Непрерывные и дискретные предельные значения ограниченных в верхней полуплоскости аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

■ ДО О 1 3 ■

РОСТОВСКИЙ -НА-ДШУ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Спепиализированный совет К 063. 52.13 по физико-математическим наукам

На правах рукописи

МУЛ АЛЕКСАНДРА ПАШОША

НЕПРЕРЫВНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ В ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01,01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кайдидата физико-математических наук

Роотов-на-Дону 1992

Работе выполнена в Кубанском'государственном университете.

Научнкй руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор Говоров Н. Б.

Официальные оппоненты: доктор фтшгко-математических

наук, профессор Гольдберг А. А. кандидат физико-математических наук, догшнт Ногин В. А.

Ведущее научное учреждение - Донецкий государственный

университет.

Защита состоится " србОрЦЩ. 1992 г. в 15- часов па заседании специализированного совета К 063.52.13 по физико-математическим наукам в РГУ по адресу: 344104, г.Ростов-на-Дону, ул.Зорге 5, мехмат, ауд.239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке РГУ ул. Пушкинская 148.

Автореферат разослан "_"__ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета/уУУ^Ь"" В.С.Пилиди

-3. •■ 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. ' Актуальность темы. йвученне асимптотических свойсти аналитических функций началось в 19 веке, интенсивно продолжается до настоящего времени и занимает одло из нейтральны:: мест в общей теории аналитических функций. -

В теории Б.Я. Ленина и А.Пфлюгера целых (функций К')-= ) вполне регулярного роста (в.р.р.) исследуется

класс функций в плоскости, для которых существует предол

lim t?WUHie%kiG)t •г-^+оо

firr) осп-П ЧАС0 го Р. т&[Е°П OVO]

um Е , Е : um -z-^о,

где -уточненный порядок ^(Х). ^ Переход к функциям в. р. р. в полуплоскости также исследовался Б.Я.Левиным и его учениками и был завершен (в смысле получения необходимых и достаточных признаков) в работах Н.В.Говорова и а. Ф, Гришина При этом Н.В.Говоро-

вым была построена новая теория аналитических функций в. р. р. внутри угла и показано, что асимптотическое поведение аналитической функции в.р. р. при оо тесно связано с граничными значениями. Случай J)= 0 впервые исследовался

1) Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М. 1956, 632 с.

2) Говоров Н.В. Об индикаторе функций нецелого порядка, аналитических и вполне регулярного роста в полуплоскости. -Докл. АН СССР, 1965,т. 162, №3, C.495-49Ü

р(г)

А.Ф. Гришишг.т, но и здесь предполагалось» что 1 сю.

Если же сделать пейледний шег и отказаться от бтого предположения, приняв О» то придем к вопросу существо-

М.Ц.» e^bilKieVhCe).

'6-^ + с-О

Это предельный случай теории в. р. р., ео своеобразное заряжание снизу (снятие роста).

Цэль работа. Исследование условий существования предельных значений модуля ограниченных аналитических и ограниченных аналитических в верхней полуплоскости функций в фиксированной точке границы как по непрорыг-ннм кривым так и по последовательности точек.

Методика исследования. В работе используются методы теории аналитических функций. Основные результаты вырахеяы через аргументно-граничную плотность, введенную II. Б. Говоровым,"^ так же метод оценок снизу, основанный на понятии

к)

веса, предложенном У.Хейманом.

3) Говоров Н.В. Об индикатора функций целого порядка, аналитических и вполне регулярного роста в полуплоскости. -Докл. АН СССР, 1967, т.172, •» 14, с. 763-765.

4) Гришин А.Ф. О, функциях, голоморфное внутри угла, имеющих там нулевой порядок.-Теория функций, функц. анализ и их приложения, 1965, в. 1, с.41-56.

5) Жотпап и). %. 4 _ ехпъпь ded with Ыгг Шцтжь-

jyuncph.- math. pu/iM et ifl«,

p.

Научкая новизна. ГГолучени необходимые и достаточна условия сутцествования предельных значений по непрврыЕнкл кривым модуля ограниченной аналитической в верхней полуплоскости аналитической Функции и неположительной субгармонической функции в фиксированной точке границы, а также предельные значения по последовательности точек ограниченных аналитических функций в фиксированной точке гранита.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались на Харьковском городском семинаре по теории функций (рук.проф.Ловин Б.Я.) 1979 г., па Всесоюзном симпозиуме по теории аппроксимации Функций в комплексной области (Уфа, 1980), на XXII конференции математиков Литвы (1981 г. ), на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и ..омплексный анализ" (Черноголовка, 1981, 1983 г.г.), на семинаре им.Хапланова М.Г. (1981 г. ), на семинаре "Тауберовн теоремы и их приложения" (рук. акад. Владимиров В. G., д.ф.-м.н. Дроязшнов D.H., д. ф. -м. н. Завьялов Б. И,) Всесоюзная школа молодые ученых "Комплексные методы в математической физике".(1984 г.), на семинаре кафедры математического анализа РГУ (1986 г.), на семинаре кафедры дифференциальных й интегральных уравнений РГУ (1986, 1989 г. г. ), а так же неоднократно на семинаре кафедры математического анализа КубГУ.

Публияацин. По теш диссертации опубликовано 6 работ.

Обьем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, подразделенных на 7 параграфов и списка литературы, содержащего 32 наименования. Общий объем работы 115 страниц машинописного текста.

11 . СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Введение содержит обзор работ по граничным значениям модуля аналитических ограничению: в полуплоскости функций и краткое содержание результатов диссертации.

Будем обозначать Н (Я) пространство ограниченных

аналитических в верхней функций $(&). Не огранич

Функции из допускают факторизацию, называемую '

представлением Пуассона-Стилтьеса-Герглотца

где Х>,0,

+ со

J t-Ä tz j

- OÖ

juCi) -неубывающая функция, подчиненная условюр

(1)

-произведение Бляшке

А- к.

а-аи п 1 а*

Вй)= П^ • п _

= ^"К0ГНИ ¿(¿О . Удовлет-

воряющие СООТНОШОНШО

V-' , V-- ъьп<лп

Угловым предельны?/ значением функции € Н (33) а точке 1)3) = Утп% =о} будем называть асимптотическое значение этой функции вдоль непрерывной кривой , лежащей в области

при Будем говорить, что в втом случае по не-

касательному пути (н.п.).

Согласно теоремам П.Фату и Е.Линделефа для почти Бсех существуют определенные угловые граничные

значения

Будем рассматривать необходимые и достаточные условия существования определенных угловых предельны* значений и предельных значений по нормали модуля

в любой фиксированной точке (включая ¿¿0= оо )

, Цч- №(*>! = а.

Н.Н. ^О

7) Коллингвуд Э., Ловатор А. Теория предельных множеств. М: Мир, 1971,312 с.

В диссертации получени условия для любого 0< & $ ¿>

Fhiioo достаточные условия существования нулевых угловых граничных значений произведен!;« Бляшке (в круге) Йнли Р)

получены Ц. Танака ' в предположении, что корш функции

) ;;ошт в области Д Условие Ц. Танака заключа-

ете f? в следующем

lim

¿С . j et , M+i fb

^ о ^ tx

= 0.

ft-»+00

В работе ^ приведены результаты О.Фростмана о Функции в предположении JlJ-'Ct) = О почти всиду на ILv получено достаточной условие существования нулевых утло вж предельных значений S (л) в точке с :

fern Я^^-МК-Ь)

-ь->+о м

В работе показано, что приведенные условия не являются необходимыми для существования

Ч -* V

• tv H.П.. ^О

дано для рассмотренного Ц. Танака случая, когда корш лекат в области Штольца.

8) ÇwruxMA), Chuji. thz lotuidaJiy, vuLtu 4 Ь1олскЬг jnoducU and theûi quotients.-Фи*. Опт. niatk. Soc., Ш5, v.i^xib,

9) Нос про К. Предельнее множества. М. :ИП, 1963, 250 с.

Таким образом, в нашэй постановке - нахождение необходимых и достаточных условий существования произвольных заданных углов?« щхдальных значений и продельных значений по нормали в фиксированной точке границы - задача ранее не решалась.

Нэк как мы рассматриваем модуль функции Н (?))(

то факторизацию Функции 4(£) удобно записать так

■+ оо

м=1

п.

2-2

п■

■+ оо

¿^ ш

ос

Задачу о продольных значениях функций Н

можно естественно обобщить, именно: рассмотреть б сО неположительную субгармоническую функция №(£). Известно, ^ что IV'(2) £ 0 имеет представление

+ 5 \ 1п

¡>: Ъп ¿,>0V

_ Т с^Ш

V"! С%>

10) Привалов И. И. Субгармонические функции.М. -Л.: ОЬТИ, 193?, 199 с.

где ¿, = 11-« 11)" , -неубывающая функция, подчинен-

ная условию (1), б"(£0 -борелевская мера, такая что

Будем рассматривать критерии суиествования определеннее предельных значений по некасательным путям и по нормали в фиксированной точке

Первая глава диссертации посвящена изучению необходимых и достаточных условий существования бесконечных пре-;.'аль»тых значении неположительных субгармонических функций.

В первом параграфе главы изложены критерии существовал -ния бесконечных предельных значений неотрицательных гармонических функций по НОрШЛИ.

ТЕОРЕМА А. Неотрицательная гармоническая в $) функ-

-X

< + оО,

гдо не убывав? и подчинена условию (1), имеет

бесконечное продельное значение в точке по

нор® ли к ^ +

: + ОО

тогда и только тогда, когда

причем, последний интеграл на бесконечности сходится.

Приводятся контрпримеры, указывающие на отличие полученных результатов от имевшихся ранее достаточных условий.

В параграфе втором исследуются оценки снизу функций 1л/(&). Исследование основано на применении метода, предложенного Хейманом У. [б] .

В третьем параграфе рассматривается логарифмический по-

Ъп ¿,>0}

и общий случай субгармонической функции №(%).

Говоровым Н.В. з С2],[3] было введено понятие аргу-кентно-грзничной плотн ости. Воспользуемся этим понятней для характеризации распределения шсс функции в окрестности точки Хд&'дЮ

ТЕОРЕМА В. Для того чтобы неположительная в субгар-.ионичоская функция V/ (¿6) имела' по нормали к в точ-

ке У-0 бесконечное предальноэ значение

йт У/(х0 + 1Я) = -°о

необходимо и достаточно

+ оо

lbmü\ сШ^сй: = + оо1 R,-»+0 JR ta (2)

причем, последний интеграл на бесконечности сходится.

СЛЕДСТВИЕ. Ограниченная аналитическая в полуплоскости функция ^(х) имеет некасательный предел в точке равный нулю тогда и только тогда, когда выполнено (2).

Во второй главе рассматриваются конечные предельные значения неположительных субгармонических функций.

В первом параграфе етой главы исследуются условия существования конечных предельных значений гармонических положительных функций.

ТЕОРЕМА С. Для того чтобы предел по нормали в точке неотрицательной гармонической в f) функции U(Z) бил конечен и равен

(¡Ж U(X0+Lß)=C, О^С^+оо, fU + 0

необходимо и достаточно

0 4-00

tun i ( jucyt)-ju(^-b)^ % Fl **

Полученное условие по форме отличается от результатов Фату П. и Люмиса Л. , но им эквивалентно.

Во втором параграфе рассматриваются условия^существо-вания конечных предельных значений потенциала Здесь удалось установить, что в случае конечных предельных

значений- по нормали rc ??) в точке асимптотика в окрестности функции ш и штограла Пуасссна-Стил-тьеса с плотностью специального вида одна и тп;г.е. Гяполь-зуя этот Факт и результаты предыдущего парпгррфз, получаем

TEOFFMA I) . Продел по нормали в точке ¿i0 неположительной субгармонической в Ш функции W(2) конечен

яраш' РIm w^nlD-'-c, ott<+оо,

тогда и только тогда, когда fjjTi T^Üüi^ - С

R->4 О

В третьем параграф исследуются критерии существования угловых предельных значений потенциала Грина ß(%) и субгармонической функции W(,3t) i 0.

Введем функции, характеризующие распределение масс в окрестности точки .^eDiO справа и слева от нормали в точке к границе 'ЗеО

X t)= ± [j^v-O-^M.

{г.: lt.-^ol<"t,

ТЕОРЕМА E. Угловой предел субгармонической в функции В точке 0io€?3)

м llrrb W(Ä)=-C, л н.п/^о

тогда и только тогда, когда выполнено соотношение

fem

-м-

Отметим, что для функции £(.£)€ Н (^распределение масс принимает вид:

^(Vfcb 4 ir-^-^o)}.

Un'.ISt^oK-t,^^^

Вышеупомянутые результаты переносятся и на случай "Ett |f(£r)| с указанием особенностей этого частного

' ? у.

случая Функции

Четверный параграф посвящен приложениям развитых' методов к исследованию дискретных предельных значений функции Ka)éH°°(a).

Число CL назовем дискретным предельных« значением ограниченной аналитической функции по последовательности если

В 1964г. Гавриловым В. Я ^ били получены условия, при которых из существования дискретного предела нормальной (по Монтелю) мероморфной функции в единичном круге К - следует существование углового предела.

В частности, им получен следующий результат: пусть "^Лл^К» рО^Д^-гипербо'лическая метрика в К

11) Гаврилов В. II Пределы по непрерывным кривым и по последовательностям точек нормальной меромор<|ной и обобщенной мероморфной в единичном круге функций. 1 - Вестник Моск. ун-та, Мат. ,мех. , 1964, № 1, с.44-55.

ТЕОРЕМА (Гаврил.ов В. И. ) Если нормальная мвроморфная в К функция имеет дискретный предел

УЧ* )=а

П,-> + со

по последовательности ¿? е |{, имеющей единственную про-сольную точку С е'ЭК, то из условия

П-> + оо

I ГУ

вытекает, что У (3)имеет в точке С с 7) К угловое граничное значение (X .

Функции из Н ($)) нормальны. Так как Н ($))

является подмножеством множества нормальных нероморф1цх

00 ■

в функций, то в Н (50) возможны более слабые, чем условие Гаврилова В. И. ограничения на последовательность

Обозначим К(И)= {5: |35-:10|<Я} П Я). Каздую точку последовательности ^ £ К (Л) покроем кругом

наименьшего радиуса 1- 1(2пУ, для которого не выполнено соотношение ?

р< + оо I

0

+ \\ 1Гс1 <1.

К (у. у

Из множества таких кругов мэгпно выделить коночное или

счетное подмножество [о \ кругов такое, что

1 1 П к

каждая точка 3, ^ покрывается не более чем шестью кругами из атого подмножества. Обозначим ШВЛ^СР^) - сумму радиусов кругов из этого подмножества.

ТЕОРЕМА £ . Если ^ (5е) е И (.<£>) » опускающая значение О- , имеет дискретный предел

ИШП И^г

П + оо

по последовательности имеющей црну предельную точ-

то существует угловой предел в точке .Х0 функции £(£.), раь ный 0. .

Основные положения вынесенные на защиту.

а) Конечные предельные значения по нормали неположительной субгармонической в полуплоскости функции №(£) в фиксированной точке границы полуплоскости совпадают с (-С, О-^Ч + оо ) тогда и только тогда, когда

кгЧсх,,,^ и

(1^+0

где Функция распределения масс,

б) Конечные угловые предельные значения неположительной субгармонической в полуплоскости функции в фиксированной точке границы существуют тогда и только-®огда, когда справедливо равенство

и-^+о а о а

в) Бесконечные предельные сначения по нормЬля-неположительной субгармонической в полуплоскости функции з фиксированной течке границы .X существуют тогда и только тогда, когда 4-со

и ц

р.-МО ^

г) Углогые предельнее значения ограниченных ркалитических з полуплоскости <|унк'тий, опус кя ¡тих одно значение, совладаю? с дискретятя/и прэдвльннми значениями в фиксироьанной течке ггонкпн, с-сли дисхрвттшо значения расе»- триваг-.-ся на посгедога?ель?гости точек спр?деленной густоты.

Основные результаты опубликованы в следутаих работах.

1. Гоеороб К. В.,"ул Л. П. Необходимее и достаточные условия существования угловьгх продельных значений модуля огпкнлчетя'ой рнялогической в полуплоскости функции.

- В сб. Всесоззннк симпозиум по теории аппроксжация функций в комплексной области. Уфа, 1960, с. 39-40.

2. К^гл А. П. Дискретные и непрерывные граничнне значения суб гб имен ичо о к\-у. функций к полуплоскости. - Литовский математический сборник, 1962, т.22, 'в.4,с. 149-151.

3. Д. П. Иообходпшэ и достаточные условия су-ество-врния гган;рг?ж значени." модуля ограниченной аналитической в полуплен КОСТИ - АН СССР', серия мзтемэтич., 1934, К4, с.

4. Мул Л. П. Дискретные предельные значения ограниченных в верхней полуплоскости аналитических функций.-В кн. Математический анализ и его приложения. Ростов-на-Дону, 1985, е. 100-107.

5. Мул А. П. Бесконечные предельные значения по нормали неположительных субгармонических в верхней полуплоскости функций. - Ростов-на-Дону, ¿985. деп. в ВИНИТИ. № 4321. 16 с.

6. А. П. Угловые предельные значения и продельные значе'ниг по нормали неположительных субгармонических в полуплоскости функций. -Ростов-на-Дону, 1985. деп.

в ВИНИТИ. № 5877. 18 с.

Автор благодарен проф. Говорову Н. В. за постановку задачи и постоянное внимание к выполнению диссертационного исследования. В совместной работе [1]результаты принадлежат авторам в рввной мере. Автор считает своим долгом отметить особую ценность советов и обсуждений работ ш, ила проф. Говоровым Н. В.

ч.