Идентификация трещин в ортотропном упругом слое тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ЯВРУЯН Оксана Вячеславовна

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТРЕЩИН В ОРТОТРОПНОМ УПРУГОМ СЛОЕ

01.02.04. -механика деформируемого твердого гела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Рос гов-на-Дону 2005

Работа выполнена на кафедре теории упругости Ростовского госуниверситета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Сумбатян Межлум Альбертович

кандидат физико-математических наук, доцент Зеленцов Владимир Борисович

Ведущая организация Кубанский государственный университет

Защита диссертации состоится «21» июня 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090. г. Росгов-на-Дону, ул. Зорге, 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд 239

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке РГУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «19» мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационно! о совета

Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современное развитие промышленности связано с внедрением новых композиционных материалов, что объясняет нарастающий интерес к задачам прочности конструкций из таких материалов. Прочность конструкций в значительной степени определяйся наличием микродефектов, развитие которых под действием приложенных нагрузок приводит к их росту и, как правило, к разрушению. К наиболее «опасным» с точки зрения механики разрушения относятся дефекты типа трещин, поскольку в процессе эксплуатации у вершин трещин возникают окрестности со значительными напряжениями, которые являются причиной дальнейшего развития дефекта и последующего разрушения конструкции.

Своевременное выявление трещиноподобных дефектов в конструкциях позволяет контролировать их дальнейшее развитие и избежать катастрофических последствий.

Задачи идентификации трещин по физическим характеристикам полей, измеренных на поверхности исследуемого объекта, относительно недавно являются предметом исследования в механике и привлекают внимание многих ученых ввиду широкого практического приложения. Задачи определения местоположения дефектов и их конфигурации встречаются в геофизике, медицине, сейсморазведке и строительной промышленности.

Наиболее популярной математической моделью для описания поведения колеблющегося тела, ослабленного трещиноподобным дефектом, являе1ся модель, в которой трещина моделируется математическим разрезом, на берегах которого поля перемещений терпят разрыв. В рамках >той модели считается, что берега трещины в процессе колебания не взаимодействуют и свободны от напряжений.

К настоящему моменту методы решения задач о колебаниях упругих тел, ослабленных дефектами, разработаны достаточно подробно и в основном опираются на асимптотические подходы, либо на метод граничных интегральных уравнений (МГИУ) и метод конечных элементов (МКЭ), однако обратные задачи о реконструкции параметров трещин по некоторой дополнительной информации исследованы недостаточно.

Изложенное выше определяет актуальность и практическую значимость работы.

Цель работы состоит в исследовании прямых и обратных задач динамической теории упругости для ортотропного упругого слоя с трещиной п ооизвольной конфигурации.

Методика исследований прямых задач основывается на сведении исходных краевых задач к граничным интегральным уравнениям на

0 новации теоремы взаимности и фундаментальных решений для слоя, решение которых осуществлено при помощи идей метода граничных > ]емонтов Обратная задача идентификации трещины сведена к решению

1 1ст с мы нелинейных операторных уравнений, которые содержат как операторы с гиперсингулярными особенностями, так и операторы с гладкими я фами. Полученная система решается на основании метода линеаризации в окрестности известного начального приближения трещины, причем начальное приближение конфигурации дефекта определяется из условия \ инимума неквадратичного функционала невязки.

В работе предложен также асимптотический подход к исследованию прямых и обратных задач для ортотропного слоя с прямолинейной трещиной \ алой относительной длины, причем решение обратной задачи сведено к гоотапному определению параметров трещины из простых трансцендентных >равнений.

Достоверность результатов работы основана на строюм аппарате матема(ической теории упруюсти, на корректном сведении краевых задач

для слоя с трещиной произвольной конфигурации к система\ гиперсингулярных интегральных уравнений, на их численном у асимптотическом анализе, сравнением результатов, полученных в работе, с известными частными случаями.

Научная новизна работы определяется разработкой методов решения, численным и асимптотическим исследованием ряда новых задач (прямых и обратных) об установившихся колебаниях ортотропною слоя с трещиной произвольной конфигурации.

Практическая ценность результатов исследования состоит в развитии методов идентификации для трещин малых относительных размеров и исследовании возможностей процедуры реконструкции трещин в слое и зависимости от частоты колебания и геометрических параметров задачи.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001г.), на 6 Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Ростов-на-Дону, 2003i.), на III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием (Ростов-на-Дону-Азов, 2003г.), на VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2004г), на I и III Школах-семинарах «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (Ростов-на-Дону, 2002,2004 гг.), на семинаре кафедры теории упругости РГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа сосюит и$ введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 124 наименований, приложения из 45 рисунков и 7 таблиц общим объемом 137 страниц машинописно! о текста.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, коды проектов 02-01-01124, 0501-00734 и гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущей научной школы HUI -2113. 2003.1.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по исследованию динамических задач теории упрунхпи для областей с дефектами и основные методы исследования прямых и обратных задач теории трещин.

Динамическим задачам теории упругости для различных областей с трещиноподобными дефектами посвящены работы А.Е. Андрейкива, В.М. Александрова, В.А. Бабешко, В.Г. Борисковского, А.О. Ватульяна, Е.В. и Н.В. Глушковых, Р.В. 1 ольдшгейна, В.В. Зозули, Г.С. Кита, Б.А. Кудрявцева, Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, В.В. Панасюка, В.З. Партона, Ю.В. Петрова, Г.Я. Попова, JI. И. Слеияна, Б.И. Сметанина, Б.В. Соболя, А.Н. Соловьева, М.А. Сумбатяна, Л.А. Фильштинского, Г.П. Черепанова, Е.И. Шифрина, J D. Achenbach, S К. Sib, A.K Mal, A.-Y. Kuo, J.F. Loeber, Y. Shindo, S. Andrieux, A.B. Abda, H.D. Вш, M . Jaoua, D. Colton, R. Kress и других авторов.

В первой главе рассматриваются постановки прямых задач об установившихся колебаниях орготропного слоя с трещиной произвольной конфигурации. В первом параграфе изложена общая постановка о колебаниях орютропного слоя S с внутренней трешиной. Во втором и третьем параграфах представлены постановки прямых антиплоской (задача 1) и плоской (задача 2) задач о колебаниях ортотропного слоя с трещиной. Рассмотрены установившиеся колебания с частотой û) ортотропного слоя толщины h с внутренней трещиной произвольной конфигурации. Нижняя грань слоя жестко защемлена и совпадает с осью ОХ]. ось Oxj направлена

перпендикулярно вверх. Колебания в слое вызваны распределенной или сосредоточенной нагрузкой, приложенной к части верхней границы.

Трещина моделируется как магматический разрез с берегами I1, на

которых компоненты поля перемещений терпят конечные скачки 1 = 1,2,3. На основе теории дислокаций влияние трещины заменено

действием фиктивных массовых сил ^, которые выражены через компоненты функции раскрытия трещины.

В случае антиплоской задачи ненулевой компонентой вектора перемещений является компонента 112= и (Х[,Хз), действие трещины

заменяется массовой силой Г = — [с66Х ^(С)]^, и проблема описывается краевой задачей (1 )-(3):

С66и;П+С44и(зз+р(о2и + Г = 0, (1)

и 1x3=0= С44и,3 1х3=Ь=Р25(х1 (2)

<*2}п* 1,± = 0о = 1>3- (3)

где = С2323, С66 = С]212 —упругие постоянные материала.

В случае плоской задачи из компонеш вектора перемещений отличны от нуля 11] ~ и](Х[,Хз), И3 = и3(Х),х3) , массовые силы представимы в форме

^ =-(спХ15(0),1-(с55Хз8(0),з, ГЗ=-(С55ХЗ«(0),|-(С,ЗХ18(0),З-

Исходная проблема описывается краевой задачей (4)-(6):.

С1|Чм1+С55и1,33+(С1з+С55)из,1з+ро)2и1 =0, (4)

С55и3'11+С33^3'33+(С13 +С55)и1,1з+рсо2из +Г, =0,

и, 1хз=0= 1хз=Ь=Р13(х, +Ь), (5)

оцп* | ± = 0 л, 3 = 1,3, (6)

где СП=С1Ш, с13 =спзз, Сзз^Сзззз, С55=С)313 - упругие

постоянные материала.

Замыкают постановки задач условия излучения волн на бесконечности, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения.

Вторая глава посвящена сведению исходных краевых задач к системам I раничных интегральных уравнений и их исследованию. Первый параграф посвящен построению фундаментальных решений соответствующих сператоров для слоя для задачи 1 и 2, как первого этапа при построении ролнового поля в слое. Во втором и третьем параграфах построены волновые 1 оля в слое для задач 1 и 2 соответсшенно.

В случае задачи 1 поле перемещений в полосе определяется выражением

(7)

и(х) = иэт(х) + /Щ,х)х(^,хе8 (7)

Для ¡адачи 2 поле смещений определяется (8) при у,т=1,3.

ит(х) = <(*)+ {о^х^Дад^сй^хеБ (8)

1+

I дс х) - компоненты тензора напряжений (сингулярные решения),

которые определяются на основе фундаментальных решений дтя слоя и '.акОна 1 ука.

В формулах (7),(8) первые слагаемые - эталонные поля, представляющие собой поля смещений в среде без дефекта, вторые слагаемые обусловлены

наличием трещины в слое. Функции к(^,х),СГут^(£дХ) в (7),(81

представлены в виде контурных интегралов, причем контур интегрирования <7 в соответствии с принципом предельного поглощения всюду совпадает с вещественной осью за исключением окрестностей особенное гей подынтегральных выражений, которые он огибает, отклоняясь в комплексную плоскость. Подынтегральные выражения имеют конечное число вещественных полюсов, которые определяют количеово распространяющихся волн в полосе и счетное множество комплексны? полюсов.

Представления (7),(8) позволяют определить смещение в любой точке полосы при известных значениях функции раскрытия, для определения которых получены ГИУ с гиперсингулярными ядрами. Проведено исследование ядер ГИУ. Выделены главные части ядер ГИУ. Так, в случае

трещины, допускающей параметризацию Xj = я (1),1 б [—1,1]^ = 1,3, где е С^-Щя'^О + я'^ (0 * О, ГИУ для задачи 1 имеет вид

+о(2Ч1,х) А + гк (г>тшл=р(т)1те1_и]> (9, -1 (1-тГ -1

где С(1) (1, Х),С(2) (1, т), К, (1, X) е С([-1,1] х [-1,1]), т = ХШ) -Для задачи 2 получена системы ГИУ (10)

-1 (1-х)

Ядра первых интегральных слагаемых в (9), (10) имеют гиперсингулярные особенности, и соответствующие интегралы понимаются в смысле конечного значения по Адамару. Ядра вторых слагаемых К^ (1,т) К^ (1,т)

непрерывны и представлены в виде контурных интегралов по контуру (7.

В третьей главе проведено численное исследование полученных гиперсингулярных интегральных уравнений (9),(10) и полей перемещений на верхней границе слоя. В первом параграфе изложены основные идеи метода граничных -элементов. Во втором и третьем параграфах главы осуществлена дискретизация интегральных уравнений (9) и (10) на основе метода ГЭ и численных схем дискретизации гиперсингулярных интегралов. В результате получены СЛАУ для определения узловых значений функций раскрытия.

Матрицы систем представляют собой матрицы с диагональным преобладанием, являются хорошо обусловленными и их решения устойчивы к малым вычислительным погрешностям элементов систем.

На основе найденных узловых значений функций раскрытия построены волновые поля перемещения в слое, в частности, поля смещений на верхней его границе.

Произведен ряд численных расчетов для материала из аустенитной стали с прямолинейной наклонной трещиной в случае задачи 1 и задачи 2. Представлены графики, определяющие зависимость функций раскрытия трещины от количес1ва граничных элементов М, причем при анализе волновых потен чисто граничных элементов выбиралось равным 5 7 на длину волны зондирующего сигнала. Приведены также графики полей смещений на верхней границе слоя. Исследована зависимость полей смещений от параметров трещины в диапазоне низких и средник частот.

Четвертая глава посвящена методам исследований обратной задачи реконструкции трещин в слое по дополнительной информации-о потях перемещений на верхней границе слоя. В первом параграфе изложены

основные методы и алгоритмы решения обратных задач теории трещин. Во втором параграфе сформулирована постановка обратной задачи, рассматриваемая в данной работе. Задача состоит в определении местоположения и конфигурации трещины на основе информации о полях перемещений либо их амплитудных значений, измеренных на части верхней границы слоя.

Реконструкция трещины осуществляется на основе дополни ¡ельного граничного условия (задача 1)

и2(х1)|хз=ь =§2(х1)> Х,€[а,Ь], (11)

а для задачи 2

и.Сх^з^ЕДх,), X] е[а,Ь], 1 = 1,3. (12)

Сформулирована система нелинейных операторных уравнении относительно функций, описывающих контур трещины и функций раскрытия. Решение системы строится на основе метода линеаризации и окрестное!и некоюрого известною положения трещины. Получена система интегральных уравнений Фредгольма первого рода с гладкими ядрами относительно вектора, характеризующего поправки начальной конфигурации трещины.

В третьгм и четвергом параграфах предложенный алгоритм конкретизирован для задач 1,2. Построены системы операторных уравнений которые содержат как операторы с гладкими ядрами, гак и опера юры <. сильными особенностями. Применен метод линеаризации и по тучень системы уравнений Фредгольма первого рода с гладкими ядрами 1 ь определения следующего приближения конфигурации трещины I итерационном процессе, причем сходимость итерационного меюда пр| решении задач идентификации .во многом зависит 01 выбора начально конфигурации трещины. Определению начального положения фетиш,

и квящены следующие параграфы четвертой главы. Начальное приближение Iпредлагается разыскивать, исходя из некоторых априорных соображений, в к тссс трещин простейшей конфигурации (прямолинейных трещин, ду! окружностей), в этом случае трещина параметризуется при помощи конечного числа параметров, однозначно ее определяющих. В пятом параграфе предложены функционалы невязок, из условия минимума которых находятся эти параметры. В шестом параграфе представлен алюритм в «становления внутренней прямолинейной трещины длины 1 с углом н и>лона 9 к нижней грани слоя, причем средняя точка трещины находится и 1 оси Ох3 на расстоянии ёд от нижней грани; параметр Ь характеризует

р кстояние от точки приложения сосредоточенной нагрузки до вертикальной о;», проходящей через середину трещины. На основе предложенного а 1горигма были проделаны вычислительные эксперименты восстановления 1,0 (считалось, что с!о,Ь - известны). Исследована работоспособность

а поритма в зависимости от количества бегущих волн в слое, расположения и чисчи точек зондирования, от погрешности задания входной информации, а I акже о1 парамефов фещины. Выявлено, что приемлемыми с точки зрения ¡'ронетуры реконструкции являются частоты, на которых имеются две и ^очее бегущих волн, угол наклона трещины определяется с большей I гпюст ью, нежели ее длина. Процедура восстановления параметров трещины ^чойчива к погрешностям входных данных, а для определения двух параметров трещины достаточно двух точек зондирования. В 7 и 8 иарлрафах представлены результаты проведенных экспериментов для задачи 1 и '.адачи 2 соответственно.

15 табтице 1 приведены результаты восстановления параметров 1,9 в с 1\чае задачи 1 для трещин различной длины и угла наклона

Таблица 1

Значение волнового числа

к, =2.0,к2 =4.0 (одна волна) к, = 5 0,к2 =7.0 (две волны)

Истинные значения параметров [1, в] ё0 =0.5,Ь=2.0 Результат ы реконструкции параметров трещины

Ы Е0(%) П [10] £0(%) п

[0.330, 0.524(30°)] [0.328, 0.505] 061 3 63 6 [0 330, 0.523] * 0.19 13

[0.330, 1.047 (60°)] [0 338, 1.072] 2.42 2 39 4 [0.332, 1 053] 0 61 0.57 6

[0 330,2 094(120°)] [0 338, 2 069] 2 42 1.19 4 [0.330. 2 096] * * 7

[0.520, 0 524(30°)] [0 520, 0.523] * 0.19 4 [0.520, 0 524] * * 11

[0.520, 1.047(60°)] [0.519, 1.047] 0.19 * 4 [0.519, 1047] 0 19 t 4

[0.520,2 094 (120°)] [0 513, 2 104] 1 35 0 48 4 [0 519, 2 094] 0.19 * 4

При этом п - количество шагов итераций в процедуре минимизации функционала невязки, знак «*» означает, что гютрешность реконструкции менее 0.1%. На рисунке 1 представлены графики зависимое!и относи(ельных погрешностей восстановления длины и угла наклона трещины

1 = Ь / 3, В = 65°, Ь = 2.0 от степени зашумления входной информации в

случае задачи 1, кот да в слое имеются две бегущие волны, при к| =5.0,

к2 = 7.0 (рис.1).

В таблице 2 представлены результаты определения параметров трещины в случае задачи 2, когда в слое две бегущие волны (к = 2,2), три (к = 3,7).

Таблица 2

Значение волнового числа

к — 2.2 (две волны) к — 3.7 (три волны)

Истинные значения параметров [1,9] <1о=05,Ь = 20 Результаты реконструкции параметров трещины

[10] £](%) ве(%) п [1В] ей(%) п

[0.25.1.309 (75°)] [0.251,1.308] 0.40 * 12 [0.250,1.308] * * 7

[0 33,1 396(80°)] [0 335,1.390] 1 52 0 43 8 [0.330,1 397] * * 6

[0.33,1 912 (110°)] [0 340,1.929] 3.03 0.89 16 [0.338,1.929] 2.42 0.89 4

[0 33,2 478 (.142°)] [0^38,2 475] 2 42 0.12 7 [0 331,2.478] 0.30 * 7

Как показачи результаты численных экспериментов, предложенный алгоритм является эффективным способом определения параметров трещины, однако процедура минимизации функционапа, которая строится на

основе некоторой итерационной процедуры, требует многократного решени; прямой задачи, которое достаточно сложно и связано с затратой машинном времени. Следует отметить, что для трещин малых относительных размер«! процедуру решения прямой задачи, а соответственно и обратной, можне значительно упростить и на порядок сократить время счета.

В пятой главе предложен асимптотический подход к идентификаиш прямолинейных трещин малой относительной длины. В этом случа1 оказывается возможным решение обратной задачи определения параметрог трещины свести к решению некоторых трансцендентных уравнений.

В первом параграфе главы в рамках асимптотического подход: построены асимптотики подынтегрального выражения и правой части Г И\ (9) в предположении малости линейного размера дефекта (при 1() -> 0 ). в

результате получено интегральное уравнение с постоянной правой часп.ю (13), которое имеет простое точное решение (14)

Г-М.)-<ц = Чо, те[-1,1] (13)

-1(1 -т)2

где х*(0 = 10 10 " полудлина трещины, - определяется

асимптотикой правой части и ядра ГИУ

Х.(0 = >Я^У(Л=-Яо/я. (И)

Исследована структура асимптотики волнового поля перемещения /I ю задачи 1 на поверхности полосы, построены формулы для амплитуд, которые ,2

пропорциональны 1^.

Проведены численные эксперименты по определению функций раскрытия трещины, а также амплитуд первой и второй бе!утих волн на основе решения ГИУ при помощи меюда граничных элементе (МГ'З) и асимптотического метода. Графики вещественной и мнимой чаеюи

амплитуды первой волны в задаче 1 для трещины С^ = 0.5,0 = 60°, Ь = 5.6 в зависимости ее длины при к = 6.0

отображены на рис.2. Результаты, полученные при помощи МГЭ, обозначены сплошной линией, на основе асимптотического подхода - штрихпунктирной линией.

Рис.2

Значительным преимуществом асимптотического метода является экономия времени счета. Серия расчетов позволила установить, что для трещин, длина которых составляет менее 0.2 толщины слоя, при анализе прямой и обратной задач можно пользоваться асимптотическим методом.

Во втором параграфе решена обратная задача идентификации прямолинейной трещины на основе дополнительной информации об амплитудах распространяющихся мод на границе полосы и приведены результаты мисчснных экспериментов для задачи 2.

Для однозначного определения параметров трещины достаточно

рассмотреть две частоты к],к2, на каждой из которых имеются по две

*

бегущие волны и аданы их амплитудные значения А, ] = 1,2 , Далее,

на основании выражений для амплитуд задача идентификации

прямолинейной трещины сведена к поэтапному определению параметров трещины из построенных в работе трансцендентных уравнений. На первом этапе определяется параметр ё0, затем находится угол наклона 0. Для

определения параметра Ь необходимо произвести два измерения амплигуд при разном положении источника, причем для однозначного его определения необходимо знание амплитуд на двух частотах. На последнем этапе из выражения для амплитуд определяется .

Проведена серия вычислительных экспериментов по определению параметров прямолинейной трещины с использованием предложенного асимптотического меюда. Исследована зависимость точности идентификации параметров трещины от длины; выявлено, что с увеличением длины трещины точность их определения уменьшается. Определена область применимости асимптотического подхода, выявлено, что при 1 < 0.211 <3о,0,Ь определяются с погрешностью менее 5% при точных входных

данных, а длина трешины определяется с погрешностью менее 15%. Отметим также, что алгоритм идентификации устойчив к погрешностям входных данных, характеристики трещины определяются с погрешност ью порядка 5% при погрешности задания входных данных порядка Г) « 15%. Результаты свидетельствует о достаточно устойчивой процедуре идентификации параметров трещины. Приведем численные результаты восстановления параметров трещины. На первом этапе рассчитывалось волновое поле на границе слоя на основе решения ГИУ (9) с помощью метода граничных элементов. Эта информация считалась заданной при решении обратной задачи. На рис.3 прсдчавлсны графики относительной погрешности восстановления характеристик трещины ёо — 0.5,0 - 2п /3, Ь = 5.6 в

зависимости от ее длины на часто^х!«^ -5.0,к2 =6.0 Погрешность

т постановления длины трещины значительно превосходит погрешность г постановления остальных параметров, которые определяются с погрешностью менее 1%.

I

25;

(4)

20

15

П)',

и 0.02 "0.0 1 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

(1) , , (3)- к.

(2) - - - >:.- (4) - -

Рис.3

В пятом параграфе в рамках асимптотического подхода исследованы прямая и обратная задачи для случая задачи 2.

Аналогично задаче 1 функции раскрытия представляются в виде (15)

х1(0 = ,хз(0 = (15)

Д'1я определения , получены простые формулы.

Исследована асимптотика полей перемещений на поверхности полосы,

,2

ьыявлено, чю они пропорциональны .

Обратная задача решена по информации о полях смещений, измеренных I! Iочках |х<к>}?=1,х}к> е [а, Ь] верхней границы слоя при фиксированной

часч сп е.

Для определения параметров (10,6 получена система дву->

трансцендентных уравнений, в которую не входят функции раскрытия трещины.

Проведена серия расчетов по восстановлению (1о,9, выявлено, что для

однозначного определения этих параметров достаточно взять две точки зондирования.

На рис.4 приведены графики относительной погрешности восстановления параметров трещины (1о = 0.84,9 = 85°, Ь = 0.0,к = 2.2 в зависимости от длины трещины, координаты точек зондирован и 1 х|'> = 4.0,=4.2. Как показывают результаты, ёд,0 определяются : погрешностью менее 2% при 1 < 0.2Ь, 1ф = 1 / 2.

Рис.4

Проведено сравнение результатов решения обратной задачи в случая* определения параметров трещины при помощи МГЭ и на основ, асимптотического подхода. При помощи асимптотического подхода пр 1 < 0.2Ь параметры трещины восстанавливаются с погрешностью менее 2% при этом по сравнению с МГЭ время счета сокращаем в более чем 20 р;н.

Предложенный в работе асимптотический подход позволяет достаточно эффективно и быстро диагностировать дефект, когда 1 < 0.2h, что свидетельствует о работоспособности модели расчета волновых полей, основанных на асимптотическом подходе, и достаточно устойчивой процедуре идентификации прямолинейных трещин малой длины.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Разработаны методы сведения краевых задач, описывающих установившиеся колебания ортотропного слоя с трещиной произвольной конфигурации, к системам гиперсингулярных интегральных уравнений.

2. Развиты методы численной реализации для систем гиперсингулярных I 'ИУ на основе метода ГЭ.

3. Предложен асимптотический подход к расчету волновых полей в слое с трещиной малой относительной длины.

4 Решена задача идентификации параметров наклонной трещины в слое по полю перемещений на части границы слоя.

5. Получены расчетные формулы для определения параметров наклонной трещины в случае малой относительной длины, выявлена область применимости асимптотического подхода.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

(фамилия соискателя: Явруян О.В. - после вступления в брак, Булгурян О. В - до вступления в брак)

1. Баранов И.В., Булгурян О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи идентификации трещины в ортотропном упругом слое.// Груды 7 Международной конференции «Современные проблемы механики

сплошной среды ». Ростов-на-Дону. Изд-во «Новая книга». 2001г. т.1. С. 29-33.

Булгурян О.В. Идентификация трещины в ортотропном упругом слое // Труды 1 Школы-семинара «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика». Ростов-на-Дону. Изд-во «Новая книга». 2002г. С. 87-89.

Баранов И.В., Булгурян О.В. Метод линеаризации в обратной задаче идентификации трещины //Труды III Международной конференции по теории упругости, Ростов-на-Дону - Азов, Изд-во «Новая книга». 2003г. С. 75-77.

Баранов И.В., Булгурян О.В. К проблеме реконструкции наклонных трещин. // Труды 6 Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Ростов-на-Дону. 2003г. т.5. С.7-9. Баранов И.В., Булгурян О.В., Вагульян А.О О модели реконструкции трещины в упругом слое// Сб. научных трудов VI Всероссийского симпозиума «Матемашческое моделирование и компьютерные технологии». Кисловодск. Издательский центр КИЭиП. 2004г. С. 2425.

Баранов И.В., Булгурян О.В., Вагульян А.О. Интегральные уравнения для упругого слоя с трещиной произвольной конфигурации и их исследование. // Вестник ДГТУ. Издательский центр ДГТУ. 2004г. Т.4. №3. С. 257-269.

Баранов И.В., Булгурян О.В., Соловьев А.Н. Идентификация трещины в анизотропном слое на основе анализа граничных волновых полей // Тешсы докладов Всероссийской научной конференции по волновой динамике машин и конструкций, посвященная памяти проф. А.Н. Весницкого. Нижний Новгород. 2004г. С. 20.

8. Булгурян О.В. Идентификация наклонных трещин в ортотропном слое // Труды 111 Школы-семинара «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика». Ростов-на-Дону. Изд-во «ЦВВР». 2004г. С. 55-58.

9. Булгурян О.В. Об одном подходе к реконструкции трещин произвольной формы в анизотропной слоистой среде // Сборник работ лауреатов конкурса молодых ученых" имени академика И.И.Воровича.8-й выпуск. Изд-во Сев.-Кавк. НЦВШ. 2004г. С. 13-21.

10. Вагульян А.О., Явруян О.В. Реконструкция наклонных трещин в слое // Известия вузов. Северо-Кавказский Регион. Естественные науки. 2005г. №2. С. 36-39.

А

i

I

J

í

»14150

РНБ Русский фонд

2006-4 20191

Подписано в печать 17.05.2005г. Печать RISO. Бумага офсетная 80 г/м2 ¿_

Гарнитура Times New Roman Cyr Тираж 100 экз. Отпечатано с оригинал-макета 1 *

в типографии ООО «Кописервис». 344019, г. Ростов-на-Дону, ул. 2-я линия 17/61 телефон 8-904-506-37-41 (E-mail: кссОКфтаИ.ги, copyservise@bk.ru)

Введение.

ГЛАВА 1. Постановка задач о колебаниях ортотропного слоя с трещинами произвольной формы.

§1.1. Общая постановка о колебаниях ортотропного упругого слоя с трещиной.

§1.2. Постановка антиплоской задачи о колебаниях ортотропного упругого слоя с туннельной трещиной.

§1.3. Постановка плоской задачи о колебаниях ортотропной упругой полосы с трещиной.

ГЛАВА 2. Сведение краевых задач к системам граничных интегральных уравнений и их исследование.

§2.1.Сведение к системам граничных интегральных уравнений.

§2.2. Фундаментальные решения для слоя.

§2.3. Формулировка граничного уравнения для антиплоской задачи и его исследование.

§2.4. Формулировка системы граничных уравнений для плоской задачи и их исследование.

ГЛАВА 3. Дискретизация системы граничных интегральных уравнений и вычислительные эксперименты по решению прямых задач.

§3.1. Дискретизация системы граничных интегральных уравнений.

§3.2. Дискретизация гиперсингулярного интегрального уравнения антиплоской задачи. Численная реализация.

§3.3. Дискретизация системы гиперсингулярных интегральных уравнений плоской задачи. Численная реализация.

ГЛАВА 4. Решение обратных задач об идентификации трещины в ортотропном слое.

§4.1. Особенности обратных задач идентификации трещин в ортотропном слое.

§4.2. Формулировка систем операторных уравнений.

§4.3. Формулировка системы операторных уравнений и метод линеаризации для антиплоской задачи.

§4.4. Формулировка системы операторных уравнений и метод линеаризации для плоской задачи.

§4.5. Определение начального приближения.

§4.6 Численная реализация обратной задачи для наклонной прямолинейной трещины.

§4.7. Численная реализация антиплоской задачи.

§4.8. Численная реализация плоской задачи.

ГЛАВА 5. Асимптотический подход в задаче реконструкции прямолинейной трещины.

§5.1 Асимптотический подход к решению антиплоской задачи для слоя с прямолинейной трещиной.

§5.2 Идентификация параметров прямолинейной трещины антиплоской задачи. Численные результаты.

§5.3 Асимптотический подход к решению плоской задачи для слоя с прямолинейной трещиной. Идентификация параметров трещины. Численная реализация.

Современное развитие промышленности связано с внедрением новых композиционных материалов, что объясняет нарастающий интерес к задачам прочности конструкций из таких материалов. При этом отметим, что композиционный материал может быть часто описан моделью ортотропной среды в рамках концепции эффективных модулей. Прочность конструкций в значительной степени определяется наличием микродефектов, развитие которых под действием приложенных нагрузок приводит к их росту и, как правило, к разрушению. К наиболее «опасным» с точки зрения механики разрушения относятся трещиноподобные дефекты, поскольку в процессе эксплуатации у вершин трещин возникают окрестности со значительными напряжениями, которые являются причиной дальнейшего развития дефекта и последующего разрушения конструкции [66,79].

Своевременное выявление трещиноподобных дефектов в конструкциях позволяет контролировать их дальнейшее развитие и избежать катастрофических последствий [21,50].

С точки зрения причинно-следственной связи задачи о колебаниях упругих тел условно принято разделять на два класса: класс прямых задач, в которых требуется по известным граничным условиям определить волновые поля в исследуемой области, и класс обратных задач, в которых требуется по известным полям смещений, измеренных на части границы области, определить местоположение и конфигурацию трещины.

При этом составление адекватных моделей колеблющихся тел с дефектами является одним из основополагающих моментов при решении прямых и обратных задач теории трещин.

Наиболее популярной математической моделью для описания поведения колеблющегося тела, ослабленного трещиноподобным дефектом, является модель, в которой трещина моделируется математическим разрезом, на берегах которого поля перемещений терпят разрыв и вводятся функции раскрытия трещины, которые определяют соответствующие скачки перемещения на берегах. Также модель основана на том, что берега трещины в процессе колебания не взаимодействуют и свободны от нагрузок. Учет взаимодействия берегов приводит к значительному усложнению задачи, и рассмотрены модели, в которых осуществлен учет взаимодействия берегов [66-68].

К настоящему времени задачи теории трещин выделились в самостоятельный раздел теории упругости. Имеется большое количество монографий, посвященных различным аспектам механики трещин, среди которых отметим монографии В.М. Александрова, Б.И. Сметанина, Б.В.Соболя [1], Н.Ф.Морозова [77], В.З.Партона, В.Г.Борисковского [80], Л.И. Слепяна [84], Г.П.Черепанова [87] и другие.

Кроме того, отметим циклы работ В.А. Бабешко с соавторами [2-11], Н.В. и Е.В. Глушковых [53-54], М.А. Сумбатяна [109], Е.И.Шифрина [88], А.О. Ватульяна и А.Н. Соловьева [35,40-46], Achenbach J.D.[91,115], S.K. Sih, A.K. Mai, A.-Y. Kuo, J.F.Loeber, Y.Shindo и других отечественных и зарубежных авторов [48, 52, 56, 60, 62, 64, 67, 70, 79, 80-82, 124 ].

По типу приложенной нагрузки, возбуждающей колебания тела, прямые и обратные динамические задачи принято разделять на стационарные, когда рассматривается установившийся во времени режим колебаний, и нестационарные, когда осуществляется импульсное воздействие на объект. В последнем случае реконструкция дефекта осуществляется по времени прихода отраженного сигнала. С позиции составления математической модели такие задачи значительно сложнее по сравнению со стационарными задачами.

Задачи о колебаниях слоя с системой трещин, расположенных в параллельных плоскостях или одиночных трещин, рассмотрены в работах [27]. Эффективные методы исследования колебания областей канонической формы, ослабленных дефектами, представлены в работах [59, 80, 99]. Пространственным задачам посвящены работы [37, 54].

Решение динамических задач теории трещин возможно с использованием различных методов, таких как метод конечных элементов, метод граничных интегральных уравнений.

Одним из наиболее эффективных методов решения стационарных задач теории трещин, особенно неканонической формы, является метод граничных интегральных уравнений, которому посвящен ряд работ [39, 61, 69,71,80, 100, 112, 110].

Согласно этому подходу, исходная краевая задача при помощи фундаментальных решений соответствующих операторов сводится к граничным интегральным уравнениям относительно функций раскрытия трещины. Метод ГИУ позволяет снизить размерность исследуемой задачи и составить систему интегральных уравнений для решения обратной задачи. На основе решения систем граничных интегральных уравнений возможно построение волнового поля перемещений в исследуемой области. Данный подход использован в работах [37-38], где получены граничные интегральные уравнения для полупространства с трещиной, неоднородного слоя с трещиной, расположенной на границе областей, построены волновые поля перемещений в исследуемых областях.

В работе [102] рассматривается динамическая задача для тела с трещиной. Предложен новый подход к определению динамического коэффициента интенсивности напряжений

В связи с развитием вычислительной техники разрабатываются эффективные методы расчета волновых полей, такие как метод конечных элементов (МКЭ) [55, 114], асимптотические методы [20, 88], метод граничных элементов (МГЭ) [23, 73], в соответствии с этим подходом, граница области, по которой осуществляется интегрирование, аппроксимируется ломаной, на каждом элементе которой неизвестные функции интерполируются при помощи набора базисных функций. В результате применения МГЭ система ГИУ сводится к СЛАУ относительно узловых значений неизвестных функций.

Обратные задачи идентификации трещин уже давно являются предметом исследования в механике и привлекают внимание многих ученых ввиду практического приложения практически во всех областях науки и техники. Задачи определения местоположения дефектов встречаются в геофизике, медицине, сейсморазведке и строительной промышленности.

Однако исследование обратных задач достаточно сложно. В первую очередь это связано с тем, что как правило такие задачи нелинейны и некорректны, и для их решения необходимы другие методы исследования с учетом этих свойств. Одним из основных моментов при решении обратных задач является формулировка условий единственности решения.

Различные постановки обратных задач теории трещин и методы их исследования представлены в работах [12, 19, 27-30, 46, 49, 57, 63, 65, 83, 96, 98, 107, 108, 111, 116, 119-122].

Исследования обратных геометрических задач теории трещин ведутся в нескольких направлениях. Достаточно полный обзор о методах решения обратных задач теории трещин, развиваемых в настоящий момент, представлен в работе А.О. Ватульяна и А.Н. Соловьева [46]. Осветим основные моменты, связанные с исследованием обратных задач теории трещин, представленные в [46].

Первое направление связано с изучением обратных задач для уравнений Лапласа и Пуассона, для уравнения теплопроводности и моделирования процедуры идентификации трещины при помощи изучения особенностей строения либо тепловых, либо электростатических полей в телах с дефектами. При этом сформулированы подходы, основанные на теории потенциала или связанные с введением некоторого функционала «невзаимности». В работе [92] рассмотрен вопрос о единственности решения обратной задачи идентификации трещин в электропроводном теле, решение которой сводится к уравнению Лапласа.

В [118] исследована обратная задача идентификации поперечной трещины в полупространстве по информации о нормальной компоненте магнитного поля, заданной на всей границе. Задача сведена к обратной задаче для уравнения Пуассона, при априорных предположениях о том, что трещина ограничена эллипсом.

Авторами ряда работ предложен новый подход к решению обратных задач [89, 95, 97, 101, 110]. При наличии априорной информации о том, что трещина или системы трещин расположены в некоторой плоскости, задача идентификации разбивается на задачу определения параметров плоскости, которой принадлежит трещина, ее центра в этой плоскости и характерного линейного размера. Определение плоскости связано с введением некоторого функционала «невзаимности» и пробных решений, при помощи которых удается выделить «основные» параметры и найти их из некоторых простых соотношений. В [89] исследован вопрос единственности решения обратной задачи идентификации трещины по известному полю температуры и тепловому потоку, заданным на всей границе области. В [90] рассмотрена задача идентификации трещины в случае неполного задания граничных полей для уравнения Лапласа. В [96] получены формулы для определения параметров плоскости, содержащей трещину для статической задачи теории упругости. Получены условия, при выполнении которых возможна реконструкция трещины по полям смещений и напряжений.

Аналогичный подход использован в работах [41-43] в случае установившихся колебаний анизотропной среды, ослабленной плоской трещиной. При помощи вспомогательных пробных решений и введения функционала невзаимности получены выражения для определения параметров плоскости, которой принадлежит трещина. Далее определяются размер и средняя точка трещины. Проведены вычислительные эксперименты по реконструкции плоской прямолинейной трещины.

Второе направление связано с исследованием обратных геометрических задач для уравнений теории упругости в конечной области [45, 105, 106 ] или в области типа слоя [13-16, 24-26, 31-34], полупространства [36]. Реконструкция осуществляется по полям смещений, заданных на части границы области. В работах [30,105] доказывается теорема единственности решения обратной задачи идентификации двумерной трещины в теле конечных размеров по граничным полям.

Для решения обратной задачи формулируется система нелинейных операторных уравнений [45]. Реконструкция трещины осуществляется на основе метода линеаризации полученной системы в окрестности трещины известной конфигурации (прямолинейной, дуги окружности или эллипса). Начальную конфигурацию трещины предлагается определять из условия минимума функционала невязки, зависящего от параметров, однозначно определяющих трещину. В [105] получены граничные интегральные уравнения для тел с малыми дефектами для статической задачи изотропной теории упругости. Идентификация трещины осуществляется на основе построенных ГИУ и генетических алгоритмов.

Особое внимание уделено также задачам реконструкции трещин в бесконечной среде по полям упругих волн в дальней зоне [93, 94,104, 111, 117]. Вопрос единственности решения обратной задачи в дифракционной постановке исследован в работе [117], в которой доказана теорема единственности решения обратной задачи восстановления формы дефекта (рассеивателя) по электромагнитным полям в дальней зоне. Решена прямая задача построения отраженного поля при помощи фундаментального решения, исследована асимптотика решения в дальней зоне. Произведена реконструкция дефекта на основе решения прямой задачи и теории потенциала.

В работе [111] рассмотрена плоская задача теории трещин в дифракционной постановке для изотропной упругой среды. Реконструкция трещины осуществляется по информации о рассеянном поле плоских упругих волн в дальней зоне. Доказана теорема единственности решения обратной задачи. Для выделения единственного решения на бесконечности использован принцип излучения Купрадзе. Задача решена в два этапа. На первом этапе построено рассеянное поле перемещений, которое представляется в виде контурных интегралов. Исследована асимптотика поля в дальней зоне. Далее, решена обратная задача на основе метода Ньютона, который заключается в построении нелинейных операторных уравнений, и дальнейшей их линеаризации в окрестности трещины простейшей конфигурации. В результате получена линейная переопределенная система относительно вектора поправок. Решение полученной системы представляет собой некорректную задачу и требует применения процедуры регуляризации, в работе использован метод А.Н. Тихонова. Далее, вектор поправок используется в качестве следующего приближения конфигурации исходной трещины. Приведены численные результаты восстановления криволинейных (дуг эллипсов) трещин. В работе [104] исследована обратная задача теории трещин в дифракционной постановке, которая сведена к решению уравнения Гельмгольца.

Следующее направление связано с исследованием задач о колебаниях упругих тел, ослабленных трещиноподобными дефектами, расположенными на стыке областей или приповерхностных дефектов. Как правило, такого рода дефекты на практике возникают в результате изготовления или обработки материалов. Решение таких обратных задач значительно упрощается, поскольку априори известно местоположение дефекта. В работах [31, 33, 41-46, 103, 123] рассмотрены задачи реконструкции внутренних поперечных трещин, расположенных на стыке областей и трещин, выходящих на поверхность области. Идентификация трещины осуществляется по информации о полях смещений, заданных на части границы области. Решение обратной задачи сводится к определению конечного числа параметров (2 параметра, характеризующие координаты вершины внутренней трещины, 1 параметр, определяющий заглубление интерфейсной трещины) из условия минимума функционала невязки.

В [123] исследована обратная задача идентификации трещин, расположенных на некоторой внутренней поверхности. Рассмотрены две постановки: в первой постановке заданы поля напряжений (или перемещений) на всей внешней поверхности исследуемой области, во второй постановке реконструкция дефекта осуществляется на основе заданных полей перемещений и напряжений на части внешней поверхности области.

В [103] рассмотрена задача реконструкции приповерхностной трещины в конечной области по полям напряжений, измеренных на границе области. Прямая задача решена на основе преобразования Шварца-Кристоффеля, при помощи которого исходная плоская многоугольная область с приповерхностной трещиной переводится в прямоугольную область. В новой области трещина располагается на части границы, на которой выполняются соответствующие граничные условия.

В работах [106, ИЗ] для решения обратных задач теории трещин использованы новые вычислительные технологии, такие как генетические алгоритмы и нейронные сети.

Вышеизложенное определяет актуальность и практическую значимость работы.

В настоящей работе рассматривается обратная задача идентификации трещины в ортотропном упругом слое по полям смещений, измеренных на части верхней границы слоя. Задача решается в два этапа. На первом этапе строятся волновые поля смещений в слое по известным граничным условиям. На втором этапе, на основании решения прямой задачи и дополнительной информации о волновых полях решается обратная задача реконструкции трещины. Прямая задача решается при помощи метода граничных интегральных уравнений, который позволяет снизить размерность исследуемой задачи и перейти к рассмотрению интегральных уравнений в ограниченной области. Дальнейшее исследование полученных ГИУ осуществляется с позиций двух подходов. Первый подход связан с дискретизацией ГИУ на основе метода граничных элементов, согласно которому контур интегрирования аппроксимируется ломаной, на каждом элементе которого неизвестные функции аппроксимируются при помощи набора базисных функций. В результате получается система линейных алгебраических уравнений для определения узловых значений функций раскрытия, которые используются в дальнейшем при построении волнового поля перемещений в слое, в частности для определения поля перемещений на верхней границе слоя. Второй подход связан с решением ГИУ на основе асимптотического подхода для трещин малых относительных размеров. При наличии априорной информации о малости относительного размера дефекта ГИУ удается свести к интегральному уравнению с постоянной правой частью, которое имеет простое точное решение [109].

Решение обратной задачи строится на основе информации о полях смещений, измеренных на верхней границе слоя, но поскольку произвести реальный эксперимент в рамках данного исследования не удалось, то в качестве входных данных при решении обратной задачи задаются значения поля перемещений на верхней границе слоя, полученные из решения прямой задачи. Для реконструкции трещин произвольной конфигурации одним из наиболее эффективных методов является метод, предложенный в работе [30], согласно которому конфигурация трещины определяется из нелинейной системы операторных уравнений. Решение полученной системы осуществляется на основе метода линеаризации в окрестности трещины простейшей конфигурации, в результате построена система уравнений Фредгольма 1-ого рода с гладкими ядрами, решение которой требует применения регуляризующих алгоритмов. При таком подходе к решению обратной задачи идентификации трещины особое внимание уделено выбору начального приближения, которое следует разыскивать в классе трещин простейшей конфигурации. В этом случае трещина определяется конечным числом параметров, определение которых и составляет суть задачи идентификации трещины. Далее составляется неквадратичный функционал невязки, зависящий от параметров трещины, которые определяются из условия минимума этого функционала. В работе особое внимание уделено определению параметров прямолинейных трещин, как первого этапа на пути к реконструкции криволинейных трещин. Задача идентификации прямолинейных трещин решена на основе процедуры минимизации функционала невязки, а также на основе асимптотического подхода. Для трещин малой относительной длины параметры трещины определяются из трансцендентных уравнений. Стоит отметить, что реализация первого метода требует многократного решения прямой задачи, что связано с затратой времени счета, в то время как при помощи асимптотического подхода решение задачи осуществляется за значительно меньшее время (время счета сокращается в более чем 20 раз).

Диссертационная работа содержит 5 глав. Главы 1,2,3 посвящены решению прямой задачи о построении волновых полей перемещений в слое. Главы 4 и 5 посвящены решению обратных задач идентификации трещин в ортотропном слое. В первой главе рассматриваются постановки прямых задач. Она состоит из трех параграфов. В первом параграфе изложена общая постановка о колебаниях ортотропного слоя с внутренней трещиной. Во втором и третьем параграфах рассмотрены постановки прямых антиплоской (задача 1) и плоской (задача 2) задач о колебаниях ортотропной полосы с трещиной.

Вторая глава посвящена сведению исходных краевых задач к системам граничных интегральных уравнений и их исследованию. Первый параграф посвящен определению фундаментальных решений соответствующих операторов для слоя для задачи 1 и 2, как первого этапа при построении волнового поля в слое. Во втором и третьем параграфах построены волновые поля в полосе, получены ГИУ и проведено их исследование для задач 1 и 2.

В третьей главе осуществлена дискретизация полученных ГИУ. В первом параграфе изложены общие методы решения ГИУ. Во втором и третьем параграфах проведена дискретизация ГИУ, представлены результаты проведенного численного эксперимента решения ГИУ и построения волновых полей смещений на верхней границе слоя для задач 1 и 2 соответственно.

Четвертая глава посвящена решению обратной задачи идентификации трещины в слое по полям смещений, заданных на части верхней границы слоя. В первом параграфе представлены основные методы исследования обратных задач теории трещин. Во втором параграфе изложена постановка обратной задачи идентификации трещины произвольной конфигурации в ортотропном слое. Сформулирована система операторных уравнений и рассмотрен метод линеаризации для решения системы. Третий и четвертый параграфы посвящены формулировке систем нелинейных операторных уравнений и методу линеаризации для задач 1 и 2 соответственно. Пятый параграф посвящен определению начального приближения трещины. В шестом параграфе изложены метод идентификации прямолинейных трещин в полосе. В седьмом и восьмом параграфах представлены численные результаты определения длины и угла наклона прямолинейной трещины для 1 и 2 задач.

В пятой главе предложен асимптотический подход в задаче реконструкции прямолинейной трещины. Первый параграф посвящен решению прямой антиплоской задачи с использованием асимптотического подхода. Второй параграф посвящен определению параметров трещины из трансцендентных уравнения. В этом параграфе представлены также численные результаты реконструкции характеристик дефекта. В третьем параграфе рассмотрены решения прямой и обратной плоской задачи с использованием асимптотического метода. Представлены численные результаты. Осуществлено сравнение методов определения параметров трещины на основе подхода ГЭ и минимизации функционала невязки с асимптотическим методом. Выявлены преимущества и недостатки обоих методов.

Основное содержание диссертации отражено в работах [13, 14, 15, 16, 17, 18, 24, 25, 26], опубликованных в открытой печати. В работе [13] О.В. Булгурян принадлежит построение линеаризованной системы интегральных уравнений, И.В. Баранову принадлежит осуществление реконструкции вертикальной трещины. Результаты работы [14] принадлежат авторам в равной степени. В работах [15,16] А.О. Ватульяну принадлежит постановка задач и идеи их решения, И.В. Баранову и О.В. Булгурян принадлежат формулировка граничных интегральных уравнений и проведение расчетов соответственно для вертикальных и произвольных трещин. В работе [17] постановка задач, обсуждение результатов принадлежат А.О. Ватульяну, О.В. Булгурян принадлежит формулировка граничных интегральных уравнений и их исследование, а также проведение расчетов, в которых частично использованы вычислительные модули И.В. Баранова. В [18] постановка задач и методы их решения принадлежат Соловьеву А.Н., результаты расчетов принадлежат О.В. Булгурян и И.В. Баранову. В работах [24 - 26] постановка и основные идеи метода решения прямых и обратных задач принадлежат Ватульяну А.О, Булгурян О.В. принадлежит формулировка граничных интегральных уравнений, исследование ядер интегральных операторов и численный анализ.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, коды проектов 02-01-01124, 05-01-00734 и гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущей научной школы НШ -2113. 2003.1.

Основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе, сводятся к следующему:

1. Разработаны методы сведения краевых задач, описывающих установившиеся колебания ортотропного слоя с трещиной произвольной конфигурации, к системам гиперсингулярных интегральных уравнений.

2. Развиты методы численной реализации для систем гиперсингулярных ГИУ на основе метода ГЭ.

3. Предложен асимптотический подход к расчету волновых полей в слое с трещиной малой относительной длины.

4. Решена задача идентификации параметров наклонной трещины в слое по полю перемещений на части границы слоя.

5. Получены расчетные формулы для определения параметров наклонной трещины в случае малой относительной длины, выявлена область применимости асимптотического подхода.

Заключение

1. Александров A.M., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.:Наука.1993г. 224с.

2. Бабешко В.А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел. // ДАН СССР. 1989г. Т.307. N2. С.324-328.

3. Бабешко В.А. О единственности решения интегральных уравнений динамических контактных задач. // ДАН СССР. 1973г. т.210. №6.

4. Бабешко В.А., Смирнова А.В., Бужан В.В, Натальченко А.В. Моделирование сварных соединений при расчетах на прочность // Тез. докл. VII Всероссийской школы-семинара "Совр. пробл. мат. моделирования". г.Ростов н/Д. 1997г. С. 169.

5. Бабешко В.А., Бужан В.В, Горшкова Е.М., Рохлин С.И К проблеме оценки прочности сварного шва. // Докл. АН. 1997г. Т.353. N3. С.327-329.

6. Бабешко В.А., Бужан В.В, Натальченко А.В., Смирнова А.В. К проблеме неразрушающего контроля сварных соединений с дефектами. // Труды III Междунар. конфер. "Совр. проблемы мех. сплошной среды" в 2т. Т.1. г.Ростов н/Д. 1997г. С.213.

7. Бабешко В.А., Бужан В.В, Натальченко А.В., Смирнова А.В. К проблеме расчета прочности сварных конструкций // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказский регион, ест. науки. г.Ростов н/Д. 1988г. N2. С. 12-16.

8. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.:Наука. 1989г. 343с.

9. Бабешко В.А., Рохлин С.И., Хуанг В., Бужан В.В. К проблеме дефектоскопии сварных швов. Докл. АН 1994г. т.337. №6. С.732-736.

10. Бабешко В.А., Смирнова А.В., Натальченко А.В. Поле интерфейсных упругих волн при дефектоскопии неоднородного сварного шва. // Тез.докл. II Междунар. научн.-техн. Конф. "Проблемы пластичности в технологии". г.Орел. 1998г. С.28-29.

11. П.Бабешко В.А., Смирнова А.В., Натальченко А.В., Бужан В.В. Интерфейсные волны на границе соединения сварным швом с дефектами. // Тез докл Воронежской школы "Совр пробл механики и прикл математики". г.Воронеж. 1998г. С.304.

12. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.:Изд-во Моск. ун-та. 1989. 199с.

13. Баранов И.В., Булгурян О.В. Метод линеаризации в обратной задаче идентификации трещины //Труды III Международной конференции по теории упругости, Ростов-на-Дону — Азов. 2003г. С.75-77.

14. М.Баранов И.В., Булгурян О.В. К проблеме реконструкции наклонных трещин. // Труды 6 Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Ростов-на-Дону. 2003г. т.5. С.7-9.

15. Баранов И.В., Булгурян О.В., Ватульян А.О. О модели реконструкции трещины в упругом слое// Сб. научных трудов VI Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Кисловодск. 2004г. С. 24-25

16. Баранов И.В., Булгурян О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи идентификации трещины в ортотропном упругом слое.// Труды 7 Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды ». Ростов-на-Дону. 2001г. т.1. С.29-33.

17. П.Баранов И.В., Булгурян О.В., Ватульян А.О. Интегральные уравнения для упругого слоя с трещиной произвольной конфигурации и их исследование. // Вестник ДГТУ. 2004г. Т.4. №3. С 257-269

18. Баранов И.В., Гусева И.А. Асимптотика волнового поля в анизотропной упругой плоскости с трещиной. // ДГТУ. Межвуз. Сб. "Интегро-диф. Операторы и их приложения". 1998г. С. 17-22.

19. Белокур И.П. Дефектология и неразрушающий контроль. Киев.: Выща шк. 1990г. 207с.

20. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука. 1985г. 253с.

21. Бреббиа К., Телес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М. 1987г. 525 с.

22. Булгурян О.В. Идентификация трещины в ортотропном упругом слое // Труды 1 Школы-семинара «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика». Ростов-на-Дону. 2002г. С. 8789.

23. Булгурян О.В. Идентификация наклонных трещин в ортотропном слое // Труды 111 Школы-семинара «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика». Ростов-на-Дону. Изд-во «ЦВВР». 2004г. С. 55-58.

24. Булгурян О.В. Об одном подходе к реконструкции трещин произвольной формы в анизотропной слоистой среде // Сборник работ лауреатов конкурса молодых ученых имени академика И.И.Воровича. 2004г. С. 13-21.

25. Буров В.А., Гладков А.В., Горюнов А.А., Прудникова И.П., Румянцева О.Д., Тягунов Е.Я. Численное и физическое моделирование двумерных обратных граничных задач рассеяния скалярных волн.//Ак.журн. 1990г. 36. в.5. С.832-839.

26. Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В., Тихонова Т.А. Обратные задачи рассеяния в акустике. // Ак.журн. 1986г. 32. в.4. С.433-449.

27. Вайпико Г.М., Лифанов И.К., Полтавкий JI.H. Численные метода в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М.: Янус-К. 2001г. 508с.

28. Ватульян А.О. Об определении конфигурации трещины в анизотропной среде //ПММ. 2004г. №1.С 192-200.

29. Ватульян А.О., Баранов И.В. SH-колебания составного ортотропного слоя с трещиной на границе раздела. // ДГТУ. Межвуз. Сб. "Интегро-диф. Операторы и их приложения", вып. 5. 2001г. С.41-49.

30. Ватульян А.О., Баранов И.В. Идентификация внутренней трещины в ортотропной упругой среде.// Вестник ДГТУ 2002 г. т. 2. N2. С. 104-110.

31. Ватульян А.О., Баранов И.В. Об идентификации трещины на границе составного упругого тела. // Труды VI Междунар. науч.-тех. конф. по динамике технологических систем "ДТС — 2001". Ростов-на-Дону. 2001г. т.1. С.105-109.

32. Ватульян А.О., Баранов И.В., Гусева И.А. Идентификация трещиноподобного дефекта в ортотропном слое. // Дефектоскопия. 2001г. №10. С.48-52.

33. Ватульян А.О., Ворович И.И., Соловьев А.Н. Об одном классе задач в динамической теории упругости.// ПММ. 2000г. т.64. в.З. С.373-380.

34. Ватульян А.О., Гусева И.А. О восстановлении формы полости в ортотропной упругой полуплоскости по заданному на границе волновому полю. // ПММ. 1993г. №4. С. 149-152.

35. Ватульян А.О., Красников В.В. Колебания ортотропной полуплоскости с криволинейной трещиной .//Изв.РАН МТТ. 2002г. N5 С.82-90.

36. Ватульян А.О., Красников В.В. Антиплоские колебания составного ортотропного слоя с трещиной на границе раздела сред // ДГТУ — Ростов н/Д. 1995г. 10 с Деп. в ВИНИТИ 28.11.95. №3124

37. Ватульян А.О., Садчиков Е.В. О новой формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел. // Известия РАН. МТТ. 1999г. №2. С. 78 84.

38. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Восстановление поля в анизотропной упругой среде.// Ак.журн. 2000г. т.46. в.4. С.451-455.

39. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Идентификация плоских трещинно в упругой среде.// Экологический вестник. 2003г. №1. С.451-455

40. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Реконструкция трещин в анизотропной упругой среде.// Междунар. конгресс. «Механика и трибология транспортных систем». Ростов н/Д. 2003г.

41. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Определение ориентации плоских трещин в упругом теле // Теоретическая и прикладная механика. Харьков. 2003г. Т.37. С.141-145.

42. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Некоторые полуявные алгоритмы реконструкции интерфейсных трещин //Изв.вузов. Сев.-Кавк. регион. 2003г. №3. С.20-24.

43. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об определении размера дефекта в составном упругом теле.// Дефектоскопия. 2004г. №5. С. 15-23.

44. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Обратные задачи теории трещин в твердых телах.//Известия вузов. Северо-Кавказский Регион. Математика и механика сплошной среды. Естественные науки. Спецвыпуск. 2004г. С.74-80

45. Вопилкин А.Х. Волны дифракции и их применение в ультразвуковом неразрушающем контроле. I. Физические закономерности волн дифракции.// Дефектоскопия. 1985г. N1. С.20-34.

46. Ворович И.И., Бабешко В.В. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука. 1989г. 320с.

47. Ворович И.И., Сумбатян М.А. Восстановление образа дефекта по рассеянному волновому полю в акустическом приближении. Изв. АН СССР. МТТ. 1990г. №6. С.79-84.

48. Выборное Б.И. Ультразвуковая дефектоскопия. М.:Металлургия.-1985г. 256с.

49. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. Под ред. д.ф.-м.н. В.И. Дмитриева. М.: Недра. 1990г. 498с.

50. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов н/Д: Изд-во РГУ.1993г. 144с.

51. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на пространственных трещинах произвольной в плане формы. // ПММ. 1996г. Т.60. Вып.2. С.282-289.

52. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Ехлаков А.В. Математическая модель ультразвуковой дефектоскопии пространственных трещин. // ПММ. 2002г. т.66. вып. 1.С. 147-156.

53. Голованов А.И., Бережной Д.В. Методы конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: ДАС. 2001г. 300с.

54. Гольдштейн Р.В., Капцов А.В. О трещине нормального отрыва в упругой среде под действием гармонической волны. // Изв. АН СССР. МТТ. 1984г. N6. С.93-100.

55. Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.:Изд-во МГУ. 1989г. 151с.

56. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.:Физматгиз. 1962г. 1108с.

57. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.-Киев.: Наукова думка. 1981г. 283с.

58. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев.: Наук.думка. 1987г. 307с.

59. Дацышин А.П., Саврук М.П. Интегральные уравнения плоской задачи теории трещин.// ПММ. 1974г. N4. С. 38.

60. Дьяконов М.Б., Устинов Ю.А. Сдвиговые волны в упругом полубесконечном слое с разрезами. // Акуст. журн. 1995г. Т.41. N3. С.421-426.

61. Емец В.Ф. К обратной задаче рассеяния упругих волн тонким инородным включением.// ПММ. 1986г. 50. N2. С.303-308.

62. Емец В.Ф. О дистанционном определении свойств тонких акустических рассеивателей при помощи звуковых волн. // Ак.журн. 1985г. 31. N3. С.332-337.

63. Емец В.Ф. Решение одной обратной задачи рассеяния в линеаризованной постановке.//ЖВМ и МФ. 1984г. 24. N4. С.615-619.

64. Зозуля В. В. К исследованию влияния контакта берегов трещины при нагружении гармонической волной. // Прикладная механика. 1992г. 28. №2. С. 32-38.

65. Зозуля В. В., Меньшиков В. А. Контакт берегов плоской трещины при нормальном падении гармонической волны растяжения сжатия // Теоретическая и прикладная механика. 2003г. Вып.37. С. 168-172.

66. Зозуля В. В., Меньшиков В. А. Контактное взаимодействие берегов трещины в плоскости при гармоническом нагружении. // Прикладная механика. 1994г. 30. №12. С. 75-79.

67. Зозуля В.В. Интегралы типа Адамара в динамических задачах теории трещин.//ДАНУССР. Сер.А. 1991г. №2. С.43-47.

68. Кит Г.С. Михаськив В.В. Хай О.М. Анализ установившихся колебаний плоского абсолютно жесткого включения в трехмерном упругом теле методом граничных элементов. // ПММ. 2002г. т.66. Вып.5. С.855-863.

69. Колтон Д. и Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.:Мир. 1987г. 311с.

70. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1973г. 832с.

71. Крауч С., Старфилд А. Метод граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир. 1987г. 256 с.

72. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости, т.VII. М.: Наука. 1978г. 248с.

73. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.:Наука. 1977г. 416с.

74. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО Янус. 1995г. 520с.

75. Морозов Н.В. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука. 1984г. 256 с

76. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975г. 872с.

77. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев. Науковы думки. 1976г. 444с.

78. Партон В.З., Борисковский В. Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение. 1988г. 239с.

79. Попов В.Г. Дифракция плоских упругих волн на отслоившемся жестком включении в случае гладкого контакта в области отслоения. // ПММ. 1998r.t.62.N2.C.290-296.

80. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.:Наука. 1982г. 342с.

81. Ройтман А.Б. Использование акустического сигнала для диагностики поперечной трещины в консольном образце. // Акустический журнал. 2000г. т.46. №5. С.685-689.

82. Слепян Л.И. Механика трещин. Л., Судостроение, 1981.-295 с.

83. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979г. 288с.

84. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.:Наука. 1990г. 232с.

85. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука. 1974г. 640 с.

86. Шифрин Е.И. Об асимптотике упругих перемещений вблизи контура плоской трещины, расположенной на границе соединения двух материалов.// Ин-т пробл. мех. РАН. препр. 2000г. N666. С. 1-18.

87. Abda А.В., Bui H.D. Planar crack identification for the transient heat equation //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2003. Vol.11.N1. P.27-31.

88. Abda A.B., Kallel M., Leblond J., Marmorat J.-P. Line segment crack recovery from incomplete boundary date // Inverse Problems. 2002. Vol.18. P.1057-1077.

89. Achenbach J.D. Reciprocity in elastodynamics. Cambridge. UK: New York: Cambridge University Press. 2003.

90. Alessandrini G., Cristo M.Di. Unique determination of surface breaking cracks in three-demensional bodies // J. Inv.Ill-Posed Problems. 2000. Vol.8. N5. P.469-482.

91. Alves C.J.S., Ha Duong T. Inverse scattering for elastic plane cracks // Inverse Problems. 1999. Vol.15. N1. P.91-97.

92. Alves C.J.S., Ha Duong T. On inverse scattering by screens // Inverse Problems. 1997. Vol.13. N5. P.l 161-1176.

93. Andrieux S., Abda A.B. Identification of planar cracks by complete over determinated data: inversion formulae // Inverse Problems. 1996. Vol.12. N5. P.553-563.

94. Andrieux S., Abda A.B., Bui H.D. Reciprocity principle and crack identification // Inverse Problems. 1999. Vol.15. P.59-65.

95. Andrieux S., Abda A.B., Jaoua M On the inverse emergent plane crack problem // Math Methodds Appl. Sci. 1998. Vol.21. N 10. P.895-906.

96. Angel 1 T.S., Colton D., Kirsch A. The three dimensional inverse scattering problem for acoustic waves.//J.Diff.Eq. 1982.46. P.46-58.

97. Bostrom A., Wirdelius H. Ultrasonic probe modeling and nondestructive crack detection. //J. Acoust. Soc. Am. 1995. vol.97. P.2836-2848.

98. Budrec D.E., Achenbach J.D. Scattering from three-dimensional planar cracks by the boundary integral equation method. // J. Appl. Mech. 1988. vol.55. P.405-412.

99. Bannour Т., Abda A.B., Jaoua M A semi-explicit algorithm for the reconstraction of 3D planar cracks // Inverse Problems. 1997. Vol.13. N 4. P.899-917.

100. Bui H.D., Maigre H., Rittel D. A new approach to the experimental determination of the dynamic stress intensity factor // Int. J. Solids Structures. Vol.29.N23.1992. P.2881-2895

101. Bunck B. Elcrat A., Hrycak T. On detecting emerging surface cracks from boundary measurements // // Inverse Problems. 2001. Vol.17. N 4. P. 13911400.

102. Cakoni F., Colton D. The linear sampling method for cracks // Inverse Problems. 2003. Vol.19. P.279-295.

103. Eller M. Identification of cracks in three-dimensional bodies by many boundary measurements // Inverse Problems. 1996. Vol.l2.P.395-408.

104. Gallego R., Rus G. Identification of cracks and cavities using the topological sensitivity boundary integral equation // Computational Mechanics. 2004. Vol. 33. P. 154-163.

105. Glagwell G.M.L. Inverse vibration problems for fmite-element models // Inverse Problems. 1997. Vol.13. Р.311-322.

106. Hui C.-Y., Slia D. Evaluations of hypersingular integrals using Gaussian quadrature. Int.J.Numer Meth. Eng. 1999. 44. N2. c.205-214.

107. Iovane G, Lifanov I.K., Sumbatyan M.A. On direct numerical treatment ofhypersingular integral equations arising in mechanics and acoustics. // Acta Mechanica. 2003. №162. Р.99-110.

108. Kaya A.C., Erdogan F. On the solution of integral equations with strongly singular kernels. // Q.Appl.Math. 1987. v.45. N1. P.105-122.

109. Kress R. Inverse elastic scattering from a crack // Inverse Problems. 1996. Vol.12. N 5. Р.667-684

110. Krishnasamy G., Schmerr L., Rudolphi T.J., Rizzo F.J. Hypersingular boundary integral equations: Some applications in acoustic end elastic wave scattering. // ASME. J. Appl. Mech. 1990. vol.57. Р.404-414.

111. Liang Y.C., Chyanbin Hwu On-line identification of holes cracks in composite structures // Smart Mater. Struct. 2001. Vol.10. Р.599-609.

112. Mackerle J. Finite-element modeling of nondestructive material щ evaluation: a bibliography (1976-1997) // Modeling Simul. Mater. Sci.

113. Eng. 1999. Vol.7.P. 107-145

114. Mendelsohn D.A., Achenbach J.D., Keer L.M. Scattering of elastic waves by a surface-breaking crack // Wave Motion. 1980. V.2. Р.277-292.

115. Mukherjee S. and Mukherjee Y.X. The hypersingular boundary contour method for three-dimensional linear elasticity. // ASME. J. Appl. Mech. 1998. vol.65. Р.300-309.

116. Piana M. On uniqueness for anisotropic inhomogeneous inverse scattering problems //Inverse Problems. 1998. Vol.14. P.1565-1579.

117. Sailing He., Romanov V.G. Explisit formulas for crack identification in conductors using boundary measurements of direct current fields // Journal of applied physics. 1999. Vol.85. N9. P.6822-6827.

118. Santosa F., Vogelius M. A computational algorithm to determine cracks from electrostatic boundary measurements // Intern. J. Eng. Sci. 1991. Vol.29. N8. P.917-937.

119. Scalia A., Sumbatyan M.A. On efficient quantitative analysis in real-time ultrasonic detection of cracks. // Ultrasonics. 1999. 37. N3. P.239-245.

120. Tanaka M., Nakamura M., Nakano Т., Shikawa H. Application of the boundary element method to elastodynamic inverse problems. // Consideration of noisy additional information. Trans. Jap.Soc.Mech.Eng.A. 1991. 57. N541. P.2179-2185.

121. Visscher W.M. Theory of scattering of elastic waves from flat cracks of arbitrary shape // Wave Motion. 1983. N5. P. 15-32.

122. Weikl W., Andra H., Schnack E. An alternating iterative algorithm for the reconstruction of internal cracks in a tree-dimensional solid body // Inverse Problems. 2001. Vol.17. N 6. P.1957-1975.

123. Zhang Ch., Gross D. On wave propagation in elastic solid with cracks. Southhampton: Computational Mechanics Publ. 1998. 248p.