Движение проводящего твердого тела с полостью, частично заполненной проводящей жидкостью, в магнитном поле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ВВЕЩЕНИЕ.

§ I. Обзор литературы и постановка задачи.

§ 2. Некоторые сведения из электродинамики сплошных сред.

§ 3. Общие уравнения движения и некоторые первые интегралы.

Глава I. ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПРОВОДЯЩЕГО ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЬЮ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОЙ ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ, В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

§ I. Особенности поступательного движения проводящего твердого тела с проводщ^й- жидкостью в неоднород

• •• <• ном квазистационарном магнитном поле.

§ 2. Уравнения возмущенного движения.

§ 3. Расчет коэффициентов уравнений возмущенного движения для полости в форме прямого кругового цилиндра.

§ 4. Возмущенное движение проводящего твердого тела, содержащего в полости проводящую жидкостю, в однородном квазистационарном магнитном поле.

§ 5. Частные задачи.

Глава II. СТАЦИОНАРНОЕ ВРАЩЕНИЕ ВОКРУГ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ОСИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СОСУДА, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОГО ПРОВОДЯЩЕЙ вязкой жадностью, В МАГНИТНОМ

ПОЛЕ.

§ I. Вращение цилиндрического сосуда с проводящей жидкостью в радиальном магнитном поле.

§ 2. Вращение проводящего твердого тела с проводящей жидкостью в осевом магнитном поле.

§ 3. Электромагнитное вращение проводящего цилиндрического сосуда, частично заполненного проводящей жидкостью.

Глава III. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ВРАЩЕНИЕ ПРОВОДЯЩЕГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СОСУДА С ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

§ I. Нестационарное вращение цилиндрического сосуда с проводящей жидкостью в радиальном магнитном поле.

§ 2. Нестационарное вращение проводящего цилиндрического сосуда с проводящей жидкостью в осевом магнитном поле.

§ 3. Нестационарная задача об электромагнитном вращении проводящего цилиндрического сосуда, частично заполненного проводящей жидкостью.

Глава 1У. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВРАЩЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СОСУДА, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОГО ПРОВОДЯЩЕЙ ЖИДКОСТЬЮ, С УЧЕТОМ ВТОРИЧНЫХ ТЕЧЕНИЙ.

§ I. Стационарная задача.

§ 2. Нестационарная задача.

Вопрос о движении тел с полостями, содержащими жидкость, относится к числу классических задач механики. Отдельные результаты в решении этой задачи связаны с именами выдающихся ученых середины прошлого века: Стокса, Гельмгольца, Ламба, Любека, Неймана. Первые фундаментальные результаты были получены Н.Е.Жуковским (1875 г.) для случая безвихревого движения жидкости при полном заполнении полости [i] . Жидкость в работе Жуковского предполагалась невязкой и несжимаемой. Как известно, в этом случае задача решается при помощи введения эквивалентного твердого тела. Исследования нашего великого соотечественника позволили в некоторых случаях теоретически расчитать движение летательных аппаратов, несущих жидкость в топливных баках, а также были использованы при расчетах движения судов-танкеров и железнодорожных цистерн с жидкостью.

Развитие авиационной, космической и других видов техники требовало создания более адекватных математических моделей, в частности, учитывающих влияние вязкости жидкости. Известно [2] , что даже при больших значениях гидродинамического числа Рейнольдса ( Re >> / ) влияние вязкости весьма существенно сказывается в тонком пограничном слое, прилежащем к поверхности твердой стенки, смачиваемой жидкостью. Плодотворная идея пограничного слоя нашла широкое применение в динамике тел с полостями, содержащими жидкость. Общий алгоритм решения таких задач предложен Черноусько Ф.Л.

3] .

Всеобъемлющую характеристику состояния данной проблемы на период до середины 60-х годов содержит монография Моисеева Н.Н. и Румянцева В.В. [4] , которая является обобщением огромного количества работ в этой области многих советских и зарубежных ученых. В книге приводится классификация направлений в исследовании динамики тел с полостями, содержащими жидкость, анализируются современные методы решения задач, указываются пути дальнейшего развития проблемы.

При частичном заполнении полости на поверхности жидкости неизбежно возникают волны. Волновые движения в ряде случаев оказываютзесьма существенное влияние на динамику твердого тела и могут явиться причиной неустойчивости движения последнего. В связи с этим возникла необходимость составления и исследования уравнений возмущенного движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью. Такие уравнения были впервые получены и развиты в работах советских ученых Нариманова Г.С. [5-б] , Сретенского Л.И. [7] , Охоцимс-кого Д.Е. [8] , Колесникова К.С. [9] , Моисеева Н.Н. [ю], Рабиновича Б.И. [II,19] и других. В настоящее время разработана методика составления этих уравнений для маловязкой жидкости.

Если твердое тело и жидкость электропроводны, то движением системы "тело + жидкость " можно безконтактно управлять с помощью внешнего магнитного поля. Движение проводящей жидкости в присутствии магнитного поля составляет предмет изучения сравштельно новой области гидромеханики - магнитной гидродинамики (МГД). Магнитные силы, действующие в проводящей жидкости, способны изменить структуру её течения,повлиять на его устойчивость [13] , что в конечном счете сказывается на движении твердого тела. Магнитогидродинами-ческие задачи имеют приложения при расчетах электромеханических преобразователей с жидким рабочим телом, а также используются применительно к металлургическим процессам [16-19,23-25,66-67] . В большинстве приведенных работ авторов интересует движение жидкости под действием электромагнитных сил в неподвижном сосуде. В работах [26-27] изучается вращение полого цилиндра без торцевых поверхностей в проводящей жидкости в магнитном поле. Вращение проводящей жидкости в магнитном поле вблизи вращающегося диска рассматривается в работах [28-29] .

В настоящее время большое внимание уделяется проблеме устойчивости движения тел с полостями, содержащими жидкость. В работах [30-32] исследуется устойчивость движения гироскопа с жидким наполнением. Наибольшее практическое применение имеют роторные системы с полостями, частично заполненными жидкостью, занимающей кольцеобразную область с круговой свободной поверхностью [33-36]. Повышения динамической устойчивости роторных систем можно добиться наложением внешнего магнитного поля при условии, что жидкость является проводящей [37-38] .

Имеется большое количество работ, в которых изучается динамика изотропного проводящего твердого тела в магнитном поле [39-46, 48] .Эти исследования имеют прямое приложение в динамике космических аппаратов, а также в электромеханических системах [39,43,70] .

Известно несколько работ [47,49,50] , в которых ставится общая задача о движении проводящего твердого тела,в полости которого содержится проводящая жидкость, в магнитном поле. В этих работах получены общие уравнения невозмущенного движения системы и решены некоторые частные задачи, в которых жидкость полностью заполняет полость.

Целью настоящей работы является изучение некоторых частных случаев динамики проводящего твердого тела, полость которого частично заполнена проводящей несжимаемой жидкостью, в присутствии магнитного поля. Основной задачей является изучение движения твердого тела под действием всех внешних сил, реакций связей, магнитных сил, а также сил воздействия жидкости на твердое тело. При такой постановке задачи необходимо исследовать характер динамического взаимодействия тела и жидкости и решать МГД-задачи с требуемой степенью точности. Решению МГД-задач в работе уделено довольно большое внимание, однако они носят лишь вспомогательный характер, входя составной частью в общий алгоритм решения задач о движении твердого тела.

Актуальность темы определяется как чисто теоретическим интересом, связанным с выявлением новых особенностей движения проводящих систем в магнитном поле, так и многочисленными практическими приложениями в космической, авиационной технике, в электромеханических преобразователях, в некоторых металлургических процессах. В ряде случаев движение плазмы вполне удовлетворительно описывается МГД-теорией, поэтому полученные результаты могут быть использованы в различных устройствах, содержащих плазму, например, в го-мополярниках [51-54] .

Метод исследования. В основу исследования положены уравнения математической модели движения абсолютно твердого тела с полостью, частично заполненной однородной несжимаемой жидкостью. Особенностью этих уравнений является присутствие в них магнитных сил и их моментов, а также сил давления жидкости на стенки полости и моментов этих сил. Такой подход позволяет применить для решения всех рассматриваемых задач метод последовательных приближений Пикара [75] , который приводит к рекуррентным формулам и позволяет производить расчеты с требуемой степенью точности. Использованный метод обеспечивает сходимость результатов при возрастании номера приближения.

Научная новизна. В диссертационной работе получены и исследуются уравнения возмущенного поступательного движения проводящего твердого тела с полостью, частично заполненной проводящей жидкостью, в магнитном поле. Изучены некоторые случаи, когда магнитные силы повышают устойчивость поступательного движения системы и когда способствуют его неустойчивости. Решены стационарные и нестационарные задачи о вращении вокруг вертикальной собственной оси цилиндрического сосуда с тяжелой проводящей жидкостью в магнитном поле с учетом трехмерной структуры течения и изменения высоты смачиваемой поверхности полости.

Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе исследуется поступательное движение проводящего твердого тела с полостью, частично заполненной идеальной проводящей жидкостью, в магнитном поле. Выводятся уравнения возмущенного движения твердого тела в случае квазистационарного однородного магнитного поля при условии одинаковой проводимости тела и жидкости. Рассмотрены частные случаи движения цилиндрического кругового сосуда с проводящей жидкостью при различных законах зависимости индукции магнитного поля от времени. Волновые движения жидкости на свободной поверхности учитываются в пределах теории малых колебаний. Полученные решения уравнений возмущенного движения позволяют для конкретных случаев сделать вывод об устойчивости или неустойчивости поступательного движения твердого тела.

Во второй главе рассматриваются задачи о стационарном вращении цилиндрического сосуда с проводящей вязкой жидкостью вокруг закрепленной оси, совпадающей с осью цилиндра, в магнитных полях различной ориентации. Задачи решаются без учета вторичных течений.

Третья глава посвящена решению нестационарных задач о вращении проводящего цилиндрического сосуда с проводящей вязкой жидкостью в магнитных полях различной ориентации.При этом стационарные задачи, решенные в предыдущей главе, используются в качестве нулевых приближений.

В четвертой главе рассмотрена одна автомодельная задача (стационарная и нестационарная) с учетом вторичных течений, возникающих во вращающемся сосуде конечных размеров.

В заключении в концентрированном виде приведены выводы, вытекающие из рассмотренных задач.

Список литературы содержит 84 наименования.

В приложении помещены распечатки программ численных расчетов на ЭВМ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем в сжатом виде основные результаты, полученные в работе, и сформулируем выводы, вытекающие из них.

I. При изучении поступательного движения проводящего твердого тела с полостью, частично заполненной проводящей идеальной жидкостью, в неоднородном нестационарном магнитном поле установлено, что несущее твердое тело испытывает действие переменных возмущающих сил и их моментов. Определены главные векторы этих сил и их главные моменты (гл.1,§1).

2. Составлены уравнения возмущенного поступательного движения проводящего твердого тела с полостью, содержащей проводящую идеальную жидкость, в однородном нестационарном магнитном поле при условии квазипотенциальности магнитных сил (гл.1,§2). Расчитаны коэффициенты уравнений возмущенного движения для полости в форме прямого кругового цилиндра с плоским днищем (гл.1,§ 3).

3. Разработан алгоритм приближенного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих возмущенное движение проводящего цилиндрического сосуда с проводящей идеальной жидкостью в магнитном поле (гл.1, §4). Предложенный алгоритм приводит к получению рекуррентных формул, позволяющих с заданной степенью точности определить движение несущего твердого тела. Дана численная реализация данного алгоритма на фортране. На частных примерах показана сходимость результатов при возрастании номера приближения.

4. На основании приближенных решений уравнений возмущенного движения для конкретных задач проведены численные расчеты и сделаны выводы об устойчивости или неустойчивости данного поступательного движения по отношению к возмущающим магнитным силам и их моментам. Рассмотрены случаи возмущенного поступательного движения свободного несущего тела и случаи движения несущего тела на квазиупругой подвеске (гл.1, §5).

Вывод: возмущающие магнитные силы и их моменты в ряде случаев являются причиной неустойчивости поступательного движения проводящего твердого тела с полостью, частично заполненной проводящей жидкостью.

5. Изучено вращательное движение вокруг закрепленной вертикальной оси кругового цилиндрического сосуда, частично заполненного проводящей вязкой жидкостью в магнитных полях различной ориентации. Указано на технические приложения данных задач.

Получена расчетная формула, определяющая высоту смачиваемой боковой поверхности полости в зависимости от азимутальной скорости вращения жидкости. Во всех нестационарных задачах учитывается изменение высоты смачиваемой поверхности с течением времени.

6. Алгоритм решения нестационарных задач основан на методе последовательных приближений и применим только для случаев монотонного разгона или монотонного торможения жидкости. Получены рекуррентные формулы, с помощью которых движение твердого тела определяется с требуемой степенью точности и обеспечивает сходимость результатов с возрастанием номера приближения. Дана численная реализация алгоритма на фортране, результаты расчетов представлены в виде графиков.

7. Рассмотреш стационарная и нестационарная задачи о вращательном движении проводящего цилиндрического сосуда с проводящей маловязкой жидкостью в скрещенных электрическом и магнитном полях с учетом вторичных течений и образованной ими трезмерной структуры течения (гл.ГУ). Решение МГД-задачи получено в классе автомодельных функций и более точно согласуется с результатами известных экспериментов. Получен критерий отсутствия вторичных течений. Указаны границы устойчивости ламинарно-вихревой структуры течения в МГД-пограничных слоях и перехода к турбулентности.

8. Из полученных решений следует, что метод последовательных приближений в целом ряде задач о движении тела, содержащего жидкость, достаточно точно отражает характер динамического взаимодействия тела и жидкости и позволяет избежать непреодолимых математических трудностей, связанных с интегрированием полной системы уравнений, описывающих это движение.

9. Во всех случаях указаны условия, ограничивающие применение теории и обоснована необходимость и достаточность этих условий.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Заслуженному деятелю науки Каз ССР, доктору физико-математических наук, профессору Сапа В.А. за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью. Собр.соч. т.1., Гостехиздат, 1948.

2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, с.36-40, с.100-106, с.218-226, с.378-385, с.582-586.

3. Черноусько Ф.Л. Движение твердого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость. М.: ВЦ АН СССР, 1968.

4. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965,с.19-67.

5. Нариманов Г.С. О движении твердого тела, полость которого частично заполнена жидкостью.-Прикладная математика и механика, т.20, Jfc I, 1956, с.21-38.

6. Нариманов Г.С. О движении сосуда, частично заполненного жидкостью. Учет немалости последней. -Прикладная математика и механика, т.21,№ 4, 1957, с.513-524.

7. Сретенский 1.И. Колебания жидкости в подвижном сосуде. Изв. АН СССР, № 10, 1951, с.1483-1494.

8. Охоцимский Д.Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью.-Прикладная математика и механика, т.20, № I, 1956, с.3-20.

9. Колесников К.С. Колебания жидкости в цилиндрическом сосуде. М.: Наука, 1964, с.5-35.

10. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение, 1968, с.9-31,с.34-38,с.42-47,с.57-63,с.104-122,с.279-284.

11. Брановер Г.Г., Цинобер А.Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред. М.: Наука, 1970, с.9-19,с.38-44,с.81-123,с.243-259,с.362-372.

12. Новиков И.И. Прикладная магнитная гидродинамика. М.: Атомиздат, 1969, с.205-236.

13. Каулинг Т.Г. Магнитная гидродинамика. М.: Наука, 1972, с.10-22,71-73.

14. Богоуславский В.А., Элькин А.И., Литовский Е.И. Вращение электропроводной жидкости со свободной поверхностью во вращающемся поле. Магнитная гидродинамика, № 2, 1973, 25-30.

15. Богоуславский В.А., Толмач И.М., Литовский Е.И. Опыт коммутации килоамперного тока жидким металлом. Магнитная гидродинамика, № I, 1972, 153-154.

16. Кирко И.М., Кирко Г.Е. Магнитная гидродинамика при экстремальных процессах. М.: Наука, 1982, с.4-13.

17. Горбачев Л.П., Потанин Е.П. Вращательное движение электропроводящей жидкости в скрещенных электрическом и магнитном полях. Магнитная гидродинамика, № 3, 1970, с. 146-149.

18. Горбачев Л.П., Потанин Е.П. К расчету МГД-пограничного слоя на дисках.- Магнитная гидродинамика, № 2, 1969,с.93-96.

19. Горбачев Л.П.,Никитин Н.В. О движении электропроводящей жидкости между двумя дисками в скрещенных электрическом и магнитном полях. -Магнитная гидродинамика, № 3,1973, с.133-136.

20. Горбач Л.П., Тубин А.А. О вторичных течениях жидкости между вращающимися коаксиальными цилиндрами конечной длины в осевом магнитном поле. Магнитная гидродинамика, Ш 3, 1974, с.37-40.

21. Горбачев Л.П., Никитин Н.В., Устинов А.Л. О МГД-враще-нии электропроводной жидкости в цилиндрическом сосуде конечных размеров. Магнитная гидродинамика, № 4,1974, с.32-42.

22. Никитин Н.В. О МГД-вращении электропроводящих сред в скрещенных полях.- Магнитная гидродинамика, Ж,1978, с.73-82.

23. Горбачев Л.П., Никитин Н.В. МГД-течение в цилиндрическом сосуде конечных размеров с турбулентными пограничными слоями.-Магнитная гидродинамика, № 1,1979,0.63-68.

24. Кузнецов С.Е. Вращение цилиндра в проводящей жидкостив осевом магнитном поле. -Магнитная гидродинамика, № 2, 1973, с.12-18.

25. Кузнецов С.Е., Андреев В.И. О моментах, действующих на боковые поверхности полого цилиндра, вращающегося в проводящей жидкости в осевом магнитном поле. Магнитная гидродинамика, № 2, 1974, с.108-112.

26. Шарикадзе Д.В. Нестационарное течение слабо проводящей жидкости, создаваемой вращением диска. -Магнитная гидродинамика, № 3, 1969, с.43-46.

27. Шидловский В.П. Исследование движения вязкой электропроводной жидкости,вызванного вращением диска, при наличии осевого магнитного поля. Магнитная гидродинамика, № I, 1966.

28. Иващенко Б.П. Движение гироскопа с полостью,заполненной вязкой жидкостью.- Прикладная механика,т.14, J®8, 1978, c.IIO-115.

29. Иващенко Б.П. Движение гироскопа с полостью,заполненной жидкостью большой вязкости.- Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Киев, 1984.

30. Дяченко М.П. Колебания тяжелого симметричного волчка с полостью, частично заполненной жидкостью.-Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук,Киев, 1972.

31. Дайч И.М. Неконсервативная задача о колебаниях твердого тела с полостью,частично заполненной идеальной жидкостью. прикладная механика, т.7, Ш 7, 1971,с.44-48.

32. Дайч И.М., Бар И.Л. Колебания вращающегося твердого тела с полостью, частично заполненной вязкой жидкостью.-Прикладная механика, t.9,J6 5, 1973,с.64-68.

33. Дайч И.М.,Бар И.Л.Дорзовская И.Д. Нелинейные колебания вращающегося твердого тела с полостью, частично заполненной идеальной жидкостью.- Прикладная механика, т.12,№ 6, 1976,0.111-115.

34. Бессонов А.П., Джолдасбеков У.А., Кунакбаев Т.К., Рахимов Е.Р., Шерьязданов Г.Б. Колебания и устойчивость роторных систем с полостями, частично заполненными жидкостью. Механика машин,вып.55,М.:Наука,1979,с.133-137.

35. Голубков В.В. Момент сил в магнитном поле. Космические исследования, т.10,№ I, 1972,с.20-39.

36. Кобрин А.И. ,Мартыненко Ю.Г. Движение проводящего твердого тела около центра масс в медленно изменяющемся магнитном поле. ДАН СССР,т.261,№ 5,1981,с.1070-1073.

37. Кобрин А.И. ,Мартыненко Ю.Г. Динамика проводящего твердого тела в высокочастотном магнитном поле. -ДАН СССР, т.255, № 5, 1981, с.1063-1065.

38. Мартыненко Ю.Г. Движение проводящего твердого тела около неподвижной точки в магнитном поле. Изв.АН СССР, Механика твердого тела, № 4, 1977, с.36-45.

39. Мартыненко Ю.Г. Раскрутка гироскопа с неконтактным подвесом ротора. Изв.АН СССР, Механика твердого тела,1. Ш 5, 1973, с.35-40.

40. Линьков Р.В., Урман Ю.М. Пондемоторное взаимодействие вращающегося проводящего шара с переменным неоднородным магнитным полем. -Журнал технической физики,т.44, В 11,1974, с.2255-2264.

41. Сермонс Г.Я. Динамика твердых тел в электромагнитном поле. Рига, Зинатне, 1974,с.5-52.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.:Наука, 1982,с.154-186,с.278-291,с.313-340.

43. Павлов A.M., Сапа В.А. Уравнения движения твердого тела с полостью, содержащей жидкость, в магнитном поле. Сб. трудов аспирантов и соискателей MB и ССО Каз ССР,вып.6, Алма-Ата, 1972.

44. Павлов A.M. Движение проводящего гироскопа в магнитном поле. Сб.MB и ССО Каз ССР ,Математика и механика,вып. 8, Алма-Ата, 1973, с.66-78.

45. Павлов A.M. К движению твердого тела с полостью, содержащей вязкую слабо проводящую жидкость.-Сб. MB и ССО. Каз ССР, Математика и механика, вып.8, Алма-Ата,1973, с.78-84.

46. Молюков И.Д., Павлов A.M., Шерьязданов Г.Б. К движению твердого тела с полостью, содержащей вязкую слабопро-водящую жидкость. ч.П, Сб. MB и ССО Каз ССР, Математика и механика, вып.8, Алма-Ата, 1973, с.85-94.

47. Ганницкий А.И., Дробышевский Э.М.,Розов С.И. О трехмерном движении плазмы в гомополярнике. Журнал технической физики, т.38,$ 12, 1968, с.2070-2072.

48. Ганницкий А.И. Дробышевский Э.М., Розов С.И. Трехмерное нестационарное движение газоразрядной плазмы в гомополярнике. Журнал технической физики,т.40,вып.10,1970, с.2156-2163.

49. Ганницкий А.И.,Чекмарев И.Б. Численное исследование вращения электропроводной жидкости в гомополярнике. -журнал технической физики, т.41, вып.1, 1971,с.207-211.

50. Донской К.В., Дробышевский Э.М. Исследование стационарного потока слабопроводящей плазмы в гомополярнике. -Журнал технической физики,т.35, вып.1,1965,с.84-91.

51. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.:Наука,1976, с.345-354.

52. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.:Наука, 1978, с.54-66,с.157-178,с.362-378,с.391-399,с.439-448, с.451-459,с.480-486.

53. Бершадский А.Г. О проблеме Рейнольдса и устойчивости в МГД. Магнитная гидродинамика, № I, 1983, с.67-70.

54. Бершадский А.Г., Димашко Ю.А. К эффекту ламинаризации течений проводящей жидкости в сильном азимутальном магнитном поле.- Магнитная гидродинамика,№ 2,1981,с.127-129.

55. Шелухин Е.М., Бурский В.П. ,Бакуменко С.П.,Якушев О.С., Афанасьев Н.Д. Ламинарное вращение проводящей жидкости в цилиндрическом сосуде под действием кондукционных сил -Магнитная гидродинамика, № 2, 1978,с.73-76.

56. Кочин Н.Е., Кибель И.А.,Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика,ч. I . М.:Гостехиздат, I948,c.II0-I24,c.40I-407.

57. Кочин Н.Е.,Кибель И.А.,Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, 4.II.M.:Гостехиздат,1948,с.267-312,с.548-555.

58. Фещенко С.Ф.Дуковский И.А.Рабинович Б.И.Докучаев

59. Л.В. Методы определения присоединенных масс жидкости в подвижных полостях. Киев,Наукова думка, 1969,с.5-14, с.21-29, с.63-69.

60. Богоряд Н.Б., Дружинин И.А. Дружинина Г.З. Дибин Э.Е. Введение в динамику сосудов с жидкостью,Томск,1978,с.7-19,с.39-46.

61. Гидромеханика невесомости. Под ред.Мышкиса А.Д. М. .-Наука, 1976,с.28-33,с.42-65,с.67-81.

62. Павлов С.И.,Якович А.Т. Влияние мениска на циркуляцию расплава в индукционной электропечи. Магнитная гидродинамика, В 3, 1981,0.104-109.

63. Хентов А.А. Об одном вращательном движении спутника. -Космические исследования,т.22,$ I, I984,c.I30-I3I.

64. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.М.:Наука, 1966, с.II-26.

65. Котляков Н.С. ,Глинер Э.Б. .Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики.М.:Высшая школа, 1970,с.389-392,с.508-513.

66. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.М.:Наука, 1976,с.365,с.398-403.

67. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.М.:Наука,1983, с.122-134.

68. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.:Наука, 1980,с.89-103.

69. Теоретическая механика.Терминология.Буквенные обозначения. Сб.рекомендуемых терминов,вып.102,М.:Наука, 1984.

70. Томилин А.К. К задаче о вращении проводящего твердого тела с цилиндрической полостью, заполненной проводящей жидкостью,в магнитном поле.-Рук.деп.в ВИНИТИ6545-82 ДЕЛ.

71. Томилин А.К. К задаче о вращении цилиндрического сосуда, частично заполненного проводящей жидкостью, в радиальном магнитном поле. Рук.деп.в Каз НИИТИ №429 Ка-Д83.

72. Томилин А.К. Вращение твердого тела с проводящей жидкостью в магнитном поле при наличии внешней цепи.-Meханика твердого и деформируемого тела. Сб. научных трудов,Алма-Ата,1984,с.101-112.

73. Томилин А.К. Нестационарные задачи о вращении твердого тела с проводящей жидкостью в магнитном поле.-Механика твердого и деформируемого тела. Сб. научных трудов, Алма-Ата,1984, с.89-101.

74. Shivamoggi В. К. A variational, principle for surface waves in magnetohydrodynamics. -Quarterly of applied mathematics, 1983,1. VA, N4, p. 31-33.

75. Montgomery 1). Thzesholds -for the Onset of Fluid and Magnetofluid Turbulence. —Physica Script a, 1982, V. TljZ, 506-510.