Разработка приближенных аналитических методов расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек с жидкостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

ПОЖАЛОСТИН Алексей Алексеевич

РАЗРАБОТКА ПРИБЛИЖЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ И ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК С ЖИДКОСТЬЮ

01.02.06. - Динамика,прочность машин,

приборов и аппаратуры 01.02.05.- Механика жидкости , газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 2004

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана

Официальные оппоненты: д.ф.м.н., проф.Горшков А.Г. д.т.н., проф.Докучаев Л.В. д.т.н., проф.Аринчев СВ.

Ведущая организация:

ФГУП "НПО машиностроения" г. Реутов.

Защита состоится "_17_"_июня_2004г. 14- 30

часов на заседании диссертационного совета Д .212.141.03 при МГТУ им. Н.Э. Баумана по адресу: 107005, Москва, 2-я Бауманская д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н.Э. Баумана

Автореферат разослан "_"_2004.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Современные ракетно-космические системы представляют собой сложные упругие тонкостенные конструкции, содержащие жидкие массы.

Ракетное топливо, находящееся в баках составляет по весу не менее 80% от веса всей конструкции. В связи с этим при расчетах на прочность и анализе динамики движения и динамической прочности таких систем приходится учитывать динамическое взаимодействие (в частности колебания) конструкции с заполняющими ее полости жидкостью.

Такие расчеты необходимо проводить при определении нагрузок при старте летательного аппарата ( ЛА), при управлении на активном участке его движения, при расчетах на устойчивость динамики движения системы.

На практике оказалось, что вследствие относительно больших масс жидкости нельзя не учитывать волновые колебания жидкости совместно с упругими колебаниями сосудов, в которых она находится, а вместе с ними и динамические нагрузки на корпус ЛА от данного типа колебаний.Ошибка от неучета колебаний жидкости может быть весьма существенной и приводить к качественно не верным результатам. Кроме форм и частот собственных колебаний, необходимо уметь рассчитывать вынужденные колебания конструкции на каждой секунде ее полета на активном участке траектории.

Ракето-носитель представляет собой сложную многостепенную гидро-механическую систему с мощным источником энергии в виде жидкостного ракетного двигателя. В этой системе кроме вынужденных колебаний могут возникать явления, связанные с параметрическим резонансом.

Среди работ, посвященных вопросам динамики упругих и твердых тел и конструкций, взаимодействующих с жидкостью, в первую очередь следует отметить труды: Моисеева Н.Н., Румянцева В.В., Охоцим-ского Д.Е., Рабиновича Б.И., Нариманова Г.С., Колесникова К.С.,Гор-шкова А.Г., Луковского И.А., Шмакова В.П., Шклярчука Ф.Н., Лампера Р.Е., Докучаева Л.В., Ганиева Р.Ф., Самойлова Е.А., Богоряда И.Б., Алексеева Л.И., Цурикова ЮА и других авторов.

Отличие данной работы от работ перечисленных авторов состоит в том, что:

1 .Применены гармонические полиномы Лапласа, строго удовлетворяющие как уравнению Лапласа так и главному граничному условию в задаче Неймана на

2. Получены аналитические решения для безмоментных оболочек, частично заполненных жидкостью, как для свободных так и для вынужденных осесимметричных и неосесимметричных форм колебаний.

3. Найдены случаи аналитических решений как для односвязных, так и для двухсвязных упругих полостей заполненных жидкостью.

4. Рассмотрены случаи параметрических колебаний, колебаний при слабой гравитации, колебаний ракетной конструкции "пакетной" схемы деления, получено аналитическое решение и выражение для передаточной функции гидравлического демпфера.

Следует отметить, что в задаче САПРа конструкций возникает необходимость разработки приближенных, но эффективных с точки зрения времени расчета подходов к решению сложных краевых задач, описывающих динамику рассматриваемых систем.

В связи с вышеизложенным разработка методов расчета динамических характеристик жидкостных ракетных конструкций является актуальной проблемой механики деформирумого твердого тела с полостями, заполненными жидкостью, имеющей важное народнохозяйственное значение, например, в нефтехимии,при проектировании зернохранилищ и некоторых биомеханических моделях человека, например, моделью глаза

может служить система двух, связанных между собой сферических оболочек.

Цель работы:

Создание методов расчета собственных и вынужденных колебаний в линейной постановке ограниченного упругого объема с жидкостью.

Анализ динамики в случае параметрического резонанса, малой гравитации, линейно вязкого сопротивления построение передаточной функции гидравлического демпфера, определение форм и частот собственных и вынужденных колебаний жидкостных ракет продольной и поперечной схемы разделения.

Научная новизна и значимость результатов исследований заключается в создании методов расчета динамических характеристик жидкостных ракетных конструкций с учетом упругости оболочечных конструкций и колебаний жидкости в упругих полостях.

Получение модельных решений для задач гидроупругих колебаний в одно и двухсвязных упругих полостях частично заполненных жидкостью.

Анализ динамики упругого сосуда с жидкостью при малой гравитации, и в случае параметрического возбуждения колебаний.

Разработка метода расчета для анализа динамических характеристик жидкостной ракеты в случае продольного и поперечного разделения.

Достоверность основных научных результатов состоит в том, что динамические характеристики упругого сосуда с жидкостью сравниваются с результатами эксперимента и результатами, полученными в работах других авторов. Кроме этого она подтверждается тем, что в работе корректно используются фундаментальные методы математики и математической физики.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработана эффектиная методика для расчета форм и частот собственных и вынужденных колебаний жидкостной ракеты типа "пакет" с учетом упругости оболочечных конструкций с жидким наполнением.

Построены для определенных форм баков модельные решения задачи о свободных и вынужденных малых колебаниях односвязных и двухсвязных оболочек, частично заполненных жидкостью.

Изложенный в работе метод решения краевой задачи Неймана-определения частот и форм свободных колебаний упругой полости с жидкостью используется на предприятиях соответствующего профиля, а также в учебном процессе университета.

Апробация работы.

Отдельные фрагменты работы были доложены на Всесоюзной юбилейной конференции по теории оболочек и пластинок в 1969г. в г. Днепропетровске;на Всес. семинарах и симпозиумах в г. Томск в НИИПММ, в г. Новосибирск в СИБНИА с 1970 по 1992г. по динамике упругих конструкций, взаимодействующих с жидкостью; на юбилейной конф. в МАИ в 1975г.; доклад с обзором работ был сделан в г. Киеве в НИИПММРУ в 1989г. на Всес. школе-семинаре по динамике конструкций, взаимодействующих с жидкостью; на международном семинаре МВТУ- Варшавская политехника на Ьм и П-м межд. симпозиумах в МГТУ (актуальные проблемы фундаментальных наук) в 1991,1994г.; доложена на кафедре "Теоретическая механика" МГТУ им. Н.Э.Баумана.

Публикации. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в 47 научных статьях,а 4 статьи за рубежом.

Структура диссертации.

Изложение материала собственных исследований автора строится последовательно, таким образом, чтобы раскрыть решение

поставленной в работе проблемы, а именно, разработки методов для анализа динамики жидкостных ракет с учетом жидкости и упругости оболочечных конструкций (в частности жидкостных ракет пакетной схемы разделения элементов конструкции). В связи с этим вначале работы обсуждаются некоторые теоретические вопросы, связанные с применением развиваемого в работе метода решения поставленной задачи. Предлагается оригинальный аналитический способ построения потенциала скорости для жидкости. Определяются формы и частоты собственных и вынужденных колебаний упругих сосудов с жидкостью различной геометрической конфигурации (в том числе и двухсвязной полости) по безмоментной и по моментной технической теории тонких оболочек.

С целью наглядности и упрощения учета колебаний жидкости в баках с помощью введенной нормировки для форм колебаний последние заменены механическим аналогом в виде системы осцилляторов. Причем, сумма масс аналога равна физической массе жидкости в баке.

Для проверки полученные результаты сравниваются с результатами проведенного в работе эксперимента и данными других авторов.

Кроме указанного способа реакция на корпус ЛА от колебаний жидкости в упругом сосуде учитывается с помощью разработанной методики определения коэффициента динамичности. После этого приводится методика расчета форм свободных и вынужденных колебаний корпуса ЛА с продольным и поперечным("пакет") разделением элементов корпуса. В приложении приведены документы о внедрении результатов данной работы в учебный процесс и практику расчетов по динамике ЛА.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, основных результатов и выводов, списка литературы, приложения и содержит 292 страницы машинописного текста, 31 рисунок. Библиографический список включает 151 наименование литературных источников.

Диссертационная работа выполнена на кафедре Теоретическая механика" М1 ТУ им.Н.Э.Баумана.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении на основе обзора работ, относящихся к анализу динамики упругих конструкций, взаимодействующих с жидкостью и задач, стоящих перед исследователями в области ракето и самолетостроения, а также при решении задач, связанных с анализом прочности сооружений в химической, нефтедобывающей и газовой промышленности, при проектировании зернохранилищ в сельском хозяйстве, в морской, железнодорожной, космической технике и 4

дирижаблестроении, раскрывается актуальность проблемы анализа динамики конструкций и налол няющей ее полости жидкостью. Формулируется цель и задачи исследования. Кратко излагается содержание диссертации.

Обосновывается необходимость учета динамической реакции от жидкости при взаимодействии упругой конструкции с заполняющей ее полости жидкостью. Ставится задача о разработке методики расчета для анализа динамических характеристик жидкостных ракет с продольным и поперечным ("пакетная" схема) разделением ступеней с учетом упругости оболочечных конструкций.

В настоящей работе использованы методы (метод собственных функций), позволяющие получить приближенные решения в аналитическом виде, которые при их практическом применении (например, в САПР изделий)для анализа динамических характеристик системы дают возможность апробировать и сравнивать между собой численные решения.

Используя традиционную постановку задачи о малых колебаниях упругого бака с жидкостью найдены и даны решения практически для всех случаев частично заполненных жидкостью безмоментных оболочек разной геометрической формы, для которых возможно получение аналитического решения задачи об определении форм и частот собственных колебаний как симметричных так и неосесимметричных.

Для общего случая малых колебаний моментной оболочки и заполняющей ее жидкости используется численно-аналитический способ решения, предусматривающий разложение решения в ряд по гармоническим полиномам Лапласа, каждый член которого точно удовлетворяет главному граничному условию задачи Неймана.

С целью создания методики расчета для определения форм и частот колебаний изделия пакетной схемы решается задача о вынужденных колебаниях упругого сосуда с жидкостью. Движение жидкости заменяется механическим аналогом в виде системы линейных осцилляторов, суммарная масса которых равна физической массе жидкости в баке. Кроме этого в работе в достаточно общем виде получено выражение для коэффициента динамичности, с помощью которого можно вычислить динамическую реакцию от колебаний упругого сосуда с жидкостью, действующую на корпус ЛА. Следует отметить, что предварительное знание форм собственных колебаний системы в данном случае необязательно.

Поскольку в эксперименте часто наблюдаются неосесимметричные колебания в работе рассмотрены и такие типы колебаний. Для них разработан способ построения потенциала скорости и получены аналитические решения для ряда безмоментных оболочек, частично

заполненных жидкостью.

С целью доказательства существования осесимметричных типов колебаний и проверки правильности полученных результатов по определению форм и частот собственных колебаний упругих сосудов с жидкостью в работе был создан динамический стенд и экспериментально получены их динамические характеристики.

В линейной постановке рассмотрены колебания жидкости в сосуде при малой гравитации, а в связи с этим и колебания бака с мембраной на свободной поверхности.

Для борьбы с возникновением продольных автоколебаний в системе подачи топлива в ЖРД используется гидравлический демпфер.В работе рассмотрена математическая модель этого устройства и дано аналитическое выражение для передаточной функции последнего.

Для проведения проектировочных расчетов в рамках САПР получены аналитические формулы (на основе идеи метода Граммеля) для приближенного определения первой и второй частоты собственных колебаний упругого сосуда, наполненного жидкостью.

Рассмотренные в работе вопросы динамического взаимодействия упругого бака с жидкостью позволяют провести анализ динамических характеристик жидкостных ракет с продольным и поперечным разделением ее ступеней с учетом колебаний жидкости в баках и упругости оболочечных конструкций.

Кроме этого рассмотрены некоторые специфические вопросы колебаний упруго-жидкостной системы. Получены уравнения для анализа параметрических колебаний упругого бака с жидкостью, а также показана возможность параметрического взаимодействия продольно-поперечных колебаний тонкостенного стержня с полостями, наполненными жидкостью. Последнее дает возможность понять причину, связанную с трудностями возбуждения симметричных форм колебаний упругого бака с жидкостью в эксперименте.

Во второй главе диссертации излагаются особенности используемого вариационного принципа для решения задач гидроупругости. С этой целью используется принцип Гамильтона для малых колебаний упругого бака с жидкостью.

В качестве предварительных граничных условий для координатных функций, аппроксимирующих потенциал скорости частиц жидкости Ф .выбираются силовые граничные условия на смоченной поверхности сосуда и главное граничное условие (для задачи Неймана) на свободной поверхности жидкости. После соответствующих преобразований, получаем, что потенциал не обязательно предварительно должен удовлетворять уравнению 6

Лапласа и геометрическим граничным условиям (например, условия непротекания) краевой задачи. Далее устанавливается, что применение используемого в работе вариационного принципа (аналогичного методу Галеркина) приводит к проблеме собственных значении с симметричными матрицами. Доказывается вещественность спектра собственных значений задачи о малых колебаниях упругого безмоментного сосуда частично заполненного жидкостью. Последнее следует из самосопряженности и положительной определенности

дФ/ о

оператора - для рассматриваемой краевой задачи. Здесь п -

внешняя нормаль к смоченной поверхности сосуда. Считается, что смоченная поверхность является поверхностью типа Ляпунова. Частотное уравнение краевой задачи о малых колебаниях упругого сосуда с жидкостью представляет собой систему уранений левая часть которой - бесконечный определитель. Поскольку доказано, что оператор рассматриваемой краевой задачи положительно определенный и самосопряженный, то для приближенного решения частотный определитель можно усекать. Справедливость такого рода действий следует из соответствующих теорем функционального анализа для рассматриваемого типа операторов.

В качестве иллюстрации метода решения краевой задачи, рассматриваются свободные симметричные колебания безмоментного цилиндрического бака со сферическим днищем, наполненного идеальной, несжимаемой жидкостью, движение которой считается потенциальным.

Потенциал скорости ищется в виде совокупности двух потенциалов

Ф\ " Фг- Фх" ${]\г,х) ссъа> /, Ф2

Здесь В у - неизвестные постоянные, ф№ -потенциал в

цилиндрической, в сферической части бака,

колебаний, время.

Координатные функции фу выбираются так, чтобы они заранее

точно удовлетворяли главному краевому условию задачи Неймана, уравнению Лапласа Ь (Ф) = 0 в объеме жидкости и условиям на плоскости, разграничивающей цилиндрическую и сферическую части сосуда. Вычислив динамическое давление на стенки бака с помощью (1) находим прогибы оболочки (инерция не учитывается) в виде:

wx =ю Y.B, Wi/W sino t; щ = a Y.B, ) sm'o t ( 2) i i

где x - координата вдоль образующей цилиндра, i|i - угловая

координата сферического днища. Так как L ( Ф ) = 0, то умножив

последнее равенство на ф¡ и применив формулу Грина, с учетом того,

что Ф = 0 на Z (свободная поверхность жидкости), будем иметь:

Ц(ф^ + фдф/дп )ds = 0 i = 1,2..........

дф1

ЧТТРГК \А1ТР/НП VrrrnRUP ЫРГГППТРТ^ЯТП/Ш ЫЯ ГМПЦРННПЙ РТРЫТ^Р пят^я*

5Я = - *

на

Ojj ) = О,

где(3)

или ау ~

1

"v-5¡i*j дф/дп Kds >uv =ff*F4ds +

S íj

+ я ^

(4)

2j

ds

s2

Уравнение (3) может быть представлено так: (Л - "к. С) В =0,

где

Х = 1/а2 ,А = (и у) , С = (a,j) .

Симметричность матрицы А следует из принципа взаимности работ Бетти, а С на основании выражения кинетической энергии частиц жидкости. Нетрудно показать, что число Л. вещественно и ему соответствует вещественный собственный вектор В . Потенциал скорости Ф ищется в виде разложения по функциям ф = 1,2), 1 = 12,..,т. Каждая координатная функция представляет собой гармонический полином Лапласа. Она удовлетворяет главному граничному условию на 2, а условие непротекания - естественное граничное условие.

Далее в диссертации излагается способ построения системы координатных функций фИзвестно, на основании теоремы Вейерштрасса, что любая непрерывная функция на [а, Ь], может быть приближена равномерно с произвольной точностью полиномом, а также и в среднем. Аналогичное утверждение справедливо и для функций из множества Ь 2 (я, Ь) (Ь 2 - гильбертово пространство функций интегрируемых с квадратом в области в).

Таким образом, для нашего (плоского) случая достаточно Р Я

использовать функции £ a ¿fc * i=0k=0

Применим эти функции для построения потенциала скорости Ф: а) для случая симметричных колебаний односвязного бака,. образованного вращением некоторого контура относительно его оси симметрии. Например, для конического бака со сферическим днищем. Функцию (fa (в конической части сосуда) ищем в виде:

ф1 «fft[ г'аРа ( cos <р ) + £ « 2v,a r2Vp2v «»*>)]. ;=1 v=0

где Р а- полиномы Лежандра степени а, а = 2 j - 1; г, <р - полярные координаты с началом в вершине конуса О. Нетрудно видеть, что ф\ удовлетворяет уравнению Лапласа. Константы a2v,a находятся из динамического условия на X - Ф// = 0, где g - ускорение

свободного падения, Ф t = ^ Ф/ dt ,х- декартова координата. Вводя вспомогательную систему координат О X Y - х = г cos <р, у = г sin <р, используя разложение Ра (cos <р) по степеням cos <р найдем все a 2v, а

для данного номера j, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у. Для ¿*2v,2j-l получается система линейных алгебраических уравнений с треугольной матрицей так, что каждый следующий коэффициент &2v,2j-l выражается через предыдущие, имеющие больший первый индекс. Таким образом, можно принципиально построить любое j-e слагаемое функции Ф. Например,

для j=l =Bi[rPi(cosí»)- (л 2-1/fí2)] ,где 2 2

Q =R(ú / g, h\=H\ / А, А - характерный размер сосуда, г = R / А.

Определение функции ф 2. Введем сферическую систему координат О j д у/ с началом в геометрическом центре сферического днища.

Функции ф i и ф 2 должны удовлетворять граничным условиям на плоскости х = h, разграничивающей коническую и сферическую

части бака. фц = <}>2t t Ф\х = Ф"1х • Потенциал ф^ ищем в виде:

Фг = Z BjWa,cSaPa(«о» V) "Ь V)]-

1 *=0 Константы Р k, а определяем из условий на плоскости х = h

последовательно для j = 1,2,... Пусть j = 2. Подставим в эти условия слагаемые и фг с j= 2, учитывая формулы преобразования

координат Ог<ри у в дскартову систему координат О х у. Для Oigiy имеем f eos\¡r =х- hi, g sin = у. Используя

представление полиномов Лежаидра, сравним коэффициенты при одинаковых степенях у. Тогда для определения констант Р получим систему линейных алгебраических уравнений с треугольной матрицей: /?03 + рпап + 023 «13 +^33а14 + А\ =° »

уЗ,3 + /923^23 +^2=0,

Р 23 + /*33«34 + А3 =°.

033 =

Выражения для констант а и А не приводятся. Рассмотрим случай цилиндрического бака со сферическим днищем. Потенциал скорости Ф гацем в виде двух функций ф\ и ф 2 ■ ф i описывает движение жидкости в объеме, ограниченном поверхностями х = 0, r=r2,x = h, а- Ф2 в полости сферического днища бака.

Функцию ф\ представим в виде:

íayih-xfr'

J=l

1), с = 2 (i -1). Потсциал ®i удовлетворяет точно условию на 2 при g = 0 - Ф = 0. вj - неизвестные, подлежащие определению постоянные.

Константы üjj находятся аналитически из системы линейных

алгебраических уравнений, так как последняя имеет треугольную матрицу. Для этого достаточно подставить в уравнение Лапласа, в цилиндрической системе координат и решить полученное функциональное уравнение сравнением коэффициентов при одинаковых степенях h - х. Например, первые две функции имеют вид: и так далее.

Определение функции <х>2. Потенциал скорости ф2 ищем в виде:

7=1 7=1

где в = 2 j-1 -2(i-

Ф2 = 2 BjWJ(<T,v)= 2 в_/ Pa,

7=1 У=1 L

J=0

Используя преобразования координат и разложения функций р, примерно так, как это сделано в случае конического бака, получим, что и у2 имеют вид:

б) Неосесимметричные колебания. Рассмотрим методику определения потенциала скорости Ф в этом случае на примере конического бака со сферическим днищем. Согласно решения уравнения Лапласа для внутреннней задачи Неймана потенциалы ф, и ф2 ищем в виде:

®1= I, f В{пт\1т\п,<р)ыктв ,Ф2 = ^ 2Bim>4",)(S.V')co»m*

где В^ неизвестные постоянные, 0 - окружная координата m -количество волн в окружном направлении, в выражения функций Ч* и X входят присоединенные функции Лежандра - г£т\саяр).

= г"pW(cos)+ Д r^J,rbр(т~> (cosp) , гдеa = 2n-m + 1,b = 2 v

+ ш. Пусть = 0 на Z, тогда подставляя для данных значений п и m получим систему алгебраических уравнений с треугольной матрицей. Например, пусть m = 1, п = 2 тогда с учетом выражения для

ф) получим: = ~5 h • roll =15 ( 9h\ +1)'2 •

Аналогично определяются функции Ч^1) для любого номера п.

Потенциал ф2 ищем в виде: ф2 = £ £ fe.yr) cos т в, где

функцию примем в виде, чтобы удовлетворить условиям

аналитического продолжения функции из конической в сферическую часть бака.

xw.w^ww/'rl

к-0

,(т) ск+т р(т) / \ 'к,2«-1 ? к+т

"п "а\а1 ъ Ь{ где ох = 2п-1,А/=2п-т+1.

Пусть т = 1, п = 2, тогда, вводя вспомогательные прямоугольные декартовы координаты (как это делалось выше), из условий на плоскости получим для определения констант а

И

систему уравнений с треугольной матрицей четвертого порядка. Последняя за неимением места здесь не приводится.

Используя вышеизложенное, рассмотрим некоторые примеры определения частот и форм собственных осесимметричных колебаний (элементов частотного определителя) для случая моментной и безмоментной теории оболочек, частично заполненных жидкостью.

Случай 1 - осесимметричные колебания безынерционного конического бака со сферическим днищем, частично заполненного жидкостью.

Уравнения движения оболочки с учетом динамического давления жидкости интегрируются аналитически и частотное уравнение системы приводится к виду (бак полностью заполнен жидкостью)

** * ^ }^ол.

а2=ре>2л^ IBS, где р - плотность жидкости, 5 - толщина оболочки,

R - радиус днища бака, <о - частота свободных колебаний, Е - модуль упругости 1-го рода.

Во втором примере рассмотрено определение частот малых

свободных неосесимметричных колебаний конической оболочки,

частично заполненной жидкостью. Уравнения движения

безынерционной оболочки имеют вид:

N$=Pr stg ай , д s)l дз + (dN$ / as)/sma0 + Nj9 = 0 ,

a{Nг t)iai + (BN3gld 9)lsm o0 - ЛГ^ =0.

Здесь Ns, N,9 - безразмерные окружное, меридиональное и усилие сдвига соответственно,

безразмерная координата вдоль по образующей конуса, » - окружная координата, безразмерное динамическое давление жидкости. Используя закон Гука для оболочек, выражение потенциала скорости, приведенное выше можно проинтегрировать эти уравнения и

получить прогиб смоченной части

поверхности оболочки:

временной множитель опущен,

получим систему линейных алгебраических уравнений:

+ £ Y {m) am sk 2 + Cm ] dF , F - смоченная поверхность

оболочки. Аналитические выражения коэффициентов а ^ , Ь не приводятся. Например, в случае m = 1 с учетом одного члена ряда в потенциале скорости получим:

со 2= sin 2а о [(9/10)cos 2а о -9(2cos2 а 0-sin2 а о У8 + (3/2) eos2а о]/[(3/2)sín2а о(а j/56 + сj/12 + rfjcos а0/14 выражения для a i, с( , d\ не приводятся. При ц. = 0,3, а о = (m

= 1, n = 1) имеем: s с = 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9, «п = 52,8; 8,85; 4,23;

С целью уточнения полученных аналитических решений для форм и частот собственных колебаний безмоментных оболочек с жидкостью и более полного удовлетворения граничных условий закрепления контура оболочки (учета краевого эффекта) в работе рассмотрен случай моментной теории оболочек. Аналитические методы решения задачи в этом случае дополняются численными методами, а единственное отличие от рассмотренного выше способа решения заключается в том, что прогибы оболочек под действием динамического давления жидкости Рг-р ЗФ/З/ находятся численно. Потенциал скорости аппроксимируется в виде ряда по гармоническим полиномам Лапласа (гл. 1 данной работы). Решение для прогибов оболочки разыскивается для каждого слагаемого в потенциале Ф отдельно одно от другого. В этом случае уравнения движения оболочки представляются в известном виде в форме Коши и для симметричных типов колебаний являются системой обыкновенных уравнений 6-го порядка l(f) =[G] ? + р , где L = d /d s, s - дуговая координата (5)

вдоль по меридиану оболочки, FT = [ 0,0,0, /4, /5,0 ] - вектор

динамической нагрузки на оболочку от жидкости,

/4=-р sin» 82o/8t2,fi cose д2Ф/а<2,0 - угол, aG-матрица,

зависящие от конкретной геометрической формы оболочки.

Используя известный в литературе способ численного интегрирования уравнений (5), например, метод Рунге- Кутта и

построения линейно независимых решений по методу С. К. Годунова, находим, разбивая интервал интегрирования по всей длине меридиана оболочки на п участков, решение этой неоднородной краевой задачи, учитывая условия закрепления стенок сосуда. Пусть (не вдаваясь в детали процесса интегрирования) вектор решения для точки к (к = 1,., п) равен у* . Тогда прогиб стенки бака вычисляется по формуле w k ~ У ij sin 9 ~Уу > Уу • Уг] " компоненты вектора Jj¡; j -

номер слагаемого в потенциале Ф. Если инерция стенок не учитывается, то следует считать ю = 1, в противном случае для проведения вычислений следует задаваться каким то произвольным значением пяпяметпя^ Окончательно на этом этапе расчета мы определяем число учитываемых слагаемых в

М

разложении потенциала скорости. Зная w (s), вычисляем коэффициенты матриц - a¡j и &¡j по вышеприведенным формулам и

определяем систему алгебраических уравнений м -го порядка для нахождения констант Вj. У^Д,- (a¡j -vP"9¡j )=0, i = 1Д,..,м.

Вычисляя значения w¡ (i = 1,.., м), при которых det

мы получаем величины частот соственных колебаний системы. В случае, когда собственные значения w¡ простые форма

(х, г) потенциала скорости Ф в 1-ном главном колебании

имеет вид: (х,г)= fj{x>r) > Aej " коэффициенты формы

собственных колебаний системы, определяемые из (6) по известным правилам. Случай кратных частот рассмотрен ниже.

Для односвязной оболочки, образованной вращением некоторого произвольного контура относительно ее оси симметрии важно правильно определить г (s), cos 0 (sX sin 0 (s) - радиус параллельного круга оболочки и величины угла 0, определяющих геометрию срединной поверхности оболочки. Аппроксимация этих функций может быть выполнена с помощью сплайнов. Так, например, сплайн можно найти, используя выражение сплайна дуги

t

меридиана8-5,(0= J|>'2(/) + r'2{t)]d t и '1

cos 91 (/ j) = ( /, )j\x't (ft )2 )2» где t - некоторый параметр (выражение для которого не приводится), X/ - значение координаты вдоль оси симметрии бака в i -м сечении его плоскостью перпендикулярной оси сосуда.

г/ (/|) = (г/+1 - Г/)/(/,+1 - t, ). Дальнейший ход решения задачи

не отличается от процедуры, изложенной выше.

Получено аналитическое решение задачи о свободных осссимметричных колебаниях упругого двухсвязного объема, состоящего из двух концентрических сфер, заполненного сжимаемой жидкостью, по безмоментной теории. Оно найдено для случая полного и половинного заполнения сосуда. Разрешающие уравнения

для оболочек имеют вид:У25|Г + 2 91Т =(-1)' (1 +fit ) Ф^т »

производная по безразмерному времени вспомогательной функции, Пуасссона. Потенциал

скорости Ф ищется в виде:

СО _1

Ф = 2[ClnJv{z)+ C2„J_v{z)]P„(4,)e"°\

л=О

где Р„ (у/)- полиномы Лежандра, Jv функции Бесселя степени v

v2 = n(n + 1)+ 1 /4 (n = 0,1,2,...,....).

Решая уравнения для оболочек, удовлетворяя условию непротекания и граничным условиям закрепления оболочек (подробности опущены), получим частотное уравнение данной задачи

00 СО 00 со

в виде [ 1„ (ю)-1 ] t 2я(°> И ]" 2/*4я = О

п-1 п=2 л=2 и=2

Выражения для d не приводятся. Частотное уравнение представляет собой мероморфную функцию, коэффициенты которой представляют собой быстросходящиеся бесконечные ряды.

В случае неосесимметричных колебаний оболочки с жидкостью система дифференциальных уравнений движения имеет вид L(i (от) = К(/и) + F(m) . где ш - число волн в окружном

направлении. Вектор определяется с помощью потенциала скорости, выражение для которого приведено выше. Дальнейшее решение задачи (поскольку отделена окружная координата) принципиально не отличается от случая осесимметричных колебаний. Найденное выше, выражение для потенциала скорости жидкости Ф позволяет получить аналитические выражения для элементов частотного определителя в случае неосесимметричных колебаний

упругого цилиндрического бака со сферическим днищем, наполненного жидкостью. Оболочки сосуда рассматриваются по моментной теории В.З. Власова и технической моментной теории цилиндрической оболочки:

«V2 V2(V2 + 4) W2 + (V2 +2)W2=PR\ Ш-И ) + V2/Е8

Лапласа насфере, V 3 4 / Э * 4( ), w 2" прогиб днища, q> -"основная" функция для обечайки, Ri - радиус кривизны днища, R 2 радиус обечайки. Достаточно подробно рассмотрены детали построения потенциала скорости Ф. Получены аналитические выражения для прогибов оболочек под действием жидкости.

Далее представлена методика решения задачи о колебаниях упругого сосуда с мембраной на свободной поверхности жидкости. Последняя проиллюстрирована на примере жесткой цилиндрической обечайки с упругим плоским днищем в форме мембраны. В этом случае потенциал скорости ищется в виде:

Ф=[А0+В0sh{kiрЫЬ', где

A0,B0,Aj,Bj - константы, подлежащие определению, Н - высота столба жидкости, радиальная и осевая координаты соответственно, к - корни трансцендентного уравнения.

радиус обечайки. Найдено два типа решения: а) В первом - левая часть частотного уравнения представляет бесконечный определитель; б) Во втором случае -мероморфную функцию, коэффициенты которой являются быстро сходящимися бесконечными рядами по функциям Бесселя.

Далее в диссертации рассмотрены вынужденные колебания упругих оболочек с жидкостью. С помощью установленных в работе условий ортогональности форм собственных колебаний, например, при g = 0 и пренебрежении инерцией оболочки они имеют вид:

выведены уравнения вынужденных

движений оболочки с жидкостью в главных координатах, опорный шпангоут которой совершает гармонические колебания в вертикальном направлении по закону

амплитуда перемещения, р - его частота. Потенциал абсолютной скорости частиц жидкости Ф примем в виде: ф^фМ+фМ, ф^ = ( Н-16

х ) du/dt, фС2):;^/!^2)^(f)» здесь A j -• нормирующий множитель,

Ф<2>- форма собственного колебания системы i -го тона, 7}(t) -

функции, подлежащие определению. Показано, что если Авыбрать

соответствующим образом, то механическим аналогом колебаний

жидкости в упругом сосуде будет являться система параллельных

со

осцилляторов с массами ntf, а сумма последних У}и, = m будет

н

равна физической массе жидкости в баке. Следует отметить, что этот ряд достаточно хорошо сходится. Найдены модельные решения задачи о вынужденных колебаниях для некоторых форм баков, частично заполненных жидкостью при гармоническом возбуждении методом без разложения искомого решения в ряд по формам-собственных колебаний системы.

Идея этого метода взята из опубликованной монографии К.С.Колесникова. В нашей работе она применена для подсчета коэффициента динамической жесткости упругого сосуда с жидкостью и получения аналитических решений для вынужденных колебаний рассматриваемой системы. В работе найдено шесть случаев геометрических форм сосудов, для которых получены точные решения. Например, для жесткого цилиндрического сосуда с упругим днищем в виде мембраны потенциал абсолютных скоростей жидкости (при g = 0) принимается в виде:

Окончательно, выражение для прогиба мембраны & имеет вид: 9 = иоГ oldQ+f^d^thX^thX ¡-Х] /z3)}Mjf)]™Pt

Выражения для констант амплитуда

колебаний опорного шпангоута.

Разработана методика для определения коэффициента динамичности упругого цилиндрического бака со сферическим днищем, частично заполненного жидкостью. Показано, что формула

для

- плоскость, разделяющая цилиндрическую и сферическую полости бака, fj (х, г)- функции, удовлетворяющие линеаризованному

граничному условию на Z, Dj - константы, определяемые численно

из граничных условий при решении неоднородной краевой задачи для заданного значения р. Кроме этого, может быть предложен и другой, приближенный способ определения К ¿.А именно,

*dj =Р Р2 \\l(x~H)a j + Djf j(x,r) dsx, где«у=90 / л-4 / 4

Тогда к,} = £ к ¿у ,а реакция бака R(t)= «0(cospt)^Kd^.

Построены уравнения для анализа параметрических колебаний упругой оболочки с жидкостью. Данная задача является обобщением классической задачи о параметрических колебаниях жидкости в жестком сосуде со свободной поверхностью, впервые рассмотренной в монографии Н.Н.Моисеева на случай упругого сосуда с жидкостью. Параметрические колебания рассмотрены на примере цилиндрического бака с жесткой обечайкой и упругим плоским днищем в виде мембраны.

В этом случае потенциал абсолютных скоростей жидкости

р

ищется в виде: Ф = й[Н—х —~ \ + ф (x,r,t) , где и - вертикальное

Р

перемещение шпангоута, <р - потенциал относительных скоростей в системе координат, связанной с опорным кольцом сосуда. Пусть u (t) = Egp-J cospt",б« 1.Тогда краевая задача для (р имеет вид:

д<Р/дх = ~ %' + прих=Н

v2p = 0 в т , д(р/дх при х°* 0 •

относительная скорость прогиба мембраны,

собственного колебания п -го тона для q> считается известной. Пусть 00 00

р-'Y/PnPnlf) , g = Y/РпЯп^) • где Рп> Чп-неизвестные, п=1 л=1

подлежащие определению функции времени. Тогда после некоторых преобразований, получим уравнения для определения q „ уравнение:

Чп + 0> + л *

X nk( cos pt) 4(t) П =1,2..

Вид констант Znk, у не приводится, со п - частота колебаний жидкости в упругом баке. Уравнения границ основной области параметрического резонанса по 1-му приближению имеют вид

Q2-v£(1+ Щ- г) = 0 k=U,...

При цилиндрического

бака и толщины днища соответственно, результаты расчетов по определению границ области параметрического резонанса приведены в таблице: Н fi2 = m f (1 Т е х п / 2 Ч l)

4 m 4,73(1 Т с 0,138) 1,5m 5,41(1 0,126)

Рассмотрены вынужденные осесимметричные колебания неподвижной оболочки с жидкостью от переменного давления на свободной поверхности жидкости. Дифференциальные уравнения для переменных в потенциале скорости имеют вид:

•( 4 + 2тТт )р JJ Ф и Ф иЯ ds = flpr (/)Ф мй|2 dZ m=U.

® тп = дФ т/дп , S —смоченная поверхность жидкости.

В третьей главе диссертации рассмотрены некоторые специальные задачи динамики упругого объема с жидкостью. Получено точное решение внутренней задачи Неймана в двухсвязной цилиндрической упругой полости.

Разработана методика для приближенного определения коэффициента демпфирования при колебаниях жидкости в упругом сосуде.Приведенный коэффициент демпфирования для колебаний жидкости по к -му тону определяется по формуле

Мк = ьк //plcqkPe3')> где ^ к' некоторый

известный коэффициент,, q - величина резонансной амплитуды

при колебаниях жидкости в жестком сосуде. Численное значение последней можно получить на основании соответствующих данных эксперимента приведенных в известной монографии К.С.Колесникова [50].

Используя эти данные можно получить для поперечных колебаний жидкости в жестком цилиндрическом сосуде по нашей теории логарифмический декремент колебаний равным что

на 8 % отличается от величины декремента колебаний, вычисленной

по эмпирической формуле приведенной в [50]. Для первого тона симметричных колебаний упругого цилиндрического бака со сферическим днищем логарифмический декремент получается равным-0,0145.

Далее рассматриваются малые осесимметричные колебания упругой оболочки с жидкостью при слабой гравитации. Считается что давление на поверхности жидкости определяется по формуле Лапласа, а свободная поверхность слабо искривлена в состоянии равновесия и при колебаниях системы. Препебрегается также условиями прилипания на границе стенка-жидкость. В этом случае даже для цилиндрического бака с упругим плоским днищем не удается получить замкнутого решения задачи. Рассмотрен пример о колебаниях жесткого цилиндрического сосуда с днищем в виде плоской мембраны. Получено частотное уравнение задачи, левая часть которого представляет собой бесконечный определитель. Усекая полученную систему уравнений можно определить условия при которых свободная поверхность жидкости будет неустойчивой.

В конце главы рассмотрены особенности применения метода Рэлея для получения аналитических зависимостей для приближенного определения частот первого и второго тона колебаний упругого цилиндрического бака со сферическим днищем. Для приближенного определения частоты первого тона колебаний потенциалы принимаются в виде:

С>1 =Ь(Н-х)со%со( , Ф2 = й[гсоэу/ +#-#1]соз<а/ ,

где Н - высота столба жидкости в цилиндрической части бака, Ь -неизвестная постоянная. Расчеты показывают, что ошибка в определении величины частоты первого тона колебаний не превышает 10%.

Поскольку применяется модификация метода Рэлея, предложенная Граммелем, а именно, задаются приближенно не прогибы, а внутренние силы ,то формула для частоты

01 имеет еид\ а 1 = ^^Ус о ' Выражения для М и С здесь не

приводятся. Для определения частоты о2 второго тона колебаний -

потенциал скорости ф(2) выбирается в

виде:Ф р) = к 12 (Л-х) + (А-*)3- (3/2)(И-х ) г 2 для цилиндрической

части, = к п{<; сан/г + к-Ъ\ ] + с3 Р3 (соя $/) +

+ 3(А-А1)5-2Р2(со8^)+ Я,(соз^) + >3 оз-ДЛЯ

сферической части бака. Коэффициент к \2 находится из условий ортогональности форм колебаний (первой и второй) системы. 20

Формула для а 2 имеет вид -а\-= р/а, для р и а в работе получены аналитические, но громоздкие выражения. Ошибка при вычислении величины частоты колебаний сравнивалась с результатами эксперимента и она не превышает 15%.

В четвертой главе приведено описание методики проведения эксперимента по определению частот и форм осесимметричных колебаний упругого сосуда с жидкостью, доказано существование таких форм колебаний и приведены результаты эксперимента. Исследовались целлулоидные модели баков и металлическая модель бака из дюралюминия. Анализ симметричных колебаний выполняется методом возбуждения резонансных вынужденных колебаний. Эксперименты проведены на электродинамических вибростендах. Модели баков подвешиваются на резиновых амортизаторах. Показано, что при резонансе угол сдвига фаз между колебаниями силы и соответствующего перемещения равен тс/2.

В пятой главе диссертации получено новое точное решение неоднородной краевой задачи гидроупругости. Получено с использованием метода собственных функций уравнения Лапласа выражение для передаточной функции по давлению для гидравлического демпфера системы подачи топлива жидкостного ракетного двигателя. Расмотренная динамическая расчетная схема представляет собой сосуд в виде двух концентрических цилиндров. Внешний цилиндр упругая тонкостенная оболочка высоты Н,а внутренний цилиндр жесткая труба, по которой протекает жидкость. В этом трубопроводе в месте расположения упругой оболочки сделаны отверстия.

По внутренней трубе протекает жидкость,при этом она наполняет и пространство между цилиндрами.В работе сформулирована краевая задача (постановка ее принадлежит К.С.Колесникову) и найдено ее точное решение в случае интегрального граничного условия на цилиндрической поверхности с отверстиями,разделяющей объем жид кости во внешней и внутренней полостях трубопровода.Найдено аналитическое выражение передаточной функции по давлению W для этой систеиы. Она состоит из суммы действительной и и мнимой V части.

Каждое из этих слагаемых является бесконечным быстро сходящимся рядом.Приведен график функции и(г),2-расстройка р/й?о

.Далее рассмотрены колебания связанных одномерных стержневых конструкций с полостями, заполненными жидкостью с продольным разделением элементов. В этой части работы разработана методика расчета вынужденных продольных колебаний неоднородного тонкостенного стержня с полостями, заполненными жидкостью при

гармоническом возбуждении методом без разложения искомого решения в ряд по формам собственных колебаний системы.Этим методом получены аналитические решения задачи в случае следующих геометрических форм упругих полостей, частично заполненных жидкостью: 1. Односвязные полости - а) жесткий цилиндрический сосуд с упругим плоским днищем в виде мембраны или пластины; б) жесткий цилиндрический сосуд с упругим днищем в виде пологой сферической оболочки; в) упругий цилиндрический бак с упругим плоским днищем; г) сферический сосуд, полностью или наполовину заполненный жидкостью; 2. Двухсвязная полость - бак, состоящий из двух упругих концентрических сферических оболочек, пространство между которыми полностью или наполовину заполнено жидкостью. Таким образом, на основании этого решения вычислены аналитически элементы матрицы перехода, через опорное кольцо бака, учитывающей реакцию на стержень от колебаний упругого сосуда с жидкостью. Расчетная модель тонкостенного стержня принимается в виде схемы неоднородного стержня. Уравнение движения последнего имеет вид:

(EF(x)u j, = fi(x)a tt + jyij (t)SJ(x-xJ) + F(t)S(x-xF)

Граничные условия на концах не приводятся.Здесь их= du(x,t)/д х,

погонные жесткость и масса стержня соответственно; R (t) - реакция от j -ой полости с жидкостью, F(t) =р0 cos pt - возмущающая сила, Fq - амплитуда, р - ее частота, 8 -дельта

функция Дирака. В работе предложено искать решение этой задачи в виде: u(x,t) = Х(х) cos pt, где Х(х) - искомая форма вынужденных колебаний системы. Реакция от жидкости Rj учитывается с помощью

соответствующей матрицы перехода.

значение формы в сечении где расположено опорное

кольцо упругого бака с жидкостью. Используя метод прогонки имеем:

Хк )=Ci£ cos Я pk + С2k Xfr , - координата вдоль оси

стержня на к- м однородном участке длиной

неизвестные постоянные, ¿^"Мк Р^ ' постоянные погонные

тияггя гт жргтт^пгтк If- гп лдтягтт^я гтр.пжття Очгщл:гпм Ч'Г()

Ск+1=МкМ1Ск, где Ск- вектор столбец CA=[g-J •

Mkk+i( Р J = 1.2 - матрица перехода от к-го к k + 1 -му участку.

Например, если k = j, то она имеет вид:

22

Al = cos , fill =sin Zpj,

021 = pjEFjs]nZ0+XjBosZm ) /EFjuXtf+i P 22 = (X pJ- EFj cos Z pj -xj sin Zpj ) /EFJ+l X pj+1 .

Z „, = X Dil¡ . Расчет проводится в два приема. Один раз, если

расчет ведется в направлении от и из

неоднородного граничного условия находятся констаны Повторяя весь расчет в обратном направлении окончательно вычисляются все

Приведен пример аналитического определения для случая

жесткого цилиндра, закрытого упругой мембраной и заполненного жидкостью. Найдено точное решение этой неоднородной краевой задачи. Используется разложение искомого решения по функциям Бесселя первого рода нулевого порядка Jo(.a ¡г), а,, находятся из краевого условия 3 ог(г=]Ц ) = 0. Окончательно

Вид Б и с! не приводится. Следует отметить, что ряды в х у

сходятся как то-есть достаточно быстро Далее рассмотрены

продольно-поперечные колебания тонкостенного стержня с полостями, заполненными жидкостью. Продольные колебания жидкости в упругом сосуде заменены механическим аналогом в виде системы параллельных линейных осцилляторов. Считается, что на стержень действует в продольном направлении возмущающая сила, изменяющаяся по времени по гармоническому закону. Очевидно, что эта сила возбуждает и поддерживает в системе продольные колебания. В работе показано, что при наличии возмущений в поперечном направлении вследствие изгибных колебаний стержня могут возникнуть параметрические изгибные колебания из-за продольных колебаний жидкости в упругом баке, не смотря на численное отличие спектров поперечных и продольных колебаний системы примерно на порядок. Если аппроксимировать продольные и поперечные колебания стержня одним членом ряда и учесть только первый тон колебаний жидкости в баке то уравнение границ зон неустойчивости по первому приближению имеет вид:

1и +4a>\y+iP&iy) +ü>fuü)iy /4 = 0 p=0oF о" глубина пульсации, Fq- амплитуда внешней силы.

Вид константы До не приводится. При Р = 0 численные значения £2 для точек пересечения областей зон неустойчивости с осью абсцисс: 1у> Я2=<» 1и/2. Где а\у,(0 - собственные частоты

изгибных и продольных колебаний системы соответственно.

В шестой главе диссертации разработана методика расчета системы связанных стержней пакетной схемы деления с жидкостью.

Методом прогонки решены задачи о продольных, изгибно-крутильных и изгибно-продольных колебаниях связки стержней с жидкостью.

Приведены аналитические выражения для частотных уравнений.

ВЫВОДЫ

1 . В диссертации разработан приближенный аналитический метод определения частот и форм собственных колебаний упругой оболочки, частично заполненной идеальной жидкостью. Эта механическая система является важной в конструкции ракеты носителя на жидком топливе, а поэтому се динамические характеристики являются главными при расчете форм и частот продольных и поперечных колебаний корпуса.

Сформулирована краевая задача с естественными граничными условиями. Решение последней сведено к проблеме собственных значений с симметричными матрицами.

Этот метод дает возможность на стадии проектирования ракеты -носителя рассчитать динамические характеристики упругого корпуса, не используя сложные вычислительные системы и может служить основой для разработки численных методов расчета, обеспечивает предварительный анализ вариантов многопараметрических задач, и позволяет вникнуть в существо дела при первоначальном изучении проблемы гидроупругости оболочек и понять физику колебательных процессов рассматриваемых механических систем.

2.Найдено большое количество случаев решения задачи о свободных колебаниях упругих баков различной конфигурации, для которых частотный определитель системы, левая часть которого представляет бесконечную систему уравнений суммируется и, таким образом, задача сводится к вычислению корней одного единственного трансцендентного уравнения.

Полученные решения можно рассматривать как модельные решения, и использовать их для отработки численных методов с одной стороны, а с другой может быть рекомендована для изучения гидроупругости молодым специалистам, которые в будущем будут являться разработчиками сложных вычислительных комплексов. 24

Так, например, аналитическое решение для соосных цилиндрических оболочек (модель реактора ВВР1000) позволяет сделать важное заключение о необходимости учета жидкого наполнения. Аналитические решения в отличие от численных позволяют оптимизировать систему и выбрать наилучшие соотношения ее параметров.

3.Разработана методика расчета вынужденных колебаний для определения динамической реакции при продольных колебаниях упругого бака с жидкостью.

Предложенная нормировка собственных функций позволяет построить простой механический аналог для вертикальных колебаний упругого сосуда с жидкостью в виде системы параллельных осцилляторов, сумма масс которых равна физической массе жидкости в баке.

Это представление дает возможность наглядно представить механику колебаний бака с жидкостью и упростить расчет вынужденных колебаний корпуса ракеты.

Для модели корпуса ракеты-носителя вычислены формы и частоты собственных и формы вынужденных колебаний. Получено аналитическое решение для форм вынужденных колебаний одноступенчатой ракеты.

4.Спроектирована и создана лабораторная установка для частотных испытаний баков, заполненных жидкостью. На основе проведенных виброиспытаний на моделях цилиндрического и конического бака получены частоты двух первых осесимметричных форм колебаний этих конструкций. Результаты частотных испытаний удовлетворительно согласуются с расчетными данными.

5.В работе приведены решения для различных типов колебаний упругого ограниченного объема с жидкостью. В частности рассмотрены свободные и вынужденные колебания упругого сосуда с жидкостью со свободной поверхностью.

6.Данная работа может быть рекомендована в НИИ и КБ при проектировании и расчетах продольных колебаний ракет.а также специалистам, желающим разобраться в «физике явления», в механике колебаний жидкости в упругой полости и для изучения гидроупругости в качестве учебного курса.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

1. Пожалостин А.А. Осесимметричные колебания упругих баков с жидкостью //Теория оболочек и пластинок: Тр YII всес. конф. -Днепропетровск, Изд.Наука.- 1969. - С. 483-487.

2. Пожалостин ААЗкспериментальное определение частот и форм осесимметричных колебаний упругого бака с жидкостью //Известия высших учебных заведений. Авиатехника. Казань ,Изд.

Каи.-1970. - №3. - С. 90-94.

3. Пожалостин А. А. Точные решения задачи о вынужденных колебаниях оболочек с жидкостью // Известия высших учебных заведений. Авиатехника. Казань, Изд. Каи .-1988. - N 4. - С. 112-117.

4. Пожалостин А.А. Некоторые вопросы вынужденных колебаний оболочек с жидкостью //Прикладная механика: Труды П-го межд. симтт. - Москва, изд. МВТУ.,1978. - С. 93-99.

5.Пожалостин А.А. Построение системы гармонических функций для расчета осесимметричиых колебаний жидкости в упругом цилиндрическом баке со сферическим днищем //Изв. АН СССР. МТТ. Изд. Наука. -1972. - №1. - С. 71-74.

6.Пожалостин А.А. Осесимметричные колебания цилиндрического бака со сферическим днищем, частично заполненного жидкостью //Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью: Труды НИИПММ при ТГУ - Томск,Изд. ТГУ.-1972. - С. 126-135.

7.Пожалостин А.А. Вынужденные осесимметричные колебания жидкости в упругом баке //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов 11-го всес. симп. - Новосибирск, Изд. НЭТИ.-1974.-С. 120-124.

8.Пожалостин А.А. Осесимметричные параметрические колебания оболочки, частично заполненной жидкостью // Известия высших учебных заведений., Авиатехника., Казань.,Изд. Каи., -1990. -№3.-С. 58-63.

9.Пожалостин А.А. Свободные колебания двухсвязного объема, заполненного сжимаемой жидкостью //Реф.сб.ЦНТИ «Волна». - М.,-1984.-С. 218-222.

10..Пожалостин А.А. К теории собственных малых осесимметрич-ных колебаний упругих баков, частично заполненных жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Труды НЭТИ. -Новосибирск, Изд. НЭТИ.- 1970.-С. 153-164.

11 .Пожалостин А. А. Построение системы гармонических функций для неосесимметричных колебаний конического бака, заполненного жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Тр. П-го Всес.симп. - Новосибирск, Изд.НЭТИ- 1974. - С. 229-231.

12.Пожалостин А А., Каменский О. А. Осесимметричные колебания чечевицеобразной оболочки, частично заполненной жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Тр. П-го Всес. симп. - Новосибирск, Изд.НЭТИ -1974. - С. 231-233.

13.Пожалостин А.А. Неосесимметричные колебания конической оболочки, частично заполненной жидкостью // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью: Тр. I Всес. сем.

26

-Томск, Изд. ТГУ.-1975.-С. 85-93.

14.Пожалостин А.А Малые колебания жидкости в упругом баке с мембраной на свободной поверхности жидкости // Колебания упругих конструкций с жидкостью: Тр. Ш-го Всес. симп. - Новосибирск, Изд. НЭТИ.-1976.-С. 225-228.

15.Пожалостин АА. Неосесимметричные колебания цилиндрической оболочки со сферическим днищем, частично заполненной жидкостью // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействую-щих с жидкостью: Тр. П Всес. сем. - Томск, Изд. ТГУ.-1975.- С. 121-123.

16.Пожалостин А.А. Точные решения задачи о колебаниях двухсвязных оболочек с жидкостью // Тр. МВТУ, Изд. МВТУ -1979. -№306.-С. 20-30.

П.Пожалостин А.А. Свободные колебания жидкости в жестком круговом цилиндрическом сосуде с упругим плоским дном // Известия высших учебных заведений., Авиатехника, Казань. Изд. Каи. -1963. -N 4.-С. 21-26.

18.Пожалостин А.А. Определение параметров механического аналога для осесимметричных колебаний упругого цилиндрического сосуда с жидкостью //Изв. АН СССР. МТТ., Изд Наука. -1966. -N 5. -С. 157-159.

19.Пожалостин А.А. Свободные колебания жидкости в жестком круговом цилиндрическом сосуде с упругим дном в виде пологой сферической оболочки // Известия высших учебных заведений., Авиатехника, Казань,Изд. Каи. -1967. - N 2. - С. 21 - 26.

20.Пожалостин А.А. Метод Рэлея в гидроупругости // Тр. МВТУ., Изд.МВТУ. -1985. - N 442. - С. 11 - 24.

21 .Пожалостин А. А. Вынужденные колебания тонкостенного стержня с полостями, заполненными жидкостью // Тр. МВТУ, Изд МВТУ.,-1988.-Ш15.-С. 118-134.

22.Пожалостин АА. Об одном методе расчета вьигужденных колебаний конструкций с жидким наполнением // Колебания упругих конструкций с жидкостью: Тр. YI Всес.симп. - Новосибирск ,Изд. НЭТИ.-1990.-С. 216-218.

23 .Пожалостин А. А. О некоторых решениях в задаче о колебаниях двухсвязного объема с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сбдокл-IY Всес. симп., Изд.НЭТИ. - Новосибирск , 1980. - С. 334-336.

24 .Пожалостин А.А Продольно-поперечные колебания упругого стержня с жидкостью // Известия высших учебных заведений. Авиатехника, Казань,Изд. Каи. -1995. - № 1. - С. 76-79.

25.Пожалостин АА. Определение передаточной функции

гидравлического демпфера системы подачи топлива ЖРД // Известия высших учебных заведений., Авиатехника, Казань,Изд. Каи. -.1997. -№3.-С 102-106.

Подписано к печати 12.042004г. Зак. 51 т. объем 1.75 тир. 100

Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана

$•964 3

1. ВВЕДЕНИЕ.

2. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОЮЛОЧЕК

С ЖИДКОСТЬЮ.

2.1.0 некоторых особенностях вариационного принципа для решения задач гидроупругости

2.2.0 некоторых свойствах спектра собственных значений краевой задачи.

2.3 Выбор координатных функций.

2.3.1. Осесимметричные колебания.

23.2. Неосесимметричные колебания.

2.4. Определение форм и частот осесимметричных колебаний упругого сосуда с жидкостью.

2.4.1. Безмоментная теория оболочек.

2.42. Моментная теория оболочек.

2.4.2.1. Моментная теория оболочки вращения.

2.43. Осесимметричные колебания односвязного упругого сосуда произвольной конфигурации с жидкостью

2.4 А Аналитическое решение задачи о свободных осесимметричных колебаниях упрушго двухсвязного сферического объема, заполненного сжимаемой жидкостью.

2.4.5. Определение форм и частот осесимметричных колебаний двухсвязных оболочек с жидким наполнением.

2.4.6. Неосесимметричные колебания односвязной упругой оболочки, частично заполненной жидкостью.

2.4.7. Неосесимметричные колебания цилиндрического бака со сферическим днищем, частично заполненного шщ костью

2.5. Колебания упругого сосуда с мембраной на свободной поверхности жидкости.

2.6. Вынужденные колебания оболочек с жидкостью.

2.6.1. Модельные решения задачи о вынужденных колебаниях оболочек с жидкостью.

2.6.2. Реакция упругого сосуда с жидкостью на гармоническое воздействие.

2.6.3. Осесиммегричные параметрические колебания упругих оболочек с жидкостью.

2.6.4. Вынужденные осесимметричные колебания оболочек с жидкостью от возмущения на свободной поверхности.

2.7. Выводы к главе 2.

3. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ УПРУГОГО ОБЪЕМА С ЖИДКОСТЬЮ.

3.1 .Точные решения задачи о колебаниях жид кости в двухсвязной ущ*угой цилиндрической полости. . . „.

32 * Учетдемпфировашм жид!юто1шюлнителя.^

3.3. Малые колебания упругих оболочек с жидкостью при сяабой гравитации.

ЗА. Метод Рэлея в динамике упругого сосуда с жидкостью.

3.5. Выводы «с главе 3.

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМ И ЧАСТОТ сжидаосшо.

4.1. Методика проведения эксперимента.

42 Выводы к главе 4.

5. ОБ ОДНОМ НОВОМ ТОЧНОМ РЕШЕНИЙ НЕОДНОРДНОЙ

KPAETORsi^TOra^poyrawocm.

5.1 Введшие.

52 Постановка задачи.

5.3 Применение метода собственных функций.

5.4 Методика определения передаточной функции демпфера.

5.5 Выводы к главе 5.

6. КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ С , ЖИДКИМ НАПОЛНЕНИЕМ. vJ 6.1 Колебания стержня с продольным разделением отсеков.

6.1.1. Свободные продольные колебания стержней с полостями, заполненными жидкостью.

6.1.2. Вынужденные продольные колебания тонкостенного стержня с полостями, заполненными жидкостью.

6.1.3. Вынужденные колебания тонкостенного стержня с полостями заполненными жидкостью с учетом внутреннего трения

62. Продольно-поперечные колебания тонкостенного стержня с полостями, заполненными жидкостью.

6.2.1. Параметрические колебания тонкостенного стержня с полостями, заполненными жидкостью..

6.3. Методика расчета совместных продольньщ колебаний системы , связанных стержней с жидким наполнением ( система с поперечным разделением элементов ).

63.1. Постановка задачи, обозначения и граничные условия. 207 632. Продольные колебания системы одаородных стержней без жидкости.

633. Продольные колебания неоднородных связанных стержней без учета колебаний жидкости.

63.4. Продольные симметричные колебания системы тонкостенных стержней ( типа "Пакет" ) с учетом осесимме-тричных колебаний жидкости в упругих полостях.

63.5. Условия ортогональности форм собственных колебасистемы.

6.3.6. Расчет вынужденных продольных колебаний связки стержней типа "Пакет".

6.4. Методика расчета совместных изгибно-крутильных колебаний системы связанных стержней с жидким наполнением ( случай поперечного разделения стержней ).

6.4.1. Постановка задачи. Обозначения и граничные условия.

6.4.2. Изгибно- крутильные колебания системы однородных стержней пакетной схемы.

6.4.3. Методика расчета изгибно-крутильных колебаний системы неоднородных стержней.

6.4.4, Методика расчета изгибно-крутильных колебаний неоднородных стержней с учетом колебаний жидкости в баках.

6.5. Методика расчет совместных нзгнбно-продольных колебаний связанных тонкостенных стержней с жидким наполнением.

6.6 Вкюоды к пшвс 6.

ВЫВОДЫ

ЖШРАТУРА.

Проблема динамического поведения ракетных конструкций и народнохозяйственных объектов, имеющих полости, заполненные жидкостью и задача анализа динамического взаимодействия упругих и твердых тел с ограниченным объемом жидкости имеет большое теоретическое и практическое значение.

Особенно остро решение этой проблемы связано с развитием в последнее время ракетной техники. Оказалось, что при изучении колебательных процессов, происходящих в ракетных системах с продольным и поперечным (пакет) разделением ступеней, необходимо рассматривать совместные движения абсолютно твердых, твердых деформируемых и жидких сред для правильного определения динамических характеристик этих систем.

Знание динамических характеристик упругого корпуса ракеты с учетом колебаний жидкости в баках позволяет избежать опасных неустойчивых режиме» движения с нарастающими амплитудами этой сложной с бесконечным числом степеней свободы механической системы или ее элементов с точки зрения прочности ее конструкции.

Некоторые проблемы этого раздела механики были шетвз^ны и решены еще в прошлом веке <Лэмб, Бернуяда, Жуковский). Например, это задача о движении абсолютно твердого тела с полостью целиком заполненной, несжимаемой жидкостью. Последняя в достаточной мере исследована и решена Н.Е. Жуковским.

В последнее время потребности инженерной праяшкн вновь пробудили интерес исследователей-механиков к разработке методов расчета для анализа динамических характеристик абсолютно твердых деформируемых тел, содержащих в себе объемы, частично заполненные жидкостью.

Методы решения этих задач стали разрабатывать не только в связи с потребностями ракетной техники и самолетостроения, но и с разрешением проблем динамики в отраслях народного хозяйства: нефтедобывающая и газовая промышленность, сельское хозяйство (зернохранилища), энергетика и медицина. Например, в медицине в качестве элемента динамической модели человека можно представить себе упругий трубопровод с жидкостью.

Настоящая работа посвящена разработке аналитических прибдиженныхметодов расчета колебаний упругого сосуда, частично заполненного жидкостью, которые могут быть использованы при определении, например, форм и частот колебаний корпуса ракеты как продольного так и поперечного деления, работающей на жидком топливе.

Кроме этого разработаны способы, позволяющие получить приближенные решения в аналитическом виде, которые могут быть рекомендованы к использованию в системах САПР жидкостных ракет для определения динамических характеристик. Поскольку расчет по аналитическим зависимостям не представляем затруднений и не требует никаких временных затрат.

Приближенные аналитические решения в отличие от численных позволяютоптимизироватъ систему и легко изменять величину ее параметров для выбора наилучшего соотношения между ними.Нааден случай геометрической формы бака, а именно, сосуд в ^двух/виде;концентрических сферических оболочек пространство между которыми заполнено жидкостью, для которого получено аналитическое решение задачи об определении частот и форм собственных колебаний. Кроме этого разработано достаточно большое количество случаев аналитического решения для определения осесимметричных форм и частот свобод ных колебаний сосудов с жидким наполнением.

Получены аналитические решения для малых вынужденных осесимметричных колебаний упругих оболочек с жидким наполнением при гармоническом вертикальном перемещении опорного кольца сосуда. Точные решения найдены для сосудов следующей геометрической формы: 1) жесткая цилиндрическая оболочка закрытая снизу упрушм плоским днищем в виде мембраны или пологой сферической оболочки, 2) сферический бак полностью или наполовину заполненный жидкостью, 3) жесткая цилиндрическая полость, закрытая снизу упругим плоским днищем в виде пластины, 4) двухсвязная полость в виде двух концентрических сфер и цилиндров.

Для этих типов оболочек получены аналитические выражения, определяющие динамические реакции, действующее со стороны полости на опорный шпангоут бака. Входящие в соответствующие зависимости бесконечные ряды быстро сходятся, а поэтому при вычислениях достаточно учитывать только несколько первых членов последних. Эта методика распространена и на полости более сложной формы, например, полость в виде чечевицы и други^формы баков. Динамическая реакция резервуара с жидкостью определяется с помощью коэффициента динамической жесткости.

Численная величина коэффициента д инамической жесткости сосуда равна сумме некоторого ряда, каждый член которого соответствует координатной функции разложения потенциала скорости частиц жидкости.

Получены исходные выражения для потенциала скорости не только для осесимметричных колебаний сосуда с жидкостью, но и для случая неосесимметричных колебаний. С помощью предложенной аппроксимации потенциал скорости проинтегрированы дифференциальные уравнения моментной технической теории В. 3. Власова для Л цилиндрического бака со сферическим днищем. Построены определители для вычисления частот неосесимметричных колебаний конической оболочки с жидкостью, а также н для других типов баков, * коэффициенты которых вычисляются аналитически.

Получено экспериментальное подтверждение существования симметричных тонов колебаний упругой оболочки с жидкостью. Найдены численные значения для частот и форм колебаний на трех типах моделей: 1) на целлулоидном цилиндрическом баке со сферическим днищем, 2,) на коническом сосуде с днищем в ввде сферической оболочки, 3) на металлической модели цилиндрического бака со сферимческим днищем (модель из дюралюшшия в масштабе 1:10). Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с данными эксперимента.

При проведении практических расчетов, связанных с анализом вынужденных колебаний конструкций с жидким наполнением желательно вводить в расчеты демпфирование колебаний жидкости, чтобы ограничить вблизи возможных резонансов величины амплитуд колебаний жидкого наполнителя В связи с этим нами предложена приближенная методика учета демпфирования жидкости при ее движениях вместе с упругим сосудом. В некотором шысле идея этого способа перекликается с методой Л.Д. Ландау [146]. Считается, что силы внутреннего трения в жидкости пропорциональны скорости частиц жидкости с некоторым постоянным положительным коэффициентом. Величина этой константы может быть найдена по результатам эксперимента, выполненного Г.Н. Микишевым. Описание последнего приведено в монографии [66]. Следует отметить, что в данном подходе используются представления теоретической механики, а требуемые для расчета формы колебаний системы определяются из решения задачи Неймана для уравнения Лапласа без учета сил сопротивления.

6 условиях малой гравитации могут быть применены баки, свободная поверхность которых покрыта эластичной пленкой, с помощью которой осуществляется надежное вытеснение топлива через заборник в днище сосуда. Такие конструкции предполагается использовать в дирижаблестроении. Поэтому в работе разработана методика для определения динамических характеристик упругого бака с мембраной на свободной поверхности жидкости.

Получено аналитическое решение модельной задачи о колебаниях жесткой цилиндрической обечайки с жидкостью и закрытой сверху и снизу предварительно растянутой упругой мембраной. Эти результаты могут быть распространены на баки более сложной геометрической формы.

Сформулирована краевая задача и дано ее точное решение о малых колебаниях жидкости в двухсвязной упругой цилиндрической полости. Последняя представляет собой соосные цилиндрические оболочки внутреннее пространство между которыми наполнено шщшстыо.

Получено точное решение задачи об определении передаточной функции гидравлического демпфера. Передаточная функция является комплексной, действительная и мнимая часть которой представляет собой быстросходящиеся бесконечные ряды. Поскольку ракетные системы используются в условиях слабой гравитации, то разработана методика для анализа динамических характеристик упругого бака с жидкостью в условиях малой гравитации и малой искривленности свободной поверхности жидкости, когда угол смачивания равен девяносто градусов,

При проведении проектировочных расчетов в системах автоматизированного проектирования летательного аппарата (ЛА) целесообразно иметь не только методики, которые давали бы численные значения величин динамических характеристик, системы с возможно большей точностью, но и непосредственно аналитические формулы дли приближенного определения частот и форм собственных и вынужденных колебаний упругих сосудов с жидкостью. Для этой цели удобно использовать модифицированный метод Рэлея (использующий в своей основе идею метода Граммеля). В связи с этим, с целью получения аналитических зависимостей для первых двух собственных частот колебаний, необходимо аппроксимировать функцию динамического давления в жидкости.

В работе получены аналитические формулы для приближенного определения величин первой и второй частоты свободных колебагшй упругой оболочки с жидким наполнением. Используется прием орто-гонализации функции аппроксимирующего решения с найденной собственной формой первого тона колебаний.

Результаты расчетов по предлагаемым зависимостям удовлетворительно согласуются с данными проведенного автором эксперимента и с результатами, полученными в работах других авторов. Знание динамических характеристик резервуаров с жидкостью позволяет правильно выбрать динамическую расчетную схему для анализа вынужденных колебаний ЛА и определить динамические нагрузки в элементах конструкции корпуса летательного аппарата.

В дальнейшем предполагаются рассматривать малые отклонения элементов корпуса ЛА от состоянии равновесия, а также малые движения взаимодействующего с ним жидкого наполнителя. Жидкость считается идеальной и несжимаемой, а ее движение попгенциальным. Там, где учитьюается сжимаемость жидкости, это обстоятельство оговаривается особо.

В математическом плане задача о малых движениях системы упругое тело и наполняющей его жидкости со свободной поверх хностью сводится к бесконечной совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих: 1) движение несущего тела, как жесткого целого (этот случай соответствуем нулевому корню характеристического уравнения системы), 2) упругие колебания несущего тела с учетом сил взаимодействия от жидкого наполнителя, 3) движения жидкого наполнителя под действием сил тяжести и давления на смоченной поверхности сосуда, являющегося элементом конструкции несущего тяга. Последнее представляет собой линейную стационарную трехмерную краевую задачу для уравнения Лапласа в области типа Ляпунова со свободной границей [7,21,33,56].

Динамические свойства заполняющей сосуд жидкости в математической модели системы проявляются как в связи с наличием кинематических и динамических граничных условий на свободной поверхности жидкости, так и в уравнениях движения корпуса, поскольку движение жидкости и корпуса связаны между собой условием непротекания жидкости на смоченной стенке полости и динамическим воздействием ее на стенку сосуда с помощью гидродинамического давления.

Сложность математической формулировки задачи позволяет получить аналитические решения в случае однородной краевой задачи (свободные колебания) и неоднородной краевой задачи (вынужденные колебания) в исключительных случаях для односвязных и двухсвязных полостей. Эти случаи в достаточной мере перечислены выше. В связи с этим приходится использовать приближенные методы для решения указанной краевой задачи, например: 1) метод

Галеркина, 2) метод Ритца, 3) метод Коши в сочетании с методом Годунова, 4) метод конечного элемента, 5) метод конечных разностей и другие.

Следует отметить, что несмотря на существование численных методов решения краевой задачи Неймана и наличия совершенной быстродействующей вычислительной техники, аналитические решения не теряют своего значения. Они служат своего рода ориентиром для разработки численных методов расчета, а также для сравнения последних между собой. Поэтому в настоящей работе предпочтение отдается разработке приближенных аналитических методов решения проблемы о малых колебаниях упругой оболочки частично наполненной жидкостью. В своей основе этот метод опирается на представление искомого решения для гидродинамического давления в виде разложений по некоторым полным системам координатных функций или собственным формам краевой задачи для уравнения уравнения Лапласа.

Отличительной особенностью предлагаемого ниже метода расчета от всех имеющихся в литературе является то, что в нем используется разработанная автором система координатных функций, элементами, которой являются гармонические полиномы Лапласа. Эти координатные функции строятся аналитически, точно удовлетворяют уравнению Лапласа и главному граничному условию задачи Неймана (граничному условию на свободной поверхности жидкости, как с учетом волновых движений жидкости так и без них). Следует отметить, однако, что система координатных функций (как это показано ниже) не обязательно должна удовлетворил» уравнению Лапласа, но поскольку предлагаемые функции обладают этим свойством, то это приводит к тому, что сходимость решения задачи будет более быстрой при прочих равных условиях.

Поэтому для безмоментных безинерционных оболочек удается получить аналитические формулы для определения первых частот собственных колебаний системы. Последние могут быть использованы в системах САПР ракетных конструкций. В явной форме приведены коффициенты частотного определителя для вычисления собственных частот и форм более высоких тонов колебаний.

Разработана методика для расчета форм вынужденных колебаний тонкостенной конструкции с полостями, заполненными жидкостью.

Проблеме динамического взаимодействия упругой оболочки с заполняющей ее полость жидкостью посвящено большое количество работ. Среди ученых, занимающихся вопросами гидроупрутости следует в первую очередь отметить работы Лейбензона Л. С., Балабуха Л. И., Горшкова А. Г., Рапопорта И. М, Луковского И. А., Колесникова К. С., Шмакова В. П., Шклярчука Ф. Н, Лампера Р. Е.„ Докучаева Л. В., Рабиновича Б. И., Гонткевича В. С., Троценко В. А., Микишева Г. £, Моисеева H.H., Нариманова Г. С., Сретенского Л. Е, Мнева Е. £, Перцева А. К., Никитина С. К., Анисимова А. М., Темнова А. Е, Оразова М. Б., Самойлова Е. А., Антонова В. Е, Улитнна Г. М., и других.

Например, в работе [1] используется численный конечно-разностный метод и приводятся данные по его устойчивости и сходимости при решении задачи об осесимметричных свободных колебаниях упругой цилиндрической оболочки с жидкостью. Последаий как и все численные методы в достаточной мере трудоемок.

Одной из первых работ, послужившей началом для разработки приближенных и точных аналитических методов в гидроупругости, явилась статья [55]. В ней академиком Лейбензоном Л. С. решена задача об определении периода натуральных здяебаний плотины, подпирающей реку. Плотина рассматривается в виде однородной пластины, жидкость считается идеальной, несжимаемой, а ее движение потенциальным. Автор изложил способ аналитического решения указанной задачи, задавая гидродинамическое давление в жидкости (а не отыскивая потенциалскорости через аппроксимируемое перемещение срединной поверхности плотины) в виде бесконечного ряда по полной системе тригонометрических функций. Последующие расчеты показали, что такой способ решения краевой задачи Неймана дает наиболее быструю сходимость результата по частоте. Однако, Лейбензон, считая первый пуль решения громоздким, получил исчерпывающее решение используя метод Ритца.

Дальнейшее развитие аналитического способа решения задачи гидроупругости, намеченного Лейбензоном получило в работах Балабуха Л.И. [2], [3], [4], [б], [73 и Шмакова В.П, [140], [141], [142]. Так, например, в работе [6] получены точные решения с использованием системы тригонометричеоких функций для свободных поперечных колебавий упругого прямоугольного и цилиндрического бака, заполненных идеальной, несжимаемой жидкостью. В работе [3] найдено частотное уравнение в виде мероморфной функции для определения частот свободных осесимметричных колебаний упругой безмоментной, безинерционной сферической оболочки частично заполненной жидкостью. В качестве координатных функций использованы решения уравнения Лапласа в сферических координатах. Для случая половинного и полного заполнения бака найдены точные,аналитические решения.

В работе [2] Л.И. Балабух получил точное решение задачи о свободных колебаниях упругого цилиндрического бака с плоским днищем. В работе [4] для цилиндрической полости исследованы свойства собственных функций краевой задачи с граничными условиями, зависящими от параметра. Например, такое граничное условие получается при линеаризации динамического условия на свободной поверхности жидкости в колеблющемся баке. В работе [7] разработан (на основе метода Рэлея) приближенный способ определения первой частоты свободных колебаний упругой полости, заполненной жидкостью.В качестве координатной функции используется первая функция гармонических полиномов Лапласа.

Большой вклад в разработку методов расчета упругой полости с жидкостью внесла группа ученых под руководством профессора Шмакова В. П. Например, в работе Балакирева Ю.Г. [8] рассмотрены симметричные свободные колебания упругой сферической оболочки, заполненной жидкостью. С помощью метода Галеркина получено частотное уравнение системы. В работе [10] решена краевая задача о колебаниях упругой конструкции в виде неоднородного стержня с тонкостенными полостями, содержащими жидкость. Последняя сведена к бесконечной системе дифферен-циальных уравнений при помощи вышеупомянутого метода. Полости представляют собой цилиндрические оболочки с пологими сферическими днищами, частично заполненные жидкостью. Динамическое воздействие колебаний бака с жидкостью на стержень учитывается с помощью введения в расчет динамических сил от движений последнего в месте крепления его опорного кольца.

В работе [12] предложен приближенный метод расчета собственных и вынужденных колебаний упругой оболочки вращения, заполненной идеальной, несжимаемой жидкостью. В качестве координатных функции используется ортонормирован- ная система собственных функций краевой задачи с параметром в граничном условии.

В работе [13] приводится методика расчета собственных форм и частот закрепленной по торцам цилиндрической оболочки, частично заполненной жидкостью. В статье [14] методом В.П. Шмакова решена задача о собственных осесиммегричных колебаниях конической оболочки, заполненной жидкостью.

В работе [15] указанный метод иллюстрируется на примерах свободных и вынужденных колебаний тонкостенной оболочки различной сложной геометрической формы, наполненной иде-альной, несжимаемой жидкостью. О других работах (собственно) В П. Шмакова будет сказано ниже, поскольку изложение библиографии проводится в алфавитном порядке.

В избранных трудах Власова В.З. [16] разработана техническая моментная теория оболочек, результаты которой широко используются при построении математической модели упругой тонко-стенной конструкции с жидкостью.

В работах Галкина М.С. разработан оригинальный метод расчета форм колебаний жидкости в сосуде произвольной формы способом аналитического продолжения [19]. При непосредственном использования этой методики необходимо знать форму колебания системы для некоторой части сосуда как изначальной для про-ведения расчета. Кроме эгого им предложен метод коллокаций для определения форм колебаний в сосуде произвольной формы [20], а в статье [24] построена теория колебаний упругих тел с деформируемыми полостями, частично заполненных сжимаемой жидкос-тью.

В монографии Гонткевича B.C. изложены приближенные ( метод Ритца, Галеркина) способы решения краевой задачи об определении частот собственных колебаний оболочек в жидкости (вне- шняя задача Неймана). Рассмотрены случаи колебаний упругой цилиндрической и сферической оболочек в безграничном объеме жидкости.

В работе [22] (под руководством Шмакова В.П.) проведено теоретическое и экспериментальное исследование спектра собственных неосесимметричные колебаний конической оболочки с жидкостью

В монографии Гладкого В.Ф. [23] по динамике конструкции летательного аппарата наложена методика определения форм и частот ракеты пакетной схемы, используя метод Ритца. В данной краевой задаче удовлетворяются только геометрические граничные условия в местах крепления элементов конструкции. Колебания жидкости учитываются весьма приближенно и только для упругого цилиндрического бака с плоским днищ ем.

В статье Годунова С. К. [26] разработан метод решения краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, не приводящий в процессе интегрирования к линейной зависимости собственных векторов. Используется метод ортого-нализации по Граму-Шмидту.

Использование методов классической механики, изложение которых дано в книге Ф.Р. Гантмахера [26] позволяет корректно сформулировать математическую модель сложных гидромеханических систем.

В монографии Гобсона Б. Я [27] с исчерпывающей полнотой приведена теория сферических и эллипсоидальных функций, полиномов Лапласа, которые широко используются ниже в тексте настоящей работы.

Монография члена-корр. РАН Григолюка Э. И. и проф. Горшкова А. Г. посвящена взаимодействию упругих конструкций с жидкостью. В статье Григолюка Э. И. и проф. Шклярчука Ф.Н. [30] подучены дифференциальные уравнения возмущенного движения в обобщенных координатах тела с тонкостенной упругой оболочкой, частично заполненной жидкостью.

В работе [31] Григорьева В.Г. применен численный метод (метод конечного элемента) к расчету колебаний упругой оболочечной конструкции, содержащей жидкость.

В доклада профессора Докучаева Л.ЕЦ32] и статье [351 получены уравнения движения твердого тела с жидкостью, имеющей на свободной поверхности жидкости гибкую мембрану, монография [33] Льва Викторовича посвящена задачам нелинейной динамики летательного аппарата с деформируемыми элементами в виде гибких стержней. Рассмотрены вопросы, устойчивостью движения таких систем с учетом колебаний жидкости в жестких полостях, являющихся элементами конструкции системы.

В статье [34] Докучаева приведена методика определения присоединенного моменте инерции жидкости в жестком цилиндре с перегородками, вращающемся вокруг его продольной оси. Эти результаты используются нами при определении форм крутильных колебаний ракеты пакетной схемы.

Монография [36] посвящена методам сплайн-функций. Эта метода используется в работе при формировании математической модели оболочки вращения с произвольной образующей.

Монография Ильгамова М.А., [37] (казанская школа гидромеханики) рассмотрены вопроси, связанные с колебаниями упругих оболочек, содержащих жидкость и газ.

В работе [38] под руководством профессора Л ампера Р. £. разработан численный вариационный метод с нелинейным параметром в приложении к задаче о колебаниях бака с жидкостью. Используется метод Ригца и неполная система функций Бесселя комплексного аргумента. В других работах Роберт Ефимович доказал, что при определенной стратегии выбора нелинейного лараметра изначальная система функций становится полной.

В учебнике академика Кочина Н.Е. [39] изложены основы гидромеханики., дан вывод интегралов движения несжимаемой жидкости в поле сил тяжести (интеграл Лагранжа-Когаи) использу-емые во всех работах по гидроупруI хзсти.

В монографиях академика Колесникова КС. [40], [50], [51]. и учебном пособии [42] изложены основы теории и расчета продольных колебаний ракеты с жидкостным ракетным двигателем. Получены области устойчивости малых колебаний упругой ракеты с автоматом стабилизации и движения жидкости в жестких и упругих полостях и с учетом колебаний жидкосги в топливных маги-стралях систем. В качестве упругого бака принята модель цилиндрического бака с плоским днищем. Формы и частот свободных колебаний упругого бака с жидкостью определяются по методу Ритца.

В монографии [43] академика Колесникова К. С., профессоров Самойлова Е. А., Рыбака С. А. рассмотрены свободные и вынужденные колебания цилиндрической оболочки со сферическим дншцем и сферической оболочки с жидкостью и с упругими газовыми пузырями внутри заполняющей эта сосуды жидкости. Применяется метод Галеркина при формулирования математической модели системы в виде бесконечной системы линейных обыкно-венных дифференциальных уравнений и сведения исходной задачи к проблеме собственных значений некоторой бесконечной матрицы.

Граничные условия при переходе из цилиндрической част бака в полость сферического днища удовлетворяются интегрально.

Подробно рассмотрены методы определения динамических характеристик топливных магистралей.

Монография [41 ] использована в работе при построении собственной функции краевой задачи для определения формы второго тона колебаний. В основе математических формулировок краевых задач использованы сведения, изложенные в учебнике академика Н.Е. Кочина [44]. Для обоснования разработанного в диссертации метода решения задач гидроупругости использованы сведения изложенные в монографии [45] и в частности теорема Вейерштрасса о разложении произвольной функции в ряд по гармоническим полиномам.

В статье [49] под руководством В.II. Шмакова с помощью модифицированного им метода I алеркина получено решение задачи об определении форм и частот упругой сферической оболочки, заполненной жидкостью и приведен анализ частотного спектра этой краевой задачи.

Классическая монография Р. Куранта [52] использована автором при обосновании некоторых особенностей разработанного метода для решения основной задачи гидроупрутости.

В статье профессора Ламиера Р. Е. [54] представлен механический аналог для продольных колебаний осесимметрнчного упругого бака, заполненного жидкостью. Механический аналог представлен в виде линейной цепочки осцилляторов (связанных между собой масс и жесткостей, число которых конечно и равно - п).

В наших работах механический аналог представляет собой систему бесконечного числа параллельных осцилляторов. Доказано, что сумма масс такого аналога ( при соответствующей нормировке форм колебаний ) равна физической массе жидкости в баке. Величина массы 1-го тона колебаний быстро убывает с увеличением номера 1.

Монография [56] чл.-корр. АН Украины Луковского И. А., профессоров Усюкина В. И., Троценко В. А. посвящена постановке и решению задач гидроупругости, имеющих место в теории движе-ния механических систем с полостями, заполненными жидкостью с упругими ребрами-перегородками и вытеснителъными диафраг-мами из высокоэластичных материалов. Рассмотрены задачи о колебаниях идеальной жидкости в полостях с кольцевыми и радиальными перегородками, линеаризованные задачи динамики мягких оболочек, контактирующих с жидкостью.

В статье [57] Либина Э. Б., Якутовой Н. Г, в нелинейной постановке решена задача о существовании круговой волны при поперечных колебаниях жесткого цилиндрического сосуда, заполненного жидкостью со свободной поверхностью.

В статье [58] под руководством Лампера Р. Е. приведен способ нижней оценки собственных частот упругого сосуда с жидкостью. В работе [59] Лампером предложен вариант метода Ритца для расчета собственных колебаний баков с варьируемым параметром. Впервые рассмотрены оболочки с жидкостью сложной геометрической формы.

Монография Луковского И. А. [60] посвящена приближенным методам решения задач динамики ограниченного объема жидкости.

В статье [61] рассмотрены несимметричные колебания моментной сферической оболочки, частично заполненной жидкостью. Система координатных функций, в ряд по которым разлагается искомый потенциал скорости жидкости заимствована из статьи Л.й. Балабуха [3]. Последняя точно удовлетворяет не полному граничному условию на свободной поверхности жидкосги, то есть при отсутствии волновых колебаний на этой поверхности.

В монографиях академиков Моисеева H.H., Румянцева В.В. и профессора Петрова A.A. [62], [68 ] приведена постановка динамических задач, возникающих при движении твердого тела с полостями, заполненными жидкостью, даны методы решения и для некоторых из них приведено обоснование их применения в численных расчетах.

-23В нашей работе ряд этих задач обобщен на случай упругой полости, частично заполненной жидкостью, а именно: 1. Вынужденные колебания жидкости в полости, 2. Параметрические колебания свободной поверхности жидкости в упругом сосуде,3. Колебания жидкости в полости при слабой гравитации.

Монографии профессоров Микишева Г. Е и Рабиновича Б. И. [63], [65] посвящены динамике твердых и тонкостенных упругих конструкций, содержащих полости и отсеки, заполненные жидкостью. В работе [65] приведено решение методом Галеркина краевой задачи о продольных колебаниях тонкостенного стержня с упругими баками, наполненных жидкостью. Бак представляет собой цилиндрическую закрытую плоским днищем, соединенную с трубопроводом. Полость и трубопровод наполнены идеальной, несжимаемой жидкостью. Рассмотрены также поперечные и крутильные колебания этой системы. Приведено решение указанной краевой задачи методом начальных параметров.

Монография [67] посвящена вопросам гидроупругости обо-лочек, погруженных в жидкость, то есть внешняя задача Неймана. Последняя сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены результаты численных расчетов.

Докторская диссертация [69] Никитина С. К посвящена нестационарным задачам упругой полости, частично заполненной жидкостью. В том числе рассмотрена нелинейная задача о динамике упругой полости с жидкостью при ударе.

Разработан численный алгоритм решения осесиммегричной нелинейной задачи о движении упругой толстостенной и тонкостенной полости с жидкостью в более полной постановке, чем это обычно принято в моделях гидроупругости оболочек, при решении использован метод динамической прогонки. Отличие этой работы от других состоят в том, что нет сравнений результатов с экспериментальными данными и расчетами других авторов.

В статье [70] рассмотрена задача о движении идеагшюй жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения, заполняющей сосуд с плоским упругим днищам. Сформулировано полное граничное условие на свободной поверхности жидкости и найден частотный определитель системы с помощью метода Галеркина.

Монография [71] используется для составления математической модели оболочка-жидкость.

Монография [72] является одним из первых трудов, в котором систематически поставлены и изложены задачи динамики твердого тела с полостями, заполненными жидкостью. Приведены методы решения этих задач.

В диссертации Оразова М. Б. изложены результаты исследований автора, посвященных некоторым вопросам спектральной теории несамосопряженных операторов и связанных с ними задач механики. Результаты этой работы применены к задаче о колебаниях упругой оболочки, заполненной идеальной и вязкой жидкостью. В частности вполне строго доказана возможность усечения бесконечной системы уравнений в проблеме о собственных значениях оболочки с жидкостью. Для этой цели использованы теоремы о пучке операторов академика Келдыша М. В. статье [75] решена задача о совместных симметричных колебаниях столба жидкости со свободной поверхностью и пологой сферической оболочки.

В работах [110], [111] Пшеничнова Г. И. рассмотрены некоторые приближенные методы и метод возмущений в теории колебаний упругих систем с жидкостью.

В статье Рабиновича Б. И. [112] сформулированы дифференциальные уравнения упругих колебаний тонкостенных стержней с жидким заполнением при наличии свободной поверхности. Задача сводится к проблеме собственных значений некоторой бесконечной матрицы с помощью метода Галеркина.

В монографии [113] сформулированы краевые задачи, возникающие при рассмотрении динамики ракет носителей космических аппаратов. Например, ракета представляйся как упругое тело с отсеками, содержащими жидкость. Рассмотрены поперечные, крутильные и продольные колебания ракеты с тандемным расположением ступеней с жидким наполнением. Сформулирована краевая задача для продольных колебаний корпуса с упругими далицдрическими баками с плоскими днищами, заполненными жидкостью. Решение проводится с помощью метода Галеркина и Ритца-Трефгца.

В статье {114] Рабиновичем Б. И. в соавторстве со Шмаковым В.П. рассмотрены колебания конструкций, несущих упругие резервуары с жидкостью.

В монографиях [115], [116] профессором Рапопортом И. М. рассмотрена динамика малых движений упругого тела, частично заноженного жидкостью и малые колебания упругой оболочки, частично заполненной идеальной жидкостью. Сформулированы дифференциальные уравнения движения для различных случаев движения и нагруження упругого тела в довольно общей постановив (свободные и вынужденные колебания), В книге [116] автором разработан метод последовательных приближений для численного интегрирования уравнений осесиммегричных и неосесимметричных малых колебаний тонкостенной оболочки, частично наполненной жидкостью. Для решения задачи требуется достаточно мощная вычислительная техника. К большому сожалению этот метод нельзя рекомендовать для проектных расчетов.

В статье [117] Рабиновичем Б.И. и Роговым В.И предложен метод учет рассеяния энергии из-за вязкости жидкости и наличия демпфирующих элементов в полости.

В работе [118] произведен расчет коэффициентов диссипации в подвижных полостях по формулам приведенным в монографии [65], при этом производные от функции потенциала определены по методу сеток.

В монографии [119] профессоров Светлицкого К. А. и Нарайкина О.С., посвященной упругим элементам машин, рассмотрен способ расчета оболочки произвольного очертания, геометрия которой задается численно с помощью сплайн функции. Эта идея использована нами при построении методики расчета форм и частот колебаний упругой оболочки сложной геометрии, наполненной жидкостью.

В монографии [120] академика Сретенского Л. К представлена в достаточно полном объеме теория волновых движений жидкости. Среди многообразия типов волн рассмотрены капиллярные волны в безграничном объеме жидкости со свободной поверхностью в линейной постановке. В нашей работе этот случай распространен на колебания свободной поверхности жидкости в упругом баке с учетом сил натяжения на свободной поверхности.

В статье [121] Самодаева В.Е. вычислены частоты собственных колебаний жидкости в жестком цилиндре с упругой мемебраной на свободной поверхности. Частотное уравнение системы, левая часть которого бесконечный определитель получено о помощью метода Галеркина.

Работа [122] профессоров Самойлова В.А. и Павлова Б.С. посвящена колебаниям полусферической оболочки, заполненной жидкостью. Методом Галеркина получено приближенное решение задачи с использованием разложения потенциала по функциям Лежандра.

В статье [123] Самойловым представлена краевая задача и метод ее решения для колебаний сферической оболочки с жидкостью и пузырями, расположенными внутри жидкого объема. Оболочка безмоментная, полностью заполнена идеальной, несжимаемой жидкостью. Потенциал скорости принимается в виде ряда, как и в работе [122]. Граничные условия на смоченной поверхности сферических пузырей удовлетворяются интегрально.

В работах [124], [125] профессора Троценко В.А. исследованы колебания жидкости в сосуде, поверхность которой ограничена пологой мембраной и мембранной оболочкой из гиперупругого материала. Рассмотрены большие перемещения системы

Сведения по теории упругости, изложенные в монографии [126] профессора Тимошенко С. И использованы в работе при доказательстве некоторых положений, имеющих место в динамике упругого сосуда с жидкостью.

Монография [127] академиков Тихонова А.Н., Самарского А. А. по уравнениям математической физики использована при построении системы собственных функций дифференциального уравнения эллиптического типа и применении соответствующих собственных функций. В тексте [127] обнаружена, на отмеченная ранее, ошибка редакционного характера.

Алгебраической проблеме собственных значений посвящена монография Уилкинсона Дж. X. [128]. Анализ этой и других аналогичных работ позволил автору высказать определенную точку зрения на выбор метода решения проблемы собственных значений в случае их кратности.

В диссертационной работе Улитина Г.М. [129] получены некоторые точные решения осесимиетричной задачи гидроупругости цилиндрической оболочки. Кроме того, это одна из немногих работ, в которой рассмотрены движения в баке при переменном объеме жидкости, связанным с ее истечением через жесткое днище.

Монография {130] академика Фролова К.В. и Антонова В.Н. посвящена динамике упругой оболочки с жидкостью в случае внешней задаче Неймана. Авторами предложены численные методы (в частности, метод конечных разностей) решения этой задачи.

В одной из первых монографий [131] Фещенко С.Ф., Луковского И.А., Рабиновича Б.И. по динамике твердых тел, с жидким наполнением рассмотрены методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных полостях. Результаты этой работы использованы автором на примере определения форм и частот собственных крутильных колебаний ракеты пакетной схемы разделения ступеней.

В монографии [132] Флклте В. дается последовательно и вполне полное изложение теорий оболочек. Рассмотрены основы статики и динамики оболочек различной геометрической формы, образованной вращением некоторого контура относительно ее оси симметрии. Автор использовал в достаточной мере интегралы безмоментной теории, приведенные в цишруемой работе.

В статье [133] академика Черноусысо Ф.Л. в теоретическом плане рассмотрена краевая задача и ее свойства о движении жидкости, ограниченной гибкой пленкой.

Статья [134] профессора Шклярчука Ф. Н. и другие его работы, речь о которых пойдет ниже, посвящены колебаниям упругих оболочек с жидкостью, динамике конструкций ЛА( летательного аппарата ) и конструкций с полостями, наполненными жидкостью.

В статье [134] им решена внутренняя краевая задача Неймана для цилиндрического бака, заполненного сжимаемой жидкостью, совершающего продольные колебания. Показаны условия, при которых влиянием сжимаемости можно пренебречь.

В работе [] 35] Шклярчуком получены уравнения параметрических колебаний цилиндрической оболочки, частично заполненной жидкостью при продольном возбуждении. Рассмотрены нелинейные уравнения цилиндрической обечайки, а параметрическое возбуждение колебаний возникает от периодического изменения по времени продольной силы в оболочке.

В учебном пособии [136] Федор Николаевич рассмотрел весьма важные задачи динамики механических систем, возникающие при изучении колебаний конструкций ЛА е тонкостенными полостями, наполненными жидкостью. Обсуждаются вопросы выбора расчетных моделей и методы составления дифференциальных уравнений движения. Корпус ЛА делится на отсеки, каждый отсек рассматривается как конечный элемент. Уравнения колебаний составляются по методу Лагранжа. Представлены уравнения колебаний упругого бака с жидкостью в обобщенных координатах и вариационные методы расчета их осесимметричных и неосесиммет-ричных колебаний.

В статье [137] Шклярчуком разработан приближенный метод расчета осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидким наполнением. Получены аналитические формулы для определения частоты низшего тона колебаний системы.

Статья [138] Шмакова посвящена применению численных методов к задачам о колебаниях упругих оболочек вращения, заполненных идеальной, несжимаемой жидкостью. Краевая задача для системы уравнений сводится к задаче Коши. Полученные уравнения интегрируются методом Рунге- Кутта с ортогонализацией по Граму-Шмидту [25].

Потенциал скорости ищется в виде системы гармонических полиномов. Из них конструируется ортонормированная система функций, с помощью которой вычисляется динамическая нагрузка на оболочку.

Отличие тех потенциалов, которые получены в наших работах от предложенных Шмаковым состоит в том, что начало системы координат в которой задается потенциал скорости не принадлежит невозмущенной свободной поверхности жидкости.

В работе [239] Вячеслав Павлович 1федлажил прием, упрощающий применение метода Бубнова-Галеркина к решению краевых задач, который позволил ему, в частности, получить точные решения в задачах гидроупругости оболочек с жидкостью.

В статье [140] им же рассмотрены колебания непологих сферических оболочек, найдено решение и спектр собственных значений указанной задачи.

В работе [141] Шмаковым предложен способ построения корректирующих функций в методе Бубнова- Галеркина, который позволяет успешно решать задачи о колебаниях достаточно сложных много элементных механических систем.

Сведения о специальных функциях, изложенные в монографии [143] использованы при построении решений дифференциальных уравнений в частных производных рассматриваемых в работе краевых задач.

В иностранной литературе также уделяется достаточное внимание вопросам динамики полостей, заполненных жидкостью, как в плане теории так и эксперимент. На эту тему опубликовано большое количество работ, например, {144], [145].

Следует особо отметить большую роль при подготовке этой работы академика РАН К.С. Колесникова. Автор приносит искреннюю благодарность Константину Сергеевичу за ценные советы и рекомендации высказанные им при написании данной работы. Они помогли улучшить содержание работы и что особенно ценно определить ее место среди работ других авторов.

Диссертант выражает благодарность Богоряду И.Б., Луковскому И.А., Ламперу Р.Е. на семинарах у которых на протяжении ряда лет обсуждались фрагменты настоящей работы.

Большинство разделов работы опубликованы в открытой печати в России и в США, а научная общественность ознакомлена с их содержанием на конференциях союзного значения, например, на школе-семинаре при НИИПМ в Киеве республика Украина в 1989г., а также на юбилейных конференциях в МГТУ им. Н.Э. Баумана.,на Всес. семинарах в г. Томске в институте прикладной механики при I I У и на Всес .симпозиумах при Сибниа в г. Новосибирске.

-3 2

ВЫВОДЫ

1. В работе разработан приближенный аналитический метод определения частот и форм собственных колебаний упругой оболочки частично заполненной идеальной жидкостью. Эта механическая система является основной в конструкции ракеты носителя на жидком топливе, а поэтому ее динамические характеристики являются главными при расчете форм и частот продольных и поперечных колебаний корпуса.

Сформулирована краевая задача с естественными граничными условиями. Решение последней сведено к проблеме собственных значений с симметричными матрицами.

Этот метод дает возможность на стадии проектирования ракеты - носителя рассчитать динамические характеристики упрушго корпуса, не используя сложные вычислительные системы и может служить основой для разработки численных методов расчета, обеспечивает предварительный анализ вариантов многопараметрических задач, и позволяет вникнуть в существо дела при первоначальном изучении проблемы гадроупругости оболочек и понять физику колебательных процессов рассматриваемых механических систем. 2. Найдено большое количество случаев решения задачи о свободных колебаниях упругих баков различной конфигурации для которых частотный определитель системы, левая частькоторого прс дставляет бесконечную систему уравнений суммируется и, таким образом, задача сводится к вычислению корней одного единственного трансцендентного уравнения.

Полученные решения можно рассматривать как модельные решения, и использовать их для отработки чисяеншк метхщсш с одш^ стороны, а с другой ыижетбшършштащюаш для изучение алистам, которые в будущем будут являться разработчиками сложных вычислительных комплексов.

Так, например, аналитическое решение для соосных цилиндрических оболочек < модель реактора ВВР1000) позволяет сделать важное заключение о необходимости учета жидкого наполнения.

Аналитические решения в отличие от численных позволяют оптимизировать систему и выбрать наилучшие соотношения ее параметров. 3 . Разработана методика расчета вынужденных колебаний для определения динамической реакции при продольных колебаниях упругого бака с жидкостью. Предложенная нормировка собственных функций позволяет построить простой механический аналог для вертикальных колебаний упругого сосуда с жидкостью в виде системы параллельных осцилляторов, сумма масс которых равна физической массе жидкости в баке.

Это представление дает возможность наглядно представить механику колебаний бака с жидкостью и упростить расчет вынужденных колебаний корпуса ракеты.

Для модели корпуса ракеты-носителя вычислены формы и частоты собственных и формы вынужденных колебаний. Получено аналитическое решение для форм вынужденных колебаний одноступенчатой ракеты.

4. Спроектирована и создана лабораторная установка для частотных испытаний баков, заполненных жидкостью. На основе проведенных виброиспытаний на моделях цилиндрического и конического бака получены осесимметричные формы колебаний этих конструкций. Результаты частотных испытаний удовлетворительно согласуются с расчетными данными.

5.В работе приведены решения, рассматривающие различные типы колебаний упругого ограниченного объема с жидкостью. В частности рассмотрены :а) свободные и вынужденные колебания упругого сосуда с жидкостью со свободной поверхностью

6 .Данная работа может быть рекомендована специалистам, желающим разобраться в " физике явления и в механике колебаний жидкости в упругой полости . а также для изучения гидроупругости в качестве учебного курса.

1 X к 2 v — S

Y ~ 0 z ---P-— fttc.^.i

Aue. 2. S

Рис. 2.5 H 1

Jr d .11 ß*' " г и

Р ис. гл

Р"с.2Л9 0

Si

-»6r y/s. г

У у

Put. 3.1 fíUcJ.Z [м]

T0 ?» iso im f

5a

Pue. 4. S 1 i l

-* h

-m-t

UZ4 «fS* 0.51 <J.3?2 * 0.454 0,456 0.6S3 0.6*2 g f*

P*c. AA jamutc

1 JifcTUMlC F

JLbUBù т \\ i

ОС иг

Рис. 5,1

Рис. 5, 2

-2&Т

X: i A пг h X и(х, t)

Ht)

Puc.S.i

ГУ

R.W--f

Рис. S. 1

Vv0)

6.

4. ч г.

О 0.5 L0

Рас. В Л

LS я* у, а hi. m

6 6

AAr*Í§Í А ftft. А m is

20 H

M H tí a ЮЗ, S

1 r S J.

M • ? . . . «

0 Z ^ ¿ % JO >1 Í4 ^

- ' m A с л

- 2?t

Рас 6-8 V iU, fc — -- — - X в гас. 6/9 fO a. i fac j аГ

T Рис.6.10 0,3 о 1

SI

Plie. Si 12

1. Балабух Л .И. Некоторые точные решения задачи о колебаниях жидкости в упругих оболочках//По теории пластин и оболочек: Тр. 5 Всес. Конф.-М, 1965. -С. 68-72.

2. Балабух Л.И., Молчанов А.Г. Осесимметричные колебания сферической оболочки, частично заполненной жидкости //Известия АН СССР. МТТ. -1967. Т 5. - С. 22-26.

3. Балабух Л.И., Молчанов А.Г. Об одной краевой задаче теории колебаний с граничными условиями, зависящими от параметра //ПММ.-1966. Т. 30. - С. 42-50.

4. Боголюбов Н.Н., Митропольский ЮА Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний М.: ФМ, 1958. - С. 408.

5. Балабух Л.И., Ганичев А.И., Молчанов АХ. Две задачи о собственных колебаниях упругих систем с жидким заполнением //Расчеты на прочность. -1966. -N 12. -С. 386-392.

6. Балабух Л.И. Взаимодействие оболочек с жидкостью и газом // По теории оболочек и пластинок: Тр. 6 Всес. конф. М., 1966. - С. 935 -938.

7. Балакирев Ю.Г. Осесимметричные колебания пологой сферической оболочки с жидкостью //Инж. Журнал. МТТ. -1967. К» 5. -С. 116 -120.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А Высшие трансцедентные функции ~ М.: Наука, 1966. Т. 2. - 295 с.

9. Брусиловский АД., Швейюо Ю.Ю., Шмаков ВН. Продольные колебания упругих конструкций с тонкостенными полостями, содержащими жидкость // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью: Тр. Всес. сем. Томск, 1978. -С. 21-26.

10. Баранов В.Н., Пожалостин А.А., Шкапов П.М. Некоторые задачи динамики гвдромеханических систем У/ Успехи фундаментальных наукгтезисы докл. конф.к 165-ю МГТУ им. Баумана. М., 1995. -С. 197.

11. Брусиловский А. Д., Шмаков В.П., Яблоков В .А. Метод расчета собственных и вынужденных колебаний упругих оболочек вращения, заполненных идеальней несжимаемой жадностью У/ Известия АН СССР. МТТ. 1973. - № 3. - С. 99-105.

12. Брусиловский АД., Яблоков В.А. О расчете динамических характеристик цилиндрической оболочки, частично заполненной жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью: Тр. 2-го Всес. симп. Новосибирск, 1974. - С. 56-52.

13. Богадица Э.С., Брусиловский АД., Шмаков В.П. О собственных осесимметричных колебаниях конической оболочки, заполненной жидкостью // Колебания конструкций с жидкостью: Сб. докл. И-го всес. симп. Новосибирск, 1974. - С. 157-160.

14. Власов В.З. Избранные труды М.: АН СССР, 1962. - Т.1. - 507 с.

15. Валишвилли Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ -М.: Машиностроение, 1976. 507 с.-2 Т6

16. Галкин М.С. Определение присоединенных масс жидкости, частично заполняющей колеблющийся бак с деформируемыми стенками // Колебания упругих конструкций с жидкостью: Тр. П-го всес. симп. Новосибирск, 1973. - С. 28-29.

17. Галкин М.С., Жмурин И.П. Определение форм колебаний жидкости в произвольном сосуде методом аналитического продолжения //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Тр. П-го всес. симп. Новосибирск, 1973. - С. 30-32.

18. Галкин М.С., Жмурин И.П. Определение форм колебаний жидкости в сосудах произвольной формы методом коляокаций //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Тр. П-го всес. симп. Новосибирск, 1974. - С. 157-160.

19. Гонткевич В С. Собственные колебания оболочек в жидкости -Киев: Наукова думка, 1964. -103 с.

20. Гладкий В.Ф. Динамика конструкций летательного аппарата М.: ГРФМЛ, 1969.-495 с.

21. Галкин М.С. Теория колебаний упругих тел с деформируемыми полостями, частично заполненными сжимаемой жидкостью //Ученые записки ЦАГИ.- 1977.- №8.-С. 90-95.

22. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений //УМН. -1961.-Т.16, вып. 8.-С. 171-174.

23. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике М.: Наука, 1966.-300 с.

24. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидных функций М.:1. И Л, 1952.-476 с.

25. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление М.: ФМ, 1961.-228 с.

26. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью Л.: Судостроение, 1976. - 200 с.

27. Григолюк Э.И., Шклярчук Ф.Н. Уравнения возмущенного движения тела с тонкостенной упругой оболочкой, частично заполненной жидкостью /ЯШМ. -1970. ~В. 3.-С. 401-411.

28. Григорьев В.Г. Применение метода конечных элементов к расчету колебаний упрутк оболочечных конструкций, содержащих жидкость //Динамика тел, взаимодействующих с жидкостью: Тр. Всес. семинара. Томск, 1977. - С. 23-27.

29. Докучаев Л.В. Уравнения движения тела с жидкостью, имеющей на свободной поверхности гибкую мембрану //Динамика тел, взаимодействующих с жидкостью: Тр. Всес. семинара. ~ Томск, 1977.-С. 31-35.

30. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательного аппарата с деформируемыми элементами М.: Машиностроение,1987.-231 с.

31. Докучаев Л.В. О присоединенном моменте инерции жидкости в цилиндре с перегородками, вращающимися около продольной оси //Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. -1964. №2. - С. 168-171.

32. Докучаев Л.В. О колебаниях резервуара с жидкостью, на свободной поверхности которого расположена мембрана // Строит, мех. и расчет сооружений: Сб. 1972. - № 1.- С. 49 - 54.

33. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций М.: Наука, 1980. - 352 с.

34. Ильгамов М.А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ-М.: Наука, 1969. -187 с.

35. Ивлева Л.И., Кухто В.А., Лампер P.E. О вариационном методе с нелинейным параметром и его приложении к задаче о колебаниях бака с жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов П-го Всес.симп. Новосибирск, 1974. - С. 28-32.

36. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика -М.:ФМ, 1963.-538 с.

37. Колесников КС. Продольные колебания ракеты с жидкостным ракетным двигателем М ^Машиностроение, 1971.- 260 с.

38. Коллатц Л. Задачи на собственные значения М.: Наука, 1968.-504 с.

39. Кожников КС. Колебания жидкости в цилиндрическом сосуде -М.: МВТУ, 1964.-98 с.

40. Колесников КС., Самойлов Е.А., Рыбак С.А. Динамика топливных систем ЖРД ~ М.: Машиностроение, 1975. -170 с,

41. Кочин Н.Е. Векторное исчисление М.: ГТТЙЛ, 1954. -456 с.

42. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа М.: Наука, 1972. -496 с.

43. Краснов В.Л., Пожалостин A.A. Осесимметричные колебания цилиндрического сосуда со сферическим днищем, заполненного жидкостью // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью: Тр. Всес. семинара Томск, 1972. - С. 112 -116.

44. Колесников КС., Пожалостин A.A. Колебания упругого летательного аппарата // Всес. конф. к 150-ю МВТУ: Тезисы докл. ~М., 1980.-С. 15-16.

45. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций /А.В.Кармишин, В.А.Лясковец, В.И. Мяченков и др-М.: Машиностроение, 1975. 375 с.-27в •

46. Кобычкин B.C., Шмаков В.П. Исследование частот колебаний сферической оболочки, заполненной жидкостью // Строит, мех. и расчет сооружений :Сб. (Москва ).-1969. N2. - С, 49 - 54.

47. Колесников К.С. Жидкостная ракета как объект регулирования -М.: Машиностроение, 1969. 298 с.

48. Колесников К.С. Динамика ракет М.: Машиностроение, 1980. -376 с.

49. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики М.: ГТИ, Т.1,1951.-476 с.

50. Колесников КС., Пожалостин A.A. Определение форм и частот собственных осесимметричных колебаний оболочек с жидкостью аналитическими методами // Соврем, пробл. строит, мех. и прочн. Л .А.: Тр. Всес. конф. М. 1983. - С. 47-50.

51. Лампер P.E. О механическом аналоге для продольных колебаний осесиммегричного упругого бака //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов И-го всес. симп. Новосибирск, 1973. - С. 73-76.

52. Лейбензон Л.С. О натуральных периодах колебания плотины, подпирающей реку // АН СССР. Собр. тр.-1951.-Т.1.-С. 125-133.

53. Луковский И.А., Троценко В.А., Усюкин В.И. Взаимодействие тонкостенных упругих элементов с жидкостью в подвижных полостях Киев: Наукова думка, 1989. - 240 с.

54. Либин Э.Е., Якутова Н.Г. О круговой волне в цилиндрическом сосуде //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов 11-го всес. симп. Новосибирск, 1974. - С. 157-160.

55. Лампер P.E., Санникова O.A. Минимальный функционал и нижняя оценка собственных частот упругого сосуда //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов И-го всес. симп. Новосибирск, 1974.-С. 134-137.

56. Лампер P.E. К расчету собственных колебаний баков методом Ритца с варьируемым параметром //Теория оболочек и пластинок: Тр YH всес. конф. Москва, 1970. - С. 351-354.

57. Луковский И.А., Барняк ИЛ., Комаренко А.Н. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости Киев : Наукова Думка, 1984. -228 с.

58. Мартыненко B.C., Шпакова С.Г. Несимметричные колебания сферической оболочки, частично заполненной жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. докл. П-го Всес.симп.- Новосибирск, 1974.-С. 157-160.

59. Моисеев H.H., Петров A.A. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкое-ти МВЦ АН СССР, 1966.-269 с.

60. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью М.: Машиностроение, 1968. -532 с.

61. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике -М.: Наука, 1970.-512 с.

62. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость М.: Машиностроение, 1971. - 563 с.

63. Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов М.: Машиностроение, 1978. ~ 248 с.

64. Мнев E.H., Перцев А.К. Гидроупругость оболочек ~ JL: Судостроение, 1970. 366 с.

65. Моисеев H.H., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость М.: Наука, 1965. - 439 с.

66. Никитин С.К. Нестационарное взаимодействие упругих тел вращения с частично заполняющей их жидкостью: Дисс. докт.техн.наук. Киев, 1987 - 270 с.

67. Нго Зуй Кан. О движении идеальной жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения, заполняющей сосуд с плоским упругим днищем // Изв. АН СССР. МТТ. 1980.-N 8.-С. 34 - 37.

68. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек Л.: Судпромгиз, 1962.-324 с.

69. Нариманов Г.С. О колебаниях жидкости в подвижных полостях //Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. -1957.- Jfe 10. ~~ С. 71-74.

70. Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная динамика летательного аппарата с жидкостью М.: Машиностроение, 1977. - 208 с.

71. Оразов М.Б. Некоторые вопросы спектральной теории несамосопряженых операторов и связанные с ними задачи механики : Диссдокт.физ.мат.наук. Москва, 1982. - 290 с.

72. Петренко М.П. совместные колебания столба жидкости со свободной поверхностью и пологой сферической оболочки //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов 11-го всес. симп. Новосибирск, 1973. - С. 46-49.

73. Пожалостин А. А. Осесиммегричные колебания упругих баков с жидкостью //Теория оболочек и пластинок: Тр YQ всес.конф. Днепропетровск, 1969. - С. 483-487.

74. Пожалостин А. А. Экспериментальное определение частот и форм осесиммегричных колебаний упругого бака с жидкостью // ИВУЗ. Авиатехника. 1970. - №3. - С. 90-94.

75. Пожалостин А. А. Об одном методе решения задачи о колебаниях упругого бака с жидкостью //Деп. рук. ВИМИ.-1987.-Д07184. -12с.

76. Пожалостин А. А. Точные решения задачи о вынужденных колебаниях оболочек с жидкостью П ИВУЗ. Авиатехника. -1988. -№4.-С. 112-117.

77. Пожалостин A.A. Некоторые вопросы вынужденных колебаний оболочек с жидкостью //Прикладная механика: Сб. докл. 11-го межд. симоп. Москва, 1978. - С. 93-99.

78. Пожалостин A.A. Построение системы гармонических функций для расчета осесимметричных колебаний жидкости в упругом цилиндрическом баке со сферическим днищем //Изв. АН СССР. МТТ. -1972. -№1. -С. 71-74.

79. Пожалостин A.A. Осесимметричные колебания цилиндрического бака со сферическим днищем, частично заполненного жидкостью //Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью: Тр. 1-го всес. семинара Томск, 1972. - С. 126-135.

80. Пожалостин A.A. Вынужденные осесимметричные колебания жидкости в упругом баке //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов П-го всес. симп. Новосибирск, 1974. - С. 120-124.

81. Пожалостин A.A. Осесимметричные параметрические колебания оболочки, частично заполненной жидкостью // {{ВУЗ . Авиатехника. -1990.-№3.-С. 58-63.

82. Пожалостин А А Свободные колебания двухсвязного объема, заполненного жидкостью //Реф.сб.ЦНТИ «Волна». М.,-1984. - С. 218-222.

83. Пожалостин A.A. Определение форм и частот осесимметричных колебаний и параметров механического аналога составного цилиндрического бака с жидкостью //Гагаринские чтения: Сб. докл. Москва, 1988. - С. 25-26.

84. Пожалостин А.А К теории собственных малых осесимметричных колебаний упругих баков, частично заполненных жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Тезисы докладов 1-ш всес. симп. Новосибирск, 1970. - С. 153-164.

85. Пожшюстин A.A. К теории собственных малых осесимметричных колебаний упругих баков, частично заполненных жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Труды всес. симп.- Новосибирск, 1973. С. 34-36.

86. Пожалостин A.A. Построение системы гармонических функций для неосесимметричных колебаний конического бака, заполненного жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью:

87. Тр. П-го Всес.симп. Новосибирск, 1974. - С. 229-231.

88. Пожалостин A.A., Каменский O.A. Осесимметричные колебания чечевицеобразной оболочки, частично заполненной жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Тр. П-го Всес. симп. Новосибирск, 1974. - С. 231-233.

89. Пожалостин А А Неосесимметричные колебания конической оболочки, частично заполненной жцдкостыо // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью: Тр. I Всес. сем.- Томск, 1975. С. 204-206.

90. Пожалостин АА,Каменский О.А,Куликов В.З. Экспериментальное определение форм и частот осесимметричных колебаний конического бака, частично заполненного жидкостью //По теории оболочек и пластинок: Тр.Всес.конф. Кутаиси, 1975.-С. 178-180.

91. Пожалостин АА Малые колебания жидкости в упругом баке с мембраной на свободной поверхности жидкости И Колебания упругих конструкций с жидкостью: Тр. Ш-ro Всес. симп. -Новосибирск, 1976. С. 225-228.

92. Пожалостин A.A. Применение гармонических функций для определения потенциала скорости колеблющихся оболочек, частично заполненных жидкостью // Сб.докладов: Межд. симп. ВПИ-МВТХ- Варшава, 1976. С. 191 - 206.

93. Пожалостин A.A. Неосесимметричные колебания цилиндрической оболочки со сферическим днищем, частично заполненной жидкостью // Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью: Тр. П Всес. сем. Томск, 1975. - С. 121 -123.

94. Пожалостан A.A. Точные решения задачи о колебаниях двухсвязных оболочек с жидкостью // Тр. МВТУ. 1979. - N 306. -С. 20-30.

95. Пожалостин A.A. Свободные колебания жидкости в жестком круговом цилиндрическом сосуде с упругим плоским дном // ИВУЗ. Авиатехника. -1963. N 4. - С. 21 - 26.

96. Пожалостин A.A. Определение параметров механического аналога для осесимметричных колебаний упругого цилиндрического сосуда с жидкостью //Изв. АН СССР. МТТ. -1966. -N 5. С. 157 -159.

97. Пожалостин A.A. Свободные колебания жидкости в жестком круговом цилиндрическом сосуде с упругим дном в виде пологой сферической оболочки И ИВУЗ.Авиатехника. -1967. N 2. - С. 21 -26.

98. Пожалостин АА. Метод Рэлея в гвдроупругости // Тр. МВТУ. -1985.-N442.-С. 11-24.

99. Пожалостин A.A. Вынужденные колебания тонкостенного стержня с полостями, заполненными жидкостью // Тр. МВТУ. -1988. -N 515.-С. 118-134.

100. Осесимметричные колебания упругого сферического сегмента с жидкостью и мембраной на свободной поверхности: Отчет по теме ОТ 1 / 86 /МГТУ. Рук.темы Колесников К.С., Исполнитель Пожалостин A.A. ГР N 0186.0015250.инв. N 1.-М.Д989.-С.Ы6.

101. Пожалостин A.A. Об одном методе расчета вынужденных колебаний конструкций с жидким наполнением // Колебания упругих конструкций с жидкостью: Tp.YI Всес.симп. Новосибирск , 1990. - С. 216-218.

102. Пожалостин A.A. О некоторых решениях в задаче о колебаниях двухсвязного объема с жидкостью // Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб.докл-IY Всес. симп. Новосибирск, 1980.-С. 334-336.

103. Пожалостин A.A., Люльчак C.B. Об одном способе учета демпфирования жидкости при колебаниях упругого сосуда с жидким наполнением// Актуальные проблемы фувдаментальных наук: Сб^цокл-межресп. конф.- Москва, 1989.- С. 154-156.

104. Пожалостин A.A. Анализ колебаний одно- и двухсвязных упругих оболочек, заполненных жидкостью, с помощью гармонических полиномов П Научно-техн. Прогресс в машиностроении и приборостроении: Сб. докл. всес. коцф. Москва, 1980. -С. 21-23.

105. Пожалостин A.A. Собственные изгибные колебания стержней в жидкости //Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сб. докл. межд. конф Москва, 1981. - С. 43-47.

106. Пожалостин A.A. Колебания двухслойного ограниченного объема жидкости с упругим разделителем между слоями //Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сб. докл. П-й межд. конф. -Москва, 1994.-С. 70-73.

107. Пожалостин A.A. Продольно-поперечные колебания упругого стержня с жидкостью // ИВУЗ . Авиатехника. -1995. -№ 1. -С. 7679.

108. Пшеничное Г.И. Некоторые приближенные методы в теории колебаний упругих систем с жидкостью // Колебания упругих систем с жидкостью: Сб.тр. Всес. симп. М.,1976. - С. 331-336.

109. Пшеничное Г.И. Метод возмущений в теории колебаний упругих систем с жидкостью //Исследования по теории сооружений: Сб. -1977. -№23. -С. 52-60.

110. Рабинович Е.И. Об уравнениях упругих колебаний тонкостенных стержней с жидким заполнением при наличии свободнойповерхности //Изв. АН СССР. Механика и машиностроение -1959. -№4.-С. 63-68.

111. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов М.: Машиностроение., 1975. - 416 с.

112. Рабинович Б.И., Шмаков В.ЕЦ Кобычкин B.C. К теории колебаний конструкций, несущих упругие резервуары с жидкостью//;<Иссле-дования по теории сооружений».Сб. -1970. № 18. - С. 68-84.

113. Рапопорт И.М. Динамика упругого тела, частично заполненного жидкостью М.: Машиностроение, 1966. ~ 393 с.

114. Рапопорт И.М. Колебания упругой оболочки, частично заполненной жидкостью М.: Машиностроение, 1967. - 359 с.

115. Рабинович Б.И., Роговой В.М. Динамика тела с жидкостью //Космические исследования. -1970. Т. YIH, в. 3.- С. 15-21.

116. Сорока А.С., Трушляков В.И. О расчете коэффициентов диссипации в подвижных полостях //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов Н-го всес. симп. -Новосибирск, 1974. С. 202-204.

117. Светлицкий В .А., Нарайкин О.С. Упругие элементы машин М.: Машиностроение, 1989. -261 с.

118. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости М.: Наука, 1977-815 с.

119. Самойлов Е.А., Павлов Б.С. Колебания полусферической оболочки, заполненной жидкостью //ИВУЗ . Авиатехника. -1964. №3. - С. 73-86.

120. Самойлов Е.А. Некоторые задачи колебаний сферических оболочек с жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов П-го всес. симп. Новосибирск, 1973. - С. 205-208.

121. Троценко В.А. К исследованию колебаний жидкости поверхность которой ограничена пологой мембраной //Прикладная механика -1978. Т. 14., №1. - С. 102-110.

122. Троценко В .А. О колебаниях жидкости в сосудах, свободная поверхность которой закрыта мембранной оболочкой из гиперупругого материала // Изв. АН СССР. МТТ. -1980. №6. - С. 166-177.

123. Тимошенко CIL, Гудъер Дж. Теория упругости М.: Наука, 1975. -575 с.

124. Тихонов АН., Самарский A.A. Уравнения математической физики -М.: Наука, 1966.-724 с.

125. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений М: Наука, 1970.-564 с.

126. Улитин Г.М. О некоторых точных решениях осесимметричных задач гидроупругости цилиндрической оболочки с переменным и постоянным объемом жидкости: Дисс. . канд.техн.наук. Киев, 1982.-123 с.

127. Фролов К.В., Антонов В.Н. Колебания оболочек в жидкости М.: Наука, 1983. -143 с.

128. Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных полостях /С.Ф.Фещенко, И.АЛуковский, Б.И.Рабинович,

129. JI.B. Докучаев Киев: Наукова думка, 1969. - 250 с.

130. Флюгге В. Статика и динамика оболочек М.: ГИЛ по строит., 1961.-306 с.

131. Черноусько Ф.Л. О движении жидкости, ограниченной гибкой пленкой //Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. - № 1. - С. 104 -112.

132. Шклярчук Ф.Н. О влиянии сжимаемости жидкости при продольных колебаниях цилиндрического бака //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов Н-го всес. симп. Новосибирск, 1973.-С. 41-45.

133. Шклярчук Ф.Н. О параметрических колебаниях цилиндрической оболочки, частично заполненной жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов 11-го всес. симп. Новосибирск, 1973. - С. 205-208.

134. Шклярчук Ф.Н. Динамика конструкций летательных аппаратов :Учебное пособие. М.: МАИ., 1983. - 80 с.

135. Шклярчук Ф.Н. О приближенном методе расчета осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидким заполнением // Изв. АН СССР. Механика. -1965. -№6.-С. 123-129.

136. Шмаков В.П. и др. Применение численных методов к задачам о колебаниях упругих оболочек вращения, заполненных идеальной несжимаемой жидкостью //Колебания упругих конструкций с жидкостью: Сб. трудов П-го всес. симп. Новосибирск,1973.-С. 15-20.

137. Шмаков В.П. Об одном приеме, упрощающем применение метода Бубнова Галеркина к решению краевых задач //Инж. журнал. МТТ. - 1967. - № 5. - С. 129-136.

138. Шмаков В.П. О колебаниях непологих сферических оболочек //Изв. АН СССР. МТТ. 1969. - № 3. - С. 177-185.

139. Шмаков В.П. Построение корректирующих функций в методе Бубнова Галеркина //Изв. АН СССР. МТТ. - 1981. -№ 2.-С. 8092.

140. Шмаков В.П. К вычислению собственных колебаний жидкости в неподвижных сосудах //Тр. Томского университета. Томск, 1978.-С. 157-162.

141. Шмаков В.П. Об уравнениях осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки с жидким наполнением //Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. -1964. № 1. - С. 23-28.

142. Янке Б., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции М.: Наука, 1977. -344с.

143. Abramson H.N. The dinamik behaviour of liquids in moving containers with applications to space vehicle technology Washington: NASA, 1966.-467 p.

144. Siekman J., Chang S.C. On the change of natural frequencies of a sloshing liquid by movable devices // Acta mech. 1971. - № 1-2. - P. 73-86.

145. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика М.: Наука, 1986. -733 с.

146. Кармишин А.В., Лясковец В.А., Мяченков В.И. Статика и динамка тонкостенных оболочечных конструкций М.: Машиностроение, 1975. - 375 с.

147. Pozhalostin A. A. Exact solutions in the problem of forced vibrations of shells with liquid //J.Soviet Aeronautics. -1988. -Jfe4.-P. 4-8.

148. Pozhalostin A. A. Axially symmetric parametrical vibrations of shell partially filled with liquid //J.Soviet Aeronautics 1990,- № 3.-P.20-25.

149. Pozhalostin A.A Longitudinal and cross vibrations elasticity bar with liquid //J.Soviet Aeronautics. 1995.-№ 1.-P.15-21.

150. Настоящим актом под тверждаем, что результаты диссертационной работы Пожалостина А. А. используются при проведении учебного процесса на кафедре СМ-1 в курсе «Динамика изделий».

151. Предложенная методика позволяет производить расчеты по определению динамических характеристик сложных упругих конструкций с жидким наполнением.1. Председатель методическойкомиссии каф. СМ-1, к.т.н., доцент1. В.П. Печников1. КОНСТРУКТОРСКОЕ БЮРО

152. ТРАНСПОРТИО-ХИМИЧЕСКОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ105187 Москва тал. (095) 365-35-55

153. Кирпичная ул. 32 факс (095) 365-07-36телетайп 611581 "Люстра"06.97Г. № /У- ! /21. На №Заведующему кафедрой1. Теоретической механики"

154. МГТУ им. Н. Э. Баумана к.т.н.доценту Дубинину В.В.

155. Зам.генерального конструкторан1. УТВЕРЖДАЮм