Модели несамосопряженных операторов, коммутирующих и антикоммутирующих с инволюцией и инвариантная факторизация их характеристических оператор-функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕШЭТ ПАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ «АТШ.Т15КИ И ШАШКИ

На правах рукописи

ШЕЛЕПОВ Игорь ВЛЯДЕСЯЯВОВЯЧ

РОДЗЛИ НЕСАИОСОПРЯЕЕНШХ ОПЕРАТОРОВ. КО>ШТЙРУ1Ш1 И А1ГГНККШТИРУ1ШХ С ИНВОЛЭДИЕЯ И ИНВАРИАНТНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ ИХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОР-ЗУШЩЙЗ

(01.01.01 - «атематичебгааа анализ) АВТОРЕЭЕРАТ ДЕссврггацня на солсканкэ учагой степэпа ^ кандидата фззкко - ыатематпчвскпх паук

Донецк - 1992

Кьф»Д1>а иштонатичьскош анализа в твирци фушадш йэнэцяоги госудщютклш'Я'о уншшрситита

ннучний руководитель: кандидат физик»-мдтоматичаскш иьук.

доциит ЦцканоискиД Э. Р.

0|UlUiÜ-fibl!üU OUOHÔUTU Притир ||йзвка-матьиатич0ски1 наук, прифассор Баскаков Анатолия

Григорьевич

KtiiuwAaT 4азш<о-иат&штнчвсккх наук, хрцэвт Дйркач Вдад^шр

¿хзисандрошгч

Воду алортшзацня - институт иатематтш ill Украина.

Зил.-лте сосюатся "20" янтаря 1ЬШ гида vJA__часов на

имоыдашя сдациадизировашюго сорита К Ui6.46.Ol ь Инстатути ирйюшдооа иаты:уттсц и махавики АН Украиии m» адрясу: 3401 14, г. », танк - IM. у-", Риам ЛкиюмЯург, г;>п 74.

i. здссоргьцкиК ütwsHO оинаномн'п.^н и ОйОДЛитькк ШШ AJÍ Укришш. д»1ч>])иД»!)ат рьзослан " JJ iv*? года

»hswü (>икри*.ирь «».щаалиоц-иьашвмч! ^

смтгя. кецдядат фва.- мат. наук . ^^"^^А.И.иирковоква

РОССИЙСКАЯ | ^

СУД... " ллгля

БЬБ^и'О'^ЛА ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа отиосится к современной спектрвльрой теории линойшх ограниченных нвсадасопря-Е8шшх операторов и их характеристических оноратор-фугшциЯ (I. о.-ф.) и тестро связана с теорией передаточных отображений линейных систем. X. о.-ф.. была введена М. С. Липшицем и получала дальнейшее развитие в роботах украинских и зарубвишх авторов. X. о. -ф. относится либо к оператору, либо к более сложному агрегату - операторному узлу, яшшщимуся математической моделью некоторой открытой физической системы. Особую роль в теории х. о. -ф. играют задачи факторизации их на простейшие мпоетгелп. Настоящая работа посвящена построению треугольных моделей и факторизации х. о. -ф. ограниченных нвсамосопряженных операторов, связанных коммутационными соотношениями с инволюцией (оператором сопряжения) и нродол-вает большой цикл исследований по гармоническому анализу несамосопряженных операторов, проввдешшх Ю. М. Арлин- ским, А. Г. Бас-какоиым, Л. До Бранжем, М. С. Бродским, П. П. Гинзбургом, И. Ц. Гохбергом, В. А. Деркачем, В^ А. Золотаревым, А. Н. Кочубеем, Н. Г. Крейном, А. В. Куке леи, М. с. Лившицрм, И. М. Иалонудом, С. II. Набоко, Н. К. Никольским, Б. С. Павловым, Д. Ровщшом, А. Г. Руткасом, Л. А. Сахновичем, Б. Секефальви-Надем, Ч. Фояшем, А. П. Филимоновым, Э. Р.Цвкановским, А. В. Штраусом, А. А. Янцовичем и Др.

Целью настоящей диссертации является построение треугольных моделей вещественных и мнимых операторов, а также вещественная и, соответственно, мнимая факторизация их х. о. -ф.

Методика исследований. В работе использованы методы общей теории линейных операторов в гильбертовом пространстве, ютоды комплеквсного анализа, и метод характеристических оператор-функций несамосопряженных операторов.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В диссертации вводятся понятия вещественного и мнимого операторов и вещественного я мнимого операторных узлов. Устаняшшвдится теоремы о включении оператора одного из выше указанных клвссав в соответствупциЯ узел. Решается обратная задаче теории ж. о. -ф. вещественных и мнимых узлов. Устанавливаются теореимумноевння а

дуд»пая х. о. -ф. гхнцеетеевща (одвдшс) уашв а дявтгоя tu фактора-зацдя на щюстойаае вещэетееншв (мшшые) жожитола Бляшке-Пота-шва. В диссертации страятся треугольные функциональные шдэли Ы. С. Лдащца вещественных в юш операторов, которые имевт конач-вшармув мшшую компоненту. .В работе такяэ находятся формулы дня шчаслещ резольвент модельных в&шэствоеши и шшййх опараторов. Шдученныэ результаты развивав*, усиливает а дополняют исслвдова-шгя Щ. Асседя, И. С. Бродского, И. Годача, №. Ц. Гохбергв, U. Г. Крейиа, И. В. КоэалашйЕаой, Sä. С. Лившего. В. В. йуцушсо, В. П. Потапова.

Практическая в теоретическая ценность. Результата, ващгчешше в работе носят теоретический характер. От могут быть исдальзованв в теории передаточных отображений линейных систем.

¿пробацня работа. Результаты диссертации доюшдавались на X7I всесоюзной школе по терии операторов в фркцвовальдах пространствах в г. Нижний Новгород (1991 г.) и ва III Международной крек-ской осеняй математической школа-сившозиумэ (1992 г. >

Публикация. По тем» диссертации опубликовано Б работ. Три из них в соавторстве с научвш руководителем Э. Р. Цвкановским я принадлежат авторам в равной мере.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 25 наименований. Общий объем диссертации - 104 страницы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построение алгебры вещественных и мнтшх узлов: Теоремы о включении в узел, умноржония. деления; обратная задача.

2. Факторизация х. о. -ф. вещественного узла на простейшие вещественные множители Бляшке - Потапова.

3. Построение троугольнах моделей М. С. Лившица вещественного узла.

4. Факторизация х. о. -ф. мнимого узла на простейшие мнимые множители Бляшке - Потапова.

б. Построение треугольной модели М. С. Лившица мнимого узла. 6. Формулы для вычисления резольвент модельных вещественных н мнимых операторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Пусть Ъ - сепарабельное гильбертово пространство, оператор

определенный на всем & навивается шволещюй, вала

1) Ш.ТУЫ*,?)*

2) I

Из определения следует, что

ЦХ| = 1Х|

ЛаввШша ограниченныА оператор А, действупзщЯ в &, няянвйптоя ,7-ватественным, (шш просто вещественным) вела

н 3 - ннишы, если

А3=~3к

Агрегат

О а

Ь 9

где 6 в О -евпарабвльрые гильбертои» пространства. А, К, Л -ливиные ограниченные оператор«, двйствувдае соответственно в 6, аз О в 8 и в в, называется операторным узлом, или узлом ВроДского-Лявшицв, если выполнены елвдупдае соотношения:

ГА К 3 1 I Ь 9 1

J = Г1 Оперятор-функция

А - 1'

К.Ж

*е(М = I -гш'и-мг1!^

комплексного переменного назнвается характеристической для уалв 0.

Узел 0 называется (3, 3' ) - вещественным, если выполнены следующие соотношения:

А^ = 7А и' * Я ЗУ = -уз

(где 3 в 3' - инволицви в пространствах & и в соответственно) и (Л 3' ) - мнямм, если:

К! = КЗ' - -ЗК ЗУ - уз

С каядам операторным узлом 0 связана некоторая стапронарйая консервативйая динамическая система виде:

I Г (А - XI )Х =

I ф+ = ф_ - 21К*х

(КЛК* » 1ш А)

1'ДО Ф_ ~ входной шктор, ьиюдаоа вектор, х - вектор

гаутреннуго состояния.

В диссертации изучаются вещественные и ишаше узлы, вх характеристические оператор-функции, пороаденныеконсьрватившми састе-ииш», основной оператор А которых связав некоторыми соотношениями симметрии с шшолщией 3. •

Работа состоит нз Т1«х глав. Рассмотрим отдельно содержание каадой части.

В первой главе строится алгебра вещественных а мнимых узлов.

Первый параграф атой главы посвящен изложьшш простейших свойств ннволщии, вещественных и мнимых операторов, и носит чисто вспомогательный характер.

В §2 устанавливаются теоремы о включении вещественного или мнимого оператора в некоторый вещества щшйилн (мнимый) узел, соответственно, с наперед заданным каналовым подпространством Я(КУ, инвариантным относительно илволхщш. 1 именно:

Теорема 1.2.1(2) Пусть А - линейный ограниченный ^-вещественный (^-мнимый) оператор в сепарабьльном гильбертовом пространстве 6 и К ~ произвольное подпространство, содержащее К(Ш А) в инвариантное относитель инволюции У. Тогда существует О,]')-вещественный ((3,]')-мнимый) узел в, дня которого опреатор А является основным, в подпространство П - каналовым.

Ивавашшя теореме являотоя вещвотвввным (мшмш) аналогом известной теоремы К. С. Бродского о включении произвольного линейного ограниченного несамосопряженного оператора в операторный узел с наперед заданным каналовым подпространством. Кроме того, 8та теорема дополняет один результат Ш. Ассади и И. Е. Луцввко.

Третий параграф посвящен теоремам умножения и деления вещественных (мнимых) узлов:

Пусть

- 1 ■ •- (V. 1

два операторных узла, у которых совпадает внешнее пространство 9 ■ раправлявдав оператор а. Узел

- 7 -

ГА,Р1+ 21K,JK2P* К,* it, .П

* l 6,® Ъг © J

где PjH Pg- ортопроокторы но подпространства 0, n &3, соответствию, называется произведенном узлдов 0, я !)„,.

Воию показать, что если о^л ор~(,71 ,J') п {J?,J' )-Б0ществешвдэ (книше) у зли, соответственно, то нх произведение является (J,,Т S-вэществвнпнм (мниим) узлом, где

J = J,?,* J2T3

Расшотрим произвольный узел 0. Пусть - некоторое

подпространство пространства В. Обозначим через ?0 ортопрооктор в Я на ft,,. Узел .

называется проекцией узла 0 па подпространство й>аэет гастс

следущая теорема:

Теорема 1.3.2 Проекция (J.J' )-вещественного (мяидаго) узле на подпространство, инвариантное относительно J, является (J.J' )-т-

Щ9СТВ9НННМ (МНИМЫМ) УЗЛОМ.

В }4 вводятся два новых класса оператор-функций. Пусть линейный ограниченный оператор J, дэйствупцяй а сепарабелыюм гильбертовом пространство <з, удовлетворяет у словшш:

J «= J* = о"'

Говорят, что фушсция комплексного дарешшого 17(А.), знячоншш которой являются линейные ограниченные оператор! в 9, принадлежат классу Qj , если она обладает следующими свойствами:

1) W(X) голоморфна в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки;

2) 11m |W(M-I|=0

Х*а>

3) При всех \ из Gw опротор Я(Х)+1 ккоет ограниченный обратная, прячем оператор-функция

v(\)-i(W(x)+D"1(W(\)'-i)j=i(f?(Ar)-i)(a(X)+i)",j аналитически продолгаема в оалоеть 0у, прэдставляггцуп собой всв

распшреннув комплексную плоскость без некоторого ограниченного кгюгэства вещественных точек.

4) (ТсЛ>0>

- в -

б) V(X)=T*(X) (1пА=0; \ с Су)

Будем говорить, что опреатор-функция W(\) принадлежит классу Qj , если она принадлежит классу Qj и, кроме того,

W СШ'= J'Wtt-*)

где 3' - некоторая ютолюцня в антиперостаяовочкая с J. Если se последнее условие заменить на

W(MJ'= J'W(V)

a J'перестановочна с J, то будем говорить, что W(X) принадлежит классу Qj .

Доказано, что характеристическая оператор-функция U,J' )-вещественного узла принадлежит классу » тогда как х. о. -ф. (J.J')- мнимого узла принадлежит классу £lj .

Решона обратная задача теории х.о.-ф. вещественных и мнимых узлов. А именно:

Теорема 1.4.1 Если W(A.) t Qj j. ( Vf(A.) с Qj,-^ )• существует {'J,3' )-вещэствонный UJ.J' Ьшимый) узел 6, ' с направлящим оператором J, такой что в некоторой окрестности бесконечно, удаленной точки

Ие(М » ЖХ)

Эти теоремы являются вещественным и мнимым аналогом известных роэультатаов Ы. с. Бродского, М. С. Лившица, В. П. Потапова по теоремам умногоння и деления х. о. -ф. несвмосопряжэшшх операторов, а также результатов М. С. Лившица по теории обратных задач для х. о. -ф. ограниченных линейных операторов. Кроме того,эти теоремы дополняют результата Ш. Ассада и К. Б. Луценконедавниа, а также недавнзэ исследования Д. Аллея, Дж. Болла, И. Ц. Гохберга в Л. Родмана по теории реализации и факторизации рациональных мат-риц-функцай с сншотриями.

Вторая глава посвящена факторизации х. о.-ф. вещественных узлов на простейшие вещественные множители и построению треугольных моделей вещественных узлов.

Перше четыре параграфа этой главы посвящены мультипликативному и интегральному представлению опора тор-функций из класса ilj у. Сформулируем основные результата:

Теорема 2.4.1 Пусть е - {J,J')-вещественный узел, и Im А конечномерна. Тогда его характеристическая операторнЦункция W0(M допускает следущое мультипликативное представление:

где (*.)"- последовательность невещественных чисел (ImX^>0), все

ре дальше точки которой лежат на вещественной оси; Р^ и Р^-положителыше самосопряженный операторы в удовлетворяющие

соотношениям:

PjJÎJ - Im KJPJ PJJÏJ - -In KjPJ

PjàjJ'* J'Pjàj - im KjàjJ'- J'Pj)

Далее, a(t)~ ограниченная нвуоыващая функция;

t

B(t>=/ П*(х)П(х)Ох

о

где П(х) - заданная на 10,11 функция, со значениями во множестве линейных ограниченных операторов в <5, и удовлетворяющая соотношение

J'ncx)

при почти всех i из ГО,П.

Эта теорема дает факторизации х. о. -ф. па вещественные

множители и является развитием и уточнением известной теоремы U.

С. Лившица о факторизацфии х. о -ф. ограниченного опероторо на

простейшие множители. Для случая дробно-рациональных j-сжимамцих в

единичном круге матриц-функций факторизация на вещественные

множители получена в работе И. В. Ковалишшюй и В. П. Потапова.

t

В 5 5 строится треугольная модель 9 веществошого узла 0. Напомним, что операторный узел 0 называется простым, если замыкание линейной оболочки векторов вида

A.ft Kg (п=1,2,3,...; g ( 8)

плотно в

Простой частьв узла 0 называется его проекция на подпространство

&0. врип An Kg (п=1,2,3,... ; gît?)' Рассмотрим гильбертово пространство

- 10 -£ - ® &е

6,» 1г(С2)

где

едамвнташ которого являются последовательности двумерных векторов (фиф- комшшксние числа) с у&швивм

(в

в

6г . Ьг(®,[0,П)

элементами которого являются »-значные функдш) с условием 1

Х(1(1),Г(Х))в СИ < да

о

Скалярное цроизведони в 6 определяется формулой « 1

+ /<Пх).8(х))в 01

Путь, далее, - последовательность невещественных чисел

(1иА .>0), все предельные точки которой лежат на вещественной оси[ ^ 4 -»

К, - дшхеАтю ограниченные операторы, дайствуищаэ изв в 6, (¿»1,2.3,...); аШ - неубыиамцеяна [0,1) вещэственнозначнаА ограниченная функция; П(х) - ограниченная на £0,1] функция со вначениямн во мнояествэ линейных ограшчетшх операторов в ©: а

кроме того вшюлиены соотношения:

- 1Ш X/, (у =

г А - V,

(?/ ? ¿г-? оу V

щаа шчта всех х из 10,11

Узел

где

СО

][(|Ь,|г+ |И,|г) < » А К J

в

где

Г(Ш,« 1,1,+ 21 2 К-ЛК* + 21/ К,Л1*и)£(1>й1 1 31 в=ж о 1

(А1)(х)= а(х)1(х)+ 21/ П(Х)Л1*(1) Ы.

X

<Г= Г,.Г г I ,Э..;Г(Х))

Кв * (К^К^«^....'.^*^) (в € Э)

шгаивается треугольной модель». Ни векторах вида

Ап Щ («=1,2,3,..г е ®)

зададим инвалида» 3 формулой:

.7 Ап = Ап К 3'& По непрерывности продолжим оэ на замыкание линейной оболочки всех такта векторов. В этом случае простая часть узлв О

является {^,3') -воществошшм узлом. Два узла

~ г А К .М л«ГАК,м

9=1 ~ И в »

I б в J 6 в ]

называются унитарно эквиволентпими, если существует изометрическое отображение и пространства 8 на 5, такое что

и! ■= АО ик = к Основным результатом данной главы является следу ода я теорема»

Теорема 2.6.1 Простой {J,J' Ьвещаствешшй узел в. основной оператор которого имеет конечномерную мнимую компоненту, унитарно

вквивалвнтен простой части некоторого O.J' )-ввщвственшюго

модельного узла е.

5 ¡¡scTCii шроГрофб устанавливается формулы вычнпдйНнй

резольвенты основного оператора А треугольной модели в. Обозначим чвроз

г 1 21 г

ttj (Х-Х;)(Х-Х}7

О га*

1 21 ....... t

8(ж,Х) » Je*-act)<1Blt)J B(t) « jn*(i)n(x)tU

0

tu

Тогда резольвента модельного оператора А может быть записана в вида Олочао-операторной матрицы

. Г (Х> (МР1ык*Ргв8(Х) 1Г 1

А I 0 Нг(Х) Лбг]

где Р, в Рг -ортоыроекторы в 6 на оодоространства И

62 соответственно.

В том случае, когда вещественный оператор является вольтеррошм, получается модель, установленная раноь И. Ц. ГЫбергом в М. Г. БрзШюм.

В третьей главе настоящей диссертация получена аналога результатов предыдущей главы для случая мнимых узлов. Двна факторизация опреатор-функции из классе njt_j' на простейшие множители из этого же класса, построена треугольная модель {J,j' )-мнимого узла а даны формулы для вычисления резольвенты ее оснртого оператора. Приведем основные результаты:

Теорема 3.1.1 Пусть 9 - (J.J' ) - мнимый узел, я 1ш А конечномерна. Тогда его характеристическая оператор-функция допускает следувдее мультипликативное представление:

где <Х)"-ограинченная последовательность невещественных чисел

(ReX >0), все предельные точки которой лвкат на вещественной оса; и неотрицательные созосопряженние оператора в 0, удовлэтворящке соотношо'йиям:

ïj^j * Vj = ** bjïj

BeXJ(J'pJ+ VjJ') -itZ'P^- PjJPjJ') '

(Р/ Pj)J'~ Г (Р/ Pj)

Далее

■ (x^TTT ThW) С<*> -

t t ?(t)=JI*(x)b(x)dx E(t)=JH*(x)U(x)dx

о о

где a(t) - неубывающая на 10,11 вещественнозпачная ограниченная функция; Ь(х) п Н(х) - ограниченные на 10,1) функции со значениями во ынозестве линейных ограниченных операторов в 0; а кроет того шпшиены соотношения:

(L(t) + ti(t))J' « J' CL(t) + El(t)}

a{l)W (b(t)-H(t)) = a(t)(H(t)-b(t)J

Данная теорема дает факторазацшз х. о. -ф. кнююгоузла на простейте кшозго шогителз н является развитием и уточношгом взвеет-

- и -

нов факторшационной теорема М. 0. Лившица и В. П. Потапова, Рассмотрим гильбертово пространство

Ь <=6, • Ьг

где и

= ^(©.СО.Ш

вдаиенташ которого являются в-значннв вектор-функция

i(l) « (ф(1) и ^(J) € в цри всех X из 10,11)

l»(X)J

удовдетворяадив соотношении 1

Х(ф(х),ф(х))0 + (ф(х).ф(х))0 )ctx < «Р о _

Скаячярдое произвеланив в В задается формулой

DU 00

g*fJ + /(ф(х).х(х))в + (4>(x),u(t))e )dx

'['«■Ь-—сэ)

Путь, далее, (X.)"- ограниченная последовательность невещественных чисел (RaX.>0), все предельные точки которой лэгат На

вевдэственной оса; Uj - линейные ограниченные операторы, дейст-

вугдодз из © в S, U=1,2,3,...); a(t) - неубывающая на 10,11 вецест-веннозначная ограниченная функция; L(x) и И(Х)- ограниченные на [0,11 функции со значениями во множестве линейных ограниченных операторов в ®; и кроме того выполнены соотношения:

*РЛ = 1шхЛ v

<? - ¿J Uj)

He.»v <J'Pj+ VjJ') -I'J'VjJVj- ?yJ?jJ')

(Pj+ ?j)J'= Г (Pj+ Fj>

- 16 -

(L(t> + ШШ' = ¿'(Ш) + Si(t)) a<t)(J' (X,(t)-M(t>) = a(t)(H(t)-£ft))

-4

Поотроау оператору А £(&,&] и К е 10,51, задавая их формулша;

а г

(Af).- A.I.+ 21 Е R.JK* + 21Г K.jn*(x)r(x)rtx 3 * J 0 О »

(АХ)(I)- А(Х)Г(Х)+ 21/ K(I)JK*{t)dt

х

(f= i,.r г t ,3.,:f(x>) Kg - (K1g.K2g,K3g,...;K(x)g) (g e cs)

f a(r) о } r L(i) )

A(x) - KU =

lo -ad) J lM(x)J

На векторах вида

A" Kg M,2,3,.,.|g(9) «*

вададам инволпрго J формулой

} An Kg > An R J'g По непрерывности продолжим ее не заадкание линейной оболочки всех те»«« векторов. Простая часть узла

ЧУЛ

является ) - мнимымузлом. Будем называть ее (J.J')-мнимой треугольной моделью.

Теорема 3.2.1 Простой \3,Т )-мнимый узел в, основной оператор которрго имеет конечномерную мнимую компоненту, унитарно аквива-

лентеи просто® чести некоторого (J,J')-мнимогомодельного узла в.

Полученные треугольпыв модели являются вв!дествотшми и мзтыш аналогами известных моделей М. С. Лившице.

- 16 -

СШ1С0К РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шкенойскшг Э. Р., Шхаюв И. В. Про д1йон1 снороторн1 вуали ta 1ж характерастачн1 опаратор-4ушсц11//1 Крагыская осенняя математическая школа ш спектральным и авалвдгоннш» задачам: Тоаасы докладов, 1990 г,

3. ЦзкановсюШ 9. Р., Ш&лэнов И. В. Треугольные шдели ¿f-ващвстввшщх опрера торных уалов // XVI Всесоюзная школа по теория операторов в функциональных пространствах : Тезисы докладов, г. Низший Новгород; 1991 г.

3. Цекановский Э. Р., Шелепов И. В.//Доклада АН УССР.- 1992 Я 5.-С 20 - 24.

4. Еолвпов И, В. ишаше операторы а операторные узлы / Донецкой государственный университет.- Донецк, 1992.- 12 е.- БшЬгаогр. Б назв.- Яви. В УкрНИИНТИ., 02.11.92, й 1780 - УН 92.

6. Юедаоов И. В. Обратная вадача теории характеристических опретор-функций мнимых узлов / Донецкий государственный университет.- Донецк, 1992.- 8 о.- Баблкогр» 5 назв.- Доц. в УКрНИИНТ., 02.11.92, » 1778 - УК 92.

Подписано в печать 14.12.92 г.

Формат 60х64/16Бумага писчая. Обсетная печать.

Усл. п. л. 1,0. Заназ !."990. 100 экз. Бесплатно.

Р-т ИЭП У.чРАИНЫ. 340046 г.Донецк, ул.Университетская, 77.