Разработка метода отсеков для расчета колебаний составных осесимметричных тонкостенных конструкций с жидкостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

На правах рукописи

РЕИ ЧЖУНБУМ

РАЗРАБОТКА МЕТОДА ОТСЕКОВ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ СОСТАВНЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ЖИДКОСТЬЮ

Специальности:

01.02.06-«Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры» 05.07.03-«Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

21 НОЯ 2013 005538654

МОСКВА-2013

005538654

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет) »

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

Шклярчук Федор Николаевич

Научный консультант: Тютюнников Николай Петрович,

доктор технических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник Института прикладной механики РАН.

Официальные оппоненты: Балакирев Юрий Георгиевич,

доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник Центрального научно-исследовательского института машиностроения.

Антуфьев Борис Андреевич ,

доктор технических наук, профессор, Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), главный научный сотрудник

Ведущая организация: НИИ специального машиностроения МГТУ

им. Н.Э.Баумана

Защита состоится «И» декабря 2013 года в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.125.05 при ФГБОУ ВПО «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)» по адресу 125993, г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке «Московского авиационного института (национального исследовательского университета)» по адресу 125993, г.Москва, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д.4.

Автореферат разослан « ноября 2013 г. Ученый секретарь —

диссертационного совета ( '— Федотенков Г.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Тонкостенные конструкции с полостями, частично заполненными жидкостью, широко используются в различных областях машиностроения и строительства сооружений.. Это - нефтеналивные суда (танкеры), авто - и железнодорожные цистерны, самолеты, жидкостные ракеты, космические аппараты, аппараты химического производства, нефтехранилища, водонапорные башни, пр. Наличие тяжелой жидкости в подвижных полостях (баках) тонкостенных конструкций оказывает большое влияние на их динамические характеристики и на динамические нагрузки.

Для регулярных тонкостенных конструкций большого удлинения с отсеками, частично заполненными жидкостью, например таких как танкер, крыло и фюзеляж самолета, корпус жидкостной ракеты, при практических расчетах продольных, поперечных и изгибно-крутильных колебаний часто используются балочные модели, в которых относительное движение жидкости в подвижных и упругих полостях моделируется эквивалентными механическими осцилляторами.

Для больших составных осесимметричных тонкостенных конструкций, образованных из тонких упругих оболочек вращения с жидкостью или без жидкости, соединенных между собой упругими шпангоутами с упруго присоединенными к ним грузами, при расчете осесимметричных и неосесимметричных колебаний приходится использовать метод подконструкций (отсеков). Конструкция поперечными сечениями делится на составные части — подконструкций, в качестве которых можно использовать конструктивные модули - подвесные баки и грузы, несущие баки, отсеки различного типа и пр.

Упругодинамические характеристики отдельных отсеков в виде оболочек вращения могут быть определены аналитически (например, для оболочек простой формы и постоянной толщины) или численно (для оболочек сложной формы). Желательно, чтобы эти расчетные характеристики можно было проверить путем сравнения с экспериментальными результатами на отдельных отсеках.

Уравнения динамики составной упругой конструкции получаются путем синтеза упругодинамических характеристик отдельных подконструкций. Метод подконструкций (отсеков) является многовариантным как в плане определения характеристик отдельных отсеков, так и выполнения условий их сопряжения. При этом недостаточно исследованным является вопрос о влиянии на динамические характеристики системы формы поперечных сечений соедини-

тельных шпангоутов и эксцентриситетов их соединения с оболочками. Обычно считается, что кольцевой шпангоут соединяется с оболочками на одной линии или в упрощенном варианте шпангоут заменяется "упругой" линией.

Тема диссертации, посвященной разработке метода отсеков в приложении к динамике составных осесимметричных тонкостенных конструкций с баками, содержащими жидкость, является актуальной. Целью работы является:

- разработка конечно-элементной модели в перемещениях для расчета осесимметричных и неосесимметричных колебаний ортотропных оболочек вращения, частично заполненных жидкостью, с учетом предварительного осесимметрично-го напряженно-деформированного состояния.

- разработка метода отсеков для расчета колебаний составных тонкостенных конструкций в виде оболочек вращения с жидкостью и без жидкости, соединенных круговыми шпангоутами с произвольными поперечными сечениями с учетом эксцентриситетов соединений.

Научная новизна заключается в следующем:

- разработан новый вариант метода конечных элементов (МКЭ) в перемещениях для расчета осесимметричных и неосесимметричных колебаний оболочек вращения, частично заполненных идеальной несжимаемой жидкостью;

- перемещения жидкости в тонком слое, ограниченном узким кольцевым КЭ оболочки, точно удовлетворяют уравнению неразрывности, условию безотрыв-ности на поверхности оболочки, уравнениям движения в радиальном и окружном направлениях и в итоге выражаются через осевое перемещение жидкости, которое аппроксимируется асимптотически "подходящей" функцией радиальной координаты и линейной функцией по толщине слоя;

- получены матрицы присоединенных масс жидкости для осесимметричных и неосесимметричных колебаний оболочки вращения для обобщенных координат ее КЭ-модели (амплитудные значения осевого, радиального и окружного перемещений и угла поворота нормали в меридиональной плоскости);

- представлен алгоритм формирования уравнений колебаний составной осесим-метричной конструкции по методу отсеков с использованием упругодинамиче-ских характеристик отдельных отсеков.

Практическая ценность диссертации состоит в разработанных с необходимыми обоснованиями алгоритмах МКЭ в перемещениях для расчета гидроупругих колебаний ортотропных оболочек вращения (баков, отсеков) и алгоритмов метода отсеков (подконструкций) для расчета колебаний составных осесимметричных тонкостенных конструкций с соединительными шпангоутами.

Алгоритм является эффективным с точки зрения точности и времени вычислений и пригоден для практических расчетов реальных конструкций. Для вычислений необходимы только стандартные программы линейной алгебры матриц.

Достоверность полученных результатов и выводов обосновывается строгостью и общностью математических формулировок и решений, оценками точности численных решений путем сравнения с точными решениями в отдельных случаях и с численными и экспериментальными результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Международных конференциях "Инновации в авиации и космонавтике", 2012 (МАИ, 17-20 апреля 2012 г.); 2013 (МАИ, 16-18 апреля 2013г.); на Международном Х1Х-ом симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" имени А.Г.Горшкова (Ярополец, 18-22 февраля 2013г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 6-ти печатных работах из которых 3- в журналах, рекомендованных ВАК РФ.

Объем работы. Диссертация состоит из введения четырех глав, заключения и списка использованных источников из 129 наименований. Общий объем диссертации 138 страниц машинописного текста, 43 рисунков, 16 таблиц.

Краткое содержание работы

В введении дан анализ современного состояния исследований по теме диссертации. Обсуждаются используемые методы расчета упругих колебаний тонкостенных конструкций с полостями (баками), частично заполненными жидкостью.

Отмечаются ученые, внесшие большой вклад в разработку теории и методов расчета колебаний твердых и упругих тел с полостями, содержащими жидкость: Н.Е. Жуковский, К.С.Колесников, Н.Н.Моисеев, Б.И.Рабинович,

B.В.Румянцев, Р.ЕЛампер, И.А.Луковский, Ю.Г.Балакирев, В.П.Шмаков,

C.БЬкез, Н.М.АЬгашзоп, Н.Р.Ваиег, УЖМИев и др.

Обсуждаются работы, в которых предложены и разработаны различные приближенные, вариационные и численные методы расчета колебаний упругих оболочек с жидкостью: методы Ритца, Бубнова - Галеркина, конечных разностей; коллокаций, конечных и граничных элементов, а также методы сведения пространственных задач о гидроупругих колебаниях оболочек к обыкновенным дифференциальным уравнениям и их численному интегрированию.

Отмечаются решения частных задач гидроупругости для конкретных форм оболочек(в том числе - точные решения), основанные на безмоментной, полубезмоментной и моментной теориях тонких оболочек.

Особое внимание уделяется работам, в которых рассматриваются различные варианты МКЭ для расчета колебаний оболочек с жидкостью и метода подконструкций для расчета больших составных конструкций.

На основании проведенного анализа состояния вопросов, близких к теме диссертации, сформулирована цель исследования. Изложено краткое содержание работы по главам.

В первой главе получены редуцированные уравнения колебаний отсека как подконструкции. Пусть ц представляет вектор обобщенных координат свободного отсека, для которого кинетическая и потенциальная энергии и вариация работы внешних сил, а также уравнения движения, например, на основании МКЭ записываются в виде

Т = Мч, Я = дА = дчт<2;

мч+кч = о. (1)

Перегруппируем вектор я и представим его в виде двух составляющих: - вектор обобщенных координат, представляющих перемещения границ отсека, по которым он соединяется с другими частями конструкции; ци - вектор обобщенных координат, представляющих перемещения внутренних узлов отсека. Тогда

Ч/

м =

мп м12 я II К„ К12

М21 м22 К21 к22

<2/

(2)

Так как масса тонкостенной оболочки мала, то при "медленных" колебаниях отсека в составе конструкции (как системы отсеков), перемещения, характеризуемые вектором цп будем считать квазистатическими. Тогда, полагая М12ч,( »О, М^с], я0, М22ц/7 «О, »0 , будем иметь

д;/=8Ч/, в = -К^К21 (3)

С учетом инерции "квазистатического" движения (3) получим редуцированную систему:

тЛц]Ш,ц„ П^ч] КЧ„ ЗА = 8чт,$\

М, = М11 + М128 + (М128)Г+87'М228, К, =Кп-К12К^К2|. В случае, когда 5 низших собственных частот колебаний закрепленного отсека (при q/ = 0) лежат в диапазоне рассматриваемых частот колебаний составной конструкции в целом, то (3) уточним как

Я/^^+Х/Х, (5)

где fv - нормальные координаты, представляющие движения по я собственным формам колебаний (векторам У,,) закрепленного отсека, которые получаются из решения следующей задачи:

Ч/=0, Я^УБШЮ/; (6)

[К22 = ез1,\„,у = 1,2,3,...

В этом случае выражения Т,П,5А (1) для редуцированной подконст-рукции (отсека) с учетом условий ортогональности собственных векторов У,, записываются в виде:

тЛ 2

(7)

пЛ

2

т„

= К = \1к22ч„ = тХ, м„ = (м12+8гм22)у1„ ^ = у;о„.

Колебания осесимметричной конструкции по одной из гармоник ряда Фурье в окружном направлении в поперечном сечении оболочки вращения или на окружности кольцевого шпангоута характеризуются осевым, радиальным и окружным перемещениями, а также углом поворота нормали в меридиональной плоскости, которые, соответственно, распределяются как г]са%пв,

Уътпв и дсоъпв при п = 0,1,2,—

Амплитудные значения этих функций на контактных окружностях (границах отсека) принимаются за основные обобщенные координаты, образующие вектор ц,.

а)

б)

т

%

т I

ш

М

г) <»

Рис.1

Некоторые отсеки осесимметричной конструкции типа ракеты-носителя показаны на рис.1. Векторы основных обобщенных координат таких отсеков, соединенных с несущим телом в сечении т (рис.1 ,а,б,в) или в сечениях тир (рис.1,гДе), соответственно будут:

Ч,=[4 Пт К Ут]Т; (8)

Ч; = [4 Лт 9т К„ Пр

в случае осесимметричных продольно радиальных колебаний (« = 0) следует опустить Ут и V .

Таким образом для осесимметричных отсеков, как подконструкций, при фиксированном п размерность вектора я, сравнительно невелика; к числу компонент q/ могут добавиться еще некоторые компоненты в других сечениях, если в них присоединяются дополнительные отсеки или подвесные блоки.

Во второй главе предложен оригинальный вариант конечно-элементной модели для расчета колебаний тонких ортотропных упругих оболочек вращения с учетом предварительного осесимметричного напряженно-деформированного состояния с усилиями N0(5) и перемещениями

и0(л1), с целью использования его для расчета колебаний составных обо-

лочек вращения, содержащих жидкость и имеющих дискретно расположенные круговые шпангоуты с поперечным сечением произвольной формы.

Рис.2

Перемещения и деформации срединной поверхности, углы поворота нормали и изменения кривизн оболочки вращения (рис.2) для л-ой гармоники разложения их в ряды Фурье по окружной координате записываются в виде

К Г«? Л = и = 0,1,2,....

I К'

Рис.3

В качестве КЭ рассматриваются узкие кольцевые конические полоски оболочки (рис.3), т.е. меридиан оболочки аппроксимируется кусочно-линейной

функцией; Д = ^ ) + ** (X }

Потенциальная энергия деформации кольцевой конической полоски ортотропной оболочки к-го КЭ шириной 1к с учетом (9) записывается в виде

П1к) = \зпп + 2 В,ъё,ёв + Ввё1 + В Л +

+Д*? + 2О^нкк0 + Дй* + +Л°912 + (10)

где <5'я=2 при п = 0, <5Я=1 при « = 1,2,3,...;

В,,Вд,В1в - жесткости оболочки на растяжение и сдвиг в срединной поверхности, а Д, Д, Д^ - на изгиб и кручение.

Амплитудные значения деформаций и изменений кривизн выражаются через и,\У,У на основании теории Кирхгофа-Лява, а последние аппроксимируются степенными функциями меридиональной координаты 5 с неизвестными коэффициентами ах,аг,...а%:

и = ог,+а25, IV = аъ + аг45 + а^2 + а653, V -ап+а%з. (11)

В результате (10) записывается в матричном виде:

« = Ц}8 (12)

-матрица жесткости к-то КЭ для вектора а. Здесь использовались следующие преобразования (на примере ё1 ):

(Ю о (Ш? -Л т -2 т т г 1

^,1=^3=^.7=^,8=0, ехЛ = \, егА = -&„ е,-6 = -39°з2.

Далее с помощью соотношений

и = + г!Бк, IV = +Т]ск, где = ът<рк, ск = со$фк, осуществляется преобразование к основным обобщенным координатам КЭ, представляющим осевое, радиальное и окружное перемещения и угол поворота 9,-* 9 на его краях ¿-1(5 = 0) и = 1к), рис.2:

Ч(Ч = [&-1 -V, ^ 4 Пк 9к ук]т. . (13)

С учетом (13) потенциальная энергия КЭ (12) записывается в виде

П? = ±Ч<*К< V', Кк) = (14)

Аналогичным образом получается кинетическая энергия оболочки А-го

КЭ:

у;« = 15„я pJt(Ú2 + W2 + V2)Rds = Iq'^M^q™ (15)

Кроме этого, для матрицы инерции получено более простое приближенное выражение при использовании в (15) линейной аппроксимации

Для осесимметричных (п = 0) продольно-радиальных колебаний: F = 0, а7=а8= 0, в выражении q(t) опускаются и, соответственно,

изменяются матрицы G^K^MÓ*'.

В КЭ-модели полюс оболочки вращения, где R —> 0, заменяется круглой пластинкой или отверстием достаточно малого радиуса R0.

Путем суммирования (14), (15) по всем КЭ получаются выражение потенциальной и кинетической энергий оболочки:

no=l-qT Koq, Ta=^qTM0q (16)

В качестве примера рассмотрены собственные осесимметричные (и = 0) и неосесимметричные (п = 1,2,...,8) колебания полусферической оболочки постоянной толщины для трех вариантов граничных условий на краю оболочки, при которых имеются точные решения. Выполнены сравнения результатов расчета по МКЭ с точными значениями для нескольких низших собствен-

R /

ных частот: при различных толщинах оболочки ( СА =100,400,800); при различном числе конечных элементов с одинаковыми длинами образующей (200, 400, 800); при различных радиусах пластинки или отверстия, заменяющих полюс (^о/ =0.02,0.05).

/ с

Результаты расчета для всех рассмотренных вариантов граничных условий и чисел п при различных комбинациях указанных выше параметров обладают высокой точностью.

Замена согласованных матриц инерции КЭ оболочки их приближенными выражениями, полученными при аппроксимации нормальных перемещений КЭ по их длине линейными функциями, а также замена полюса оболочки плоским дном или отверстием достаточно малого радиуса R0 практически (с точностью до четырех значащих цифр) не влияют на расчетные значения собственных частот.

Третья глава посвящена разработке КЭ-модели для расчета осесим-

11

метричных и неосесимметричных колебаний упругих оболочек вращения, частично заполненных идеальной несжимаемой жидкостью. В качестве КЭ рассматривается узкая кольцевая коническая полоска оболочки вместе с содержащимся в ней тонким слоем жидкости. Гидродинамическая задача о движении жидкости в упругой оболочке решается в перемещениях. При этом необходимо, чтобы перемещения жидкости удовлетворяли уравнению неразрывности и кинематическому граничному условию совместности нормальных перемещений

Рис.4

а) Осесимметричные колебания жидкости, рис.4

На основании вариационного метода в перемещениях для осесиммет-ричных колебаний несжимаемой жидкости в упругой оболочке вращения осевые и радиальные перемещения в слое жидкости Ä-ro КЭ, удовлетворяющие уравнению неразрывности и граничному условию при г - R, в двучленном приближение записываются в виде:

vx=v(x,t) + v(x,t)(\-2a2), vr=--[^-rdr,

г * ах

-/ Rl-\ - /А 2 г fVR , г

v(x't) = ~y-vk_l(t)-— I -—dx\ а = ——- (17)

R R * sm<p R(x)

£ (l-2а2) ас/а = 0.

Здесь первое слагаемое v(x,t) в выражении vt представляет плоское вытеснение поперечного сечения жидкости х - const, а второе слагаемое -его депланацию по форме параболы.

Кинетическая энергия осесимметричных колебаний к-го слоя жидкости 0 <х< Нк с учетом (17) будет

ж 2 ■*>

—2 Л' 1 - „

v + — v--уй

8 12

¿¿Л 4Лу+Л— +

А ^ / 48 Л

Функции и V в пределах толщина тонкого к-го слоя жидкости аппроксимируем линейными функциями:

Г = У = (»> = *-!,*); (19)

/ у

„<*) _1__£_ _

1 гг ' Л* и •

ик "к

При этом на основании (17)

К > А 5(

Таким образом (18) с учетом (19), (20) выражается через перемещения Ук, рис.4.

Дно оболочки с полюсом заменим абсолютно жесткой пластинкой малого радиуса Лд при к = 0 ; тогда т/0 = <90 = 0, у0 = у0 = 0. Введем векторы

у = [У0 V, Vг ■•• у,.,]7'; У = [У, ••• уг]Г;

ъ = и^ IV™ IV■•• 1УГ(Г)]Г. (21)

г

Тогда кинетическая энергия всех слоев жидкости = может

м

быть записана в виде:

Тж = + + + 2уга1 + 2Ф7 + ±тк±], (22)

где ц, X, т, <т, Р, к - матрицы коэффициентов.

Потенциальная энергия системы не зависит от перемещений \>к (к = ],2,...,г ), представляющих депланации слоев жидкости, и поэтому они яв-

дТж л

ляются циклическими координатами и удовлетворяют уравнениям —= 0 или

= я-р v + ту + рг] = о.

Откуда

у = -т"1[хгу + рг]. (23)

Плоские перемещения слоев жидкости на основании (20) при х = Нк выражаются через нормальные перемещения оболочки:

' * = 0,1,2,...,г-1; (24)

1-0 Кк

у0=Д0=<Г0, АJ=rмW¡i¡+xjW¡<), У = 1,2,...,/■;.

Условия (24) с учетом обозначений для векторов (21) записываются в матричном виде

у=ВЪ. (25)

Исключая векторы V и V с использованием (23),(25), выражение (22) приведем к виду

Т~=\ъТ (26)

Шгж=7ГР

ВгцВ -(ХГВ + р)Г г'1 (ХГВ + р) + агВ + (огв)Г + к

-матрица присоединенных масс жидкости для вектора Z . Этот вектор с учетом соотношений

(к = 1,2,...,г) (27)

выражается через вектор основных обобщенных координат КЭ-модели для осе-симметричных колебаний

Я=[<Г0 £ //, £ щ Э2 - £ Лг Зг]т-. (28)

г = Ся (29) Тогда будем иметь:

Тж = ; = СТМ>ЖС . (30)

Матрица присоединенных масс жидкости Мж для основных обобщенных координат КЭ-модели оболочки складывается с матрицей инерции оболочки (16):

Т = Т0+ТЖЛ ягМч; М = М„ + МЖ.

(31)

б) Неосесимметричные колебания жидкости (и = 1,2,...). В этом случае осевое перемещение жидкости представляется в виде одночленного приближения, обладающего высокой точностью:

г

= v (х, /) а" соб пв; а =

Я{хУ

\ду/ п.

v =--соб пв, у, =--и/ бш пв;

г Яда в Яа

(32)

V

Я

IV

+ Я'х> + К \ ?-п—$\((п + 2)-па2)

а",

где функция 1//(х,а,/) , представляющая гидродинамическое давление (р~-рц/со5пв), является точным решением уравнения неразрывности жидкости с граничным условием безотрывного движения в направлении нормали на подвижной поверхности оболочки.

Кинетическая энергия жидкости при неосесимметричных колебаниях в &-ом слое записывается в виде:

Т(к) = ■

пр гн,

4и(л + 1)

Г

2(и+1)

/ •

+ 2

' IV '

ъ\п<р ^

+2Щ +

ах '

2

Я2сЬ;

(33)

+ (п + (Я')2(2 + п^п2р2+2(1-п2^)яЯ'^ + п^Я2

о-2_ Зи+4

Ап{п+\){п + 2)'

Функции и V в пределах толщины тонкого к-го слоя жидкости аппроксимируются линейными функциями как (19).

В результате Т^ записывается в виде квадратичной формы от

Для общего случая при наличии дна с отверстием радиуса Яд со свободными краями и свободной поверхностью жидкости введем векторы:

у = [У, У2 - У]Г; г = [у0 Щ(2) Ш™ - №<:> ^<Г,]Г;(34)

ч = К йо 1о #0 <?, т Ъ У, ■•• £ Пг К]т-

Кинетическая энергия жидкости записывается зависимости от \,Ъ\

= (35)

к=1 ^

где т,р, к-матрицы коэффициентов.

Без учета гравитационных волн на свободной поверхности (к = г) (к -1,2,...,/*) будут циклическими координатами: дТж/дгк-0, к = \,2,...,г или

Откуда

Ф = -т"'р 1. (36)

Тогда (35) будет

Тж=\ътШжЪ, М^=л-р(к-ргт-|р). (37)

Вектор Ъ и я (34) с учетом (27) связаны как

г=с<\. (38)

Тогда (37) будет

Тж=\ ЦТМжц-, (39)

Мж - матрица присоединенных масс жидкости для основных обобщенных координат КЭ-модели оболочки при неосесимметричных колебаниях.

В случае, когда дном оболочки вращения вместо отверстия является абсолютно жесткая пластинка радиуса , то в векторах (34) следует учесть:

= ^о = я<А К = -щ пРи п =1; <?о =7?0 =50 =^0 =° при » = 2,3,—

При учете гравитационных волн циклическими будут координаты \>к

(к = 1,2,...,/* —1); координата уг , через которую определяется потенциальная

энергия гравитационных волн, включается в состав вектора я.

Рассмотрено несколько примеров расчета собственных частот колебаний различных оболочек с жидкостью с оценками точности и влияния различных параметров и возможных упрощений: полусферическая оболочка с шарнир-но опертым краем; коническая оболочка с защемленным верхним краем; усеченная коническая оболочка с защемленными краями; цилиндрическая оболочка с

защемленным верхним краем и с днищем в виде конической оболочки. Здесь приведем только некоторые результаты.

1) Полусферическая оболочка постоянной толщины, полностью заполнена жидкостью со свободной поверхностью. Параметры: /?С/А= 100,

// = 0.3125, д,/р = 2.7; Л2 = ЕГ1 (1 -м2)%рва?.

В табл.1 приведены результаты расчета двух низших безразмерных частот колебаний при « = 0,1,2,3,4,5,6 : о-результаты точного решения в рядах по функциям Лежандра; б-результаты расчета по МКЭ при делении образующей оболочки с равномерным угловым шагом на 100 КЭ и при замене полюса абсолютно жесткой пластинкой радиуса К^ = 0.01 Я,.

Таблица 1

К Вар^ 0 1 2 3 4 5 6

Л а 0.1839 0.1819 0.2589 0.2996 0.3325 0.3615 0.3882

б 0.1838 0.1819 0.2588 0.2994 0.3323 0.3612 0.3879

к а 0.2764 0.2833 0.3302 0.3623 0.3901 0.4163 0.4420

б 0.2760 0.2783 0.3271 0.3600 0.3883 0.4144 0.4399

2) Усеченная коническая оболочка с защемленными краями, полностью заполненная жидкостью

^ Яо=03м, Н = 0.6м, <р = 105°, А = 0.00053л/, ц = 0.29, Е = 6.9-Ю10 Па, ра=2Шкг/^,

р = \Шкг/ 3.

/ М

Рис.5

В табл.2 приведены низшие частоты неосесимметричных колебаний оболочки в Гц при « = 3,4,5,6,7,8,10: й>,э - экспериментальные частоты; со[-

расчетные частоты, полученные В.П.Шмаковым численным методом; 3? - расчетные частоты, полученные Ф.Н.Шклярчуком путем сведения гидродинамической задачи к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые интегрировались численно совместно с обыкновенными дифференциальными уравнениями оболочки вращения; со" - частоты, полученные разработанным вариантом МКЭ при делении образующей оболочки с равномерным шагом на 400 КЭ.

Таблица 2

со, Гц и = 3 п = А п = 5 п-Ъ и = 7 п = 8 п = 10

< 100.0 76.0 - - 51.0 54.0 69.8

< 101.0 78.7 63.6 54.4 50.8 52.8 67.3

3? 101.76 79.29 63.99 54.64 51.02 52.87 67.51

< 101.63 79.16 63.82 54.41 50.70 52.44 66.86

В четвертой главе рассмотрены колебания составных осесимметрич-ных тонкостенных конструкций с соединительными шпангоутами с произвольной формой поперечного сечения с учетом эксцентриситетов соединений.

Рис.6

Тонкостенные шпангоуты с произвольным деформируемым контуром поперечного сечения рассматриваются также как оболочки вращения путем деления их на несколько кольцевых конических КЭ. Нетонкостенные шпангоуты рассматриваются как кольца с недеформируемым поперечным сечением, рис.6. Начало координат дг,у поперечного сечения т-го шпангоута располагается в его

произвольной точке т0. Размеры поперечного сечения шпангоута считаются малыми по сравнению с радиусом Rm 0.

Осевое, радиальное и окружное перемещения на окружности радиуса Rm 0 и угол поворота поперечного сечения в меридиональной плоскости представляются в виде:

L,0cos п9, nm,o cos пО, ,9т 0 cos пв, Vm 0 sin пв.

Вектор обобщенных координат такого шпангоута обозначается как

Пя.о ^,0 Vm,oí (40)

Получены выражения потенциальной и кинетической энергии т-то шпангоута в виде

гт(т) _ I yr i/wv t<m) — A y7 14/i(™)v

пш w и.О ' и ~ 2 m'0 '

(41)

К1;',м1;> -матрицы жесткости и инерции т-го шпангоута.

Вектор перемещений на /-ой окружности с координатами х,,у1 (рис.6), на которой шпангоут может соединяться с краем оболочки, определяется как

(42)

х»м =

'm,i

Imj

К,

,Ст1 =

1 0 Уi 0

0 1 -х, 0

0 0 1 0

xi К,0 0 Я,

Rm,0 Rmfi

Шпангоут с матрицей жесткости К^' и с матрицей инерции М^' включается в КЭ-модель оболочки вращения с учетом условия сопряжения (42) по перемещениям и углу поворота.

Если точки соединения шпангоута с краями оболочек "разнесены" в направлении оси, то эти токчи мысленно соединяются между собой прямой абсолютно жесткой линией и слой жидкости, ограниченный шпангоутом, рассматривается также, как если бы он был ограничен коническим КЭ с недеформируе-мой образующей.

В случае осесимметричных колебаний (« = 0) в векторе (40) и в матрицах К^"0, М^', Ст, следует опустить коэффициенты, строки и столбы, соответствующие компонентам Ут0 = 0.

На примере оценено влияние соединительного шпангоута на собствен-

ные осесимметричные колебания цилиндрического бака со сферическим днищем, заполненного жидкостью, рис.7

Параметры бака:

Л = 1 м; % = 400; % = Я/ = 20

ур = 2.7, // = 0.3;

с- характерный размер шпангоута.

Рис.7

Полюс сферической оболочки заменялся недеформируемой пластинкой с радиусом Яд = 0.04Я, на краю которой ( к = 0) т]й - 50 = 0. На верхнем защемленном краю цилиндрической оболочки {к = р)^р-г!р=Зр-0. Сферическая и цилиндрическая оболочки делились на 1000 КЭ. Угловой раствор сферической оболочки между осью и точкой т-1 составляет 45°.

а)

б)

III

\ , С»»

) ,г / : И'

"'Г Л

д\

е)

Рис.8

На рис.8 приведены 6 вариантов поперечных сечений соединительных шпангоутов, которые имеют одинаковую площадь /¡^ = 0.5с2 и отличаются только формой и расположением по отношению к соединяемым в точках т-1 и т оболочкам. В варианте с>, шпангоут, поперечное сечение которого показано на рис.8,д, считался тонкостенным и деформируемым и моделировался 2-мя оболо-чечными КЭ, соединенными под углом. В варианте е (рис.8,е) шпангоут заменялся упругой линией (окружностью), которая наделялась такой же жесткостью на растяжение £7^, как и в других вариантах (т.е. в данном варианте не учитывались эксцентриситеты соединений краев оболочек). В варианте е0 шпангоут отсутствует ( ЕГт —> 0) и оболочки соединяются непосредственно друг с другом

под углом 45° на т - ой узловой окружности.

В табл.3 приведены квадраты трех низших безразмерных собственных частот осесимметричных колебаний бака О2 = (роЯ3/£/г)й>2, у = 1,2,3.

Таблица 3

вар. О? П2 О.]

а 0.1086 0.8040 2.4628

б 0.1251 0.8351 2.5332

в 0.1210 0.8286 2.5140

г 0.1368 0.8520 2.5363

д 0.1424 0.8488 2.5178

0.1390 0.8443 2.5051

е 0.1306 0.8611 2.6036

0.0741 0.7654 2.3724

П. = 0.3295

П. = 0.3537

(а)

05)

Рис.9

На рис.9 приведены низшие формы колебаний бака для вариантов а и б. Как видно, в варианте а происходит сильное "выворачивание" шпангоута и сильные краевые изгибы оболочек, что приводит к существенному снижению низшей частоты колебаний.

Для этого бака с деформируемым тонкостенным шпангоутом (вариант д,, рис.8,д) также были выполнены расчеты собственных неосесимметричных колебаний при п = 1,2,3,4 .

Рассмотрены несущий и подвесной баки с жидкостью, имеющие отвер-

стие на дне, по краю которого к оболочке днища присоединен упругий трубопровод для подачи жидкости. Для этих баков, как подконструкций, выделены обобщенные координаты, по которым оболочки баков или их шпангоуты, а также поверхность жидкости в отверстии, соединяются с другими подконструкция-ми - частями несущего тела (корпуса) и трубопроводов с жидкостью.

Представлен алгоритм формирования по методу отсеков с использованием редуцированных моделей уравнений колебаний составных осесимметрич-ных конструкций, имеющих в своем составе несущие и подвесных баки жидкостью, переходные отсеки, подвесные блоки, отсеки с аппаратурой и пр. Приведен пример структуры матриц жесткости и инерции такой составной конструкции.

«/

9,

7»

а) б)

Рис.10

В качестве примера расчета рассмотрены продольно-радиальные колебания составной конструкции в виде несущего цилиндрического бака А со сферическим днищем и подвесного сферического бака В, частично заполненных жидкостью и имеющих упругие соединительные шпангоуты, рис.10.

Размеры бака А, характеристики материала и жидкости (рис. 10,а): К = 1м, Ь = 4м, Н = 2м , с = 0.05л<, ^ = 0.01л*, £ = 72-109Яа , // = 0.3,

К = Кф = 0.0025л«, р0 = 2700'

м

р = 1000'

Три низших собственных частоты осесимметричных колебаний закре-

пленного бака А при - г!а = &а = 0 и = Лр - Зр = 0 :

23

ю,

ш =

203.66с"

= 510.32с ¿а3(/,) = 556.20с Остальные упругодинамические характеристики бака, как подконструкции, здесь не приводим.

Размеры бака В, характеристики материала и жидкости (рис.10,б): Я = \м, к = 0.Ш5м , с = 0.05д< , ¿/ = 0.671с , Л^О.ОЬи, , = 71.8° ,

(ртч — 74.8° , (рг = 120° , Е -12Л09 Па , // = 0.3 , ро = 2700*^/3 ,

р = токг/3.

/ м

Три низших собственных частоты осесимметричных колебаний закрепленного бака В при 4,=г1р=Зр=й : = 391.61с"1; б)[в) = 615.89с'1;

а\В) = 844.84с"1.

Для расчета по методу отсеков продольно-радиальных колебаний составной конструкции (рис.10,е) с упругой продольной связью шпангоута а, имеющей коэффициент жесткости К(а используются редуцированные модели отсеков А и В с обобщенными координатами: £• П„ А,-Пр,,, ЛА),/,М) - Д^ бака А и

£,р,г)р,&р,/;<в),/2(Я),/з(В) - для бака В. Здесь /„м> и /„(В) - нормальные координаты, представляющие собственные формы колебаний закрепленных баков А и В с собственными частотами со\А) и .

В табл.4 приведены результаты расчета трех низших собственных частот продольно-радиальных колебаний составной системы (рис. 10,в) при

К (а ~ 'О'" для трех расчетных вариантов : а) для каждого бака учитывается по одной нормальной координате - /¡А) ,/1(в), б) для каждого бака учитывается по две нормальных координаты - /¡М,,/2М>,/1<Я),/2(Я); в) для каждого бака учитывается по три нормальных координаты - /,М), /2(Л), /Зм), /,(и>, /2(а), /3(а).

Таблица 4

вар. ®1 й)2

а 172.86 177.02 718.80

б 172.29 176.91 451.28

в 171.97 176.91 451.09

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан новый вариант МКЭ в перемещениях для расчета осе-симметричных и неосесимметричных колебаний тонких ортотропных оболочек вращения с учетом их предварительного напряженно-деформированного состояния, частично заполненных жидкостью. В качестве КЭ рассматривается узкая кольцевая полоска оболочки с содержащимся в ней тонким слоем жидкости.

2. Движение несжимаемой жидкости в слое описывается аналитически в перемещениях с точным удовлетворением уравнения неразрывности и кинематического граничного условия на поверхности оболочки вращения. На основании вариационного метода В.З.Власова гидродинамическая задача сводится к одномерной задаче для осевого перемещения жидкости, которое в одночленном приближении аппроксимируется линейной функцией по толщине слоя.

3. Получены выражения для вычисления матриц присоединенных масс жидкости для обобщенных координат КЭ-модели оболочки.

4. Разработан алгоритм расчета колебаний оболочек вращения по МКЭ со шпангоутами, имеющими недеформируемое поперечное сечение с учетом эксцентриситетов их соединений с оболочками. Показано значительное влияние эксцентриситетов шпангоутов на динамические характеристики отсека оболочки.

5. Разработан алгоритм метода отсеков для получения уравнений колебаний составных осесимметричных конструкций в виде системы соединенных отсеков (подконструкций, модулей).

Список опубликованных работ

1. Рей Чжунбум, Применение метода конечных элементов к расчету осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью. Инновации в авиации и космонавтике-2012 (17-20 апреля 2012г.),-С.280.

2. Шклярчук Ф.Н., Рей Чжунбум, Расчет осесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью методом конечных элементов, Вестник МАИ, т.19, № 5, 2012, -С.197-204.

3. Шклярчук Ф.Н. , Рей Чжунбум., Колебания составных оболочек вращения, соединенных упругими шпангоутами и частично заполненных жидкостью, Материалы XIX международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" имени А.Г.Горшкова (18-22 февраля 2013г.), т. 1.-С.205-207.

4. Рей Чжунбум, Применение метода отсеков к расчету колебаний составных конструкций жидкостных ракет-носителей. Инновации в авиации и

космонавтике-2013 (16-18 апреля 2013г.),-С.140-141.

5. Шклярчук Ф.Н., Рей Чжунбум, Расчет неосесимметричных колебаний оболочек вращения с жидкостью методом конечных элементов , Вестник МАИ, т.20, № 2, 2013, -С.49-58.

6. Рей Чжунбум, Расчет колебаний составных оболочек вращения с соединительными шпангоутами по методу конечных элементов, Труды МАИ, 2013, №69.

Множительный центр МАИ (НИУ) Заказ от Об. /1201-3 г. Тираж 'JO экз.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (национальный исследовательский университет)

УДК 539.3

РАЗРАБОТКА МЕТОДА ОТСЕКОВ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ СОСТАВНЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

С ЖИДКОСТЬЮ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальностям

01.02.06-«Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры» 05.07.03-«Прочность и тепловые режимы летательных аппаратов»

Научный руководитель заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор,

Шклярчук Ф.Н.

Научный консультант доктор технических наук, старший научный сотрудник Тютюнников Н.П.

МОСКВА-2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................. 4

ГЛАВА 1. МЕТОД ОТСЕКОВ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ

СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ.......................................................... 10

1.1. Уравнения колебаний отсека в обобщенных координатах............................ 10

1.2. Редуцирование уравнений колебаний отсека способом квазистатической аппроксимации................................................................... 12

1.3. Редуцирование уравнений колебаний отсека способом динамической аппроксимации................................................................................................ 13

1.4. Отсеки в виде оболочек вращения и круговых шпангоутов..........................14

ГЛАВА 2. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА

КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ..........................21

2.1. Постановка задачи. Основные соотношения..................................................21

2.2. Аппроксимация перемещений КЭ. Обобщенные координаты......................24

2.3. Потенциальная и кинетическая энергии КЭ в обобщенных координатах... 26

2.4. Матрицы жесткости и инерции круглой пластины плоского днища оболочки вращения........................................................................................... 29

2.5 Уравнения колебаний КЭ-модели оболочки вращения...................................33

2.6 Расчет собственных колебаний полусферической оболочки с оценками точности и анализом влияния параметров.......................................................34

ГЛАВА 3. КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ В УПРУГИХ ОБОЛОЧКАХ ВРАЩЕНИЯ..................41

3.1. Аппроксимация перемещений слоя жидкости при о се симметричных колебаниях внутри оболочки вращения.........................................................42

3.2. Кинетическая энергия жидкости при осесимметричных колебаниях оболочки вращения.............................................................................................44

3.3. Матрица присоединенных масс жидкости для осесимметричных колебаний оболочки вращения............................................................................................ 47

3.4. Аппроксимация перемещений слоя жидкости при неосесимметричных колебаниях внутри оболочки вращения.........................................................52

3.5. Кинетическая энергия жидкости при неосесимметричных колебаниях

оболочки вращения...........................................................................................54

3.6. Матрица присоединенных масс жидкости для неосесимметричных колебаний оболочки вращения........................................................................56

3.7. Учет гравитационных колебаний свободной поверхности жидкости..........58

3.8. Уравнения гидроупругих колебаний КЭ-модели оболочки вращения.........61

3.9. Поперечные колебания недеформируемой оболочки вращения, частично заполненной жидкостью..................................................................62

3.10. Примеры расчета собственных колебаний оболочек вращения с жидкостью; сравнение результатов......................................................................................66

ГЛАВА 4. КОЛЕБАНИЯ СОСТАВНЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ

ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ..................................................74

4.1. Матрицы жесткости и инерции кольцевого шпангоута.................................75

4.2. Условия соединения шпангоута с оболочками...............................................78

4.3. Матрица присоединенных масс жидкости для упругой оболочки вращения со шпангоутами.................................................................................................80

4.4. Математические модели баков с трубопроводами для расчета продольных колебаний составных конструкций.................................................................85

4.4.1. Несущий бак............................................................................................85

4.4.2. Подвесной бак.........................................................................................93

4.5. Влияние соединительного шпангоута на собственные колебания цилиндрического бака со сферическим днищем, заполненного жидкостью ............................................................................................................................ 98

4.5.1. Осесимметричные колебания................................................................98

4.5.2. Неосесимметричные колебания......................................................... 109

4.6. Уравнения колебаний осесимметричной конструкции как системы отсеков ........................................................................................................................... 115

4.7. Пример расчета продольно-радиальных колебаний системы двух баковых

отсеков............................................................................................................ 121

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................... 125

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................................................................................... 126

ВВЕДЕНИЕ

Тонкостенные конструкции с полостями (баками), частично заполненными жидкостью, часто используются в различных областях машиностроения и строительства сооружений - это самолеты, ракеты, космические аппараты, танкеры, авто - и железно дорожные цистерны, нефтеналивные емкости, аппараты химического производства, пр. Обычно масса тонкостенной конструкции (оболочки) мала по сравнению с массой содержащейся в ней тяжелой жидкости и поэтому жидкость оказывает большое влияние на динамические характеристики таких конструкций и на их движение.

Большой вклад в теорию и разработку методов решения задач динамики твердых и упругих тел (оболочек) с полостями, содержащими жидкость, внести Стоке, Н.Е.Жуковский, Н.М.Моисеев, В.В.Румянцев, К.С.Колесников, Б.И.Рабинович, И.А.Луковский, Р.Е.Лампер, В.П.Шмаков, Ю.Г.Балакирев, Ф.Н. Шклярчук, H.N.Abramson, H.F.Bauer, Y.W. Miles и др.

Задачи о малых (линейных) колебаниях жидкости, частично заполняющей неподвижную, подвижную или упругую полость формулируются более или менее одинаково - в большинстве случаев жидкость считается идеальной (невязкой) и несжимаемой, а ее движение внутри и на стенках полости - безотрывным. При этом из уравнений движения жидкости следует, что давление является потенциалом для ускорений частиц жидкости и , следовательно, существуют потенциал скоростей и потенциал перемещений идеальной жидкости.

В результате задача о колебаниях идеальной жидкости может быть описана только одной неизвестной функцией, представляющей динамической давление в жидкости, или потенциал скоростей или потенциал перемещений жидкости, которая на основании дифференциального условия несжимаемости удовлетворяет уравнению Лапласа.

В случае сжимаемой жидкости динамическое давление в ней равно объемной деформации жидкости, умноженной на ее модуль объемного адиабатического сжатия. С учетом этого уравнение неразрывности жидкости вместо урав-

нения Лапласа сводится к волновому уравнению для динамического давления или для потенциала скоростей или потенциала перемещений жидкости.

Необходимость учета сжимаемости тяжелой жидкости возникает в случае высокочастотных акустических колебаний [41] или в случае гидроупругих колебаний при больших глубинах заполнения сравнительно толстостенных оболочек, например, при осесимметричных продольно-радиальных колебаниях цилиндрических оболочек [80,81] или трубопроводов [43].

Задача о колебаниях вязкой жидкости в полостях и упругих оболочках по постановке и методам решения существенно отличается от задачи о колебаниях идеальной жидкости [58].

Что касается тонкостенных конструкций то при расчете гидроупругих колебаний в зависимости от их удлинения, рассматриваемого диапазона частот и форм колебаний используются "балочные" модели [43,54-57,60] или оболо-чечные модели, основанные на различных вариантах теории оболочек (безмо-ментной, полубезмоментной, моментной теориях и теории пологих оболочек), формулируемые в перемещениях. При этом во многих случаях для упрощения пренебрегают инерцией оболочек в тангенциальных направлениях.

Для решения связанной задачи гидроупругости используются дифференциальные уравнения жидкости (например, уравнение Лапласа) и оболочки с учетом гидродинамического давления, а также- кинематическое условие безот-рывности нормальных перемещений оболочки и жидкости, граничное условие на свободной поверхности жидкости и граничные условия на краях оболочки. Эта задача решается точно только для специальных частных случаев: форма объема жидкости, ограниченного оболочкой и свободной поверхностью должна допускать решение гидродинамической задачи методом разделения переменных в изученных специальных функциях (например, цилиндрических или сферических).

В большинстве случаев для определенных типов и расчетных моделей оболочек с жидкостью задачи о них гидроупругих колебаниях решаются приближенно или численно, используя формулировку задачи в виде дифференци-

альных уравнений и граничных условий или в виде соответствующих вариационных принципов. При этом для повышения точности желательно, чтобы какие-то из указанных выше уравнений и граничных условий удовлетворялись точно, а остальные - приближенно.

Общие вопросы, относящиеся к формулировкам задач о колебаниях упругих конструкций и оболочек, частично заполненных жидкостью, в виде уравнений и различных вариационных принципов рассматривались в работах [25,28,29,48,57,67,69,70,78,87,104,105,124].

Приближенные и численные методы расчета колебаний оболочек, содержащих жидкость, рассматривались в работах [1,3,4,12,16,26,27,44,46,49,76,82,84, 88,90,92-94,101]. Отметим некоторые из этих методов. В [1,46] в качестве основных неизвестных рассматривались коэффициенты разложения в ряд по гармоническим функциям потенциала перемещений жидкости. Через него выражались нормальные перемещения оболочки вращения и затем из уравнений колебаний оболочки определялись неизвестные коэффициенты.

В [4] для решения задачи осесимметричных колебаний сферической оболочки гидродинамическое давление представлялось в виде ряда по гармоническим функциям с неизвестными коэффициентами. Затем определялось напряженное состояние безмоментной безынерционной оболочки и на основании принципа Кастильяно получались уравнения для неизвестных коэффициентов.

В работах [12,16,100] сначала решается вспомогательная гидродинамическая задача: строится система гармонических функций в объеме жидкости, ортогональных на смоченной поверхности оболочки. Гидродинамическое давление на оболочку определяется в виде ряда по этим функциям с коэффициентами интегрально зависящими от нормального перемещения. Уравнения колебаний оболочки, одно из которых является интегро-дифференциальным, решаются по методу Бубнова - Галеркина или численно методом прогонки.

В работах [27,78,88,90,92] разработан вариационные метод сведения гидродинамической задачи для упругой оболочки вращения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по осевой координате для неизвестных

функций представляющих коэффициентов разложения осевых перемещений жидкости по заданным функциям радиальной координаты. При этом точно удовлетворяются уравнение неразрывности жидкости, граничное условие безот-рывности на поверхности упругой оболочки и уравнения движения жидкости в радиальном и окружном направлениях. В силу этого уже в одночленном приближении- при использовании асимптотически соответствующей аппроксимации это решения гидродинамической задачи обладает весьма высокой точностью. Это решение использовалось при решении задач о колебаниях оболочек с жидкостью по методу Ритца [93], по методу итерации [84] и численному интегрированию системы связанных обыкновенных дифференциальных уравнений оболочки и жидкости [25].

Для тонкостенных нерегулярных конструкций и оболочек сплошной формы и переменной толщины в настоящее время при наличии в математическом обеспечении компьютеров стандартных программ линейной алгебры для матриц высокой размерности наиболее удобным является метод конечных элементов (МКЭ). Отметим некоторые работы, в которых МКЭ в разных вариантах и формулировках используется для расчета колебаний тонкостенных конструкций, включая оболочки с жидкостью: [10,23,32,33,39,40,45,47,50,59,64,71,74,89, 95-99,106,121,126,127]. Метод граничных элементов (МГЭ) также эффективен для решения задач гидродинамики в приложении к гидроупругости [17,25,47,91] однако он менее популярен по сравнению с МКЭ.

Для больших составных конструкций практически удобным и перспективным является метод подконструкций (отсеков, модуль - элементов, суперэлементов). Исследования по разработкам различных вариантов этого метода в приложении к линейным задачам динамики составных конструкций, включая тонкостенные конструкции с отсеками (баками), содержащими жидкость, содержатся в следующих работах: [22,30,31,34-38,63,65,66,75,85,86,102,103,107, 108,110-114,115-123,125,129].

На основании изучения и анализа литературы по теме диссертации определена цель работы: разработать метод отсеков (подконструкций) с необходи-

мым обоснованием и математическим обеспечением в рамках конечно-элементных моделей упругих оболочек вращения, содержащих жидкость и имеющих соединительные шпангоуты, для расчета колебаний составных осе-симметричных тонкостенных конструкций с жидкостью.

Основное содержание диссертации изложено в четырех главах.

В первой главе излагаются основы метода отсеков (подконструкций) и способ редукции уравнений конечно-элементной модели отсека путем преобразования к основным обобщенным координатам, по которым отсек соединяется с другими отсеками и частями конструкции, с дополнительными обобщенными координатами, представляющими несколько низших собственных форм колебаний закрепленного отсека.

Во второй главе разработан оригинальный вариант метода конечных элементов (МКЭ) для расчета осесимметричных и неосесимметричных колебаний тонких ортотропных упругих оболочек вращения с учетом предварительного осесимметричного напряженно-деформированного состояния с целью использования его для расчета колебаний составных оболочек вращения, содержащих жидкость и имеющих дискретно расположенные круговые шпангоуты с произвольным поперечным сечением. Приведены сравнительные расчеты колебаний различных оболочек вращения с оценками точности.

Третья глава посвящена разработке нового варианта МКЭ для расчета осесимметричных и неосесимметричных колебаний упругих оболочек вращения, частично заполненных жидкостью. В качестве КЭ рассматриваются узкие кольцевые полоски оболочки с содержащимися в них тонкими слоями несжимаемой жидкости.

Перемещение слоя жидкости на основании точного решения уравнения неразрывности с граничным условием безотрывности на подвижной поверхности оболочки выражаются через одну неизвестную функцию, представляющую, осевое перемещение жидкости. Эта неизвестная функция аппроксимируется по радиальной координате асимптотически подходящей функцией, а по толщине тонкого слоя - линейной функцией. Получены матрицы присоединенных масс

жидкости для КЭ - модели оболочки вращения.

Выполнены многочисленные расчеты с анализом точности и оценками влияния различных параметров возможных упрощений.

В четвертой главе разработан алгоритм получения уравнений колебаний составной осесимметричной тонкостенной конструкции типа многоступенчатой жидкостной ракеты-носителя по методу отсеков. Отсеки в виде оболочек вращения, включая несущие и подвесные баки с жидкостью, соединяются между собой через упругие шпангоуты с произвольной формой поперечных сечений с учетом эксцентриситетов соединений.

Приведена структура полученных этим методом матричных уравнений. Рассмотрены примеры расчета с оценками влияния соединительных шпангоутов с различными формами поперечных сечений на собственные частоты колебаний системы.

ГЛАВА 1. МЕТОД ОТСЕКОВ ДЛЯ РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Для больших составных тонкостенных конструкций типа многоступенчатых жидкостных ракет-носителей практически невозможно решить задачу об упругих колебаниях, используя конечно-элементную модель конструкции в целом, из-за слишком большого числа конечных элементов (КЭ). Метод отсеков позволяет решить эту задачу за счет редуцирования числа степеней свободы отдельных отсеков, на которые делится конструкция [38].

В качестве отсеков рассматриваются характерные части- подконструкции или суперэлементы, которые могут быть конструктивными модулями, например; подвесные и несущие баки; приборные отсеки; двигательные отсеки; переходники; отсеки полезной нагрузки; пр., рис. 1.1.

1.1. Уравнения колебаний отсека в обобщенных координатах

Рассмотрим произвольный свободный (незакрепленный) отсек конструкции, колебания которого описываются обобщенными координатами, представленными вектором-столбцом q = {<?,}. В качестве обобщенных коорди�