Идентификация трещиноподобных дефектов в упругом слое тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

БАРАНОВ Игорь Витальевич

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТРЕЩИНОПОДОБНЫХ ДЕФЕКТОВ В

УПРУГОМ СЛОЕ

01Л2ДМ-мсхшпша деформируемого пятого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Росгов-на-Дону 2003

Работа выполнена на кафедре высшей математики Донского государственного технического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Вятулыш Алексавдр Овмееовшч

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор

Соболь Борис Владимирович,

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Чебаков Михаил Иванович

Ведущая организация: Кубанский государственный университет

Защита состоится « 30 » сентября 2003 г. в _15®_часов на

заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по. физико-математическим наукам в Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г.Ростов-на-Дону, ул.Зорге, 5, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 239.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: 344006, г.Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

2.2»

Автореферат разослан «........».......августа.............2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Боев Н.В.

2.оо2-А

" \jsj6

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интерес к задачам о колебаниях упругих тел основан на их практическом применении в различных областях науки и техники. Математические модели динамической теории упругости находят широкое применение в' геофизике, дефектоскопии, дефекгометрии, акустоэлектронике, в современных инженерных и технических приложениях при исследовании колебаний конструкций и их элементов, работающих в сложных динамических условиях. Практически все реальные материалы содержат различные нарушения сплошности: дефекты, включения, нарушения кристаллической структуры, которые являются концентраторами ' упругих напряжений и снижают надежность конструкции. Поэтому изучение волновых процессов в телах, ослабленных трепшв&ми, а также проблемы идентификации дефектов являются важными инженерными и научными задачами. Многие из аспектов этих проблем могут быть изучены на основе математических моделей, базирующихся на решении краевых задач динамической теории упругости для изотропных и анизотропных конечных тел и областей с бесконечно удаленной точкой. Задачи об определении формы и местоположения дефекта и определения его конфигурации по волновому полю, известному на части границы тела, моделируют реальный процесс обнаружения дефекта и относятся к так называемым обратным задачам - наиболее интересной и активно развивающейся области современной математической физикйг.В связи с использованием в производстве ряда новых композиционных материалов, обладающих выраженной анизотропией, 'сталей аустенитного класса, сплавов, приобретающих анизотропные свойства вследствие технологической обработки, а также в связи с уточнением моделей слоистых сред в геофизике учет анизотропии чрезвычайно важен. В этом случае адекватного описания требуется построение соответствующих анизотропных моделей.

К настоящему времени методы расчёта дифрагированных

полей в упругих телах, ослабленных трОД^одод

достаточно подробно, и опираются либф на

1 сп—

09

интегральных уравнений (ГИУ), либо на асимптотические методы. При этом обычно предполагается, что берега трещины не'; взаимодействуют в процессе установившихся колебаний. Кроме того, для решения прямых задач имеются эффективные : численные методы расчета волновых полей, такие как методы конечных и граничных элементов. В обратных задачах об идентификации трещины наиболее целесообразно применение - метода ГИУ, поскольку этот метод позволяет сформулировать . систему операторных уравнений относительно неизвестной ы граничной поверхности дефекта.

Ч! В настоящей диссертационной работе методы ГИУ и ГЭ применены для решения прямых и обратных задач о колебаниях = ортотропного слоя с одиночной поперечной трещиной.

Изложенное определяет актуальность и практическую значимость работы.

Цель работы состоит в исследовании прямых и обратных задач динамической теории упругости для ортотропного слоя с поперечной трещиной.

Методика исмтедпяянтгй основана на сведении краевых задач анизотропной теории упругости при помощи аппарата преобразования Фурье к интегральным уравнениям с гиперсингулярными ядрами, решение которых строится на основе метода граничных элементов; решение обратных задач сведено к минимизации неквадратичного функционала.

Достоверность результатов диссертационной работы основана на использовании строгого аппарата математической теории упругости, всесторонним тестированием алгоритмов и программ на частных примерах.

Научная новизна, работы определяется разработкой методов решения и численным исследованием ряда новых задач (прямых и обратных) об установившихся колебаниях ортотропного слоя с поперечной трещиной.

Практическая ценность результатов исследования состоит в исследовании возможностей процедуры реконструкции поперечных трещин в упругом слое в зависимости от параметров задачи.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях "Современные проблемы

механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 2001, 2002г. ), Международной научно-технической конференции по динамике технологических систем "ДТС - 2001". (Ростов-на-Дону, 2001г.), Северо-Кавказской научной Конференции «Перспектива-2001», (Нальчик, КБГУ - 2001г.), на ежегодных научных конференциях Донского Государственного Технического Университета, • международной конференции "ММТТ-16" (Ростов-на-Дону, 2003), на семинаре кафедры теории упругости РГУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 97 наименований общим объемом - 98 страниц машинописного текста и приложения, в которое вынесены 33 рисунка и 6 таблиц..

Работа выполнена при поддержке РФФИ, код проекта 0201-01124 и гранта Президента Российской Федерации по' поддержке ведущей научной школы НШ - 2113. 2003.1

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор литературы по исследованию волновых полей в областях, ослабленных дефектами, методам ГИУ и ГЭ, асимптотическим методам и работ, посвященных геометрическим обратным задачам об определении формы дефекта в упругой среде. Отмечено, что задачи для упругих тел с трещинами в условиях установившихся колебаний изучали Александров В.М., Андрейкив А.Е., Бабеппсо В.А., Борисковский В.Г., Ватульян А.О., Глушков Е.В, Глушкова Н.В., Гольдштейн Р.В., Емец В.Ф., Зозуля В.В., Морозов Н.Ф., Кит Г.С., Партон В.З, Попов В. Г., Попов ГЛ., Слепян Л.И., Сметанин Б.И., Соболь Б.В., Соловьев А.Н., Сумбатян М.А., Хай О.М., Шифрин Е.И., Черепанов Г.П., Andrieux S., Achenbach J.D., Bannour Т., Bostrom А., Bui N.D., Erdogan F., Colton D.,Cruse T.A., Datta S.K., Kobayashi A., Krenk S., Nakamura M., Sih G.C., Tanaka M.,. и другие отечественные и зарубежные авторы.

Первая глава диссертации посвящена постановкам основных задач, которые рассматриваются в работе, и состоит из

трех параграфов. В параграфе 1 содержится общая постановка прямой задачи об установившихся колебаниях анизотропного упругого тела, ослабленного одиночной трещиной. Параграф 2 посвящен постановке прямых задач для ортотропного слоя с одиночной поперечной трещиной и содержит постановки четырех задач. Рассмотрены установившиеся колебания ортотропного слоя толщины Н с жестко' защемленной нижней гранью и поперечной трещиной с вершинами а,Ъ, (О < а <Ь< Н). Система координат совпадает с осями упругой симметрии материала. Предполагается, что трещина находится на оси Охз, а ось Ох1 совмещена с нижней гранью слоя. Колебания в слое вызываются сосредоточенной силой Р, приложенной к его верхней грани в точке с координатой (-L.il). Из компонент вектора смещений в случае антиплоской деформации отлична от нуля компонента ы2 = В

рамках подхода теории дислокаций краевая задача имеет вид:

сббит-^44">зз+/*»2и + / = °> О)

= 0, <т23|уз=я -+ ¿), / = ~[сббХЯ(ОЪъ

(2)

где %(х3 ) - скачок перемещений на трещине. Предполагается, что берега трещины свободны от напряжений:

= сбби>1Ц=0 = *3 6 М • О)

Дня задачи 1 (антиплоские колебания слоя с внутренней трещиной) Ь<Н.

Для задачи 2 (антиплоские колебания слоя с трещиной, выходящей на поверхность слоя) Ь = Н.

Задача 3 посвящена изучению антиплоских колебаний кусочно-однородного слоя, составленного из двух полуслоев с различными упругими характеристиками и ослабленного трещиной на границе раздела.

В задаче 4 рассмотрены установившиеся колебания ортотропного слоя в условиях плоской деформации. Из компонент вектора смещений в этом случае отличны от нуля

компоненты «1 = м1Сдг1,лг3) и и3 =и3(х1}х3), а уравнения движения и граничные условия имеют вид:

с11"Ы1+с55«1>33+<АЗ + Сх)"ъ,п+Р<*>2и1 + Л = 0 . ^

с55и3»11 "^с33и3'33"Кс13 + /з '

«,(*„()) = «3(^,0) = 0; <т3з|*,=я ^1з1Гз=я=0^5)

^13-^33 5=0 при *!=<), *3е[а,Ь].

/з = :

" скачки вектора перемещений на трещине. Замыкают постановку вышеприведенных задач условия излучения, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения.

В третьем параграфе изложена постановка обратной задачи об идентификации одиночной трещины по полю перемещений, - известному на части границы анизотропного упругого тела В

обратной задаче требуется определить координаты вершин трещины а и Ь по полю смещений на границе и(хъН) = яО^), $ € [с,*/]. При конкретной реализации предполагается, что

значения перемещений ¿К-хде) известны в конечном: наборе

точек е[с,с1\, к = 1,2,...,М.

Глава 2 посвящена построению гиперсингулярных граничных интегральных уравнений относительно • скачков смещений на берегах трещины, на основании решения которых может быть рассчитано поле смещений на границе слоя. Параграф 1 содержит сведения о методе граничных интегральных уравнений в прямых задачах динамической теории упругости, и понятие особого интеграла в смысле конечного значения по Адамару. Параграфы 2 и 3 содержат формулировку ГИУ для задачи об антиплоских колебаниях однородного ортотропного упругого слоя с внутренней трещиной, и трещиной, выходящей на поверхность слоя соответственно. Параграф 2 посвящен выводу граничного интегрального уравнения относительно функции раскрытия трещины р(г}) для задачи 1, которое имеет вид

-V]рЪШъуКп=Яу), у € [вх,в2], (6)

О<в1<02<1, V = ¡с щ.

Здесь в1 и в2 - безразмерные координаты вершин трещины, ■Р(у) - известная функция, зависящая от нагрузки; (т},у) — регулярная функция, представленная в виде однократного интеграла по контуру <т+, который представляет собой часть контура а, расположенную в правой полуплоскости, а контур <т выбран в соответствии с принципом предельного поглощения. Подынтегральная функция в представлении для к0(т},у) имеет на вещественной оси конечное число полюсов, определяющих распространяющиеся моды, и счетное число полюсов на мнимой оси, отвечающих неоднородным модам.

В параграфе 3 рассмотрен случай, когда трещина выходит на поверхность ортотропного слоя, и получено ГИУ, которое имеет вид

^в(.У~П) &в(2-у-ф2 в

в = а/Н, (7)

здесь ядро к0(г/,у) регулярно при у = т], и у-Т]-1. Заметим, что для трещины, выходящей на поверхность слоя, помимо подвижной особенности (при у = Г}) ядро интегрального уравнения имеет неподвижную особенность на поверхности (при

Параграф 4 посвящен формулировке ГИУ в задаче об антиплоских колебаниях кусочно-однородного ортотропного упругого слоя с трещиной на границе раздела:

а^+^рСфКо^у^-Пу), (8)

где регулярное ядро К0(г},у) представлено в виде сходящегося ряда.

В параграфе 5 сформулирована система ГИУ для однородного слоя в условиях плоской деформации, для " формулировки которой используется условие отсутствия напряжений на берегах трещины:

при*! =0, стп =С11Н1,1+С13«3,3 = 0, о-13=с55(ми+а3,1) = 0.

Ядра полученных ГИУ представимы в виде однократных интегралов по контуру сг в комплексной плоскости. В случае . , вертикальной туннельной трещины полученная система ,ГИУ распадается на два независимых уравнения относительно скачков X) = X] Оз ) = "у ) ~ м у (-°> *з ): Ъ

\Ъа<£ъ,хъ)Х)<Лг)<1$ъ = *3 е[а,6], ] = 1,3,

а

3) - известные функции. Проанализирована структура ядер на основании представления

(£з"*з)

3,*3) = ¡К°м(а^3,х3)4а1, (10)

где М} - константы, зависящие только от упругих постоянных материала; - регулярные при с3 = х3 ядра, а функции

- мероморфные по а^ в комплексной плоскости и

имеют конечное число полюсов на вещественной оси. Их число и взаимное расположение • зависит от частоты колебаний, и определяет число распространяющихся волн в слое.

Глава 3 посвящена численному исследованию. гиперсингулярных интегральных уравнений, к которым сведены поставленные задачи. Рассмотрены вопросы вычисления гиперсингулярных интегралов, а также произведена дискретизация граничных интегральных уравнений, полученных в главе 2 на основании идей метода граничных элементов (МГЭ), и построены численные схемы решения прямых задач о вычислении поля смещений в слое, ослабленном поперечной трещиной. При анализе волновых полей число граничных

элементов выбиралось равным 5 — 7 на длину волны зондирующего сигнала.

В параграфе 1 рассмотрены вопросы построения дискретных; схем решения гиперсингулярных ГИУ, а также вопросы численной реализации и тестовый вычислительный пример.

В параграфе 2 строится вычислительная схема решения ГИУ задачи 1, и приводится формула для расчета поля смещений на поверхности слоя. Здесь же приведены результаты решения прямой задачи для слоя из аустенитной стали с поперечной трещиной в диапазоне значений безразмерной частоты а: = На>^р/си = 1,3 -г 7,0. Произведен анализ влияния частоты, размера, величины заглубления трещины на характер формируемого на поверхности слоя волнового поля с точки зрения последующей процедуры идентификации трещины.

Параграф 3 посвящен решению прямой задачи для однородного слоя с трещиной, выходящей на поверхность слоя (задача 2). Интегральное уравнение (10) сведено к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений функции раскрытия. Проведена серия расчетов об определении функции раскрытия в зависимости от глубины и частоты колебаний.

В параграфе 4 решена прямая задача для составного кусочно-однородного слоя с трещиной на границе раздела полуслоев (задача 3). Вычислительные эксперименты проводились в диапазоне низких и средних частот, на которых имеется до 3 распространяющихся мод. В качестве примера рассмотрен кусочно-однородный слой, составленный из двух материалов. Материал левого полуслоя - медь, правого -аустенитная сталь. Анализ волновых полей, полученных при решении прямой задачи показал, что диапазон частот, на которых имеется одна бегущая волна, характерен тем, что волновые поля на поверхности слоя для различных трещин (существенно различающихся по высоте, размеру) имеют весьма слабое различие в амплитудах(всего порядка 1-3%), а с увеличением числа бегущих волн различие в амплитудах полей увеличивается.

Параграф 5 посвящен решению прямой задачи для слоя с поперечной трещиной в условиях плоской деформации (задача 4). В этом параграфе произведена дискретизация системы ГИУ, в. результате чего получена система линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений компонент функций раскрытия, а также построены формулы для расчета компонент поля смещений на поверхности слоя. Коэффициенты полученной алгебраической системы представлены в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости и вычисляются по квадратурным формулам Гаусса по 16-ти узлам, причем для сокращения времени вычислений использован алгоритм, позволяющий интегрировать всю матрицу алгебраической?, системы сразу. Произведен ряд численных расчетов для слоя из > аустенитной стали с трещинами различной длины и степени заглубления в диапазоне низких и средних частот.

Четвертая глава работы посвящена исследованию обратных , задач о реконструкции поперечной трещины в ортотропном

упругом слое в условиях задач 1-4 по полю перемещений, известному на части границы слоя. \ Решение обратной задачи сведено к проблеме минимизации

неквадратичною функционала невязки на основе метода регуляризации на компактных множествах. При этом прямолинейная трещина параметризуется конечным числом параметров. Для рассматриваемых задач таковыми являются 9Х и ¿?2 " вершины трещины.

В параграфе 2 рассмотрена численная реализация процедуры идентификации трещины. При этом для минимизации функционала невязки Ф(01з02) использован метод оврагов. Выбор метода был обусловлен тем, что при малых размерах трещины функционал становится сильно овражистым, в связи с чем обычные градиентные методы не дают надёжного результата.

Параграф 3 посвящен численному исследованию обратной задачи об идентификации внутренней трещины в однородном слое в условиях антиплоской деформации (задача 1). Исследованы возможности процедуры . реконструкции в зависимости от частоты, числа точек позиционного

зондирования, и погрешности входных данных обратной задачи. Выявлено, что приемлемыми являются частоты, на которых имеются 2-3 распространяющиеся моды, для реконструкции заглубленной трещины требуется в среднем 5-9 шагов метода, длина трещины восстанавливается точнее, чем ее вершины; с увеличением числа точек позиционного зондирования от 1 до 10 разрешающая способность метода улучшается. Увеличение числа точек свыше 10 уже не улучшает существенно точность реконструкции. Приповерхностные трещины восстанавливаются несколько хуже (требуется большее число шагов). На рис.1 приведены графики относительной погрешности восстановления длины и вершин (_/ = 1.2) трещины, имеющей координаты вершин вх = 0,4, в2 = 0,6

на частоте к = 1 для аустенитной стали (где имеется две распространяющиеся волны) при б точках зондирования.

и

Рис.2 иллюстрирует сходимость используемого метода в зависимости от чиста шагов п. На рис. 3 приведены результаты анализа влияния погрешности 8 входных данных (в % от амплитуды поля перемещений на поверхности слоя) на относительную погрешность реконструкции длины трещины ^ на частоте кг = 7, отношение длины трещины к длине волны зонд ирующего сигнала составляет ЫХ- 0,27.

В параграфе 4 численно исследована обратная задача об идентификации трещины, выходящей на поверхность однородного слоя в условиях антиплоской деформации (задача 2). Изучена зависимость погрешности восстановления вершин трещины от частоты и погрешности входных данных.

В параграфе 5 численно исследована обратная задача для кусочно-однородного слоя (медь - аустенитная сталь) с внутренней трещиной в условиях антиплоской деформации. Исследованы возможности реконструкции трещины в зависимости от её размера, числа распространяющихся мод и погрешности входных данных. Использовалось различное число точек позиционного зондирования (до 10), расположенных на поверхности слоя как в зоне прошедшей, так и в зоне отраженной волны. Во входные данные обратной задачи (амплитуды перемещений в точках позиционного зондирования) аддитивно вносилась равномерно распределенная случайная погрешность 5 (в процентах от амплитудного значения поля смещений). Вычислительные эксперименты показали что:

1) при малом (1-3) числе точек позиционного зондирования точность реконструкции параметров трещины невелика, как на низких, так и на средних частотах (до 3-х распространяющихся волн). л

2) при добавлении новых точек зондирования точность реконструкции несколько улучшается, однако лишь до некоторого значения: дальнейшее увеличение числа точек зондирования (свыше 7-10) уже не дает существенного улучшения точности идентификации.

3) с увеличением числа бегущих волн разрешающая способность метода улучшается.

В целом можно отметить, что метод позволяет реконструировать трещины, длина которых составляет не менее 1/4 длины волны зондирующего сигнала. Приемлемыми с точки зрения задачи реконструкции являются частоты, на которых имеются 2-3 распространяющихся волны (при погрешности входных данных обратной задачи 1-5%).

В параграфе 6 решена обратная задача для однородного слоя с внутренней трещиной в условиях плоской деформации. Алгоритм решения обратной задачи аналогичен алгоритму, примененному в задачах для однородного и кусочно-однородного слоя с внутренней трещиной в условиях антиплоской деформации. Для выбора начального приближения

#1° и 02 процедуры минимизации функционала Ф(в1,в2) был

использован поиск на равномерной сетке в треугольнике О < 01 < 02 < 1. Исследован диапазон низких и средних частот, на которых имеется до 4 распространяющихся мод. Результаты расчетов свидетельствуют об ускорении сходимости процесса с увеличением частоты колебаний. Следует отметить, что размер трещины, как правило, реконструируется гораздо точнее, чем идентифицируются ее концы. Для приповерхностной трещины сходимость процесса несколько ухудшается. На рис. 4 приведены графики относительной погрешности восстановления длины и . наибольшей из погрешностей восстановления вершин Я трещины с вершинами вх = 0,75-, 02 = 0,95 на частоте сзз =2,2. Исследовано влияние погрешности входных данных на результаты реконструкции, что иллюстрирует таблица 1.

0.2

0.6:

0.4

0.0

1.2-

0Н

1:

п

Т—I—I—■—•—г

о

2

4

6

8 10

Рис.4

Таблица 1.

Погрешность реконструкции трещины, имеющей вершины в1 =0,4, 02 =0,5 в зависимости от частоты и погрешности входных данных обратной задачи (при 7 точках зондирования).

Безразмерная Погрешность Погрешность Погрешность

частота задания реконструкции реконструкции

входных длины вершин

данных в % Кь в % Пв%

к-2,2 1 7,1 10,1

2 14,5 18,4

5 32,6 35.9

к = 4,3 1 3,4 2,4

2 8,4 5,6

5 25 16,3

В целом можно отметить достаточную устойчивость процедуры реконструкции одиночной поперечной трещины в слос на частотах, где имеются не менее 2-3 распространяющихся мод, при достаточном числе точек позиционного зондирования. Алгоритм позволяет идентифицировать трещины, размер которых составляет не менее четверти длины волны зондирующего сигнала. К ограничениям метода следует отнести необходимость увеличения числа граничных элементов с ростом частоты для адекватной аппроксимации осциллирующих полей, что влечет за собой увеличение порядка алгебраических систем -дискретных аналогов соответствующих операторов, и, соответственно - увеличение затрат машинного времени.

Осноннтде результаты и выводы.

1. Сформулированы системы интегральных уравнений в задачах о колебаниях однородного и кусочно-однородного ортотропного слоя с поперечной трещиной в условиях плоской и антиплоской деформации.

2. Исследована структура ядер интегральных операторов в зависимости от положения трещины (внутренняя, поверхностная трещина).

3. Развит метод граничных элементов для решения оформулированных интегральных уравнений.

4. Разработана методика идентификации вершин поперечной трещины -, в однородном и кусочно-однородном ортотропном слое по измеренному полю перемещений на границе слоя, основанная на сочетании метода граничного элемента и метода регуляризации на компактных множествах. На основании проведенного численного анализа исследованы возможности реконструкции в

. зависимости ог параметров.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Баранов И.В., Гуссва И.А. Асимптотика волнового поля в анизотропной упругой плоскости с трещиной. /7 ДГТУ. Межвуз. Сб. "Иятегро-диф. операторы и их приложения", 1998г., о.- 17-22.

2. Ватульян А.О., Баранов И.В. ЭИ-колебания составного ортотропного слоя с трещиной на границе раздела. // ДГТУ. Межвуз. Сб. "Интегро-диф. операторы и их приложения", вып. 5, 2001г.-с.41-49.

3. Ватульян А.О., Баранов И.В. Об идентификации трещины на границе составного упругого тела. // Труды VI Междунар. науч.-тех. конф. по динамике технологических

оиотем "ДТС - 2001". Ростов-на-Дону, Изд. ДГТУ, -2001, т.1,-с.105-109.

4. Ватульян А.О., Баранов И.В., Гусева И.А. Идентификация трещиноподобного дефекта в ортотропном слое. // Дефектоскопия. -2001. №10, с.48-52.

5. Баранов И.В., Булгурян О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи идентификации трещины в ортотропном упругом слое.// Труды 7 Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды ». Ростов-на-Дону, 2001г., т.1, с.29-33.

6. Ватульян А.О., Баранов И.В. Идентификация внутренней трещины в ортотропной упругой среде.// Вестник ДГТУ 2002 г., т. 2., N2, с. 104-110.

7. Баранов И.В., Ватульян А.О.„ И.В., Гусева И.А. Идентификация трещиноподобного дефекта, выходящего на поверхность ортотропного тела.// Труды 8 международной конференции «Современные проблемы МСС». Ростов-н/Д. 14-18 октября 2002г. Ростов-на-Дону: * изд. Новая книга, 2003. т.2, с. 15-19.

8. Баранов И.В., Булгурян О.В. К проблеме реконструкции наклонных трещин. // Труды 6 Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Ростов-на-Дону, 2003г., т.5, с.7-9.

ЛР№04779 от 18.05.01. В набор /у оя. оз. В печать 2£.ое.< Объем ^г усл.п.л.,¿у уч.-изд.л. Офсет. Формат 60x84/16. Бумага тип №3. Заказ № 379. Тираж

Издательский центр ДГТУ

Адрес университета и полиграфического предприятия: 344010, г.Ростов-на-Дону, пл.Гагарина,!.

Р 13 5 3 6

ifsJfo

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ О КОЛЕБАНИЯХ УПРУГИХ

ОРТОТРОПНЫХ ТЕЛ С ТРЕЩИНОЙ.

§1. Общая постановка задачи о колебаниях упругого тела с трещиной на границе раздела двух сред.

§2. Постановка задач о колебаниях ортотропного упругого слоя с трещиной.

2.1. Задача об антиплоских колебаниях однородного ортотропного упругого слоя с внутренней трещиной. (Задача 1).

2.2. Задача об антиплоских колебаниях однородного ортотропного упругого слоя с трещиной, выходящей на его поверхность. (Задача2).

2.3. Задача об антиплоских колебаниях кусочно-однородного ортотропного упругого слоя с трещиной на границе раздела. (Задача 3).

2.4. Задача о колебаниях однородного ортотропного упругого слоя с трещиной в условиях плоской деформации. (Задача 4).

§3. Постановка задачи идентификации трещины.

Глава 2. СВЕДЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ.

§1. Метод граничных интегральных уравнений в прямых задачах динамической теории упругости.

§2. Формулировка ГИУ для задачи об антиплоских колебаниях однородного упругого слоя с поперечной внутренней трещиной. (Задача 1). Исследование структуры ядра.

§3. Формулировка ГИУ для задачи об антиплоских колебаниях однородного ортотропного упругого слоя с трещиной, выходящей на его поверхность. (Задача 2).

§4. Формулировка ГИУ дня задачи об антиплоских колебаниях неоднородного ортотропного упругого слоя с трещиной на границе раздела.

Задача 3).

§5. Формулировка системы ГИУ для однородного слоя в условиях плоской деформации. (Задача 4).

Глава 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ.

§1. Численное решение гиперсингулярных интегральных уравнений на основе метода коллокаций.

§2. Дискретизация ГИУ и численное решение задачи 1.

§3. Дискретизация ГИУ и численное решение задачи 2.

§4. Дискретизация ГИУ и численное решение задачи 3.

§5. Дискретизация ГИУ и численная реализация решения задачи 4.

Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ О РЕКОНСТРУКЦИИ

ТРЕЩИНЫ В СЛОЕ.

§1. Формулировка системы операторных уравнений.

§2. Численная реализация.

§3. Обратная задача для однородного слоя с внутренней грещиной в условиях антиплоской деформации.

§4. Обратная задачи для однородного слоя с трещиной, выходящей на поверхность, в условиях антиплоской деформации.

§5. Обратная задача для кусочно-однородного слоя с внутренней трещиной в условиях антиплоской деформации.

§6. Обратная задача для однородного слоя с внутренней трещиной в условиях плоской деформации.

Интерес к задачам о колебаниях анизотропных упругих тел основан на их практическом применении в различных областях науки и техники. Математические модели динамической теории упругости находят широкое применение в геофизике, дефектоскопии, дефектомегрии, акустоэлекгронике, в современных инженерных и технических приложениях при исследовании колебаний конструкций и их элементов. Практически все реальные материалы содержат различные нарушения сплошности: дефекты, включения, нарушения кристаллической структуры. В процессе технологического контроля при изготовлении и эксплуатации конструкций и агрегатов ответственного назначения (турбины электростанций, трубопроводы, оболочки реакторов) используют различные методы контроля с целью обнаружения в них дефектов и усталостных трещин, являющихся концентраторами напряжений и снижающих надежность конструкции в целом [71]. В том случае, когда демонтаж агрегата сопряжен со значительными трудностями или же вообще невозможен, либо же доступ к элементам конструкции затруднен, экономически оправданными, а зачастую и единственно возможными являются методы неразрушающего контроля [38,18], основывающиеся на моделях математической теории упругости. К наиболее эффективным экспериментальным методам неразрушающего контроля в упругих телах относятся методы, основанные на дифракции упругих волн на дефектах [81,72,41,91,42,48]. В этом случае для правильного описания дифрагированного поля формулируются системы интегральных уравнений относительно скачков смещений на трещине [49]. Динамическим задачам теории трещин посвящены многочисленные публикации [30,44,97,59,52,67,96,88]. В последние годы для исследования дифракции упругих волн на внутренних и поверхностных трещинах были разработаны различные аналитические и численные методы исследования этих уравнений [70Д]. Краевые задачи динамической теории упругости для областей с трещинами могут быть разделены с точки зрения причинно - следственной связи на два больших класса - прямые задачи (ПЗ), в которых требуется по известным граничным условиям (причинам) определить волновые поля в области, и обратные задачи (ОЗ), в которых по волновым полям, известным на части границы тела (следствиям), подлежат определению те или иные характеристики упругой среды (коэффициентные ОЗ) или геометрия и местоположение неизвестной поверхности дефекта (геометрические ОЗ). С точки зрения практических приложений наибольший интерес представляют именно обратные задачи. По типу возбуждаемых в среде волновых полей динамические задачи можно разделить на нестационарные и стационарные (установившиеся во времени). Нестационарные постановки задач позволяют получить оценки местоположения дефекта по времени прихода отраженного сигнала, однако они значительно сложнее с точки зрения анализа математической модели по сравнению со стационарными постановками.

Все методы решения прямой задачи о расчете дифрагированного поля в среде с одиночным дефектом могут быть разделены на два больших класса по типу исследуемых граничных интегральных уравнений (ГИУ): гиперсингулярные, которым посвящена обширная литература (см., например [69,82,85,89,58]), так и несингулярные [92] и использующие двойственные формулировки [3,41]. Кроме того, методы исследования построенных ГИУ можно также разделить на два класса - высокочастотные и низкочастотные. Достоинство высокочастотного метода состоит в том, что длина зондирующего импульса имеет тот же или меньший порядок, что и длина трещины. Это приводит к регистрации интерференционных явлений, которые легко обнаружить и использовать для идентификации. Достоинства низкочастотных колебаний состоят в возможности использования статических результатов теории трещин для решения динамических задач, а также в возможности определения коэффициентов интенсивности напряжений при анализе отраженных полей, которые позволяют сделать заключение о росте трещины или разрушении образца В целом следует отметить, что к настоящему времени методы расчета дифрагированных полей в изотропных телах, ослабленных трещинами, разработаны достаточно подробно, и опираются либо на идеологию метода граничных элементов [62], либо на асимптотические методы [76]. Кроме того, для решения прямых задач имеются эффективные численные методы расчета волновых полей, такие как метод конечного элемента [43].

Во многих случаях при изучении волновых полей в телах, ослабленных трещиной, вполне достаточно модели изотропной среды. В работах В.А.Бабешко, Бужан В.В, Смирновой А.В., Натальченко А.В. и др. [3,6,10,5,11,12,6,7,8] разработаны методы, позволяющие изучать колебания тел с одиночной трещиной в слое, с системой трещин, расположенных в параллельных плоскостях и получать решение интегральных уравнений в полу аналитической форме, что не требует больших вычислительных затрат. Для решения прямых задач в случае областей канонической формы имеются разнообразные эффективные методы решения (В.З.Партон, В.Г.Борисковский [69], A.Bostrem [80], Гринченко В.Т., Мелешко В.В. [47,66]). При произвольной форме области, занимаемой трещиной, решение ГИУ требует значительных вычислительных затрат. В этом случае используются подходы, предполагающие дискретизацию на основе сеточной аппроксимации области, занимаемой трещиной [82,41] и вычисление многократных интегралов с гиперсингулярными ядрами при формировании матрицы системы (Дж.Ахенбах, Д.Будрек [82] и др.). Однако, в связи с использованием в производстве ряда новых композиционных материалов обладающих выраженной анизотропией, сталей аустенитного класса^ сплавов, приобретающих анизотропные свойства вследствие I схнологической обработки, а также в связи с уточнением моделей слоистых сред в геофизике учет анизотропии чрезвычайно важен. В этом случае для адекватного описания требуется использование соответствующих анизотропных моделей. Поэтому изучение волновых процессов в телах с анизотропией даже простейшего вида при наличии дефектов типа трещин весьма актуально.

Интегральные представления волновых полей перемещений для анизотропной среды через граничные значения векторов перемещений и напряжений в теории упругости даются формулами Сомильяны [3]. Наиболее эффективным методом решения краевых задач теории упругости в случае установившихся колебаний является метод сведения задачи к граничным интегральным уравнениям (ГИУ). Основное преимущество этого метода состоит в том, что он позволяет понизить размерность исследуемой задачи на единицу, а в случае неограниченной области свести к задаче для ограниченной области. Для построения граничных интегральных уравнений из формул Сомильяны обычным в теории трещин способом необходимо устремить точку на границу области, и удовлетворить граничным условиям. При осуществлении предельного перехода интегралы перестают существовать в обычном римановском смысле, становятся расходящимися, их ядра содержат гаперсингулярную особенность, и требуют введения понятия значения особого интеграла. Интегралы в этом случае понимаются в смысле конечного значения по Адамару и используются при исследовании гиперсингулярных интегральных уравнений, возникающих в теории трещин [58,84]. Вопросы построения и обоснования дискретных схем вычисления гиперсингулярных интегралов освещены в работах [19,83].

Обратные задачи являются сравнительно новой, наиболее интересной и достаточно трудной областью математической физики, которая в настоящее время переживает период перехода от анализа математических вопросов корректности, единственности, устойчивости к вопросам построения вычислительных схем и численного исследования обратных задач.

Следует сразу заметить, что несмотря на большое разнообразие численных и аналитических методов решения прямой задачи, в обратных задачах альтернативы методу ГИУ, позволяющему сформулировать систему операторных уравнений, на основании которой решается обратная задача, на сегодняшний день практически нет.

В ряде публикаций, посвященных обратным задачам теории трещин, используется модель полупространства или полуплоскости с одиночным трещиноподобным дефектом, ориентированным, как правило, параллельно границе среды [87]. Значительно более трудоемки для анализа модели полу ограниченной среды или слоя с прямолинейной наклонной или криволинейной трещиной и источником на поверхности [86]. Такие модели более адекватны для исследования процесса возбуждения и регистрации волн, а также весьма полезны при решении обратных задач об определении размеров и положения трещины. При этом трещина моделируется математическим разрезом, берега которой не взаимодействуют в процессе установившихся колебаний. Такая постановка позволяет свести задачу об изучении волновых полей в кусочно-однородных областях с трещиной (расслоением) на границе раздела к системам линейных интегральных уравнений относительно функций раскрытия трещины и использовать их далее при решении проблемы идентификации. Учет взаимодействия берегов приводит к сложной нелинейной проблеме на этапе решения прямой задачи и существенно перераспределяет структуру волновых полей в окрестности трещины [6,57, 56,77].

Во многих практически важных случаях модель ортотропной упругой среды с дефектом, содержащая бесконечно удаленную точку (полоса, слой, полуплоскость) является подходящей для описания изучаемого явления.

Возможны различные постановки геометрических обратных задач. В ряде работ предполагаются известными граничные поля смещений и напряжений на всей границе тела [95]. Однако на практике такие условия обычно трудно реализовать, и более адекватными являются постановки, в * которых граничные поля заданы лишь на части границы [28,29,31].

При решении обратной задачи могут быть использованы различные способы зондирования - позиционное, когда при фиксированной частоте излучателя измеряются смещения на участке поверхности упругого тела, или частотное, когда измеряются смещения в фиксированной точке тела на разных частотах.

Наиболее четко математические аспекты постановки и исследования ОЗ при установившихся колебаниях изложены в книгах Д.Колтона и Р.Кресса [60], А.А. Горюнова и А.В. Сасковца [45]. Различные аспекты исследования обратных задач рассмотрены в работах в [23,35,74,13,73,53,55,54,21,22,78]. Численному исследованию обратных задач на основании метода ГИУ и их последующей дискретизации посвящены работы [37,94].

Вышеизложенное определяет актуальность и практическую значимость настоящей работы.

В настоящей работе на основании метода ГИУ, метода граничного элемента и метода регуляризации решаются задачи идентификации одиночной трещины в орготропном упругом слое, колебания в котором вызываются сосредоточенным источником, расположенным на его поверхности. При этом поле смещений считается заданным на части ^ поверхносх и слоя, что отражает реальный процесс измерений.

Диссертация содержит 4 главы. Первая глава диссертации посвящена пост ановкам основных задач, которые рассматриваются в работе, и состоит из трех параграфов. Параграф 1 содержит общую постановку прямой задачи об установившихся колебаниях анизотропного упругого тела, ослабленного одиночной трещиной. Параграф 2 посвящен постановке прямых задач для ортотропного слоя с одиночной трещиной. В третьем параграфе изложена постановка обратной задачи об идентификации одиночной трещины в ортотропном упругом теле.

Вторая глава состоит из пяти параграфов. Она посвящена получению граничных интегральных уравнений, на основании решения которых может быть вычислено поле смещений на границе слоя. Параграф 1 содержит сведения о методе граничных интегральных уравнений в прямых задачах динамической теории упругости, и понятие особого интеграла в смысле конечного значения по Адамару. Параграфы 2 и 3 содержат формулировку ГИУ для задачи об антиплоских колебаниях однородного ортотропного упругого слоя с внутренней трещиной, и трещиной, выходящей на поверхность слоя соответственно. Параграф 4 посвящен формулировке ГИУ в задаче об антиплоских колебаниях неоднородного ортотропного упругого слоя с трещиной на границе раздела В параграфе 5 сформулирована система ГИУ для однородного слоя в условиях плоской деформации.

Третья глава диссертационной работы посвящена дискретизации и построению численных схем решения полученных ГИУ, а также анализу результатов численного решения ГИУ и прямых задач. При этом, дискретизация ГИУ осуществляется на основании метода граничного элемента, в результате чего получается система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных скачков вектора смещений на трещине. Коэффициенты подученной алгебраической системы не имеют явного выражения, а представлены в виде однократных интегралов по контуру в комплексной плоскости. Эти интегралы вычисляются по квадратурным формулам Гаусса, причем для сокращения времени вычислений используется алгоритм, позволяющий интегрировать всю матрицу системы сразу, поскольку подынтегральные функции содержа! общие части. В параграфе 1 рассмотрены вопросы вычисления гиперсингулярных интегралов, встречающихся в работе. В параграфах 2-5 построены дискретные аналоги соответствующих интегральных операторов и рассмотрены вопросы численной реализации решения прямых задач. Результаты проведенного численного анализа в виде графиков и таблиц вынесены в приложение. Проведенный анализ отражает влияние частоты, и параметров трещины на характер формируемого на поверхности слоя волнового поля. Результаты этих расчетов были использованы в качестве входных данных при решении обратных задач о реконструкции одиночной трещины в ортотропном упругом слое, речь о которых идет в четвертой главе.

Четвертая глава работы посвящена малоизученному классу обратных геометрических задач теории упругости - определению положения одиночной трещины в ортотропном слое, если известно поле упругих смещений на части границы, свободной от напряжений. В параграфе 1 сформулирована система операторных уравнений, к решению которой сводится геометрическая обратная задача о реконструкции трещины в упругом геле. Для решения полученной нелинейной системы использован метод регуляризации, который учитывает априорную информацию о местоположении трещины, и основанный на параметризации трещины конечным числом параметров 9%. В результате проблема сведена к задаче минимизации неквадратичного функционала относительно параметров 0у.

Проведено численное исследование решения обратных задач для ортотропного слоя с вертикальной туннельной трещиной в условиях антиплоской и плоской деформаций. Приведенные графики и таблицы иллюстрируют влияние количества распространяющихся мод в слое на скорость сходимости процесса идентификации; влияние зашумленности входных данных, а также местоположения трещины и числа точек измерений на точность идентификации.

Основное содержание диссертации отражено в работах [14,15, 16,17,24,25,26,27], опубликованных в открытой печати. В работе [15] Ватульяну А О принадлежит постановка задач и идеи их решения, Баранову

И.В. и Вудгурян О.В. принадлежат формулировка граничных интегральных £ уравнений и проведение расчетов. Результаты работ [14,17] принадлежат авторам в равной степени. В работах [24,25,26] Ватульяну А О. принадлежит постановка задач, обсуждение результатов, Баранову И.В. принадлежит формулировка ГИУ, исследование ядер интегральных операторов и численный анализ. В работах [16,27] Ватульяну А. О. принадлежит постановка задач, Баранову И. В. принадлежит формулировка ГИУ, исследование ядер интегральных операторов и численный анализ, Гусевой VIA. принадлежит методика формирования матриц систем.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, код проекта 02-01-01124 и гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущей научной школы Ш11 - 2113. 2003.1 С

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить признательность профессору Ватульяну А.О. за постоянное внимание к работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, основные результаты, полученные в настоящей диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Сформулированы системы интегральных уравнений в задачах о колебаниях однородного и кусочно-однородного ортотропного слоя с поперечной трещиной в условиях плоской и антиплоской деформации.

2. Исследована структура ядер интегральных операторов в зависимости от положения трещины (внутренняя, поверхностная трещина).

3. Развит метод граничных элементов для решения сформулированных * интегральных уравнений.

4. Разработана методика идентификации вершин поперечной трещины в однородном и кусочно-однородном ортотрогтном слое по измеренному полю перемещений на границе слоя, основанная на сочетании метода граничного элемента и метода регуляризации на компактных множесгвах. На основании проведенного численного анализа исследованы возможности реконструкции в зависимости от параметров.

1. Александров A M, Сметании Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.:Наука,1993„ 224с.

2. Ашкенази Е. К, Ганов Э. В. Анизотропия конструкционных материалов. Л.: Машиностроение, 1980.~247с.

3. Бабешко В. А. К проблеме динамического разрушения трещиноватых слоистых тел. // ДАН СССР, 1989. Т.307. N2. с.324-328.

4. Бабешко В. А. О единственности решения интегральных уравнений динамических контактных задач. // ДАН СССР. 1973. т.210, №6.

5. Бабешко В.А., Смирнова А.В., Бужан В.В, Натальченко А.В. Моделирование сварных соединений при расчетах на прочность // Тез. докл. VII Всероссийской школы-семинара "Совр. пробл. мат. моделирования", г.Ростов н/Д, 1997. 169с.

6. Бабешко В.А., Бужан В.В, Горшкова Е.М., Рохлин С.И К проблеме оценки прочности сварного шва. // Докл. АН, 1997. Т.353, N3, с.327-329.

7. Бабешко В.А., Бужан В.В, Натальченко А.В., Смирнова А.В. К проблеме неразрушающего контроля сварных соединений с дефектами. // Труды III Междунар. конфер. "Совр. проблемы мех. сплошной среды" в 2т. Т.1, г.Ростов н/Д, 1997.-213с.

8. Бабешко В.А., Бужан В.В, Натальченко А.В., Смирнова А.В. К проблеме расчета прочности сварных конструкций // Изв. ВУЗов, Северо-Кавказский регион, ест. науки. г.Ростов н/Д, 1988. N2, с. 12-16.

9. Бабешко В. А., Г'лушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.:Наука,-1989.-343с.

10. Бабешко В.А., Смирнова А.В., Натапьченко А.В., Бужан В.В. Интерфейсные волны на границе соединения сварным швом с дефектами. // Тез докл Воронежской школы "Совр пробл механики и прикл математики", г.Воронеж, 1998. -304с.

11. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.:Изд-во Моск. ун-та, 1989.-199с.

12. Баранов И.В., Булгурян О.В. К проблеме реконструкции наклонных трещин. // Труды 6 Международной конференции «Математические методы в технике и технологиях». Ростов-на-Дону, 2003г., т. 5, с. 7-9.

13. Баранов И.В., Булгурян О.В., Ватульян А.О. Обратные задачи идентификации трещины в ортотропном упругом слое.// Труды 7 Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды ». Ростов-на-Дону, 2001г., т.1, с.29-33.

14. Баранов И.В., Гусева И.А. Асимптотика волнового поля в анизотропной упругой плоскости с трещиной. // ДГТУ. Межвуз. Сб. "Интегро-диф. Операторы и их приложения", 1998г., е.- 17-22.

15. Белокур И.П. Дефектология и неразрушающий контроль. Киев: Выща шк, 1990.-207с.

16. Белоцерковский С М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. 253с.

17. Будаев В. С. Об одном классе решений для системы уравнений в частных производных второго порядка динамики упругих анизотропных сред // Изв. АН СССР. МТТ.-1976. №5,- С. 127-135.

18. Буров В.А., Гладков А.В., Горюнов А.А., Прудникова И.П., Румянцева О. Д., Тягунов Е.Я. Численное и физическое моделирование двумерных обратных граничных задач рассеяния скалярных волн.//Акжурн. -1990. -36, В.5.-С.832-839.

19. Буров В.А., Горюнов А.А., Сасковец А.В., Тихонова Т А. Обратные задачи рассеяния в акустике. // Акжурн.-198б.-32,в.4.-с.433-449.

20. Бухгейм А.П. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука, 1988.-183с.

21. Ватульян А.О., Баранов И.В. SH-колебания составного ортотропного слоя с трещиной на границе раздела // ДГТУ. Межвуз. Сб. "Интегро-диф. Операторы и их приложения", вып. 5, 2001г. с.41-49.

22. Ватульян А.О., Баранов И.В. Идентификация внутренней трещины в ортогропной упругой среде.// Вестник ДГТУ 2002 г., т. 2., N2, с. КИНО.

23. Ватульян А.О., Баранов И.В. Об идентификации трещины на границе составного упру/ого тела. // Труды VI Междунар. науч.-тех. конф. по динамике технологических систем "ДТС 2001". Ростов-на-Дону, Изд. ДГТУ, -2001, т. 1, - с. 105-109.

24. Ватульян А.О., Баранов И.В., Гусева И.А. Идентификация третциноподобного дефекта в ортотропном слое. // Дефектоскопия.-2001. №10, с.48-52.

25. Ватульян А.О., Ворович И.И., Соловьев А.Н. Об одном классе задач в динамической теории упругости.//ПММ. 2000. т.64. в.З. с.373-380

26. Ватульян А О., Гусева И.А. О восстановлении формы полости в ортотропной упругой полуплоскости по заданному на границе волновому полю. // riMNl 1993. №4. с. 149-152.

27. Ватульян А.О., Красников В В. Колебания ортотропной полуплоскости с криволинейной трещиной .//Изв.РАН МТТ, 2002. N5 -с.82-90.

28. Ватульян А.О., Садчиков Е.В. О новой формулировке граничных интегральных уравнений в задачах о колебаниях анизотропных тел. // Известия РАН. МТТ, 1999, №2, с. 78 84.

29. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Восстановление поля в анизотропной упруг ой среде.// Акжурн. 2000. т.46. в.4. с.451-455.

30. Ватульян А.О. Красников В В. Антиплоские колебания составного ортотропного слоя с трещиной на границе раздела сред // ДГТУ -Ростов н/Д, 1995.- 10 е.- Деп. в ВИНИТИ 28.11.95, №3124.

31. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.:НаукаЛ 970.-380с.

32. Воггилкин А.Х. Волны дифракции и их применение в ультразвуковом неразрушающем контроле. I. Физические закономерности волн дифракции.И Дефектоскопия.-1985.-N1.-с.20-34.

33. Ворович И.И., Бабешко В.В. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1989. 320с.

34. Ворович И.И., Сумбатян М.А. Восстановление образа дефекта по рассеянному волновому полю в акустическом приближении. Изв. АН СССР, МТТ.-1990.-№6.-С.79-84.

35. Выборнов Б.И. Ультразвуковая дефектоскопия. М.:Металлургия.-1985 -256с.

36. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. Под ред. д.ф.-м.н. В.И. Дмитриева, М,: Недра, 1990. -498с.

37. Гетман И.П., Устинов Ю А Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. Ростов н/Д: Изд-во РГУ.-1993.-144с.

38. Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Дифракция упругих волн на ^ пространственных трещинах произвольной в плане формы. // ПММ,1996. Т.60. Вып.2. с.282-289.

39. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Бхлаков А.В. Математическая модель ультразвуковой дефектоскопии пространственных трещин. // ПММ. 2002. т.66. выгг.I.e. 147-156.

40. Голованов А.И., Бережной Д.В. Методы конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: ДАС. 2001, -300с.

41. Гольдштейн Р.В., Капцов А.В. О трещине нормального отрыва в упругой среде под действием гармонической волны. // Изв. АН СССР. хМТТ. 1984. N6. с,93-100.

42. Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике.

43. М .Изд-во МГУ,-1989.-151с.

44. Градигтейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений. М.:Физматгиз, 1962.-1108с.

45. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах.-Киев.: Наукова думка,-1981.-283с.

46. Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев.: Наук.думка, 1987, 307с.

47. Дацышин А.Г1, Саврук М.П. Интегральные уравнения плоской задачи теории тренщн.//ПММ.-1974.—38,N4.

48. Дмитриев В.И. Обратные задачи электромагнитного зондирования. //

49. Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1977. -N1. - с.19-23.

50. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для ПЭВМ. М.: Наука, 1989, 240с.

51. Дьяконов М.Б., Устинов Ю.А. Сдвиговые волны в упругом полубесконечном слое с разрезами. II Акуст. журн., 1995. Т.41. N3. С.421-426.Я

52. Емец В Ф. К обратной задаче рассеяния упругих волн тонким инородным включением.//ПММ. -1986. -50,N2 -с.303-308.

53. Емец В.Ф. О дистанционном определении свойств тонких акустических рассеивателей при помощи звуковых волн. // Акжурн -1985 -3I,N3.-c.332-337.

54. Емец В.Ф. Решение одной обратной задачи рассеяния в линеаризованной постановке.//ЖВМ и МФ.-1984,-24,N4. -с.615-619.

55. Зозуля В. В. К исследованию влияния контакта берегов трещины при нагружении гармонической волной. // Прикладная механика-1992.-28, №2.- С. 32-38.

56. Зозуля В. В., Меньшиков В. А. Контактное взаимодействие берегов трещины в плоскости при гармоническом нагружении. // Прикладная механика- 1994.- 30, №12.- С. 75-79.

57. Зозуля В.В. Интегралы типа Адамара в динамических задачах теории трещин. // ДАН УССР. Сер.А. -1991. - №2. - с.43-47.

58. Кит Г.С. Михаськив В.В. Хай О.М. Анализ установившихся колебаний плоского абсолютно жесткого включения в трехмерном упругом теле мет одом граничных элементов. // ПММ. 2002. т.66. Вып.5, с.855-863.

59. Кол тон Д. и Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.:Мир,-1987.-311с.

60. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 832с.

61. Крауч С., Старфилд А. Метод граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987.- 256 с.

62. Ландау Л. Д., Лившиц Е.М. Теория упругости, т.VII, М.: Наука, 1978, -248с.

63. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела-М.:Наука-1977.-416с.

64. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М: Мир, 1974, -318с.

65. Мелешко В.В. Закономерности установившихся волновых процессов в конечных упругих телах и волноводах. // Сб. ред. НИР и ОК., сер. 16, №5, 1985. 194с.

66. Назаров С.А. Трещина на стыке анизотропных тел. Сингулярности напряжений и инвариантные интегралы. // ПММ, т.62, №3, 1998. с. 498-502.

67. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975, - 872с.

68. Партон В.З., Борисковский В. Г. Динамика хрупкого разрушения. М.: Машиностроение, 1988. -239с.

69. Попов В.Г. Дифракция плоских упругих волн на отслоившемся жестком включении в случае гладкого контакта в области отслоения. // ПММ. 1998.Т. 62.N2. с.290-296.

70. Попов Г.Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.:Наука.-1982.-342с.

71. Ройтман А.Б. Использование акустического сигнала для диагностики поперечной трещины в консольном образце. // Акустический журнал. 2000, г.46, №5, с.685-689.

72. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979 288с.

73. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов ВВ., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.:Наука, 1990.-232с.

74. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, -1972. -735с.

75. Шифрин Б.И. Об асимптотике упругих перемещений вблизи контура плоской трещины, расположенной на границе соединения двух материапов.//Ин-т ггробл. мех. РАН. препр. 2000, N666. с.1-18.

76. Шифрин Е.И. Плоская трещина нормального разрыва, берега которой взаимодействуют гто линейному закону. // Изв. АН СССР. МТТ-1988. №5. с.94-100.

77. Angell T.S., Colton D., Kirsch А. The three dimensional inverse scattering problem for acoustic waves.//J.Diff.Eq.-1982.46.-p.46-58.

78. Balas J., Sladek J., Sladek V. Stress Analysis by boundary element method. // Amsterdam: Elsevier, 1989. 521p.

79. Bostrom A. Acoustic scattering by a sound-hard rectangle. // J. Acoust. Soc. Am. 1991. 90(6). P.3344-3347.

80. Bostrom A., Wirdelius H. Ultrasonic probe modeling and nondestructive crack detection. // J. Acoust. Soc. Am. 1995, vol.97, p.2836-2848.

81. Budrec D.E., Achenbach J.D. Scattering from three-dimensional planar cracks by the boundary integral equation method. // J. Appl. Mech. 1988, vol.55, p.405-412.

82. Hui C-Y, Slia D. Evaluations of hypersingular integrals using Gaussian quadrature. lnU.Numer Meth. Eng. 1999. 44. N2., c.205-214.

83. Ka.ya. A C., Erdogan F. On the solution of integral equations with strongly singular kernels. // Q.Appl.Math.-1987.~v.45,Nl.-p. 105-122.

84. Krishnasamy Ст., Schmerr L., Rudolphi T.J., Rizzo F.J. Hypersingular boundary integral equations: Some applications m acoustic end elastic wave scattering. // ASME. J. Appl. Mech. 1990, vol.57, p.404-414.

85. Liu S.W., Datta S.K. Scattering of ultrasonic wave bv cracks in a plate. // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1993. V.60. June. P.353-357.

86. ST. Martin P. A. Mapping flat cracks onto penny-shaped cracks: shear loadings. // J. Mech. Phys. Solids., 1995. V.43. No.2. P.272-294.

87. Mendelsohn D.A., Achenbach J.D., Keer L.M. Scattering of elastic waves by a surface-breaking crack // Wave Motion., 1980. V.2. P.277-292.

88. Mukheijee S. and Mukheijee Y.X. The hypersingular boundajy contour method for three-dimensional linear elasticity. // ASME. J. Appl. Mech. 1998, vol.65, p.300-309.

89. Niwa Y , Hirose S., Kitahara M. Application of the boundary integral equation (BIE) method to transient response analysis of inclusions in a half space. // Wave motion №8,1986, p. 77-91. (North Holland).

90. Scalia A., Sumbatyan M.A. On efficient quantitative analysis in real-time ultrasonic detection of cracks. // Ultrasonics. 1999. 37. N3. p.239-245.

91. Sladek V. and Sladek J. On nonsingular boundary integral equations for crack problems. // Mech. Research Com. 1990, v. 17, p.281-291.

92. Tanaka M., Masuda Y. Boundary element method applied to some inverse problems. //Eng. Analysis, 1986, vol.3,No.3,p.138-143.

93. Tanaka M., Nakamura M., Nakano Т., Shikawa H. Application of the boundary element method to elastodynamic inverse problems. // Consideration of noisy additional information. Trans. Jap.Soc.Mech.Eng.A. -1991 .-57,N541 .-p.2179-2185.

94. Tarek Bannour, Amel Ben Abda, Mohamed Jaoua. A semi-explicit algorithm for the reconstruction of 3D planar cracks. // Inverse Problems. 1997. v.13. p.899-917.

95. Visscher W.M. Theory of scattering of elastic waves from flat cracks of arbitrary shape // Wave Motion, 1983. N5. P. 15-32.

96. Zhang Ch., Gross D. On wave propagation in elastic solid with cracks. Southhampton: Computational Mechanics Publ. -1998.-248p.