Метрические характеристики исключительных множеств и теоремы единственности в теории функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

§0.1. Цель работы и ее актуальность.

§0.2. Краткое содержание работы и научная новизна.

ГЛАВА I. Емкостные и метрические характеристики ограниченных множеств. Оценки потенциалов.

§1.1. Некоторые функции множеств.

§1.2. Мера Хаусдорфа и обхват симметричных обобщенных канторовых множеств.

§1.3. Емкость Ск{Е) симметричных обобщенных канторовых множеств.

§1.4. Емкости 7+ и 7 плоских канторовых множеств

§1.5. Построение т-мерных канторовых множеств по заданной измеряющей функции.

§1.6. Оценки потенциалов с положительными ядрами.

§1.7. Соотношения между внешней емкостью и /г-обхватом по Хаусдорфу

§1.8. О точности теоремы Фростмана.

§1.9. О различии между мерой Хаусдорфа и емкостью.

§1.10. Емкости 7, 7+и мера Хаусдорфа

ГЛАВА II. Оценки ¿-субгармонических функций вне исключительных множеств.

§2.1. Оценки типа Картана 5-субгармонических функций ограниченного вида в шаре.

§2.2. Оценки ¿-субгармонических в шаре функций с произвольно растущей характеристикой.

§2.3. ¿-субгармонические функции в шаре: случай

Р(г)(1 -г)"1"1 > с > 0.

§2.4. Случай ¿[(1< оо. Функции ограниченного вида.

§2.5. Контрпримеры.

Typeset Ьу Дд^-ТеХ

ГЛАВА III. Некоторые классы ¿-субгармонических функций с "правильным" асимптотическим поведением.

§3.1. Понятие функций вполне регулярного роста и его обобщение.

§3.2. Два класса исключительных множеств

§3.3. О существовании исключительных -множеств

§3.4. О существовании исключительных С°-множеств

ГЛАВА IV. Теоремы единственности.

§4.1. Обзор теорем единственности для аналитических функций в круге.

§4.2. Теоремы единственности для ¿-субгармонических функций в шаре.

§4.3. Функции ограниченного вида.

§4.4. О сумме значений функций из некоторых классов на последовательности точек.

§4.5. Об убывании аналитической в полуплоскости функции на последовательности точек.

§4.6. Применение к задаче аппроксимации с учетом величин коэффициентов аппроксимирующих полиномов.

§0.1. Цель работы и ее актуальность.

1. Цель работы. Основной целью диссертации является развитие метода, позволяющего получать точные метрические характеристики "исключительных" множеств, возникающих в различных вопросах теории потенциала и теории функций: аналитических, субгармонических и некоторых других. (О каких именно исключительных множествах идет речь, сказано ниже в п.п. 2 -5.) Составная (и наиболее трудная) часть этой проблемы - развитие техники построения контрпримеров, иллюстрирующих точность получаемых результатов. Мы ставим своей целью также развитие метода получения новых теорем единственности для аналитических и субгармонических функций, основанного на оценках их поведения вне исключительных множеств. Применение развитого аппарата позволяет не только рассматривать более общие постановки конкретных актуальных задач, но и в случаях, уже изучавшихся ранее различными авторами, получать более точные результаты.

Приступая к описанию направлений и задач данного исследования отметим, что во введении мы приводим лишь очень краткий обзор работ предшествующих авторов, никак не претендующий на полноту. Более подробное изложение известных результатов с полными библиографическими ссылками дается в основной части работы при рассмотрении соответствующего вопроса.

2. Исключительные множества. Как уже было сказано, множества, являющиеся в некотором смысле "исключительными", возникают во многих вопросах теории функций. Сюда относятся, например, множества, вне которых функция того или иного класса имеет правильное асимптотическое поведение (целые функции вполне регулярного роста, введенные Б. Я. Левиным и А. Пфлюгером - см. монографию Б. Я. Левина [1], или субгармонические функции различных классов - Ж. Лелон-Ферран [1], М. Эссен и Г. Джексон [1], В. С. Азарин [1]-[4], С. Ю. Фаворов [1]-[2] и др.); а также множества устранимых (соответственно, неустранимых) особенностей аналитических или гармонических функций (из очень обширной литературы отметим здесь книги Л. Карлесона [1], Дж. Гарнетта [2], С. Я. Хавинсона [5], У. Хеймана и П. Кеннеди [1], П. Маттилы [2]); возникают исключительные множества и в ряде других вопросов.

3. Емкостные и метрические характеристики. Широкое проникновение в теорию функций методов теории потенциала началось с фундаментальных работ Ф. Рисса [1], установившего в 1926-1930 г.г. представление субгармонической в области Б С т > 2, функции и в виде разно

Туреве1 Ьу сти гармонической функции и потенциала с положительной мерой и ядром K(t) = — logi, т = 2; Kit) — t2~m, т > 2. Дальнейшее развитие теории имеется в монографиях И. И. Привалова [1], М. Цудзи [1], У. Хеймана и П. Кеннеди [1], У. Хеймана [3], Л. Карлесона [1], Н. С. Ландкофа [2], П. Маттилы [2], Дж. Л. Дуба [1], Д. Адамса и Л. Хедберга [1]. Выяснилось, что именно емкостные характеристики, изучаемые в теории потенциала, позволяют описывать исключительные множества, возникавшие во многих вопросах. Однако емкостные характеристики, часто давая полное описание возникавших исключительных множеств, имеют и существенные недостатки: они менее наглядны и менее удобны для применений, чем метрические. Поэтому возникает и становится классической задача о сравнении емкостных и метрических характеристик множеств, рассматривающаяся во всех монографиях по теории потенциала и ее приложениям к теории функций. Здесь, прежде всего, следует упомянуть результаты О. Фростмана, С. Каметани, М. Оцуки, Л. Карлесона - см. Л. Карлесон [1], Н. С. Ландкоф [2]. В этих работах емкость множества Е сравнивается с мерой Хаусдорфа Л/г(Е) или с обхватом по Хаусдорфу Mh(E), порождаемыми некоторой измеряющей функцией h (непрерывной неубывающей на [0, оо) функцией, для которой /г(0) = 0). Основной полученный О. Фростманом результат утверждает, в частности, что если Л/1(£) > 0 и K(t) dh(t) < оо, (0.1.1)

Jo то Ск{Е) > 0; здесь К - положительное ядро потенциала, Ск{Е) - соответствующая емкость множества Е (О. Фростман рассматривал ядра К специального вида; мы цитируем результат по Л. Карлесону [1, IV, теорема 1]). Однако, необходимость условия (0.1.1) для справедливости результата не была исследована в полной мере: не было замечено, что это условие не является необходимым без дополнительных условий "регулярности" поведения функции Д, и тем более не изучался вопрос о том, какими должны быть минимальные дополнительные условия регулярности функции h, чтобы (0.1.1) стало необходимым для справедливости результата.

Актуальным является и вопрос о сравнении аналитической емкости 7(Е) и мер Хаусдорфа (эту задачу ставили и рассматривали Л. Д. Иванов [1] и Дж. Гарнетт [2]), а также тесно связанная с ней задача о сравнении меры Хаусдорфа и емкости порождаемой потенциалами Коши с положительными мерами. Эта тематика продолжает активно развиваться. В самое последнее время здесь появились, например, важные работы М. С. Мельникова [1], П. Маттилы [2]-[3] и X. Толсы [1].

4. Оценки аналитических и субгармонических функций вне малых множеств. Наряду с задачами о емкостных характеристиках множеств и их сравнении с метрическими развивалось и примыкающее к ним направление, связанное с оценками аналитических и субгармонических функций различных классов вне малых множеств, размеры которых непосредственно оценивались в метрических терминах. Большую роль здесь сыграла полученная А. Картаном [1] оценка модуля многочлена, легшая в основу многих исследований (Б. Я. Левин [1], Н. Г. Чеботарев и Н. Н. Мейман [1], Н. В. Говоров [1] и др.). Позднее

У. Хейманом [1] и Н. С. Ландкофом [1]—[2] был разработан другой метод для оценок потенциалов. При изучении поведения субгармонических функций исключительное множество традиционно оценивалось через сумму радиусов покрывающих кружков (или степеней радиусов шаров в случае т > 2). М. Эссен и X. Джексон [1] впервые использовали для этих целей более тонкую характеристику, введя в рассмотрение произвольную измеряющую функцию Ь и оценив величину h(ri/Ri), где п - радиус шара, а Щ - расстояние от его центра до начала координат. Но их метод работал лишь для субгармонических функций с достаточно "редкой" мерой ¡л в представлении Рисса. Другой подход применил В. С. Азарин [2]—[3], исследуя класс субгармонических функций в Кто, являющийся распространением класса целых функций вполне регулярного роста Левина-Пфлюгера. Однако в качестве измеряющих им были рассмотрены лишь степенные функции, что не позволило исследовать границы "малости" изучаемых множеств.

5. Теоремы единственности. С проблематикой, описанной в п. 4, тесно связано исследование теорем единственности следующего типа. Пусть задан некоторый класс Т субгармонических функций (или функций, представимых в виде разности двух субгармонических) в области В. Требуется найти условия на последовательность {хп} точек в £), стремящихся к сШ при п —> оо, и условия на допустимую скорость убывания функций из Т на этой последовательности, гарантирующие, чтобы из достаточно быстрого убывания функции и(х) € Т на {хп} следовало, что и(х) = —оо. Применительно к целым функциям теоремы такого типа рассматривались, например, в хорошо известных монографиях Н. Левинсона [1] и Р. Ф. Боаса [2]. Литература по данному вопросу также очень обширна (краткий обзор приводится в §4.1). Помимо самостоятельного значения, такие теоремы единственности имеют многочисленные применения, например: в проблеме моментов, в теории аппроксимации (подробнее см. §4.6).

6. Основные направления исследования. В соответствии с намеченными в п. 1 основными целями и описанными в п.п. 3-5 некоторыми актуальными для теории исключительных множеств вопросами, наши исследования ведутся в следующих направлениях:

1. Сравнение емкостных и метрических характеристик ограниченных множеств. Развитие техники построения контрпримеров множеств, выясняющих точность получаемых результатов. В частности, изучение вопроса о минимальных условиях на измеряющую функцию к, при которых условие (0.1.1) необходимо для справедливости результата типа теоремы Фростмана.

2. Метрические исследования, связанные с аналитической емкостью 7 и емкостью 7"1".

3. Точные метрические характеристики "малости" исключительных множеств, вне которых функции изучаемых классов имеют ту или иную оценку. Построение контрпримеров, показывающих точность полученных оценок.

4. Развитие метода получения новых точных теорем единственности на основании оценок аналитических или субгармонических функций различных классов вне исключительных множеств, включая и построение контрпримеров, иллюстрирующих точность результатов.

1. Functional spaces and potential theory. Springer-Verlag, 1996.Адаме Д., Мейерс H. (Adams D. R., Meyers N. G.)

2. Bessel potentials. Inclusion relations among classes of exceptional sets // Indiana Univ. Math. J. 1973. V. 22. N 9. P. 873-905.Азарин В. С.

3. Обобщение одной теоремы Хеймана на субгармонические функции в т-мерном конусе // Матем. сб. 1965. Т. 66(108). N 2. С. 248-264.

4. Об асимптотическом поведении субгармонических и целых функций / / Доклады АН СССР. 1976. Т. 229. N 6. С. 1289-1291.

5. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного порядка // Матем. сб. 1979. Т. 108(150). N 2. С. 147-167.

6. Теория роста субгармонических функций. Тексты лекций. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1978, 1982.Айкав а X. (Aikawa Н.)

7. On the behavior at infinity of non-negative superharmonic functions in a half space // Hiroshima Math. J. 1981. Vol. 11. P. 425-441.

8. Comparison of incapacity and Hausdorff measure // Complex Variables. 1990. Vol. 15. P. 223-232.

9. Capacity and Hausdorff content of certain enlarged sets // Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ. Ser. B. 1997. Vol. 30. P. 1-21.Айкава X., Эссен M. (Aikawa H., Essen M.)

10. Potential theory selected topics // Lecture Notes in Math. Vol. 1633. BerlinHeidelberg: Springer-Verlag, 1996.Алъфорс JI., Хейнс M. (Ahlfors L., Heins M.)

11. Questions of regularity connected with the Phragmen-Lindelof principle // Annals of Math. 1949. Vol. 50. N 2. P. 341-346.Бари H. К., Стечкин С. В.

12. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Труды ММО. 1956. Т. 5. С. 483-522.Воас Р. Ф. (Boas R. Ph.)

13. Remarks on a moment problem // Studia Math. 1953. Vol. 13. N 1. P. 59-61.

14. Entire functions. N. Y.: Academic Press, 1954.Брело M. (Brelot M.)

15. О топологиях и границах в теории потенциала. М.: Мир, 1974.Вагаршакян А. А.

16. Теоремы единственности для ограниченных аналитических функций и их приложение в теории аппроксимации // Изв. АН Арм. ССР. Математика.Typeset by Д/ViS-TeX1977. Т. 12. N 5. С. 345-357. Витушкин А. Г.

17. Пример множества положительной длины и аналитической емкости нуль //Докл. АН СССР. 1959. Т. 127. N 2. С. 246-249. Гарнетт Дж. (Garnett J.)

18. Positive length but zero analytic capacity // Proc. Amer. Math. Soc. 1970. Vol. 21. P. 696-699.

19. Analytic capacity and measure // Lecture Notes in Math. Vol. 297. SpringerVerlag, 1972.Гирнык M. A.

20. Об асимптотических свойствах некоторых канонических произведений. II. // Сиб. матем. журн. 1976. Т. 17. N 5. С. 967-985.

21. Асимптотика канонических интегралов Пикара// Сиб. матем. журн. 1995. Т. 36. N 1. С. 37-46.Говоров Н. В.

22. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге // Теория функций,функц. анализ и их прил. (Харьков). 1968. Вып. 6. С. 130-150. Говоров Н. В., Попов А. Ф., Ясинская Д. И.

23. Об одной теореме единственности из теории целых функций // Матем. анализ и его прилож. / Ростовский гос. ун-т., 1975. Т. 7. С. 226-229. Голъдберг А. А., Островский И. В.

24. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. Голъдберг А. А., Левин Б .ЯОстровский И. В. и др.

25. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техники. Совр. пробл.матем. Фундам. направления / ВИНИТИ, 1991. Т. 85. С. 5-185. Гришин А. Ф.

26. О регулярности роста субгармонических функций // Теория функций, функц. анализ и их прил. (Харьков). 1968. Вып. 6. С. 3-29; 1968. Вып. 7. С. 59-84; 1969. Вып. 8. С. 126-135. де Гузман М. (de Guzman М.)

27. Differentiation of integrals in Rn // Lect. Notes in Math. Vol. 481. BerlinHeidelberg-New York: Springer-Verlag, 1975. Даникас H. (Danikas N.)

28. On an identity theorem in the Nevanlinna class «V // J. Approx. Theory. 1994.V. 77. P. 184-190. Дуб Дж. Л. (Doob J. L.)

29. Classical potential theory and its probabilistic counterpart. Springer-Verlag,1984. Ерохин B.

30. Связь между метрической размерностью и гармонической емкостью // Успехи мат. наук. 1958. Т. 13. Вып. 6(84). С. 81-88. Ибрагимов И. И., Аршон И. С.

31. О полноте системы {хА"> на кривой // Докл. АН СССР. 1973. Т. 209. N 1.С. 29-32. Иванов Л. Д. (Ivanov L. D.)1. // Linear and complex analysis problem book 3. Vol. 2. Lecture Notes in Math. 1574. Springer-Verlag, 1994. P. 151-152.Казьмин Ю. А.

32. Вариации на тему теоремы Карлсона // Матем. заметки. 1992. Т. 52. N 5.С. 49-55. Карлесон Л.

33. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М.: Мир, 1971. Картан A. (Cartan H.)

34. Sur les systèmes des fonctions holomorph.es à variétés linéaires et leurs applications // Ann. École Norm. Sup. Ser. 3. 1928. P. 255-346. Кахан Ж. (Kahane J. P.)

35. Extension du théorème de Carlson et applications // С. R. Acad. Sci. Paris.1952. V. 234. N 21. P. 2038-2040. Кахан Ж., Салем P. (Kahane J. P., Salem R.)

36. Ensembles parfaits et séries trigonométriques. Paris: Hermann, 1963. Коревар Ж. (Korevaar J.)

37. Approximation on curves by linear combinations of exponentials // In: Approximation theory (ed. Lorentz G. G.). N. Y.: Acad. Press, 1973. P. 387-393. Коревар Ж., Зейнстра P. (Korevaar J., Zeinstra R.)

38. Transformées de Laplace pour les courbes a pente bornee et un résultat correspondant du type Miintz-Szâsz // C. R. Acad. Sci. Paris. 1985. V. 301. Ser. I. N 14. P. 695-698. Крайст M. (Christ M.)

39. Lectures on singular integral operators // Regional Conference Series in Math.N 77. Providence: Amer. Math. Soc., 1990. Красичков-Терновский И. Ф.

40. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремытипа Левинсона // Матем. заметки. 1978. Т. 24. N 4. С. 531-546. Кудина Л. С.

41. Оценки для функций, пред ставимых в виде разности субгармонических в шаре // Теория функций, функц. анализ и их прил. (Харьков). 1971. Вып. 14. С. 59-67. Ландкоф Н. С.

42. Емкости и меры Хаусдорфа. Оценки потенциалов // Успехи матем. наук. 1965. Т. 20. Вып. 2(122). С. 189-195.

43. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966. Левин Б. Я.

44. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956.

45. Дополнения и исправления к книге "Распределение корней целых функций" // Препринт ФТИНТ АН УССР. Харьков: ФТИНТ, 1978.Левинсон H. (Levinson N.)

46. Gap and density theorems. (Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. Vol. 26.) N. Y.:Amer. Math. Soc., 1940.Лелон-Ферран Ж. (Lelong-Ferrand, J.) /

47. Etude au voisinage de la frontière des fonctions surharmoniques positives dans un demi-espase // Ann. Sci. École Norm. Sup. Ser. 3. 1949. Vol. 66. P. 125-159. Леонтьев A. Ф.

48. О росте целой функции экспоненциального типа на последовательности точек // Матем. сб. 1975. Т. 96(138). N 4. С. 601-613.

49. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.Любарский Ю. И., Сейп К. (Lyubarskii Yu. I., Seip К.)

50. A uniqueness theorem for bounded analytic functions // Bull. London Math. Soc. 1997. Vol. 29. P. 49-52.Мазъя В. Г., Хавин В. П.

51. Нелинейная теория потенциала // Успехи матем. наук. 1972. Т. 27. Вып. 6(168). С. 67-138.

52. О решениях задачи Коши для уравнения Лапласа (единственность, нормальность, аппроксимация) // Труды Моск. матем. об-ва. 1974. Т. 30. С. 61-114.Маттила П. (Mattila Р.)

53. A class of sets with positive length and zero analytic capacity // Ann. Acad. Sci. Fenn. 1985. Vol. 10. P. 387-395.

54. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press, 1995.

55. On the analytic capacity and curvature of some Cantor sets with non-cr-finite length // Public. Matem. 1996. Vol. 40. P. 195-204.Маттила П., Мельников M. С. и Вердера Ж. (Mattila P., Melnikov М. S. andVerdera J.)

56. The Cauchy integral, analytic capacity and uniform rectifiability // Ann. of Math. 1996. Vol. 143. P. 1-10.Мейман H. H.

57. Об оценке сверху потенциала плоского электростатического поля // Докл. АН СССР. 1972. Т. 202. N 6. С. 1268-1270.

58. К теории функций ограниченного вида // Докл. АН СССР. 1972. Т. 204. N 1. С. 34-37.Мельников М. С.

59. Аналитическая емкость: дискретный подход и кривизна меры // Матем. сб. 1995. Т. 186. N 6. С. 57-76.Мельников М. С., Вердера Ж. (Melnikov М. S., Verdera J.)

60. A geometric proof of the L2 boundedness of the Cauchy integral on Lipschitz graphs // Internat. Math. Res. Notices. 1995. Vol. 7. P. 325-331.Микусинский, Рылл-Нардзевский С. (Mikusinski J. G., Ryll-Nardzewski C.)

61. A theorem on bounded moments // Studia Math. 1953. Vol. 13. N. 1. P. 51-55.Моримото Мицуо и Ешино Кунио (Morimoto Mitsuo and Yoshino Kunio)

62. A uniqueness theorem for holomorphic functions of exponential type // Hokkaido Math. J. 1978. Vol. 7. N. 2. P. 259-270.Мурадян О. A.

63. О росте коэффициентов аппроксимирующих агрегатов в теореме Мюнца // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1973. Т. 8. N 1. С. 70-87.

64. О некоторых теоремах единственности и величинах коэффициентов аппроксимирующих агрегатов в задаче Мюнца // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1977. Т. 12. N 6. С. 435-446.Мураи Т. (Murai Т.)

65. A real variable method for the Cauchy transform and analytic capacity // Lecture Notes in Math. 1307. Springer-Verlag, 1988.

66. Construction of H1 functions concerning the estimate of analytic capacity // Bull. London Math. Soc. 1987. Vol. 19. P. 154-160.Нетрусов Ю. В.

67. Оценки емкостей, связанных с пространствами Бесова // Зап. научн. сем.ПОМИ. 1992. Т. 201. С. 124-156. Оцука M. (Ohtsuka M.)

68. Capacite d'ensembles de Cantor generalises // Nagoya Math. J. 1957. Vol. 11.P. 151-160 . Привалов И. И.

69. Субгармонические функции. M.: ОНТИ, 1937.

70. Граничные задачи теории гармонических и субгармонических функций в пространстве // Матем. сб. 1938. Т. 3(45). N 1.

71. Введение в теорию функций комплексного переменного. 12-е изд., стереотип. М.: Наука, 1977.Рисс Ф. (Riesz F.)

72. Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport à la théorie du potentiel. I. // Acta Math. 1926. Vol. 48. P. 329-343; II. // Acta Math. 1930. Vol. 54. P. 321-360. Ронкин JI. И.

73. Целые функции // Итоги науки и техники. Совр. пробл. матем. Фундам.направления / ВИНИТИ, 1986. Т. 9. С. 5-36. Рубель Л. А. (Rubel L. А.)

74. Necessary and sufficient conditions for Carlson's theorem on entire functions //Trans. Amer. Math. Soc. 1956. Vol. 83. N 2. P. 417-429. Тейлор С. (Taylor S. J.)

75. On the connection between Hausdorff measures and generalized capacity // Proc.Cambridge Philos. Soc. 1961. Vol. 57. N 3. P. 524-531. Толса X. (Toisa X.)

76. Curvature of measures, Cauchy singular integral and analytic capacity // Thesis.Departament de Matemàtiques, Universität Autónoma de Barcelona, 1998. Угаэри T. (Ugaheri T.)

77. On the general potential and capacity // Jap. Journ. Math. 1950. Vol. 20.P. 37-43. Ушакова И. В.

78. Теорема единственности для функций, голоморфных и ограниченных в единичном круге // Докл. АН СССР. 1960. Т. 130. N 1. С. 29-32.

79. Некоторые теоремы единственности для функций, субгармонических и ме-роморфных в единичном круге // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137. N 6. С. 1319-1322.

80. Некоторые оценки субгармонических функций в круге // Ученые записки Харьковского ун-та. Т. 135. Записки мех.-мат. ф-та и Харьковского матем. об-ва. 1963. Т. 24. Сер. 4. С. 53-66.

81. Некоторые оценки субгармонических функций в шаре // Теория функций, функц. анализ и их прил. (Харьков). 1965. Вып. 1. С. 219-223.

82. Асимптотические оценки разности субгармонических функций в плоскости // Вестник Харьковск. ун-та. Сер. мех.-мат. 1970. Вып. 34. С. 70-81.

83. Об одной теореме единственности для функций, голоморфных и ограниченных в полуплоскости // Депонировано в ВИНИТИ 21 июля 1980 г., N 319780. 9 С.Фаворов С. Ю.

84. О множествах понижения для субгармонических функций вполне регулярного роста // Сиб. матем. журн. 1979. Т. 20. N б. С. 1294-1302.

85. О множествах понижения роста для целых и субгармонических функций // Матем. заметки. 1986. Т. 40. N 4. С. 460-467.Фанъ-Цзи, Дейвис Ф. (Ку Fan, Davis Ph.)

86. Complete sequences and approximation in normed linear spaces // Duke Math.J. 1957. V. 24. N 2. P. 189-192. Фридман A. H.

87. Оценки снизу субгармонических функций // Депонировано в ВИНИТИ 22 июня 1979 г. N 2439-79. 26 С.

88. Оценки снизу субгармонических функций // Украинский матем. журн. 1980. Т. 32. N. 5. С. 701-706.Хавинсон С. Я.

89. Об экстремальных задачах для функций, удовлетворяющих дополнительным ограничениям внутри области, и применении этих задач к вопросам аппроксимации // Докл. АН СССР. 1960. Т. 135. N 2. С. 270-273.

90. Теория экстремальных задач для ограниченных аналитических функций, удовлетворяющих дополнительным условиям внутри области / / Успехи матем. наук. 1963. Т. 18. Вып. 2(110). С. 25-98.

91. Некоторые вопросы полноты систем // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137. N4. С. 793-796.

92. О понятии полноты, учитывающем величины коэффициентов аппроксимирующих полиномов // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1971. Т. 6. NN 2-3. С. 221-234.

93. Множества устранимых особенностей аналитических функций. М.: МИСИ, 1982; Дополнительные вопросы теории устранимых особенностей аналитических функций. М.: МИСИ, 1982.Хатано К. (Hatano К.)

94. Questions of regularity connected with the Phragmen-Lindelof principle // J. math, pures et appl. 1956. V. 32. N 2. P. 115-126.

95. Мероморфные функции. M.: Мир, 1966.

96. Subharmonic functions. V. 2. Academic Press, 1989.

97. Identity theorems for functions of bounded characteristic // J. London Math. Soc. (в печати)Хейман У., Кеннеди П.

98. Субгармонические функции. Т. 1. М.: Мир, 1980. Цудзи М. (Tsuji М.)

99. Potential theory in modern function theory. Tokyo: Maruzen, 1959.Чеботарев Н. Г., Мейман Н. Н.

100. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций // Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1949. Т. 24.Чоу Й. С., Трент Т., Вонг Ж. Л.-М. (Chow У. S., Trent Т., Wang J. Li-Ming)

101. A separating problem on function spaces //J. Math. Anal, and Appl. 1985. V. 111. N 1. P. 177-187.Шагинян А. Л.

102. О некоторых неравенствах и их применениях в теории функций // Докл. АН СССР. 1959. Т. 129. N 2. С. 284-287.

103. Об одном основном неравенстве в теории функций и ее приложениях // Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.-матем. наук. 1959. Т. 12. N 1. С. 3-25.Шатте П. (Shatte Р.)

104. Uber beschrankte analytische Funktionen // Math. Nachr. 1967. Bd. 34. N5/6. S. 257-275.Шахвердян А. Ю.

105. Об убывании ограниченных аналитических в круге функций // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1979. Т. 14. N 3. С. 157-167.

106. Гиперболическая емкость и скорость убывания мероморфных в круге функций // Докл. АН Арм. ССР. 1979. Т. 68. N 2. С. 88-95.

107. К теоремам A. JI. Шагиняна о предельном убывании мероморфных функций // Докл. АН Арм. ССР. 1980. Т. 70. N 5. С. 266-273.Эйдерман В. Я. (Eiderman V. Ya.)

108. Теорема единственности для мероморфных функций // Изв. АН Арм. ССР. Математика. 1980. Т. 15. N 2. С. 110-126.

109. О радиусах исключительных дисков в оценке снизу модуля функции ограниченного вида // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36. Вып. 6(222). С. 233-234.

110. Оценки вне исключительных множеств для ¿-субгармонических функций в шаре // Депонировано в ВИНИТИ 3 ноября 1981 г. N 5030-81. 36 С.

111. Об убывании ¿-субгармонических в шаре функций на последовательности точек // Депонировано в ВИНИТИ 18 мая 1982 г. N 2514-82. 18 С.

112. Об убывании аналитической в полуплоскости функции на последовательности точек // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24. N 2. С. 180-192.

113. Оценки вне исключительных множеств и теоремы единственности для ¿-субгармонических функций // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: 1983. 130 С.

114. Об исключительном множестве в асимптотических оценках субгармонических функций // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29. N 6. С. 185-196.

115. О сравнении меры Хаусдорфа и емкости // Алгебра и анализ. 1991. Т. 3. N 6. С. 173-188.

116. О сумме значений функций из некоторых классов на последовательности точек // Изв. вузов. Математика. 1992. N 1. С. 89-97.

117. Commentary on a conjecture of L. D. Ivanov // Linear and complex analysis problem book 3. Vol. 2. Lecture Notes in Math. 1574. Springer-Verlag, 1994.P. 152-153.

118. Метрические характеристики исключительных множеств, возникающих в оценках субгармонических функций // Матем. сб. 1994. Т. 185. N 10. С. 145-160.

119. Об аппроксимации полиномами с малыми коэффициентами // Матем. заметки. 1995. Т. 57. N 1. С. 150-153.

120. On the connection between Hausdorff measure and capacity // Theory of functions and applications. Collection of works dedicated to the memory of Mkhitar M. Djrbashian. Yerevan: Louys Publishing House. 1995. P. 41-45.

121. Analytic capacity of Cantor sets // Proceedings of the International Conference on Potential Theory 1994 (Kouty, Czech Republic). Ed. by I. Netuka et al. Berlin-N.Y.: Walter de Gruyter, 1996.

122. Оценки ¿-субгармонических функций в шаре вне исключительных множеств // Современные проблемы теории функций и их прилож. Тезисы докладов 8-й Саратовской зимней школы 30 января 6 февраля 1996 г. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1996. С. 125-126.

123. Оценки потенциалов и ¿-субгармонических функций вне исключительных множеств // Изв. РАН. Математика. 1997. Т. 61. N 6. С. 181-218.

124. Сравнение емкостей с мерой Хаусдорфа // Современные проблемы теории функций и их прилож. Тезисы докладов 9-й Саратовской зимней школы 26 января 1 февраля 1998 г. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 1997. С. 170.

125. Мера Хаусдорфа и емкость, ассоциированная с потенциалами Коши // Матем. заметки. 1998. Т. 63. N 6. С. 923-934.

126. On exceptional sets for superharmonic functions in a halfspace: an inverse problem // Math. Scand. 1995. Vol. 76. P. 273-288.

127. Harmonic majorization of | in subsets of R™, n > 2// Ann. Acad. Sci. Fenn. Mathematica. 1996. Vol. 21. P. 223-240.Эссен M., Джексон X. (Essen M., Jackson H. L.)

128. A comparison between thin sets and generalized Azarin sets // Canad. Math. Bull. 1975. Vol. 18. N 3. P. 335-346; C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. A. 1973. Vol. 277. P. 241-242.

129. On the covering properties of certain exceptional sets in a half-space // Hiroshima Math. J. 1980. Vol. 10. P. 233-262.Эссен M., Джексон X. и Риппон Ф. (Essen М., Jackson Н. L. and Rippon P. J.)

130. On minimally thin and rarefied sets in Rp, p > 2 // Hiroshima Math. J. 1985. Vol. 15. P. 393-410.