Некоторые вопросы теории диссипативных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

05

\ 5 «96

На правах рукописи

Дашиева Светлана Санжижаповна

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ДИССИПАТИВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск - 1996

Работа выполнена в Восточно-Сибирском государственном технологическом университете.

Научные руководители - доктор физико-математических

наук, профессор Баскаков А.Г., кандидат физико-математических наук, доцент Юргелас В.В.

Официальные оппоненты: кандидат физико-математических

наук, доцент Намм Р.В., доктор физико-математических наук, профессор Обуховский В.В.

Ведущая организация - Самарский государственный университет.

Защита диссертации состоится " ^<>-4. 1996 года в 'на заседании диссертационного совета Д.064.62.01 в Хабаровском государственном техническом университете по адресу: 680035, г. Хабаровск, ул.Тихоокеанская 136, ХГТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университета.

Автореферат разослан " " л 1996 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета и С Ьсл Подгаев А. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Среди нелинейных дифференциальных уравнений очень важный класс составляют дифференциальные уравнения с диссипативными нелинейностями. Изучению таких уравнений посвящены многочисленные исследования, которые ведутся в нескольких направлениях и для различных классов дифференциальных уравнений. Существенный вклад в развитие теории диссипативных уравнений (операторов) внесли М.М.Вайнберг, Ф.Браудер, Т.Като, Р.И.Качуровский, В.М.Чересиз, А.И.Перов и многие другие математики. Определенная часть исследований в области теории диссипативных (монотонных) уравнений с ограниченными коэффициентами подытожена в монографии Ю.В. Трубникова, А.И.Перова.1 Ряд новых результатов и методов исследования полулинейных параболических уравнений в банаховых пространствах с неограниченными коэффициентами изложены в монографии Д.Хенри.2 Важную роль в построении такой теории, которая находит широкое применение в нелинейных уравнениях с частными производными, играют результаты, изложенные в монографиях Ю.Л.Далецкого, М.Г.Крейна3 и Х.Массера и Х.Шеффера.4 Однако для дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами и диссипативными (монотонными) не-

'Трубников Ю.В., Иеров А.И.. Дифференциальные уравнения с монотонными нелинейностями.-Минск: Наука и техника, 1986.-198 с.

2Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. -М.:Мир,1985.-376 с.

3Далецкий Ю.Л.,Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве,-М.:Наука, 1970.-536 с.

4Массера Х.Л., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства.-М.: Мир,1970,- 536 с.

линейностями подробные исследования не проводились.

Цель работы. Исследование существования решений, их единственности, почти периодичности ограниченных решений диссипативных дифференциальных уравнений (как с ограниченными так и неограниченными коэффициентами) в банаховых пространствах. Изучение метода Галеркина для нахождения периодических решений уравнений с диссипа-тивными нелинейностями.

Методика исследования. В диссертации используются методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории дифференциальных неравенств, методы линейного функционального анализа, теории полугрупп линейных операторов.

Научная новизна. Получено обобщение теоремы Ляпунова на неограниченные секториальные операторы, установлена взаимосвязь условия диссипативности линейного неограниченного оператора с расположением его спектра;

получены новые теоремы о нелокальной разрешимости задачи Коши для абстрактных параболических уравнений с диссипативными нелинейностями;

получены условия существования ограниченных решений и почти периодических решений (а также их оценки) для рассматриваемых дифференциальных уравнений;

в условиях Каратеодори для дифференциальных уравнений с диссипативными нелинейностями получены достаточные условия нелокальной разрешимости задачи Коши;

в условиях сильной диссипативности и при условии ограниченности (почти периодичности) правой части диф-

ференциального уравнения доказано существование ограниченного (почти периодического) решения рассматриваемого дифференциального уравнения. Получены их оценки;

в условиях индефинитной диссипативности получены достаточные условия обратимости линейного дифференциального оператора £ = ^ - Л({) и получены оценки обратного к нему оператора;

дано обоснование метода Галеркина для нахождения периодических решений диссипативных уравнений и получены неасимптотические оценки скорости сходимости галер-кинских приближений.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут найти применение при дальнейшем развитии теории дифференциальных уравнений с диссипативными нелинейностями и, особенно, уравнений с неограниченными коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на семинарах кафедры нелинейных колебаний (рук. проф.Баскаков А.Г., проф. Перов А.И.), на семинарах Воронежской зимней математической школы 1975 г., 1979 г., на научных сессиях Воронежского госуниверситета и ВосточноСибирского государственного технологического университета, на Всесоюзных школах-конференциях по дифференциальным уравнениям и вычислительной математике (г.Улан-Удэ, 1975, 1985 гг.), на семинарах кафедры высшей математики Восточно-Сибирского государственного университета (рук. проф.Шойнжуров Ц.Б.) и на объединенном семинаре кафедр Высшей математики, Прикладной математики и программирования Хабаровского государственного технического уни-

верситета (рук. проф. Зарубин А.Г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в девяти работах [1-9], список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ [1,8,9] в диссертацию включены только принадлежащие автору результаты, которые вошли в главу 3.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Она изложена на 105 страницах машинописного текста, включая библиографический список из 64 наименований. Нумерация приводимых в автореферате теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.

Содержание работы.

Введение содержит обоснование актуальности выбранного направления исследования и краткое изложение результатов диссертации.

В первой главе изучается параболическое полулинейное дифференциальное уравнение в банаховом пространстве X вида

z = Az + f{t,z), (1)

где / : [а,Ь] х X —> X непрерывная функция и -А : D(A) С X -* X - секториальный линейный неограниченный оператор с областью определения D(A) из комплексного банахова пространства X. Предполагается, что отображение А + f является диссипативным.

В §1 прослеживается взаимосвязь условия диссипативно-сти оператора А с. расположением его спектра. В частности, получена обобщенная теорема Ляпунова для секториального оператора. А именно, имеет место

Теорема 1. Если линейный оператор А : D(A) С X -* X 7 - диссипативен, то его спектр а(А) лежит в левой полуплоскости, причем а(А) С Л(--у) = {z £ С : Rez < -7}. Обратно, если спектр оператора лежит внутри левой полуплоскости и (—А)- секториальный оператор, то в X существует эквивалентная норма, в которой оператор А становится 7- дисси-пативпым, причем в качестве постоянной 7 > 0 можно взять любое число, большее

В случае ограниченного оператора в гильбертовом пространстве обобщенная теорема Ляпунова была получена в монографии Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крейна3 . Она была перенесена на банаховы пространства Ю.В.Трубниковым5. Авторы этих работ рассматривали при доказательстве соответствующей теоремы эквивалентную перенормировку вида

Однако, эта перенормировка не годится для неограниченного оператора А (см. пример 1 в гл.1) и, кроме того, она дает менее точный результат при подсчете постоянной диссипа-тивности 7.

Отметим, что условие секториальности оператора (—А) в условиях теоремы 1 в некотором смысле необходимо. Приводится соответсвующий пример.

Приведем еще один результат о связи э-дихотомичности

'Трубников Ю.В. Аккретивные дифференциальные уравнения. -Сиб.мат. журн.-1979.-Т.20,Ы 4,-С,835-853.

max Re А.

оо

О

и индефинитной диссипативности секториального оператора.

Теорема 2. Если А - индефинитно диссипативный оператор, то он э - дихотомичен. Если же оператор (—А)— сек-ториален и э-дихотомичен, то в X существует эквиалентная норма, в которой он индефинитно диссипативен.

В §2 приводятся примеры диссипативных (как линейных, так и нелинейных) операторов и уравнений.

Так, в частности, диссипативным является оператор Лапласа Д в пространстве C{Rn) равномерно непрерывных и ограниченных на Rn функций с подходящей областью определения. Приводятся и другие примеры дифференциальных операторов в пространствах Lp{Rn) и C{Rn), являющихся дис-сипативными.

В банаховом пространстве со сходящихся к нулю комплексных последовательностей рассматривается линейный оператор А : D(A) С со —► со, определяемый матрицей {о,;}, i,j > 1, коэффициенты которой удовлетворяют условиям

Re аы + £|ау| <0,fc= 1,2,... (2)

;фк

с областью определения

D(A) = {х е с0: (aiixi,ai2x2,...,) G с0}.

Теорема 4. Оператор А : D{A) С с0 с0, матрица которого (в стандартном базисе пространства е0) удовлетворяет условию (2), является диссипативным.

Лля ограниченных операторов в пространствах со, h и с аналог теоремы 4 был получен Ю.В.Трубниковым 5. Полу-

четшое нами доказательство проще, чем в 5 и случае ограниченных операторов.

Особенность ряда параболических уравнений состоит в том, что для них выполнено условие диссипативности. Таким свойством обладают некоторые уравнения, взятые из книги Л.Хенри 2, которые исследовались там другими методами.

Один из центральных результатов главы связан с вопросом существования решения задачи Коши для уравнения (1). В настоящее время имеется ряд интересных результатов, связанных с разрешимостью задачи Коши уравнений типа (1) при ряде дополнительных ограничений типа гельдеров-сти по ( € [а, Ь] и липшицевости по г € X. При условии диссипативности отображения А + / все эти ограничения снимаются. А именно, в §3 получена следующая

Теорема 5. Пусть функция / : [а, 6] х X —X непрерывна., (-А) - секториальный оператор, отображение А + / диссипа-тивно, а / ограничена на ограниченных подмножествах из X. Тогда задача Коши

2 = Аг+ 1(1, г)

г(а) = г0 (3)

однозначно разрешима на [а,6]. Доказательство теоремы основано на построении решения, как предела некоторой последовательности сплайн-аппроксимаций, прообразом которой может служить последовательность ломаных Эйлера.

В §4 получены теоремы существования ограниченных и почти периодических решений уравнения (1).

Теорема 6. Пусть отображение А + / у - диссипативно, /

ограничена на ограниченных подмножествах из X и функция /0(í) = /(í,0) (/о: R —> X) ограничена.

Тогда уравнение (1) имеет единственное ограниченное решение щ : R —► X. Для него справедлива оценка

Bup|W«)ll<7"Isup||/o(i)||

«ей «ей

Теорема 8. Пусть д : X X— непрерывное отображение и —А : D{A) С X —* X— секториальный оператор. Если отображение А + д : D(A) С X —► X является 7 - диссипативным, то А + д— обратимое отображение, причем имеет место оценка

+ з)-1(ь)1! < - .9(0)11,6 е х.

Эта теорема является распространением теоремы Минти-Браудера. на неограниченные операторы специального типа.

Во второй главе изучается разрешимость задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения

i = /(í,z), (4)

рассматриваемого в банаховом пространстве X с диссипативным отображением / : [а,Ь] хХ —► X. В идейном плане результаты главы примыкают к работам6'7 однако, в отличие от них:

1) доказательство разрешимости задачи Коши для уравнения (4) проводится в условиях Каратеодори;

6Перов А.И., Трубников Ю.В. Монотонные дифференциальные уравнения.! //Дифференциальные уравнения.- 1974. Т.10, N 5.-С.804-815.

7Перов А.И., Трубников Ю.В. Монотонные дифференциальные уравнения.П //Дифференциальные уравнения.-1976.-Т.12,Ы 17.-С.1224-Ш7.

и

2) в классе функций почти периодических по Бору (возможно разрывных), получепа теорема о существовании единственного почти периодического решения.

В §1 приводится ряд дифференциальных неравенств, полученных в терминах одностороннего дифференциала Гато (D+U) некоторого выпуклого функционала U и систематически используемых в дальнейшем.

В §2 и всюду в дальнейшем в главе 2 рассматривается отображение / : [а,Ь] х S(£,r) -+ A' S(f,r) = {г 6 X : - z\\ < г} такое, что оно

1° удовлетворяет условию Каратеодори, т.е. сильно измеримо по t при каждом фиксированном z и непрерывно no z при каждом фиксированном i;

2° почти везде на [а,Ь] удовлетворяет условию U - дисси-пативности

D+U(z - С, /(t, z) - fit, О) <0, г, С е г); 3" допускает на [а, 6] х S((, г) оценку вида

\\f(t,z)\\<m(t)

с интегрируемой по Лебегу неотрицательной функцией т : [а,6] —► R+, причем такой, что ЦНк^а.б) < г.

Под решением задачи Коши

z = f(t,z), z{a) = Z (5)

будем понимать любую абсолютно непрерывную функцию (р : [а,й] —► S(£,r), удовлетворяющую (5) почти везде на [а,6], условию 2° и d+ip(a)/dt = /(а,<р(а)).

Теорема 1. Если выполнены условия 1" — 3°, функция / ограничена на ограниченных подмножествах из X и функционал U липшиц-непрерывен, то задача Коши (5) однозначно разрешима на [а, 6].

Отметим, что теорема 1 обобщает соответствующий результат работы В.Л. Хацкевича8,полученный для гильбертова пространства.

Теорема 2. Пусть выполнены условия —3" , функционал U липшиц-непрерывен и пусть для любого ограниченного множества Т С [а, 6] х X существуют такие положительные постоянные d,n (зависящие от Г), что почти везде на [а, Ь]

D+U(zJ(t,z))<-v ||/(М)!1

при ¡|/(<,z)|i > d. Тогда задача Коши (5) однозначно разрешима на [о, 6].

В §3 рассматривается вопрос существования ограниченного и почти периодического решения уравнения (4) с заменой предположения 2° на следующее:

4" почти везде на R функция / : R. х X —► X удовлетворяет условию (U,ае) - диссипативности

D+U(z - С, /(*, - f(t, С)) < -ae(U(z - ()), z,( е X,

где ае и а (см. ниже) - две непрерывные строго возрастающие функции из R+ в R+ такие, что а(0) =зе(0) = 0, as(s) -+ оо

с

при s —> оо, Щх) > a(||a;||)Vx е X и J = оо Vc > О

о '

Обозначим через Г{&) произвольную первообразную

8Хацкевич В.Л. Применения вариационного метода и метода монотонных операторов в задачах теории нелинейных колебаний: Автореф.дисс... канд.физ,-мат.п&ук,- Воронеж, 1983.- 19 с.

функции 1/ае(й), тогда существует обратная к ней функция Г-1 (а), причем -Г-1^) —* 0 при з —> оо.

Теорема 3. Пусть выполнены предположения 1°,3°,4С', функционал II липшиц-непрерывен и, кроме того, выполнено одно из следующих условий:

а) / ограничена на ограниченных подмножествах из X;

б) для любого ограниченног о множества Т С Я х X существуют такие положительные числа «¿и М (зависящие от Т), что почти везде на Е

< ЯМИДМ) £ Г),

при !|/(г,г)|| > <1.

Тогда дифференциальное уравнение (4) имеет единственное решение <ро : Я —► X. Для этого решения справедлива оценка

1Ы1 < а-Чае-Ч^И/оН)}. (1)

Решение щ устойчиво и для разности решений справедлива оценка при 1>т

IЫ«) - у2(0Н < а-ЧГ-МП^С! - 6)) - (* - Г)]}.

где ц>] есть решение уравнения (4), удовлетворяющее начальному условию <Р](т) = С; и = 1,2).

При изучении вопроса существования почти периодического решения уравнения (4) в условиях Каратеодори приходится пользоваться почти периодичностью по Бору отображения / (вместо определения Бохнера), так как почти периодическая по Бохнеру измеримая функция всегда совпадает почти всюду с непрерывной почти периодической функцией.

Теорема 4. Пусть векторная функция / : R х S(f,r) X обладает следующими свойствами:

1) при каждом фиксированном t € R непрерывна по г £

Stf.r);

2) семейство функций Fz(t) = f(t,z) 6 Ах» -г 6 равномерно почти периодично по Бору;

3) почти везде на R выполнено условие (Ц",аз) - диссипа-тивности 4°.

Тогда дифференциальное уравнение (4) имеет единственное равномерно непрерывное почти периодическое решение <Ро : R —► X. Это решение устойчиво, удовлетворяет оценке (6), причем

mod(tpo) С mod{f/K) (К = <p{R)),

где через mod{g) обозначен модуль почти периодической функции д.

Б §4 изучаются дифференциальные уравнения с параметром вида

i = ßf(t,z), (7)

где 0 < ц < сю, отображение / диссипативно, удовлетворяет условию Каратеодори. Рассматривается асимптотика решения ipß(t) уравнения (7) при малых ß и при ß —* oo.

Теорема 5. Пусть выполнены все предположения теоремы 3 при условии а), / непрерывна по z равномерно относительно t Е R и, кроме того, пусть при каждом z € X существует равномерное среднее

г

д{г) - lim -- / f(a,z)ds.

0«-r-»oo t — T J

Тогда ip^t) —► <po(t) равномерно на всей оси при 0 < ¡л —<■ О (ifto(t) - решение уравнения g(z) = 0).

Теорема 6. Пусть выполнены все предположения теоремы 3 при условии а). Тогда фц -* ipco{t) при /л —► оо равномерно на каждом компактном множестве оси R. (<рто(0 - решение уравнения f(t,z) = 0).

В главе 3 рассматривается обратимость дифференциального оператора £ = d/dt — A(t) в условиях индефинитной дис-сипативности и сходимость метода Галеркина для диссипа-тивных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в гильбертовом пространстве.

В §1 получены конкретные условия регулярности (непрерывной обратимости) линейного дифференциального оператора £ = d/dt - A(t), действующего в гильбертовом пространстве Н = L2(R,H) и оценки нормы обратного оператора £-1.

Как хорошо известно3, для постоянной функции A(t) = Ао £ £{Н) необходимым и достаточным условием регулярности оператора Ло является отсутствие точек спектра а(А0) оператора А0 на мнимой оси. В общем случае, т.е. переменной A(t) условие равномерной отделенности спектров a(A(t)),t £ й от мнимой оси, не гарантирует существования оператора, обратного к £.

При дополнительном предположении индефинитной дис-сипативности и нормальности операторов A(t), t £ R получены конкретные условия обратимости операторов £, а также оценки нормы оператора £-1.

Из предшествующих работ отметим3'4, в которых установлен ряд достаточных условий обратимости оператора £.

В §2 обоснована сходимость метода Галеркина прибли-

женного нахождения решения дифференциального уравнения (4) с w - периодической по t и (U,32,а) - диссипативной правой частью f : Rx Я —у Н. Последнее означает, что для некоторого положительно определенного ограниченного оператора U (m||z||2 < (Uz,z) < М||г||2) \fz Е Н и некоторых аг> О, а > 2

Re(U(z - <),/(M) ~ f(h О) < - СГ Vz,< € H. Введем пространство H = Li([Q,w],H) сильно измеримых

ы

по Лебегу функций г : [0,w] Н с нормой | z |= {/ H^iJlpdi}1'2.

о

Определим проектор Рп : Н Н равенством (Pnz)(t) = Sn(z;t), где Sn(z;t) - частичная сумма ряда Фурье функции z(t), и рассмотрим уравнение

PnL(Pnz) = 0, (8)

где L(z) = z 4- F(z), (Fz)(t) = f(t,z(t)).

Обозначим решение этого уравнения через ipn. Связь между последовательностью приближений Галер-кина {<рп} и решением ip уравнения (4) устанавливает следующая

Теорема 3. Если непрерывная векторная функция / :йхЯ-+Я

а) и - периодична по t;

б) (Z/,ае,а) - диссипативна по z, то уравнение (8) при каждом п однозначно разрешимо и

lim | <pn - ip |= О

П.-+00

Наибольший практический интерес представляют

неасимптотические оценки скорости сходимости приближений Галеркина. Они могут быть установлены при некоторых дополнительных предположениях на /, например, таких:

I \\fit, г) - /(г, 011 < - СИ Vг, С £5(^,0; 3 \\fihz)- /(.%г)\\ <с(г)|г-5|Г 0<£<1, Уг е5(е,г).

Теорема 4. Если в дополнение к условиям теоремы 3 выполнено предположение I, то

I ¥>"-¥>!< 1(п+\)11{а-1\ п> 1,

где - постоянная (конкретно выписываемая через числовые характеристики функции /).

Теорема 5. Если в дополнение к условиям теоремы 4 выполнено предположение II и, кроме того, Л не зависит от г, то

I - Н< *2(п + 1)"^ (п > 0),

где в2 - постоянная (конкретно выписываемая через числовые характеристики функции /).

Отметим, что аналогичные результаты имеют место и в том случае, когда правая часть уравнения (4) удовлетворяет условию (и,аз,а) - индефинитной диссипативности (см. работу Трубникова Ю.Ю., Хацкенича В.Л. и автора [9]).

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям профессору А.Г.Баскакову, доценту Юрге-ласу В.В. и профессору Перову А.И. за помощь в работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Баскаков А.Г., Дашиева С.С. Оценки ограниченных решений индефинитно диссипативных уравнений /Вост./Сиб./ гос./технол./ун-т. - Улан-Удэ, 1995. - 10 е.- Деп. в ВИНИТИ 05.01.96, N 47-В96.

2. Дашиева С.С. Индефинитно монотонные дифференциальные уравнения с параметром //Тр./НИИМ ВГУ, Воронеж, 1975. - Вып.XVII - С.24-28.

3. Дашиева С.С. К теории монотонных дифференциальных уравнений /Иркутск, гос.ун-т. - Иркутск, 1978. - 16 с.-Деп. в ВИНИТИ 8.06.78, N 1202-В 78.

4. Дашиева С.С. О диссипативных дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве //Теория операторов в функциональных пространствах. Воронеж, 1983. - С.28-36.

5. Дашиева С.С. О параболических уравнениях с дисси-пативным нелинейностями /Воронеж./гос./ун-т. - Воронеж, 1987. - 28 с. - Деп.в ВИНИТИ 19.06.87, N 4478-В 87.

6. Дашиева С.С. О разрешимости задачи Коши для диссипативных уравнений /Воронеж./гос./ун-т. - Воронеж, 1987. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 19.06.87, N 4479-В 87.

7. Дашиева С.С. О регулярности индефинитно- дисси-пативного диффренциального оператора /Вост./Сиб./технол. /ин-т.-Улан-Удэ, 1994.-11 с.-Деи. в ВИНИТИ 31.03.89, N 3440В 89.

8. Трубников Ю.В.,Дашиева С.С. (и,гс,а)- монотонные уравнения //Дифференциальные уравнения.-1977.-Т.13,Ш2. -С.2213-2224.

9. Трубников Ю.В., Хацкевич В.Л., Лашиева С.С. Метод Галеркина в условиях монотонности //Дифференциальные уравнения. -1982.-Т.18, N 8, -С.1352-1362.

Подписано в печать 18.03.96г. Формат 60x84 1/16. Усл.п.л. 1,16, уч.-изд.д.0,6. Тираж 70 экз. С.Тб.

РИО ВЗГТУ. Улан-Удэ, ул.Ключевская,40,а. Отпечатано на ротапринте ВЗГТУ.