Колебания авиационных конструкций с отсеками, частично заполненными жидкостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 533.6.013.42

кьи твин

КОЛЕБАНИЯ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ОТСЕКАМИ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫМИ ЖИДКОСТЬЮ

Специальность:01.02.06 - «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры»

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

МОСКВА - 2005

Диссертация выполнена в Московском авиационном институте (государственном техническом университете) на кафедре «Строительная механика и прочность»

Научный руководитель Заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Шклярчук Федор Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Антуфьев Борис Андреевич;

доктор технических наук, профессор Балакирев Юрий Георгиевич;

Ведущая организация: Российский государственный

технологический университет им. К.Э. Циолковского (МАТИ)

Защита состоится «22» июня 2005 г. в 17:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 при Московском Авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125 993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу: 125 993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

Ваш отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просьба отправлять по вышеуказанному адресу.

Автореферат разослан «20» ЛаА 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета к.т.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Л/У о 3 Яр

Актуальность темы диссертации. Задачи о расчете колебаний жидкости, частично заполняющей подвижные или упругие полости, часто встречаются при расчете различных сооружений и машиностроительных конструкций. Это - каналы и гидротехнические сооружения с упругими стенками, водонапорные башни, нефтехранилища при сейсмических воздействиях, нефтеналивные суда (танкеры), авто- и железнодорожные цистерны, самолеты, жидкостные ракеты, космические аппараты и пр.

При расчете колебаний самолетов с частично заполненными жидкостью отсеками крыла и фюзеляжа обычно пренебрегают влиянием подвижности жидкости и её считают «затвердевшей» или в целом или только в поперечных сечениях (при балочной схематизации конструкции). В имеющихся немногочисленных работах, в которых учитывается подвижность жидкости в отсеках крыла, для упрощения вычислений такие отсеки считаются прямоугольными, а жидкость - имеющей постоянную глубину.

Вместе с тем известно, что незначительное изменение инерционных характеристик, особенно коэффициентов инерции, связывающих изгибные и крутильные формы колебаний, может сильно повлиять на критическую скорость флаттера крыла большого удлинения. Жидкость влияет на такие инерционные связи, во-первых, за счет того, что форма её объема изменяется при повороте полости в невозмущенном движении с большими углами тангажа и крена и, во-вторых, за счет того, что при колебаниях она может совершать относительные (по отношение к стенкам полости) движения.

Поэтому тема диссертации, посвященной разработке математических моделей и методов расчета колебаний авиационных конструкций с отсеками, содержащими жидкость, является актуальной.

Целью работы является:

- разработка модели для расчета изгибно-крутильных колебаний упругого самолета с отсеками, частично заполненными жидкостью;

- разработка вариационных и численных методов расчета динамических характеристик жидкости, колеблющейся в упругих отсеках крыла и фюзеляжа.

Научная новизна заключается в следующем:

- получены уравнения изгибно-крутильных колебаний крыла (а также -фюзеляжа), как системы отсеков в виде тонкостенных, подкрепленных слабоконических оболочек с произвольным контуром поперечных сечений, работающих на изгиб, сдвиг и кручение со свободной депланацией;

- разработаны алгоритмы расчета динамических характеристик колеблющейся жидкости, частично заполняющей произвольные упругие полости (отсеки крыла и фюзеляжа) методом Ритца и методом конечных элементов на основе вариационных принципов Лагранжа, Кастильяно и смешанного вариационного принципа, а также методом Власова -

Канторовича для сведения гидродинамической задачи в перемещениях к одномерной.

Практическая ценность диссертации состоит в разработанных с необходимыми обоснованиями алгоритмах расчета гидроупругих колебаний с оценками возможных упрощений и влияния различных параметров, в частности - влияния подвижности жидкости и наклона её свободной поверхности на собственные частоты преимущественно упругих колебаний и флаттер крыла.

Достоверность полученных результатов и выводов обосновывается строгостью математических формулировок и решений, оценками сходимости численных решений и сравнением результатов с точными решениями в отдельых случаях и численными решениями других авторов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на IX, X, и XI междунородных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 2003, 2004, 2005 гг.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 5 печатных работах.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников из 92 наименований. Общий объем диссертации 124 страницы машинописного текста, 18 рисунков, 20 таблиц.

Краткое содержание работы

В введении дан анализ современного состояния исследований по теме диссертации. Обсуждаются используемые методы расчета гидроупругих колебаний конструкций.

Отмечаются ученые, внесшие большой вклад в разработку теории и методов расчета колебаний твердых и упругих тел с полостями, содержащими жидкость: Н.Е. Жуковский, К.С. Колесников, H.H. Моисеев, Б.И. Рабинович, P.E. Лампер, И.А. Луковский, Ю.Г. Балакирев, В.П. Шмаков, С. Stokes, H.N. Abramson, H.F. Bauer, J.W. Miles и др.

В первых работах по динамике твердого тела с идеальной несжимаемой жидкостью, выполненных Стоксом и Н.Е. Жуковским, считалось, что полость заполнена полостью. В этом случае задача приводится к уравнениям движения эквивалентного твердого тела.

В болыпистве работ по динамике твердых и упругих тел с полостями, частично заполненными несжимаемой жидкостью, при сведении задачи к обобщенным координатам на свободную поверхность жидкости условно накладывается «крышка». Чтобы устранить влияние этой несуществующей «крышки», вводятся дополнительные обобщенные координаты, представляющие волновые движения свободной поверхности жидкости, отсчитываемые от «крышки». В некоторых работах вместо «крышки» вводится

; »* *• í г к л

* ♦ fV

дополнительная неизвестная функция, представляющая нормальные перемещения свободной поверхности жидкости.

Обсуждаются различные вариационные и численные методы расчета колебаний жидкости со свободной поверхностью в подвижных и упругих полостях произвольной формы. Особое внимание уделяется различным вариантам метода конечных элементов.

На основании проведенного анализа состояния вопросов, близких к теме диссертации, сформулирована цель исследований. Изложено краткое содержание работы по главам.

В первой главе получены уравнения из гиб но-крутил ь ных колебаний крыла большого удлинения по методу отсеков. Крыло делится на отсеки, как на укрупненные конечные элементы, поперечными сечениями, перпендикулярными его продольной оси; эта ось является произвольной и может не совпадать с осью жесткости.

Каждый отсек рассматривается как подкрепленная слабоконическая оболочка с произвольным одно - или многозамкнутым контуром поперечного сечения, рис. 1. Здесь ось \ является главной центральной осью поперечного

В условиях свободного кручения и изгиба-сдвига в плоскости £ ^ нормальные напряжения о и погонные касательные силы S в поперечном сечении (рис. 1) определяются как

о = -уn(s), S = Qd>(s)+H44s) , (1)

где M,Q,H - изгибающий момент, перерезывающая сила и крутящий момент;

ds ;0(s), lP(s) - эпюры касательных сил; h. - толщина оболочки с учетом дискретно расположенных продольных элементов (стрингеров). Напряжения (1) точно удовлетворяют однородным дифференциальным уравнениям равновесия безмоментной слабоконической оболочки. Поперечная сила в сечении С, = const оболочки:

Y=Q-yM, C = ^fbi.ds (2)

В качестве обобщенных сил в поперечном сечении отсека рассматриваются M,Y,H. Им соответствуют энергетически эквивалентные обобщенные перемещения у, V, <р :

у = -1$иг|Ь.(18 + уУ, у=|уф<1з , Ф^учмв. (з>

При этом поперечные сечения могут свободно депланировать и деформироваться вдоль контура.

Значения у, V, ср на краях к-го отсека С, = О, С, = /к принимаются за его обобщенные координаты, которые обозначаются вектором Чи 4-1 ЯЧ-.ЧЧЧ фк]т .

Потенциальная энергия к-го отсека в напряжениях о, Б с учетом (1), (2) и уравнений равновесия М = М0 - У0 £, У= У0, Н = Н0 выражается через Мо, У0, Но и затем на основании принципа Кастильяно записывается в обобщенных координатах:

Пк=|ч:кк4к, (4)

где Кк - матрица жесткости к-го отсека.

При вычислении кинетической энергии оболочки и вариации работы внешной нагрузки используется линейная аппроксимация перемещений в пределах длины короткого к-го отсека;

т;=|ч:м;чк, 5Ак=5Ч[дк. (5)

Для отсеков фюзеляжа плоскость С, г| является плоскостью симметрии и кручение отделяется от изгиба-сдвига в этой плоскости.

Нормальные перемещения оболочки к-го отсека и его поперечных стенок на торцах ^ = 0 и £ = /к, положительные в направлении внешней нормали к этим поверхностям записываются в виде

™ = (6) I

где я,->\|/к_,, Ук.,, фк_,, \|/к, Ук, фк; - известные функции (на боковых стенках они зависят от коорднаты э и линейно от координаты С, , а на торцах пропоциональны г]).

Потенциал перемещений несжимаемой жидкости ищется в виде

Ф-ХчЛ + Х^Ф., (7)

1 п

где Ч*., Ф„ - решения следующих задач:

ЭЧ»,

ДЧ^О вУ, —-^"УУ, на в,, ¥, = 0 на о; (8)

о V

ЭФ ЭФ

АФ„=О ву, = ° на ^ 8"а7"<ф.=0наа;

V - объем жидкости; Б0 - смоченная поверхность стенок полости; о -свободная поверхность жидкости.

При этом кинетическая и потенциальная энергии жидкости в отсеке

будут

т-гДхХт-я,^ +|ХиЛ2, (Ю)

П" = к" ч, ч, + II к,„ ч, 1и + ±Х а>„ .

| ; I п ^ п

Здесь Фп представляют собственные формы гравитационных колебаний жидкости в неподвижном баке с частотами о„,п = 1,2,.... Коэффициенты к* ,к1П и с* пропорциональны ускорению силы тяжести g.

При расчете упругих колебаний конструкций с жидкостью с частотой со в случае, когда со » ст,, влиянием гравитации можно пренебречь, положив

§-»0. Тогда к*-»0, к1п-»0, ст'-»0, П*-»0 и из уравнений для ^

следует, что ^ —> 0. В этом случае влияние жидкости характеризуется только

коэффициентами её присоединенных масс т* . Это сильно упрощает расчеты

упругих колебаний конструкций, содержащих жидкость со свободной поверхностью, по сравнению с вариантом метода, когда на свободную поверхность а накладывается «крышка», т.е. вместо условий Ч*, = 0 на о задаются Э\|/, /Эу .

На примерах решения задач статического деформирования и собственных колебаний сужающегося крыла со слабоконическим четырехпоясным кессоном выполнены оценки точности предложенной расчетной модели и её возможных упрощений. Например, при нагружении консольно закрепленного кессона поперечной силой на конце расчетные перемещения в точке приложения силы, полученные по методу отсеков при N = 10 и по пространственной модели МКЭ с 500 узлами, различаются менее, чем на 0.1%.

Показано что поперечные сдвиги и конусность крыла, характеризуемая параметром С, оказывают заметное влияние на низшую частоту преимущественно изгибной формы колебаний.

Во второй главе для решения гидродинамических задач (7), (8) рассмотрено применение метода Ритца и МКЭ на основе вариационных принципов для гармонических колебаний жидкости с частотой со.

Принцип Лагранжа 81, = 0 ;

01)

Принцип Кастильяно 512 = 0 ;

1 1 ,.1

= -Ш(УФ)2 (IV- -—Я Фгйо - ЯФ* ёБ. (12)

2 у 2 g о во

Смешанный вариационный принцип 813 = 0;

= ^Ф)2 (IV - ЯФ|^<1О + ^ Я У ¿сг-ЯФ>У<18. (13)

1 Ч а ОV 2 СО О а\ во

Для использования принципа Лагранжа необходимо, чтобы потенциал перемещений удовлетворял кинематическим условиям ДФ = 0 в V,

ЭФ/Эу = уу на во.

В принципе Кастильяно и в смешанном вариационном принципе функция Ф представляет гидродинамическое давление р = роо2 Ф и на неё не накладывается никаких дополнительных условий - условие несжимаемости жидкости и условия на во и о следует из этих принципов.

Принцип Кастильяно 6Д2=0 не применим при £/со2-»0 , т.е. его нельзя использовать для решения задачи (7) (или надо наложить на свободную поверхность о «крышку», чтобы о можно было рассматривать также как Б0).

Смешанный вариационный принцип 513=0 здесь используется впервые. Он следует как частный случай из более общего смешанного вариационного принципа, полученного в работе Э.И. Григолюка, Ф.Н. Шклярчука (ПММ, 1970, т.34, вып.З) для колебаний упругой оболочки, частично заполненной сжимаемой жидкостью.

По методу Ритца решение ищется в виде

Ф= ¿ак к (14)

к= о

Уравнения получаются как

Э1, 31,

—*- = 0 или = 0 (к = 0,1,...., в). (15)

Эак Эак

В табл. 1 приведены сравнительные результаты расчета низшего собственного значения X, = 1% для плоских гравитационных колебаний жидкости в прямоугольной полости (рис. 2) при а = Нс = 1, а1 =0 при использовании: степенных функций (СФ) <рк —> х' у' (¡ = 1,3,5,...; ] = 0,1,2,...) и гармонических степенных функций ГСФ (образуются из СФ так,что Афк = 0) на основе а) принципа Кастильяно и б) смешанного вариационного принципа.

Таблица 1

Вариант расчета Число заданных функций фк

4 6 8 10 12 14

СФ а 1,465673 1,44460537 1,44410359 1,44071598 1,44067028 1,44067011

б 1,4811005 1,44885765 1,44846313 1,44072743 1,44067939 1,44067935

ГСФ а 1,4455826 1,00467534 1,44065956 1,44065952 1,44065952 1,44065952

б 1,4492178 1,44065956 1,44065956 1,44065952 1,44065952 1,44065952

точное решение: X, =1,44065952

При расчете по МКЭ на основе принципа Кастильяно и смешанного вариационного принципа для плоского 4-угольного КЭ используется аппроксимация

Ф = а0 + а,х + а2у + а3ху , (16)

где а0, а,, а2, а3 выражаются через значения Ф в 4-х узлах КЭ.

Рис.2

В табл. 2 приведены результаты расчета двух низших собственных значений (п = 1,2) для плоских гравитационных колебаний

жидкости в прямоугольной полости (рис. 2) при а = 0.5, Нс = 1, а, = 0 в зависимости от числа одинаковых квадратных КЭ, на которые делился объем жидкости.

Таблица 2

Число КЭ 64 256 1024 1600

Принцип Кастильяно 3,1714 3,1402 3,1335 3,1315

6,6177 6,6346 6,3034 6,2961

Смешанный Вариационный принцип 3,2122 3,1455 3,1331 3,1319

К 7,3219 6,4462 6,3141 6,3016

Точные решения: X, = 3,1299; Х2 = 6,2831 Как видно из табл. 1, 2 при расчетах по методу Ритца и МКЭ смешанный вариационный принцип лишь незначительно уступает по сходимости принципу Кастильяно. Но он удобнее тем, что может быть

использован с теми же самыми координатными функциями для решения неоднородной задачи(7).

Третья глава посвящена разработке метода сведения плоской гидродинамической задачи в перемещениях к одномерной для жидкости переменной глубины, частично заполняющей упругую полость или канал, рис.3.

— _ V'f —

Ъ - _ J-+u ~

/

Рис. 3

Продольное перемещение жидкости ищется в виде u = Íu,(x,t) Ф,(у),

(17)

где и,- неизвестные функции; ф, - заданные функции. Интегрируя уравнение несжимаемости жидкости и удовлетворяя кинематическое условие на подвижном дне при у = у 0 (х), получаем

' = 1[-и;1 ф, dy + и, у'0 Ф,(у0)]-

cosa„

(18)

Уравнения движения жидкости получаются из принципа возможных перемещений при § = 0:

I[(a,U;)'-(c,UJ)'-(b1-cJ1)UJ]+

(

J-0

W„

eos а„

w„

+ •

■y'.h Ф.(Уо) = 0,

cosa0

h = H-y0; (i = 0,1......,n).

1) Используются степенные функции: Ф, = У', i = 0,1,...., п .

2) Используются ортогональные полиномы Лежандра:

i = 0,1,....,п.

Граничные условия:

21+1 \ т.

Ju0P,

(19)

Ф,(У)^Р,(Л), У = Уо+"^"0+т1);

U, = и. =

2 2i+l

drj при 4 = 0, íu, P.dii при 4 = /; (i = 0,l,...,n).

Наряду с дифференциальными уравнениями (19) получены соответствующие алгебраические уравнения для Ulk=U,(xk,t) при

i = 0,l,.....n; k = 0,l,....,N по МКЭ с КЭ в виде тонких поперечных слоев

г жидкости, ограниченных дном, свободной поверхностью и соседними

поперечными сечениями х = хк. При этом в пределах толщины слоя для ^ функций U,(x,t), а также для у0(х), w0(x,t), используются линейные

аппроксимации по х.

Решения полученных при g = 0 дифференциальных и алгебраических уравнений (это решения задачи (8) в перемещениях) используются для определения коэффициентов присоединенных масс колеблющейся жидкости m*, входящих в (10).

Аналогичным образом получены обыкновенные дифференциальные уравнения и алгебраические уравнения МКЭ для решения задачи (9) о собственных гравитационных колебаниях жидкости ( g > 0 ) в неподвижной

полости ( w0 = 0, u„ = 0, и, = 0 ).

Для оценки точности расчета низшей собственной частоты гравитационных колебаний жидкости а, в зависимости от числа членов n в

разложении (6) при <р, =у' рассмотрим в качестве примера прямоугольную

2

полость (рис. 2) с жидкостью постоянной глубины Нс = И-—/, ai =0.

ж

Величина о2 H /g, полученная из решения дифференциальных уравнений (19), при п = 0,1,2 равна 1.7143, 1.9091, 1.92776, соответственно. Точное решение для потенциального движения жидкости: 1.92805. ______Таблица 3

Функции Коэф. а, =0 а, =±45'

п = 1 П = 2 П = 3 п = 1 П = 2 П = 3

М* 1 1 1 0.7891 0.7890 0.7845

2© II S* 0 0 0 ± 0 08058 ± 0.08059 ± 0.08129

J" 0.08082 0.08079 0.07932 0.1677 0.1676 0 1671

М' 1 1 1 0.7889 0.7847 0.7831

ф,=р,(л) S* 0 0 0 ± 0.08060 ±0.08113 ± 0.08129

г 0.08082 0.07977 0.07763 0 1676 0.1668 0.1660

В табл. 3 приведены коэффициенты присоединенных масс жидкости Мж = М"/р/2,!5ж = 8ж/р/5, Г=Г/р/\ при поступательно -вращательном движении прямоугольной полости, частично заполненной жидкостью (рис. 2) при Нс// = 1,с0// = 0.5, полученные из решения дифференциальных уравнений (17) при п = 1,2,3 с использованием различных функций ф,(у).

__Таблица 4

Коэф. п а, =0 =+0.2 ^=-0.2

1 0.125 0.123610 0.123791

м- 2 0.125 0.123610 0.123790

3 0.125 0.123610 0.123790

1 0 0.017366 -0.017361

2 0 0.017366 -0.017361

3 0 0.017366 -0.017361

1 0.0104669 0.010929 0.011042

1ж 2 0 0104667 0.010928 0.011033

3 0 0104665 0.010927 0.011002

точное значение при а, = 0 : = 0.010478.

В табл. 4 приведены значения этих коэффициентов для случая Нс // = 1/8, с0 /1 = 0, полученные из решения по МКЭ при N = 16 и п = 1,2,3 с использованием функций —> Р(г|).

Результаты расчета показывают, что приближенное решение при п = 1, соответствующее гипотезе плоских поперечных сечений жидкости, обладает вполне приемлемой точностью для практических расчетов.

В четвертой главе подход, использованный для решения плоской гидродинамической задачи в перемещениях, распространен на пространственную задачу о продольных симметричных колебаниях жидкости в упругой полости, имеющей продольную плоскость симметрии, рис. 4.

Рис.4 12

Предполагая, что перемещения жидкости \х, уу не зависят от г,

интегрируя уравнение неразрывности и удовлетворяя кинематические граничные условия на дне и на боковых стенках, нормальные перемещения которых обозначаются через \у0(х,1) и уу(х,у,1), получаем:

ух = Щх.у.О,

1

"Ь

¿1иЬёу + Е(х,у,1)

ОХ у0

(21)

V. = -

V

эи

Эх

ЭУ Эу

Эх Эу Эу

Ут \у "Р №

р(х,у,0= }—йу-Ьа)^йх

УП V..

о V.

ЭЬ , ЭЬ ,

-!---

к/ »

+ У'„2

Ь0 = Ь(х,у0).

Используем гипотезу плоских сечений жидкости:

Щх,у,0 = и0(х,1) + и,(хД)у (22)

где ио,и, - продольное перемещение и угол поворота поперечного сечения жидкости. Для их определения используется МКЭ, также как для плоской задачи в четвертой главе. КЭ в виде слоя жидкости со свободной поверхностью имеет 4 степени свободы - значения ио и и, на торцах слоя.

Для КЭ в полностью заполненной части полости (как у правого края на рис. 4) необходимо удовлетоврить кинематическому граничному условию на крышке при у = у,. Это с учетом (21) приводит к интегральному уравнению неразрывности для т-гоКЭ:

иЬс1у

+ Г[Р(х,у,) + Ь1—!-]ёх =

иЬёу

(23)

С учетом (23) т-ый КЭ будет иметь 3 степени свободы.

Результаты расчета низшего собственного значения для

гравитационных колебаний жидкости в горизонтальной (рис. 5, 1 = 2К ) и наклонной (рис. 6, а = 211) цилиндрических полостях приведены в табл. 5 и 6 соотвественно. Здесь N - число КЭ (слоев), на которые разбивалась жидкость. В предпоследней строке табл. 5 приведены результаты точного решения в перемещениях для модели, основанной на гипотезе плоских сечений жидкости; это решение имеет вид: ио = А0 зт(лх//), и, = А, зт(лх//).

Таблица 5

нт -0,5 0 0,5

мкэ и 0,808 1,335 1,658

ЛГ = 8 0,781 1,300 1,625

N= 16 0,774 1,291 1,617

Точное решение 0,762 1,287 1,604

Метод Ритца 0,763 1,288 1,635

Таблица 6

30 40 50 60

МКЭ N = 6 1,233 1,092 0,780 0,472

И= 12 1,384 1,102 0,793 0,486

Метод Ритца 1,408 1,118 0,800 0,492

В последних строках табл. 5 и 6 приведены результаты, взятые из книги И.А. Луковского и др, которые были получены методом Ритца для потенциального движения жидкости.

В пятой главе оценено влияние подвижности жидкости со свободной поверхностью на упругие колебания и флаттер.

Рис. 7

В табл. 7 и 8 приведены квадраты двух низших собственных частот поперечных колебаний прямоугольного кессона с отсеками, частично заполненными жидкостью при разных углах наклона свободной поверхности и разном числе отсеков N (рис. 7); / = а = 1 м , с = 0.25м, Нс = 0.125 м.

Таблица 7

а. ■«г II г 6 N=8

«? ю>2

0° 50,883 227,21 24,078 121,91 13,871 75,647

11.3° 49,492 222,08 23,609 119,99 13,662 74,658

-11.У 52,387 233,21 24,574 124,18 14,089 76,729

Таблица 8

а. Ы= 4 И= 6 8

с».2 СО* <0? ©2 (о; (0*

0* 50,917 228,27 24,086 122,22 13,873 75,417

11.3" 49,739 224,05 23,708 120,69 13,714 74,014

-11.3° 52,475 234,74 24,619 124,67 14,116 76,974

В табл. 7 результаты получены при допущении, что жидкость является «затвердевщей», а в табл. 8 - для подвижной жидкости.

В табл. 9 приведены квадраты двух низших собственных частот крутильных колебаний того же кессона с жидкостью постоянной (а, = 0) и

одинаковой глубины во всех N отсеках: а - «затвердевшая» в поперечном сечении жидкость; б - подвижная жидкость.

_Таблица 9

Вариант N=4 Ы = 6 Ы= 8

(О,2 ®2 ®1

а 42297 380673 18799 169191 10574 95166

б 45699 411291 20311 182799 11425 102825

Оценка влияния на флаттер подвижности жидкости, частично

заполняющей кессон крыла (рис. 8) при различных углах наклона её свободной поверхности и при с = а/2, Нс = а/4 выполнена на основе двумерной двухстепенной модели упругого закрепленного профиля крыла, (рис. 9; Ь=3а)

Л

ш

Ф А

а а 2 2 Рис.8 Аэродинамические

Нс

а

Рис.9

нагрузки АУ, ДМ, действующие на колеблющийся профиль, определялись по квазистационарной теории для несжимаемого потока.

Таблица 10

вар. V О к

0 а 0.3256 2.3088 0.3545

б 0.3463 2.3888 0.3449

+ 20.5° а 0.2672 2.4448 0.4574

б 0.2997 2.3784 0.3968

-20.5° а 0.3895 2.1933 0.2815

б 0.3914 2.3229 0.2967

Результаты для безразмерных параметров, представляющих относительную скорость флаттера V = иф /и„, а также относительную частоту

колебаний о = (о/а>0 и приведенную частоту к = шЬ/(2и) на границе флаттера, приведены в табл. 10: а - «затвердевщая» жидкость; б - подвижная жидкость.

Основные результаты и выводы

1. Разработана математическая модель и получены уравнения в обобщенных координатах для расчета изгибно-крутильных колебаний конструкции самолета с отсеками крыла и фюзеляжа, частично заполненными жидкостью.

2. Разработаны алгоритмы расчета колебаний жидкости в упругих полостях методом Ритца и методом конечных элементов на основе вариационных принципов Лагранжа, Кастильяно и смешанного вариационного принципа. Получены сравнительные результаты расчета собственных частот и коэффициентов присоединенных масс жидкости с оценками точности и сходимости.

3. Плоская задача о колебаниях жидкости переменной глубины, частично заполняющей произвольную упругую полость, путем разложения перемещений жидкости в ряд по заданным функциям поперечной координаты сведена к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Так же получены алгебраические уравнения по методу конечных элементов в виде поперечных слоев жидкости. Показано, что двучленное приближение, соответствующее гипотезе плоских поперечных сечений жидкости, обладает достаточно высокой точностью.

4. Метод конечных элементов в виде поперечных слоев жидкости, которые перемещаются и поворачиваются, оставаясь плоскими, применен так же для расчета продольных колебаний жидкости в упругих отсеках фюзеляжа.

5. Оценено влияние подвижности жидкости в отсеках и наклона её свободных поверхностей на упругие поперечные и крутильные колебания прямоугольного кессона и на флаттер профиля крыла с жидкостью.

Список основных опубликованных работ по теме диссертации

1. Кьи Твин, Ротанин С.М., Шклярчук Ф.Н. Расчет колебаний жидкости в полостях методом Ритца при использовании различных вариационных принципов и координатных функций. В сб. "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. -Ярополец, 2004",т.2. с.120 - 126.

2. Кьи Твин, Шклярчук Ф.Н. Флаттер крыла с полостью, частично заполненной жидкостью, при различных углах наклона свободной поверхности. В сб. "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. - Ярополец, 2004",т.2. с. 127 - 130.

17

3. Кьи Твин, Ротанин С.М., Шклярчук Ф.Н. Расчет колебаний жидкости в полостях методом конечных элементов при использовании различных вариационных принципов. В сб. "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. - Ярополец, 2005".

4. Шклярчук Ф.Н., Кьи Твин. Колебания жидкости в упругих отсеках крыла и фюзеляжа. В сб. "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. - Ярополец, 2003". с. - 97.

5. Шклярчук Ф.Н., Кьи Твин. Определение коэффициентов присоединенных масс жидкости для упругих колеблющихся полостей // Вестник МАИ, 2004, т.11, № 2. - с.11 - 14.

)

»

I {

р12б 16

РНБ Русский фонд

2006-4 28266

V ВВЕДЕНИЕ.

1. УРАВНЕНИЯ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРЫЛА БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ С ОТСЕКАМИ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫМИ ЖИДКОСТЬЮ.

1.1. Математическая модель для изгибно - крутильных колебаний крыла большого удлинения с учетом поперечных сдвигов и конусности.

1.2. Матрица жесткости отсека крыла.

1.3. Вычисление обобщенных масс и обобщенных сил для крыла

1.4. Оценка точности упругодинамической модели крыла.

1.4.1. Влияние конусности крыла. i 1.4.2. Сравнение с результаты расчета по МКЭ. 1.4.3. Сходимость собственных частот колебаний по числу ' отсеков.

1.5. Динамические характеристики жидкости в отсеках упругой конструкции.

1.5.1. Формулировка задачи о колебаниях жидкости в подвижной полости.

1.5.2. Уравнения колебаний жидкости в обобщенных координатах.

2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РИТЦА И МКЭ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГИХ ПОЛОСТЯХ.

2.1. Вариационные принципы для расчета колебаний жидкости в полостях.

2.1.1. Принцип Лагранжа.

2.1.2. Принцип Кастильяно.

2.1.3. Смешанный вариационный принцип.

2.2. Гармонические степенные функции.

2.3. Точное решение плоской задачи о колебаниях жидкости в прямоугольной полости.

2.3.1. Собственные колебания жидкости в неподвижной полости.

2.3.2. Колебания жидкости при заданных перемещениях полости.

2.4. Применение метода Ритца.

2.4.1. Уравнения метода Ритца.

2.4.2. Пример расчета.

2.4.3. Матрица присоединенных масс жидкости.

2.5. Применение МКЭ.

2.5.1. МКЭ на основе принципа Лагранжа.

2.5.2. МКЭ на основе принципа Кастильяно и смешанного вариационного принципа.

2.5.3. Пример расчета.

3. СВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ К ОДНОМЕРНОЙ ДЛЯ ЖИДКОСТИ ПЕРЕМЕННОЙ ГЛУБИНЫ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЯЮЩЕЙ УПРУГУЮ ПОЛОСТЬ.

3.1. Постановка задачи и метод ее решения.

3.2. Использование разложений по степенным функциям для сведения задачи к обыкноведенным дифференциальным уравнениям.

3.3. Использование разложений по полиномам Лежандра для сведения задачи к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

3.4. Численное решение системы дифференциальных уравнений 7]

3.5. Определения коэффициенты присоединенных масс жидкости.

3.6. Применение МКЭ.

3.6.1. Вычисление кинетической энергии жидкости.

3.6.2. Определение коэффициентов присоединенных масс жидкости.

3.6.3. Расчет собственных колебаний жидкости.

3.7. Примеры расчета.

3.8. Примеры расчета присоединенных масс жидкости.

4. КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЯЮЩЕЙ УПРУГИЕ ОТСЕКИ ФЮЗЕЛЯЖА.

4.1. Сведение дифференциального уравнения несжимаемости жидкости с кинематическими граничными условиями к интегральному уравнению неразрывности.

4.2. Уравнения колебаний упругого бака с жидкостью в обобщенных координатах.

4.3. Выбор координатных функций для перемещений жидкости.

4.4. Колебания жидкости в упругой полости, часть которой заполнена полостью.

4.5. Примеры расчета собственных колебаний жидкости в цилиндрической полости.

4.5.1. Горизонтально расположенная полость.

4.5.2. Наклонная полость.

5. ВЛИЯНИЕ ПОДВИЖНОСТИ ЖИДКОСТИ НА УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ И ФЛАТТЕР.

5.1. Собственные колебания прямоугольного кессона с отсеками, частично заполненьши жидкостью.

5.1.1. Поперечные колебания.

5.1.2. Крутильные колебания.

5.2. Флаттер крыла с полостью, частично заполненной жидкостью, при различных углах наклона свободной поверхности. НО

Задачи о колебаниях жидкости со свободной поверхностью в неподвижных, подвижных и упругих полостях весьма часто встречаются в природе, в различных сооружениях и в машиностроительных конструкциях. Это — водоемы, каналы, гидротехнические сооружения, водонапорные башни, нефтехранилища, нефтеналивные суда (танкеры), авто- и железнодорожные цистерны, космические аппараты и пр.

Большой вклад в теорию, разработку методов расчета и решение конкретных задач динамики твердых и упругих тел с полостями, содержащими жидкость, внесли Стоке, Жуковский Н.Е., Моисеев Н.Н., Колесников К.С., Рабинович Б.И., Лампер Р.Е., Луковский И.А., Балакирев Ю.Г., Шмаков В.П., Шклярчук Ф.Н., Abramson H.N., Bauer H.F., Miles J.W. и др.

Задача о малых (линейных) колебаниях жидкости, частично заполняющей неподвижную, подвижную или упругую полость, формулируется более или менее одинаково [9, 15, 17, 21, 30, 31, 34 - 36, 47, 52, 71, 85]. В большинстве таких задач жидкость можно считать идеальной (невязкой) и несжимаемой, а её движение внутри и на стенках полости — безотрывным.

В этом случае из уравнений движения колеблющейся жидкости следует, что давление является потенциалом для ускорений частиц жидкости и, следовательно, существуют потенциал скоростей и потенциал перемещений жидкости.

В результате задача о колебаниях идеальной жидкости может быть описана только одной неизвестной функцией, представляющей давление в жидкости, или потенциал скоростей или потенциал перемещений жидкости, которые на основании условия несжимаемости должны удовлетворять уравнению Лапласа.

В случае сжимаемой жидкости также существуют указанные выше потенциалы. При этом на основании уравнения неразрывности жидкости давление равно объемной деформации жидкости, умноженной на её модуль объемного адиабатического сжатия) задача вместо уравнения Лапласа сводится к волновому уравнению для потенциала [15,52]. Необходимость учета сжимаемости тяжелой жидкости (не газа) возникает в случае высокочастотных акустических колебаний или в случае гидроупругих колебаний при больших глубинах заполнения толстостенных оболочек (например - трубопроводов).

Задача о колебаниях вязкой жидкости в полостях по постановке и методом решения существенно отличается от задачи о колебаниях идеальной жидкости [30,36].

При малых колебаниях подвижных и упругих полостей, частично заполненных несжимаемой жидкостью, её сложное движение можно представить в виде суммы переносного движения, обусловленного перемещениями стенок, и относительного движения, обусловленного гравитационными волнами на свободной поверхности жидкости.

Теоретически в жидкости могут также происходить внутренние относительные движения жидкости, не связанные с движениями стенок и свободной поверхности. В действительности такие движения в идеальной жидкости не возникают, поскольку отсутствуют внутренние силы для их возбуждения. Однако при численных методах решения гидродинамической задачи для уравнения Лапласа (особенно при использовании метода конечных разностей, метода конечных эдементов и некоторых вариантов метода Ритца) такие движения возникают и они сильно усложняют анализ колебаний системы. Например, при расчете собственных колебаний жидкости в полости или гидроупругой системы указанными методами появляются «паразитные» (spurious) формы колебаний с близкими к нулю частотами.

Эти формы обусловлены внутренними движениями жидкости, собственные частоты которых теоретически должны быть равны нулю. Паразитные формы, число которых равно числу внутренних степеней свободы, получаются неортогональными и могут приводить к погрешностям расчета низших собственных частот гравитационных и упругих колебаний. Это необходимо учитывать при разработке и при использовании методов расчета, допускающих появление паразитных форм колебаний.

Для расчета колебаний жидкости в подвижных и упругих полостях используются различные приближенные аналитические и численные методы. Точные решения могут быть получены только для таких форм объема жидкости, которые допускают применение метода разделения переменных в изученных системах координат (декартовой, цилиндрической, сферической и др.), [2-4,16,57,59].

Для получения приближенных и численных методов для баков сложной формы обычно используются вариационные формулировки задачи о колебаниях жидкости со свободной поверхностью в виде принципа Лагранжа и Кастильяно [32,84], принципа Бейтмана [27,28] и различных вариантов смешанного вариационного принципа [8,15,17,47].

При использовании принципа Лагранжа для гидроупругих колебаний оболочек основная трудность заключается в том, чтобы точно удовлетворить кинематическое граничное условие безотрывного движения оболочки и жидкости. В [1] для этого в качестве основной неизвестной рассматривается гармоническая функция потенциала перемещений жидкости, а нормальное перемещение оболочки выражается через нее.

В [54,55] наоборот перемещения жидкости выражаются через нормальное перемещение оболочки, удовлетворяя условие несжимаемости жидкости и условие безотрывности её на подвижной стенке. Решения в [1,54,55] получены методом Ритца в перемещениях с достаточно быстрой сходимостью.

Более простой алгоритм реализации метода Ритца для решения задач о колебаниях жидкости в неподвижных, подвижных и упругих полостях получается при использовании принципа Кастильяно (классического вариационного принципа для давления жидкости или связанных с ним потенциалов скоростей или перемещений жидкости [10,28,41,42]. Из этого принципа следуют условие несжимаемости жидкости в виде уравнения Лапласа, кинематическое условие её безотрывного движения на стенке и условие на свободной поверхности жидкости в случае, когда гравитация не равна нулю.

Принцип Кастильяно не применим, если частоты колебаний значительно выше низшей собственной частоты гравитационных колебаний жидкости в неподвижной полости или, формально, если при наличии свободной поверхности ускорение поля массовых сил (сил тяжести) стремится к нулю.

Чтобы обойти эту трудность при использовании принципа Кастильяно, в некоторых работах заранее удовлетворяется динамическое граничное условие на свободной поверхности [2]. Во многих работах для этого вводится еще одна функция, представяющая нормальное перемещение свободной поверхности, которая рассматривается также, как нормальное перемещение стенки полости, и далее может считаться заданной или неизвестной [18,28].

При решении гидродинамической задачи таким способом для определения потенциалов переносного движения жидкости (при этом гравитация не учитывается), свободную поверхность жидкости заменяют «крышкой», которая считается связанной со стенками полости [23,32,34-36, 41-43] или свободно плавающей [30,31,44,45]. Далее, чтобы устранить влияние такой несуществующей «крышки», добавляются в качестве неизвестных волновые движения свободной поверхности жидкости.

Алгоритм метода Ритца упрощается, если вместо принципа Кастильяно для жидкости использовать смешанный вариационный принцип, предложенный в [17]. При использовании этого принципа нет необходимости вводить на свободной поверхности дополнительную неизвестную функцию или «крышку», или заранее удовлетворять динамическое условие, так как оно удовлетворяется автоматически, даже если гравитация не учитывается.

Оценки сходимости решений по методу Ритца с использованием смешанного вариационного принципа были выполнены в [63] на примере осесимметричных колебаний конической оболочки с жидкостью и в [24] на примерах колебаний жидкости в прямоугольной полости и в круговом цилиндре.

Среди других методов, используемых при расчете колебаний жидкости в подвижных и упругих полостях отметим следующие: метод граничных элементов [11,82], метод аналитического продолжения решения при увеличении глубины жидкости [12], метод коллокаций для удовлетворения условия безотрывного движения жидкости и стенки [13], метод итераций для расчета собственных осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью [66].

В последние годы широкое распространение в гидроупругости получил метод конечных элементов (МКЭ) в различных вариантах [18,20,22, 37,48,53,62,72,74-83,86-92].

В работах [48,72,77,79-81,83,90] решение строится в перемещениях для сжимаемой жидкости как для частного случая упругого тела с нулевой жесткостью на сдвиг. Решение в таком виде может привести к большим вычислительным трудностям и ошибкам, поскольку в системе одновременно присутствуют низкочастотный спектр гравитационных колебаний, высокочастотный спектр акустических колебаний и нулевой спектр внутренних движений жидкости. В некоторых из этих работ для случая несжимаемой жидкости накладываются дополнительные связи. Это значительно усложняет алготритм.

В [56,76,78,92] составляются уравнения МКЭ для давления (потенциала) несжимаемой жидкости и затем исключаются внутренние переменные как циклические координаты. Том самым устраняются «нулевые» формы внутренних движений жидкости.

В [20,74] уравнения гидроупругости для КЭ-модели получаются путем удовлетворения всех уравнений и граничных условий приближенно по методу Бубнова-Галеркина. Такой подход приводит к несимметричным системам уравнений высокого порядка.

В [37,86,87] уравнения МКЭ строятся на основе смешанного вариационного принципа для двух функций, характеризующих колебания в общем случае сжимаемой жидкости, - давления и потенциала перемещений. Это сильно увеличивает размерность системы.

В [18] и ряде других работ этого автора также используется смешанный вариационный принцип для расчета колебаний оболочек вращения с жидкостью по МКЭ. При этом колебания жидкости описываются потенциалом перемещений и нормальным перемещением свободной поверхности.

В [25] для расчета колебаний жидкости в полостях использовался МКЭ, так же как ранее метод Ритца [24], на основе различных вариационных принципов (Лагранжа, Кастильяно и смешанном) для одной неизвестной функции - потенциала перемещений жидкости.

В работах [15,53,60,62] для оболочек вращения и произвольных полостей в виде наклонных каналов с жидкостью предложен вариант МКЭ в перемещениях, когда в качестве КЭ рассматриваются поперечные слои жидкости. Этот метод разработан на основе сведения гидродинамической задачи в таких полостях к одномерной задаче, путем разложения продольных перемещений жидкости по заданным функциям координат поперечного сечения [15,16,40,56,61,64,67-69].

Таким образом гидродинамическая задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений или соответствующих алгебраических уравнений МКЭ с КЭ в виде слоев жидкости. Такой подход является весьма эффективным и позволяет получить приближенное решение с достаточно высокой точностью при небольшом числе неизвестных (с 1-м или 2-мя дифференциальными уравнениями или с 8 10 КЭ).

Отмеченные здесь методы расчета колебаний жидкости в подвижных недеформируемых и деформируемых полостях используются в динамике упругих тонкостенных конструкций с отсеками и баками, содержащими жидкость. К ним односятся жидкостные ракеты [14,23,30,31,45,47,49,58,70, 73], самолеты [5,40,43,44], корабли [29,33], а также другие конструкции и сооружения с жидкостью.

На основании анализа литературы по теме диссертации определена цель работы: разработать методы расчета колебаний тонкостенной конструкции самолета, отсеки крыла и фюзеляжа которого частично заполнены жидкостью.

Основное содержание диссертации изложено в пяти главах.

В первой главе разработана математическая модель для изгибно-крутильных колебаний крыла большого удлинения с отсеками, частично заполненными жидкостью, а также - для фюзеляжа, используя метод отсеков. Деформация отсеков конструкции, как укрупненных конечных элементов, рассматривается на основе теории изгиба, сдвига и кручения подкрепленных слабоконических оболочек с производным контуром поперечных сечений, который может свободно депланировать и искривляться. Получены уравнения колебаний конструкции с учетом подвижности жидкости, частично заполняющей отсеки.

Во второй главе рассмотрено применение метода Ритца и МКЭ для расчета колебаний жидкости в упругих полостях на основе вариационных принципов Лагранжа, Кастильяно и смешанного вариационного принципа. Получены сравнительные результаты для собственных частот гравитационных колебаний жидкости и коэффициентов присоединенных масс жидкости на примере плоской задачи для подвижной прямоугольной полости с оценками их сходимости и точности.

Третья глава посвящена разработке метода сведения плоской гидродинамической задачи к одномерной для жидкости переменной глубины, частично заполняющей произвольную упругую полость с плоскими торцами. Используются разложения продольного перемещения жидкости по степенным функциям, а также по ортогональным полиномам Лежандра, по поперечной координате. Получены обыкновенные дифференциальные уравнения, а также соответствующие алгебраические уравнения МКЭ с КЭ в виде поперечных слоев жидкости.

Выполнены сравнительные расчеты с оценкой сходимости результатов для подвижной прямоугольной полости с наклоненной свободной поверхностью жидкости. Показано, что приближение, соответствующее гипотезе плоских поперечных сечений жидкости, имеет практически приемлемую точность.

В четвертой главе гипотеза плоских поперечных сечений жидкости используется для решения трехмерной задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей упругие отсеки фюзеляжа, имеющие продольную плоскость симметрии. Решение построено с помощью МКЭ. В качестве КЭ рассматриваются поперечные слои жидкости, в пределах толщины которых для перемещений используется линейная аппроксимация. Представлены примеры расчета собственных колебаний жидкости, частично заполняющей круговую цилиндрическую полость, расположенную горизонтально и с наклоном.

Пятая глава посвящена оценке влияния подвижности жидкости на упругие колебания и флаттер. Рассмотрены собственные поперечные и крутильные колебания прямоугольного кессона с отсеками, частично заполнеными жидкостью, при разных углах наклона свободных поверхностей.

Также рассмотрен флаттер крыла с полостью, частично заполненой жидкостью. Оценено влияния подвижности жидкости при разных углах наклона её свободной поверхности.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1. УРАВНЕНИЕ ИЗГИБНО-КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ КРЫЛА

БОЛЬШОГО УДЛИНЕНИЯ С ОТСЕКАМИ, ЧАСТИЧНО

ЗАПОЛНЕННЫМИ ЖИДКОСТЬЮ

Основные результаты работы

1. Разработана математическая модель и получены уравнения в обобщенных координатах для расчета изгибно-крутильных колебаний конструкции самолета с отсеками крыла и фюзеляжа, частично заполненными жидкостью.

2. Разработаны алгоритмы расчета колебаний жидкости в упругих полостях методом Ритца и методом конечных элементов на основе вариационных принципов Лагранжа, Кастильяно и смешанного вариационного принципа. Получены сравнительные результаты расчета собственных частот и коэффициентов присоединенных масс жидкости с оценками точности и сходимости.

3. Плоская задача о колебаниях жидкости переменной глубины, частично заполняющей произвольную упругую полость, путем разложения перемещений жидкости в ряд по заданным функциям поперечной координаты сведена к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Так же получены алгебраические уравнения по методу конечных элементов в виде поперечных слоев жидкости. Показано, что двучленное приближение, соответствующее гипотезе плоских поперечных сечений жидкости, обладает достаточно высокой точностью.

4. Метод конечных элементов в виде поперечных слоев жидкости, которые перемещаются и поворачиваются, оставаясь плоскими, применен так же для расчета колебаний жидкости в упругих отсеках фюзеляжа.

5. Оценено влияние подвижности жидкости в отсеках и наклона её свободных поверхностей на упругие поперечные и крутильные колебания прямоугольного кессона и на флаттер профиля крыла с жидкостью.

116

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Александрович Л.И., Лампер Р.Е. Собственные колебания упругого осесимметричного сосуда произвольного контура. //Труды V1.Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок, Баку, 1966. - М.: Наука, 1967. -с.27 -29.

2. Балабух Л.И., Молчанов А.Г. Осесимметричные колебания сферической оболочки, частично заполненной жидкостью. //Инженерный журнал: Механика твердого тела. 1967, № 5.

3. Балакирев Ю.Г. Осесимметричные колебания пологой сферической оболочки с жидкостью. // Инженерный журнал: Механика твердого тела. 1967, № 5.

4. Балакирев Ю.Г. Осесимметричные колебания соосных цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью. //Труды VII Всес. Конференции по теории оболочек и пластинок, 1969. М.: Наука, 1970. - с.81 - 87.

5. Балгеймер В.В., Ефимкин В.П., Лампер Р.Е. Динамика жидкости в длинном баке кессоне с нервюрами // Колебания упругих конструкций с жидкостью. - М.: ЦНТИ «Волна», 1984. - с. 12 - 17.

6. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1997, 488 с.

7. Бисплингхофф Р.Л., Эшли X., Халфмен Р.Л. Аэроупругость. М.: ИЛ, 1958,-799 с.

8. Богоряд И.Б. К решению задачи о колебаниях жидкости, частично заполняющей полость, вариационным методом. ПММ, 1962, т.26, № 6, с.1122- 1127.

9. Болотин В.В. О движении жидкости в колеблющемся сосуде. ПММ, 1956, т.20, № 2, с.293 -294.

10. Ю.Борисова Э.П. Свободные колебания жидкости в наклонном цилиндре. В сб. " Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1962." с.203 212.

11. П.Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JL Методы граничных элементов. М.: «Мир», 1987, 524 с.

12. Галкин М.С. Определение присоединенных масс жидкости, частично заполняющей колеблющийся бак с деформируемыми стенками. В сб. "Колебания упругих конструкций с жидкостью. Новосибирск; Новосиб. электротехн. ин-т, 1973",с.28 -29.

13. З.Галкин М.С., Жмурин И.П. Определение форм колебаний жидкости в сосудах произвольной формы методом коллокаций // Колебания упругих конструкций с жидкостью. Новосибирск.: Изд. НЭТИ, 1974. - с. 65 - 64.

14. М.Гладкий В.Ф. Динамика конструкции летательного аппарата. М.: Наука, 1969, 496 с.

15. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. Физматлит, 2000. - 592 с.

16. Григолюк Э.И., Горшков А.Г., Шклярчук Ф.Н. Об одном методе расчета колебаний жидкости, частично заполняющей упругую оболочку вращения // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, № 3, 1968, с. 74-80.

17. Григолюк Э.И., Шклярчук Ф.Н. Уравнения возмущенного движения тела с тонкостенной упругой оболочкой, частично заполненной жидкостью. // ПММ, т.34, вып. 3, 1970.С.401 -411.

18. Григорьев В.Г. Применение метода конечных элементов к расчету колебаний упругих оболочечных конструкций, содержащих жидкость. В сб. "Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. Томск, Томский ун-т, 1978", с.55 - 60.

19. Гришанина Т.В. Расчет деформаций и колебаний крыльев большого удлинения с учетом конусности, //изв. вузов. Авиационна техника, 2005, №2, с. 10-13.

20. Ершов Н.Ф., Шахверди Г.Г. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости. JI.: Судостроение, 1984. -237с.

21. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр. соч., М.: Гостехиздат, 1948, т.1, с.31 - 153.22.3енкевии О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. -541с.

22. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 1980, 387 с.

23. Кьи Твин, Шклярчук Ф.Н. Флаттер крыла с полостью, частично заполненной жидкостью, при различных углах наклона свободной поверхности. В сб. "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Ярополец, 2004",т.2. с.127 - 130.

24. Луковский И.А. Определение частот и форм колебаний жидкости в сосуде на основе вариационного принципа Бейтмана. В сб. "Аналитические методы исследования динамики сложных систем. Киев; Ин-т математики АН УССР, 1982", с.З - 11.

25. Луковский И.А., Барняк М.Я., Комаренко А.Н. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости. Киев, «Наукова думка», 1984. -232с.

26. Мальцев Н.Я. К вопросу о динамике корабля с жидкими грузами. В сб. " Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1962. "с.237 246.

27. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение, 1968, 532 с.

28. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М.: Машиностроение, 1971, 564 с.

29. Моисеев Н.Н. Вариационные задачи в теории колебаний жидкости и тела с жидкостью. В сб. "Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд. ВЦ АН СССР, 1962", с. 7-118.

30. Моисеев Н.Н. Динамика корабля, имеющего жидкие грузы. Изв. АН СССР. ОТН, № 7, 1954.

31. Моисеев Н.Н. К теории колебаний упругих тел, имеющих жидкие полости. ПММ, 1959, т.23, № 5, с.862 878.

32. Моисеев Н.Н. К теории упругих колебаний тела с жидкостью. ДАН СССР, 1959, т. 127, №2, с.51 -54.

33. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965, 440 с.

34. Мокеев В.В. Иследование динамики конструкций с жидкостью и газом с помощью метода конечных элементов. Изв. РАН, МТТ, 1998,№ 6, с. 166 -174.

35. Образцов И.Ф., Онанов Г.Г. строительная механика скошенных тонкостенных систем. М.: Машиностроение, 1973, 660с.

36. Петров А. А. Колебания жидкости в цилиндрических сосудах с горизонтальной образующей. В сб. " Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1962", с. 179 202.

37. Петров А.А. Приближенное решение задачи колебаниях жидкости в цилиндрическом сосуде с горизонтальной образующей. В сб. " Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1962." с.213 220.

38. Петров А.А. Уравнения движения самолета, несущего баки с жидкостью. В сб. " Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. М.: Изд-е ВЦ АН СССР, 1962." с.221 236.

39. Петров Ю.В. Синтез математической модели аэроупругости самолета с учетом подвижности топлива в баках. Изв. РАН, МТТ, 1996, № 3. -с.25-31.

40. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракет-носителей космических аппаратов. — М.: Машиностроение, 1975. 416 с.

41. Рабинович Б.И., Шмаков В.П., Кобычкин B.C. К теории колебаний конструкций, несущих резервуары с жидкостью. В сб. «Исследования по теории сооружений», Вып. 18, М.: Стройиздат, 1970, с. 68 - 84.

42. Рапопорт И.М. Динамика упругого тела, частично заполненного жидкостью. М.: Машиностроение, 1966, 394 с.

43. Сидельников Р.В., Ямчук В.В. Расчет колебаний осесимметричных конструкций с жидкостью методом конечных элементов. // Сборник научных трудов Челябинского политехи, ин-та, 1979, № 7. с.24 - 29.

44. Фещенко С.Ф., Луковский И.А., Рабинович Б.И., Докучаев Л.В. Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных полостях. Киев, «Наукова думка», 1969, 250 с.

45. Шклярчук Ф.Н. Аэроупругость самолета. М.: Изд-е МАИ. 1986. - 77 с.

46. Шклярчук Ф.Н. Колебания и аэроупругость летательных аппаратов. М.: Изд. МАИ. 1981.-89 с.

47. Шклярчук Ф.Н. Динамика конструкций летательных аппаратов. М.: Изд. МАИ, 1983.-80 с.

48. Шклярчук Ф.Н. О вариационных методах расчета осесимметричных колебаний оболочек вращения, частично заполненных жидкостью. В сб.

49. Труды VI Всес. конф. по теории оболочек и пластин». М.: «Наука», 1966,-с.835-840.

50. Шклярчук Ф.Н. О приближенном методе расчета осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидким заполнением. Изв. АН СССР. Механика, № 6, 1965, с. 123 - 129.

51. Шклярчук Ф.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения в канонической форме для задач о малых колебаниях жидкости внутри упругой оболочки вращения. Известия РАН. Механика твердого тела, 1994, №2,-с. 138- 150.

52. Шклярчук Ф.Н. Осесимметричные колебания жидкости внутри упругой цилиндрической оболочки с упругим днищем. Изв.вузов. Авиационная техника, № 4, 1965. с.75 - 83.

53. Шклярчук Ф.Н. Поперечные колебания составных тонкостенных конструкций с отсеками, частично заполненными жидкостью. В сб. «Колебания упругих конструкций с жидкостью», М.: ЦНТИ «Волна», 1980,-с.317-328.

54. Шклярчук Ф.Н. Поперечные колебания цилиндрической оболочки с отсеками, частично заполненными жидкостью. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, № 6, 1980, с. 153 - 165.

55. Шклярчук Ф.Н. Приближенный метод расчета колебаний жидкости в наклонных упругих полостях и каналах // ПММ, 2003, т.67, № 6. с. 1002 -1010.

56. Шклярчук Ф.Н. Приближенный метод расчета колебаний жидкости в полостях вращения. В сб. «Колебания упругих конструкций с жидкостью», М.: ЦНТИ «Волна», 1976, с.397- 404.

57. Шклярчук Ф.Н. Применение метода конечных элементов к расчету неосесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью. В сб. «Колебания упругих конструкций с жидкостью», М.: ЦНТИ «Волна», 1984,-с.284-289.

58. Шклярчук Ф.Н. Применение метода Ритца к расчету колебаний упругих оболочек с жидкостью. В сб. «Труды XVII международной конференции по теории оболочек и пластин, Казань», Изд-во КГУ, 1996, с. 67 - 71.

59. Шклярчук Ф.Н. Сведение задачи о колебаниях оболочки вращения с жидкостью к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В сб. «Расчет тонкостенных элементов конструкций на прочность, устойчивость, колебания и долговечность», М: Изд. МАИ, 1983,-с.81 86.

60. Шклярчук Ф.Н., Алшебел Айхам. Математическая модель аэроупругости стреловидного крыла для расчета аэродинамических нагрузок. Изв. вузов. Авиационная техника, № 1, 2003, -с.

61. Шклярчук Ф.Н., Иденбаум В.М. Итерационный метод расчета собственных осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью. В сб. «Нелинейные проблемы аэрогидроупругости», вып. 11, Казань, 1979, с.115 - 125.

62. Шклярчук Ф.Н., Кьи Твин. Колебания жидкости в упругих отсеках крыла и фюзеляжа. В сб. "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Ярополец, 2003". - 97с.

63. Шклярчук Ф.Н., Кьи Твин. Определение коэффициентов присоединенных масс жидкости для упругих колеблющихся полостей // Вестник МАИ, 2004, т. 11, № 2. с.11 - 14.

64. Шклярчук Ф.Н., Шишканов В.М. Численное решение задачи о колебаниях оболочки вращения с жидкостью. В сб. «Вопросы строительной механики и прочности летательных аппаратов.», М.: Изд. МАИ, 1985, с. 109 - 114.

65. Abramson H.N. Liquid dynamic behavior in rocket propellant tanks // «Astronautics », 1961, v.6, pp.35 37.

66. Abramson H.N. The dynamic behavior of liquid in moving containers. -Washington, NASA SP 106, 1966. - 467p.

67. Akkas N., Akay H.V., Yilmaz C. Applicability of general purpose finite element programs in solid - fluid interaction problems. // Computers and structures, 1979, v. 10, № 5, pp.773 - 783.

68. Bauer H.F. Dynamics of liquid propellant vehicles // Symposium on structural dynamics of high speed flight. Los Angeles, Calif., April 1961 (Office of Naval Research. Washington, D.C., 1961), pp.319 355.

69. Berger H., Boujot J., Ohayon R. On a spectral problem in vibration mechanics: computation of elastic tanks partially filled with liquids. // J. of Math. Analysis and Applications, 1975, v.51, № 2, pp.272 298.

70. Chu W.H. Comparison of some finite element and finite difference methods for a simple sloshing problem // AIAA J., 1971,v.9, № 10,pp.242 244.

71. Chung T.Y., Rush R.H. Dynamically coupled motion of surface fluid - shell systems. // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech., 1976, v.43, № 3, pp.507 -508.

72. Cook R.D. Comment on "Discrete element idealization of an incompressible liquid for vibration analysis" and "Discrete element structural theory of fluids" by D.A. Hunt. //AIAA J., 1973, v.l 1, № 5, pp.766 767.

73. Coppolino R. A numerically efficient finite element hydroelastic analysis. // Proc. AIAA/ ASME/ SAE 17th Structures, Structural Dynamics and Materials Conference. King of Prussia, Pennsylvania, May 5-7, 1976. s.l, 1976, pp.298 -312.

74. Hamdi M.A., Ousset Y., Verchery G. A displacement method for the analysis of vibrations of coupled fluid structure systems. // Intern. J. for Numer. Methods in Engineering, 1978, v.13, № 1, pp.139 - 150.

75. Hunt D.A. Discrete element idealization of an incompressible liquid for vibration analysis. // AIAA J., 1970, v.8, № 6, pp.1001 1004.81 .Hunt D.A. Discrete element structural theory of fluids. // AIAA J., 1971, v.9, № 3, pp.457-461.

76. Khabbaz G.R. Dynamic behavior of liquids in elastic tanks. // AIAA J., 1971, v.9, № 10, pp.1985 1990.

77. Kiefling L., Feng G.C. Fluid structure finite element vibrational analysis. // AIAA J., 1976, v.14, № 12, pp.199-203.

78. Lawrence H.R., Wang C.J., Reddy R.B. Variational solution of fuel sloshing modes // «Jet Propulsion», v.28, № 11, 1958, pp.729 736.

79. Miles J.W. On the sloshing of liquid in a flexible tank // J. Appl. Mech., v.25, 1958, pp.277 283.

80. Olson L.G., Bathe K.J. Analysis of Fluid-Structure Interactions. A Direct Symmetric Coupled Formulation Based on the Fluid Velocity Potential. // Computers and Structures, 1985, Vol. 21, pp. 21-32.

81. Olson L.G., Bathe К.J. A Study of Displacement Based Fluid Finite Elements for Calculating Frequencies of Fluid and Fluid-Structure Systems // Nuclear Engineering and Design, 1983, V. 76, pp. 137-151.

82. Pinson L.D., Brown C.G. A finite element for nonaxisymmetric vibrations of pressurized shells of revolution partially filled with liquid. // AIAA Paper, 1973, №399.

83. Sundqvist J. An Application of ADINA to the Solution of Fluid-Structure Interaction Problems // Computers and Structures, 1983, V. 17, pp. 793-808.

84. Zienkiewich O.C., Bettes P. Fluid structure dynamic interaction and wave forces. An interaction to numerical treatment // Int. J. for Numer. Meth. in Engineering, 1978, v. 13, № 1, pp.1 - 16.