Решение задач вязкоупругости кусочно-однородных тел численно-аналитическим методом тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ЙЙЬШ ¡Ш^ЕРСИТЕТ имени ТАРАСА Ш

"7 ?"" м г— 1

! !.....! !, „

ШЕВЧЕНКО

На правах рукописи УДК 535.376

ЗАТУЛА НЕЛЛИ ИВАНОВНА

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ВЯЗКОУДРУГОСТИ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

01.02.04 - иеханика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Киев 1993

Работа выполнена на кафедре механики сплошных сред и нико-математического факультета Киевского университета им ни Тараса Шевченко.

Научный руководитель: кандидат физико-математичесх

наук, доцент Лавренюк В.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Ыаслов Б.П.

кандидат физико-математическ: наук, старойЯ научный сотруд Кушнир P.M.

Ведущая организация: Институт проблем прочности

All Украины, г. Киев

Защита состоится " ¡¡¿(й " 1993 года

в часов на заседании специализированного совета

К 066.18.09 в Киевском университете имени Тараса Шевченко по адресу: 252127, г. Киев, проспект акад. Глушкова, 6, КУ, механико-математический факультет.

С диссертацией ыожно ознакомиться в научной библиотс. ке университета (ул. Владимирская, 53 ).

Автореферат разослан "Л." OsJ^X^X . 1993 г.

Ученый секретарь специализированного оовета сл<-- в.ф. Коеальч'

ОБЗАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ

'Актуальность работа. Интенсивное применение в производстве полимерных материалов, цветных металлов и их сплавов обусловило интерес к теории вязкоупругости, изучение и развитие которой легло в основу ряда фундаментальных исследований и монографий Н.Х.Арутсняна, Д.Бленда, С.В.Вервкского,

A.А.Ильввина. Р.Кристенсена, Б.Е.Победри, Ю.Н.Работнова, М.И.Розовского, Г.Н.Савина, А.Г.Тгодчикова, Дас.Ферри, Н.М.Ху-торянского и других авторов.

В условиях постоянного совероенствования старых и создания новых технология в различных отраслях промыиленности возрастает роль композитных материалов, конструкция и сооружений, состоящих из элементов с различными физико-механичес-хиым свойствами. Изучение их прочностных свойств приводит к необходимости решения конкретных задач вязкоупругости, когда в качестве моделей реальных объектов используптсй вязкоупру-гие кусочно-однородные тела, т.е. вязкоупругие среды, состоящие из однородных и изотропных областей с различными значениями вязкоупругих параметров.

К настоящему времени достаточно полно разработаны методы реиения и исследованы краевые задачи теории упругости неоднородных и кусочно-однородных тел. Развитие этого направления представлено в работах Я.М.Григоренхо, Д.В.Грилицкого,

B.Т.Гринченко, А.Н.Гузя, АЛ.Ильюшина, Г.Б.Колчина, А.И.Лурье, Б.П.Маслова, Ю.Н .Немива. И.$.Образцова, Б.Е.Победри, С.Н.Подильчука, Й.С.Подстригача, В.С.Саркисяна, Г .Т. Судима, А.Ф.Улитхо, Л.П.Хоровуна.

Все более широкое-применение находит подход, основанный на использовании метода потенциала и аппарата обобщенных функций. Суиественным в нем является представление упругих параметров при помощи единичных характеристических функция в виде, едином для всей рассматриваемой области, что обеспечивает автоматическое выполнение условий идеального механического контакта на сопрягаемых контурах. Сведение задачи х система граничных интегралышх уравнений позволяет на единицу понизить ее размерность и тек самим дает возможность при численной реализации этого подхода исследовать вирокий класс задач не только теории упругости, но и вязкоупругооти кусоч-

но-однородных тел о гладкими и кусочно-гладкими границами.

Значительный вклад в развитое математической теории граничных интегральных уравнений и практических методов их речения внесли А.Я .Александров, М.О.Башелейшвили, Т.В.Бурчуладзе, Ю.В.Вервжский, Т.Г.Гегелия, В.Д.Купрадзе, С.Г.Михлин, А .Г.Угодчиков, Н.М.Хуторянский, :1а также зарубежные ученые -П.Бенердки, К.Бреббия, Т.Крузе, И.Массоне, Ф.Риццо.

Целью диссертационной работы является получение для плоских вязкоупругнх кусочно-однородных тел интегральных представлений для компонент вектора перемещений через вязкоупруги.е потенциалы по областям с известными плотностями и вязксупругне потенциалы простого слоя и для тензора напряжений через производите от вязкоупругнх потенциалов по областям с известными плотностями и вязкоупругие потенциалы двойного слоя с использованием функций Грина второй основной задачи теории упругости для соответствующего однородного тела и вязкоупругнх опорато-ров однородных областей; построение дискретных аналогов гранично-временных и определяских интегральных соотношений, а также аффективного алгоритма численной реализации разработанной методики; решение конкретных задач Еязкоу пру гости кусочно-однородных тел с гладкими и кусочно-гладкими границами, исследование влияния вязкоупругнх свойств материала на распределение напряжений в кусочно-однородных телах.

Обсая методика выполнения исследований. Для получения интегральных представлений для компонент вектора перемещений и тензора напряжений в соответствии р принципом Вольтерра использовались постановка второй основной задачи теории упругости неоднородных тел в переме гениях и аппарат обобщенных функций, для реиения гранично-временных интегральных уравнений -теория сингулярных интегральных уравнений, метод граничных элементов. Определение особенности напряженного состояния вблизи угловых точек и изменение ее во времени осуществлялось на основании аналитического реиения задачи плоской деформации составного упругого тела, полученного К.С.Чобанянсм и С.Х.Геворкяном. Отладка составленных на языке ФОРТРАН программ и все расчеты выполнены на ПЭШ. ' ■ -

Научная новизна. В диссертационной работе*подход, предложенный В.'И.Лавренюком применен к новому классу задач плосксй теории вязкоу пру гости к/сочно-однородиих тел. Известные интег-

ральные представления реиения краевых задач теории упругости, исходя из принципа Вольтерра, обобщены на вязкоупругие кусочно-однородные тела типа матрица с включениями, ограниченными гладкими и кусочно-гладкими контурами. Показано, что подученные интегральные представления обеспечивают выполнение условий идеального механического контакта на контурах сопряжения областей. При построении дискретных аналогов гранично-дремеи-ных интегральных уравнений учитывалась особенность поведения полей напряжения в окрестности угловых точек посредством предварительного определения порядка этой особенности и соответствующей степенной аппроксимации неизвестных плотностей потенциалов на угловых граничных элементах. Рассмотрены новые задачи о напряженном состоянии вязкоупругой полуплоскости, содержащей одно или два круглых или прямоугольных упругих включения и подверженной воздействие нортальноЯ равномерно распределенной по границе полуплоскоскости нагрузки. Исследованы распределения полей напряжений и изменение во времени их ин-тенсишостей а зависимости от геометрических параметров расположения включений в матрице.

Достоверность результатов следует из физического и математического обоснования применяемых моделей и методов, апробированных методик, подтверждается согласованием частных случаев с полученными аналитическими решениями, а также с известными в литературе результатами других авторов.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты можно использовать для определения прочностных свойств композитных материалов, обладающих вязкоупругкми свойствами, учитывая при этом неоднородность распределения напряжений в матрице и во включениях. В частности, результаты могут найти применение в радиоэлектронной промышленности при исследовании прочностных временных свойств полупроводниковых структур.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на ХУ-ой научной конференции молодых ученых Института механики АН УССР (г. Киев, 1990 г.), на 1Н-Й Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (г. Львов, 1991 г.). на республиканской научно-методической конференции, посвящениой 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (г. Одесса, 1992 г.), на научных семинарах кафедры механики сплошных сред и кафедры теоретической и прикладной механики Киевского университета км. Тараса Шевченко,

- б -

а также отдела стохастически неоднородных сред Институте механики АН Ткраины (г. Киев, 1992-19» гг.).

Публикации. По материалам диссертации имеется 4 публикации.

Структура и объем работа. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 107 наименований. Обдай объем работы, включая 43 рисунка, составляет 128 страниц машинописного текста.

СОДВРШИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении дается краткий обзор литературы по проблеме исследования напряженно-деформированного состояния плоских упругих кусочно-однородных тел, а также плоских вязко» упругих неоднородных и кусочно-однородных тел. Обосновывается важность и актуальность темы диссертационной работы, приводится описание содераания диссертации.

В первой главе рассматриваются плоские вязко-упругие кусочно-однородные тела, ограниченные гладкими и кусочно-гладкими контурами, находящиеся под воздействием известных силовых факторов. На основании принципа Вольтерра, позволявшего овести решение квазистатической задачи вязкоупругости к ревеню соответствующей задачи теории упругости с учетом замены упругих констант вязкоупругими операторами, рассматривается также постановка второй основной задачи теории упругости для неоднородных тел в перемещениях. В соответствии с подходом, предложенным В.И.Лавренюком, используется представление вязкоупругих параметров через характеристические функции областей включений в виде, едином для всей рассматриваемой области. Показано, что компоненты вектора перемещений в предположении равенства коэффициентов Пуассона матрицы и включений \)о и >)р ( р 2, д.., N ), а следовательно, и вязкоупругих операторов ~\)0 я \Jp ( р « I, 2.....N ), могут быть представлены в виде

В

Ср Dp

~'Р Гр

£/> Го «)

где Д - область, занимаемая вяэкоупругим кусочно-однородным телом: В~ # -Ор . Б о - область, занимаемая матрицей, 2)^ - однородная изотропная область, занимаемая

р -м вклвчением, Л/ - количество включений, Г а Гр -контуры, ограничивавшие соответственно области В и Вр(. р ■ " I» 2. .... Л/ ). Х1 м компоненты вектора массовых

ома и вектора внешних усилий, /2 ¿ - компоненты вектора внешней нормали к контуру Г или Гр . и Ц* - соответственно компоненты вектора перемецений и тензора Грина второй основной задачи теории упругости для однородного изотропного тела, занимавшего облаоть В .

Заметим, что [¡¿(х.трЛ) можно представить в виде сум-ми двух слагаемых:

где

и; и . I) - фундаментальное решение для задач двумерного алоскодеформроваиноге оостояния вязкоупругого бесконечного тела

(3)

-чч V - вязкоупрушй оператор;

I) ~ дололнителышя чаоть, обеспечивавшая выполнение условия

Як 0*0, хеГ?ед 00

уц и ее частные производные по зс является реху-

лярными для произволшой точки ос С Ц

Выражение для СГу (¿) имеет вид (р)

Ш Лр(1) .№(1)

- вязкоупругие характеристики областей В 0 и соответственно.

^Оюраториыв модули Юнга £в и Ер также как и операторы V,, и \)р относятся к классу резольвентных операторов м могут бить представлены в виде

где

С6)

г:т \г*а-Ф)1к г;?т-Аа-щш*

о О

...АО 17)

'Со. . Ер .^¿р - модули Инга и коэффициенты Цуассона, а Г0(1-Т) . К(1-Т) . Гр(Ь1) ,Яр(1-Г.) - ядра наследственности облаотав Л о * соответственно ■ , инвариантные относитвлыю изменения отсчета времени.

Мэ видя соотношений и) следует, что интегральные представления для компонент ьектьра иершекеииИ содержат вяакоуа-ру те потенциалы по облаогям 1) и И р с известными плотностями и вязкоупругие потенциалы простого сдоя по контурам Г м Гр .

Выражения для компонент тензора напряжений получены с использованием (1). соотновений Копя, закона Гука и, следовательно, содержат производные от вяэхоупругих потенциалов по областям В и В р о известными плотностямя и вязкоупругие потенциала двойного слоя, что позволяет определить поле напряжений в лвбой точке рассматриваемого тела, в том числе как вблизи, так и на контурах сопряжений, в произвольный момент времени.

Система гранично-временных интегральных уравнений для оп-

ределения неизвестных плотностей потенциалов (^¿^У?. ^У Ф) на контурах включений получена при помоии соотновений Ц) и t5) при устремлении точхи X на каждый из контуров Гу из о*$— ластк вклвчений В ц с учетом граничных свойств потенциалов двойного слоя на контурах сопряжения и имеет вид

В

с ^

Р Ьр

и-(х , I) л,/*) + { ^ ^ ¿) ¿)

.г

Ъ(х) МЦ) - в^ьд

£р гр

хе Га

С 8)

где (х.^, I) -напряжения, возникавшие в вязкоупругои однородном изотропном теле, занимающем область В , при воздействии единичных сосредоточенных усилий в точке {; е Ъ Интегралы по Гр в соотновекиях (8) следует понимать в смысле главного значения по Копи.

Млеп показано, что интегральные представления для компонент вектора по ре »«пений и тензоре напряжений обе спечатают а»-

■гмггичесхое вчполнение граничных условий, а также условий идеального механического контакта для двух возможных случаев сопряжения: матрида - включение и включение - включение.

В заключительной части первой главы для случая отсутствия массовых сил приводятся дискретные аналоги определявших интегральных представлений и гранично-временных интегральных уравнений. При атом вводится <$унхция аппроксимации неизвестных плотностей потенциалов на граничных элементах, которая для случая гладких контуров областей принимается кусочно-постоянной.

Во второй главе представлен алгоритм численг но-аналитического решения задач о напряженном состоянии вязко-упругой полуплосхости с хруглыми включениями, а также пакет программ, реализующий этот алгоритм.

Исследованы распределения напряжений в эпохеидной матрице, содержащей круглые медные включения ( Ер / Е0 »32,7 ;

р * 1,2) с использованием^ представлений операторных модулей' упругости Ё0 и сдвига С0 матрицы в виде

i Во

= J ( I 4 U)0 itY-U?-))

(9)

- интегральные операторы Вольтерраг & "0,5, ,052 ч ~0'5, -0,12 ч""0,5 - реологические

Э*

где и) е . о,

параметры матрицы. * / • \

Приближенное выражение для удобнее при

ревепии практических задач, определялось по формуле

. (1ы) гдп X = , / + <*)

ьосгэдоюнн зависимости напряженного состояния вязкоуп-

ругой ПОЛУПЛОСКОСТИ ОТ ГЛубИНЧ погружения И расстояния М6,..Ду включениями. С этой цэльп били рассмотрены следующие задачи: определение напряженного состояния в матрице:

1) с одним круглым включением, располоизкным на глубине Л- » 5 d. id - диаметр включения),при нагрукении отрезка

/"—100 с£ , 100 íi J границы полуплоскости равномерно распределенными нормальными усилиями интенсивности ;

2) с одним круглым вклвчением, расположенным на глубине соответственно Н- * 0,5 d и h- • 0,2 & , при воздействии на отрезке f-1, 5 cL ; 1,5 cLJ границы полуплоскости |»в~ номерно распределенной нормальной нагрузки интенсивности д, . На рис. 2 представлено изменение во времени интенсивности напряжений Óo(^) • отнесенной к начальному значении интенсивности О'о * • в указанных на рис. I точках С Д "0,5 d). Пунктирными линиями на рисунках показаны при -L — предельные значения увеличиваюаихся со временем G0(¿)/(To* i

3) с двумя круглыми включениями, находящимися на расстоянии t * 0,5 el и глубине Iii' h¿" 5 d, при нагру-жении отрезка 100 d , 100 cL J границы полуплоскости равномерно, распределенными нормальными усилиями интенсивности

4) с двумя круглыми включениями, находящимися на расстоянии t «0,5 d ( К, « /Ц-0,5 d и Ii, • 0,2c¿) и £ ■ 0,2 d ( flf h-j* 0,2 d ), соответственно при воздействии на отрезке /*-2 d , 2 d] границы полуплосхостц равномерно распределенной нормальной нагрузки интенсивности

Qo . На рис. 4 приведено изменение Oa(í) I Оо* в точках, указанных на рио. 3 ( t « 0,2 d и Л* * Лл ■ 0,2 fit )«•

Заметим, что вое вычисления проводились для коэффициент ' тов Пуассона Vo « V/j ■ 0,35 С р « 1,2),

Для подтверждения достоверности полученных результатов рассматривалась задача определения напряжений по контуру уп~„ ругой «аййн, впаянной в круговое отверстие вязкрупругой пласг тины, растягиваемой на бесконечности нормальными усилиями, По аналогии о известным в литературе решениемданной задачи было получено аналитическое ревекие для опоксидной матрицы с мед- i ным вклвчением (Ej / Е0 - 32,7), находяцймоя в однородном на- _ пряженном поле, в предположении раиенотва коэффициентов Пуассона матрицы и включения. Максимальная погрешность вычислений напряжений по контуру вкл»че>ния численным методом по сравнении с аналитическим не превышает 3 %.

Ш/е:

О

Рис. I

г >з Рис. г

4 tu

Рис. 3

7

Третья глав а посвящена исследованию влияния концентраторов напряжений типа угловых точек на напряженное состояние вязкоупругой полуплоскости, содержащей прямоугольные включения.

Определение порядка сингулярности поля напряжений вблизи угловых точек включений осуществлялось на основании подхода, предложенного К.С.Чобаняном и С.Х.Геворкяном для исследования характера распределения напряжений в окрестности угловой точки линии раздела областей поперечного сечения составного упругого тела, находящегося в состоянии плоской деформации. Установлено, что изменение порядка особенности поля напряжений во времени для случая эпоксидной матрицы с прямоугольными медными включениями незначительно. Отметим, что в дискретных аналогах гранично-временных интегральных уравнений для угловых граничных элементов выбиралась аппроксимация неизвестных плотностей потенциалов, соответствующая особенности напряженного состояния вязкоупругой полуплоскости вблизи угловой точки контура включения.

В этой главе указана также структура программы, обеспечивающей реализацию алгоритма численно-аналитического решения задач о напряженном состоянии вязкоупругой изотропной полуплоскости с включениями, ограниченными кусочно-гладкими контурами.

Как и во второй главе исследованы зависимости распределения напряжений и изменения их интенсивностей во времени от геометрических параметров расположения включений в матрице для случая Вр / Е0 » 32,7 С р - 1,2) с учетом равенства коэффициентов Пуассона матрицы и включений ( "\)0 » ^р - 0,35; р* 1,2) на примере следующих задач: определение напряженного состояния в матрице:

1) с одним квадратным включением, расположенным на глубине ¡1 • 5 & (а - длина стороны включения), при воздействии на отрезке /"-100 а , 100 а 7 границы полуплоскости равномерно распределенной нормальной нагрузки интенсивности

2) с одним квадратным включением, расположенным на глубине соответственно Л « 0,5 О- и ' К т 0,2 а , при воздействии на отрезке /"- 1,5 й ; I, 5 й ] границы полуплоскости равномерно распределенной но^ядьной нагрузки интзноивнос-ти

- W -

3) о двумя квадратными включениями, находящимися на расстоянии £ - 0,5 й и глубине Л i » k¿ « 5 Q- , при нагружении отрезка AlOO cl , IOO о. j гранит полуплоскости равномерно распределенными нормальными усилиями интенсивности ^о ;

с двумя квадратными включениями, находящимися на расстоянии t - 0,5 а (. kL~ h¿- 0,5 а ) и £ - о,2 а ( Ai ■ 0,2 а. ) соответственно,при воздействии на отрезке [-z d , 2 о, j границы полуплоскости равномерно распре-

деленной нормальной нагрузки интено

В заключении сформулирована основные результаты диссертационной работы, которые состоят в следующем:

- для плоских вязкоупругих кусочно-однородных тел на основании принципа Вольтерра с использованием функций Грина второй основной задачи теории упругости для соответствующего однородного1 тела и вязкоупругих операторов однородных областей получены интегральные представления для компонент вектора перемещений через вязкоупругие потенциалы по областям с известными плотностями и вязкоупругие потенциалы простого слоя и для компонент тензора напряжений через производные от вязкоупругих потенциалов по областям с известными плотностями и вязкоупругие потенциалы двойного слоя;

- показано, что полученные интегральные представления для вектора перемещений и тензора напряжений автоматически обеспечивают выполнение условий идеального механического контакта и граничных условий;

- построены дискретные аналоги гранично-временных и определяющих интегральных соотношений с учетом особенности поведения поля напряжений в окрестности угловых точек я ее изменения во времени; разработан эффективный алгоритм численной реализации предложенной методики;

- для случая эпоксидной матрицы о металлическим включением получены численно-аналитические ревекия задач о напряженном состоянии вязкоупругой полуплоскости с одним или двумя упругими включениями в зависимости от г» ометрмческях пара-

првдставлено изменение во времени hi * • 0,2 ü ) в точках, указанных на рис. 5.

метров вхлсчвний и их размещения в матрице.

Так как во многих случаях прочностные свойства материалов зависят не только от характера распределения напряжений, но и от изменения со временем их интенсивностей, ограничимся анализом изменения относительных интенсивностей напряжений, который позволяет сделать следующие выводы:

I. Для рассмотренного случая Ер / Efl • 32,7 С р ■ 1,2)!

а) на глубине h «= 5 с/ или Л- « 5 С1 , соответствующей однородному напряженному поле, в матрице, во внутренних точках включений, как круглых так и квадратных, и на их контурах наблюдается процесс релаксации относительных интенсивностей напряжений €tc(l) / 0"о' • сопровождающийся уменьшением скачкой напряжений Ооо /¿)/§о при переходе через контуры круглых и

(к * 1,2) - через соответствующие стороны квад-т ратных включений. Через пять часов после приложения нагрузки ото уменьшение составляет в среднем 17-18 % для круглых и 18-20 % для квадратных включений. Наиболее динамично процесс релаксации СГо^)/СГ0 проходит во внутренних точках включений и в окрестности соседних угловых точек квадратныхе-включений. По истечении пяти часов с момента приложения нагрузки происходит уменьшение по абсолютной величине касательных напряжений вблизи угловых точек примерно.в 1,5 раза.

б) при h ^ 0,5 (I или /1—0,5 а релаксация относительных интенсивностей напряжений происходит в матрице, во внутренних точках включений и на их контурах за исключением отр дельных областей. Для случая двух круглых включений G0(l)fG<. существенно уменьшается в окрестности диаметрально противоположных, близлежащих точек контуров v. ( » 0,5 d) и на отрезке между ними С С* 0,2 d), для случая двух квадратных вклвчв-ний - на верхних основаниях включений и в верхней части области, расположенной между включениями { t » 0,5 i ), а также в окрестности верхних угловых точек включений С £ " 0,2 а и

■ he • 0,2). Увеличение со временем Go(L) /6с* происходит в нижней части круглых вхлвчений за счет роста здесь со временем растягивающих радиальных напряжений и на некоторых участках контуров этих включений в результате возрастания по абсолютной величине окружных напряжений. Установлено, что предельнно значения Go (i) J Ос* при i" в указанных областях не превышает 2-х единиц. В квадратных включениях значительное увеличение >0-) / Со* происходит на низших основаниях и особенно в

окрестности соседних нижних угловых точек включений за счет роста здесь со временем растягивающих напряжений G"„ (L\ j На бесконечности G0(l)l Go ограничены 2,5 единицами.

Таким образом, уменьвение глубины погружения включений в матрицу влечет sa собой увеличение (У0(1)1 Со* в указанных облаотях. При сокращении расстояния между включениями возрастают величины скачхов Осе>{1)1$о на соседних участках контуров круглых, a G"ei(L)/Q0 - на соседних боховых сторонах квадратных включений. Наличие этих эффектов, а также увеличения по абсолютной величине для случая двух квадратных включений касательных напряжений со временем в окрестности соседних угловых точек у верхних, а при С « 0,2 а , ht° 0,2 а и у нижних оснований вклвчений монет стать причиной отслоения включений от матрицы.

2. Учет особенности поведения поля напряжений вблизи угловых точек вклвчений Для рассмотренных случаев показывает, что при малых значениях порядка особенности и малых изменениях его во времени влияние особенности напряжений на общее напряженное состояние вязкоупругой полуплоскости незначительно и сказывается лишь в окрестности угловых точек вклвчений.

Основное содержание диссертации изложено в еле дувших работах: I. Затула Н.И. Интегральные представления для вектора перемещений и тензора напряжений в случае плоских вязкоупругих кусочно-однородных тел // Тр. ХУ-ой науч. хонф. мол. ученых Ин-та механики АН УССР, Киев, 29 мая - 1 июня 19УО г. - Ч. 2 / Ин-т механики. - Киев, 1990. - Дел. в ВИНИТИ 10.07.90, . * 3001 - В90. - С. ¿24 - 229.

¿. Затула Н.И. Исследование напряженного состояния вязкоупругой полуплоскости о включением произвольной формы // Механика неоднородных отруктур. Тез. докл. 3-й Всес. конф. (Львов. 17-19 сентября 1991 г.). - Львов. 1991. Ч. I. - С. 127. Э. Затула Н.И. Распространение напряжений в вязкоупругой полуплоскости возле кругового отверстия о впаянной упругой тя-бой / Киевский ун-т. - Клав, 1992. - II о. - Дел. в -УкрИНТЬИ 21.03.92, М ->98 - Ук92.

Лавренвк В.И., 1алан В.Г.. Баран О.И., Затула Н.И. К . -ли-зад^ч теории упругости и вязкоупругости кусочко-однород^х тел методом граничных элементов // Тез. докл. peon, науч,-мет. конф., поев. 200-«агию со дня роад. Н.И.1 ооачвьскт;-(.Одесса, Э-в_сенгдбря Одесса, 1992. Ч. 2. -

Подчасано к почата Г/ о* Н Ziv.mLl.*.'*0 *{.аз.\:нолйио «riirTwicrfcia jKjaniUi wi. - J