Случаи движения твердого тела с полостями, содержащими жидкость, под действием внешней силы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

Глава I. Оцределение сил давления жидкости на стенки резервуара. 14

§ I. Вынужденные колебания жидкости в резервуаре, имеющем форму параллелепипеда. 15

§ 2. Определение потенциала Жуковского для полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда . 21

§ 3. Задача о собственных колебаниях жидкости в полости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда . 26

§ 4. Определение потенциала вынужденных колебаний жидкости и сил давления жидкости на стенки резервуара . 34

Глава П. Частные случаи движения прямоугольного параллелепипеда с жидким наполнением по горизонтальной плоскости. 51

§ I. Движение резервуара с жидкостью по круговому пути . 51

§ 2. Движение резервуара с жидкостью по пути переменной кривизны . 59

Глава Ш. Исследование движения автомобиля с жидким грузом на виражах. 71

§ I. Движение автомобиля с цистерной, частично заполненной жидкостью, по горизонтальной плоскости . 71

§ 2. Динамика автомобиля с жидким грузом на виражах 81

Глава 1У. Механический аналог системы тело-жидкость, маневрирующей по горизонтальной плоскости . 86

На задачу о движении твердого тела, имеющего полости с жидкостью, обратили внимание ученые еще в середине прошлого века, такие как Стоке, Ламб, Гельмгольц. В дальнейшем различные аспекты этой задачи рассматривались Кельвиным, Гринхиллом, Пуанкаре и др.

Но первой работой, в которой детально исследовалось движение твердого тела с полостями, полностью заполненными однородной несжимаемой жидкостью, была работа Н.Е.Жуковского [ 6 J, в которой он изучил влияние жидкости на движение твердого тела.

Бурное развитие авиационной и ракетно-космической техники, а также появление разнообразных задач прикладного характера сделали задачу о движении твердого тела с жидкостью одной из актуальных задач механики. Различным аспектам этой задачи посвящены работы многих советских и зарубежных авторов.

Задача о динамическом взаимодействии движущегося тела и идеальной жидкости, не полностью заполняющей его полости, была поставлена независимо Н.Н.Моисеевым, Д.Е.Охоцимским, Г.С.Наримановым.

Д.Е.Охоцимский исследовал движение жидкости при удовлетворении условия постоянства давления на свободной поверхности и при сообщении твердому телу некоторого движения вблизи исходного положения. Предполагая движение жидкости безвихревым, потенциал абсолютных скоростей жидкости он ищет в виде суммы двух потенциалов, удовлетворяющих соответствующим граничным и начальным условиям /"27/.

Г.С.Нариманов получил уравнения, вполне строго описывающие общие случаи возмущенного движения твердого тела с полостью, частично заполненной жидкостью, при заданной системе внешних сил для малых колебаний жидкости, а несколько позднее - и цри учете немалости колебаний [20 J- [23]. Наримановым доказана теорема существования и единственности решения этих уравнений и обоснована возможность их редукции.

Б.И.Рабиновичем независимо получено общее решение задачи Д.Е.Охоцимского, а затем обобщено на прямую задачу динамики системы тело-жидкость. Б.И.Рабиновичу цринадлежат обширные исследования в области теории колебательных движений механических систем с полостями, содержащими жидкость [30]-[32j.

Уравнения, аналогичные уравнениям Г.С.Нариманова, получены независимо Н.Н.Моисеевым в работе f16 J. Опираясь на эти уравнения, Н.Н.Моисеев впоследствие рассмотрел ряд общих вопросов динамики твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью.

Л.Н.Сретенским была рассмотрена задача о движении тела с жидким наполнением под действием уцругих сил. Ему же принадлежат обширные исследования в области теории волновых движений жидкости для случаев, когда полости, содержащие жидкость, имеют различные геометрические конфигурации [38].

Математическим методам расчета колебаний жидкости в полостях посвящены работы Н.Н.Моисеева и А.А.Петрова [ 18].

Разработке теоретических основ динамики тела, с полостями, содержащими жидкость, посвящены работы В.В.Румянцева. Дифференциальные уравнения движения абсолютно твердого тела с полостями, содержащими жидкость, полученные им, носят наиболее общий характер. С именем В.В.Румянцева связано развитие теории устойчивости движений твердых тел с жидкостью. Развивая методы

Ляпунова, им решены многие задачи устойчивости движения твердых тел с жидким наполнением.

Важное значение цри развитии теории имели экспериментальные методы исследований влияния жидкости на движение механической системы тело-жидкость. Результаты экспериментальных исследований позволяют при интерпретации математических формул, полученных теоретически, подтвердить теоретические выводы. Экспериментальные методы играют важную роль при оценке надежности теоретических результатов, полученных приближенными методами расчета, и цри определении гидродинамических коэффициентов в уравнениях возмущенного движения жидкости. Вопросам экспериментальных исследований посвящен ряд работ, авторы которых наряду с экспериментальными исследованиями проводят и теоретические исследования [l3j- [15].

В работах Д.Е.Охоцимского [27], К.С.Колесникова[ 9], Г.Н.Микишева, Б.И.Рабиновича [14] при изучении влияния жидкости на движение твердого тела проводится сравнение с движением систе мы тело-затвердевшая жидкось.

Ряд задач о движении механической системы с жидким наполнением цри воздействии внешних случайных возмущений рассмотрены Н.А.Николаенко [24]-[2б], область црименения которых весьма общириа. Примером таких задач может служить расчет резервуаров и емкостей, подвергающихся действию сейсмических нагрузок, случайным возмущениям при транспортировке. Исследованию влияния жидкости на сейсмостойкость сооружений, несущих резервуары с жидкостью, посвящены работы И.И.Гольденблат и Н.А.Николаенко [2]-[3].

Теории динамики системы тело-жидкость посвящены работы многих других авторов. В настоящее время проблема построения общей теории динамики твердых тел с полостями, содержащими жидкость, в основном считается решенной. Жидкость, частично заполняющая некоторые полости твердых тел, входящих в механическую систему, значительно влияет на движение системы; особенно, когда масса жидкости составляет преобладающую часть массы системы. Взаимное влияние движений жидкости и твердого тела может существенно изменить форму движения системы тело-жидкость от той формы, которую имела бы она цри отсутствии подвижности жидкого объема относительно стенок полости. В инженерной практике широко распростра нены конструкции, элементы которых имеют полости, содержащие жидкость; нацример, объекты авиационной и ракетно-космической техники, резервуары, цредназначенные для транспортировки жидкостей, а также для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, водонапорные башни и т.д.

Понятие путевой устойчивости автомобиля на повороте впервые введено Н.Е.Жуковским [ 7 ]. Исследованию путевой устойчивости колесных экипажей посвящены работы ряда авторов, например, [28], [40]. Задачи о влиянии подвижности жидкого объема на цистерну, движущуюся поступательно по железнодорожному полотну, рассмотрены в работе [ 4 ].

Движение транспортного средства для доставки жидкого груза слабо изучено, хотя динамика тела с полостями, содержащими жидкость, представляет собой развитый раздел механики.

Целью настоящей работы является исследование движения по горизонтальной плоскости автомобиля с жидким грузом и определение условий безопасного движения транспорта с жидким грузом на виражах. Безопасность движения обеспечивается путевой устойчивостью автомобиля с жидкостью, т.е. устойчивостью к потере управления транспорта и устойчивостью к опрокидыванию автомобиля одновременно.

Поскольку решение данной задачи требует прежде всего исследования движения твердого тела сполостью,содержащей жидкость, и совершающего те же самые маневры,что и автомобиль, в настоящей работе проведено исследование движения по горизонтальной плоскости резервуара в форме прямоугольного параллелепипеда, частично заполненного жидкостью, и определены силы давления жидкости на стенки сосуда;жидкость предполагается идеальной, однородной несжимаемой, а стенки сосуда - абсолютно твердыми.

Движение жидкости относительно резервуара считается малым в том смысле, что произведениями перемещений элементарных частиц жидкости и их скоростей относительно стенок сосуда можно пренебречь.

В первой главе рассматривается задача о вынужденных колебаниях жидкости в резервуаре, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда и движущемся по горизонтальной плоскости. Движение частиц жидкости относительно стенок резервуара предполагается потенциальным. Определяется потенциал абсолютных скоростей жидкости. Получены уравнения свободной поверхности жидкости, в удобном для расчетов виде формулы,определяющие силы давления жидкости на стенки полости, содержащей жидкость. Для определения потенциала абсолютных скоростей колеблющейся жидкости решается уравнение Лапласа и применяется метод решения этого уравнения, предложенный Н.Н.Моисеевым, А.А.Петровым [18 ] , согласно которому потенциал абсолютных скоростей жидкости Ф представляется в виде суммы двух потенциалов ф^ и ф^ .

Ф* Ф, + Ф2 (0.D

Ф^ называется потенциалом Жуковского, описывает движение жидкости, полностью заполняющей полость, ограниченную стенками резервуара и твердой крышкой, совпадающей с невозмущенной свободной поверхностью жидкости и жестко связанной со стенками сосуда. Потенциал ф^ определяет малые вынужденные колебания жидкости в неподвижном резервуаре, вызванные неравномерностью давлений при движении с потенциалом Ф .

Определение сил воздействия жидкости на движение твердого тела сводится к вычислению главного вектора и главного момента сил давлений жидкости на стенки резервуара

Re J Р-Я dl " j ягяс! pd^ (0.2)

S. <D 6

Й = j г x prLdS'j^* 9™d p ds, (о.з) X где R - главный вектор сил давлений жидкости на стенки резервуара, - объем, занятый жидкостью, р - гидродинамическое давление, М - главный момент сил давлений жидкости на. стенки, Х> - радиус-вектор какой-либо точки относительно центра, 2, -смоченная поверхность стенки сосуда, \Ь - внешняя нормаль к поверхности резервуара.

В первом параграфе этой главы определены граничные и начальные условия для решений уравнения Лапласа, которому должен удовлетворять потенциал абсолютных скоростей жидкости.

Второй параграф посвящен определению потенциала Жуковского, который определяет движение жидкости, полностью заполняющей полость, ограниченную твердыми стенками S + S , где S - свободная поверхность жидкости в невозмущенном состоянии.

В третьем параграфе рассматривается задача о собственных колебаниях жидкости, частично заполняющей полость, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, в предположении, что колебания жидкости происходят в условиях, когда жидкость находится под действием одной силы тяжести, а движение жидкости начинается за счет начальных возмущений. Потенциальные волновые движения жидкости описываются функцией ф , удовлетворяющей уравнению Лапласа

Д ф = 0 (0.4)

Для определения решения уравнения (0.4) с выбранными начальными и граничными условиями (условие непротекания жидкости через стенки сосуда, условие неразрывности на свободной поверхности, отсутствие давления на поверхности жидкости) применяется метод разделения переменных.

В качестве примера рассмотрен случай, когда начальное отклонение свободной поверхности жидкости от невозмущенного состояния представляет собой наклонную поверхность.

В четвертом параграфе определены потенциал вынужденных колебаний жидкости ф , главный вектор и главный момент относительно центра масс сил давлений жидкости на стенки резервуара.

Потенциал ф описывает малые вынужденные колебания жидкости на свободной поверхности при движении жидкости с потенциалом. ф,, .

Во второй главе рассматривается несколько частных случаев движения по горизонтальной плоскости прямоугольного параллелепипеда, частично заполненного тяжелой жидкостью. Исследуется зависимость от режима, движения сосуда гидродинамических характеристик жидкости, заключенной в сосуде.

В первом параграфе исследуются равномерное и равнопеременное движения резервуара с жидкостью по пути постоянной кривизны.

Во втором параграфе рассматриваются равномерное и равнопеременное движения резервуара с жидкостью по пути, имеющем изменяющуюся с течением времени кривизну.

Для каждого случая рассмотренного движения резервуара получены уравнения колебаний жидкости, формы свободной поверхности жидкости и определены гидродинамические силы давления жидкости на стенки сосуда.

При решении задач предполагалось, что свободная поверхность жидкости в начальный момент времени имела отклонение от невозмущенного состояния в виде наклонной плоскости, начальные скорости частиц жидкости на свободной поверхности равны нулю.

В третьей главе рассматривается задача о движении управляемого автомобиля с цистерной в форме прямоугольного параллелепипеда, частично заполненной жидкостью. Автомобиль с жидкостью рассматривается как единая динамическая система тело-жидкость. При движении автомобиля с жидким грузом некоторому закгругленному пути силами, могущими опрокинуть автомобиль, являются центробежные силы инерции. Одним из решающих факторов потери путевой устойчивости на виражах автомобиля с жидким грузом является давление жидкости на вертикальные стенки цистерны. Поэтому достаточно исследовать движение плоского сечения автомобиля (так как автомобиль движется по горизонтальной плоскости), проходящего через центр масс системы тело-затвердевшая жидкость и параллельного горизонтальной плоскости.

В первом параграфе главы оцределеиы продольные и поперечные составляющие сил инерции системы тело-жидкость, а также моменты этих сил относительно координатных осей, проходящих параллельно продольного, поперечного и вертикального ребер цистерны.

Величина продольной силы инерции автомобиля с замороженной жидкостью на вираже зависит лишь от скорости ведущего внутреннего колеса и конечного значения угла поворота корпуса автомобиля. При наличии жидкого объема появляется продольная сила, зависящая от скорости поворота корпуса автомобиля, которая исчезает по установлении равномерного движения автомобиля по пути постоянной кривизны.

В случае недостаточности сцепления передних колес с грунтом действие продольных сил инерции системы тело-жидкость может выразиться в том, что автомобиль потеряет управление и получит стремление двигаться по прямой. Опасность потери управления автомобиля наступает тем быстрее, чем резче происходит поворот корпуса автомобиля. Опасность возникновения подобной аварийной ситуации имеет место и при движении автомобиля с замороженной жидкостью, Наличие жидкого объема ускоряет возникновение этой ситуации при движении автомобиля по выпрямляющемуся пути.

При движении автомобиля по закругляющемуся пути продольная составляющая гидродинамической силы давит на задние стенки цистерны и может привести к отрыву передних колес от грунта, когда масса жидкого груза составляет значительную часть массы системы тело-жидкость. При неравномерном движении ведущих колес автомобиля увеличена вероятность возникновения аварийной ситуации. При равномерном движении автомобиля по пути постоянной кривизны цро-дольная составляющая сил инерции системы тело-жидкость будет такой же, как и у цистерны с замороженной жидкостью, т.е. устойчивость автомобиля к потере управления не зависит от поведения жидкости в резервуаре.

Поперечные составляющие сил инерции системы тело-жидкость стремятся поднять внутренние колеса и опрокинуть автомобиль во внешнюю сторону поворота. Опасность опрокидывания возникает и при резком повороте корпуса и цри малом значении продольной длины цистерны по сравнению с другими ее размерами. Автомобиль на вираже наиболее устойчив к опрокидыванию при равномерном движении.

Анализируя результаты исследований устойчивости автомобиля к потере управления и устойчивости к опрокидыванию можно сказать, что на виражах наиболее безопасным является движение автомобиля с лимитированной постоянной скоростью ведущих колес. Существует определенное соотношение между твердой и жидкой массами системы тело-жидкость, способствующее безопасности движения транспорта с жидким грузом. Чем больше масса налитой в цистерну жидкости, тем ближе к свободной поверхности жидкого объема должен быть расположен центр масс системы тело-жидкость. Это обстоятельство тоже играет немаловажную роль в условии устойчивости автомобиля к опрокидыванию.

Во втором параграфе третьей главы исследуется равномерное движение автомобиля с жидкостью на вираже. Определяются допустимые значения скорости поворота корпуса автомобиля, угла поворота осей передних колес, которые обеспечивают безаварийную ситуацию на повроте.

Четвертая глава диссертационной работы посвящена исследованию движения механического аналога динамической системы тело-жидкость. При различных маневрах автомобиля жидкость в его кузове совершает колебательное движение. При этом давление жидкости на боковые стенки кузова имеет переменный характер. Наиболее существенный вклад в колебание этого давления вносит первая форма колебаний жидкости. Это обстоятельство позволяет использовать для оценки способности автомобиля с жидким наполнением к опрокидыванию более простую модель, в которой жидкость заменяется на некоторую точечную массу, прикрепленную к кузову автомобиля упругой пружиной. Поскольку наиболее опасной является возможность опрокидывания автомобиля на бок, целесообразнее исследовать случай, когда точечная масса может перемещаться относительно кузова лишь в поперечном направлении. Рассматривается поведение точечной массы при объезде препятствия. Оцределены допустимые предельные скорости автомобиля на разных участках виража.

На основе анализа условий устойчивости к опрокидыванию механического аналога, на виражах получены приблизительные значения допустимых отклонений центра масс колеблющейся жидкости от положения при невозмущенном состоянии жидкости.

Практически для предотвращения возникновения аварийных ситуации возможно: регулирование скорости поворота корпуса автомобиля на вираже, регулирование скорости движения самого автомобиля на повороте и на круговом пути. Для предотвращения вращения корпуса автомобиля вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс системы тело-жидкость, целесообразен наклон шоссейного полотна в закругленной части дороги во внутреннюю сторону закругления, а ташке возможно покрытие дорожного полотна в закругленной части грунтом различной сопротивляемости трению, что будет способствовать большему торможению ведущего внутреннего колеса по сравнению с внешним задним колесом.

На защиту выносятся:

1. Вычисленные значения сил давления жидкости на. стенки резервуара, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда и совершающего различные маневры с заданным режимом движения.

2. Вычисленные значения сил инерции системы тело-жидкость при совершении им различных маневров по горизонтальной плоскости.

3. Определение необходимой путевой устойчивости транспорта с жидким грузом на поворотах.

4. Определение механического аналога системы тело-жидкость и определение необходимых условий устойчивости к опрокидыванию автомобиля с жидким грузом на основе исследований модельной задачи.

5. Вычисленные значения допустимых скоростей поворота корпуса автомобиля на повороте, скорости движения автомобиля с жидким грузом.

6. Определение допустимого предельного значения угла поворота осей передних колес автомобиля, которое необходимо для безаварийной транспортировки жидких грузов.

Основные результаты диссертации были доложены на научных семинарах кафедры теоретической механики Казахского государственного университета им.С.М.Кирова (Алма.-Ата, 1975-1978гг.), на городских научно-методических семинарах по теоретической механике высших учебных заведений города Алма-Аты (1976-1979гг.), на конференции-конкурсе на лучшую работу молодых ученых Казахского государственного университета им.С.М.Кирова (Алма-Ата, 17-19 мая 1977г.), на научном семинаре института сейсмологии АН КазССР (Алма-Ата, 3 июня 1980г., на 71 Казахской межвузовской научной конференции по математике и механике (Алма-Ата, 4-7 октября октября 1977г.), на научно-технических конференциях Усть-Каменогорского строительно-дорожного института (Усть-Каменогорск, 1978-1984гг.), на научно-методических семинарах кафедры теоретической механики УК СДИ (Усть-Каменогорск, I978-I984гг.).

По основным результатам исследований опубликовано шесть статей.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Вычислены до конкретного математического значения потенциалы вынужденных колебаний жидкости, частично заполняющей резервуар в форме прямоугольного параллелепипеда, при совершении резервуаром различных маневров с заданным режимом движения по горизонтальной плоскости.

2. Вычислены в конечной математической форме значения сил давления жидкости на стенки резервуара для каждого случая движения резервуара по горизонтальной плоскости.

3. Дана оценка влияния режима движения на устойчивость к потере управления автомобиля с жидким грузом цри совершении им различных маневров.

4. Определены силы инерции системы тело-жидкость, угрожающие безопасности движения автомобиля с жидким наполнением на виражах.

5. Установлены условия существования наибольшей неопасности потери управления автомобиля и наибольшей устойчивости к опрокидыванию автомобиля с жидким грузом при совершении им различных маневров по горизонтальной плоскости.

6. Построены необходимые условия устойчивости к опрокидыванию автомобиля на повороте при равномерном движении автомобиля с жидким грузом.

7. Получено определенное соотношение между величинами твердой и жидкой масс системы тело-жидкость, необходимое для безаварийной транспортировки жидких объемов в форме прямоугольного параллелепипеда .

8. Проведен анализ необходимых условий устойчивости к опрокидыванию автомобиля с жидким наполнением при совершении им различных маневров на основе результатов исследований движения механического аналога.

9. На основе исследований модельной задачи определены условия безаварийного маневрирования транспорта с жидким грузом при объезде им некоторого црепятствия.

10. Определены значения допускаемых скоростей автомобиля на различных участках маневра.

11. Предложена модельная система, которая позволяет упростить исходную задачу, сохранив главные характеристики.

12. Определены необходимые условия устойчивости к опрокидывания на двойном, тройном виражах четырехколесного транспортного средства с твердым грузом, уцруго- прикрепленным к его кузову.

1. Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью (Сборник статей). М., ВЦ АН СССР, 1962, 247 с.

2. Гольденблат И.И., Николаенко Н.А. Определение сейсмических сил в каркасных сооружениях, несущих резервуары с жидкостью. В сб. "Исследования по сейсмостойкости зданий и сооружений". М., Госстройиздат, I960, с.39-72.

3. Гольденблат И.И., Николаенко Н.А. Расчет конструкций на действие сейсмических и импульсивных сил. М., Госстройиздат, 1961, 320 с.

4. Горьков П.И. Динамическое действие колеблющейся жидкости нацистерны при неполном наливе. Изв. АН СССР, ОТН, J£ 2, 1954, с.19-24.

5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм,рядов и произведений. М., Физматгиз, 1963, 1100 с.

6. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела,имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью. Собр.соч., т.II, М., Гостехиздат, 1949, с.152-309.

7. Жуковский Н.Е. К динамике автомобиля. Собр.соч., т.7, М., Гостехиздат, 1950, с.362-368.

8. Колесников К.С. Колебания жидкости в цилиндрическом сосуде. М., МВТУ, 1964, 98 с.

9. Колесников К.С. Динамика ракет. М., "Машиностроение", 1980, 376 с.

10. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., "Наука", 1974, 831 с.

11. Лурье A.M. Операционное исчисление и его приложение к задачам механики. М., Гостехиздат, 1950, 132 с.

12. Луковский И.А., Фещенко С.Ф., Рабинович Б.И. и др. Методы расчета присоединенных масс жидкости в подвижных полостях.--Киев; "Наукова думка", 1969,-250 с.

13. Микишев Г.Н. Экспериментальные методы в динамике космических аппаратов. М., "Машиностроение", 1978, 248 с.

14. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М., "Машиностроение", 1968, 532 с.

15. Микишев Т.Н., Рабинович Б.И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М., "Машиностроение", 1971, 563 с.

16. Моисеев Н.Н. Движение твердого тела, имеющего полость, частично заполненную идеальной капельной жидкостью. ДАН СССР, 1952, т.85, $ 4, с.719-722.

17. Моисеев Н.Н. Задача о движении твердого тела, содеркащие жидкие массы, имеющие свободную поверхность. "Математический сборник", й 32(74), АН СССР, 1953, вып.1, с.862-978.

18. Моисеев Н.Н.,' Петров А.А. Численные методы расчета собственных колебаний ограниченного объема жидкости. М., ВЦ АН СССР, 1966, 269 с.

19. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость . М., "Наука", 1965, 439 с.

20. Нариманов Г.С. 0 движении твердого тела, полость которого частично заполнена, жидкостью. "DIM", 1956, т.20, вып.1, с. 2138.

21. Нариманов Г.С. 0 колебаниях жидкости в подвижных полостях. -"Известия АН СССР", ОТН, 1957, В 10, с.71-74.- 100

22. Нариманов Г.С. 0 движении сосуда, частично заполненного жидкостью, учет немалости .движения последней. "ИМ", 1957, т.20, вып.4, с.513-525.

23. Нариманов Г.С., Докучаев Л.В., Луковский И.А. Нелинейная .динамика летательного аппарата с жидкостью. М., "Машиностроение", 1977, 208 с.

24. Николаенко Н.А. Колебания нелинейной системы с жидким наполнением при случайных возмущениях. Сб. "Сейсмостойкость промышленных зданий и инженерных сооружений", М., Госстройиз-дат, 1962, вып.8, с.51-90.

25. Ншсолаенко Н.А. Динамика и сейсмостойкость конструкций, несущих резервуары. М., Госстройиздат, 1963, 155 с.

26. Николаенко Н.А. Вероятные методы динамического машиностроительных конструкций. М., "Машиностроение", 1967, 367 с.

27. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью. "ПММ", 1956, т.20, вып.1, с.З-21

28. Пойда В.К. Аналитическое исследование движения колесных экипажей. Дисс. на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Ленинград, 1969, 266 с.

29. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М., "Наука", 1981, 800 с.

30. Рабинович Б.И."Об уравнениях возмущенного движения твердого тела с цилиндрической полостью, частично заполненной жидкостью. "ПММ", 1956, т.20, вып.1, с.39-50.

31. Рабинович Б.И. Введение в динамику ракетоносителей космических аппаратов. М., "Машиностроение", 1975, 416 с.

32. Рабинович Б.й. Колебания элементов с полостями, содержащими жидкость. В кн.: Вибрация в технике. М., "Машиностроение", 1980, т.З, с.61-90.

33. Румянцев В.Б. Уравнения движения твердого тела, имеющего полости, не полностью наполненные жидкостью. "ШИЛ", 1954, т.18, вып.6

34. Румянцев В.В. Об уравнениях твердого тела с полостью, наполненной жидкостью. "ШМ", 1955, т. 19, вып.1

35. Румянцев В.В. К теории движения твердых тел с полостями, наполненными жидкостью. "ШМ", 1966, т.30, вып.1, с.51-66.

36. Румянцев В.В., Рубановский В.Н., Степанов С.Я. Колебания и устойчивость твердых тел с полостями, заполненными жидкостью -В кн.: "Вибрация в технике", 1979, т.2, с.280-<306.

37. Справочник по специальным функциям, (под ред.Абрамовича М., Стриган И.), М., "Наука", 1979, 830 с.

38. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. М., "Наука", 1977, 815 с.

39. Численные методы в механике жидкости. М., "Мир", 1973, 304 с.

40. Чудаков Е.А. К вопросу об устойчивости автомобиля на повороте. Изд. АН СССР, 0TH, й 6, 1937.

41. Янке Е.,Эще Ф., Леш Ф. Специальные функции . М., "Наука", 1977, 342 с.

42. Аманжолова Ш.С. 0 движении твердого тела с полостью, содержащей жидкость, под действием внешней: периодической силы. -Сборник по вопросам математики и механики. Алма-Ата, 1976, вып.8, с.105-109.

43. Аманжолова Ш.С. К вопросу о механическом аналоге колебаний жидкости в сосуде. Сборник по вопросам математики и механики. Алма-Ата, 1976, вып.8, с.109-118.

44. Аманжолова Ш.С. Поперечные колебания горизонтальной цилиндрической цистерны при неполном наливе. Тезисы докладов У1 Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике. Алма-Ата, 1977, ч.2, с.47-48.

45. Аманжолова Ш.С. Движение горизонтального цилиндрического резервуара с жидкостью под действием вертикальных сил. -Сборник по вопросам механики и прикладной математики. Алма-Ата,1978, с.46-50.

46. Аманжолова Ш.С. Определение сил давления колеблющейся жидкости на стенки подвижного резервуара. Депониров. в Каз НИТИ, Алма-Ата, 15.03.83, й 421К-Д83, 12 с.1. СОДЕ Р Ж А Н И Е стр>