Разработка методики решения задач статики и динамики составных тонкостенных аэрокосмических конструкций

Тютюнников, Николай Петрович

Разработка методики решения задач статики и динамики составных тонкостенных аэрокосмических конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Тютюнников, Николай Петрович АВТОР

доктора технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Разработка методики решения задач статики и динамики составных тонкостенных аэрокосмических конструкций»

Автореферат диссертации на тему "Разработка методики решения задач статики и динамики составных тонкостенных аэрокосмических конструкций"

На правах рукописи

ТЮТЮННИКОВ НИКОЛАЙ ПЕТРОВИЧ

УДК 539.4

РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ СОСТАВНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ АЭРОКОСМИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ

01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

МОСКВА - 2005

Работа выполнена в Московском авиационном институте (государственном техническом университете) на кафедре «Строительная механика и прочность»

Научный консультант: Заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Шклярчук Федор Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Антуфьев Борис Андреевич;

доктор технических наук, профессор Балакирев Юрий Георгиевич;

доктор технических наук, Бурцев Борис Николаевич.

Ведущая организация: НПО «Молния»

Защита состоится «2» ноября 2005 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 при Московском Авиационном институте (государственном техническом университете) по адресу: 125 993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института (государственного технического университета) по адресу: 125 993, г. Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4.

Ваш отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью, просьба отправлять по вышеуказанному адресу.

Автореферат разослан «.U» 2005 г.

А / /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Современные самолеты, летательные и космические аппараты являются сложными и дорогостоящими системами. На этапе проектирования таких изделий необходимо рассматривать различные варианты конструктивно-силовой схемы, проводить оценку их прочностных, упруго-динамических и аэроупругих свойств.

Ввиду несомненной практической важности проблемы, ей посвящено множество работ, предложены различные подходы к ее решению. Некоторые из них (балочная модель) просты и компактны, но не позволяют учесть локальные особенности напряженно-деформированного состояния конструкции. Другие (метод конечных элементов) обеспечивают высокую точность модели, но приводят к системам разрешающих уравнений большой размерности и очень трудоемки.

Между тем важно, особенно на этапе проектирования, иметь возможность быстро и достаточно точно оценивать различные варианты конструктивных решений.

С этой точки зрения перспективным представляется использование комбинированных математических моделей, использующих различные подходы для описания различных частей авиационных конструкций. В 40-е-50-е годы XX века для тонкостенных конструкций были разработаны различные варианты технических теорий оболочек. В этом направлении в первую очередь следует выделить труды советских ученых В.З.Власова, И.Ф.Образцова, Ю.Г.Одинокова, А.А.Уманского. Эти теории позволяют с высокой точностью описывать поведение отдельных частей конструкций летательных аппаратов, но не позволяют описать поведение конструкции в целом. В связи с этим в последние годы эти теории вытеснены из практики более универсальным методом конечных элементов, реализованном в многочисленных программных комплексах. Между тем совместное использование упомянутых аналитических подходов для описания одних частей конструкции (отсеков крыльев и фюзеляжа, шпангоутов и т.п.) и метода конечных элементов для других (зоны стыка крыльев и фюзеляжа, отсеки с вырезами и люками) позволяет значительно снизить размерность расчетной модели, сохраняя высокую точность и вычислительную эффективность.

Поэтому тема диссертации, посвященной разработке компактных упруго-динамических моделей конструкций ЛА и методов решения уравнений движения, является актуальной. .........

Работы по теме диссертации выполнялись при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов: 93-013-16490, 96-01-00352, 96-01-01084, 00-01-00072, 00-01-00567, 03-01-00688); федеральной целевой программы «Интеграция науки и высшего образования России» (код проекта: Б0053); научно-технической программы министерства образования Российской Федерации «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (код проекта 201.01.01.118). Ряд вопросов, включенных в настоящую работу, решался в ходе выполнения хоздоговорных работ для НПО «Молния» (темы 1434, 2284), МИТ (темы 60550-06030, 75200-06030, 77390-06030).

Цель работы:

- построение моделей (решений и матриц жесткости) для типовых отсеков - подконструкций ЛА;

- построение комбинированной упруго-динамической модели ЛА с использованием различных подходов для различных частей конструкции;

- разработка методики сопряжения конечно-элементных и численно-аналитических моделей;

- разработка методики приближенного учета локальных податливостей в расчетной схеме конструкции ЛА;

- получение уравнений управления деформируемой формой крыла с использованием внутренних активных элементов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- получены точные решения в рядах для отсеков в виде анизотропных цилиндрических и слабоконических оболочек с произвольным контуром поперечного сечения;

- предложен модульный подход к построению математической модели составной конструкции ЛА;

- разработана методика сопряжения численных и аналитических методов в рамках единой модели;

- предложен эффективный способ управления деформированной формой крыла, его аэродинамическими и аэроупругими характеристиками с помощью внутренних управляющих элементов;

- предложена методика, позволяющая учесть влияние местных податливостей без существенного увеличения размерности разрешающей системы уравнений;

- разработаны алгоритм и программа построения полных систем ортогональных функций для произвольного контура. Эти системы функций исполь-

зуются для получения точных решений уравнений безмоментных цилиндрических и слабоконических оболочек в рядах.

Методы исследований:

- применение метода В.З.Власова для построения решений уравнений безмоментной и полубезмоментной теорий оболочек;

- применение метода разделения Фурье для построения системы ортогональных функций на многозамкнутом контуре произвольной формы;

- численное моделирование упругих конструкций ЛА;

- применение метода продолжения по параметру для интегрирования уравнений движения конструкции.

Достоверность научных положений, результатов и выводов основывается:

- на корректности математических моделей;

- на строгости математических решений и оценках их сходимости;

- на сравнении результатов расчета, полученных разными методами и экспериментальных результатов.

Практическая значимость исследований:

- точные решения в рядах, полученные для анизотропных безмоментных оболочек с произвольным контуром поперечного сечения могут быть использованы для расчета агрегатов конструкций ЛА;

- предложенный модульный подход к построению расчетных моделей конструкций ЛА может быть эффективно использован при проектировании новых изделий;

- предложенный способ управления деформированной формой крыла с помощью внутренних активных элементов может быть использован для адаптации аэроупругих характеристик крыла для различных режимов полета;

- предложенная методика сопряжения численных и аналитических решений может быть использована в программных комплексах для построения компактных расчетных моделей конструкций ЛА.

- результаты, полученные в работе, нашли практическое применение, что подтверждается актами о внедрении от ОАО «Камов» и НПО «Молния».

На защиту выносятся:

- модульный подход к построению расчетных моделей конструкций ЛА с использованием различных моделей для различных частей конструкции;

- метод построения точного решения в рядах для анизотропных цилиндрических и слабоконических оболочек с произвольным контуром поперечного сечения;

- методика и алгоритм построения систем ортогональных функций для произвольного многозамкнутого контура;

- методика учета локальных податливостей при построении общей расчетной схемы JIA;

- способ управления деформированной формой крыла и ее аэроупругими свойствами с помощью внутренних активных элементов;

- метод решения алгебраической задачи собственных значений для расчета собственных колебаний конструкций JIA.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

- Международной молодежной научно-техническая конференции «Космонавтика ~ XXI век» - Москва-Калининград (Московская область).1-7 сентября 1991г.;

IV Всесоюзной научной конференции «Современные проблемы строительной механики и прочности летательных аппаратов». - Харьковский ордена Ленина авиационный институт им.Н.Е.Жуковского (п.Рыбачий 18-21 сентября 1991г.);

- Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 1996, 1997, 1998,2000, 2001,2002, 2003, 2005 гг.);

- научно-технической конференции «Слоистые композиционные мате-риалы-98». Сентябрь 7-12, 1998. Волгоград

- семинаре под руководством академика Н.С.Бахвалова 22 ноября 2001

года.

- XX Международной конференции по теории оболочек и пластин . - Н. Новгород, 2002.

- Международной конференции и выставке «Авиация и космонавтика -2003» (Москва, 2003 г.);

Публикации. Результаты диссертации представлены в 34 работах, опубликованных в российских научных журналах и сборниках, материалах Всероссийских и Международных конференций. В автореферате приведены 21 основных публикации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Общий объем диссертации 296 е., включая 123 рисунка, 27 таблиц, 161 библиографических ссылки.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение

Во введении приводится обоснование актуальности работы. Приведены сведения об апробации, практическом использовании результатов. Формулируется цель исследования. Дана краткая характеристика содержания работы.

1. Расчетные модели тонкостенных конструкций

В первой главе приводится краткий исторический обзор методов и моделей, применяемых для статических и динамических расчетов тонкостенных конструкций ЛА.

Балочная модель, представляющая конструкцию самолета или летательного аппарата как систему связанных балок, успешно используется и в настоящее время. Однако она не дает возможности учесть локальные особенности напряженно-деформированного состояния. Для этого могут быть использованы различные варианты технических теорий оболочек, в разработке которых велика роль советских ученых С.А.Амбарцумяна, В.З.Власова, Х.М. Муш-тари, И.Ф.Образцова.

Метод конечных элементов (МКЭ), наиболее распространенный в настоящее время, был впервые предложен в независимых работах A. Hrennikoff (1941) и R. Courant (1943). Само рождение МКЭ обычно связывают с пионерской статьей M.J. Turner, R.W. Clough, Н.С. Martin, L.J. Topp (1956), в которой приводятся описание метода, примеры решения ряда задач и упоминается о программной реализации метода. В настоящее время МКЭ реализован в широко известных программных комплексах NASTRAN, ANSYS, ДИАНА и др.

Обладая высокой универсальностью, МКЭ все-таки приводит к необходимости решать системы уравнений очень большого размера (порядка 105-106). С целью снижения размерности разрешающей системы J.S. Przemieniecki (1963) был предложен метод суперэлементов (МСЭ), развитый далее в работах Е. Meissner, Y.K. Cheng, В.А. Постнова и др. Метод суперэлементов представляет собой попытку решить проблему размерности, не выходя за рамки конечно-элементной технологии.

Метод граничных элементов (МГЭ) использует для построения решений сингулярные решения задач теории упругости. Теоретические основы метода разработаны в трудах советских ученых Н.И. Мусхелишвили, С.Г. Михлина,

В.Д. Купрадзе. Практическое использование метода для построения численных решений предложено В.Д. Купрадзе (1963) и, несколько позже, Т.А. Cruse и F.J. Rizzo (1968). МГЭ позволяет значительно снизить размерность задачи по сравнению с МКЭ, но сталкивается с серьезными трудностями при решении задач с существенными неоднородностями.

Другое направление, имеющее прикладной характер, - метод отсеков (МО) - получил развитие в работах советских ученых М.Б. Вахитова, A.C. Кретова, П.Д. Левашова, В.А. Постнова, В.Г. Шатаева, Ф.Н. Шклярчука. Основная идея метода - снижение размерности математической модели конструкции за счет максимального использования аналитических и численно-аналитических решений, полученных для тонкостенных конструкций в основном в докомпьютерный период.

В настоящей работе рассматривается применение метода отсеков для построения упруго-динамических моделей конструкций ЛА. Существенное внимание уделяется совместному использованию МКЭ и метода отсеков.

2. Типовые отсеки

Вторая глава, самая большая по объему, фактически представляет собой библиотеку типовых отсеков - подконст-рукций ЛА.

Основное внимание уделено тонкостенным цилиндрическим и коническим отсекам. Получены решения и, как следствие, алгоритмы построения матриц жесткости для следующих отсеков:

Цилиндрический безмоментный отсек. Решена статически однородная задача с кинематическим граничными Рис. 1. Цилиндрический отсек

условиями на торцах для анизотропной

цилиндрической безмоментной оболочки. Контур поперечного сечения многозамкнутый, произвольной формы. Торцы оболочки в общем случае могут быть скошены.

Для построения решения использованы три подхода: метод перемещений, метод напряжений и непосредственное интегрирование уравнений безмоментной анизотропной оболочки.

В первом случае применен метод В.З.Власова. Неизвестные функции

перемещений представляются в виде:

J М

1-1 т=1 и

где <р1 и у/т - заданные функции контурной координаты, а С/, и ¥т - неизвестные функции продольной координаты. В результате подстановки разложений (1) в принцип возможных перемещений для определения неизвестных функций С/, и Ут получены следующие уравнения:

0 (/ = 1,2,...,У)

где

2,+9„=0 (т = 1,2,...,М)

Р, = + = + + Б'' >1 <1=1

Qm=YJcJmul+YJdmyn+Ql

(2)

(3)

у=1 /1=1

Здесь коэффициенты уравнений представляют собой интегралы от заданных функций:

в-.в-^-, £>

а В, С, И представляют собой мембранные жесткости, входящие в физические соотношения многослойного анизотропного материала:

М2=Ве2+СГ„, 5 = Сег + Оуа, N,=0. (4)

При решении задачи по методу напряжений перемещения на торцах отсеков представляются в виде разложений:

Ч>*АЫ Г (5)

где к = 0,1 - номер торца отсека, ы - заданные вектор-функции контурной координаты; коэффициенты цкп рассматриваются как обобщенные координаты. Напряжения ищутся в следующем виде, удовлетворяющем уравнениям равновесия безмоментной оболочки:

= «О + + b,z)cp,{s\ S = + X (4 = - (6)

1=1 1=1 p=i о

В результате подстановки разложений (5) и (6) в вариационный принцип Кас-тильяно: SIT -S А =0 получена система линейных уравнений, позволяющая выразить неизвестные коэффициенты a„b,,q через обобщенные координаты qkn. Потенциальная энергия выражена в виде квадратичной формы обобщенных координат:

n=-iqrCrH-ICq=|qrKq; q = {<70) - <70„0 j Яи - <71я,}Г

Элементы матриц С и Н, входящие в матрицу жесткости отсека К, представляют собой контурные интегралы по заданным функциям разложений (5) и (6).

В случаях, когда контур поперечного сечения имеет относительно простую форму, эффективно непосредственное интегрирование уравнений анизотропной оболочки.

¿W dS „ du du dv

—+— = 0, £ =—> Г = +

dz ds dz ds dz

dS dv w

— = 0. e, = — + —

& ' ds R,

N = Be + Cy,

(7)

S = Ce + Dy,

С С С

Упрощающая подстановка Т = N --S, а - у +—е, tj = v + —u позволяет привести эти уравнения к виду, полностью совпадающему по форме с уравнениями изотропной оболочки:

dT dS . dS п du ди drj _ _ _ ...

— + — = 0, — = 0. £ = —, а = —+—. Т = В е, S = Da (8) dz ds dz dz ds dz

Уравнения (8) элементарно интегрируются, когда на торцах отсека заданы усилия. Однако с точки зрения дальнейшего использования, то есть построения матриц жесткости, интерес представляет случай, когда на торцах заданы перемещения. В этом случае интегрирование уравнений Коши позволяет свести задачу к интегрированию одного дифференциального уравнения второго порядка относительно неизвестной функции S - потока касательных усилий:

S"+a{s)-S'+¿(j)- S = f{s), (9)

где переменные коэффициенты а и Ъ определяются геометрическими и жест-костными параметрами оболочки, а функция /(.у) - заданными граничными условиями.

И при использовании метода перемещений, и при использовании метода напряжений решение представляется в виде разложения в ряд по заданным функциям. В подобных случаях эффективность решения зависит от свойств используемой системы функций. В настоящей работе предложен новый способ построения системы ортогональных функций, заданных на произвольном многозамкнутом контуре. Ввиду принципиальной важности этого вопроса он выделен в отдельный параграф.

Этот способ основан на классическом методе разделения переменных Фурье. Решение уравнений анизотропной безмоментной оболочки в перемещениях

дК

д* (Ю)

ад-и /а2и аЧЛ д „ди д (ди дЫ° ?—7+а-+—- +—с—+—/л—+— +—-+——+рг =0,

дг~ дг ) & дг й? дг) &

С—+£И-+ ^ +—+ =0.

дг~ удздг дг ) &

ищется в виде и(г, s) = [/(г)(р(з), ^/(г)ф(х). Подстановка

этих выражений в (10) приводит к четырем уравнениям относительно функций и, V, (р и ц/ , из которых наибольший интерес здесь представляет следующее уравнение:

(£ф')' +Л2Д'ср = 0 (11)

Это уравнение вместе с соответствующими граничными условиями представляет собой краевую задачу на собственные значения - задачу Штур-ма-Лиувилля. Как известно, эта задача имеет бесконечное множество решений: собственных функций и соответствующих собственных значений: А*

(п = 1,2,...,оо). Причем эти собственные функции образуют полную ортогональную систему:

IЪ тФп

риф„А= (12)

К» т = п

Для последующего применения не менее важно то, что для данного уравнения ортогональны не только собственные функции, но и их производные:

О тФп

Ар»= 2 (13)

о». =Я„а.„ т = п

Л ЯП

Если в качестве функций разложений (1) использовать собственные функции и их производные:

пп - с (14)

к= I >1=1

то система (3), превращается в систему несвязанных уравнений

+ «Л')]+И + =0, (и = 0,1,2,...);

аЛат{и:+а„У;)+{д°„)+д„= 0, (и = 1,2,...); (15)

где с„„ = аХа„„, ¿т = а2„Л2пат,

ат„ = Ь„„ = ст„ = (1Я„ = 0 при /и* и; = 0; Таким образом, использование собственных функций уравнения (11) в разложениях (14) позволяет получить точное решение в рядах задачи для анизотропной цилиндрической оболочки.

Конический безмоментный отсек. Для случая слабой конусности получены уравнения в перемещениях по методу В.З.Власова. Так же как и для цилиндрической оболочки наиболее эффективно использование ортогональных функций. Для функций разложения вида (14) в этом случае получены решения:

1/0=Я,А>* + Св; С/, = 4^- + Я,Л01п* + С,;

, А, . ) (16)

и ' ■ 2 к у ^ ,

(г = 1,2,...; а = 1,2.....М)

где константы интегрирования определяются из кинематических граничных условий на торцах оболочки:

Т.аииМ = ^Й0фЛЛ; Е'-„Л(0) = \ifnhds-, 1 »

1 " 12

Для оболочки произвольной конусности получено решение по методу напряжений. Оболочка считается ортотропной. Торцы могут быть скошены (рис.2). Напряжения представляются в виде:

сг = -

Л2

т г

Р=I

(17)

Рис.2. Конический отсек

точно удовлетворяющем уравнениям равновесия безмоментной конической оболочки. Здесь (рг - заданные функции контурной координаты, отсчитываемой по линии пересечения конической поверхности со сферой единичного радиуса, а,,- неизвестные

коэффициенты, Ф, = аг = + ^

о ™ 2

Дня матрицы жесткости получено выражение вида К = СГН~'С, где элементы матриц С и Н представляют собой контурные интегралы от заданных функций разложений.

Также в работе представлены решения, полученные по полубезмомент-ной теории Власова для отсеков цилиндрической и слабоконической оболочек.

Кроме того, приведены матрицы жесткости для осесимметричных и циклически симметричных конструкций: цилиндрических и конических круговых отсеков, сферических днищ и поясов, циклически симметричных ферм, тонкостенных шпангоутов (рис.3).

Рис.3. Осесимметричные и циклически симметричные отсеки

Для оболочек получены решения по безмоментной теории, теории краевого изгиба и моментной теории оболочек. Для построения матриц жесткости круговых шпангоутов использована теория криволинейных стержней Джанелидзе.

При построении матриц инерции отсеков наиболее строгий подход заключается в использовании полученных выше решений для перемещений. В случае, когда для отсека используется метод напряжений, перемещения непосредственно не определяются. В этом случае для определения перемещений надо использовать формулы Чезаро - интегралы уравнений Коши. Эта работа проделана, получены соответствующие формулы.

Однако для определения кинетической энергии нет необходимости использовать аппроксимации той же точности, что и для потенциальной. Использование линейной интерполяции перемещений вдоль образующей дает вполне достаточную точность. В этом случае элементы матрицы инерции определяются в виде интегралов по контуру от заданных функций разложения перемещений.

Здесь приведены результаты расчета собственных колебаний двух конструкций: прямого кессона (рис.4) и цилиндрической подкрепленной панели (рис.5). Результаты сравниваются с результатами МКЭ.

№ Вид МО без учета де- МО с учетом де- МКЭ по Тимо-

тона формаций сдвига формаций сдвига шенко

1 изгиб 860.7 768.9 765.9 865.1

2 кручение — 1842 1842 —

3 изгиб 5244 3246 3142 5422

4 кручение — 5654 5638 —

5 изгиб 14120 6879 6616 15180

Рис.5

Эксперимент МО МКЭ (п=198)

139 149 123

{г 250 249 251

fз 368 - 345

и 558 549 551

и 598 609 578

3. Ассемблирование

В третьей главе рассмотрены вопросы построения общей расчетной модели конструкции JIA и решения полученных уравнений.

Перспективы метода отсеков в первую очередь связаны с возможностью совместного использования этого метода с МКЭ. В этой работе предложена процедура сопряжения конечно-элементной модели с отсеками. На рисунке 6 схематически изображены слева часть конструкции, описываемой МКЭ, справа - по методу отсеков.

В модели МКЭ перемещения по линии сопряжения моделей определяются перемещениями и поворотами

всех узлов на границе: U^ = {и,, v,, м>,, .9,, , }г (/ = 1,2.....N). В методе

отсеков перемещения на границе определяются разложениями

v(y)= ^^Ч^СО- Условие совместности перемещений на границе фактически

J-1

эквивалентно наложению дополнительных связей на перемещения. Для вектора узловых перемещений на границе U и вектора обобщенных перемещений метода отсека q получено матричное соотношение:

U = j«J = Oq, (17)

где Q - матрица, отображающая формы перемещений на пространство узловых перемещений. Выделяя из вектора U п «опорных» степеней свободы f,, для остальных получим 6N-n уравнений связи вида:

^»ОЛ-'Г, (18)

Для задания таких связей в большинстве конечно-элементных программных комплексов предусмотрены стандартные средства. Например, в комплексе NASTRAN для этого используется статья данных МРС (Multipoint Constraint).

Рис.6

С использованием этой методики был выполнен расчет напряженно-деформированного состояния двух модельных конструкций и кессона стреловидного крыла (рис.7)

Рис.7

Для корневой части конструкции во всех случаях использована конечно-элементная модель, а для остальной части крыла были опробованы три варианта: конечно-элементная модель, метод отсеков и балочная модель с использованием гипотезы плоских сечений. Конструкция нагружалась крутящим моментом на свободном конце. Сравнение результатов показывает, что полностью конечно-элементная модель и модель МКЭ с методом отсеков дают почти совпадающие результаты. В то время как модель МКЭ объединенная с балкой дает существенные расхождения.

На рисунке 8 показано сравнение полученных результатов для стреловидного кессона. Приведены эпюры продольных напряжений верхней панели по линии сопряжения корневого треугольника с прямым кессоном.

Продольные напряжения у стыка

Координата, мм Рис.8

В диссертационной работе разработана приближенная методика учета местных податливостей. Некоторые части конструкции крепятся в узлах, которые в расчетной модели могут рассматриваться как точки или локальные площадки. В этих узлах возникают сосредоточенные реакции. Деформированное состояние в таких местах является весьма сложным. Для описания НДС в этом случае требуется использовать большое количество неизвестных.

Однако, следует заметить, что если вклад локальных деформаций в потенциальную энергию существенен, то кинетическая энергия локальных перемещений существенно меньше кинетической энергии, соответствующей общим, «балочным» формам деформации. Это дает возможность значительно понизить размерность общей модели конструкции.

Вектор перемещений q представляется в виде двух составляющих

векторов: вектора основных обобщенных координат ц, и вектора обобщенных координат, подлежащих исключению, q2.

М21Ч, +М12д2+К11Ч,+К12Ч2 =0,,

(19)

М214, + М22ч2 + К21я, + К22Ч2 = <}2.

Вектор я2 составлен из обобщенных координат, представляющих местные деформации. В этом случае для локальных деформаций можно принять квазистатическую аппроксимацию:

и во втором уравнении (19) пренебречь инерционными силами

Следует отметить, что при таком способе инерция локальных перемещений приближенно учитывается.

В случае, когда инерцией, связанной с локальными деформациями, можно пренебречь, локальную податливость можно учесть значительно проще с помощью эквивалентных невесомых пружин.

Для определения коэффициентов жесткости эквивалентных пружин, наряду с сосредоточенными реакциями в узле, в этом же поперечном сечении прикладываются уравновешивающие их распределенные по контуру нагрузки. Распределение этих нагрузок должно точно соответствовать балочной теории.

Далее на основании уточненной расчетной модели решается статическая задача для определения перемещений в точках приложения сосредоточенных сил при действии на конструкцию самоуравновешенных нагрузок. Полученные в результате расчетов коэффициенты податливости используются для определения жесткостей эквивалентных пружин.

После того как модель конструкции составлена, требуется решить одну из следующих задач: для задач статики - систему линейных уравнений, для задач динамики, либо задачу о собственных значениях, либо дифференциальную задачу Коши. Для решения этих задач известно множество апробированных методов. Однако в работе приводится описание двух новых методов.

Рис.9

Метод наращивания базиса предназначен для решения алгебраической задачи на собственные значения Ах = Лх и основан на следующем наблюдении. Пусть У некоторая ортонормированная прямоугольная матрица, которая в результате вычисления матричного выражения УГАУ дает диагональную матрицу. Дополним матрицу У единичным вектором Г ортогональным столбцам У. Тогда матрица ЕГАЕ имеет следующую характерную структуру:

В = Е АЕ :

"Л 0 . . 0 а\

0 Ъ . 0 а2

0 0 . • К т «т

а, а2 ■■ <*т У.

Е =

(21)

Характеристический полином такой матрицы-стрелки имеет простой вид и позволяет эффективно организовать поиск его корней. При этом на каждом очередном шаге в значительной мере используются результаты вычислений предыдущего шага. Определив собственные вектора х, (1 = 1,2,...,/и +1)

редуцированной матрицы В , с помощью обратного преобразования У = ЕХ

получаем матрицу У, которая обладает теми свойствами, что и исходная матрица У, но имеет на один столбец больше. Здесь X - матрица, столбцами которой являются вектора х,. Процедура повторяется до достижения размерности исходной задачи.

Метод имеет следующие достоинства: во-первых, в отличие от большинства известных алгоритмов наличие кратных собственных значений не затрудняет, а ускоряет вычисления, во-вторых, алгоритм допускает распараллеливание процесса: на каждом шаге все собственные значения могут вычисляться независимо друг от друга.

В таблице приводится сравнение метода по трудоемкости с другими известными методами.

ОЯ-алгоритм «3.3 и3 Аорз

Метод наращивания «13.6 п1 Аоря

Метод последовательностей Штурма * 20и3Аорэ

Метод вращений Якоби (30 - 40)и3 ДорБ

Для интегрирования уравнений движения предложен неявный алгоритм линейного ускорения с использованием метода продолжения по наилучшему параметру. Исходная задача

и = Г(*,и,й), и(/0)=и0, и((0)=у0. (22)

с помощью введения параметра длины дуги интегральной кривой

с!Х = у/1 + и й + { { Ж (23)

сводится к задаче

= 1'{(1,и,\\ и' = /V, /' =

+ + ' (24)

и(о) = и0, у(0)=у0> /(0) = /„ которая имеет размерность на единицу больше исходной, но зато обладает лучшими спектральными характеристиками, что позволяет повысить устойчивость вычислительного процесса.

Для численной реализации предложен неявный алгоритм линейного ускорения:

+—',♦> =>/ +—(',+С,) >

+(зс,+^1+1].

Этот алгоритм реализован в программе ДИНАР, описанной в пятой главе.

4. Управление деформациями и динамическими характеристиками

конструкций

Перспективным направлением в аэрокосмической технике является управление деформированной формой конструкции с помощью активных элементов. В общем случае значения управляющих воздействий определяются уравнением:

ЦК + ВГ,С2 = /-Ь(К + В)-|д°, (25)

где Z - вектор управляющих воздействий, К - матрица жесткости конструкции, В - матрица неконсервативных сил, (}0 - вектор обобщенных сил, /(г) - вектор, представляющий заданное движение системы, Ь и С -постоянные прямоугольные матрицы (1л1 = /, О = ), я - вектор обобщенных перемещений системы.

ц(г)=Цо(1-2/Ь)

Рис.10

В работе проведено численное исследование на примере модельного кессона (рис.10) и показана возможность управления деформированной формой крыла с помощью активных элементов типа расчалок. Такое управление позволяет влиять на аэродинамические и аэроупругие свойства крыла, адаптируя его к различным режимам полета.

Для расчетов использован метод конечных элементов. На следующем рисунке показана деформированная форма кессона при включении расчалок в

третьем отсеке. Результаты расчетов представлены в виде:

где а1 - угол закручивания в / -том сечении, Т] - усилие в у-той расчалке.

Для регулируемых приращений расчалок получены выражения:

<5У = -Уа,,Т,--—Т,

• /-) Ч 1 Г7С

ЕР,

Рис.11

Разработана методика решения связанной задачи по определению управляющих усилий в расчалках для упругого крыла с учетом влияния деформаций на распределение аэродинамических нагрузок.

Вектор подъемных сил в расчетных сечениях крыла большого удлинения определяется как

(26)

где А - матрица безразмерных коэффициентов, определяемых по методу дискретных вихрей, предложенному Н.Е.Жуковским и детально разработанному в трудах С.М.Белоцерковского; а0 - вектор установочных

углов атаки; Да - приращения углов атаки, обусловленные деформацией крыла.

Уравнения равновесия упругого крыла:

КЧ = <3 + СГ, (27)

где К - матрица жесткости, я - вектор обобщенных координат, - вектор обобщенных сил, Т - вектор управляющих усилий, в - прямоугольная матрица. Для построения уравнений (27) может быть использован метод отсеков, либо метод конечных элементов. Связь углов скоса потока Да и обобщенных координат определяется геометрическими соотношениями:

Да = Сц, (28)

Уравнения (26) и (27) с учетом (28) позволяют определить влияние управляющих воздействий на величину и распределение аэродинамической нагрузки.

5. Программы и примеры расчетов

В пятой главе описываются программы, реализующие некоторые из приведенных алгоритмов.

Программа СЖТПЖ предназначена для построения ортогональных функций на произвольном многозамкнутом контуре. Находятся собственные функции уравнения

(р<р'} + с^С' - а~~

<р + Л2В'(р = 0, (29)

которое является обобщением упоминавшегося ранее уравнения Штурма-Лиувилля для случая слабоконической оболочки. Для программной реализации используется вариационный эквивалент уравнения (29):

&1{(р} = З^р^Ур'2 - У - Х2В'(вУ = 0 (30)

Каждый участок контура разбивается на конечные элементы. Для конечных элементов принята линейная аппроксимация. Программа разработана в среде МАТЬАВ и оснащена несложным пользовательским интерфейсом (рис.12), позволяющем в диалоговом режиме задавать характеристики контура и просматривать результаты. Здесь в левом графическом окне показана эпюра 4-й собственной функции, а в правом - ее производной.

Рис.12

Программа ДИНАР разработана в ходе работ по контракту с центром аэрокосмических исследований СТА (Бразилия) в 1996 году. Программа была использована для расчета динамической реакции при старте, разделении ступеней и порывах ветра четырехступенчатой ракеты-носителя с четырьмя боковыми твердотопливными ускорителями и космическим аппаратом (рис.13), а также для расчета собственных колебаний. Результаты этих расчетов были представлены в научно-техническом отчете для СТА в 1997 году.

С of )

с—нн ( У ^ )

Рис.13

Программа также была снабжена пользовательским интерфейсом, разработанным в среде Visual Basic.

ДИНАР - Без имени

Файл Конструкция Нагрузка Расчет Просмотр

Рис.14

Было выполнено тщательное тестирование программы. Здесь приведены результаты двух таких тестов. Первый - упругий стержень с осциллятором рис.15). Выполнен расчет собственных колебаний и динамической реакции на единичный импульс (рис.16), результаты сравниваются с точным решением.

а)

ЕР = 800, т = 1

к = 800

-- /

/ = 1 -*

/л = 0.25

Рис.15

Частоты собственных колебаний упругого стержня с осциллятором

№ тона Точное решение 4 отсека 8 отсеков 16 отсеков 32 отсека 64 отсека

1 52.5477 52.750 52.581 52.556 52.550 52.548

2 100.055 103.67 100.76 100.19 100.05 100.02

3 182.5176 204.25 187.48 183.75 182.83 182.59

4 269.6636 329.05 285.78 273.67 270.66 269.91

5 357.719 403.15 395.02 367.09 360.05 358.30

Графики перемещений концов стфжня и приведенной массы

Рис. 16

Второй тест - связка из центрального и четырех боковых стержней с осциллятором (рис.17). Все стержни одинаковые. Выполнен расчет собственных колебаний и динамической реакции на единичные импульсы. Результаты сравниваются с решением по методу Ритца.

Тест 2. Связка из пяти упругих стержней Рис.17

Собственные частоты поперечных колебаний (гц)

№ тона метод Ритца (1 вариант) метод Ритца (2 вариант) 4 КЭ 8 КЭ

1 0.8038 0.79608 0.75705 0.75396

2 0.82447 0.82243 0.82602 0.82159

3 1.5254 1.5156 1.5598 1.5177

4 1.9021 1.8790 1.8900 1.8494

5 2.5453 2.4940 2.4136 2.1972

На рисунке 18 показаны графики радиальных реакций в связях нижнего пояса в зависимости от времени при действии двух последовательных единичных импульсов, приложенных сначала к первому, а затем второму боковому телу.

— 3) — 4)

Рис.18

Программа DINAMO - первая программа по методу отсеков, разработанной автором. Программа предназначена для расчета собственных колебаний тонкостенных конструкций JIA. Программа была использована для расчета

собственных колебаний двух агрегатов многоразового орбитального комплекса «Буран», внешнего элевона крыла (рис.19) и сгворки ОПГ (рис.20).

Рис.19

№ тона Расчет Эксперимент

1 Вращение 13.6 Вращение 10.6-12.72

2 Кручение 24.0 Кручение 23.6

3 Изгиб+кручение 41.5

4 Изгиб + кручение 57.8 Изгиб 57.5

5 Изгиб + кручение 72.7

Рис.20

Заключение

Работа посвящена вопросам построения математических моделей упругих конструкций ЛА. Рассмотрено построение матриц жесткости и инерции для составляющих частей конструкции - отсеков, составление общих уравнений движения конструкции и решение этих уравнений.

Получены следующие основные результаты:

1. Получены решения и построены матрицы жесткости для ряда типовых отсеков. Рассмотрены отсеки в виде цилиндрических и конических анизотропных оболочек с произвольным многозамкнутым контуром поперечного сечения. Для цилиндрических и слабоконических оболочек получены точные решения в рядах по безмоментной теории. По полубезмоментной теории получены приближенные решения по методу сил и методу перемещений. Построенные решения используются для построения матриц жесткости и инерции отсеков и последующего их включения в общую расчетную схему конструкции.

2. Разработана методика построения комбинированной модели, использующей для части конструкции метод конечных элементов, а для части -численно-аналитические модели, основанные на различных вариантах теории оболочек. Для реализации этой методики разработаны вспомогательные программы, выполнены расчеты.

3. Разработана методика приближенного учета местных податливо-стей, позволяющая учесть локальные особенности напряженно-деформированного состояния без существенного увеличения размерности расчетной модели конструкции ЛА.

4. Исследована возможность управления деформациями упругого крыла с помощью внутренних управляющих элементов - расчалок. С помощью таких элементов можно управлять аэродинамическими и аэроупругими свойствами крыла, адаптируя его к различным режимам полета.

5. Разработаны алгоритм и программа построения системы ортогональных функций для многозамкнутого контура произвольной формы. Такие системы функций позволяют'получать точные решения в рядах для оболочеч-ных отсеков. Их использование обеспечивает высокую точность результатов и, одновременно, минимизирует трудоемкость вычислений.

рукций, оснащены пользовательским интерфейсом для пре- и постпроцессорной обработки данных.

7. Для решения симметричной алгебраической задачи на собственные значения (задачи о собственных колебаниях конструкции) предложен метод наращивания базиса. Этот метод эффективен при решении задач с кратными собственными значениями и допускает распараллеливание вычислительного процесса.

8. Для интегрирования дифференциальных уравнений движения упругих систем предложен вариант алгоритма линейного ускорения с использованием метода продолжения по наилучшему параметру. Использование метода продолжения по параметру повышает устойчивость вычислительного процесса.

Список основных опубликованных работ по теме диссертации

1. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н. Уравнения колебаний скошенной тонкостенной конструкции типа крыла переменной стреловидности // Прочность элементов конструкции летательных аппаратов. М.: МАИ, 1982. -С.65-70.

2. Тютюнников Н.П., Данченко С.Ю.Построение точного решения однородной статической задачи для отсека произвольной цилиндрической оболочки // Тезисы докладов II Всесоюзного семинара молодых ученых. - Казань,

1985. - С.222

3. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н., Данченко С.Ю. Построение матрицы жесткости отсека произвольной цилиндрической оболочки // Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. - КуАИ,

1986. - С.10-17

4. Тютюнников Н.П. Определение частот и форм собственных колебаний тонкостенной слабоконической конструкции // Прочность, устойчивость и колебания элементов конструкций JIA. - М.: МАИ, 1986. - С.42-46

5. Тютюнников Н.П. Построение матрицы жесткости конического подкрепленного отсека // Расчетные и экспериментальные исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций JIA. - М.: МАИ, 1987. - С.52-58

6. Тютюнников Н.П., Данченко С.Ю. Расчет колебаний подкрепленной цилиндрической панели по методу отсеков // В сб «Проблемы механики конструкций ЛА», М.: МАИ, 1992. - с.30-33.

7. Тютюнников Н.П. Построение матрицы жесткости отсека со слоистыми анизотропными панелями // Тезисы докладов II Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». - М.: Издательство «Латмэс» МГАТУ, 1996. - С.107-108

8. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н., Кочемасова Е.И. Уравнения для расчета деформаций и колебаний тонкостенных цилиндрических конструкций из композиционных материалов с термоупругими пьезоэлектрическими слоями // Механика композиционных материалов и конструкций. - Изд. ИПРИМ РАН, апрель-июнь 1996г., т.2, № 2. - С.49-63.

9. Тютюнников Н.П. Уравновешивание матриц жесткости в методе отсеков // Вестник Московского авиационного института. - 1997,№1,т.4. - С.65-67.

10. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н., Кочемасова Е.И. Влияние направления укладки армирующих волокон на динамические и аэроупругие характеристики композитного крыла // Сб. трудов научно-технической конференции «Слоистые композиционные материалы-98». Сентябрь 7-12, 1998. Волгоград, 1998. - с.69-70.

11. Тютюнников Н.П., Данилин А.Н., Шалашилин В.И. Расчет собственных колебаний упругих конструкций с варьируемыми параметрами // Вестник Московского авиационного института. - 1999,№1.

12. Данилин А.Н., Тютюнников Н.П. Динамический расчет тонкостенной конструкции при ударных воздействиях /У Вестник Московского авиационного института. - 1999, №2, т.6. - С.37-41.

13. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н., Кочемасова Е.И. Деформация композитных цилиндрических оболочек с произвольным контуром поперечного сечения // Международный научно-технический журнал «Конструкции из композиционных материалов». М.: 2000 г., выпуск 2, С. 49-58.

14. Тютюнников Н.П. Численные методы строительной механики: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 2000. - 104 с.

15. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н., Алылебель Айхам Решение в напряжениях для подкрепленных цилиндрических и слабоконических оболочек с произвольным контуром поперечных сечений // Механика оболочек и пластин: Сборник докладов XX Международной конференции по теории оболочек и пластин . - Н. Новгород: Издательство ННГУ им. Н.И.Лобачевского, 2002. - С.319-325

16. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н., Кочемасова Е.И. Решение задачи о деформировании анизотропной безмоментной цилиндрической оболочки //

«Механика композиционных материалов и конструкций», 2002, т.8, №4. -С.447-455

17.Тютюнников Н.П. Построение точного решения для слоистой анизотропной цилиндрической оболочки с произвольным контуром поперечного сечения // Материалы IX международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», Ярополец, 2003 г. - С.267-272.

18. Тютюнников Н.П., Шалашилин В.И. Об одном алгоритме решения симметричной задачи на собственные значения // Вестник МАИ, 2003, т. 10, № 1. -с.55-61.

19. Тютюнников Н.П. Расчет напряженно-деформированного состояния тонкостенной конструкции, нагруженной системой сосредоточенных сил // Вестник МАИ, - 2003, №2, т.Ю - с.68-73.

20. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н. Управление круткой упругого кессонного крыла с помощью внутренних регулируемых расчалок // М.: Вестник Московского авиационного института. 2005 г. т.12, № 3, с. 21-29.

21. Тютюнников Н.П., Кочемасова Е.И., Шклярчук Ф.Н. Расчет напряженно-деформированного состояния многослойных анизотропных оболочек по методу Власова //Механика композиционных материалов и конструкций, том 11, № 2,2005. - с. 266-275.

1 72 45

РНБ Русский фонд

2006-4 13473

Множительный центр МАИ

Зак. от2/- 03 200^'г. Тир. /00 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора технических наук, Тютюнников, Николай Петрович

Введение.

Глава 1. Расчетные модели тонкостенных конструкций.

§ 1. Краткий обзор.

1.1. Стержневые модели.

1.2. Технические теории оболочек.

1.3. ЭВМ - появление, развитие, значение для численного. моделирования

1.4. Численные методы.

§ 2. Численно-аналитические методы. Метод отсеков. ф

Глава 2. Типовые отсеки.

§ 3. Цилиндрические безмоментные отсеки.

3.1. Основные уравнения.

3.2. Метод перемещений.

3.3. Метод напряжений.

3.4. Сведение двумерной задачи к одномерной.

§ 4. Ортогональные функции.

4.1. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля.

4.2. Сведение задачи к системе несвязанных уравнений.

4.3. Пример использования ортогональных функций.

4.4 Контур с кусочно постоянными жесткостями.

4.4.1. Характеристическое уравнение.

4.4.2. Расчет прямоугольного кессона с анизотропными панелями.

§ 5. Конические безмоментные отсеки.

5.1. Метод перемещений.

5.2. Метод напряжений.

5.2.1. Конический отсек.

5.2.2. Слабоконический отсек.

§ 6. Решение в напряжениях для полубезмоментной. цилиндрической оболочки

§ 7. Конические полубезмоментные отсеки. Расчет. слабоконических оболочек методом В.З.Власова

§ 8. Шпангоуты и нервюры.

§ 9. Циклически симметричные конструкции.

9.1. Круговая коническая оболочка.

9.2. Сферическая оболочка.

9.3. Тонкостенный круговой шпангоут.

9.4. Циклически симметричная ферма. ф 9.5. Пример расчета составной конструкции под действием. системы сосредоточенных сил

§ 10. Матрицы масс типовых отсеков.

Глава 3. Ассемблирование.

§11. Применение МКЭ. Суперэлементы.

§ 12. Сопряжение моделей.

12.1. Сопряжение отсека и конечно-элементной модели.

Ф 12.2. Пример расчета с использованием комбинированной. модели

§ 13. Моделирование местных податливостей.

13.1. Исключение части обобщенных координат.

13.2. Редуцирование системы за счет преобразования. обобщенных координат

13.3. Моделирование местных податливостей. эквивалентными пружинами

13.4. Поперечные колебания корпуса с учетом местных. податливостей в узлах крепления переходной фермы

13.4.1. Потенциальная и кинетическая энергии отсеков. в обобщенных координатах

13.4.2. Учет податливости конструкции вблизи узлов. фермы

13.4.3. Пример расчета.

§ 14. Решение уравнений.

14.1. Метод наращивания базиса для решения алгебраической . 192 задачи на собственные значения

14.2. Использование метода продолжения по параметру для. интегрирования уравнений движения упругой конструкции

Глава 4. Управление деформациями и динамическими. характеристиками конструкций

§ 15. Уравнения управления деформированной формой.

§ 16. Пример расчета кессонного крыла с внутренними расчалками.

16.1. Расчетная модель кессона крыла.

16.2. Определение углов закручивания.

16.3. Определение управляющих усилий в расчалках.

16.4. Определение регулируемых приращений длин расчалок.

16.5. Связанная задача определения аэродинамических. нагрузок на деформируемое крыло с управляющими элементами

Глава 5. Программы и примеры расчетов.

§ 17. Программа генерации ортогональных функций (ОКТПЖ).

17.1. Дискретизация задачи.

17.2. Структура исходных данных.

17.3. Интерфейс программы и примеры расчета.

§ 18 Программа расчета свободных и вынужденных колебаний. многомодульной тонкостенной конструкции (ДИНАР)

18.1. Назначение программы. Основные определения и. обозначения

18.2. Элементы математической модели конструкции.

18.2.1. Отсеки.

18.2.2. Упругие связи.

18.2.3. Осцилляторы.

18.3. Построение расчетной модели конструкции.

18.4. Пользовательский интерфейс.

18.5. Расчет собственных и вынужденных колебаний. конструкции

§ 19. Расчет конструкции крыла малого удлинения.

19.1. Потенциальная и кинетическая энергия составного. тонкостенного крыла малого удлинения

19.2. Применение метода Ритца.

19.3. Решение уравнений по методу полос.

§ 20. Программа расчета частот и форм собственных колебаний. составных тонкостенных конструкций (DINAMO)

20.1. Назначение программы. Основные определения и. обозначения

20.2. Расчет колебаний элевона.

20.3. Расчет колебаний створки ОПТ.

Введение диссертация по механике, на тему "Разработка методики решения задач статики и динамики составных тонкостенных аэрокосмических конструкций"

Современные самолеты, летательные и космические аппараты являются сложными и дорогостоящими системами. На этапе проектирования таких изделий необходимо рассматривать различные варианты конструктивно-силовой схемы, проводить оценку их прочностных, упруго-динамических и аэроупругих свойств.

Появление электронной вычислительной техники и, в частности, технологический прорыв 90-х годов ХХ-го века привели к качественному скачку в моделировании деформируемых тел. Прогресс в этой области в первую очередь связан с двумя причинами:

- развитием теории механики деформируемого твердого тела (МДТТ);

- совершенствованием технических средств (как ЭВМ, так и испытательного оборудования).

Оба фактора взаимосвязаны. Так появление новых вычислительных возможностей (повышение быстродействия, увеличение емкости носителей информации, совершенствование устройств отображения) влечет, развитие новых алгоритмов и методов, позволяющих эффективно использовать новые ресурсы. С другой стороны появление метода конечных элементов (МКЭ), например, было одним из серьезных стимулов к созданию более быстрых и мощных компьютеров.

В области моделирования упругих деформируемых конструкций в настоящее время очевидный приоритет принадлежит МКЭ. Созданы, успешно используются и развиваются десятки и сотни конечно-элементных программ. Точнее эти программы называть программными комплексами или, согласно зарубежной терминологии, IDE (Integrated Development Environment - интегрированная среда разработки). Эти программы обладают высокой универсальностью и используются для решения задач практически всех дисциплин МДТТ (и не только для них).

Однако существует точка зрения, которой придерживается и автор настоящей работы, что, при всех несомненных достоинствах МКЭ, этот метод не решает всех проблем численного моделирования упругих деформируемых систем. При всей своей эффективности и универсальности метод конечных элементов все-таки является методом «грубой силы». Необходимая точность расчетной модели достигается путем измельчения конечно-элементной сети, что приводит к системе разрешающих уравнений с большим количеством неизвестных. При расчете небольших конструкций или узлов это не является серьезным препятствием. Особенно, если учесть значительно возросшие за последнее десятилетие быстродействие и память вычислительных машин. Но при использовании МКЭ для расчета конструкций планера самолета или корпуса летательного аппарата размерность модели достигает 104-105 (см, например [34]). Впрочем, и эта оценка выглядит заниженной. Расчеты становятся крайне трудоемкими. Много времени требует подготовка исходных данных. При этом велика вероятность внесения ошибок. Поэтому при использовании МКЭ необходимо использовать альтернативные расчетные модели, хотя бы и менее точные. В противном случае достоверность конечно-элементных результатов остается проблематичной [161].

Между тем еще в докомпьютерный период были разработаны многочисленные математические модели, обладающие высокой точностью, но только для узкого класса конструкций. Это, например, балочная модель для конструкций большого удлинения, полубезмоментная теория В.З.Власова для цилиндрических оболочек с произвольным контуром поперечного сечения, теория краевого эффекта для описания местного изгиба и т.п. Однако в настоящее время эти модели практически не используются. Объясняется это не недостатками моделей, а тем, что для решения таких задач уже имеются готовые к использованию конечно-элементные программные комплексы. Между тем для численно-аналитических методов, как правило, в лучшем случае сформулированы методики расчета, либо разработаны вычислительные программы исследовательского характера.

Тем не менее, практическое использование упомянутых аналитических моделей представляется перспективным направлением. Благодаря использованию точных и приближенных аналитических решений эти модели позволяют получить разрешающие системы значительно меньшей размерности, чем в МКЭ. При этом получаемые результаты оказываются, по крайней мере, не менее точными. Проблема заключается в том, что до сих пор алгоритмы и программная реализация этих подходов основном направлены на решение частных задач. Наиболее эффективным представляется совместное использование МКЭ и численно-аналитических методов. Однако пока что эта возможность мало исследована. В настоящей работе предпринята попытка, в какой то мере, восполнить этот пробел.

Диссертационная работа посвящена использованию метода отсеков для решения задач динамики упругих конструкций летательных аппаратов. Исследования по этой тематике автор начал под руководством профессора Ф.Н.Шклярчука, который является непосредственным руководителем и участником почти всех последующих работ автора.

Цель работы:

- построение моделей (решений и матриц жесткости) для типовых отсеков - подконструкций ЛА;

- разработка методики сопряжения конечно-элементных и численно-аналитических моделей;

- разработка методики приближенного учета локальных податливостей в расчетной схеме конструкции ЛА;

Научная новизна работы состоит в следующем:

- предложен модульный подход к построению математической модели составной конструкции ЛА;

- разработана методика сопряжения численных и аналитических методов в рамках единой модели;

- разработаны алгоритм и программа построения полных систем ортогональных функций для произвольного контура. Эти системы функций используются для получения точных решений уравнений безмоментных цилиндрических и слабоконических оболочек в рядах.

Достоверность научных положений, результатов и выводов основывается:

- на корректности математических моделей;

- на строгости математических решений и оценках их сходимости;

- на сравнении результатов расчета, полученных разными методами, и экспериментальных результатов.

Практическая значимость исследований:

На защиту выносятся:

- метод построения точного решения в рядах для анизотропных цилиндрических оболочек с произвольным контуром поперечного сечения;

- методика и алгоритм построения систем ортогональных функций для произвольного многозамкнутого контура;

- методика учета локальных податливостей при построении общей расчетной схемы ЛА;

- метод решения алгебраической задачи собственных значений для расчета собственных колебаний конструкций ЛА.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

- научно-технической конференции «Слоистые композиционные мате-риалы-98». Сентябрь 7-12, 1998. Волгоград

- семинаре под руководством академика Н.С.Бахвалова 22 ноября 2001 года.

- XX Международной конференции по теории оболочек и пластин . - Н. Новгород, 2002.

- Международной конференции и выставке «Авиация и космонавтика -2003» (Москва, 2003 г.);

В настоящей диссертации можно выделить следующие основные аспекты:

1) построение математических моделей больших систем с использованием модульного подхода;

2) описание анизотропных конструкций;

3) математическое описание конструкций с активными элементами, позволяющими управлять деформированным состоянием.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников.

Заключение диссертации по теме "Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получены следующие основные результаты:

1. Получены решения и построены матрицы жесткости для ряда типовых отсеков аэрокосмических конструкций. Рассмотрены отсеки в виде цилиндрических и конических анизотропных оболочек с произвольным многозамкнутым контуром поперечного сечения. Для цилиндрических и слабоконических оболочек получены точные решения в рядах по безмоментной теории. По полубезмоментной теории получены приближенные решения по методу сил и методу перемещений. Построенные решения используются для построения матриц жесткости и инерции отсеков и последующего их включения в общую расчетную схему конструкции.

2. Разработана методика построения комбинированной модели, использующей для части конструкции метод конечных элементов, а для части - численно-аналитические модели, основанные на различных вариантах теории оболочек. Для реализации этой методики разработаны вспомогательные программы, выполнены расчеты.

3. Разработана методика приближенного учета местных податливостей, позволяющая учесть локальные особенности напряженно-деформированного состояния без существенного увеличения размерности расчетной модели конструкции ЛА.

5. Разработаны алгоритм и программа построения системы ортогональных функций для многозамкнутого контура произвольной формы. Такие системы позволяют получать точные решения в рядах для отсеков оболочек по безмоментной теории. Их использование обеспечивает высокую точность результатов и, одновременно, минимизирует трудоемкость вычислений.

6. Разработаны программы для расчета собственных и вынужденных колебаний составных конструкций на основе метода отсеков. Программы предназначены для расчета многомодульных составных тонкостенных конструкций, оснащены пользовательским интерфейсом для пре- и постпроцессорной обработки данных.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора технических наук, Тютюнников, Николай Петрович, Москва

1. Ададуров P.A. Определение касательных напряжений в тонкостенных конструкциях вблизи заделки // Труды ЦАГИ, № 614, 1947. 14с.

2. Алфутов H.A., Зиновьев П.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.Машиностроение, 1984. -264с.

3. Алшебел Айхам. Модели для расчета нагрузок и оптимизации конструкции самолета с учетом аэроупругости. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М.: МАИ, 2003. - 149с.

4. Амбарцумян С.А. К расчету пологих оболочек // ПММ, т. XI, вып. 5, 1947. -с.527-532.

5. Амбарцумян С.А. К теории анизотропных пологих оболочек // ПММ, т.ХИ, вып. 1, 1948,-с.75-80.

6. Араманович И.Г., Левин В.И. 1966. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1969.-288с.

7. Аугустон М.И., Балодис Р.П., Бардзинь Я.М., Икаунискс Э.А., Кальниньш A.A. Программирование на ПЛ/1 ОС ЕС. М.: Статистика, 1979.-269с.

8. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Мир, 1982.

9. Беляев В.Н. Расчет свободно несущих крыльев // Техника воздушного флота, №№ 7,8,9, 1932. с.609-647.

10. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. Статика М.: Машиностроение, 1977. - 488 с.

11. П.Биргер И.А., Пановко Я.Г. (ред.) Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 1. М.: Машиностроение, 1968. - 832с.

12. Бисплинхгофф Р.Л., Эшли X., Халфмен Р.Л. Аэроупругость. М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. - 800 с.

13. Буньков В.Г. Расчёт на флаттер крыла малого удлинения с помощью метода многочленов.// Тр. ЦАГИ. 1969. - Вып. 1166 - С. 38 - 47.

14. Буньков В.Г. Учёт деформации сдвига при расчёте колебаний крыла малого удлинения методом многочленов.// Уч. записки ЦАГИ. 1972. - Т. 3, № 4. -С. 111-119.

15. Бурман З.И., Аксенов В.М., Лукашенко В.И., Тимофеев М.Т. Суперэлементный расчет подкрепленных оболочек. М.: Машиностроение, 1982.-256 с.

16. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. -М.: Машиностроение, 1988. 272 с.

17. Васильев Д.В. Расчет тонкостенных анизотропных композитных стержней. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. -М.: МАТИ, 2001. 166 с.

18. Власов В.З. Новый метод расчета призматических балок из тонкостенных профилей на совместное действие осевой силы, изгиба и кручения // Вестник ВИА РККА, № 20, 1936.

19. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. М.: Госстройиздат, 1940. -275 с.

20. Власов В.З. Основные дифференциальные уравнения общей теории упругих оболочек, ПММ, т. VIII, вып.2, 1944. с. 109-140.

21. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике. Гостехиздат, 1949.

22. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.-304 с.

23. Галеркин Б.Г. К теории упругой цилиндрической оболочки // ДАН СССР, t.IV, №№ 5-6, 1934.

24. Галеркин Б.Г. Равновесие упругой сферической оболочки // ПММ, т. VI, вып. 6, 1942. с.487-496.

25. Галеркин Б.Г., Перельман Я.И. Напряжения и перемещения в круговом цилиндрическом трубопроводе // Изв. научно-исследов. ин-та гидротехники, т.27, 1940.

26. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552 с.

27. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. - 548с.

28. Гольденвейзер А.Л. Дополнения и поправки к теории тонких оболочек // Сб. «Пластинки и оболочки», Госстройиздат, 1939.

29. Гольденвейзер А.Л. Уравнения теории тонких оболочек // ПММ, т.1У, вып.2, 1940.

30. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: ГТТИ, 1953. -544 с.

31. Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого тела. М.: Наука, 1988. - 232с.

32. Гришанина Т.В., Савушкина А.Ю. Флаттер цельноповоротного стабилизатора с односторонними связями // Вестник МАИ, 2003, т. 10, № 1. с.9-13.

33. Данилин А.Н., Волков-Богородский Д.Б. О неявных методах интегрирования параметризованных уравнений нелинейных динамических систем // Вестник МАИ, 2001, т.8, № 2. с.40-52.

34. Данилин А.Н., Солдаткин А.Н. Вычислительные методы динамики упругих конструкций. М.: МАИ, 1996. - 44с.

35. Демидов С.П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979. - 432 с.

36. Джанелидзе Г.Ю. Теория тонких криволинейных стержней, обладающих в поперечном сечении недеформируемым контуром // ПММ, 1944, т.8, вып. 1. -с. 25-32.

37. Джанелидзе Г.Ю., Пановко Я.Г. Статика упругих тонкостенных стержней. -М.: Гостехиздат, 1948. 208с.

38. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1978. 304 с.

39. Кильчевский H.A. Обобщение современной теории оболочек // ПММ, т. II, вып. 4, 1939.

40. Колосов Г.В. Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости. Юрьев, типография К.Маттисена, 1909. - 188с.

41. Кретов A.C. Исследование напряженно-деформированного состояния тонкостенных стержней методом отсеков // Вопросы расчета прочности конструкций летательных аппаратов, Казань, 1979. С.89-95.

42. Кублановская В.Н. О некоторых алгорифмах для решения полной проблемы собственных значений // Журнал вычислительной математики и математической физики, 1961, 1, № 4. с.555-570.

43. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.-472с.

44. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, тт. 1,2. -Гостехиздат, 1951.-т. 1 476с., т.2 - 544с.

45. Лурье А.И. Исследования по теории тонких оболочек // Труды ЛИИ, № 6, 1937.

46. Лурье А.И. Общая теория упругих тонких оболочек // ПММ, t.IV, вып.2, 1940.

47. Левашов П.Д. Расчет тонкостенных конструкций на основе гибридной схемы методом сил // Прочность и колебания авиационных конструкций, Казань, 1984. С.21-28.

48. Левашов П.Д., Вахитов М.Б. Применение гибридных схем к расчету тонкостенных конструкций методом перемещений // Изв. вузов, Авиац. техника, 1980, № 2. С.30-34.

49. Львин Я.В. Сопротивление оболочек вращения краевым циклическим нагрузкам // В кн. «Расчет пространственных конструкций», вып.7, Стройиздат, 1962. с. 135-161.

50. Матюшев Ю.С., Шклярчук Ф.Н. К расчету цилиндрической оболочки с днищем, сопряженным посредством шпангоута, нагруженного системой сосредоточенных сил // ИВУЗ, Авиационная техника, № 2, 1973. С. 53-59.

51. Матюшев Ю.С., Шклярчук Ф.Н. Коэффициенты податливости цилиндрической оболочки со шпангоутом на краю при нагружении его системой сосредоточенных сил // ИВУЗ, Авиационная техника, 1973, № 3. -с.40-45.

52. Матюшев Ю.С., Шклярчук Ф.Н. Уравнения тонкостенного шпангоута // Прочность, устойчивость и колебания тонкостенных конструкций. М.: МАИ, 1981.-С. 24-28.

53. Мейснер К. Алгоритм многократного объединения при расчете конструкций методом жесткостей // Ракетная техника и космонавтика, 1968, № 11.- с. 176-177.

54. Милн В.Э. Численный анализ. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1951. 292 с.

55. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники. М.-Л.: Гостеоретиздат, 1949.-380с.

56. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи теории упругости АН СССР, 1933.-382с.

57. Муштари Х.М. Об устойчивости круглой тонкой цилиндрической оболочки при кручении // Труды Казан. Авиац. ин-та, № 2, 1934.

58. Муштари Х.М. Некоторые обобщения теории тонких оболочек // Изв. физ.-мат. о-ва при Казан, ун-те, т. XI, серия 8, 1938.

59. Муштари Х.М. Инвариантные уравнения равновесия пограничной зоны упругой оболочки в комплексной форме, ПММ, т.ХП, вып.2, 1948.

60. Новожилов В.В. , Финкелыптейн Р. О погрешности одной из гипотез теории оболочек // ДАН СССР, т.38, №№ 5-6, 1943. с.ЗЗ 1-340.

61. Новожилов B.B. О погрешности гипотез Кирхгофа в теории оболочек // ПММ, т.VII, вып.5, 1943.

62. Новожилов В.В. Новый метод расчета тонких оболочек // Изв. ОТН, 1946, № 1.

63. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиационных конструкций. М., Машиностроение, 1966. - 392с.

64. Образцов И.Ф., Булычев Л.А., Васильев В.В. и др. Строительная механика летательных аппаратов. М., Машиностроение, 1986. - 536с.

65. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высшая школа, 1985.-392с.

66. Одиноков Ю.Г. Напряжения и деформации в тонкостенных конструкциях переменного сечения // Тр. КАИ, 1948, вып.20. С.3-16.

67. Папкович П.Ф. Теория упругости. Л.:, Оборонгиз, 1939. - 640с.

68. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. -М.: Мир, 1983.-384 с.

69. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов A.A. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. Л.: Судостроение, 1979.-287с.

70. Постнов В.А., Тарануха H.A. Использование пространственных конечных элементов в расчетах тонкостенных инженерных конструкций // Тр. XII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин, Ереван, 1980, T.III. С. 157163.

71. Постнов В.А., Тарануха H.A. Метод модуль-элементов в расчетах судовых конструкций. Л. Судостроение, 1990. - 320 с.

72. Пржеменицкий Е.С. Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур // Ракетная техника и космонавтика, 1963, том 1, № 1. с.165-174.

73. Работнов Ю.Н. Уравнения пограничной зоны в теории оболочек // ДАН СССР, т. XLVII, 1945, № 5.

74. Смирнов В.И. О сингулярных решениях волнового уравнения и уравнений упругости (на франц. яз.) М.-Л.: Изд-во АН СССР, Труды сейсмологического института, № 78, 1936 - 30с.

75. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980. - 454 с.

76. Тимошенко С.П. Об устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки. // Известия СПб Политехнического института, t.IV-V, 1905-1906.

77. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. - 444с.

78. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. - 232с.

79. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н. Уравнения колебаний скошенной тонкостенной конструкции типа крыла переменной стреловидности // Прочность элементов конструкции летательных аппаратов. М.: МАИ, 1982. С.65-70.

80. Тютюнников Н.П. Колебания тонкостенных конструкций типа крыла большого удлинения // Тезисы докладов на Гагаринских чтениях 1985г. -М.,1985.

81. Тютюнников Н.П., Данченко С.Ю.Построение точного решения однородной статической задачи для отсека произвольной цилиндрической оболочки // Тезисы докладов II Всесоюзного семинара молодых ученых. -Казань, 1985. С.222

82. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н., Данченко С.Ю. Построение матрицы жесткости отсека произвольной цилиндрической оболочки // Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. КуАИ, 1986. -С.10-17

83. Тютюнников Н.П. Определение частот и форм собственных колебаний тонкостенной слабоконической конструкции // Прочность, устойчивость и колебания элементов конструкций ЛА. М.: МАИ, 1986. - С.42-46

84. Тютюнников Н.П. Построение матрицы жесткости конического подкрепленного отсека // Расчетные и экспериментальные исследования прочности, устойчивости и колебаний конструкций ЛА. М.: МАИ, 1987. -С.52-58

85. Тютюнников Н.П., Данченко С.Ю. Расчет колебаний подкрепленной цилиндрической панели по методу отсеков // В сб «Проблемы механики конструкций ЛА», М.: МАИ, 1992. с.30-33.

86. Тютюнников Н.П. Уравновешивание матриц жесткости в методе отсеков // Вестник Московского авиационного института. 1997,№1,т.4. - С.65-67.

87. Тютюнников Н.П., Данилин А.Н., Шалашилин В.И. Расчет собственных колебаний упругих конструкций с варьируемыми параметрами // Вестник Московского авиационного института. 1999,№1.

88. Данилин А.Н., Тютюнников Н.П. Динамический расчет тонкостенной конструкции при ударных воздействиях // Вестник Московского авиационного института. 1999, №2, т.6. - С.37-41.

89. Тютюнников Н.П. Численные методы строительной механики: Учебное пособие. М.: Изд-во МАИ, 2000. - 104 с.

90. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н., Кочемасова Е.И. Решение задачи о деформировании анизотропной безмоментной цилиндрической оболочки // «Механика композиционных материалов и конструкций», 2002, т.8, №4. -С.447-455

91. Тютюнников Н.П., Шалашилин В.И. Об одном алгоритме решения симметричной задачи на собственные значения // Вестник МАИ, 2003, т. 10, № 1. с.55-61.

92. Тютюнников Н.П. Расчет напряженно-деформированного состояния тонкостенной конструкции, нагруженной системой сосредоточенных сил // Вестник МАИ, 2003, №2, т. 10 - с.68-73.

93. Тютюнников Н.П., Шклярчук Ф.Н. Управление круткой упругого кессонного крыла с помощью внутренних регулируемых расчалок // М.: Вестник Московского авиационного института. 2005 г. т. 12 № 3, с. 21-29.

94. Тютюнников Н.П., Кочемасова Е.И., Шклярчук Ф.Н. Расчет напряженно-деформированного состояния многослойных анизотропных оболочек по методу Власова //Механика композиционных материалов и конструкций, том 11, №> 2, 2005. с. 266-275.

95. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. -М.: Наука, 1970.-564 с.

96. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М. Машиностроение, 1976. - 389с.

97. Уманский A.A. Изгиб и кручение тонкостенных авиаконструкций. -Москва, Оборонгиз, 1939.

98. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960. - 656с.

99. Фейнберг С. К вопросу о построении приближенной теории тонкостенных оболочек произвольного очертания //Сб. «Исследования по теории сооружений», Госстройиздат, 1939.

100. Хайрер Э., Нерсегг С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. - 512с.

101. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999.-685 с.

102. Хейгеман JI., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986. - 448 с.

103. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 224 с.

104. Шатаев В.Г. Расчет многоконтурных тонкостенных конструкций методом отсеков // Изв. вузов, Авиац. техника, 1976, № 2. С. 117-123

105. Шклярчук Ф.Н. Поперечные колебания цилиндрической оболочки с отсеками, частично заполненными жидкостью // Изв. АН СССР, МТТ, № 6, 1980

106. Шклярчук Ф.Н. Динамика конструкций летательных аппаратов. М.: МАИ, 1983.-80с.

107. Шклярчук Ф.Н., Яо Ганн Применение метода Ритца для расчета аэроупругих колебаний тонкостенных крыльев малого удлинения. // М.: Вестник Московского авиационного института. 1999г. Т.6, №1, с. 61-66.

108. Шклярчук Ф.Н., Алшебель Айхам Математическая модель аэроупругости стреловидного крыла для расчета аэродинамических нагрузок // Изв. вузов. Авиационная техника, 2003, № 1. с. 13-18.

109. Argiris J.H., Kelsey S. The analysis of fuselages of arbitrary cross-section and taper // Aircraft Engineering, 1959, Volume 31. pp. 62-74, 101-112, 133-143, 169-180, 192-203, 244-256, 272-283.

110. Argiris J.H., Kelsey S. The analysis of fuselages of arbitrary cross-section and taper // Aircraft Engineering, 1961, Volume 33,34. pp. 71-83, 103-113, 164174, 193-200, 227-238.

111. Aron H. Das Gleichgewicht und die Bewegung einer unendlich dünnen beliebig gekrümmten elastischen Schale // Jurn. Für reine und ang. Math., Bd. 78, 1874.

112. Basset A. On the extension and flexure of thin elastic shells // Phil. Trans. Roy. Soc., vol. 179(A), 1890.

113. Brebbia С.A. The Boundary Element Method for Engineers. Pentech Press, London, Halstead Press, New York, 1978.

114. Cauchy A. Sur l'équilibré et le movement d'une plaque solide // Exercice de mathématique, vol.3, 1828.

115. Cheng Y.K. Finite Strip method in structural Analysis. Oxford: Pergamon Press, 1976.

116. Clebsh A. Théorie de l'élasticité des corps solides, Paris, 1883 (пер. с нем., с коммент. Б. де Сен-Венана с.725).

117. Coleman T.F. and Van Loan С. Handbook for Matrix Computations. SIAM Publications, Philadelphia, PA, 1988.

118. Courant R. Variational Methods for Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations // Bulletin of the American Mathematical Society, Volume 49, Number 1, January, 1943. pp. 1-23.

119. Cruse T.A. and Rizzo F.J. A direct formulation and numerical solution of the general transient elasto-dynamic problem //I, J. Math. Anal. Appl. 22, 244-259 (1968).

120. Ebner H. Die Beanspruchung dünnwandiger Kastenträger auf Drilling // Zeitschrift für Flugechnik und Motorsch., Bd. 24, NN 23-24, 1933.

121. Francis J.G.F. The QR Transformation. Parts I and II // Computer J., 1961, N 4. -pp.265-271, 332-345

122. Gupta K.K. Development of a Finite Element Aeroelastic Analysis Capability. // J. Aircraft. 1996 V. 33. N. 5 - С. 905 - 1002.

123. Hrennikoff A. Solution of Problems of Elasticity by the Framework Method // J. Appl. Mech., 1941. Vol.8. -P. A169-A175.

124. Karman Th. and Christensen N.B. Methods of analysis for torsion with variable twist // Journal of the aeronautical sciences. Vol.11, N 2, p. 110-124, 1944.

125. Karman Th. and Wei-Zang-Chien Torsion with variable twist // Journal of the aeronautical sciences. Vol.15, N 10, p.503-511, 1946.

126. Kellog O.D. Foundations of Potential Theory. Dover, New York, 1953.

127. Kirchhoff G. Vorlesungen über matematische Physik, Bd.l, Mechanik, 1876.

128. Krauss F. Über die Grundgleichungen der Elastiytatstheorie schwachdeformierter Schalen // Math. Annalen, Bd. 101, H.l, 1929.

129. Lanczos C. An Iteration Method for the Solution of Eigenvalue Problem of Linear Differential and Integral Operators // Journal Res. Nat. Bur. Standards, Sect. B 45. pp.139-147.

130. Livne E. Equivalent Plate Structural Modeling for Wing Shape Optimization Including Transverse Shear. // AIAA. J., 1994 V. 32, N. 6. C. 1278-1286.

131. Love A. One the small free vibrations and deformation of thin elastic shell // Phil. Trans. Roy. Soc., vol. 179(A), 1888.

132. Meissner E. Über Elastiyität und Festigkeit dünner Schalen // Viertelschr. d. natur. Ges., Bd.60., Zürich, 1915.

133. Milne-Thomson L.M. The Calculus of Finite Differences. Macmillan & Co, Ltd., London, 1933.

134. Morris J., Head J.W. Lagrangian frequency equations. An "escalator" method for numerical solution // Aircraft Eng, 1942, 14. pp.312-316.

135. Morris J., Head J.W. The "escalator" process for solution of Lagrangian frequency equations // Philos. Mag., 1944, (7) 35. pp. 735-759.

136. Morris J. The escalator process for the solution of damped Lagrangian frequency equations // Philos. Mag., 1947, (7) 38. pp. 275-287.

137. Mustafa B.A.J., Ali R. Prediction of natural frequency of stiffened cylindrical shells and orthogonally stiffened curved panels // Journal of sounds and vibration, 1987, Vol.113, N 2. pp.317-327.

138. Poisson S. Mémoire sur l'équilibré et le movement des corps solides // Paris, Mem. de l'Acad. Sei., vol. 8, 1829.

139. Reissner E. Stress-strain relations in the theory of thin elastic shells // J. Math. Phys.,31, 1952.

140. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C.,Topp L.J. Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures. // Journal of the Aeronautical Sciences, Volume 23, September 1956, Number 9. pp. 805-823,854.

141. Tzong T.J., Sikes G.D., Loikkanen M.J. Multidisciplinary Design Optimization of a Large Transport Aircraft Wing // Aerospace Design Conference, Feb. 3-6, 1992, Irvine, CA., AIAA Paper 92 - 1002.

142. Wagner H. Vendrehung und Kuickung von offenen Profilen Festschrift // 25-Jahre Technishe Hochschuble, 1929.

143. UAI/NASTRAN. Advanced Finite Element System for Structural Analysis and Design. User's Guide for Version 11.8 Universal Analytics, Inc., Torrance, California USA, 1995 - 732pp.