Колебания упругих ортотропных тел с полостями произвольной формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ



Г?>

■Г) {

^ I : I ■ » I '

СП - V ? { 1 >

. - - _ ;

)

сг; государственный комитет российской федерации по шсшшу образованию

«V

ростовский государственный университет

на правах рукописи

ГУСЕВА Ирина Анатольевна

КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ОРТОТРОПНЫХ ТЕЛ С ПОЛОСТЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРШ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 1995

РаОота выполнена на кафедре теория упругости Ростовского государственного университета.

НоучннЯ руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.О. Ватулъян.

Официальные оппоненты - доктор фнзико-математичесшх наук,

профессор М.Г. Селезнев; кандидат физико-математических наук, с.н.с. Л.II. Румянцев.

Ведущая организация - Кубанский государственный университет.

Защита состоятся " ЗР " 1995 г. в часов

ня заседашш Диссертационного Совета Д 063.52.ОТ по ¿'изкко-математическлы наукам в Ростовском государственном университете по адресу:

344104, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РГУ, кехвянко-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией гюино ознакомиться в научной библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан ¿г^г&гуг*-? 1995 г.

Ученый Секретарь Диссертационного Совета Д 063.52.ОТ кандидат физ.-мат. наук, доцент Н.Б. Боев

общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблемы виброзащиты и сейсмостойкости сооружений, сейсморазведки, разведки месторождений полезных ископаемых, проектирования сооружений ответственного назначения, работающих в сложных динамических условиях, привлекают пристальное внимание исследователей в настоящее время. Многие из аспектов перечисленных проблем могут быть изучены на основе исследования математических моделей, базирующихся на решениях краевых задач динамической теории упругости для сложных составных областей.

Моделирование процесса возбуждения и распостранения волн в таких областях приводит к необходимости решения задач о колебаниях упругих изотропных и анизотроопных полуограни-ченых тел с дефектами различной природа: полостями, трещинами, включениями (прямые задачи), а также задач об определении местоположения дефекта и его конфигурации по отраженному волновому полю (обратные еадачи).

Учет анизотропии продиктован физическими свойствами сталей, цветных металлов, сплавов,кристаллов,11 грунтов и горных пород.

В настоящее время задачи о колебаниях изотропных полуограниченных тел детально исследованы для полостей канонической формы на основе принципа суперпозиции, метода многократных переотражений. Однако их эффективность значительно снижается для приповерхностных дефектов. Кроме того для полостей неканонической формы применение принципа суперпозиции на представляется возможным.

Учет анизотропии и неканоничность формы дефекта требуют для анализа волновых полей совершенно иных методов, к числу которых можно отнести метода граничных интегральных уравнений <ГИУ) и граничных элементов (ГЭ).

В настоящей диссертационной работе методы ГИУ и ГЭ применены для редаедая прямых и обратных задач о колебаниях ор-тотропных сред с полостями различной конфигурации.

Изложенное определяет актуальность и практическую зна-

_ а _

чимость работы.

Цель работы. Разработка метода' граничных интегральных уравнения (ШГ) и метода граничных элементов (ГЭ) применительно к задачам о колебаниях ортотропных упругих тел с полостями произвольной формы и создание алгоритма решения обратной задачи об определении формы полости в,ортотропной среде.

Методика' исследования. В диссертации используются метода динамической теории упругости, метод ГИУ, ГЭ г метод линеаризации и метод регуляризации А.К.Тихонова.

Научная новизна. Научную новизну составляют еледующие результаты диссертационной работы:

получены две формы фундаментальных решений для ортотропных тел в виде однократных интегралов (по контуру в комплексной плоскости, по конечному отрезку) для установившихся и неустановившихся колебаний;

осуществлена формулировка ГИУ для регулярной и нерегулярной границы в случае ортотропной среды; .' "

разработаны численные метода реализации метода ГЭ применительно к задаче о колебаниях ортотропной упругой полуплоскости с полостью;

разработаны численные метода решения обратной задачи об определении формы полости в ортотропной полуплоскости на основе сочетания метода ГЭ и метода регуляризации на компактных множествах;

Теоретическая и практическая ценность.' Работа носит теоретический и практический характер.. Получёнше фундаментальные решения для ортотропных тел используются при построении и решении ГИУ ж расчете волновых полей на границе среды, а также при решении обратных задач, т.е. задач об оп-.ределении формы полости в упругой ортотропной полуплоскости. Полученная схема решения ГИУ и алгоритм решения обратной задачи реализован на ПЭВМ. : \ , ■

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались

аа Всесоюзной конференции "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Горький, 1989г.), на конференции "Динамические задачи механики сплошной среда" (Краснодар, 1992 г.)» на научных семинарах кафедры теории упругости Ростовского госуниверситета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 106 наименований. Объем диссертации - 125 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы по исследованию волновых полей в областях с неканонической границей, по методу ГИУ и излагается основное содеркание работы.

Первая глава диссертации посвящена построению фундаментальных решений для ортотрошшх сред (плоскость, полуплоскость, полоса).

Параграф 1.1 главы I посвящен постановке основных задач об установившихся колебаниях ортотропннх. сред (плоскость, полуплоскость, полоса) с полостями произвольной формы.

Рассматриваются задачи об установившихся по закону ехр(-Ш) колебаниях ортотропной среды типа полуплоскости, полосы с N непересекающимися полостями произвольной формы в плоской постановке под действием либо внутренних, либо поверхностных источников.

Уравнения движения в системе координат 0х%х3 имеют

вид:

°11.1+ а13,3+Р^+Л =0

2 а)

°13.1+ °зз.з+ 4 = °

Будем считать, что оси упругой симметрии .материала совпадают с осями координат и определяющие соотношения имеют

Зл'чЦ с

а - С & -ь С а

1 1 11 II 13^3

2С55г13 *2>

"зз~ с13е11+ сззезз 1

где е1} - компоненты тензора деформаций, б'м - упругие постоянные материала.

. Замыкают постановку задач у слоем ь'злучеэдя аа бесконечности,. при формулировке которщс копсдьгозая принцип предельного шглсщеш{я...

Подстановка (I) в (2) дают уравнения лакнешя:

Ъ^и. + ро/Ц + = 0, 1=1,3; (3)

где L{J - дифференциальные операюры в частных- цроизводных с постоянными коэффициентами.

Ь13" Ь31= (С13+аб5)аГЭ3' Зг V

В §1.2 строятся фундаыбШ'авдща решищк и**'душ ортотрошюр плоскости, удовлетворит»:; условиям Зйалученкя, под которыми гюшмаются рещещл (3) при <3{110(х-|).

Фундаментальное решение ц-гроктся в р&жах принципа предельного 17агло!де]01я хтри паяют даумзрного ярерЗразованся Фурье и имеет вад:

где -корни некоторого однородного полинома четвертой степени относительно р. Отметим, что в представлении (4.) ветвь многозначной функции выбрана так, чтобы Re ц^>0. Если Re Ц^=0, то выбор ветви обусловлен условием In Контур

о совпадает всюду с вещественной осью за исключением вещественных точек ветвления (для которых ц,|лг=0) и огибает их следующим образом: полокительные точки ветвления снизу, й отрицательные - сверху в соответствии с принципом предельного поглощения. Проведено исследование PQ - характеристического многочлена оператора Ь.

В силу однородности нули Р0 в трехмерном пространстве представляют собой две конические поверхности, направляющие которых С,(ф). С2(ф) обладают следующими свойствами: внутренняя кривая С,(ф) всегда выпуклая (овал), и обе кривые имеют оси координат осями симметрии. Кривые С,(ф), Сг(ф) для аустенитной стали приведены на рис.1. Классификация кривых в зависимости от упругих постоянных и от числа точек перегиба на внешней кривой дана в работах B.C. Будаева.

рис.1.

В §1.3 получен другой вид фундаментальных решений через интегральный синус и косинус в виде однократных интегралов по конечному отрезку.

Параграф 1.4 посвящен построению фундаментальных решений для ортотропной полуплоскости.

Рассмотрим установившиеся колебания ортотропной упругой полуплоскости я^^О под действием сосредоточенной силы, приложенной в точке с координатами (5,,53). Уравнения движения имеют вид (3), а граничные условия представимы в форме:

*3= О, о£». о£>=0 (5)

Решение системы (3) с граничными условиями (5) строится в рамках принципа предельного поглощения с помощью интегрального преобразования Фурье, и может быть представлено в

взде: У(ж) = и™ + !(Я1) , (6)

где и<Я1)- фундаментальное решение для неограниченной среды, 11 1

имеющее вид (4), Я1*' - некоторая регулярная при г3, £3< -е, ( е>0 ) вектор - функция, обеспечивающая выполнение граничных условий, и может быть представлена в виде:

^^ гр-г 1

(7)

В представлении (7) уравнение Дф)=0 определяет релеев-скке полюса ±рг.для ортотропной среда. Отметим, что контур а огибает положительные точки ветвления и положительный реле-евский полюс - снизу, а отрицательные точки ветвления и отрицательный релеевский полюс - сверху, в соответствии с принципом предельного поглощения.

В §1.5 построено фундаментальное решение для полосы,

как решение задачи об установившихся колебаниях ортотропной упругой полосы под действием сосредоточенной силы, приложенной в точке с координатами (Е,,£3).

Уравнения движения имеют вид (3). Граничные условия могут быть представлены в виде:

г3=±Л о£>=0, о<*>=0 (8)

Решение системы (3) с указанными граничными условиями (8) строится в рамках принципа предельного поглощения с помощью интегрального преобразования Фурье и имеет вид:

Ц(п) = |(Я1) , (9)

1, ,

Здесь У1"" - фундаментальное решение для неограниченной 2

среда, имеющее вид (4), ¿г*"0- некоторая регулярная при -П+е<х3,13<П-е добавка, обеспечивающая выполнение граничных условий, представимая е виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости. Полученное фундаментальное решение может быть использовано для исследования волновых полей в волноводах, имеющих конечное число полостей.

В параграфе 1.6 предлагается способ получения фундаментальных решений для задач о нестационарных воздействиях в виде однократных интегралов для ортотропной среды в плоском случае.

Глава 2 посвящена построению систем ГИУ в задачах о колебаниях ортотропной среды с полостями и методам их численного анализа.

Параграф 2.1 посвящен формулировке системы ГИУ, описывающей установившиеся колебания ортотропной упругой; полуплоскости с полостями 1к (& = 1,2,...17), имеющими произвольную форму, колебания в которой вызываются нормальной нагрузкой Р3(о?1), приложенной на границе полуплоскости. Граничные условия этой задачи имеют вид:

хз=0' °1з= °зз=

Г О, [а,Ы

рз(х1 > = | Р(х1), д^е [а,Ы

(Ю)

«Ч

Здесь п^ - компоненты единичного вектора нормали к кривым 1Л , внесшие по отношению к области, занятой упругой средой.

Для построения решения сформулированной проблемы воспользуемся дингадаческой теоремой взаимности и фундаментальными решениями для полуплоскости. Следующие теоремы содержат основной результат рассматриваемого параграфа.

Теорема I. Представление волнового поля вне полостей имеет бнД:

n

им«1 "I [ ^э>-пЛх1 'гз)-и{<х1

А=1 I.

вт (11)

здесь 1/9т - есть поле сыещенйй в полуплоскости без полости:

771

ъ

= - Гр<х1).и^)(Л:М1,Сз).(Зх1 (12)

а

х'=(х1,0)

Отметим, что о^Ог.Б) из (II) находятся согласно определяющим соотношениям (2) через фундаментальные решения

Длй получений гфйнЫйых интегральных уравнений, необходимо В (II) уЬтремйть точку (^ на границу полости Тогда, совершая предельный йереход, получим систему ГИУ вида (для простоты приведена система в случае Л=1):

— I 1 —

+ и®т(51,ез). т=1,3. (13)

Отметим, что в изотропном случае предельные значения находятся на основании известных явных представлений фундаментальных решений и теорем теории потенциала. На основе анализа сингулярных решений а^ доказана следующая

Теорема 2. Для гладких контуров Скп - | (14)

В §2.2 сформулирована система ГИУ для нерегулярной границы. Рассмотрим точку у=(у,,уэ)е1, которая является негладкой точкой границы. Вычислять Скя1 в этом случае позволяет

Теорема 3. Если граница полости имеет угловую точку с углом раствора 2ае, то коэффициенты С^ имеют вид:

^ | -:-1П СОзВД

(15)

где С0(ф) - известные тригонометрические полиномы,

коэффициенты которых зависят от упругих постоянных.

Отметим, что при переходе к изотропному случаю интегралы вычисляются аналитически. Полученный здесь вид коэффициентов СЬл для изотропного случая совпадает с известными.

В §2.3 аналогичным образом строится система ГИУ, описывающая колебания полосы, имеющей У полостей с границами

В §2.4 проводится дискретизация полученных ГИУ видр (13), которые анализируются с помощью метода граничных элементов (ГЭ) на примере задачи о колебаниях ортотропной упругой полуплоскости с полостью, имеющей регулярную границу I. ГИУ такого типа эффективно анализируются с помощью метода

граничных элементов, согласно которому границу полости I аппроксимируем ломаной , состоящей из N элементов. Узлами будут точки с координатами (У1р»У3р)» расположенные посередине каждого элемента. (Контур обходится против хода часовой стрелки). При дискретизации будем считать, что вектор перемещений и постоянен на элементе и равен значению смещений в соответствующем узле ир.

Используя метод коллокаций потребуем, чтобы система (13) была выполнена для узловых точек (У1ч»У3ч)> В результате придем к линейной алгебраической системе относительно неизвестных узловых перемещений порядка 2Я вида: я

Гв1 (16) здесь иир= иг(у1р,у3р) = С (У1р.У3р) = вт(У 1р,У3р)

Отметим, что а^ и представимы в виде однократных интегралов по контуру о, а следовательно атр^ и втр представляют собой двукратные интегралы по контуру о и элементу 1г, г = 1,2,...У.

Интегралы по элементу I с помощью параметризации сводятся к интегралам по отрезку С—1;13» которые вычисляются аналитически, и коэффициенты системы имеют вид однократных интегралов по контуру а+, где а+ есть часть контура а, лежащая в правой комплексной полуплоскости.

Решив систему (16), находим перемещения и} Ц=1,3) в узлах. Зная значения волнового поля в узловых точках, можно определить волновое поле на границе полуплоскости по формуле (II), устремив точку (£,,£3) на границу полуплоскости.

Проведя дискретизацию (II) аналогично предыдущему, можно расчитывать волновое поле в любой точке (1,0) поверхности.

Описанная схема решения ГИУ реализована на ПЭВМ, чему посвящен §2.5.

Для проведения численных расчетов рассмотрена модель

упругой ортотропной среда типа полуплоскости с полостью произвольной конфигурации. Для анализа волнового поля на поверхности среда и вокруг полости составлена программа на языке FORTRAN 77, в которой минимизирован объем вычислений за счет того, что все коэффициенты матрицы системы (к которой сводится система ГИУ на основе метода ГЭ), вычисляются одновременно. Для вычисления интегралов использованы квадратурные формулы Гаусса по 16 узлам. Данный метод вычисления был тестирован на примере решения аналогичной задачи для уравнения Гельмгольца.

Расчеты проводились для аустенитной стали. Получены численные решения для полостей различной конфигурации и различных значениях частоты. На рисунках 2-5 представлены графики распределения волновых полей на поверхности среды для полостей, имеющих форму эллипса. В качестве примера рассмотрен эллипс с соотношением полуосей e=d3/d1; координатами центра (2J0,x30), повернутый относительно оси От, на угол Т, (координата х30 характеризует степень заглубления центра полости). Значения введенных параметров вынесены на рисунки. При расчетах считается, что к полуплоскости приложена нормальная нвгрузка Р(х1 )= РЗ (х1).

Расчеты проводились в зависимости от значений безразмерного параметра эе=йа, а=таг(<31 ,d3), ге= 0.02 + 3.

При анализе волнового поля - методом ГЭ использовалась аппроксимация границы эллипса 8 и 16 элементами, причем при аппроксимации 8 элементами рассматривались случаи аппроксимации вписанным, описанным восьмиугольником и случай 8-угольника о вершинами на границе эллипса, при этом относительная погрешность вычислений не превосходила 3% при зе=0.02 + 1. Кроме того, в данном параграфе предложена приближенная формула для расчета поля перемещений на границе, основанная на идее последовательных приближений. Для сравнения эффективности получаемого решения производилось вычисление волнового поля на поверхности среды методом последовательных приближений, где в качестве нулевого приближения выбрано ^(^,0).

Отметим, что предложенная формула дает недостаточную точность вычислений поля смещений для приповерхностных дефектов, ибо погрешность вычислений в этом случае больше ЗОЯ. Однако для заглубленных полостей и при низких частотах относительная погрешность вычислений, полученная основным методом и по предложенной формуле не превосходит 5 - 856. На рисунках 2 -3 пунктирные линии соответствуют амплитуде перемещений, полученной в результате основного метода (8 и 16 элементов), сплошная - методом последовательных приближений. Значения остальных параметров вынесены на рисунки (Л=|х |).

иЗ_ге

ка=0.4

Т=0

N1=8

N2=16

Р051

ю-6 0.60

0.40 0.20 Л / ч

0.0 -0.20 -0.40 \\ \Л 1/

-3. 00 -2. 00 -1. 00 0 1. 00 2. 00 3. 00

РЦС.2 и!_ге

На рисунках 4-6 представлена зависимость амплитуды перемещения от угла поворота. Кривая 1 соответствует углу поворота 5Г=О, кривая 2 - Т=30°, кривая 3 - углу Т=60°. Отметим, при повороте эллипса ближайший к оси ^=0 максимум амплитуда перемещений смещается и становится более выраженным; наибольшая амплитуда наблюдается в окрестности наиболее близкой к эллипсу точке поверхности.

иЗ_ге

и!_ге

Разработанный в данной диссертационной работе метод позволяет рассчитывать волновые поля для полуограниченных сред, содержащих полости неканонической форда. В качестве иллюстративного примера расчитано волновое поле перемещений на поверхности среда для полостей, иыащкх форму трехлепест-ковой розы и креста.

В данном параграфе исследовано влияние частоты и геометрии полости ( ориентация осей эллиптической полости, ее заглубления) на основные характеристики возбуждаемых в среде волновых полей (амплитудно - частотные, амплитудою - пространственные характеристики). В результате подробного численного анализа выявлено, что излокенная схема достаточна эффективна и позволяет при относительно малых затратах строить приближенное решение ГИУ типа (13) в диапазоне низких и средних частот.

Данные этих расчетов будут использоваться в качестве входных данных при решении обратных задач об определении формы полости, речь о которых пойдет в следующей главе.

Третья глава диссертации посвящена постановке и решению обратной задачи об определении формы полости в упругой орто-тропной полуплоскости. Параграф 3.1 содержит постановку задачи.

Рассматриваются установившиеся колебания ортотропной упругой полуплоскости х3^0 с полостью, ограниченной выпуклой гладкой кривой I. На границе полуплоскости х3=0 считается известным вертикальное поле перемещений и3=/(х,). Колебания вызываются нормальной единичной сосредоточенной силой, приложенной в начале координат. Требуется определить границу полости I. Анализ этой обратной задачи производится на основании представления (II), записанного длй случая У=1. В результате поставленная задача сводится к следующей нелинейной системе операторных уравнений:

(У^.У3)=У е г ®=1,з /<5'>- -Г * (17)

£1'=(х,,0) € Га,.^)

Неизвестными в этой системе являются и{ (х) и I.

г

Отметим, что система подобного типа для колебаний упругой изотропной плоскости с полостью в дифракционной постановке анализировалась в работах И.И.Воровича, М.А.Сумбатяна, Н.В.Еоэза, однако там вместо третьего уравнения из (17) использовалось уравнениес позволяющее вычислить диаграмму направленности, которая и считалась заданной.

Для решения системы (17) используем метод линеаризации в окрестности известного состояния. В 83.2 проводится линеаризация системы (17). Пусть 10~ известная граница полости, мало отличающаяся от I и охватывающая ее. Обозначим индексом "о" величины, относящиеся к среде с полостью 10. Используя Формулы Грина и счктая, что и<(х)=и°{х) на 1о, получаем.простейший вариант линеаризованной задачи:

'I (18)

т=1,з уего

/(е')-и|(|')= -||о{5)(х,Г)-и°(х)) ^(х)-(11з. , (19)

Первые два из уравнений вида (18), служат для определе-нея и°(у) на границе известного контура го,а третье (19) представляет собой интегральное уравнение первого рода с гладким ядром для определения v{x); здесь у(х) - функция,

характеризующая расстояние меаду кривыми ZQ и I , отсчитываемое по внутренней нормали к 1Q> а и°(|') находится на основании (18). Система (18)-(19) относительно трех неизвестных функций (х), v(x) решается последовательно: сначала находятся и°(х) из (18), а затем из (19) определяется v(x). Отметим, что подобная задача является некорректной и для построения ее решения необходимо использовать регуляри-зующий алгоритм. В качестве компактного множества корректности в данном случае выбрано множество кусочно-выпуклых монотонных неотрицательных функций и на нем осуществлено построение решения уравнения (19).

В §3.3 проводится дискректизация полученной системы (18)-(19). Граница I аппроксимируется многоугольником, на кавдом звене (элементе) которого 7q (7=1,2,...V) считается, что и°(х) = u°q(x) - постоянны, причем для определения узловых значений , используя метод коллокаций, получаем линейную алгебраическую систему относительно узловых значений перемещений (16).

Найдя из (16) узловые значения смещений, можно рассчитать поле внутри упругой полуплоскости с полостью I на основании представления (13). Далее переходим к определению функции v(x) из (19). Будем считать, что искомая функция v(x) является монотонной и неотрицательной v(x)*0 на кавдом из элементов I . Практически это обеспечивается ; линейной аппроксимацией v(r) на I и использованием регуляризуицих алгоритмов на множествах корректности.

Отметим, что простейшая аппроксимация постоянными vq на элементе может привести к успеху только для круговой полости.

В рассматриваемых уравнениях (19) введем параметризацию на g-том элементе. В силу аппроксимации и уравнений движения (I), для нахождения г и / получим линейную алгебраическую систему вида: ' ; - -

в«;)- Р^Х % (+ ^ Рз, •

1

где [ (20)

-1

\ <•Г,+Рч*) - V * • ^ 9=1,2.. Л,

срта решении которой использован метод регуляризации А.Н.Тл-аояозэ.

В параграфе 3.4 на основании предложенной линеаризованной постановки обратной задачи и ее дискретизации исследована задача определения формы выпуклой полости в ортотропной ло.'дадоскоста, В качестве примера полости выбран эллипс с полуосями <3,, с33, и центром в точке (х10,х30), на частотах эе=о.1 + з (а=»2га, й=ы{р/С33),/г), а=пах(<31 ,<33). Изменение относительной погрешности определения координат полости при раз-.ягеша значениях введенных параметров дано в таблице I, где ввадзны рледрща обсщачещш: отношение полуосей

искомого эллипсу, е0=к110/с!30- отношение полуосей эллипса или окруадосуи (при }, испольдущихся в качестве начального приближения, 1ТЩ - числа произведенных итеращф для определения неизвестной функции у(х1,х3), характеризующей расстоя-шэ невду кривыми ? ч ? , отсчитываемое по внутренней нормали к I } б=Д7ЛМСЩ - значение относительной погрешности

М-ждаю^дявя отнооптельрая погрешность определения фор-^ полоогй лрк а= 0.1; 1.4; 2.8 раввд соответственно 3%, 6%, 9,*. 3 результате численного анализа было установлено существенное влиянии частота на эффективность предложенного алго-

я

ритма. Отметим, что снижение эффективности предложенной линеаризованной постановки с ростом ае связано о необходимостью более мелкого разбиения границы полости, учета производных от узловых перемещений и° и т.д. В целом же предложенный подход показал достаточную эффективность в широком диапазоне изменения заглубления полости и ее кривизны.

Таблица 1. „.

е ео эе 1ТЕЯ 0 (Ж)

1:2 1 .4 2.8 0.1 4 3.01

1:2 1.5 2.5 0.2 5 3.34

1.5:2 2.3 2.3 0.2 5 3.30

4:2 1:2 1 .4 2.8 0.4 5 3.91

1.4 2.8 0* 6 3.94

1.5:2 2.3 2.3 0.4 6 3.943

1.5:2 2.3 2.3 1.4 11 6.38

1.5:2 2.3 2.3 2.8 17 9.19

1:3 . 1.5 3.5 0.3 6 3.8

1:* 1.5 4.5 0.4 7 4.21

Основные результаты и выводы.•

1. Получены две формы фундаментальных решений для орто-тропных тел в виде однократных интегралов (цо контуру в комплексной плоскости, но конечному отрезку).

2. Исследованы свойствв обобщенных потенциалов, осуществлена формулировка граничных интегральных уравнений для гладкой и негладкой границы в случае ортотропной среды.

3. Разработаны численные метода реализации метода граничных элементов применительно к задаче о колебаниях орто-тропнор упругой полуплоскости с полостью

4. Разработаны численные Метода решения, обратной задачи

об определении формы полости в ортотропной полуплоскости йа основе сочетания метода граничных элементов и метода регуляризации на компактных множествах.

5. Решен ряд конкретных задач о колебаниях ортотропной полуплоскости с йолостягЛ* различной формы (эллипс, трехлё-пестковая роза, крест).

1. Ватульян А.О., Гусева И.А., Сюнякова И.М. О фундаментальных решениях для ортотропной среды и их применение.

// Изв. СКЩ ВШ. Сер. естеств. науки. 1989 - Х2 -с.-81-85.

2. Ватульян А.О., Гусева И.А. Колебания упругого ортотроп-ного волновода с полостью. // Тез. докл. Всес. конф. "Волнов. и вибрац. процес. в машиностроении." Горький. 1989

- с-165-166.

3. Ватульян А.О., Гусева И.А. О колебаниях ортотропной полуплоскости с полостью произвольной формы. // Рост, унив-т

- рук. деп. в ВИНИТИ. 28.06.91. - Я2776 - В-91.

4. Ватульян А.О., Гусева И.А. Линеаризованная постанЬвка обратной задачи о восстановлении формы' полости в ортотропной полуплоскости. // Тез. докл. конф. "Динамич. задачи мех. спл. среды.", Краснодар - 1992 - о-25.

5. Ватульян А.О., Гусева И.А. О граничных интегральных уравнениях а анизотропной теории упругости при наличии' угловых точек. // Рост'.унйй-т - рук. деп. в ВИНИТИ1.- 15.05.91. -Ж958 - В-91;.

6. Ватульян А'.О., Гусева И.А. О колебаниях ортотропной полуплоскости с полостью. // ПМГФ - 1993 - №2.

7. Ватульян А.0., Гусева И.А. О восстановлении формы полости в ортотропной упругой полуплоскости по заданному на границе волновому полю. // ПММ - 1993 - Ы -с - 149-152.

8. Ватульян А.О., Гусева И.А. О нестационарных задачах анизотропной теории упругости. // Рост, унив-т - рук. деп. в ВИНИТИ. 28.10:94.' - №2£

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ