Теоремы единственности решения задачи Коши для эволюционных уравнений и систем с растущими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи 005020238

Туртин Дмитрий Витальевич

Теоремы единственности решения задачи Кош и для эволюционных уравнений и систем с растущими коэффициентами

.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

5 ДПР

Владимир - 2012

005020238

Работа выполнена в Ивановском государственном университете Научный руководитель:

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита диссертации состоится 27 апреля 2012 г. в 16 ч 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ.212.024.02 при Владимирском государственном университете имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых по адресу: 600024, г. Владимир, пр. Строителей, 11, корп. 7 ВлГУ, ауд. 237.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Владимирского государственного университета имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых.

Автореферат разослан 19 марта 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ДМ.212.024.02 при ВлГУ кандидат физико-математических наук,

кандидат физико-математических наук, доцент Косарев Николай Георгиевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Денисов Василий Николаевич

кандидат физико-математических наук, Сурначев Михаил Дмитриевич

доцент

Наумова С.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Вопросу единственности решения задачи Коши (р.з.К.) уделяли внимание многие математики. Еще в 1924 г. появилась работа Е. Хольмгрена, где был найден класс быстро растущих функций, в котором имеет место единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Окончательное решение эта задача получила в работах А.Н. Тихонова и С. Тэклинда.

В 1946 г. И.Г. Петровский1 поставил проблему исследовать вопрос о единственности р.з.К. для введенных им параболических уравнений и систем и обобщить для них теоремы единственности Тихонова-Тэклинда для уравнения теплопроводности.

Данная задача была решена в работах O.A. Ладыженской2, С.Д. Эйдельмана3, Я.И. Житомирского4 , Г.Н. Золотарева5 и других.

В дальнейшем в период от середины шестидесятых годов XX века и до настоящего времени ряд авторов изучал вопрос о единственности р.з.К. для неравномерно параболических уравнений, для вырождающихся параболических уравнений, для уравнений второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Для общих параболических систем этот вопрос исследовался O.A. Олейник (1974 - 1976 гг.)6.

В 1953 году И.М. Гельфанд и Г.Е. Шилов7 получили результат по единственности р.з.К. для общих линейных систем с коэффициентами, зависящими только от временной переменной, не налагая условий на тип системы. В дальнейшем их результат был развит и усилен в работах К.И. Бабенко, B.JI. Гуревича, В.М. Борок, Г.Н. Золотарева, H.H. Чауса, Г.П. Сердюка и др. Следующий важный шаг в этом направлении был сделан Я.И. Житомирским, получившим точные

1Петровский И.Г. О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными // Успехи мат. наук. - 1946. Т. 1. Вып. 3-4. - С. 44-70

2Ладыженская O.A. О единственности решения задачи Копта для линейного параболического уравнения // Мат. сб. - 1950. - Т. 27(69). - № 2. - С. 175-184

3Эйдельман С.Д. О задаче Коши дая параболических систем // ДАН СССР. -1954. - Т. 98. -№ 6. - С. 913-915

4Житомирский Я.И. Классы единственности решения задачи Коши для линейных уравнений с растущими коэффициентами // Изв. АН СССР, сер. мат. - 1967. - Т. 31. - Вып 4. - С. 763 -782

5 Золотарев Г.Н. Максимальные классы единственности задачи Коши для дифференциальных уравнений с частными производными // Уч. зап. Ивановск. гос. пед. ин-та. - 1963. - Вып. 33. - С. 34-45

6Олейник O.A. О единственности решений задачи Коши для общих параболических систем в классах быстрорастущих функций // Успехи мат. наук. - 1974. - Т. 29. - № 5. С. 229-230

7Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Преобразование Фурье быстро растущих функций и вопросы единственности решения задачи Коши // Успехи мат. наук. - 1953. - Т. 8. - № 6. - С. 3-54

классы единственности р.з.К. тэклиндовского типа для уравнений с переменными растущими коэффициентами (при определенных ограничениях на их вид).

К настоящему времени установлено большое количество разных классов единственности решений начально-краевых задач и задачи Коши для параболических уравнений и систем в классах растущих функций.

Среди наиболее значимых работ в этом направлении следует отметить результаты Л.И. Камынина, Б.Н. Химченко о применении метода барьерных функций к установлению классов единственности для различного рода параболических уравнений8, а также результаты А.Г. Гагнидзе об использовании метода введения параметра для получения теорем единственности некоторых классов параболических уравнений и систем с растущими коэффициентами9, результаты Л.М. Кожевниковой о нахождении тэклиндовских классов для квазиэллиптических уравнений10.

Целью работы является установление классов единственности тэклиндовского типа в предположении нормальности решения по временной переменной, а также нахождение тихоновских классов единственности без предположения нормальности решений.

Методы исследований. Для получения основных

результатов работы были использованы асимптотические методы теории дифференциальных уравнений, методы общей теории дифференциальных уравнений, методы теории функций комплексного переменного.

Научная новизна. Основные результаты диссертации включают:

1. Нахождение тэклиндовских классов единственности р.з.К. для системы

.7=0 к=0

где Ь > 0, -оо < х < оо, и(х,£) = ... ,щ(х,{))

— неизвестная вектор-функция, - квадратные матрицы порядка б с комплекснозначными элементами д^ (х) — непрерывно

8Камынин Л.И. , Химченко Б.Н. О проблеме Тихонова*- Петровского для параболического уравнения 2-го порядка // СМЖ. - 1981. - Т. 22. - № 5. - С. 78-109

9Гагнидзе А.Г. О единственности решения задачи Коши для параболического уравнения с растущими коэффициентами // Сообщ. АН ГССР. - 1988. - Т. 131. - № 2. - С. 241-243 '"Кожевникова Л.М. Классы единственности решений первой смешанной задачи для уравнения — Аи с квазиэллиптическим оператором А в неограниченных областях // Матем. сб. - 2007.

- Т. 198. - Выл 1. - С. 59-102

дифференцируемыми по х функциями при начальных условиях дЩс^)

дУ

,1-о = ад0' = 0,т-1) (2)

в полуплоскости П = {(а;,: —оо < х < оо, 0 < г < оо} в случае, когда решения имеют нормальный тип по £.

2. Определение тихоновских классов единственности р.з.К. для системы уравнений вида

т—1 ,

дти(х,г) _ ( д\ дЩ{х, г)

д1т ¿-х й V ' дх) да

¿=0

(3)

( и(х, — неизвестная з х з матрица, Р^ (х, =

Т!к=о^(-)рзк{х) (з = 0,т — 1), элементы матриц Р]к{х) — комплекснозначные функции) с начальными условиями

= = (4)

в полосе Пт = {(х, £) : -оо <я<оо, 0<£< Т}.

3. Установление классов неединственности, примыкающих к тэклиндовским классам единственности р.з.К. для уравнений вида

М^М ггл

, (5)

]=0 0

где Якз(х)— комплекснозначные непрерывные функции при начальном условии

= = Т) (6)

в полуплоскости П в случае, когда решения имеют нормальный тип по

г.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, её результаты найдут применение в теории дифференциальных уравнений и спектральной теории дифференциальных операторов, а также в научных исследованиях в вузах и институтах РАН, при чтении специальных курсов для студентов физико-математических специальностей университетов. Апробация работы. Результаты докладывались

• на Международной конференции "Современные методы теории краевых задач" в г. Воронеж (2008);

• на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль (2008);

• на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздаль (2010);

• на Международной конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в г. Воронеж (2011);

• на семинаре по дифференциальным уравнениям в Воронежском государственном университете (рук. проф. Новиков И.Я.);

• на заседаниях Ивановского математического общества (рук. проф. Белов A.C., проф. Колесников C.B., доц. Косарев Н.Г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8 работах. Статья [6] опубликована в издании, рекомендованном ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатской диссертации.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 67 наименований. Объём диссертации составляет 108 страниц машинописного текста.

Введение посвящено истории проблемы, краткому обзору достижений предшественников, определению основных понятий и формулировке основных результаты работы.

В §1 найдена асимптотика фундаментальной системы решений систем, двойственных к (1) и (3), имеющая ключевое значение при доказательстве теорем единственности р.з.К. в §3 и §4.

В §1 рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений, двойственная к (1)

я»—1 nj Ak\r п Wfcv

£ £ -лту = ££ =°< го

j=о к—0 ах fc=0 j=0 dX

где п = тах щ, А^(х) — квадратные матрицы порядка s

j=0,m-l

с комплекснозначными элементами о^(ж), (х € R), Y(x, Л) = (yi(x, А)1111,?/з(а;, А))г — искомая вектор-функция, Л £ Л С С; тк (к = 0, п) — целые неотрицательные числа.

Системе уравнений (7) соответствует характеристическое уравнение

{л тк 1

=0. (8)

к=0 ;=0 ]

Через

п ТПк к=0 1=0

обозначается многочлен относительно Лише матричными коэффициентами А^-(х). Под диаграммой Ньютона многочлена Д понимается диаграмма такого же многочлена со скалярными коэффициентами. В лемме 1.1 §1 реферируемой диссертации устанавливается, что диаграммы Ньютона многочленов йеЬД и Д подобны с коэффициентом подобия 5.

Всюду далее предполагается, что диаграмма Ньютона многочлена Д имеет один и тот же вид при любом х (—оо < х < оо).

Вводятся обозначения: (кг, тпк,) (I = 0,ЛГ) — координаты на плоскости узловых точек диаграммы Ньютона многочлена Д. Для многочлена Д со скалярными коэффициентами ац числа 7; (I = 1,-Л/") — показатели степеней Л разложений в ряды Пюизе корней ш уравнения (8) в окрестности точки Л = оо.

Предполагается, что т0 > тпк (к = Т~п) и (ау; =

1, ф, 1 = \,Ы, оцЧ1 = к{) - точки, соответствующие некоторым мономам многочлена Д и лежащие на I—ом звене диаграммы Ньютона этого многочлена, причем = аю < ац < ... < а[д1 = к[.

Далее определяются числа ¿к

4 = -кл + т^ + £¡-171 (Лг_1 <к<к!,1 = 1, Лг),. по которым строятся множества

Т'(1) = {к: < к < к1, тпк = (4}, и&Г'ф = Г',

Г" = {0,1,...,п}\Г'.

Далее рассматриваются только такие системы дифференциальных уравнений вида (7), у которых характеристическое уравнение (8) удовлетворяет условиям:

1) матричные функции Актк(х) при к е Г' есть матрицы с постоянными элементами, то есть Актк{х) = Актк;

2) уравнения

<1* + ¿; АанПаи1За«-к"> |=0 (9)

(г = 1, ]\) не имеют кратных корней и матрицы Ак1ТПк1 не вырождены.

Из условий 1) и 2) следует, что коэффициенты уравнения (8), соответствующие точкам, лежащим на диаграмме Ньютона, являются постоянными и диаграмма Ньютона уравнения (8) одна и та же при любых

Через Н{х), к(х) обозначаются положительные, четные, возрастающие при х > 0 функции, удовлетворяющие условию

Ьт тту-г = 0,

х->оо Н[х)

д(х) — функция, обратная к Н(х).

Асимптотическое поведение решений системы уравнений (7) изучается в области

<?={(*,А): |г|<р(|А|),ЛбЛ}

при А —¥ оо.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть в уравнении (7) элементы аЦ матриц А^ непрерывно дифференцируемые функции и удовлетворяют оценкам

sup \а%(х)\ < hd^(r), Г \±а%(а

|z|<r J-T I ах

dx < hdk~j{r)

(j = 0, Шк — 1 при к g г', j = 0, m* при к 6 Г", 1 < р, q < s), а корни Pij (I = 1, TV, j = О,sqi, qi — kl - fc(_i) уравнений (9) и множество Л таковы, что для некоторого е > 0:

\cos(argflij + 71 ■ arg\)\ > е

|cos(arg(Pij - @ц) + 7; ■ а^А)| > е [i ф j)

(I = 1,ЛГ, 1,3 = 1 ,sq¡).

Тогда уравнение (7) имеет зп линейно независимых решений Уу(х, А) (I = 1,Лг, з = 1,5д|)| элементы которых имеют асимптотику

dxk

(<Уч(х, А))и) = А) exp {^%(r,A)dr} (10)

(I = 1, N, j = 1, squ k = 0,n-l,p,q=l, s),

ыу(х,Х)=/3„-Х»(1 + о(1)),

o(l) — функции переменных я и А, стремящиеся к нулю при А —» оо, \х\ < ff(|Aj), А) — функции, имеющие не более, чем

степенной рост по А в области G.

В §3 и §4 асимптотические формулы (10) применяются в случаях, когда Л — одна из вертикальных полуосей: \ = ao + ir (его = const > О, т > 0 или г < 0) и Л — луч: агдХ = <р.

В реферируемой диссертации отмечается, что впервые вопрос об асимптотике, аналогичный рассмотренному выше, был изучен Я.И. Житомирским4 для уравнений с "медленно" растущими коэффициентами. Н. С. Максимовская11 обобщила результат Я.И. Житомирского на системы уравнений.

Однако, уравнения и системы уравнений, рассматриваемые указанными авторами, обладали одной особенностью: корни соответствующего им характеристического уравнения имели одинаковый степенной порядок роста по А при А —> оо.

Н. Г. Косарев12 рассмотрел уравнения, характеристические уравнения которых имеют корни, вообще говоря, различного степенного роста по А при А —> оо. Эти уравнения, как частный случай, включают в себя уравнения, изученные Я.И. Житомирским.

В §1 и §3 работы автор обобщает результат12 на системы уравнений. Отметим также, что эти системы уравнений, как частный случай, включают в себя системы уравнений, изученные Н.С. Макашовской. При этом возникают трудности принципиального характера, которых не было в предшествующих работах.

В §2 рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение

п ™к Ики

fc=0 j=0

где п — max гц, у = у(х, А)—искомая функция, X € А С С, Шк(к =

j=0,m-l

О, ri)— целые неотрицательные числа. Уравнению (11) сопоставляется

"Макашовская Н.С. Классы единственности решения задачи Коши для систем линейных

уравнений с растущими коэффициентами // Уч. зап. Ивановск. гос. пед. ил-та, - 1973. -

Т. 123. - С. 25-56

12Косарев Н.Г. О единственности решения задачи Коши для линейных уравнений с переменными коэффициентами // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. - Ярославль. - 1977. - Вып.2. - С. 141 - 158

характеристическое уравнение

п ТПк

Q(x, А) = J2 2 оу = 0. (12)

к=О 3=0

Предполагается, что диаграмма Ньютона многочлена Q(x, А) при любом х(-оо < х < оо) имеет одни и те же узловые точки {k,mkl) (I = 0, N, ко = 0), определяющие N ее звеньев и (ay, maij) (I - 1, jV, % = к — h-i, = A;/, j = 1, g;) — точки, соответствующие некоторым мономам многочлена Q(x,X) и лежащие на /-ом звене диаграммы Ньютона этого многочлена.

Как и ранее определяются числа 7; (7 = l,jV) и 4 при каждом фиксированном к: h-i <k<kt(l = 1,N) и множества Г'(/), Г', Г".

Далее рассматриваются только такие дифференциальные уравнения вида (11), у которых характеристическое уравнение (12) удовлетворяет условиям:

3) актк{х) = актк при к 6 Г', anj( х) = anj при 0 <j<mn;

4) уравнения

ьщг)

не имеют кратных корней и afemjt; ^0(1 = 1 ,N);

5) коэффициенты уравнения (12) удовлетворяют оценкам

sup \akj(x)\ < hr°Vb-i\r), H<r

где h(r) > 0 (г > 0) — непрерывная монотонно возрастающая функция, j = 0, т* при к 6 Г", j = 0, тк - 1 при к € Г', р0 =

Заметим, что из условий 3) и 4) следует, что диаграмма Ньютона многочлена Q(x, А) при любом х (ж е R) имеет одни и те же узловые точки.

Основной результат §2 содержится в следующей теореме. ТЕОРЕМА 1.3. Пусть коэффициенты уравнения (11) удовлетворяют условиям 3)-5). Тогда уравнение (11) имеет решение У{х> -Mi удовлетворяющее оценке

|У(Л(*> А)| < c3{h%(x) + lAl^ye^^W+W71^!,

j = 0,п-1, -оо < x < оо, ReX > a > 0, c3, c4— некоторые положительные постоянные, не зависящие ни от х, ни от А.

§3 начинается с рассмотрения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7), двойственной к (1). Системе уравнений (7) соответствует характеристическое уравнение (8).

Через Н\{х), Щ^х) обозначаются положительные, непрерывные, четные, возрастающие при х > 0 функции, удовлетворяющие условию

г Н*(х) _

11т 1ЕгН =

Я-+0О Н\{х)

Предполагается, что коэффициенты уравнения (8) удовлетворяют условиям 1)-2). Число ро = ^ есть приведенный порядок13 системы уравнений (1).

Имеет место следующая теорема, определяющая классы единственности решений задачи Коши для системы (1) с начальными условиями (2).

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть приведенный порядок системы (1) больше единицы (р0 > 1)- Если элементы а^(х) матриц Ау(х) уравнения (8) удовлетворяют условиям 1)-2) и оценкам

< Н2{ак-Лро(г)

(13)

и - 0,тк ~ 1 при к е Г', з = 0,тк при к е Г", 1 < р,д < в), а корни /Зц уравнений (9) таковы, что одновременно для всех 1,1, з , (I = 1, N, з = 0, «<#, <д = к1 — к^) выполнено

соа^агд^-) ф О,

со8(агд{РИ - рК)±17г) ф 0 (» ф 3)

(14) (14)

, то всякое решение Ц(х,1) системы (1) с начальным условием (2) при (х) — 0 и = 0, т —1), удовлетворяющее при каком-либо а > О оценке

<сеХр(са + \£н^м}

(к = 0, п — 1, х е И,, I > 0), равно тождественно нулю при условии,

?

{КхЩх~**дВ = оо. (15)

Г

Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции, вып. 3. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. - М.: Физматлит,1958. - 274 С.

В реферируемой диссертации отмечается, что результат теоремы 2.1 обобщает результаты, полученные Г.Н. Золотаревым5 для уравнений с постоянными коэффициентами и Н.Г. Косаревым для уравнений с переменными коэффициентами, а также для систем, рассмотренных Н.С. Максимовской. Оценки (13) указывают на то, как могут расти коэффициенты системы уравнений (1), чтобы при этом классы единственности р.з.К. этой системы уравнений определялись лишь ее приведенным порядком.

Если условие (14) не выполняется, то результат теоремы 2.1 остается справедливым с заменой в условии (15) показателя 1 — ро на I — Ро~ > 0 — любое).

В случае, когда приведенный порядок ро системы уравнений (1) меньше либо равен единице, условие (15) выполнено при любой растущей функции Ну{х) и потому р.з.К. (1)-(2) единственно в классе решений нормального типа по при этом на рост коэффициентов уравнения не накладывается никаких ограничений.

Если в §3 предполагалось, что решения системы уравнений (1) имеют нормальный тип по £, то в §4 автор отказывается от этого предположения. Однако, в этом случае получаются лишь классы единственности типа Тихонова.

В §4 рассмотривается система (3). Через Р* [х, = Р*к (х) (■) обозначается сопряженное по Лагранжу к Pj (ж, дифференциальное выражение. Далее вводится в рассмотрение

т—1 пз п тпк

А(х, А, Ы) = £ £ Р;к{х)Хшк - А= Е Е

3=0 к=0 к-О 7=0

(п = тах щ, тп'К (к — 0,п)—целые неотрицательные числа) —

¿=0,т—1

многочлен относительно А и ш с матричными коэффициентами А-^(х).

Считая А)у(х) скалярными функциями, определяются числа ки гпь,, 7г (I = 1,Л0 и Л^ (к = 0, п), а также множества Г(/)(/ = 1, Лг), Г, Г , характеризующие диаграмму Ньютона многочлена А(х, А, ш).

Число ро — приведенный порядок системы (3). Так как характеристический многочлен системы (3) и многочлен йе1{А(х, А, о»)} имеют одинаковые диаграммы Ньютона, а многочлены с!е<{Д(х, А,ш)} и Д(х, А,ш) (со скалярными коэффициентами) имеют подобные диаграммы Ньютона с коэффициентом подобия в, то, как следует из13 , р0 =

Через р0 обозначается такое число, что -р + 4- = 1. В §4 формулируется и доказывается теорему единственности

решения задачи Коши (3)-(4) в полосе Пу. _

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть элементы матриц Р^к(х)(к = 0, п, ] = О,тпк) системы (3) (/с+1)-раз непрерывно дифференцируемые функции при —оо < х < оо, а элементы матриц Ду(аг) многочлена удовлетворяют условиям 1)-2).

а) Пусть приведенный порядок системы (3) ро > 1 и элементы Р^(х) матриц Рзк{х) уравнения (3) удовлетворяют оценкам

(.к = 0, п — 1, з — 0, т — 1, д, г = 175, г — 0,п - 1, «1 > 0, сх > 0), а элементы а^(зг) матриц Лу(ат) — оценкам

J о

к = 0,п - 1,= 0,т* -1 при £ € Г', з — О.т*: при к 6 Г", 5,7- = 175, -оо < х < оо, о(1) 0 при X оо.

Тогда решение задачи Коши (3)-(4) единственно в классе функций, удовлетворяющих оценкам

дк+зЦ{х,£)

дхкдЫ

{{х,г) е Пт, з = 0,т- 1, к = 0,п — 1, а2 > 0, с2 > 0).

б) Если ро < 1, то решение задачи Коши (3)-(4) единственно в классе функций любого роста по х на бесконечности.

В §5 найдены классы неединственности, примыкающие к тэклиндовским классам единственности р.з.К. для уравнений (5) в полуплоскости П = {(а:, : —оо < оо, 0 <t < оо}.

В этом параграфе рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение (11), двойственное (5).

Уравнению (11) сопоставляется характеристическое уравнение (12). Далее рассматриваются только регулярные (т.е. обладающие непрерывными производными всех порядков, входящих в уравнение) решения и(х,Ь) уравнения (5), имеющие по I нормальный тип, т.е. удовлетворяющие при каком-либо а > 0 оценке: <

ф;) ехр{а£} при (ж,г) € П.

< с2ехр{а2|:г|Ро}

Н.Г. Косаревым показано, что класс функций {и(х,г)}: удовлетворяющих оценке

(а > 0, с > 0,к = 0, п- 1,-оо < оо,Ь > 0, Н{в)~четная непрерывная возрастающая при в > 0 функция), является классом единственности р.з.К. (5)-(6) при условии, что интеграл

расходится.

Далее формулируется и доказывается основной результат §5 — теорема неединственности решения задачи Коши (5)-(6).

ТЕОРЕМА 2.5. Пусть уравнение (5) таково, что все коэффициенты двойственного к нему уравнения (11) а^(х) удовлетворяют условиям 3)-5). Пусть введенные ранее функции Н(х) и к{х) связаны соотношением

то существует нетривиальное решение и(х^) уравнения (5), удовлетворяющее нулевым начальным условиям (6) \fjix) = 0, j = О, т — 1) и оценкам (16).

Отметим, что для уравнений (5) с характеристическим уравнением (12), имеющим однозвенную диаграмму Ньютона, сходимость интеграла (17) приводит к тому, что класс функций, удовлетворяющих (16), становится классом неединственности р.з.К. (5)-(6). В случае многозвенной диаграммы Ньютона у уравнения (12) неединственность р.з.К. (5)-(6) была доказана14 лишь при условии сходимости интеграла ]1 [#(0)]1-<!о<20, где д0 = [тах^-]"1 < р0, что означало образование

"Косарев Н.Г. О задаче Копш для линейных уравнений с переменными коэффициентами // Научные труды ИвГУ. Математика. - Вып. 2. - Иваново. - 1999. С. 86-92.

(16)

(17)

о(1) -» 0 при х —> оо. Если

"зазора" между классами единственности и неединственности р.з.К. (5)-(6).

В теореме 2.5 ликвидируется этот "зазор". Напомним, что такой же результат имеет место для систем уравнений вида (5) с постоянными коэффициентами15.

В §6 рассмотрены примеры, иллюстрирующие теоремы, доказанные в предыдущих параграфах.

Публикации автора по теме диссертации

1. Туртин Д.В. Асимптотика решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром // Математика и ее приложения. Журнал Ивановского математического общества. - 2006. - Вып. 1(3). - С. 67-80.

2. Туртин Д.В. О единственности решения задачи Коши для линейных систем с переменными коэффициентами // Вестн. Ив. гос. ун-та. - 2006. - Вып. 3. - С. 147-153.

3. Туртин Д.В. О неединственности решения задачи Коши для линейных уравнений с растущими коэффициентами // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XIX". - Воронеж: ВГУ, 2008. - С. 209-210.

4. Туртин Д.В. О неединственности решения задачи Коши для уравнений с растущими коэффициентами // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль 2008: Издательство Владимирского государственного университета. - С. 235-236.

5.Туртин Д.В. О единственности решения задачи Коши для систем линейных уравнений в частных производных // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль 2010: Издательство Владимирского государственного университета. - С. 186.

6. Туртин Д.В. О максимальных классах неединственности решения задачи Коши для линейных уравнений // Известия вузов. Математика. - 2010. - № 9. - С. 90-93.

16Золотарев Г.Н. Нетривиальные решения задачи Коши с нулевыми начальными условиями // Уч. зап. Ивановок, гос. пед. ин-та. - 1963. - Т. 31. - С. 29-36

7.Туртин Д.В. О тихоновских классах решений задачи Коши для систем линейных уравнений в полосе // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней школы. - Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. - 2011. - С. 329-330.

8. Туртин Д.В. Максимальные классы неединственности решения задачи Коши для линейных уравнений // Вестн. Ив. гос. ун-та. -2011. - Вып. 2. - С. 165-175.

Подписано в печать 19.03.2012 г. Формат издания 60х84'/1б-Печ. л. 1,0. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 36.

Типография ОГБОУ СПО Ивановского энергоколледжа, 153025, г. Иваново, ул. Ермака, 41. Тел.: (4932) 37-52-44,32-50-89 E-mail: tipografl00@gmail.com, www.tipl.ru

61 12-1/687

ИВАНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Туртин Дмитрий Витальевич

ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ С РАСТУЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02. - дифференциальные уравнения, динамические системы

и оптимальное управление

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель кандидат физико-математических наук, доцент

Косарев Николай Георгиевич

Иваново -2011

ВВЕДЕНИЕ

В работе исследуются два вопроса. Первый из них — это единственность решения характеристической задачи Коши для общих систем линейных уравнений в частных производных с переменными растущими коэффициентами, второй — классы неединственности, тесно примыкающие к классам единственности решения задачи Коши для общих линейных уравнений в частных производных с переменными растущими коэффициентами.

Сначала остановимся на истории изучения этих вопросов.

Вопрос о единственности решения задачи Коши (р.з.К.) является традиционным в теории уравнений в частных производных. Еще в 1924 г. Е. Хольмгрен в работе [1] для уравнения теплопроводности указал класс быстро растущих (при |ж| —>• оо) функций:

|и(ж,£)| < с\ехр{с2Х21п{1 + |ж|)}

(С1 > 0, с2 > 0, (я, 6ПТ = {(М) : X е Я, 0 < Ь < Т}), в котором имеет место единственность решения задачи Коши.

В 1935 г. А. Н. Тихонов [2] показал, что результат Е. Хольмгрена не может быть существенно улучшен: класс функций, для которых выполнено

\и(х^)\ < с1вхр{с2\х\а}, {х,£) е Пу,

является классом единственности р.з.К. для уравнения теплопроводности тогда и только тогда, когда а < 2.

Исчерпывающее решение вопроса о единственности р.з.К. для

уравнения теплопроводности и даже для несколько более общих уравнений вида

дал С. Тэклинд в 1936 г. С. Тэклинд в работе [3] показал, что класс функций

(с > 0, € Пт, 1>,{г) (г >0)— возрастающая функция) является

классом единственности р.з.К. для уравнения (0.1) тогда и только тогда, когда

Далее, естественно, возник вопрос о единственности р.з.К. для более широкого круга уравнений. В работе [4] И.Г. Петровский доказал, что теоремы существования и единственности р.з.К. для гиперболических уравнений и систем имеют место в классах функций с любым ростом на бесконечности.

В 1946 г. И.Г. Петровским [5] была поставлена задача исследовать вопрос о единственности р.з.К. для введенных им параболических уравнений и систем в классах неограниченных функций (в классах ограниченных функций эта проблема решена самим И.Г. Петровским [6]) и обобщить для них теоремы единственности Тихонова-Тэклинда.

Одной из первых в этом направлении была работа [7] O.A. Ладыженской, где для любого параболического по И.Г. Петровскому

Dtu{x,t) = (-1 )n~lDfu{x,t)

(0.1)

\u(x,t)\ < cexp{\x\h(\x\)}

уравнения с постоянными коэффициентами вида

2п-1

Dtu{x, t) = (-1 )n~lD^u{Xl t) + ]Г akDkxu{x, t) (0.2)

fc=о

был получен следующий результат: класс функций, удовлетворяющих оценке

\u(x,t)\ < ciexp{c2\xf}, (x,t) G Пу,

является классом единственности р.з.К. для уравнения (0.2) тогда и только тогда, когда (3 < ^zp

Этот результат был обобщен С. Д. Эйдельманом [8] на произвольные параболические по И. Г. Петровскому системы с постоянными коэффициентами, а затем Я.И. Житомирским [9]—[10] на параболические системы с растущими коэффициентами.

Обобщение теоремы С. Тэклинда на случай параболических по И.Г. Петровскому систем с зависящими от пространственной переменной и ограниченными коэффициентами было сделано Г.Н. Золотаревым в [11]. Позднее B.C. Рыжий [12] распространил этот результат Г.Н. Золотарева на параболические уравнения с растущими коэффициентами.

Далее отметим, что ряд авторов изучал вопрос о единственности р.з.К. для различного рода уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, а именно: для равномерно параболических уравнений [13]-[14], вырождающихся параболических уравнений [15]-[17], неравномерно параболических уравнений [18], уравнений с неотрицательной характеристической формой [19]-[21].

Для общих параболических систем этот вопрос изучен O.A. Олейник в работах [22]-[25]. Результаты, полученные в только что указанных статьях, несколько развиты в работах [26]-[31].

Во всех вышеназванных работах методы исследования существенно использовали свойства параболических уравнений и систем. Однако, в 1953 г. в работе И.М. Гельфанда и Г.Е. Шилова [32] было установлено, что классы единственности р.з.К., во всяком случае, для систем линейных уравнений с коэффициентами, зависящими только от времени, не связаны с алгебраической структурой уравнения (системы). А именно, в этой работе (см. также [33]) установлено, что для произвольных систем уравнений

(.х = (х1,...,хп),и(х,£) = (щ(х,1),... ,ит(х,г)), Р{г, £>ж) - (т х т) -— матрицы с элементами — линейными дифференциальными выражениями, коэффициенты которых зависят от £) получены классы единственности, описываемые неравенством

6 О < £ < Т, ^ + 4- = , где ро — приведенный порядок системы (0.3), который можно вычислить по формуле В.М. Борок [34]: Ро = тах тг, рк — степень коэффициента Рк(в), как многочлена от

1<к<т

«1,..., вп в разложении:

DtU(Xjt)^P{t,Dx)U(x,t)

(0.3)

и(х, t)|| < с\ехр

det (P{is) - ХЕ) = (—l)mAm + Pi(s)Am_1 + ... + Pm{s).

Заметим, что для одного уравнения типа (0.3) число ро совпадает с порядком этого уравнения.

Позднее результат И.М. Гельфанда - Г.Е. Шилова был несколько усилен, независимо, К.И. Бабенко [35] и Б.Л. Гуревичем [36].

В работах [37]-[38] H.H. Чауса для систем вида (0.3) с постоянными коэффициентами получены теоремы единственности тэклиндовского типа. Наконец, отметим результат Г.П. Сердюка [39], где для уравнений (0.3) с постоянными коэффициентами описаны классы единственности р.з.К., состоящие из функций, не обязательно одинакового допустимого порядка роста по каждому из пространственных аргументов.

При доказательстве теорем единственности р.з.К. применялись следующие методы:

а) метод Хольмгрена (см. [1], [3]), связанный с рассмотрением решений сопряженного уравнения и опирающийся на теорему Данжуа-Карлемана о квазианалитичности некоторых классов бесконечно дифференцируемых функций;

б) метод оценки фундаментальных решений параболических систем (см. [7], [8], [11]-[12]);

в) метод барьерных функций (см. [15]-[16], [19]-[21]);

г) вероятностные методы (см. [17]);

д) метод введения параметра ([22]-[25]);

е) теория обобщенных функций ([32]-[33], [35]-[39]).

В 1953 г. Е. Хилл в работе [40] заметил, что преобразование

Лапласа (по сводит вопрос о классах единственности р.з.К. для уравнения вида = Ли (А — оператор в банаховом пространстве) к вопросу о существовании нетривиального решения уравнения Ау = \у, голоморфного в некоторой правой полуплоскости и ограниченного в ней по соответствующей норме.

Применяя эту идею Е. Хилла, Г.Н. Золотарев в работах [41]-[42] для уравнений с постоянными коэффициентами вида

доказал, что класс функций, удовлетворяющих оценке

\и(х^)\ < сехр{Ф(х)}

(с > 0, Ф(ж) >0 — четная возрастающая при х > 0 функция, Е

П = {(х,£) : х € Л, 0 < Ь < оо}), является классом единственности р.з.К. для уравнения (0.4) тогда и только тогда, когда

где Г(х) — двойственная по Юнгу к Ф(х) функция, аро — приведенный порядок уравнения (0.4).

Тем же методом В.М. Борок в работе [43] получено исчерпывающее решение вопроса о единственности решения для общих линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем, существенно дополнив метод Е. Хилла, Я.И.

(0.4)

йх = оо,

Житомирский в работах [44]-[45] для уравнения

п-1

г) = а£>>(х, ¿) + як(х)В*и(х, ¿) (0.5)

¿=0

с "достаточно медленно" растущими комплекснозначными коэффициентами нашел точные классы единственности р.з.К. тэклиндовского типа, зависящие только от порядка уравнения. Позднее Н.С. Максимовская [46] перенесла результат Я. И. Житомирского на системы, аналогичные уравнениям (0.5).

Исследования, содержащиеся в работах [41]-[46], проводились в предположении нормальности типа решений и(х^) по ¿, что означает, что само решение и все его производные, входящие в уравнение, растут по Ь при £ —>• оо не быстрее функции еаг.

В работе [47] В.Г. Палюткин получил для уравнений вида (0.5) результат типа Тихонова по единственности р.з.К. без предположения нормальности типа решений по Ь (этот результат относится к уравнениям, рассматриваемым в любой полосе Пу, в отличие от предшествующих, где рассмотрения велись в полуплоскости П).

К настоящему времени установлено большое количество разных классов единственности решений начально-краевых задач и задачи Коши для параболических уравнений и систем в классах растущих функций.

Л.М. Кожевниковой в [48] в цилиндрической области Пт = (0, Т) х О, где П — неограниченная область в В,п+1 рассматривалось уравнение щ = Ьи, правая часть которого — квазиэллиптический оператор со старшими производными порядка 2/с, 2тп\,..., 2тп, по

переменным уо, у\,..., уп соответственно. Для смешанной задачи с условием Дирихле на боковой границе области DT установлен класс единственности тэклиндовского типа.

Для сужающихся на бесконечности областей П выделен другой класс единственности — геометрического типа, более широкий, чем класс тэклиндовского типа.

JI.M. Кожевниковой показано (см. [49]), что для областей с нерегулярным поведением границы этот класс шире, чем класс, установленный для параболического уравнения второго порядка в работе O.A. Олейник и Г.А. Иосифьяна [50].

А.Г. Гагнидзе методом введения параметра для некоторых классов параболических уравнений и систем с растущими коэффициентами были получены теоремы единственности [30], [51].

Для линейного параболического уравнения второго порядка без младших членов А.К. Гущиным [52] в случае второй краевой задачи, Ф.Х. Мукминовым [53] — первой краевой задачи выделен класс единственности, близкий к классу С. Тэклинда. Сформулируем этот результат. Рассматривается уравнение

ut = div(A{t,x)Vu), (0.6)

где A(t, х) — симметрическая матрица размера п х п,элементы которой C4j(t,x), i,j — l,n — измеримые функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности

ci|y|2 < a%j(t,x)yiyj < с2\у\2 9

для любого вектора у = (ух,..., уп) Е Яп и почти всех х) £ И = {£ > 0} х

Если решение (0.6) при начальных нулевых условиях — 0

со вторым нулевым краевым условием (или первым) удовлетворяет условию: существует такая монотонная неубывающая на полуоси [1,оо) положительная функция /¿(г), что выполняется условие

то оно тождественно равно нулю.

Настоящая работа посвящена:

1. исследованию вопроса о единственности р.з.К. для общих систем линейных уравнений с переменными растущими коэффициентами в полуплоскости и полосе;

2. исследованию вопроса о неединственности р.з.К. для общих линейных уравнений с переменными растущими коэффициентами в полуплоскости.

Методика работы основана на получении асимптотик и оценок решений обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, зависящих от параметра, а также привлечения результатов теории аналитических функций (типа критериев Карлемана и теоремы Фрагмена-Линделефа).

Результаты работы состоят в следующем:

и для всех г > 1

./о Jnг

{ [ и2{г,х)йх<И < егк{г\ Пг = Ор|{|ж| < г}

1. Найдены тэклиндовекие классы единственности р.з.К. для системы уравнений вида

^=0 fc=0

где t > 0, —оо < х < оо, 11(х,1) — (щ(х, £),..., и3(х, ¿)) — неизвестная вектор-функция, (¿^ (ж) - квадратные матрицы порядка в с комплекснозначными элементами — непрерывно

дифференцируемыми по х функциями при начальных условиях

= 0- = МП) (0.8)

в полуплоскости П = {(ж,£) : —оо СжСоо, 0<£< оо} в случае, когда решения имеют нормальный тип по I.

2. Найдены тихоновские классы единственности р.з.К. для системы уравнений вида

д1т ^ Л \ ' дх у др 3=0

( £/(ж,£) — неизвестная 5X5 матрица, Р^ (ж, -Ц) = ]С2=о 0 = 0,т -1), элементы матриц Рд(ж) —

комплекснозначные функции) с начальными условиями

= ад а = о^т) (о.ю)

в полосе Пу — {(ж, ¿) : —оо < х < оо, 0 <t < Т}.

3. Найдены классы неединственности, примыкающие к тэклиндовским классам единственности р.з.К. для уравнений вида

.7=0 /г=0

где ')— комплекснозначные непрерывные функции при начальном условии

= Ш 0" = МГ=Т) (0.12)

в полуплоскости П в случае, когда решения имеют нормальный тип по

Перейдем к краткому изложению диссертации. Работа состоит из двух глав и шести параграфов. Некоторые параграфы разбиты на пункты. В §1 найдена асимптотика фундаментальной системы решений систем, двойственных к (0.7) и (0.9), имеющая ключевое значение при доказательстве теорем единственности р.з.К. в §3 и §4.

Прежде, чем сформулировать основной результат §1, введем некоторые обозначения.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений, двойственную к (0.7)

тп-1 Щ к п тк ,ку

Е Е -"-ЕЕ ^ма^ = о, (о.1з)

¿=о к=0 к=0 ¿=0

где п — шах п?-, Л^ (х) — квадратные матрицы порядка 5 с комплекснозначными элементами а^(х), (х € Я), У(х. А) = (ух(ж, А),..., у8(х, А))г — искомая вектор-функция, А € А С С;

Шк (к — 0, п) — целые неотрицательные числа.

Системе уравнений (0.13) соответствует характеристическое

уравнение

йеЬ \Акз{х)Хшк \ =0.

(0.14)

Обозначим

п ТПк

к—О з= 0

— многочлен относительно Л и а; с матричными коэффициентами

Под диаграммой Ньютона многочлена Д будем понимать диаграмму такого же многочлена со скалярными коэффициентами. В лемме 1.1 §1 устанавливается, что диаграммы Ньютона многочленов ¿еЬА и А подобны с коэффициентом подобия й.

Далее приведем (см. [54]) построение диаграммы Ньютона многочлена А. На числовую плоскость наносятся точки с координатами (к,-]), где 0 < к < п, 0<^'< гпк- Выпуклая оболочка этого множества точек называется диаграммой Ньютона (многоугольником Ньютона) многочлена А.

Предположим, что диаграмма Ньютона многочлена А имеет один и тот же вид при любом х (—оо < х < оо).

Введем ряд обозначений, характеризующих диаграмму Ньютона многочлена А. Для этого определим числа 71 и к\ следующим образом

т0 - тк

и, далее, если 71, 72,..., 7/ и к\, к2,..., к[ определены, то

7г+1 = , ПИП

к+1<к<п

тк1 - тк к

= 11 Г-

Получим две возрастающие цепочки чисел

71 < 72 < • • • < 1ы

и

О = ко < к\ < < ... < кн — п.

Отметим, что пары чисел {к^т^) при I — О, N есть координаты на плоскости узловых точек диаграммы Ньютона многочлена А. Известно [54], что для многочлена А со скалярными коэффициентами ак] числа 7/ (/ = 1, Л/-) — показатели степеней Л разложений в ряды Пюизе корней и уравнения А = 0 в окрестности точки А = оо.

Будем предполагать, что то > тк(к = 1 , п) и (а^; тац) {;} = 1, / = 1, ЛГ, Щд, = к[) - точки, соответствующие некоторым мономам многочлена А и лежащие на 1—ои звене диаграммы Ньютона этого многочлена, причем к^ 1 — а^ < ац < ... < щЧ1 — к[. Обозначим

¿к = + + 1 (к^ 1 <к<к1,1 = 1,

Из определения чисел 7;, к^ (¿к следует, что

тк <<1к(к = 1,п),

причем равенство достигается в том и только том случае, когда точка (к, тк) принадлежит звену диаграммы Ньютона многочлена А.

Пусть

Г'(0 - {к : Ь-! <к<ь,тл = 4}, и^Г'О) = Г', Г" = {0,1,..., п} \ Г'.

Мы будем рассматривать только такие системы дифференциальных уравнений вида (0.13), у которых характеристическое уравнение (0.14) удовлетворяет условиям:

(I = 1, Л/") не имеют кратных корней и матрицы А^тк[ не вырождены.

Из условий 1) и 2) следует, что коэффициенты уравнения (0.14), соответствующие точкам, лежащим на диаграмме Ньютона, являются постоянными и диаграмма Ньютона уравнения (0.14) одна и та же при любых х £ Я.

Пусть Н(х) > 0, Ь,(х) > 0 - четные, возрастающие при х > 0 функции, удовлетворяющие условию

1) матричные функции Аитк{х) при к € Г' есть матрицы с постоянными элементами, то есть А^тк (х) = АуьШк:

2) уравнения

(0.15)

Определим функцию д{х) соотношением

Н{д{х)) = х {х> 0).

Асимптотическое поведение решений системы уравнений (0.13) будем изучать в области

С = {(х,Л) : |я| < <К|А|), А е Л}

при А —> оо.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть в уравнении (0.13) элементы а^ матриц А/у непрерывно дифференцируемые функции и удовлетворяют оценкам

а

вир \акрЦх)\ < /^'(г),

\х\<г

(1х < ы1к~-'(г)

{] = 0, гпк — 1 при к € Г', ] = 0, гпь при к € Г", 1 < р, д < з), а корни

/Зу (I — 1, ТУ, ] — 0, вэд, дI = к1 — к^) уравнений (0.15) и множество Л таковы, что для некоторого с > 0:

|соз{агдРц + 71 • агдХ)\ > £

|со8(агд(/Зц - /Зк) + 7г • агд\)\ > £ (г ф 3)

(I = 1, ТУ, г, ^ =

Тогда уравнение (0.13) имеет вп линейно независимых решений

А) (/ = 1, ТУ", = 1, всц). элементы которых имеют асимптотику ^ (№(*> А))и) = А)ехр|£о;у(г,А)^} (0.16)

(£ = 1, ТУ, 7 = к = 0,п - 1, = 1,й),

о(1) — функции переменных х и А, стремящиеся к нулю при Л оо, |ж| < <7(|Л|), А) — функции, имеющие не более, чем

степенной рост по А в области G.

В §3 и §4 асимптотические формулы (0.16) применяются в случаях, когда Л — одна из вертикальных полуосей: А = <то + гг (oq — const > 0, г > 0 или г < 0) и Л — луч: агдХ — (р.

Отметим, что впервые вопрос об асимптотике, аналогичный рассмотренному выше, был изучен Я.И. Житомирским в [44]-[45] для уравнений с "медленно" растущими коэффициентами, двойственных к (0.5). Н. С. Максимовская [46] обобщила результат Я.И. Житомирского на системы уравнений.

Однако, уравнения и системы уравнений, рассматриваемые, соответственно, в [44]-[46], обладали одной особенностью: корни соответствующего им характеристического уравнения имели одинаковый степенной порядок роста по А при А оо.

Н. Г. Косарев [55] рассмотрел уравнения, характеристические уравнения которых имеют корни, вообще говоря, различного степенного роста по А при А —>■ оо. Эти уравнения, как частный случай, включают в себя уравнения, изученные в [44]-[45].

В §1 и §3 работы автор обобщает результат [55] на системы уравнений. Отметим также,