О единственности решений первой смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

СЛИВИНЛ НАТАЛЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02. - Дифференциальные уравнени».

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание степени канлилата физико-математических наук

МОСКВА 1992

' Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского ордена Ленина я ордена Октябрьской революции энергетической . институте.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор И. И. Летрушко.

Официальные оппоненты: доктор фяэико-катенатическнх наук.

профессор кислов Н. В.

кандидат физкко- математических наук.

доцент Гайдекко C.B.

Ведупая организация: Московский государственный университет

К. 033.16.16 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском энэргетическон институте по адресу;

10383В, г.Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Ученый Совет МЭИ, ауд. М-714.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КЭИ.

в

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

В. П. Григорьев.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность таны. Исследование поведения вблизи границы решения дифференциальных уравнений в частных производных к связанные с ним вопросы единственности решений соответствующих задач - одни кз важнейших т давно изучаемых разделов качественно! теории дифференциальных уравнений. в настоящей диссертации рассматривается круг задач, посвященных исследованию единственности решений граничных задач с исключительными множествами на границе области для параболических к вырождающихся на границе области параболических уравнений второго порядка.

Одной из первых работ в этом направлении была работа П. «ату1'1906 года, в которой доказано, что ограниченная в единичном круге аналитическая функция имеет почти всюду на границе круга некасательные предельные значения. ♦ . и М. Риссы21 показали, что такая функция тождественно равна нулю, если она имеет нулевые радиальные пределы на некотором подмножестве границы Г положительной линейной меры Лебега. И.И.Привалов и Н.Н.Лузин'" показали, что в теореме Риссов условие положительности меры подмножества Г существенно, а в работе Л. Карлесона*1 показано, что если условие ограниченности аналитической функции заменить, напрнер, условием конечности ее интеграла Дирихле, то множество Г может иметь нулевую линейную меру.

1) Fatou P. Séries trigonooétriques et séries de Taylor// Acta Hath..1906.V.30.P.335-340.

г) Ries F., Ries H.. Uber die Randwerte einer analytischen Funktion. 4 Cong. Scand.Math. Stochola. 1916. P.27-44. за Н.Н.Лузин, И.И.Привалов. Граничные свойства аналитических функций. И:Гостехиздат. 1930.

о L.Carleson. Sets of uniqueness for functions regular in the unite circle// Acta Math. 1952. V.«7. P.325-345.

Единственность решения граничных задач с исключительными множествами на гранте области тоже имеет длительную историю, в 1928 году М. Пиконе11 рассмотрел уравнение, гладкое решение которого однозначно определяется самим уравнением. Принципиальное значение имели работы И.В.Келдыша2! В работе 1941 года им доказана теорема единственности в классе ограниченных функций, когда граничные условия заданы вне " множества нулевое емкости. И.В.Келдыш впервые обнаружил, что для эллиптических в области, вырождающихся на границе, уравнений часть границы может быть свободна от задания граничных условий при однозначной разрешимости в классе ограниченных функций.

В 1936 году опубликована работа Г. Фккеры3,' где для общего эллкптхко-параболического уравнения второго порядка предложено простое условие для определения части границы, которая освобождается от граничных условий. Здесь же он доказал

существование обобщенного из X. решения такой задачи.

р

Дальнейшие исследования в этом направлении продолжены в работах О. Д.Олейник и Е.В. Радкевмч. В.П. Кххайлова . В. П. Михайлова и Л.К.Гущина , К. И. Виоика , В. И. Вр&гова , С. Л. Терсенова, Е.М. Лаидиса, Отметим также работы С. Д. Эйдельмана, С. Л. Ивасишена, И. Н. Петруако, А. И-Ибрагимова, С. В. Гайденко.

i) H.Plcone. Hagglorazlone degll interali derívate parzlali del secondo ordine// Ann. Hat. pura e appl. 1929. si X. В. Келдыш, о разрешимости и устойчивости задачи Дирихле// Успехи матем. наук. 1941. Т. 3, N 171. С. 171-231.

И.В.Келдыш. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области// ДАНСССР. 1951. Т.77, Н2. С. 181-183.

3) G.richer«. On a uifieled theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order. Boundary problems In differential equations.The University of Wisconsin Press. Hadlson. I960. P.97-120.

Е. М. Ландисом" получено достаточное условие единственности ограниченного решения задачи Дирихле с исключенный множествен на границе области для эллиптического уравнения второго порядка с разрывным* коэффициентами. Ограничения на размер исключительного множества сформулированы им в терминах и-емкости.

Наиболее близкими к исследуемому кругу вопросов являются работы С. В. Гайденко2.' Им исследовано поведение вблизи границы решений задачи Дирихле и задачи НеКкана в ограниченной области с исключительным множеством на границе области для линейного эллиптического уравнения второго порядка с гладкими коэффициентами. Доказаны точные теоремы единственности обобаенных

решений этих задач в X. Ограничения на "размер" исключительного р

множества сформулированы в терминах меры Хаусдорфа.

Целью работы является изучение классов единственности решения смешанной задачи для для параболических и вырождающихся параболических уравнений второго порядка с исключительными множествами на границе области.

1) Е.М. Ландис. Теоремы о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка// Труды Московского математического общества. 1981. N42. С. 50-63.

Е. М. Ландис. О структуре несущественного относительно задачи Дирихле множества для эллиптического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами// Труды Московского Математического общества. 1983. N46. С. 124-135.

2) С. В. Гайденко. Об исключительных множествах на границе и единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка// Матем. сб. 1980. 1.111(153), N1. С. 116-134.

С. В. Гайденко. Об исключительных множествах на границе ■ единственности решения второй и третьей краевых задач для эллиптического уравнения// Матем. сб. 1984. Т. 125(167), N3. С. 347-363.

Научная новизна. Впервые получены точные ограничения на "размер" исключительного множества на транше области, свободного от задания граничных условий, при которых классы функций, допускающие рост вблизи границы, являются классами единственности первой смешанной задачи для параболических и вырождающихся парабпхческхх уравнений второго порядка. Ограничения на размер исключительных множеств получены в терминах меры Хаусдорфа.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на на семинаре НЭИ по дифференциальным уравнениям (рук. профессор Ю. А. Дубинский, профессор С.А.Ломов, чл. корр. АН СССР, профессор С. И.Похожаев);на семинара профессора В. Н.Врагова; на семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством профессора К. К. Петрушко ; на научных конференциях КЗИ в 1985 и в 1988 г. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] - 14].

Структура диссертации. .Диссертация изложена на 75 страницах и состоит из введения, двух глав м списка литературы, содержащего 34 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении к диссертации дается краткий исторический обзор, обосновывается актуальность темы диссертации и приводится аннотация основных результатов, полученных в ней.

В первой главе изучается вопрос единственности решения первой смешанной задачи в цилиндре с исключительным множеством на поверхности цилиндра для параболического уравнения второго порядка.

Пусть О - ограниченная область в Н ( х « (х{,х2,... ,хп) - точка в 1?п ), граница которой во - (п-1 {-мерная поверхность без края класса С2.

Обозначим подмножество 0:

о. ' » п т1п|х-у| > а ) I У€0О >

Известно, что существует такое налое число i >0. что для всех 5 с (0,5,] подмножество Q. является областью с границей aQ¿ класса С . При этом при любом S с (°>¿0) Для любой точки x„cdQ существует единственная точка x(<dQt, отстоящая от х

О О о О

на расстояние 4 - |х4-хо|«5 :

xí"lt¿(xo»°V5l''xo»' где И*0) * ,vx,... .»'„)- единичный вектор внешней

относительно 0 нормали к SQ в точке xQ.

Обратное отображение имеет вид:

и^(х^) « t>(xo(x^)) - единичный вектор внешней относительно

нормали к 5Q. в точке х..

о о

Через Qj обозначим цилиндр Q*(0,T) , при этом QT ■ qj. Рассмотрим в 0т линейное дифференциальное уравнение второго порядка

«■«- £-ié + )-' ' (1)

П

♦£■,<*.*>•§; ♦a(x,t) u-f(x,t»

í-i 1

с вещественными коэффициентами a(j(x,t) я л (ж,t), a^x.t),

i,j " l,n, принадлежащими c'jS,)» a(x,t) < C(QT).

Будем предполагать уравнение параболическим в §т. то есть, что существует г > 0 такое, что для всех (x,t) « Qr и для всех действительных С ■ ... ,in) « R" имеет место неравенство

п

3Е е, » T-ICI2-

i, j-i

Пусть заданная в Qt функция u(x,t) является решением из (0.) уравнения ( 11 с правой частью f(x,t) из L (Q ),

2, Юс Т 2, loe Т

то есть для всех финитных в О, функций v(x,t) • И (QT) имеет место равенство

« т

и ♦ v ♦..«•т)«1ж - и гуйх.

ос -ое-

Тогда для всех финитных по х а О функций и(х,1) с И1(0Т) « любых Р,Т', 0<р<Т <Т, справедливо

|и(х,Т')-и(х,Т')<1х - |и(х,0)у(х,0)с1х+ О О

т' к п Т

♦ ц1е + ¿аи-и/ * ]Г ».л;* + а и и)«1х р о ' '" Р о

Из условий на коэффициенты уравнения и принадлежности правой части пространству Ьа |ое(От) следует, что обобщенное

решение смешанной задачи из (а,) на самок деле принадлежит

2 , 1 о С Т

пространству н,'|ое(0т)'

Будем говорить, что функция и(х,г) из н^'°ое(01) слабо стремится к нулю в точке (хо,1о) с |в13*(0,Т)|, если существует

т&хая окрестность и(хо,1о) с |вОх(о,Т)| точки (хс,1о), что для всех Ъ(х,г) « С1^)

11т Ь(х,г)-и(х.(х),1))ЙВ(Л « 0. (2)

5-+0 \ 6

«1*о'1о>

И будем говорить, что функция и(х,Ь) из иг'°ос(0т) слабо стремится к нулю при г-Ю в точке х0« 0, если существует такая окрестность У(хо) с 0 точки х0, что для всех д(х) < С(0)

lim u(x,<3) g(x)dx « 0. (3)

ß-0

V(xo)

Рассматривается первая смешанная задача для уравнения (1) в случае, когда обобщенное решение уравнения прхнинает граничные значения в смысле (2) не для всех точек боковой поверхности цилиндра, а для

(x,t) « |aQx(0,T)j\Et, Etс |sQx(0,T)|.

Е^- замкнуто и nes^Ej» О, и начальное значение в смысле (3) для xeQ\£72, 'Е^с Q, Е^- замкнуто п mes Е = 0.

п 2

Обозначим через Лш(Е). s>0 . Хаусдорфову меру порядка s множества Е, то есть

Л (Е) = lim inf{ Т г", г < с

S7> ' ;

здесь точная нижняя грань берется по всем покрытиям множества Е счетными наборами шаров S( радиусов г(.

Основной теоремой первой главы является

ТЕОРЕМА 1 (Теорема единственности).

Пусть обобщенное решение u(x,t)-K3 уравнения

Lu «« 0 принадлежит пространству при некоторой

, » ) и пусть Е- некоторое замкнутое подмножество боковой

поверхности |б<3*(0,Т)| цилиндра конечной хаусяорфовой меры

порядка п+1-ч (1/р + 1/4 =1),а Ег~ некоторое занкнутое подмножество нижнего основания О конечной хаусдорфовой меры порядка

Если и(х,Ъ) слабо стремится к нуле в смысле (2) в каждой точке (хо,го) с |э(1х(о,Т)|\Е1 и слабо стремится к кулю при I- +0 в смысле (Э) в каждой точке хо«(3\Ег, то и(х,г) ■ 0.

Спразедливость теоремы вытекает из утверждения следующей леммы.

ЛЕКМА 1.4. Пусть и(х,х.) - обобщенное решение аз уравнения 1л| •* 0, слабо стренящеесх к нулю в смысле равенства (2)

в каждой точке множества 0,Т)|\£, * слабо стремящееся к нулю

при 1»+0 в смысле равенства (3) в каждой точке множества <3\£г.

Если и«1. (0^, то для любой функции у(х,1)сС2'1 (5т), такой,

что у(х,£)| »0, у(х,Т) « 0, справедливо

|Э0х(О,Т>

Доказательство леммы 1.4 основывается на интегральном тождестве для решения и(х,Ч из М2'°ОС(0Т) уравнения 1и « О

|и(х,Т') у(х,Т*)<»х - |и(х,0) м(х,Р)ах+

О <1

т' » т'

♦ [йч(-и-5?+ ]Г ♦ «•«■")««* - [«".[г-уасйх

Э О ' ' | 1

и справедливости ленки:

>.о

ЛЕММА 1.3 Пусть и(х,1) обобщенное решение из нг уравнения 1.и • О, слабо стремящееся к нулю в каждой точке

множества |в<]х(0|Т)|\Е'| в смысле (2) и слабо стремящееся к нулю

при 1->+0 в каждой точке множества 0\£2 в смысле (3). Если и(х,г)сЬ|(Ог), то для любого с>0 и любой функции у(х,г.) из С2'^,) такой, что у(х,1)*0 для всех (ж,г) « ао*(0,Т') ■ у(х,Г') »0, х л О, справедливо равенство

«г Vе'

|иа*[у[1- ^ С,(х,1)) (1- | С,(*.1))]<1х<11»0, - ®т'.

Г ïmi(c) f )тг(с) здесь * семейства функций из лемм 1. 1 х

'"* i хm {с J , чш (с

1.2, построенные по покрытхям * множеств Е} х Е.

ЛЕММА 1,1. Для произвольного с > 0 и построенного по нему пок-

• <С)

рытхя •jKi ^ множества Е конечной хаусдорфовой меры порядка s>0

,» (С)

Г Г'С| Г'}

V У 1.1

( ЛШ1еI »

существует семейство функций (x,t)| , ^(x.tJíC (Rn„)»

' J i « i

ra(c) m(c')

F (x,t) ■ 0 вне M , i » l,m(c), Y Ç,(x,t) £ Ç,(x,t) = 1,

i-i i-i

ra(c)

для всех (x,t)« U |='К I, x=(x.,...,x ), и такая положительная

(x,t)<= U |§К,), х=(х1(...,хп),

константа С, зависящая только от п и не зависящая от с, что для

всех (x,t) « и 1=1,ш(с) справедливо

С

1

àflV*'" s "Г

1 г«1 ' к

I

lar Iе

I л2 ^ I с

I ах.ах I а^

ЛЕИНА 1.2. Пусть задано произвольное с > О и пусть .С,

|К(| построенное по неку покрытие кубами К1 множества Е

конечной хаусдорфовой меры порядка а > р. Рассмотрим семейство параллелепипедов

п, ■ >*l 1 " {(*.t), x € K( с Rn, |t| < a* J .

Г 1B<C>

Тогда существует семейство функций > C,(x,t) « С (Rn<1)

<■(*.«) ■ О вне 2п» ?C.(*,t) « 1 для всех (х,t)c U [§'П,1 • ■

1 «1 I -11 '

такая положительная константа С, зависящая от п и не зависящая от с, что для всех (х, t) « R и i«l,m(c) справедливо

!>«1

IIе 1 ' ак

1

I - г I е

1 I г•1 1 к(

Э2 г |С _

у с(х,1) « — , .,1-1,п «Х18x^-1 Г •

Требования на "размер" исключительных множеств в определенном сикеле неулучоаемы. Например. если вместо лп.2(1 „|'Е2'<" (£2* множество на нижнем основании цилиндра) потребовать

А (Е,)>0 при в> п«-2 (1-я) , то пространство I. не будет классом ■ з р

единственности. А точнее, справед- ливо следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 2. Пусть От»<МО,Т) - цилиндр в О «{|х|<1}, р-произ-

вольное число из интервала (^р, ») к ве(п+2( 1-я),п], 1/р+1/<1«1. Тогда, для любого замкнутого множества Ег с 0 положительной хаусдорфоаой меры порядка а задача

§£ - Ли - О, (х,1)€0т,

и(х,1)| - О,

|вОх(0,Т)

u(x,t)| - О |о\Е2

имеет ненулевое решение u(x,t) с 1^(СТ)("| c'l^).

Вторая глава работы посвящена исследованию единственности решения в 1^(0,) смешанной задами для вырождающегося на границе области параболического уравнения второго порядка. 3 цилиндре 0Т рассматривается уравнение

п

au Y" а ( , .. au 1

Lu " ât - ¿яД V'^âxJ

Л

-|H ♦ a(x.t)u » f<x,t)

+

i «i

с вещественными коэффициентами a(j(xft) = aJ((x,t) е с' (Qj), at{x,t) « C,,0(flj), a(x,t) « Cl^).

Будем считать уравнение параболическим внутри Q, и вырождающимся на его боковой поверхности, то есть существует такое

rm'tl&), *(S)>0i Нт 7{«)и0. что для всех xtQ,, .

5*+0 0

х для всех вещественных Ç»{Ç.,Ç,,..., Ç > справедливо неравенство

1 2 П

П

£ a1J(x,t)-Ç|-Ç, и т(«Н«1*. <5>

|. J-i

к кроме того существует такая константа т0> О, что для всех (x,t)«dQx(0,T],

п

£ a1J(x»t.)-v1-vJ ï у0> о, te)

i.j-i

если v * (I/ , с,,..., >» ) - единичный вектор внешней относительно Q

12 п

нормали н 0Q.

В начало главы методом с-регуляризации доказана теорема единственностя для вырождающегося параболического уравнения (4).

г, |_

ТЕОРЕМА 3. Пусть и(х,1)«^г(0,)- Если для любой функции у(х,г)«С (0т)

такой, что у(х,Т)бО, у| во и

|авх(0,Т)

| Ь*(у)и(х,1)йх«И ■ О, вт

то к о почти всюду в ст.

Отметин, что единственность решения первой краевой задачи для вырождающихся на границе области эллиптических уравнений методом с-регуляризацик доказана О. А.Олейник и Е. В. Радкевкч [9].

Пусть теперь и(х, Ь) - обобщенное решение из

уравнения (4), характеристическая форма которого удовлетворяет условиям (5),(б), а правая часть Г(х,г) принадлежит пространству Х.г 1о<.(01). Е- некоторое замкнутое подмножество боковой

поверхности в(}х(0,Т) цилиндра (2Т. а замкнутое

подмножество нижнего основания 0.

Рассмотрим первую смешанную задачу для вырождающегося на боковой поверхности цилиндра параболического уравнения, граничные и начальные условия которой заданы вне множеств и Е^. то есть ре-венке и(х,г) слабо стремится к нулю в смысле (2) в каждой точке

(х,С)«|йОх(0,Т)|\Е1 и слабо стремится к нулю при О в смысле (3)

а каждой точке хсО^Е^. Справедливо следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 4. Пусть обобщенное решение и{х,1) из с(0т) вырож-

дающегося на боковой поверхности цилиндра уравнения Ш=0 принадлежит пространству при некотором и пусть

некоторое замкнутое подмножество боковой поверхности

|я{2<(0,Т)| цилиндра конечной хаусдорфовой херы порядка п+1~я

(1/р«-1/ч»1) а £2~ некоторое замкнутое подмножество нижнего основания О конечной хаусдорфовой меры порядка п + 2-(1-д).

Если и(х,1) слабо стремится к нулю в смысле (2) а каждой

тонко (х,Че|э0х(0,Т)\Е11 и слабо стремится к кулю при г-'+О в

смысле (3) в каждой точке то и(х,I) = о почти всюду-в 0т<

Доказательство этого утверждения проводится методом с-рв-гуляризации и основано на ленках 1.3,1.4 главы 1.

Основные результаты диссертации изложены в работах:

1. И. А. Сливина. О единственности решения первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка// Применение методов функционального анализа к неклассическхм уравнениям математической физики. Новосибирск, 1983. С. 90-104.

2. Н.Л. Сливина. 0 теореме единственности первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка// Межвузовский сборник научных трудов. N 45.М: МЭИ, 1984. С. 41-43.

3. Н. Л. Сливина. О теореме единственности первой смешанной задачи для вырождающегося параболического уравнения второго порядка// Спектральная теория в задачах математической физики. Сб. научн. трудов. N 141. М: МЭИ. 1987. С. 83-86.

4. Н.А.Сливина. О точности теоремы единственности первой смешанной задачи для параболического уравнения второго, порядка// Спектральные разложения и их применение в задачах математической физики. Сб. научн. трудов. N 192. М: НЭИ, 1989. С. 86-89.

П'ипш-лш. ч псч.ин л .. ____

Т||ппг:,ф,я .»ОН,