжатий. Сжатие Т является почти изометрическшл оперг и только тогда,

ром класса Гильберта-Шмидта. Реши.отся две основные задачи: I) получения критерия рефлексивности почти изометрических сжатий - для этого, как было отмечено в пункте "Актуальность темы", нугкно решение вопроса о рефлексивности сжатий со скалярной внутренней характеристической функцией; и 2) построение нового способа изучения рефлексивных операторов, который в данном случае не даат

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

когда дефектный оператор

является операто'

новых результатов, но позволяет существенно упростить и сократить многие известные оригинальные доказательства.

В главе 2 построена функциональная модель для произвольного ограниченного оператора (не обязательно сжатия) со следующими свойствами: I) все построения происходят в гильбертовом пространстве; оператор, действующий в "широком" модельном пространстве - унитарный; 2) модель "симметрична", т.е. формулы исходного, сопряженного и обратного операторов имеют похожий вид; 3) параметрами модели являются операторнозначные аналитические функции; спектральные свойства оператора опледелягатся двумя функциями, одна из которых аналитична внутри единичного круга, а другая - з его внешности; 4) если пространства, соответствующие одной из областей - внешности или внутренности-круга - тривиальны, то получаются обычные унитарная дила-тация и функциональная модель для сэьатия или растягивающего оператора (оператора, обратного к сжатию). Как и в случае модели Сг-Надя и Фойаиа для сжатий, эта модель наиболее удобна при изучении операторов, мало отличающихся от изометрического. Например, для почти изометрического оператора, пЬи дополнительном условии, что его спектр не покрывает единичного круга, некоторые "характеристические" функции имеют скалярные кратные. Модель строится в бескоординатной форме. Бескоординатная функциональная модель для сжатий построена в [*бЗ.

Перейдем к более подробному обзору результатов. Нумерация утверждений далее совпадает с принятой в диссертации.

ГЛАВА I. Рефлексивность почти изометрических сжатий.

В § I вводятся основные определения и обозначения и приводятся некоторые известные результаты теории операторов и теории функций.

В § 2 вводится и изучается псевдоподобке операторов -свойство, промежуточное между подобием и квазиподобием.

Определение. Ограниченные линейные операторы и Т2 называются псевдоподобными, если существуют сплетающие операторы X и У : ХТ-^ = Т^Х, IТ2> такие, что операторы УХ и ХУ принадлежат слабо замкнутым алгебрам, порожденным соответственно операторами и Т«>, и идеалы, порожденные этими операторами, тривиальны (т.е. совпадают со всей алгеброй).

Псевдоподобие является отношением эквивалентности.

У псездопсдобных операторов имеются связи между операторными алгебрами и инвариантные подпространствами. 3 частности, имеет место

Теорема 2.3. Псевдоподобные операторы рефлексивны или нерефлексивны одновременно.

Известно, что сжатия класса С0 квазиподобны своей норданоЕОй модели. Для С0- сжатий с конечной кратностью спектра справедливо более сильное утверждение.

Теорема 2.5. Пусть Т-сяатие класса С0, ^. Тогда Т псевдоподобно своей нордансвой модели.

Другой тип примеров дает теорема Ву, которую можно переформулировать через псевдоподобке (теорема 2.6.) Нам этот результат нужен в частном случае - для слабых сжатий.

Теорема 2.7. Пусть Т-слабое сжатие, Т0 - его С0 -часть, V - унитарный оператор умножения на независимую переменную в остаточной части минимальной унитарной дила-тации. Тогда оператор Т псевдоподобен прямой С}:¡мо Т ф V.

Результаты § 2 будут использованы в § 4 при доказательстве критерия рефлексивности для почти изометрических сжатий. Заметим, что можно использовать псевдоподобие и для исследования других свойств операторов, связанных с операторными алгебрами и решетками инвариантных подпространств.

§ 3 посвящен вопросу о рефлексивности сжатия Нд со скалярной внутренней характеристической функцией 0. Наиболее сложным является случай, когда б - сингулярная функция, представляющая мера которой не имеет атомов. Основным результатом § 3 является следующая теорема.

Теорема 3.1. Цусть 6 - внутренняя функция, ул - представляющая мера ее сингулярного сомножителя. Следующие, утверждения равносильны.

1) функция 0 не имеет кратных нулей и удЕ = 0 для каждого ВС-множества Е сТ (замкнутое подмножество Е окружности называется множеством Еерлинга-Карлесона, или ВС--множеством, если оно имеет нулевую меру Лебега и длины

{к интервалов, образующих дополнение множества Е, обладают свойством

2) алгебра Н °"7ЭН°° сс к - слабой топологией порождается своими идемпотентами.

3) алгебра {Ме1' со слабой операторной топологией порождается своими проекторами.

4) оператор Ме рефлексивен.

В конце § 3 устанавливаются связи условия „^Е = О для каждого ВС - множества Е с мерами Хаусдорфа.

В § 4 доказывается следующий критерий рефлексивности пс^ти изометрических сжатий.

Теорема 4.1. Пусть Т - почти изометрическое сжатие.

I) если Т не является слабым сжатием или Т - слабое

сжатие, для которого . т ( Т ^ ) - о (0^, обозначает объединение борелевского множества, на котором сосредоточена спектральная мера унитарного прямого слагаемого, с множеством Л / 0},где Д = (1-0* 0)Т , 9 - характеристическая функция сжатия Т), то оператор Т рефлексивен.

2) если Т - слабое сжатие, причем пл( Т 4 С^.)>0, то оператор Т рефлексивен тогда и только тогда, когда рефлексивна его С0- часть.

3) оператор класса С0, имеющий жорданову модель

Ме © М0. ©... рефлексивен тогда и только тогда, когда рефлексивен оператор М0, где 9 = ^ /

4) оператор Мэ рефлексивен тогда и только тогда, когда функция в не тлеет кратных нулей, и представляющая мера

сингулярного сомножителя функции б такова, что О для любого ВС-множества Е с! .

Этст результат получается в результате объединения известных теорем о рефлексивности сжатий с результатами параграфов 2 и 3 этой главы.

ГЛАВА 2. Почти изометрические операторы.

В § 5 опеределяется конструкция модельного оператора.

Пусть - унитарный оператор в гильбертовом пространстве Н. Конструкция функциональной модели для сжатия получается, если фиксированы два инвариант ньк относительно г подпространства & и Н © а модельный оператор Т в пространстве Н определяется условием гИ = ТК «-^ ^ £еН, & . С помощью функциональной модели для сжатия можно построить модель для растягивающего оператора, т.е. оператора, обратного к сжатию. В этом случае подпространства & и Н © & коинвариантны относительно оператора 2. , а оператор Т определяется равенством £(^ + и ) = Тк , ^ Н,

Для произвольного оператора подпространства 6 и ортогональное дополнение подпространства Н © & являются ортогональными прямыми суммами инвариантного и коинвариант-ногс подпространства, а оператор Т определяется равенством 2 ( 1г + ) = т к + ' , где ин, д» € &, или

г^-т^ е &+

Построенная конструкция характеризуется операторназ-начьсй . аналитической сжимающей функцией в круге : 1г1< с разделенными пространствами Е+ © Р_ и Р+ е> Е_, определявшими операторы - значения этой функции : ( с 1 )« с дополнительным условней, что оператор <1(о) обратим, функция а будет также обозначаться функция, опреде-

ленная граничными значениями функции ¿¿к, имеет аналитическое продолжение во внешность круга, которое будет обозначаться £ _ . Фугна, .и ^ + и ^ _ определяют спектральные свойства оператора Т.Е теореме 5.6. собраны формулы оператора Т и резольвент (Т — Л Т , ф 6 {Т), и доказано, что для Т :

л принадлежит точечному спектру оператора Т тогда и только тогда, когда ядро оператора ( А ) нетривиально;

' X принадлежит спектру оператора Т в том и только в том случае, если оператор (Д ) необратим ( р + или ^ выбирается в зависимости от того, 1М ^ I или |М > I),

Функция ( ^ ^ ) является характеристической для некоторого вспомогательного сжатия М. Связь с работой [б] обнаруживается в следуюыгЧ теореме.

Теорема 5 7. Функция ( £ ^ ), определяющая оператор Т в смысле построенной модели и сжатие М как вспомогательное, существует тогда и только тогда, когда оператор Т имеет вид Т »= М + 3>к А]) для некоторого ограниченного оператора А (Л) К и 2) - дефектные операторы сжатия М).

Б § 6 выводится формула характеристической функции 0Т( > ЧД = ( I - АТ*)"* (Т - Л т ) К , действующей из пространства Н с весом 1- Т3сТ в пространство Н с Бесом I - Т Iй (эти пространства имеют индефинитную метрику, и введенное нами определение характеристической функции отличается от общепринятого на оператор 3 = з^п ( Т -- Т^Т); однако, формула для оператора 3 на построенной модели в общем случае громоздка).

Пусть Е0 - прямая сумма подпространств Е+ и рассматриваемая с весом ' 3 = Г в "I ( т.е. Е0 - пространство Крейна с полонительньзд пространством Е+ и отрицательным пространством Е_); ?0 - прямая сумма пространств Р+ и Р_ с весом 1©-1 . Определим функции 60, значения которой -операторы из Е0 в Р0 : если |Х| ^ I, то положим 0О( А Не,» е. ) - , если 7ас» ^(ЖН

т.е. еьо)= [ -АЧху.

Пусть Еа - подпространство пространства Е0, на котором 90 действует как 3 -унитарная константа, Рц. = 60Ец, . Пусть Е = Ец]-^ и Г = - 3 -ортогональные дополнения.

Тогда при |>|< I 90 ( X ) Е с. р.

Теорема 6.4. Характеристическая функция 9Т оператора Т совпадает с функцией 0О, рассмлтриваемой как функция, значения которой - операторы из Е в Р.

§ 7 посвящен инвариантным подпространствам оператора Т и вопросу о подъеме его коммутанта [Т] .

Теорема 7.3. Подпространство Н0, Н0с Н, инвариантно относительно оператора Т тогда и только тогда, когда подпространство Н0 Ф & почти инвариантно относительно 2 в Не & (т.е. (чё Н0 г Н ф & влечет з(»£Н0® &).

Будем говорить, что оператор А £ (Т] ' допускает подъем, если существует оператор X в пространстве , такой, что Я €{2]'♦ , А(Н © &)сН © (к Для

произвольного оператора из коммутанта подъем,

вообще говоря, невозможен. Если функции £ + и ji _ имеют скалярные кратные <Г+ и , то с помощью подъема можно_ построить оператор ^р(Т) для функций ^LT+H'Yi <51L"*Н7

В конце § 7 вводятся остаточная и к -остаточная части пространства Ti , выводятся формулы для них. Приводятся формулы для некоторых канонических гиперинвариантных подпространств.

ЛИТЕРАТУРА

1. Секефальви - Надь Б., Фойаш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1970.

2. Набоко С.Н. Абсолютно непрерывный спектр недиссипатив-ного оператора и функциональная модель, 1, П. Зап. научн.семин. ЛОМИ, 1976, т.65, с.90-102 и 1977, т.73,

сЛ18-135.

3. Radjavi Н., Rosenthal P. Invariant Subspaces. Berlin, Springer f 3973.

4. Deadens J.A. Every isoraetry is reflexive.Proc-Amer.Math.

Soc., 1971, v .28, P.509-512.

5. Makarov N.G.,Vasyunin V.I. A model for non-contractions and stability of the continuous s.pectrum. Lecture Notes

in Ma thematic s , v.864, 1981, P.365-412.

6. N.ikolskii N.K., Vasyunin V.I. Notes on two function models. Proc. Conf. occasion of the.proof of the Bieberbach conjecture, A MS , 1986, P.II3-I4I.

■7 Sarason b. Invariant subspaces and unstarred operator algebras. Pacific J. Math., 1966,v.17, p.511-517.

РАБОТЫ АВТОРА Ш ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

8. Капустин В.В. Коммутанты линейных операторов.

ХЗУ школа по теории операторов в функциональных пространствах, тезисы докладов. Новгород, 1989, часть П, с.5.

9. Капустин В.В., Липин A.B. Операторные алгебры и решетки инвариантных подпространств, I, П. Зап.научн.семин. ЛОМИ, 1989, т.178, с.23-56, и 3991, т.190, с.110-347.

30. Капустин В.В. Критерий рефлексивности сжатий с дефектным оператором класса Гильберта-Шмидта. Докл.АН СССР, 3993, т.338, с.3308-3333.

П. Kapustin V.V. Keflexivity criterion for restricted shift operators. LOMI, Preprln-t E-2-93, 3993.

РТП ЛЙЯФ,зак.734,тарЛ00,уч.-изд.л.0,6;12/Л11-1991г. Бесплатно