Упругая полуплоскость с приграничной нагрузкой и дефектами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

к

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 ОД

1 3 ДЕН 15Гп

На правах рукописи

Пронина Юлия Григорьевна

УПРУГАЯ ПОЛУПЛОСКОСТЬ с ПРИГРАНИЧНОЙ НАГРУЗКОЙ И ДЕФЕКТАМИ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1995

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета ПМ — ПУ Санкт-Петербургского Государственного Университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор физ.-мат. наук, профессор Ю.М.Даль

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физ.-мат. наук, профессор С.А.Зегжда

доктор физ.-мат. наук, профессор В.К.Прокопов

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Санкт - Петербургский Государственный Технический Морской Университет

Защита состоится _199(3 г. в ча-

сов на заседании диссертационного совета К 063.57.13 по присуждению степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198904 СПб, Старый Петергоф, Библиотечная пл.2, СПбГУ, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Дентальной научной библиотеке им. М.Горького СПбГУ, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан "_"^ввяорл 1995 г.

Ученый секретарь Совета доцент

М.А.Нарбут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В плоской теории упругости места приложения сосредоточенных сил и моментов принято рассматривать как изолированные особые точки. Аналитические выражения для этих особенностей получены в классических задачах Келмшпа (о силе в неограниченном теле) и Фламана (о силе на границе полуплоскости). Дальнейшим развитием этой темы занимались Ж. Буссииеск, И. Мичел, С.Д. Карозерс, А. Ляв, С.П. Тимошенко, Г.В. Колосов, II.И. Мусхедишвшш и другие. Задача о сосредоточенных с;1лах л моментах, действующих внутри полуплоскости у ее границы, исследовалась рядом авторов, среди которых отметим Е. Мелана, A.C. Стевенсона, Р. Гоша, Ж. Дап-дарса, X. Хана, А.Е. Грина, В. Перну, А.И. Лурье. Периодическим сосредоточенным нагрузкам на границе полуплоскости посшпцены статьи II.X. Ару-тюшгаа, В.В. Власова, Ю.М. Даля и др.......- • - • - ••

Аналитическое решение задачз! о сосредоточенных усилиях в полуплоскости представляет большой интерес для прикладных проблем механики твердого тела. Одной из них является исследование напряженно-деформированного состояния в полуплоскости с краевыми выемками. Вырезы и выточки различных очертаний играют большую роль в инженерном деле. Они встречаются в различных конструкциях и деталях машин: на роторах турбин, на валах машин и пр. Для теоретического определения коэффициентов концентрации напряжений в телах с краевыми выемками обычно используют метод Г. Пей-бера; к сожалению, для некоторых классов вырезов он дает существенную погрешность. Большое количество экспериментальных данных существует для пластин с вырезами, находящихся под действием осевой нагрузки. Однако, экспериментальное изучение распределения напряжений п пластине с вырезами в случае, когда внешняя песамоуравновешенная нагрузка задана только на контуре выемки, до настоящего времени остается трудно выполнимым процессом.

Решение задачи о силах и моментах в упругой полуплоскости позволяет по-новому подойти к анализу такого важного вопроса, как оценка напряженно-деформированного состояния полуплоскости с приповерхностными трещинами и определение условий их роста. Исключительно важное значение здесь имеет проблема определения условий страгиванпя трещип. Основополагающей в развитии этой темы является работа A.A. Гриффите а. Дальнейшие разработки данной теории принадлежат' И.В. Обрепмову, Г. Непберу, Г.Р. Ирвину, Е.О. Оровану, М. Сиратори, В.В. Позожилову, II.Ф. Морозову, К.Ф. Черных, С.А. Базарову, М.В. Т1аукшто, М.А. Грекову и другим.

- ч -

Цель работы.Диссертация посвящена проблеме теоретического определения напряженно-деформированного состояния упругих тел с различными концентраторами напряжений в приграничной зопе. В качестве теоретической модели используется упругая полуплоскость с заданными особенностями. Строится замкнутое аналитическое решение плоской задачи теории упругости для изотропной полуплоскости, во внутренних точках которой действуют сосредоточенные силы и моменты или их периодические системы. Полученные реше-^ния обобщаются на случай, когда силы и моменты распределены по заданной кривой. Выведенные соотношения применяются затем к расчетам полей напряжений в полуплоскости с краевыми выемками и их периодическими системами, с одной или бесконечным числом периодических трещин и т.д. Определяются условия роста макроскопических приповерхностных трещин.

На защиту выносятся следующие результаты:

— решение задачи о полуплоскости, находящейся под действием сосредоточенных сил и моментов;

— анализ напряженно-деформированного состояния полуплоскости с краевыми выемками;

— исследование распределения напряжений в полуплоскости с приграничными трещинами;

— условие страгивания приповерхностных трещин.

Научная новизна:

— построено точное аналитическое решение плоской задачи теории упру-, гости для полуплоскости, находящейся под действием сосредоточенных сил, моментов, их периодических систем и распределенных усилий;

— исследовано распределение напряжений в окрестности заданных силовых .факторов;

— разработан метод определения напряженно-деформированного состония полуплоскости с периодическими краевыми выемками;

— на основе "балочного" подхода представлено решение задачи теории упругости для полуплоскости с приповерхностными трещинами;

— установлен критерий роста приповерхностных трещин.

Практическая значимость. Результаты исследований могут быть использованы при оценке прочности элементов конструкций, находящихся под действием различных сил и моментов; рассматриваемые детали могут иметь краевые выемки, периодические выступы и приповерхностные трещины - разрезы. В работе предложен метод, позволяющий определять предельно допустимые ста-

тическне нагрузки для полубесконечных тел с приповерхностными трещинами.

Методы исследования. В основу анализа положены методы теории функций комплексного переменного. С их помощью получены замкнутые аналитические выражения для потенциалов Г.В. Колосова в исследуемых задачах.

Использован метод суперпозиция, который позволил отыскать решение исходной задачи в виде суммы более простых вспомогательных задач.

В задаче о полуплоскости с краевыми выемками применен способ фиктивных граничных сил, сами фиктивные силы находятся из граничных условий на контуре выемки.

Решения периодических задач базируются на формулах суммирования бес-копечных рядов.

Достоверность основных результатов работы обеспечивается строгостью постановки задач, сопоставлением некоторых выводов, полученных различными способами, сравнением результатов отдельных вычислений с данными других авторов и экспериментальными фактами.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались в Санкт-Петербургском Государственном Университете на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела (факультет ПМ-ПУ СПбГУ); на конференции "Математические модели в механике деформируемого твердого тела" (Санкт-Петербург, 1994); на Первой международной конференции "Актуалькыепроблемы прочности" (Новгород, 1994); на Петербург ских чтениях погироблемам прочности (Санкт-Петербург, 1995). па Семинаре "Теоретические и прикладные проблемы механики разрушения" (Сапкт-Петербург, ИПМАП1 РАН, 1995).

Публикации.Основпые результаты работы опубликованы в статьях (1 - 4] и вошли составной частью в работу по гранту РФФИ "Теория развития и залечивания поверхностных дефектов в металлах" (N 95-01-00335а).

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 101 наименование. Общий объем диссертации составляет 175 страниц, включая 55 рисунков.

- б -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен обзор литературы, касающейся изучаемых в диссертации проблем, и дано краткое содержание работы.

В первой главе в терминах комплексных потенциалов Г.В. Колосова рас-

смотрена плоская задача теории упругости для сосредоточенных (распределенных) сил, действующих внутри изотропной полуплоскости 5~ (у < 0) у ее границы. Решение задачи об одной сосредоточенной силе в полуплоскости представлено в виде суммы решений двух задач: первой — о неограниченной плоскости <7°, загруженной симметрично относительно оси абсцисс двумя сосредоточенными силами, и второй — о полуплоскости С1, на границе которой действуют напряжения, противоположные по знаку тем, которые возникают на оси абсцисс в первой задаче.

Функции Г.В. Колосова Ф°(г) и Ф°(г) для тела С0 известны, они приведены во многих монографиях по теории упругости. Вычисление напряжений на оси абсцисс дает сг°у(г) = 0, ф 0. Задавая па границе

тела С1 нагрузки N — -а°г(г), Т ~ 0, по формулам

+ 00

Ф1« = -—. I ^-^сЙ, ^(г)

2 ■кiJ Ь-г 4 '

— оо

находим функции Г.В. Колосова и для полуплоскости С1. Складывая решения этих задач, с помощью интегралов типа Копш получаем искомое решение задачи о сосредоточеной силе в полуплоскости со свободной границей:

+СО

1 Г Я-ИТ ¿ФЧг)

—о»

Ф(г) = Ф°(л) + Ф1^)

X -ПУ

2тг(1 + х)

1 х

-+-:

г - г. ¿-г.

Х+гУ

X - ¿У гт-гг 2тт(1 + х ) (г — гр)2>

X — ¡У 2тг(1 + х)

2*(1 + х) 1(г — гр)2 {г-£,} 1 гр-гг 2гДгр - 2р)'

+

г-г, г-гр (г - гр)г (г - грУ

Далее в работе вычислены напряжения и найдены функции у?(г), ф{г), необходимые для определения компонент перемещения.

Проведенные расчеты выявили особенности влияния свободной границы полуплоскости на характер распределения упругих напряжений; естественно.

что по море удаления точки приложения силы от грапици полуплоскости значения компонент напряжения стремятся к аналогичным величинам в бесконечной плоскости.

Формулы (2Ь позволяют получить решение задачи о полуплоскости, находящейся под действием нагрузки Р{Ь), распредленпой по произвольной кривой Г, задаваемой однозначной кусочно дифференцируемой функцией

Ф(,)=-/

щ

2тг(1 + х )

1 х

+

сЬ

т

¡-4

2тг(1 + х) (г-£)2

Р(0

2тг(1 + х)

х*

¿3+

+

[ ру>

1 2тг(1 -

(1 + *)

(* (г - г)3

х 1

г - 4 г - (г - ¿72 (г - ¿)3

(3)

Здесь ¿з —: дифференциал дуги контура Г, ( 6 Г, £ £ Г,. В некотрых случаях интегралы в (3) вычисляютя в замкнутом виде (два таких примера рассмотрены в работе). Однако, в большинстве ситуаций приходится решать задачу численно с помощью аппроксимации кривой Г ломаной, состоящей из N прямолинейных отрезков.

На основании зависимостей (2)^ получено решение задачи о периодической (с периодом I) системе сосредоточенных сил, действующей параллельно свободной кромке полуплоскости на расстоянии II от нее:

т = -

ад =

+-

Х + гУ Л' -Ь ¿У

' ф- г0) ф - 20)

-;-+ х -:-

фХ - гУ) 2Н:

21(1 + х )

-;--Ь у- ---

2/-(1 + х)

2Ш + г

+ ■

X -{у

ф - г0) ф - г0) х ^---+ -+

21{1 + х)

, (_ _1___2тг с!,ф|> - ¿о)/гЛ]

-г.-рт —

л-

1 ■■■ I

С помощью проведенных вычислений изучено влияние свободной кромки полуплоскости на распределение напряжений внутри нее. Расчеты показали,

что напряжения в полуплоскости с системой сосредоточенных сил при увеличении периода i стремятся к аналогичным величинам в полуплоскости с одной сосредоточенной силой.

Если периодическая система сил действует перпендикулярно свободной границе тела, то решение ищется в виде суммы решений двух следующих задач: первой — о периодических силах в неограниченной плоскости С0 и второй — о полуплоскости С1, на границе которой заданы напряжения, противоположные по знаку тем, которые возникают на линии у = 0 в первой задаче.

В заключительном параграфе первой главы дано обобщение полученных результатов для полуплоскости, на границе которой заданы внешние нагрузки или перемещения.

Вторая глава посвящена исследованию плоской задачи теории упругости для изотропной полуплоскости, находящейся под действием сосредоточенных (распределенных) моментов. Решение задачи об Одном сосредоточенном моменте М, действующем в точке л0 упругой полуплоскости, найдено аналогично тому, как это сделано в первой главе (в виде суммы решений двух задач: первой — о неограниченной плоскости с сосредоточенными моментами, действующими в точках и 20, и второй — о полуплоскости, граница которой загружена усилиями противоположными тем, которые возникают на оси абсцисс в первой задаче). Оно имеет вид

, Мг 1 т, х Ш ( 1 г + V

О помощью интегрирования выражений (4) по некоторому контуру Г, зада<-ваемому однозначной кусочно дифференцируемой функцией, выведено решение задачи о моментах, распределенных по кривой Г, лежащей в упругой полуплоскости. В случае сложного пути интегрирования решение проводится численно, аналогично тому, как вто делалось в первой главе.

На основе соотношений (4) получено решение для периодической системы моментов, действующей параллельно свободной кромке полуплоскости:

М*г 1 " ~ 2Р к;„»г&=й2*

В1П {

т/ V Мы

К ' ~ 2Р

1 , сЦ^МЛ

(5)

1.ВШ ' 1 ' 81П ' БШ ' | '

Решение задачи о периодической системе моментов, перпендикулярной границе полуплоскости, найдено по аналогии с соответствующей задачей для системы сил.

Когда на грапице полуплоскости заданы напряжения или перемещения, то к полученным выше решениям добавляются соответствующие слагаемые.

В третьей главе с помощью соотношений, приведенных в первых двух главах, исследован ряд прикладных проблем. Одной из них является задача об упругой полуплоскости с краевыми выемками. Для се анализа применен следующий подход. Сначала рассматривается полуплоскость с одпоп краевой выемкой; при атом считается, что:

1) прямолинейные участки границы у = 0 полуплоскости загружены нормальными qyy(x) и касательными gXJ(r) усилиями, главный вектор которых считаем ограниченным по величине;

2) на коптуре выемки, задаваемом уравнением г0 = х + Ч/с(г), действуют известные нормальные <j„„(t) и касательные qni(t) пагрузки. Здесь уо(г) - однозначная непрерывно дифференцируемая функция, заданная па отрезке [а, 6] оси абсцисс; . .. •......

3) на бесконечности к полуплоскости приложены напряжения

ОО .СО ОО л

<7« = Я = const, <JrJ - <Jxy - 0.

Искомое поле напряжении представлено в виде:

где слагаемые с индексом суть напряжения в полуплоскости с прямолинейной границей, загруженной усилиями ЯХу{х)> Я — задача 1; индексом ^ отмечены аналогичные величины d полуплоскости, к прямолинейной грапице которой на участке [a, &j приложены неизвестные пока фиктивные нормальные Руу(х) и касательные рху(х) пагрузки — задача 2.

Краевые условия на контуре выемки

<£>Ы + <£>Ы - g„„(ro), + ^'(.-о) =

с помощью определенных преобразований сводятся к системе двух интеграль-цых уравнении

ь ь

-УоИ /P„(t)K(x,t)dt + Jpry{t) (t - x)K{x,t)dt = h{x),

Л

ь ь

-fa(x) /P„y(t)R(x,t)dt + Jp„(t) (t - x)R(x, t)dt = f2(x), x € [a, 6], 4 . 4

где fi(x), /з(е) — известные функции внешней нагрузки, K(x,t), R(x,t) — определенные функции, зависящие от геометрии выреза.

Представляя искомые напряжения pSJ(t) и pIy(t) в виде

и ы

•=1 i=i

где Л1; и Т; суть неизвестные сосредоточенные нормальные и касательные силы, приложенные в точках i; € (а, b) , a S(t — ¿¡) — дельта- функция Дирака, и придавая переменной х дискретные значения х = • • •, приходим к системе 2М алгебраических уравнений относительно неизвестных Лг, и Г;:

А/ U

-Vo(*y)Е* + - х,)К(х^и)Тх = Л(гу),

i=i ¿=1

(6)

А/ АГ

Е-К!>л+ Efc - *i)R(sh*.•№ = ; = М/. i=i ¡=1

Решение этой системы находится в аналитической зависимости от уо(г). qrJ(t), qxy(t)> ЯпЛго}, qnt{z'i) (k = 1, М). Поэтому сосредоточенные силы Ni и 7; могут быть найдены для любых внешних нагрузок и контура выемки (при произвольном фиксированном Л/). После определения Лг, и 2"; вычисляются компоненты напряжений tri*'(г), cr^(z), tr^(г). ■ * Если положить

2АГ

= - - Ш - fe + Ati))}> = ¡=1

то система (6) преобразуется следующим образом:

JAf

-Уо(гу) = ЛОЛ

¡=1

2Af

-»оыЕ^»^)^=¿(=д i = vw.

где Mi = lim — сосредоточенный момент в точке t< £ [а, 6],

Ait—0

G(x,t), H(x,i) — определенные функции, зависящие от геометрии выемки.

Результаты проведенных вычислений показали, что при растяжении (сжатии) пластины с одиночным симметричным вырезом максимальные касательные напряжения, как и следовало ожидать, возникают в "нижней" (центральной) точке выемки. Например, для эллиптического выреза с соотношением большой и малой полуосей а/@ — 1 коэффициент концентрации напряжений оказался равным 2.36, что соответствует данпым, приведенным в книге Р.Петерсоаа "Коэффициенты концентрации напряжений". Данные решения обобщены на случай полуплоскости с конечным числом выемок различной формы.

С помощью замены координат и формул суммирования рядов построенные соотношения распространены на случай полуплоскости с бесконечным числом периодических выемок. Это позволило рассматреть задачи о полуплоскости с "волновыми" или "зубчатыми" границами. Расчеты, проведенные по выведенным формулам, показали, что концентрация напряжений в пластине с регулярно расположенными вырезами значительно меньше, чем в пластине с одиночным вырезом; величины напряжений возрастают по мере увеличения периода системы. Кроме того, значения напряжений в полуплоскости с бесконечной системой выемок при увеличении ее периода I стремятся к значениям напряжений в полуплоскости с одной краевой выемкой. Результата.вычислений подтверждены данными экспериментальных исследований различных авторов.

Далее в третьей главе рассмотрена проблема определения напряженно-деформированного состояния полуплоскости с одной приповерхностной трещиной. Формулы для вычисления напряжений вблизи вершины трещины выведены с помощью метода, предложенного в работе М.А. Грекова, Ю.М. Даля, В.А. Курочкина "Предельное состояние упругой полосы с внутренней трещиной". При этом напряжения и перемещения исходной задачи искались в виде:

2 2

= (!|7 ~* Х>У)>

А=1 *=1

где и<» -— решение плоской задачи для трещины, расположенной в неограниченной области и раскрываемой неизвестной самоуравновешенной нагрузкой р(х) = рп - г'р^у = - их^*;

(2) (2)

>1 > и) — решение плоской задачи для полуплоскости г? < 0 без трещины, на

(з) ■ (3) г (О • (1)1 тт

границе которой действуют усилия <г„ — «т^ = р1 — {ст,, — га^ }. При этом в

обеих задачах напряжения на бесконечности предполагались нулевыми. Здесь

Р1 — нагрузка, заданная на границе полуплоскости.

Затем представлен "балочный" подход к решению данной задачи для достаточно длипых приповерхностных трещин. При этом часть А тела между

трещиной и границей рассматривалась как балка с заданными краевыми условиями, а оставшаяся часть В — как полуплоскость (с выемкой), находящаяся под действием усилий, обусловленных исключением из нее части А (рис. 1). В качестве краевых условий для "балки" выбирались жесткое 5: упругое защемление и, так называемый, пластический шарнир. После решения "балоч-пой" задачи и нахождения опорных реакций в местах соединения частей А и В вычислялись напряжения в последней. При атом, ввиду малости расстояния между трещиной и границей по сравнению с длиной трещины, для определения напряженно-деформированного состояния в полуплоскости па достаточном удалении от разреза часть В рассматривалась как полуплоскость, загруженная на прямолинейной границе или во внутренних приграничных точках. Для вычисления напряжений в этом случае использовались формулы, представленные в первых двух главах диссертации.

А

Б

Рис. 1

Если в полуплоскости содержится бесконечное число периодических трещин, то все, касающееся "балочной" задачи, остается без изменений, а часть В рассматривается уже как полуплоскость, находящаяся под действием периодических нагрузок. Формулы для определения напряжений в такой задаче также представлены в первых двух главах работы. Расчеты, проведенные с помощью выведенных соотношений, представлены в виде графиков на соответствующих рисунках.

Последний параграф главы посвящен нахождению условий роста припо-зерхнос^них трещин. Энергетическим методом выведена формула

= '

М„ сое а.

. ЪЕЩ

+ Р0 [иМ0 сое а, - вш «„)

(7)

устанавливающая связь между эффективной работой 7„ф, углом а приращения трещины, величинами силы Ра и момента Мй, действующих в вершине трещины. Здесь 7„ф = 77 + 2ус — эффективная работа, состоящая из работы пластической деформации ур и удвоенной величины поверхностпой эпергии -ус материала полуплоскости, И — податливость упругой заделки "балки", Е — модуль Юпга и 7(0) — момент инерции поперечного сечения части А в заделке, 6 — толщина пластины, а. — угол наклона нейтральной оси "балки" к оси Ох (рис. 1), связанный с а соотношением

1

= -Ч®-

Значение угла а считаем известным (оно может быть определено, например, с помощью критерия хрупкой прочности В.В. Новожилова).

Зависимость (7) существенно упрощается, когда приращение трещины происходит вдоль оси Ох. В этом случае а = а, = 0 и

V.....ш¡1^1 ^

7»ф ----• (а)

С помощью этой формулы найдены значения некоторых предельных нагрузок, при которых начинается рост трещин. Например, для чисто упругой модели и = 0, 7,ф = 27с, следовательно, формула (8) принимает вид

7с:

М*

АЬЕЩ

При подстановке в эту формулу вместо М0 значений моментов, возникающих на концах "балки" при различных видах нагрузки, найдены предельно допустимые величины этих нагрузок. Например, предельная величина распределенной нагрузки р = const определяется соотношением

P=j у/ьЁ1уа

а предельные величины сосредоточенной силы Р* и момента М", действующих в точке с*, оказываются равными

Р" - 2y/bEI~ü --l—— mm -f-—i—-, -М

{1-е') с' l(/-c*) c*J

и

М* = 2s/bEI-fc l2 min I ---i--, ——---1.

' l (i - c*) (3c* - I) c* (3c* - 21) J

В заключении излагаются результаты проведенных исследований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены замкнутые аналитические решения плоской задачи теории упругости для изотропной полуплоскости, загруженной во внутренних точках сосредоточенными силами и моментами. Эти решения обобщены па случай периодических систем сил и моментов, действующих параллельно и перпендикулярно свободной границе полуплоскости.

2. Найдены функции Г.В.Колосова Ф(г) и в задаче о полуплоскости, внутри которой действует непрерывная нагрузка, распределе1шая по заданной кривой.

3. Исследовапо влияние глубины расположения приповерхностных сил и моментов па характер напряженно-деформированного состояния полуплоскости в окрестности этих сил и моментов.

4. Построено решение задачи об упругой полуплоскости с краевыми выемками, находящейся под действием усилий, заданных на ее грашще и на бесконечности. Это решение распространено на случай периодических выемок. Исследовано распределение напряжений в окрестности краевых выемок и влияние периода системы выемок на коэффициент концентрации напряжений.

5. Представлен "балочный" подход к проблемам определения напряженно-деформированного состояния упругой полуплоскости с одной приповерхностной трещиной, а также с их периодической системой.

С. Выведено энергетическое условие роста приповерхностных трещин.

Автор выражает глубокую признательность Ю.М. Далю и всем членам кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета ПМ — ПУ Санкт-Петербургского государственного университета, а также С.А. Зегжде за большую помощь в работе и участие в обсуждении результатов исследований.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пронина Ю.Г. Первая основная краевая задача для упругой полуплоскости с произвольными граничными выемками. //Деп. в ВИНИТИ от 15.10.93, N 2595-В93, 23 с.

2. Пронина Ю.Г. Напряженно-деформированное состояние полуплоскости с периодическими краевыми выемками. //В сб. "Актуальные проблемы прочности. Материалы со сложными функционально-механическими свойствами". Новгород, 1994.

3. Веселков С.Ю., Даль Ю.М., Пронина Ю.Г. Плоская задача о сосредоточенной силе и ее технические приложения. //Материалы конференции "Математические модели в механике деформируемого твердого тела" (Санкт-Петербург, 1994). М., 1995.

4. Пронина Ю.Г. Балочный подход в механике приповерхностных трещип. //В сб. "Актуальные проблемы прочности", ч.1, Новгород, 1994, с.57.

Подписано к печати 11.95 г. Заказ 026. Тираж 100 экз. Объем 1,5 п.л. Множ.лаб. НИИХ СПбГУ. 198904, Санкт-Петербург, Ст.Петергоф, Университетский пр.2.