Идентификация полости в ортотропной упругой полосе тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Беляк Ольга Александровна

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПОЛОСТИ В ОРТОТРОПНОЙ УПРУГОЙ ПОЛОСЕ

01 02 04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

00344Э 131

Ростов-на-Дону - 2008

003449131

Работа выполнена в Южном федеральном университете на кафедре теории

упругости

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Соловьев Аркадий Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Зеленцов Владимир Борисович

Ведущая организация

Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится « 28 » октября 2008 г в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212 208 06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу 344090, г Ростов-на-Дону, ул Мильчакова 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд 211

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу г Ростов-на-Дону, ул Пушкинская, 148

Автореферат разослан « 25 » сентября 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Н В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Многие актуальные проблемы техники, такие как исследование сейсмостойкости сооружений, разведка полезных ископаемых, проектирование и эксплуатация конструкций в условиях динамического нагружения, совершенствование моделей неразрушающего контроля, требуют решения динамических задач теории упругости для слоистых структур с дефектами различной структуры (включения, поры, полости, микротрещины), своевременная диагностика которых позволяет выявлять опасные с точки зрения механики разрушения дефекты Поскольку большинство современных конструкционных материалов и грунтов являются анизотропными (ортотропными), то моделирование волновых процессов в слоистых средах с дефектами в рамках модели ортотропного упругого тела весьма актуально

Многие аспекты волновых процессов могут быть изучены на основе исследования математических моделей, которые базируются на решениях краевых задач о колебаниях анизотропного слоя с дефектами различной природы полости, включения, а также задач об определении конфигурации дефекта и его месторасположения по информации о полях перемещений на поверхности слоя

С точки зрения причинно-следственной связи задачи о колебаниях упругих тел с полостями принято разделять на два класса Первый - класс прямых задач, целью которых является определение волнового поля в упругом теле с известной геометрией полости на основе заданных граничных условий Второй класс - это обратные задачи (03), в которых требуется по известным полям смещений, заданным на части границы области, определить местоположение и конфигурацию полости В последнее время методы решения 03, которые являются нелинейными и некорректными, активно развиваются, что связано с моделированием различных динамических процессов на основе моделей теории упругости (дефектоскопия, геофизика, сейсморазведка)

Одним из наиболее эффективных методов решения стационарных задач о колебаниях тел с полостями, особенно неканонической формы, является метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), позволяющий снизить размерность исследуемых задач на единицу К настоящему моменту решения задач о колебаниях упругих тел, ослабленных дефектами, изучены достаточно подробно и в основном опираются на метод сведения исходной краевой задачи к системе ГИУ и на исследование его дискретного аналога - конечномерной алгебраической системы, построенной на основе метода граничных элементов (МГЭ) Однако обратные задачи о реконструкции параметров полости по некоторой информации о полях перемещений на части границы упругого тела исследованы недостаточно

Изложенное выше определяет актуальность и практическую значимость работы

Цель работы состоит в разработке эффективных численно-аналитических методов исследования прямых и обратных задач динамической теории упругости для ортотропного упругого слоя с полостью произвольной конфигурации,

Методика исследования прямых задач базируется на сведении исходных краевых задач к системам ГИУ на основе обобщенной теоремы взаимности и построении функции Грина для слоя, численный анализ которых осуществлен при помощи идей МГЭ Обратная задача идентификации полости сведена к решению системы нелинейных операторных уравнений, содержащей как сингулярные, так и вполне непрерывные операторы 1-го рода Дальнейшее исследование полученной системы произведено на основе двух подходов Один из них состоит в построении итерационного процесса на основе метода линеаризации исходных нелинейных уравнений системы в окрестности некоторого начального положения полости Второй подход основан на методе регуляризации на (компактных) конечномерных множествах Такой подход может быть реализован при наличии некоторой априорной информации, например, что контур полости описывается алгебраической кривой п -го порядка Таким образом, решение обратной задачи сводилось к нахождению

коэффициентов алгебраического или тригонометрического многочлена п-то порядка Поиск таких параметров осуществлялся из условия минимума неквадратичного функционала невязки в конечномерном евклидовом пространстве

В работе помимо реализаций, основанных на идеях ГИУ, предложен также асимптотический подход к исследованию прямой и обратной задач о колебаниях ортотропного слоя с цилиндрической полостью, поперечное сечение которой -окружность малого размера г по сравнению с толщиной слоя Определена область применимости асимптотического подхода и приближения Борна

Достоверность результатов, полученных в работе, основана на строгом аппарате математической теории упругости, на корректном сведении краевых задач для слоя с цилиндрической полостью произвольного поперечного сечения к системам ГИУ, на их численном и асимптотическом анализе Полученные результаты в настоящей диссертационной работе подвергались проверке путем сравнения с результатами, полученными иными способами Проведено сравнение полученного асимптотического решения с решением прямой задачи на основании метода граничного элемента для различных вариантов дискретизации систем ГИУ, позволившее установить границы применимости ГЭ аппроксимации, асимптотических теорий при решении как прямых, так и обратных задач Научная новизна результатов работы

Развиты численные методы решения прямых и обратных задач о колебаниях ортотропного слоя с полостью произвольной формы на основе МГЭ, впервые получены формулы расчета полей смещений при установившихся колебаниях ортотропного упругого слоя с цилиндрической полостью кругового поперечного сечения на основе асимптотического подхода, осуществлена оценка их применимости и приближения Борна

Практическая ценность результатов настоящего исследования состоит в развитии метода ГИУ, методов идентификации полостей малых характерных размеров, исследовании области применимости различных прикладных теорий,

выявлении зависимости восстановления геометрии контура от частоты зондирования и расположения точек зондирования на поверхности слоя Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на X, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2006 г, 2007 г ), на IV, V международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (г Донецк

2006 г, 2008 г ), на III и IV школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г Ростов-на-Дону, г Краснодар 2004,

2007 гг ), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ (РГУ) Публикации

По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе две статьи [2], [4] в журналах «Экологический вестник научных центров черноморского сотрудничества (ЧЭС)», «Дефектоскопия» (2006 г ), которые входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованный ВАК РФ

Структура содержание и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 155 наименований, приложения, включающего 21 рисунок и 9 таблиц общим объемом 140 страниц машинописного текста

Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00734), гранта Президента РФ для поддержки молодых ученых и ведущих научных школ НШ-2113 2003 1

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по исследованию динамических задач теории упругости для областей с дефектами и основные методы исследования прямых и обратных задач для областей с дефектами

Задачи динамической теории упругости о колебаниях тел с дефектами изучались в работах В А Бабешко, В Г Баженова, H В Боева, А О Ватульяна,

И И Воровича, Е В Глушкова, Н В Глушковой, Р В Гольдштейна, В Т Гринченко, А Н Гузя, JI А Игумнова, В Д Кубенко, А А Ляпина, В В Мелешко, О Д Пряхиной, М Г Селезнева, JIИ Слепяна, А Н Соловьева, М А Сумбатяна, А Г Угодчикова, Н М Хугорянского, Ю А Устинова, М А Черевко, D Kolton, R Kress, J D Achenbach, M Bonnet, Y Ikehata, Y Niwa, К F Graff, S Kobayashi, T V Rangelov, G D Manolis и других отечественных и зарубежных авторов В отмеченных исследованиях используются методы сведения динамических задач к граничным интегральным уравнениям, методы сведения к бесконечным системам линейных уравнений, метод многократных отражений, метод суперпозиции Кроме отмеченных подходов, для решения исследуемых задач применялись методы интегральных преобразований и метод, основанный на применении обобщенной теоремы взаимности Обоснована актуальность настоящего диссертационного исследования, сформулированы основные цели работы

В первой главе рассматриваются постановки прямых задач об установившихся колебаниях ортотропного упругого слоя с цилиндрической полостью, направляющая которой Zq есть гладкая замкнутая кривая В первом параграфе изложена общая постановка о колебаниях ортотропного слоя с полостью произвольной конфигурации В параграфе 2 изложены постановки прямых задач для антиплоских (задача 1) и плоских (задача 2) колебаний ортотропного слоя с полостью

Рассмотрены установившиеся колебания с частотой а ортотропного упругого слоя толщины h с цилиндрической полостью произвольной конфигурации, не выходящей на границы слоя Нижняя грань слоя жестко защемлена и совпадает с осью Ох 1, ось Охз направлена перпендикулярно вверх Колебания в слое вызваны распределенной или сосредоточенной нагрузкой, приложенной к верхней части границы слоя

В случае антиплоской задачи ненулевой компонентой вектора перемещений является компонента uj = и(*ь*з) > краевая задача имеет вид

'о

(2)

где С44 = С2323> Cgg = Q212 ~~ упругие постоянные материала

В случае плоской деформации краевая задача имеет вид

Сц"1Д1 +С55И133 +(С13 +С55)издз +рсо2и1 =0 С55"3,11 +С3ЗМ3>33 +(С13 +С55)мцз +р(02иъ =0

и| Ц=0 = СГтЗ |*3=/, = Рт > г = 1.3

(3)

(4)

(х1;Х3)б/0 <7цп,\ =0, -"'о

где Си = Ci m, Ci3=Cii33, С3з=Сзззз, C55=Ci3i3 - упругие постоянные материала, п}, у = 1,3 - компоненты единичного вектора нормали, внешнего по

отношению к области, занятой упругой средой

Замыкают постановки задач 1, 2 условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения

В параграфе 3 дается постановка обратных задач 3, 4 об установившихся колебаниях ортотропного упругого слоя с полостью произвольной конфигурации, где на основании заданных полей на части поверхности слоя или их амплитуд требуется восстановить форму поперечного сечения цилиндрической полости

Вторая глава посвящена сведению исходных краевых задач к системам граничных интегральных уравнений и их исследованию В первом и втором параграфе изложены способы построения матрицы-функции Грина для задач 1, 2 и проведено их исследование В третьем параграфе изложено сведение краевых задач 1, 2 к системам интегральных уравнений Построены представления волновых полей в слое, которые имеют вид (5), (для задачи 1 i,m = 2, j = 1,3, для задачи 2 г, j,m = 1,3)

ит (£) = и,

эт m

(#)- (х^)П1(х)иi,j,m = 1,3, (5)

'о

где - компоненты тензора напряжений, которые определяются через

компоненты матрицы-функции Грина для соответствующей задачи и закона Гука Соотношение (5) позволяет рассчитывать поле в слое При этом волновые поля представимы в виде суммы двух слагаемых, первое из которых - эталонное поле, являющееся полем смещений в среде без дефекта, второе слагаемое

обусловлено наличием в слое полости Выражения для представимы в

виде интегралов по контуру а, который расположен в соответствии с принципом предельного поглощения

В четвертом параграфе описано сведение систем ГИУ для задач 1, 2 к системам алгебраических уравнений на основе МГЭ Соотношения (5) позволяют вычислить перемещения в любой точке слоя, если определить смещения на контуре полости, для определения которых получены системы ГИУ с нерегулярными ядрами, которые представлены уравнениями (6) для значений индексов 1,т = 2, 7 = 1,3 в случае задачи 1 и г, = 1,3 для задачи 2

\:ит{у) = иэ™{у)-у р \(J<¡™\x,y)nJ{x)ul{x)dlx, уе10, т,1,]= 1,2,3 (6) 1

'о

Следует отметить, что интеграл по контуру дефекта понимается в смысле главного значения по Коши

Проведено численное исследование полученных систем сингулярных интегральных уравнений (6) и полей перемещений на верхней границе слоя Изложены основные идеи МГЭ, проведена дискретизация систем ГИУ с использованием а) постоянной и б) линейной аппроксимации неизвестных функций смещений на контуре полости Серии численных экспериментов показали, что относительная разница расчета поля смещений на поверхности слоя для двух типов граничных элементов (линейные и постоянные ГЭ) не превосходила 3% в случае, когда число постоянных ГЭ в два раза больше числа линейных ГЭ Заметим, что реализация подхода б) более трудоемка и занимает значительно больше машинного времени по сравнению с реализацией метода а),

тогда как сходимость решения к истинному можно обеспечить увеличением числа ГЭ при аппроксимации контура Zq постоянными ГЭ В результате дискретизации систем ГИУ (5) получены системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для определения узловых значений функций смещений на контуре полости Матрицы СЛАУ имеют явное диагональное преобладание, являются хорошо обусловленными и их решения устойчивы к малым вычислительным погрешностям элементов СЛАУ Несмотря на отсутствие явного представления матриц Грина, получено представление коэффициентов алгебраических систем в виде однократных интегралов по контуру а

На основе найденных узловых значений функций смещений на контуре полости построены волновые поля перемещений на верхней границе слоя

В параграфах 5 и 6 представлена численная реализация задач 1, 2 на основе созданного комплекса программ на языке Fortran Произведен ряд вычислительных экспериментов для слоя из различных материалов с цилиндрической полостью произвольной конфигурации для задач 1 и 2 Представлены графики зависимостей функций смещений на полости от числа N граничных элементов Отметим, что для получения адекватной картины волновых полей в слое число граничных элементов на длину волны зондирующего сигнала выбиралось равным 5-7 Исследована зависимость полей смещений от геометрии полости, места ее залегания, а также наличия двух и более цилиндрических полостей в диапазоне низких и средних частот Приведены графики полей смещений на верхней границе слоя Третья глава работы посвящена асимптотическим методам решения задач 1,2 в случае цилиндрической полости кругового поперечного сечения малого характерного размера Этот случай представляет особую важность в практических приложениях В первом параграфе изложены численные и асимптотические методы решения задач 1, 2 Асимптотический метод обоснован в следующей области изменения безразмерных параметров

£i «1, е* < е 2 < 1,

где e¡ = Г() / h, £2 = OJrQ^Iр/С, причем С = С44 для задачи 1, С = Сзз для задачи 2, - критическое значение параметра, которое разделяет случай распространяющихся и не распространяющихся мод, так в задаче 1 ет = к! 2

Следует отметить, что решение обратной задачи идентификации обычно строится при £2 > £*, что соответствует случаю малого дефекта, когда в слое имеются бегущие волны Также изложен метод построения волновых полей в слое с полостью малого характерного размера на основе приближения Борна, которое широко используется в акустике для расчета волновых полей при наличии слабых рассеивателей В этом случае борновское приближение однократного рассеяния хорошо описывает дифракцию на таком дефекте, причем перемещения на контуре заменяются эталонным полем смещений в центре дефекта

Построены асимптотические представления рассеянных полей на контуре полости через эталонное поле

£2

ит|/ = "то (*0) + Е1 ("т, 1 (х0 ) COS 0 + ит 3 (х0 ) Sin в) +

о 2

(2 2 i 3

ит\\(хo)cos 0+í<mj3(xo)sin2# + MOTi33(xo)sin 6}+ 0(£i ), т = 1,2,3, (7)

х0 =(х10,х3о), ве [0,2л-] причем, например, в случае задачи 1 {ujix) = и(х))

■Jv + l

г(х0) = иэт(х0), ил(х0) = и^т(х0)ф + 1), и3(х0)=и^(х0)'-

V7 '

мД1(х0) =---, ы13(хо) = и13(хо)-Г~г= >

v + 1 ' 2 Vv

- л/^Ы + « зз (*d)(v + Vv + 1)

И, 33Uo) =-:-;-. 1/ = С6б/с44

v + 1

Важно отметить, что выражение для полей смещений в приближении Борна не учитывает изменяемости полей смещений на контуре полости

Исследована структура асимптотики волновых полей перемещений для задач 1, 2 на поверхности слоя, построены формулы для амплитуд, которые пропорциональны площади дефекта. Проведен сравнительный анализ полей смещений на контуре дефекта, рассчитанного на основе МГЭ, асимптотического подхода и приближения Борна, оценена область применимости таких подходов по сравнению с МГЭ.

В параграфе 2 настоящей главы описана численная реализация задач 1, 2 о колебаниях слоя с полостью малого относительного размера.

На рисунке 1 представлены графики вещественной и мнимой части поля на поверхности слоя «2(^1,/г) = и(£\,К) для задачи 1, которое было рассчитано на основе сведения краевой задачи 1 к ГИУ с использованием МГЭ, асимптотического подхода типа (7) и приближения Борна. Сплошной линией изображены смещения в соответствии с МГЭ, точками - расчеты по асимптотической формуле, пунктир соответствует приближению Борна.

Рис.1

В расчетах принято г = 0,18/г, х\$=К Х30 - И/2, к = к1г = 4 (одна бегущая волна) Нагрузка приложена в точке хц = 0 на поверхности слоя хт, = к Число граничных элементов в расчетах по МГЭ - N = 32 Ряд численных экспериментов показал, что при одной распространяющейся моде волновые поля существенно разнятся в ближней к полости зоне, в дальней зоне все подходы дают практически одинаковые результаты Следует заметить, что область корректной работы асимптотического метода и приближения Борна при расчете волновых полей в дальней зоне оценивается величиной £\ = 0,001 - 0,2 Максимальная относительная разница амплитуд распространяющихся волн, рассчитанных по МГЭ и на основе асимптотического подхода, составляет менее 6%, а максимальная относительная разница амплитуд, рассчитанных на основе асимптотического подхода и с помощью приближения Борна, составляет менее процента Этот факт позволяет рассчитывать поле на поверхности слоя, не прибегая к построению ГИУ и нахождению перемещений на контуре /ц, что позволяет значительно упростить расчетную схему при анализе рассеянных полей Серия численных экспериментов для полостей с Е\ =0,001-0,15 и г = 4 (две бегущие волны) показал, что приближение Борна дает совершенно неприемлемый результат при расчете поля на поверхности слоя Асимптотический метод в рамках такого же эксперимента дает результаты, близкие к МГЭ (относительная разница амплитуд менее 6%) Таким образом, прикладной диапазон метода Борна достаточно узок и позволяет рассчитывать поле на поверхности слоя для задачи 1 на частоте одной распространяющейся моды для значений ^<02, тогда как асимптотический подход применим в случае большей частоты зондирования по сравнению с методом Борна, при условии, что параметр е2 < 1

Четвертая глава посвящена методам исследований обратной задачи реконструкции цилиндрических полостей в слое по дополнительной информации о полях перемещений на верхней границе слоя В первом параграфе изложены основные методы и алгоритмы решения обратных задач идентификации дефекта

Целью решения обратной задачи является определение местоположения и конфигурации полости в слое на основе информации о полях перемещений либо их амплитудных значений, измеренных на части верхней границы слоя

и,(Й.й) = *,(Й). 1 = 1,3 (8)

Для значений индексов г = 2 в случае антиплоских колебаний слоя (задача 3) и для I = 1,3 в случае плоских колебаний слоя (задача 4) Сформулирована система нелинейных операторных уравнений относительно функций смещений на контуре и самого неизвестного контура дефекта Во втором параграфе главы дана линеаризованная постановка обратной задачи идентификации дефекта Таким образом, решение системы строится на основе метода линеаризации в окрестности некоторого известного положения дефекта Получены операторные уравнения Фредгольма 1-го рода с гладкими ядрами относительно функции, характеризующей поправки к начальной конфигурации контура дефекта Отметим, что если известна некоторая априорная информация о геометрии полости (контур полости принадлежит классу алгебраических кривых и-го порядка) обратная задача решается в рамках метода регуляризации на конечномерных множествах Такой подход изложен в третьем параграфе Надо отметить, что при таком подходе контур дефекта однозначно описывается конечным числом параметров Рассматривается три класса, в которых был осуществлен поиск направляющей цилиндрической полости

1) класс окружностей Однозначно описывают контур из этого класса следующие параметры г - радиус полости, (хю, -^зо)-ЦешР полости,

2) класс эллипсов Контур из этого класса определяют а, Ь — большая и малая полуоси соответственно, ^ -угол между большей полуосью и положительным направлением оси Ох\ и центров в точке (хю^зо),

3) класс функций, представленных тригонометрическими полиномами и-го порядка Радиус-вектор контура в полярной системе координат раскладывался в ряд Фурье с сохранением конечного числа гармоник

r((p) =Y+alcos <P+blsin ^+«2 cos 2(9+^2 sm 2<p+a3 cos ЪсрЩ sin 3(3+ + +ал cos n(p+bn sin nip

Таким образом, контур из этого класса однозначно определяют 2п + 3 параметра (коэффициенты тригонометрического полинома и координаты центра контура)

Построены функционалы невязок в случае частотного и позиционного зондирований, из условия минимума которых и находятся искомые параметры полости Поиск минимума функционалов невязки осуществлялся с использованием генетических алгоритмов и метода оврагов Применение таких численных методов обусловлено большой размерностью области, в которой осуществляется поиск искомых параметров направляющей цилиндрической полости Также следует заметить, что построенные неквадратичные функционалы невязки имеют овражистый характер (линии уровня сильно вытянуты и похожи на извилистые овраги, имеются локальные минимумы)

В четвертом и пятом параграфе представлены численные результаты решения обратных задач 3 и 4 соответственно в случае антиплоских и плоских колебаний слоя с полостью Предложены алгоритмы восстановления цилиндрической полости, направляющая которой - гладкая замкнутая кривая в классе 1, 2 или 3 реализованы в среде Delphi На основе этих алгоритмов были произведены вычислительные эксперименты восстановления полостей различных классов Исследована работоспособность алгоритма в зависимости от количества бегущих волн в слое, расположения и числа точек зондирования, устойчивость реконструкции в зависимости от погрешности входной информации На основании численных экспериментов сделан вывод, что приемлемыми с точки зрения процедуры реконструкции являются частоты, на которых имеются две и более бегущих волн, процедура восстановления параметров контура полости устойчива к погрешностям входных данных, выявлено оптимальное число точек зондирования, достаточное для определения искомых параметров Приведены результаты численных экспериментов, проведенных для задач 3,4

В таблице 1 представлены результаты восстановления параметров а,Ь,(р,х 1о>-*зо в случае, когда поперечное сечение цилиндрической полости -эллипс для задачи 3 Как видно из таблицы 1, при увеличении числа бегущих волн в слое увеличивается точность реконструкции дефекта

Искомые параметры полости а, Ь, <р, х30< к~ к1г = 4 (однараспр мода) у X <р *10 ' Х1

а* Ь* <р* * •чо * *30 ех ■40 £х

0 2, 01, 0, А, А/2 0 186 0 0931 0 038 1 021 0 487 1 69 38 2 11 26

0 2, 0 1, 0 523, А, А/2 0 213 0 105 0 507 0 977 0 484 65 5 3 22 32

0 2, 0 1,1 047, А,А/2 02118 0 094 1 078 0 973 0517 59 6 29 27 34

0 2,0 1,3 141, А, А/2 0 191 0 094 3 24 1 024 0516 45 57 3 15 24 32

Восстановленные характеристики контура в рамках того же численного эксперимента для значения к = к\г = 6 0(две распростр волны)

0 2, 0 1, 0, А, А/2 0 206 0 097 003 0 386 0 509 3 29 3 14 1 8

0 2, 0 1, 1 047, А, А/2 0 206 0 103 1 069 0 983 0511 3 3 2 1 1 7 22

0 2, 0 1,3 141, 0, А/2 0 195 0 103 3 21 0 983 0 489 25 3 2 19 1 7 22

Таблица 1

В таблице 2 представлены результаты определения параметров полости для задачи 4, где поперечное сечение цилиндрической полости - эллипс при значении безразмерного параметра к = 3 7, соответствующий трем распространяющимся волнам

Искомые параметры полости а, Ь, (р, *10>*30 к = Ъ 1 (три волны) / ч *30 9 А) / / 1 *10 ' Х1

а * Ь* (р* * х\0 * *30 £Ь £(р £х £х

0 2, 0 1, 0, 0, /г/2 0 195 0 096 0 006 0 006 0513 25 4 6 6 2,6

0 2, 0 1,0 523, 0, /г/2 0 194 1 04 0 491 0 044 0 483 3 4 6 1 44 34

0 2, 0 1, 1 047, 0, /г/2 0 209 1 04 1 084 0 04 0 48 45 4 35 4 4

Таблица 2

Результаты численных экспериментов по зашумлению входной информации иллюстрирует график на рис 2, на котором представлены зависимости относительных погрешностей восстановления еа, е^, £Х}о (%)

характеристик контура от степени зашумления входной информации для задачи 1, безразмерный параметр к = 6 0 соответствует двум распространяющимся модам в слое

/

/у /V/ У/ / >

_______. — У У у /

---еь

<5(%)

Рис 2

Серии численных экспериментов показали, что предложенные алгоритмы эффективны для реконструкции как простейших контуров типа окружности, эллипса, так и для контуров более сложной конфигурации прямоугольника со скругленными углами, трещиноподобного эллипса (¿>/д = 0 1), а также для невыпуклых контуров типа трехлепестковой розы Поиск таких контуров осуществлялся среди функций, принадлежащих третьему классу при сохранении трех гармоник в разложении В этом случае параметры контура - семь коэффициентов разложения в ряд Фурье и координаты центра полости (л^хзд) Перечисленные параметры находились из условия минимума неквадратичного функционала невязки, построенного в рамках позиционного зондирования на основе генетического алгоритма Количество точек зондирования полагалось равным 6

Анализ результатов численных экспериментов по восстановлению контуров в 9-ти мерном евклидовом пространстве поиска показал, что относительная разница между площадями поперечного сечения восстановленного и истинного

рассеивателя составила менее 6%, относительная погрешность восстановления координат центра полости составила менее 4%

На рис 3 для к = 3 7 (три бегущие волны в слое) приведены истинные и восстановленные контура поперечных сечений цилиндрических полостей Сплошной линией изображен истинный контур, точками - восстановленный

Анализ результатов, полученных в сериях вычислительных экспериментов, позволил сделать вывод о том, что предложенный алгоритм решения задач 3, 4 эффективен и в случае контуров сложной конфигурации позволяет с достаточной степенью точности (до 6%) определять их площадь и расположение в слое

Отметим, что процедура поиска минимума функционала невязки на основе ГА и метода оврагов, которая строится на основе итерационного процесса, требует многократного решения прямой задачи, которое достаточно сложно и связано с большой затратой машинного времени, однако, для полостей малого характерного размера, процедуру решения прямой задачи, а соответственно и обратной, можно значительно упростить на основе асимптотического анализа, сократив значительно время счета Предложен алгоритм реконструкции контура дефекта произвольной конфигурации малого характерного размера в классе окружностей на основании асимптотического подхода к решению задач 1, 2 Определение трех параметров контура происходит поэтапно, координаты центра

г = 0 2 + 0 1зтЗ(3

г = 0 1372 + 0 0464 сое 2(3

Рис 3

полости определяются с относительной погрешностью менее 1%, относительная погрешность реконструкции радиуса полости составила менее 4% для случая двух бегущих волн

Проведено сравнение результатов решения обратных задач 3, 4 в случаях определения параметров полости на основе МГЭ и на основе асимптотического подхода В обозначенном выше диапазоне изменения безразмерных параметров время реализации процедуры реконструкции контура полости по сравнению с МГЭ время счета сокращается на порядок

Проведен ряд численных экспериментов по восстановлению контуров типа эллипса и трехлепестковой розы в рамках асимптотического подхода Отметим, что относительная разница между площадями восстановленного и искомого поперечного сечения полости составила менее 6% для среднезаглубленных дефектов и не превосходила 11 % для приповерхностных дефектов Координаты центра полости находились с относительной погрешностью менее 6%

Проведен сравнительный анализ данных численных расчетов на основе асимптотического подхода и МГЭ, что позволило установить, что предложенный в работе асимптотический подход позволяет достаточно эффективно и быстро диагностировать дефект малого характерного размера, а также о достаточно устойчивой процедуре идентификации полостей малого относительного размера

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1 Разработаны методы сведения краевых задач, описывающих установившиеся колебания ортотропного слоя с цилиндрической полостью произвольной конфигурации, к системам ГИУ с нерегулярными ядрами

2 Развиты численные методы расчета полей смещений на базе дискретизации систем ГИУ на основе МГЭ (постоянные и линейные граничные элементы) применительно к задаче о колебаниях ортотропного слоя с цилиндрической полостью произвольной конфигурации

3 Создан комплекс программ на языке программирования Fortran, позволяющий производить расчеты полей смещений в задачах 1, 2, произведена серия расчетов для полостей различной конфигурации для различного числа бегущих волн

4 Разработан асимптотический подход для расчета волновых полей в случае колебаний ортотропного слоя с цилиндрической полостью малого характерного размера, на основе сравнения с МГЭ оценена область применимости асимптотического подхода и приближения однократного рассеяния (приближение Борна)

5 Решена задача идентификации параметров цилиндрической полости по полю смещений на части границы слоя в рамках асимптотического подхода

6 Разработаны численные методы решения обратной задачи об определении формы цилиндрической полости произвольной конфигурации в ортотропной упругой полосе на основании информации о поле перемещений на части границы слоя, которые реализованы в среде Delphi

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

(фамилия соискателя Беляк О А - после вступления в брак, Суворова О А - до вступления в брак)

1 Суворова ОАО восстановлении формы полости в упругом слое// Труды III школы-семинара «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» г Ростов-на-Дону Изд-во ООО «ЦВВР» 2004 С 134-136

2 Ватульян А О , Суворова О А Об обратной задаче для упругого слоя с полостью// Экологический вестник научных центров черноморского сотрудничества (ЧЭС) 2005 №1 С 10-16

3 Суворова О А Асимптотический метод в задачах идентификации полости// Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета, том XI 2005 С 25-28

4 Ватульян А О , Беляк OAK реконструкции малых полостей в упругом слое//Дефектоскопия, Уральское отделение РАН 2006 №10 С 33-39

5 Ватульян А О , Беляк О А Асимптотический подход к решению обратной задачи о реконструкции полости в упругом слое// Вестник Донецкого университета, сер А естеств науки 2006 Вып 1С 73-79

6 Беляк О А, Явруян О В Асимптотические методы решения прямых задач для слоя с дефектами// Экологический вестник научных центров черноморского экономического сотрудничества (ЧЭС) Спецвыпуск Труды IV школы-семинара «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика», г Краснодар 2006 С 59-62

7 Ватульян А О , Беляк О А Асимптотический анализ волновых полей в слое с полостью малого размера// IV Международная научная конференция «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» г Донецк 2006 С 184-188

8 Беляк О А, Баранов И В Обратная задача для слоя с полостью Современные проблемы механики сплошной среды// Труды X международной конференции г Ростов-на-Дону 2006 С 56-61

9 Беляк О А Метод граничных уравнений при анализе колебаний слоя с полостью произвольной формы// Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета, том XII 2006 С 3 - 5

10 Беляк О А Прямые и обратные задачи для анизотропного слоя с цилиндрической полостью// Соврем пробл мех. спл среды Труды XI межд конф, г Ростов-на-Дону 2007 С 64-69

11 Беляк О А Восстановление формы полости в ортотропной полосе// Труды V школы-семинара «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» Ростов-на-Дону Изд-во ООО «ЦВВР» 2007 С 47 - 50

Издательство «ЦВВР» Лицензия ЛР № 65 36 от 05 08 99 г Сдано в набор 18 09 08 г Подписано в печать 18 09 08 г Формат 60*84 1/ 16 Заказ № 970 Бумага офсетная Гарнитура «Тайме» Оперативная печать Тираж 100 экз Печ Лист 1,00 Услпеч л 1 00 Типография Издательско-полиграфическая лаборатория УНИИ Валеологии

«Южный федеральный университет» 344091 г Росгов-на Дону ул Зорге 28/2, корп 5 «В», тел (863) 247-80-51 Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09 02 98 г

Введение.

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О КОЛЕБАНИЯХ ОРТОТРОПНОГО УПРУГОГО СЛОЯ С

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ.

§1.1. Общая постановка задач о вынужденных колебаниях слоя, ослабленного цилиндрической полостью.

§1.2 Постановка прямых задач о колебаниях ортотропной упругой полосы, ослабленной полостью.

§1.3. Постановка обратных задач о колебаниях слоя, ослабленного полостью.

Глава 2. СВЕДЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ.

§2.1. Функция Грина для слоя и её свойства для антиплоской задачи.

§2.2. Функции Грина для слоя и их свойства для плоской задачи.

§2.3. Сведение краевых задач к системам интегральных уравнений.

§2.4. Сведение ГИУ к системам алгебраических уравнений на основе метода граничных элементов.

§2.5. Численная реализация задачи 1.

§2.6. Численная реализация задачи 2.

Глава 3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РАСЧЕТУ

ВОЛНОВЫХ ПОЛЕЙ В СЛОЕ С ПОЛОСТЬЮ.

§3.1. Расчет полей в слое с полостью малого размера на основе асимптотического подхода и приближения Борна.

§3.2. Численная реализация задач о колебаниях слоя с полостью малого размера.

Глава 4. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКЦИИ ПОЛОСТИ В

СЛОЕ.

§4.1. Формулировка операторных уравнений в обратных задачах колебания полосы с полостью.

§4.2. Линеаризованная постановка обратных задач о колебаниях полосы с полостью.

§4.3. Метод регуляризации на конечномерных множествах.

§4.4. Численная реализация задачи 3.

§4.5. Численная реализация задачи 4.

В настоящее время большой научный и практический интерес представляют такие проблемы, как сейсмостойкость сооружений, разведка месторождений полезных ископаемых, проектирование сооружений и безопасность конструкций, работающих в условиях динамического нагружения, прочность которых в значительной степени определяется мелкомасштабными дефектами (включения, микротрещины, поры), и многие другие проблемы, связанные с неразрушающим контролем прочности конструкций. Своевременная диагностика дефектов в элементах конструкций позволяет скорректировать рабочий режим и не допустить разрушения.

Многие из аспектов перечисленных проблем могут быть изучены на основе исследования математических моделей, которые базируются на решениях краевых задач о колебаниях анизотропного слоя с дефектами различной природы: полости, трещины, включения, а также задач об определении конфигурации дефекта и его месторасположения по информации о полях перемещений на поверхности слоя.

С точки зрения причинно-следственной связи задачи о колебаниях упругих тел условно принято разделять на два класса. Первый - класс прямых задач (ПЗ), целью которых является определение волнового поля в упругом теле на основе задания граничных нагрузок. Второй класс это обратные задачи, в которых требуется по известным полям смещений, заданным на части границы области, определить местоположение и конфигурацию полости. В последнее время методы решения ОЗ активно разрабатываются, что связано с моделированием различных динамических процессов в упругих средах (дефектоскопия, геофизика, сейсморазведка).

Также надо отметить, что учет анизотропии продиктован свойствами сталей, грунтов и композитов, и т. д. Расчеты волновых полей на основе модели ортотропной среды для таких видов материалов более адекватно описывают процессы распространения волн, нежели расчеты на основе модели изотропной среды [3].

Задачи динамической теории упругости о колебаниях слоистых сред тел изучались в работах И.И. Воровича [49-51], В.А. Бабешко [4, 6, 49], А.О. Ватульяна [30, 34^46], И.П. Гетмана, Ю.А. Устинова [56], А.Н. Соловьева [9, 45, 46], А.В. Белоконя [11, 12], Сумбатяна [11, 21, 42, 50, 51], Н.В. Боева [21, 51], А.А. Ляпина [72], М.Г. Селезнева [82], Р.В. Гольдштейна [58], А.Г. Угодчикова, Н.М. Хуторянского [87], В.Т. Гринченко, В.В. Мелешко [60], А.Ф. Улитко, Н.А. Шульги [90], Е.В. и Н.В. Глушковых [3], А.Н. Гузя, В.Д. Кубенко, М.А. Черевко [61, 62], Т.В. Рангелова [144], D. Kolton, R. Kres [110— ИЗ, 130], J.D. Achenbach [92, 154], Y. Niwa, S. Kobayashi [138-140], G.D. Manolis [134] и других отечественных и зарубежных авторов [25, 35, 36, 39, 41, 43, 44, 65, 76, 77, 95, 96, 100, 106, 106, 117, 118, 121, 122, 123, 142]. В отмеченных исследованиях использовались методы сведения динамических задач к граничным интегральным уравнениям, сведение к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, метод многократных отражений, метод суперпозиции. Кроме отмеченных подходов для решения исследуемых задач применялись методы интегральных преобразований и метод, основанный на применении теоремы взаимности.

По типу приложенной нагрузки, возбуждающей колебания тела, прямые и обратные динамические задачи принято разделять на стационарные, когда рассматривается установившийся во времени режим колебаний, и нестационарные, когда осуществляется импульсное воздействие на объект. В последнем случае реконструкция дефекта осуществляется по времени прихода и амплитуде отраженного сигнала. С позиции построения операторных соотношений такие задачи значительно сложнее по сравнению со стационарными задачами.

Одним из наиболее эффективных методов решения стационарных задач колебаний тел с полостями, особенно неканонической формы, является метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), которому посвящен ряд работ [20, 22, 23, 68, 87, 134].

Согласно этому подходу, исходная краевая задача при помощи функций Грина сводится к системам граничных интегральных уравнений относительно функций смещений на контуре дефекта. Основная идея метода ГИУ состоит в построении операторных связей между значениями'искомых функций внутри рассматриваемой области и на ее границе. Метод ГИУ для слоистой среды позволяет снизить размерность исследуемой задачи на единицу и перейти к рассмотрению систем интегральных уравнений только лишь по границе дефекта, а также сформулировать систему операторных уравнений для решения обратной задачи. На основе решения систем граничных интегральных уравнений возможно построение волнового поля перемещений в исследуемой области. Методу сведения краевых задач к системам ГИУ и построению функций Грина для большого числа операторов с постоянными коэффициентами посвящены работы [1, 12, 37, 38, 69, 94, 105, 129, 131, 139-141, 144, 151, 154].

Надо отметить, что исследование прямых задач для слоистых сред сопряжено с вычислительными трудностями. Особое внимание уделено! эффективным методам решения интегральных уравнений и систем, а так же их численной реализации для построения волновых полей, таких как, метод конечных элементов (МКЭ) [57, 133], асимптотический метод [88], метод граничных элементов (МГЭ) [20, 22, 23, 68, 87]. Наиболее эффективным методом является метод ГЭ, в соответствии с этим подходом, граница области аппроксимируется ломаной, на каждом элементе которой неизвестные функции интерполируются при помощи набора базисных функций. Системы ГИУ записываются в дискретной форме и вычисляются интегралы по каждому граничному элементу. В результате применения МГЭ система ГИУ сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений неизвестных функций смещений на полости.

В настоящей диссертационной работе методы ГИУ и ГЭ применены к задачам о колебаниях ортотропного слоя на основании построенных функций Грина в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости. Следует отметить, что такое представление функций Грина позволяет эффективно строить коэффициенты матриц систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), к которым сводятся системы ГИУ на основе МГЭ в виде однократных интегралов при простейшей аппроксимации поля смещений на элементе и рассчитывать волновые поля в любой точке среды.

Обратные задачи идентификации полостей [30, 51, 59, 97, 104, 110, 130] уже давно являются предметом исследования в механике и привлекают внимание многих ученых ввиду практического приложения во многих областях науки и техники. Задачи определения местоположения и конфигурации дефектов встречаются в геофизике, сейсморазведке и строительной промышленности, медицине. Однако исследование обратных задач достаточно сложно. В первую очередь это связано с тем, что как правило, такие задачи нелинейны и некорректны [8, 30, 127, 128, 130], и для их решения необходимы методы исследования с учетом этих свойств. Одним из основных моментов при решении обратных задач является формулировка условий единственности решения [111, 142].

С математической точки зрения обнаружение дефектов в упругой среде по измеренным полям перемещений на границе тела приводит к достаточно сложным и малоизученным обратным геометрическим задачам теории упругости, при решении которых используются различные подходы. Один из них основан на рассмотрении дефекта в волноводе и определении его характеристик по амплитудам и фазам распространяющихся волн. Другой подход опирается на дифракционную постановку, в которой неизвестный дефект, расположенный в неограниченной плоскости или пространстве, определяется по данным диаграмм направленности [51, 66]. Эта постановка приводит либо к нелинейным операторным уравнениям, либо к минимизации неквадратичного функционала невязки. Однако такая постановка неприменима при наличии приповерхностных дефектов. В этом случае граница тела оказывает существенное влияние на формирование поля перемещений в упругом теле, в том числе и у границы. В этом случае необходимо рассматривать модель полупространства с внутренней полостью для расчета полей перемещений и в рамках этой модели решать обратную задачу. Для правильного расчета волновых полей необходим учет граничных поверхностей и составление граничных уравнений по границе полости. Формулировкам таких уравнений посвящены многочисленные работы [36 -40,44,66,94, 105, 107,146].

Наиболее используемые методы определения внутренних дефектов -акустические [50,52, 59, 63, 64]. При этом используются разнообразные подходы, позволяющие выявить наличие дефекта, основанные на измерении компонент физических полей. В настоящее время существует несколько подходов решения ОЗ динамической теории упругости по определению неизвестного дефекта, которые основаны на измерении компонент физических полей на границе тела.

Первый подход основан на сведении краевой задачи, описывающей колебания тела с дефектом, к системам граничных уравнений по границе полости. Последние уравнения являются базовыми для формулировки разрешающих уравнений в обратных задачах об определении формы полости. При решении таких задач с помощью метода линеаризации получаются операторные уравнения 1-го рода с гладкими ядрами, которые требуют регуляризации. Они могут быть решены с помощью сочетания метода граничных элементов и методов регуляризации [74, 86, 132, 143].

Другой подход основан на некоторой априорной информации о малости характерного размера дефекта. В этом случае используются асимптотический метод и приближение Борна или так называемый метод однократного рассеивания [88, 137] для расчета волновых полей.

В работах [46, 108, 149, 152] для решения обратных задач определения дефекта, в частности идентификация параметров трещины и восстановления упругих постоянных ортотропного материала использованы новые вычислительные технологии, такие как генетические алгоритмы [70, 119,124].

Все вышеизложенное определяет актуальность и практическую значимость настоящей работы.

Целью настоящей работы является решение обратной задачи идентификации цилиндрической полости в ортотропной упругой полосе по полям смещений, измеренных на части его верхней границы. Задача решается в два этапа. На первом этапе строятся волновые поля смещений в слое по известным граничным нагрузкам. На втором этапе, на основании решения прямой задачи и дополнительной информации о волновых полях решается обратная задача определения месторасположения и конфигурации цилиндрической полости. Прямая задача решается при помощи метода ГИУ, который позволяет перейти к рассмотрению интегральных уравнений в ограниченной области. Дальнейшее исследование полученных систем ГИУ осуществляется с позиций двух подходов. Первый из них связан с дискретизацией ГИУ на основе метода граничных элементов. В результате получается система линейных алгебраических уравнений для определения узловых значений функций смещений на полости, которые используются в-дальнейшем при построении волнового поля перемещений в слое, в частности для определения поля перемещений на верхней границе слоя. Второй подход связан с решением ГИУ на основе асимптотического подхода для полостей малых характерных размеров. При наличии априорной информации о малости относительного размера дефекта анализ систем ГИУ позволяет построить поля смещений на контуре, не прибегая к дискретизации ГИУ методом ГЭ. Поля на поверхности также строится исходя из малости характерного размера полости и известных функций смещений на полости.

Решение обратной задачи строится на основе информации о полях смещений, измеренных на верхней границе слоя; в качестве входной информации при решении обратной задачи задаются значения поля перемещений на верхней границе слоя, полученные из решения прямой задачи.

Для реконструкции цилиндрических полостей, где направляющая имеет произвольную конфигурацию, существует несколько подходов. Опишем их кратко.

1. Метод линеаризации исходной системы нелинейных уравнений в окрестности некоторого начального положения полости. Такой подход был реализован в работах [35, 36, 40]. Основная идея метода состоит в построении итерационной процедуры на основании линеаризованных уравнений, на каждом шаге которой происходит уточнение начального приближения неизвестного контура полости. Однако при таком подходе к решению задачи* идентификации дефекта на сходимость итерационного процесса существенно влияет выбор начального приближения- контура полости.

2. Метод регуляризации на компактных множествах. Для реализации настоящего подхода необходимо наличие априорной информации о принадлежности контура дефекта кольцу с известными радиусами и центром. Такой подход к проблеме описан в работе [66].

3. Метод регуляризации на конечномерных множествах. Такой метод реализуется при наличии априорной информации о том, что контур дефекта однозначно описывается конечным числом параметров таких как, например, характерный размер контура, его площадь, месторасположение в слое, определение которых и есть решение обратной задачи. Поиск характеристик дефекта осуществляется из условия минимума неквадратичного функционала невязки.

Целью исследования обратной задачи теории упругости о реконструкции дефекта в ортотропном упругом слое было предложить практические рекомендации по выбору частоты колебаний, определить диапазон частот, наиболее эффективных с точки зрения реконструкции параметров дефекта и дать рекомендации по выбору точек зондирования на поверхности слоя, в которых будут произведены измерения компонент поля перемещений.

В настоящей диссертационной работе при решении обратной задачи идентификации дефекта особое внимание уделено первому и третьему подходам. Также в рамках третьего подхода рассмотрена идентификация цилиндрических полостей малого характерного размера на основании асимптотического подхода. Стоит отметить, что поиск минимума функционала невязки осуществлялся итерационной процедурой, которая на каждом шаге рассчитывала поля на поверхности слоя на основе МГЭ. В случае асимптотического подхода удалось получить расчетные формулы полей смещений на контуре полости и полей перемещений на поверхности слоя, что позволило при таком подходе сократить на порядок машинное время, затраченное на поиск минимума неквадратичного функционала:

Научная новизна результатов работы В настоящей работе впервые получены расчетные формулы решения прямой задачи теории упругости об установившихся колебаниях ортотропного упругого слоя с цилиндрической полостью кругового поперечного сечения на основе асимптотического подхода. Разработаны и развиты численные методы решения прямых и обратных задач о колебаниях слоя с полостью, установлены границы применимости асимптотических подходов при решении прямых.и обратных задач.

Практическая ценность Практическая ценность результатов настоящего исследования состоит в развитии метода ГИУ, методов идентификации полостей малых характерных размеров. Выявлена зависимость эффективности восстановления геометрии контура от частоты зондирования, расположения точек зондирования на > поверхности слоя.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на X, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2006г., 2007г.), на IV, V международной научной конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (г. Донецк 2006, 2008 гг.), на III и IV школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (г. Ростов-на-Дону, г. Краснодар 2004, 2007 гг.), на семинарах кафедры теории упругости ЮФУ.

Достоверность результатов Достоверность выносимых на защиту результатов работы основана на строгом аппарате математической теории упругости, на корректном сведении краевых задач для слоя с цилиндрической полостью произвольного поперечного сечения к системам ГИУ. Полученные результаты в настоящей диссертационной работе подвергались проверке путем сравнения с результатами полученными иными способами. Так, например, получение расчетных формул в асимптотическом подходе при решении прямой задачи проводилось четырьмя различными способами. Проведено также сравнение решения прямой задачи полученного в рамках асимптотического подхода- с решением, полученным на основании метода граничного элемента для различных вариантов дискретизации систем ГИУ.

Во введении приводится обзор основных проблем и результатов исследований в области изучения колебаний слоистых сред, проводившихся отечественными и зарубежными учеными. Обосновывается необходимость развития новых подходов к исследованию задач о колебаниях тел с дефектами.

Главы 1, 2, 3 посвящены решению прямой задачи о построении волновых полей перемещений в слое, глава 4 посвящена решению обратных задач идентификации полостей в ортотропном слое.

Первая глава диссертации посвящена постановкам задач, которые рассмотрены в настоящей работе и состоит из пяти параграфов. В параграфе

1 дана общая постановка задач* о вынужденных колебаниях полосы с полостью произвольной конфигурации. В параграфах 2, 3 изложены постановки прямых задач: антиплоской (задача 1) и плоской (задача 2), о колебаниях ортотропного слоя с полостью цилиндрической формы. В параграфах 4, 5 даны постановки обратных задач идентификации полостей произвольной конфигурации по заданным на границе полям перемещений в случае антиплоских и плоских колебаний слоя.

Вторая глава посвящена сведению исходных краевых задач к системам интегральных уравнений и их исследованию, и состоит из четырех параграфов. В параграфе 1, 2 строятся специальные фундаментальные решения (функции Грина) в случае плоских и антиплоских колебаний ортотропного слоя. Функции. Грина удовлетворяют условиям излучения- и представлены в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости. Они представлены в виде суммы фундаментального решения для неограниченной среды и регулярной- всюду, за исключением границ добавки, которая в сумме с решением для неограниченной среды удовлетворяет однородным граничным условиям. В параграфе 3 изложено- сведение краевых задач к системам ГИУ на основании динамической теоремы взаимности. В этом случае система ГИУ относительно неизвестных функций смещения, на контуре нерегулярна, при этом ядра полученных ГИУ выражаются в виде интегралов, по контуру в комплексной плоскости. Построены волновые поля в полосе в случае одной или двух полостей. В четвертом параграфе настоящей главы осуществлена дискретизация полученных систем ГИУ на основе МГЭ. Здесь неизвестная функция смещений на каждом элементе интерполировалась постоянной или линейной функцией. В параграфах 5 и 6 представлены результаты проведенных численных экспериментов решения систем ГИУ и построения волновых полей смещений на верхней границе слоя для задач 1 и 2 соответственно. Результаты проведенного численного анализа рассматриваемых задач в виде графиков вынесены в приложение. Приведенные графики отражают влияние частоты, геометрии полости и ее расположения в слое на основные характеристики возбуждаемых в среде волновых полей и иллюстрируют эффективность предлагаемого метода расчета волновых полей в ортотропном упругом слое с полостями произвольной конфигурации. Данные таких расчетов были использованы в качестве входной информации при решении обратных задач 3 и 4 соответственно при антиплоских и плоских колебаниях слоя. Анализ поля на поверхности в задачах 1 и 2 позволяет сделать наиболее эффективным выбор точек зондирования для лучшей реконструкции полости в обратных задачах, речь о которых пойдет в 4-й главе.

Третья глава посвящена асимптотическому подходу построения волновых полей в слое с полостью малого характерного размера и содержит два параграфа. В первом изложен асимптотический подход и приближение Борна к исследованию задачи колебаний слоя с цилиндрической-полостью малого характерного размера. В рамках приближения Борна или так называемого приближения однократного рассеивания поля смещений на контуре заменяется эталонными полями. Если направляющая цилиндрической полости - окружность, то удается получить явное представление для полей смещений на контуре, выраженное через эталонные поля смещений (поля смещений в слое без полости). Приведено сравнение описанных подходов решения задачи о колебаниях слоя с малой полостью и определена область применения таких подходов к решению задач 1, 2 в зависимости от характерного размера полости и числа распространяющихся волн в слое. В параграфе 2 описаны численные эксперименты расчета волновых полей на полости и на поверхности слоя в зависимости от частоты колебаний и размера дефекта. Проведено сравнение таких волновых полей с полями, рассчитанными для таких же задач, но при использовании МГЭ. Проведен анализ численных данных и выявлена область корректной работы асимптотического подхода и приближения Борна. Результаты проведенных численных экспериментов рассматриваемых задач 1, 2 в виде графиков вынесены в приложение.

Четвертая глава посвящена решению обратной задачи об идентификации полости в слое по полям смещений, заданным на части верхней границы слоя. В первом параграфе представлены основные методы исследования обратных задач динамической теории упругости и сформулированы операторные уравнения, к которым сводятся исследуемые обратные задачи (задача 3 и задача 4) в случае антиплоских и плоских колебаний слоя с цилиндрической полостью произвольной конфигурации. В параграфе 2 дана линеаризованная постановка обратных задач о колебания слоя с полостью. Получены операторные уравнения 1-го рода с гладкими ядрами. В параграфе 3 изложен метод регуляризации на конечномерных множествах. В рамках такого подхода обратная задача сводится к определению конечного числа неизвестных параметров, характеризующих дефект, которые определяются из условия минимума неквадратичного функционала невязки. Поиск минимума осуществлялся генетическим алгоритмом и методом оврагов. В параграфах 4, 5 приведены численные исследования задач 3 и 4 для различных конфигураций дефекта и его местоположения. Представлены результаты численных расчетов задач 3 и 4 в случае малого характерного размера полости. Осуществлено сравнение методов определения параметров полости на основе ГЭ подхода и минимизации функционала невязки с асимптотическим методом. Выявлены преимущества и недостатки обоих методов. На основании численных экспериментов даны практические рекомендации по выбору и расположению точек зондирования, а также установлен диапазон частот, наиболее эффективных с точки зрения реконструкции параметров дефекта.

Публикации

Основное содержание диссертации отражено в 11 работах [16 - 19, 31 -33, 47, 83, 84], опубликованных в открытой печати, из них 2 статьи в журналах, определенных ВАК РФ для публикации основных научных результатов. В цикле работ [31 - 33, 47] А.О. Ватульяну принадлежит постановка задач и идеи их решения, О.А. Беляк (Суворовой) принадлежит решение прямой и обратной задач на основе асимптотического подхода, создание программ для численной реализации метода ГИУ, расчеты и анализ полученных результатов. В работе [18] И.В. Баранову принадлежит модуль, который реализует генетический алгоритм, О.А. Беляк осуществлено создание программы, использующей данный модуль для расчета поставленных обратных задач. В работе [19] Беляк О.А. принадлежит решение задачи о колебаниях слоя с полостью в рамках асимптотического подхода, Явруян О.В. принадлежит решение задачи о колебаниях слоя с трещиной в рамках асимптотического подхода.

Основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Разработаны методы сведения краевых задач, описывающих установившиеся колебания ортотропного слоя с цилиндрической полостью произвольной конфигурации, к системам ГИУ с нерегулярными ядрами.

2. Развиты численные методы расчета полей смещений на базе дискретизации систем ГИУ на основе МГЭ (постоянные и линейные граничные элементы) применительно к задаче о колебаниях ортотропного слоя с цилиндрической полостью произвольной конфигурации.

3. Создан комплекс программ на языке программирования Fortran, позволяющий производить расчеты полей смещений в задачах 1, 2; произведена серия расчетов для полостей различной конфигурации для различного числа бегущих волн.

4. Разработан асимптотический подход для расчета волновых полей в случае колебаний ортотропного слоя с цилиндрической полостью малого характерного размера, на основе сравнения с МГЭ оценена область применимости асимптотического подхода и приближения однократного рассеяния (приближение Борна).

5. Решена задача идентификации параметров цилиндрической полости по полю смещений на части границы слоя в рамках асимптотического подхода.

6. Разработаны численные методы решения обратной задачи об определении формы цилиндрической полости произвольной конфигурации в ортотропной упругой полосе на основании информации о поле перемещений на части границы слоя, которые реализованы в среде Delphi.

Заключение

1. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991. 352с.

2. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некоррктных задач. М.: Наука, 1998. 230с.

3. Ашкенази Е.К., Ганов Э.В. Анизотропия конструкционных материалов. Л.: Машиностроение, 1990. 230с.

4. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.В. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 344 с.

5. Бабешко В.А. Новый метод решения краевых задач механики сплошной среды и математической физики для неклассических областей//ДАН СССР. 1985. Т. 284. № 1. С. 73-76.

6. Бабешко В.А., Селезнев М.Г., Селезнева Т.Н., Соколов В.П. Об одном методе исследования установившихся колебаний упругого полупространства, содержащего сферическую или горизонтальную цилиндрическую полость//ПММ. 1983. Т. 47. №1. С. 115-121.

7. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972. 456с.

8. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд. Моск. ун-та, 1989. 199с.

9. Баранов И.В., А.О. Ватульян, А.Н. Соловьев //Об одном генетическом алгоритме и его применении в обратных задачах идентификации упругих сред// Вычислительные технологии. 2006. №3. С. 14-26.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. М.: Наука, 1969. 344 с.

11. Белоконь А.В., Наседкин А.В. Фундаментальные решения в задачах электроупругости при установившихся колебаниях// Изв. вузов Сев.-Кавказ. регион. Естественные науки. 2001. Спецвып. С. 23-25.

12. Белокур И.П. Дефектология и неразрушающий контроль. Киев: Выща шк., 1990. 207с.

13. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. 253с.

14. Беляк О.А. Прямые и обратные задачи для анизотропного слоя с цилиндрической полостью// Соврем, пробл. мех. спл. среды. Труды XI межд. конф., Ростов н/Д. 2007. С. 64-69.

15. Беляк О.А. Восстановление формы полости в ортотропной полосе// Труды V школы-семинара «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика». Ростов н/Д. Изд-во ООО «ЦВВР». 2007. С. 47-50.

16. Беляк О.А. Метод граничных уравнений при анализе колебаний слоя с полостью произвольной формы.// Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета, том XII. 2006. С. 3-5.

17. Беляк О.А., Баранов И.В. Обратная задача для слоя с полостью// Современные проблемы механики сплошной среды. Труды X международной конференции г. Ростов н/Д. 2006. С. 56-61.

18. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. 494 с.

19. Боев Н.В., Ватульян А.О., Сумбатян М.А. Восстановление контура препятствия по характеристикам рассеянного поля в коротковолновой области// Акустический журнал. 1997. Т. 43. № 4. С. 458-462.

20. Бребия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524с.

21. Бребия К., Уокер С. Применение граничных элементов в технике. М.: Мир, 1987. 328с.

22. Будаев B.C. Корни характеристического уравнения и классификация упругих анизотропных сред// Изв. АН СССР. МТТ. 1978. № 3. С. 3340.

23. Будаев B.C. Распростанение колебаний от источника типа сосредоточенного импульса в анизотропной среде// Прикладная механика. 1973. Т. 4. № 2. С. 67-73.

24. Будаев B.C. Условие типа Зоммерфельда и единственность решения внешних задач теории упругих колебаний анизотропных сред// ПММ 1979. Т. 43. № 6. С. 1102-1110.

25. Буров В.А., Гладков А.В., Горюнов А.А., Прудникова И.П., Румянцева О.Д., Тягунов Е.Я. Численное и физическое моделирование двумерных обратных граничных задач рассеяния скалярных волн// Акустический журн. 1990. Т. 36. № 5. С. 832-839.

26. Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В., Тихонова Т.А. Обратные задачи рассеяния в акустике. // Акустический журн. 1986. Т. 32. № 4. С. 433^149.

27. Вайнберг Б.Р. Принципы излучения, предельного поглощения и предельной амплитуды в общей теории уравнений с частными производными// УМН. 1966. Т. 21(129). С. 115-194.

28. Ватульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: Физматлит, 2007. 224 с.

29. Ватульян А.О., Беляк О.А. Асимптотический анализ волновых полей в слое с полостью малого размера // Труды IV Международной научнойконференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» г. Донецк 2006. С. 184-188.

30. Ватульян А.О., Беляк О.А. К реконструкции малых полостей в упругом слое.// Дефектоскопия, Уральское отделение РАН. 2006. №10. С. 33-39.

31. Ватульян А.О., Беляк О.А. Асимптотический подход к решению обратной задачи о реконструкции полости в упругом слое// Вестник Донецкого университета, сер. А. Естеств. науки. 2006. В. 1. С. 73-79.

32. Ватульян А.О., Ворович И.И., Соловьев А.Н. Об одном классе задач в динамической теории упругости// ПММ. 2000. Т. 64. В.З. С. 373-380.

33. Ватульян А.О., Гусева И.А. Линеаризованная постановка обратной задачи о восстановлении формы полости в ортотропной полуплоскости.// Тез. Докладов конф. «Динамические задачи механики сплошных сред», г. Краснодар. 1992. С. 25.

34. Ватульян А.О., Гусева И.А. О восстановлении формы полости в ортотропной полуплоскости по заданному на границе волновому полю// ПММ. 1993. № 4. С. 154- 157.

35. Ватульян А.О., Гусева И.А., Сюнякова И.М О фундаментальных решениях для ортотропной среды и их применении// Изв. СКНЦ, сер. Естеств. Науки. 1989. №2. С. 81-85.

36. Ватульян А.О. О граничных интегральных уравнениях 1-го рода в динамических задачах анизотропной теории упругости// ДАН 1993. Т. 333. №3. С. 312-314.

37. Ватульян А.О., Кацевич А. Я. Колебания ортотропного упругого слоя с полостью//ПМТФ. 1991. №1. С. 95-97.

38. Ватульян А.О., Корейский С.А. О восстановлении формы приповерхностного дефекта в полупространстве// Доклады РАН. 1995. Т. 334. № 6. С. 753-755.

39. Ватульян А.О., Красников В.В. Колебания ортотропной полуплоскости с криволинейной трещиной// Изв. РАН МТТ. 2002. № 5. С. 82-90.

40. Ватульян А.О., Потетюнко А.Э. О сдвиговых колебаниях полупространства с цилиндрической полостью произвольной формы// Известия СКНЦВШ. Сер. Естественные науки. Ростов н/Д. 1991. №1.

41. Ватульян А.О., Садчиков Е.В. О новой формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел// Известия РАН. МТТ. 1999. №2. С. 78 84.

42. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Восстановление поля в анизотропной упругой среде.// Акустический журн. 2000. Т. 46. В. 4. С. 451-455.

43. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об определении размера дефекта в составном упругом теле// Дефектоскопия. 2004. № 5. С. 15-23.

44. Ватульян А.О., Суворова О.А. Об обратной задаче для упругого слоя с полостью// Экологический вестник научных центров Черноморского сотрудничества (ЧЭС). 2005. № 1. С. 10-16.

45. Вопилкин А.Х. Волны дифракции и их применение в ультразвуковом неразрушающем контроле. I. Физические закономерности волн дифракции//Дефектоскопия. 1985. № 1. С. 20-34.

46. Ворович И. И., Бабешко В. А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1976. 319 с.

47. Ворович И.И., Сумбатян М.А. Восстановление образа дефекта по рассеянному волновому полю в акустическом приближении// Изв. АН СССР. МТТ. 1990. № 6. С. 79-84.

48. Ворович И.И., Сумбатян М.А., Боев Н.В. Восстановление формы дефекта по рассеянному волновому полю в двумерной упругой среде// ДАН СССР. 1991. Т. 318. № 4. С. 880-882.

49. Выборнов Б.И. Ультразвуковая дефектоскопия. М.: Металлургия, 1985. 256с.

50. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. Под ред. д. ф.-м. н. В.И. Дмитриева. М.: Недра, 1990. 498 с.

51. Галишникова Т. Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. М.: МГУ, 1987. 207 с.

52. Гаранжа В.А., Капорин И.Е. О сходимости градиентного метода минимизации функционалов теории упругости с конечными деформациями и барьерных сеточных функционалов// Вычислительная математика и мат. физ. 2005. №8. С. 1450-1465.

53. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1993. 144 с.

54. Голованов А.И., Бережной Д.В. Методы конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: ДАС, 2001. 300 с.

55. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А. Механика сплошных сред: Курс лекций. 4.1: Основы и классические модели жидкостей. М.: Наука: Физматлит, 2000. 256 с.

56. Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ, 1989. 151 с.

57. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев.: Наукова думка, 1981. 283 с.

58. Гузь А.Н., Головчан В.Т. Дифракция упругих волн в многосвязных телах. Киев.: Наукова думка, 1972. 254 с.

59. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев.: Наукова думка, 1987. 307 с.

60. Ермолов И.Н. Теория и практика ультразвукового контроля. М.: Машиностроение, 1981. 240 с.

61. Ермолов И.Н., Ланге Ю.В. Неразрушающий контроль. Т 3. Ультразвуковой контроль. М.: Машиностроение, 2004. 864 с.

62. Иванкин И.Д., Чесноков Е.М. Волновые поля точечных источников в произвольно-анизотропных средах// Изв. АН СССР Физики Земли. 1989. № 7. С. 12-27.

63. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987. 311 с.

64. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 832 с.

65. Крауч С. Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. 328 с.

66. Кузнецов С.В. Фундаментальные решения статики анизотропных упругих сред в случае двух независимых переменных// Изв. Вузов. 1991. №8. С. 32-34.

67. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы и их применение. Таганрог: Изд-во ТРТУ, издание второе, дополненное, 2002, 242 с.

68. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука, 1977.415 с.

69. Ляпин А.А. О возбуждении волн в слоистой среде с локальным дефектом//ПМТФ. 1994. Т. 35. № 5. С. 87-91.

70. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

71. Нолет Г. Сейсмическая томография. М.: Мир, 1990. 672 с.

72. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1990. 528 с.

73. Осипов И.О. Движение энергии упругих волн в анизотропных средах// ПММ. 2003. Т. 67, В. 3. С. 482-501.

74. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л.: Наука, 1980. 280 с.

75. Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986. 328 с.

76. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.

77. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982. 286 с.

78. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.

79. Селезнев М.Г., Румянцев А.Н., Румянцева Т.Г. Колебания полупространства с полостью или включением в виде эллиптического цилиндра//Изв. СКНЦ ВШ Естеств. науки. 1990. № 3. С. 63-69.

80. Суворова О.А. Асимптотический метод в задачах идентификации полости// Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Т XI. 2005. С. 25-28.

81. Суворова О.А. О восстановлении формы полости в упругом слое// Труды III школы-семинара «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» г. Ростов н/Д. Изд-во ООО «ЦВВР». 2004. С. 134-136.

82. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990. 230с.

83. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

84. Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань, 1986. 295 с.

85. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. 428с.

86. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть 1. М.: Наука, 1976. 320 с.

87. Шульга Н.А Дифракция волн на круговых препятствиях в полуплоскости//Прикладная механика. 1969. №5. С. 55-61.

88. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 344с.

89. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1973. 452 p.

90. Alessandrini G., Bilotta A., Formica G., Morassi A., Rosset E., Turco E. Numerical size estimates of inclusions in elastic bodies// Inverse Problems. 2005. №21. P. 133-151.

91. Alves C., Ammari H. Boundary integral formulae for the reconstruction of imperfections of small diameter in an elastic medium// SIAM J. Appl. Math. 2001. №62. P. 94-106.

92. Alves C. J., Ha Duong T. On the far field amplitude for elastic waves// Modern Mathematical Methods in Diffraction Theory and its Applications in Engineering Meister, Erhard (ed.) (Frankfurt: Peter Lang) 1997. 308 p.

93. Ammari H., Kang H. Reconstruction of small inhomogeneities from boundary measurements //Lecture Notes in Mathematics (Berlin: Springer 2004). Vol. 1846.238 р.

94. Ammari H, Kang H, Nakamura G., Tanuma K. Complete asymptotic expansions of solutions of the system of elastostatics in the presence of an inclusion of small diameter and detection of an inclusion// J. Elast. 2002. № 67. P. 97-129.

95. Arens T. Linear sampling methods for 2D inverse elastic wave scattering //Inverse Problems. 2001. Vol. 17. № 5. P. 1445-1464.

96. Avila-Carrera R., Sanchez-Sesma F.J. Scattering and diffraction of elastic P-and S-waves by a spherical obstacle: A review of the classical solution// Geofisica Internacional. 2006. Vol. 45. № 1. P. 3-21.

97. Baron M.L., Matthews A.T. Diffraction of a pressure wave by a cylindrical cavity in an elastic medium// Trans ASME, Ser. E. J. Appl. Mech. 1961. Vol. 28. № 3. P. 427-502.

98. Berntsen S. Inverse acoustic scattering in a half-space// Inverse Problems. 2003. Vol. 19. № 1. P. 1247-1262.

99. Bissantz N., Thorsten H., Munk A. Consistency and rates of convergence of nonlinear Tikhonov regularization with random noise// Inverse Problems. 2004. Vol. 20. № 6. P. 1773-1789.

100. Bonnet M., Constantinescu A. Inverse problems in elasticity// Inverse Problems. 2005. Vol. 21. № 2. P. 1-50.

101. Bonnet M. BIE and material differentiation applied to the formulation of obstacle inverse problems// Eng.Anal. Bound. Elem. 1995. № 15. P. 121136.

102. Bostrom A., Burden A. Propagation of elastic surface waves along a cylindrical cavity and their excitation by a point force// J. Acoust. Soc. Am. Vol. 72. №3. p. 998-1004.

103. Cheung Y.K., Chen Y.Z. A new boundary integral equation for notch problem of antiplane elasticity// Int. J. Fract. 1994. Vol. 65. № 4. P. 359368.

104. Chiroiu V., Moldoveanu F., Chiroiu C. et al. Application of genetic algorithm in defects visualization// Rev. Roum. Sci. Tech. 1999. Vol. 44. № 2. P. 227-232.

105. Cole D.M., Kosloff D.D., Minster A numerical boundary integral equation method for elastodynamics// Bull. Seism. Soc. Amer. 1978. № 68. P. 1331— 1357.

106. Colton D., Kress R. Using fundamental solutions in inverse scattering// Inverse Problems. 2006. Vol. 22. № 3. P. 49-66.

107. Colton D., Sleeman B.D. Uniqueness theorems for the inverse problem of acoustic scattering// IMA J. Appl. Math. 1983. № 31. P. 253-269.

108. Colton D, Kirsch A. Far field patterns for acoustic waves in an inhomogeneous medium// SIAM J. Math. Anal. 1989. № 20. P. 1472-1483.

109. Colton, D., Haddar H. An application of the reciprocity gap functional to inverse scattering theory// Inverse Problems. Vol. 21. №. 1. P. 383-398.

110. Daido Yuki, Gen Nakamura Reconstruction of inclusions for the inverse boundary value problem with mixed type boundary condition and source term// Inverse Problems. 2004. Vol. 20. № 5. P. 1599-1619.

111. Dineva P., Rangelov Т., Gross D. BIEM for 2D steady-state problems in cracked anisotropic materials// Engineering Analysis with Boundary Elements. 2005. Vol. 29. № 7. P. 689-698.

112. Esmaeili M., Vahdani S., Noorzad A. Dynamic response of lined circular tunnel to plane harmonic waves// Tunnelling and Underground Space Technology. 2006. Vol. 21. № 5. P. 511-519.

113. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. New-York etc.: Me Graw-Hill Book Co., 1957. 380 p.

114. Fang Yingguang Dynamic singular solution of orthotropic layered elastic half-plane and its application// Comput. Struct. Mech. And Appl. 1995. Vol. 12. №2. P. 231-238.

115. Goldberg D.E. Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989.430 p.

116. Gonzalo R Feijoo, Oberai A. A., Pinsky P.M. An application of shape optimization in the solution of inverse acoustic scattering problems// Inverse Problems. 2004. Vol. 20. № l. p. 199-228.

117. Graff K.F. Wave motion in elastic solids. Oxford: Clarendon press, 1975. 660 p.

118. Gregory R.D., Austin DM. Scattering of waves by a semicylindrical groove in the surface of on elastic half-space// Quart J. Mech. and Appl. Math. 1990. Vol. 43. № 3. P. 293-315.

119. Hayir A., Bakirtas I. A note on a plate having a circular cavity excited by plane harmonic SH waves// Journal of Sound and Vibration. Vol. 271. № 1. 2004. P. 241-255.

120. Holland J.H. Adaptation in natural and artificial systems. An introductory analysis with application to biology, control, and artificial intelligence. L.: Bradford Book Edition, 1994. 211 p.

121. Ikehata M Reconstruction of the shape of an obstacle from the scattering amplitude at a fixed frequency// Inverse Problems. 1998. № 14. P. 949-954.

122. Ikehata M Reconstruction of obstacle from boundary measurements// Wave Motion. 1999. № 30. P. 205-223.

123. Ivanyshyn O., Kress R. Nonlinear integral equations in inverse obstacle scattering// Mathematical Methods in Scattering Theory and Biomedical Engineering (Fotiatis, Massalas, eds). 2006. P. 39-50.

124. Ivanyshyn, O., Kress R. Nonlinear integral equations for solving inverse boundary value problems for inclusions and cracks// Journal of Integral Equations and Appl. 2006. № 18. P. 13-38.

125. Kaptsov A.V., Kuznetsov S.V. Spatially periodic fundamental solutions of the theory of oscillations// Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1998. Vol. 62. № 3. P. 489-491.

126. Kress R., Rundell W. Nonlinear integral equations and the iterative solution for an inverse boundary value problem// Inverse Problems. 2005. Vol. 21. № 4. P. 1207-1223.

127. Kobayashi S., Nishimura N. Green's tensors for elastic half-spaces: An application of boundary integral equation method// Mem.Faculty Eng. Kyoto Univ. 1980. Vol. 42. P. 228-241.

128. Liu Z. Browder-Tikhonov regularization of non-coercive evolution hemivariational inequalities// Inverse Problems. 2005. Vol. 21. № 1. p. 1320.

129. Mackerle J. Finite-element modeling of nondestructive material evaluation// Modeling Simul. Mater. Sci. Eng. 1999, Vol. 7. P. 107-145.

130. Manolis G.D. Elastic wave scattering around cavities in inhomogeneous continua by the BEM// Journal of Sound and Vibration. 2003. Vol. 266. № 2. P. 281-305.

131. Massa A., Pastorino M., Randazzo A. Reconstruction of two-dimensional buried objects by a differential evolution method// Inverse Problems. Vol. 20. №6. P. 135-150.

132. Nachman A. I. Reconstructions from boundary measurements// The Annals of Mathematics, 2nd Ser. Vol. 128. №. 3 (Nov., 1988). P. 531-576.

133. Natterer F. An error bound for the Born approximation// Inverse Problems. 2004. Vol. 20. № 2. P. 447-452.

134. Niwa Y., Kobayashi S., Azuma N. An analysis of transient stresses produced around cavities of arbitrary shape during the passage of traveling waves// Memo. Faculty of Engn., Kyoto University, Japan. 1975. Vol. 36. № 1-2. P. 28-46.

135. Niwa Y., Fukui Т., Kato S. An application of the integral equation method to two- demensional elastodynamics// Theoretical and applied mechanics 28, Univ. Tokyo press., Tokyo 1980. P. 281-290.

136. Niwa Y.,Kobayashi S., Yokoto K. Application of the integral equation method to the determination of static and steady-state dynamic stress around many cavities of arbitrary shape// Proc. Japan Soc. Civil Eng. 1971. P. 2735.

137. Pan Y.C., Chon T.V. Green's function solutions for semi-infinite transversely isotropic materials// Int. J. Engng. Sci. 1979. Vol. 17. № 5. P. 545-551.

138. Piana M. On uniqueness for anisotropic inhomogeneous inverse scattering problems//Inverse Problems. 1998. Vol. 14. № 6. P. 1565-1579.

139. Ramlau R. and Teschke G. Tikhonov replacement functionals for iteratively solving nonlinear operator equations// Inverse Problems. 2005. № 21. P. 1571-1592.

140. Rangelov T.V., Manolis G.D., Dineva P.S. Elastodynamic fundamental solutions for certain families of 2d inhomogeneous anisotropic domains: basic derivations// European Journal of Mechanics A. Solids. 2005. Vol. 24. № 5. P. 820-836.

141. Reddy J N Introduction to the Finite Element Method -New York: McGraw-Hill, 2005.766 p.

142. Rus G., Gallego R. Boundary integral equation for inclusion and cavity shape sensitivity in harmonic elastodynamics// Engineering Analisis with Bondary Elements. 2005. Vol. 29. № 1. P. 77-91.

143. Shuai Lu, Sergei V Pereverzev, Ronny Ramlau An analysis of Tikhonov regularization for nonlinear ill-posed problems under a general smoothness assumption// Inverse Problems. 2007. Vol. 23. № 1. P. 340-351.

144. Singh K.M., Tanaka M. Elementary analytical integrals required in subtraction of singularity method for evaluation of weakly singular boundary integrals// Engineering Analysis with Boundary Elements. 2007. Vol. 31. №3. P. 241-247.

145. Tomlin G.R. Numerical analysis of continuum problems of zoned anisotropic media// Ph. D. thes. Southampton Univ. 1972.

146. Tonon F., Pan E., Amadei B. Green's functions and boundary element method formulation for 3D anisotropic media. // Computers and Structures. 2001. Vol. 79. № 5. P. 469-482.

147. Wang Zhi-liang, Wang J.G., Li Yong-chi, Leung C.F. Attenuation effect of artificial cavity on air-blast waves in an intelligent defense layer// Computers and Geotechnics. 2006. Vol. 33. № 2. P. 132-141.

148. Wang C.Y., Achenbach J.D. Elastodynamic fundamental solutions for anisotropic solids// Geophys Int J. 1994. Vol. 32. № 2. P. 384-392.

149. Yang S.A. Evaluation of the Helmholtz boundary integral equation and its normal and tangential derivatives in two dimensions// Journal of Sound and Vibration. Vol. 301. № 3. 2007. P. 864-877.