Колебания упругих полиограниченных тел с полостями произвольной формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ргб у«

2 3 ОПТ

государственный комитет российской федерации по высшему образованию

ростовский гос ^дарственный университет

на правах рукописи ЛОТЕТШКО Андрея Эдуардович

КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ С ПОЛОСТЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

01.02.04 механика деформируемого твердого тела

автореферат диссертации на соискание .ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор ф. м. н., проф.

а.о. 0аТУЛЬЯН

ростов на дону 1995 Г.

Работа выполнена на кафедре теории упругости Ростовского государственного университета и на кафедре механики, математики, информатики и конструкций Ростовского государственного архитектурного института.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук.

профессор Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Селезнев Михаил Георгиевич,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Ляпин Александр Александрович.

Ведуцая организация - Кубанский государственный университет.

Защита состоится "{к'1995 г. в___-_^__часов на заседании диссертационного совета Д 063.52.07 по физико-ыатематическиы наукам в Ростовском государственном университете по адресу:

344Р])Ф, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге. 5, РГУ. ьеханико-ыатематический факультет, ауд. 239.

С диссертацией мовно ознакомиться в научной библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: г. Ростов-на-Дону. ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан ".7"___ 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного кандидат физ.-мат. наук, доцент Н.В. Боев

диссертационного совета ^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи об установившихся колебаниях упругих тел с полостями находяг широкое применение при моделировании распростронения волн в геофизике, дефектоскопии, сейсморазведке. Во многих исследованиях прикладного характера для описания загсо-нокерностей распространения волн достаточно моделей изотропной упругой среды. Однако, во многих практически важных задачах модель изотропной среди не отображает истинных процессов возбуждения и распространения волн и требует уточнения и учета анизотропии упругих свойств реальных материалов (грунты, металлы, сплавы, кристаллы).

Задачи распространения и рассеяния упругих волн наиболее полно исследованы для случая стационарных волновых движений, соответствующих возмущениям с гармонической зависимостью от времени. Решение таких задач сводится, как известно, к решению краевых задач математической физики для дифференциальных уравнений в частных производных. Число таких задач, решение которых может быть выписано в явной аналитической . форме, невелико и ограничивается теми случаями, когда краевая звдача решается в области, границы которой совпадают с координатными поверхностями той или иной ортогональной криволинейной системы координат. Основные, наиболее многочисленные результаты получены здесь с помошью метода разделения переменных. Метод разделения переменных дополняют такие аналитические и полуаналитические метода, как метод интегральных уравнений, ,полиноминальных аппроксимаций, источников и стоков и развитый на его основе метод суперпозиции сингулярных решений, метод однородных решений, суперпозиции, а такие другие численные методы.

В изучении граничных задач, связанных с рассеянием волн на на полостях произвольной формы, центральную роль играет метод интегральных уравнений. При этом для их формулировки необходим построение фундаментального решения - смесзшш в неограниченной среде, находящейся под действием сосредоточенной силы. Если для изотропной, среды такие ресения известны, то для анизотропных сг-ед возможна построение лишь интегральных представлений фу;ъг.ау.-кта.:ь-

шх решений. Подавляющее большинство исследований относится к изотропным средам.

Если прямой задаче рассеяния посвящено очень много работ, то работ, имеющих дело с обратной задачей, сравнительно мало. Это связано, в основном, с теш сложностями, с которым! приходится сталкиваться при постановке и решении обратной задачи. Это связано, в первую очередь, с нелинейностью обратных задач, неединственностью решений и некорректностью.

Настоящая работа посвящена развитии методов решения прямых и обратных задач теории упругости для тел с полостями.

Цель работы - построение фундаментальных решений в задачах о колебаниях ортотрогошх полуограниченных тел, сведение задач к системам граничных интегральных уравнений (ГИУ) и разработка численных методов их исследования; решение некоторых обратных задач по определению положения и освещенной части полости.

Методы исследования. В диссертации используются метода динамической теория упругости, метода интегральных преобразований,метод ГИУ, метод граничных элементов, асимптотические методы.

Научная новизна. Научную новизну составляют следующие результаты диссертационной работы:

Построены интегральные представления фундаментального решения для ортотрошюго пространства и полупространства; исследована структура характеристического многочлена. Сформулированы системы ГИУ в задаче о колебаниях ортотропного полупространства с полостями .

Построены фундаментальные решения ортотрошюго полупространства и слоя в случав антишюской деформации.

На основе построенных фундаментальных решений краевые задачи о колебаниях полупространства и слоя с полостями сведены к системам граничных интегральных уравнений по границам полостей.

Разработаны численные методы дискретизации граничных интегральных уравнений на основе метода граничных элементов.

На основании разработанного варианта ЫГЭ решен ряд конкрет-

ных задач о колебаниях полуплоскости и полосы с одной и двумя полостями для различных частот колебаний. Исследовано влияние различных геометрических параметров на особенности формирования волновых полей.

При покощи асимптотических методов решен ряд обратных задач по определению центра и освещэнной части полости.

Практическая значимость результатов работы. Работа носит теоретический и практический характер. Полученные интегральные уравнения могут использоваться при решении ряда прямых и обратных задач о колебаниях упругих тел с полостями. Разработаны вычислительные алгоритмы и пакет прикладных программ для исследования прямых и обратных задач. Выполнены многовариантные расчеты, на основе которых получена возможность оценки влияния различных параметров.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной научно-технической конференции "Надежность машин и технологического оборудования" (Ростов ДГТУ. 1994г.), на конференции "Проблемы гидромеханики в освоении океана" (Киев, 1992 г.), на научных семинарах кафедры теории упругости эостовского госуниверситета.

Публикации. По тзме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и обьем работы. Диссертационная работа состоит из зведения, трех глав, заключения,.списка литературы из 112 найме-юваний и приложений, состоящих из 36 рисунков. Обьеи щссертации - 99 машинописных страниц"основного текста.

СО/ЕРШЙЕ РАБОТЫ

Во введешш дается обзор литературы по исследованию )аспространекия и рассеяния упругих боли, методу ГИУ, по обратным задачам и кратко излагается содержанке работы.

Первая глава диссертации посвящена треххерной задача о влебаниях полупространства с полостями.

Рассматривается установившиеся колебания анизотропного

полупространства с м полостями под действием поверхностных нагрузок Уравнения движения имеют вид (1)

ъ . (а )и + Ри>2и. =0, (1)

где ь (<»№) - дифференциальные операторы второго порядка с постоянными коэффициентами.

Колебания возбуждаются нагрузкой, приложенной к границе полупространства:

а ■ =?1{х1,х2), 3-1,2,3 (2)

1>! =0 I э

а' границы полостей свободны от напряжения:

о" пр| = О (3)

где п* - компоненты вектора нормали к Р-ой полости, внешнего по отношению к упругой среде.

Замыкают постановку задачи условия излучения, при формулировке которых используется принцип предельного поглощения.

Построено фундаментальное решение для ортотропного пространства.

Под фундаментальным решением и]'"* 3,т = 1, 2, з будем понимат решение системы

Ъ + ршгиСто) + б.тб(х,г) = О, (4)

удовлетворявшее условиям излучения.

Решение системы может быть построено при помощи'применения (4) трехмерного преобразования Фурье в рамках принципа предельно]

п0гл01п;:.шя.

„¡-)(1>0 = —ЦТ ■pgg.S«*.^)*,.

(5>

(2ic)

где P0(c,u>) = det [I^baj + рш\ .j- (6)

Pj7.(('-<,ui) получается заменой в выражении для Р0(«,<■>) в определите, ö ой колонки на вектор б1(= ьг>1; &згг)

Летально проанализирована структура кулей полинома Р0 Йсожество нулей характеристического многочлена Рс представляет собой гри поверхности, являющиеся коническими; их направляюще определяются из равенства ро(«И )=0.

После перехода к безразмерным, затем к сферическим координатам, голучаем уравнение для определения этих поверхностей. Они построены идя ряда материалов. На рис. 1 приведены части этих поверхностей для кристалла лития.

На основе фундаментального решения для пространства построено фундаментальное решение для полупространства, удовлетворяющее 1фавнению (4) и граничному условии (2).

г™} 1 Г гг ) Ч(а (? -« )+« « -к )]

R («.«> е (7)

f )г>

Здесь ХУ"'- известные функции. BQ определяет релеевскую функцию да ортотропной среды, a поверхность Г2, всюду совпадает с" зешрственной плоскостью R2, отклоняясь от нее в окрестности юлярного множества подынтегральной функции в (7) в соответствии с условиями • излучения.

На основе теоремы взаимности задача 0)-(3) сведена к системе

'ИУ:

W = (У)" ? S )(х,7)п) (х)и. (x)dSk , (8)

у е Sp, Р = 1, 2.....H

о . .

(десь u" (у) = j P. (x)U.im''(x,ç)c!i - смещение в полупространстве при

я

Z

о J >

тсутствии полостей, о;"'- сингулярные решения.

спользованив специальных фундаментальных решений для анизотропной реды, заранее удовлетворяющих однородным граничным условиям на ранице i = О и условиям излучения, позволяет строить ГИУ г.ноъ по раницак полостей.

Во второй главе рассматриваются антиштоские колебания ортотропно-го полупространства и ортотропного слоя с цилиндрическими полостями.

Колебания возбуждаются касательной нагрузкой, приложенной к верхней границе полупространства.

Уравнение движения имеет вид:

с„«,и .,+ за + = 0 (9)

00 |11 44 ^ 3 3

Граничные условия представили в форме:

*а=0; с«и,. = р<**> <10>

<х.»х.> «"Ч.5 + с-«и,эп1 = 0 . <11>

т

п^— компоненты вектора единичной нормали, внутренней к т-ой полости.

С помощью двойного преобразования Фурье построено фундаментальное решение в виде интегралов по комплексному ко туру о, который совпадает всюду с вешэственной осью за исключением полюсов к»'"*, положительный из которых огибает снизу, отрицательный -сверху

1 г -мс-х 1

Х- Iе (13)

^ = С-в/С44; к2 = х = V - к2

Отметим, что (12) может быть представлено и через функции Ханкеля. При помощи теоремы взаимности задача.была сведена к граничному интегральному уравнения

С(у)и(у) = \£т(у) рвви4(х.У>п1 + С44и|3(х.у)пэ]и(х)с11к (14)

к

где

1/2 - для регулярной точки контура

С (у, .у,) =

хвр'0) - для нерегулярной точки

Используя метод коллокаций, сводим ГИУ (14) к системе линейных алгебраических уравнений относитель'"1 перемещений на ко;ггуре

к =1,2,...Я (15)

причем, благодаря простейшей аппроксимации контуров и неизвестных коэффициенты системы А, - выражаются в виде однократных интегралов по комплексному контуру о .

По найденным из (15) узловым перемещениям и из уравнения (14) находим волновое поле на поверхности полупространства, устремив у (с.,0).

Для численной реализации предложенной схемы выбирались различные фор}ш полостеь Скруг, эллипс, прямоугольник, трехлепестковая роза;,

—7

варьировались их заглубления, вояновмв числа к (от 10 до 12).

Составлены программы, реализуйте алгоритм на ЭВМ "БЭСМ-6" и позднее на ПЭВМ на языке Фортран.

Для вычисления интегралов в бесконечных пределах от осцшш:рущи> функция (есе интегралы шат такой вид) применен специальный метод, осяоейшщй на суммировании порожденных ими знакопеременных рядов.

Серия расчетов-показала на хорошее совпадение решений, получении/ при помощи (решения I) с решением, использущим классическую схему МГЗ и функции Ханкеля ^решение II;. Относительная погрешност! в худшем случае - менее 0.18. Надо отметить, что преимуществе решения II в том, что оно требует несколько меньше машинной Бремени, а решения I - в том, что оно применимо к более широком] классу задач (.плоским, при надичги анизотропии и т.д.), где нет явного представления фундаментального решения.

В задачах о высокочастотных колебаниях (,к=ш-12) приходите! использовать матрицы большого порядка (использовалась комплексна! матрига 240з240).

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решалась пр: помощи подпрограммы,. кепользущрй вшислеяие обратной матрицы. Та; удавалось решать сразу некоторое количество мадач с разны положением источника, а, следовательно, разными правыми частям: СЛАУ, ш вшиелдо каждый раз коэффициенты матрицы и обратну. матрицу•

На рпо-2 приведены зависимости реальной и мнимой час те

возмуэдзния (разность между действительным и эталонным полей) на границе полости при к=1, хоа = 12, И-1, хоа = При увеличении числа элементов с 24 до 32 относительная погрешность определения смешения на полости, соответствующих разбиению с N = 32 и N = 24 не превосходит* При расчете шлей смещений га границе полуплоскости эти различия для разных N становятся еще меньше.

Рассматривались задачи с двумя одинаковыми круговыми полостями радиуса 1.Исследовано влияние расстояния между полостями на волновое поле. Оказалось, что возмуиения от двух удаленных полостей имеют два раздельных максимума амплитуды, а от двух близких полостей - один. И в первом, и во втором случае амплитуды меньше, чем в случае одной круговой полости, и. тек более меньше, чем от эллипса с площадью, равной двум круговым полостям, что по всей видимости можно объяснить расходом энергии на колебание перегородки мевду полостями. Соответствующие графики приведены на рис.3 (X = 2., хоа = 6).

В главе 2 рассматриваются также установившиеся антиглоские колебания ортотроиного слоя, ослабленного цилиндрической полостью произвольной формы с кусочно-гладкой направляющей (Образующая полости параллельна оси хг).

Юолебания возбувдаются касательной нагрузкой, приложенной к верхней границе слоя. Толщина слоя - Ь.

Уравнение движения к гргничные условия на полости те же, что и (9),(11). Нижний край слоя защемлен, а к верхнему приложена нагрузка

х, = О: и = О (16)

. С;4и>в = ?&,) (17)

Аналогично задаче о колебаниях полуплоскости было построено фундаментальное решение в виде интеграла го комплексному контуру

1а(? -к )

и = ¿сГ~ 1 6

2пС Где

<Ж аа(Х1 ), ? - х > о

(18)

С«..*,) = {

сЬ хЦ,-11* Зй(х?з), ?з- 1а < о

0.1

Re(u)

Гш(и)

Рис .2 Пеге&мгркме кз полости разлитой аппроксимации, i: N-8. N-16. 3:

полостей (R=l) и эллиптической полости (а=3, ь=1)

С помощью георемы о вычетах это решение представлено в виде ряда

а> 1а | ?

е п 1

Ч п 1 1. ,

и =--!_\ §- з1п(г к ч з1п(7, т ), Иео. >0. 1ша го (19)

ИП ¿- " 3 "

ьс« о

где гп = "(1/2 + п)/Ь, ап = /к2- ^ '

Аналогично задаче о колебаниях полупространства, с помощью теоремы взаимности задача сведена к интегральному уравнению, а затем к СЛАУ. Были проведены кноговариантные расчеты для различных полостей, их заглублений, волновых чисел к.

На рис.4 приведена амплитудно-частотная зависимость для перенещзшй на полости при наличии протяженного прямоугольного отверстия. (Длина полости 1=10, ширина (1=1, толщина упругого слоя Ь=Ю, середина полости: х01=г), хоа=5, нагрузка приложена в точке х10=9). Пики на графике соответствуют собственным частотам внутренней краевой задачи Дирихле, сопряженной задаче (9),(11).-

Заметим, что такая же картина наблюдалась и для прямоуголыш полости в полуплоскости.

В третьей главе решается задача об определении. центра полости <х01.гоа) и ее формы по известным возмущениям С(^) на свободное поверхности.

Возмущения (разность между действительным и эталонным полем) нг поверхности полупространства определяются следующим выражением:

<4 = С«,) = х К(с.,х)и(х)<Их (20)

где и(х)-перекещвния на контуре 1, - координаты точек наблюдения на поверхности полупространства, х « 1,

(и

К(?.,х) = Н, (р.кНК.-х^п, - хд] р-* (21)

<1>

здесь Н4 - функции Ханке ля первого рода,

л = / (г;-х. )*л> + х*к = / : и = с /с

ОО 44

С помощью разделения переменных получены формулы, позволяющие определять местоположение центра полости.

Пусть а > а() - расстояние от точки наблюдения ^ дс

гнтра полости. В лре&г- отении достаточной удалешости точек 1блвдвния от полости (а./с! » 1) и низкочастотного приближения ш. « 1), используя ¡¡jopy.vr.bi слоивния для цилиндрических функций и < асимптотики, получено уравнение для определения а.

С.а2- 2 С а2 + С. а2 . = 0 (22)

11 1+1 I*» 1+г 142

Формулам достаточно точно удовлетворяют результаты решения прямой здачи- Эта фор)[ула выполняется с большой точностью - выражение

' -7 —а

аева дает значение порядка 10 ,10 .тогда, как слагаемые, в него ходящие 10"г. Эти формулы, полученные аналитически, служат- кроме ;его, еще и проверкой того сколь верно решена прямая задача методом раничных элементов.

Связывая с аи1и взяв четыре точки наблюдения, получаем налитическив формулы, для определения координат центра полости:

СЛ- 8СЛ+ 9<СЛ+ СЛ> - 1бСЛ*5СА »-Г - д 2С4С,- 80^+ 6(сгсз+ с40л) - есгс4 + 2СЭС4

X2. =

су- 2Сг(г.+д)г+ С3(у,-н2а)г ~~ С- 2С,+С.

(23)

(24)

Здесь д-расстояниз иешду ¡--ой и 1+1-ой точками наблюдения-

В таблицах приведены результаты определения координат центра рутовой полости (й=1, к=Ш~а) в зависимости от ее заглубления видно, что лучше это получается для заглубленных полостей) и риведены результаты для эллипсов с различными полуосями табл.1 табл.2

прямая задача обратная задача

201 203 х01 203

0 3 -0.048 2.63

0 4 -0.054 3.58

0 5 0.023 4.84

0 6 0.037 5.99

0 7 0.023 6.96

0 8 0.017 7.88

Ы ьз прямая обратная

201 хОЗ х01 203

. 1.5 1 0 б 0.040 5.93

3 1 0 6 0.096 5.31

1 3 0 б 0.22 5.83

Далее в главе 3 анализируется исходная задача в высокочастотной бласти. Как. правило, при решении таких задач делаются различные редположения о характере волнового шля на границе полости. Это или

Борцовское приближение, где реальное волновое иоле на 1 закеняе падаюшрм полек и1, либо это Киргофовское приближение, где поле "освещенной" части полости принимается равным удвоенному падающему на "теневой" части равным нулю. Проведена серия расчетов, кото показала, что эти приближения работают лишь в узкой области значе параметров.

Вазкушекия на поверхности полупространства определяют выражением (20). Это уравнение решено методом граничн

элементов. В качестве примера приведен вариант, где полость бралась виде круга радиуса R=2, заглубление хоэ=12, волновое число k=1 нагрузка - сосредоточенная сила в точке х1О(9,0), число разбиен N=240, угол <р отсчитывается от верхней точки горизонтально диаметра. На рис.5 изображено падаюшре поле ul(x) в точках контура и рассеяное поле. Как и следовало ожидать, максимальные значения и( приходятся на "асвещзнную" часть контура 1 , а в зоне "тени" иСх мало отличаются от нуля, при увеличении 1с это становится еш) заметнее. Из графиков также видно, что и(х) имеет такой же харакге; осцилляции, как и падаюцез поле ulCx). Поэтому в <20 представим поле на полости в виде

U<X) = f-Ul(l) (2:

где í - неизвестная медленно меняющаяся амплитудная функция.

Интеграл (20) вычислим по методу стационарной фаз;

Тогда для близких точек наблюдения имеем -ik(p. -р. )

ci-t/ci>, - е 'Г* (26)

где pt - расстояние от 1-ой точки наблюдения до ближайшей или-точка контура.

Из соотношения (26) получим формулу для определения направлена на ближайшую точку контура 1.

cos а = (2кд) arceos £ Re(C._/ C<t)J (27)

где - расстояние мевду с^, н - угол под которым виднг

бликайсая точка из точки í

Кз графиков 5 заметно, что рассеяное поле и(х) на контуре 1 имеет ту кз фазу *>, что и падаюеее поле ul(x). Тогда ¡а уравнения (26;

IMu)

Ifil (u)

Рис.5. Перемещения на полости при високочастотшк колебаниях. 1: падашэе поле, 2: рассеяное поле

;ис .6 Восстановление "освевднной" части эллиптической попосги.

возькок равенство фазовых функций:

Полунин р0 = е^и^М (28

Это равенство с большой точностью определяет расстояние ближайшей точки контура р0, относительная погрешность - 0.02%.

Выбор п достаточно сделать один раз, дальше п будет изменяться : 1 с каждым ковш периодом <р (т.е. при двойной смене знака <р).

Чтобы восстановить освещзнную часть контура необходимо неоднокра1 изменять положение дефектоскопа (работающего в режиме эхо-сигнал) следовательно, каждый раз определять новые «ьи р. При этом, но: положение дефектоскопа заставляет решать новую прямую задачу, чт< получить С., по которым будет восстанавливаться полость. Но это не ■ сильно увеличивает вычислительное затраты, так как матрица сист линейных алгебраических уравнений не ■ зависит от положе дефектоскопа, оно меняет только правые части системы уравнен Решается ке система вычислением обратной матрицы, которая не завк от правых частей.

На рис. б приведена эллиптическая полость, восстановленная так образом и действительная полость (максимальная погрешность н превосходит 1,5%).

1. Построены интегральные представления фундаментального решени для ортотрогаого пространства и полупространства; исследован структура характеристического многочлена. Сформулированы системы ГИ в задачах о колебании ортотропного полупространства с полостями.

2. Построены фундаментальные решения ортотропног полупространства и слоя в случае антиплоской деформации.

3. На основе построенных фундаментальных решений краевые задачи колебаниях полупространства и слоя с полостями сшдены к система граничных интегральных уравнений го границам полостей.

4. Разработаны численные методы дискретизации граничны интегральных уравнений на основе метода граничных элементов реализованы пакетами программ для ПЭВМ.

^ 5. На основании разработанного варианта МГЭ решен ряд конкретны задач о колебаниях полуплоскости и полосы с одной и двумя полостям для различных частот колебаний. Исследовано влияние различны

!омотричссюк параметров га особенности формирования волновых 1лей.

б.При помощи асимптотических методов без упрощающих предположения характере волнового шля на поверхности полости решены некоторые ¡ратныэ задачи об определении центра полости (в низкочастотной дасти) и ее освещенной части (в высокочастотной области).

.Ватульян А.О., Колесник В.А., Потетюнко А.Э.. Соболь Б.В. Методы диагностики и расчета упругих элементов конструкций с дефектами. Надежность машн и технологического оборудования: Тез. докл. междутар. научно-технич. конф. "(ДГТУ.Ростов-н/Д.1У94) с. 49-КО. .Ватульян А.О.. Потетюнко А-Э. О сдвиговых колебаниях полупространства с цилиндрической полостью произвольной формы.//Известия СКНЦ ВШ Естественные науки N 1 1991 г. с- 57-59.

•Ватульян А.О., Потетюнко А.Э. Рассеяние твердым телом акустических волн, генерируемых колебаниями дна. Проблемы гидромеханики в освоении океана. Материалы конференции по прикладной гидромеханике Киев, 1992, с. 139-141

.Потетюшаэ А.Э. Реиекиз обратной задачи об определении центра дефекта в полупространство. В сб. Численные и аналитические методы решения задач строительной механики и теории упругости. Ростов-на-Дэну: Рост- инш.-строит, ин-т. 19?1 с. 138-147 ■Потетюнко А-Э- Решение обратной задачи об определении местоположения твердого тела в акустической жидкости. Проблемы гидромеханики в освоении океана. Материалы конференции по прикладной гидромеханике. Киев, 1992, с. 139-141.

Потетюнко Д.Э. Колебания упругого ортотропного слоя с цилиндрической полостью.- Ростов н/Д, РАИ, 1992. Дзп- в ВИНИТИ Р5.11.?:' N 3357-В92

Потетюнко А.Э. Колебания слоя со свободными границами, ослабленного цилиндрической шлсстьо. Тезисы докладов науч. конф. Ростов Н/Д. РГПИ, 1993, с. 146-143

Ватульян А.О., Потетюнко А.Э. Численный анализ задачи дефекгосда-ши. В сб. Технология и оборудование Ky3ite4iic-npecco:rf'o троизводства. Ростов-на-Дэну: РИАТМ, 1995. с. 95-97.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ