Концентрация напряжений в вершине внутренней поперечной трещины в составном упругом теле тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Борисова Екатерина Викторовна

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ВЕРШИНЕ ВНУТРЕННЕЙ ПОПЕРЕЧНОЙ ТРЕЩИНЫ В СОСТАВНОМ УПРУГОМ ТЕЛЕ

Специальность: 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

005561262 2 5 МАР 2015

Ростов-на-Дону - 2015

005561262

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Донской государственный технический университет» (ФГБОУ ВПО ДГТУ).

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Рашидова Елена Викторовна Официальные оппоненты:

Сметании Борис Иванович, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры теоретической и компьютерной гидроаэродинамики ФГОУ ВПО «Южный федеральный университет» Иваночкин Павел Григорьевич, доктор технических наук, доцент, профессор кафедры теоретической механики ФГБОУ ВПО «Ростовский государственный университет путей сообщения»

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Защита диссертации состоится «27» апреля 2015г. в 13:30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.058.02 при ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет» по адресу: 344000, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1, ауд. 252.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Донской государственный технический университет».

Автореферат разослан «/^ » -¿^¿¿/^Г^Ь-2015 года.

Ученый секретарь диссертационного совета КреневЛ.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Широкое распространение в технике получили конструкции, изготовленные из двухкомпонентных материалов (биматериалов), улучшающих механические и физико-химические свойства изделий. К таким материалам относятся армированные, композитные материалы, металлокерамика, биметаллы. В настоящее время биматериалы широко применяют во многих отраслях промышленности: в химической, нефтеперерабатывающей, оборонной, в станкостроении, судостроении, авиастроении и др. Основными требованиями к биматериалам являются гарантия прочности соединения и стабильность механических и физических свойств конструкций. Использование современных биматериалов улучшает потребительские свойства инженерных конструкций, обеспечивает облегчение, удешевление, долговечность и меньшие затраты на эксплуатацию. Как следствие, особое место отводится биметаллам, которые не только пришли на смену дефицитным металлам, но и являются важнейшим классом промышленных материалов, открывающих перспективы в научно-технической сфере.

Потребность в них все более возрастает, и это особенно относится к новым видам биметаллов из тугоплавких металлов и их сплавов в сочетании с различными сталями и цветными металлами. Наиболее востребованными биметаллическими соединениями являются структуры типа «сталь - цветные металлы» (сталь - медь, сталь - алюминий, сталь - титан и др.).

Технологическая эффективность биметаллов обусловлена их эксплуатационными характеристиками и специфическими свойствами, дающими возможность создания новых инженерных конструкций с высокими технико-экономическими показателями.

Другой технологический подход повышения качества и надежности работы инженерных изделий основан на усилении конструкций путем нанесения защитных покрытий (накладок). Покрытие поверхности обеспечивает необходимые эксплуатационные характеристики изделия, имеет конечную толщину, отличается от основного материала конструкции своими физическими параметрами. Для создания покрытий используются разнообразные материалы, обладающие заданными свойствами, гарантирующими надежность инженерных изделий, тогда как обычные конструкционные материалы не всегда выдерживают экстремальные нагрузки или условия эксплуатации.

Преимущества покрытий связано с их возможностями обеспечивать высококачественные характеристики поверхностей изделий при небольшом расходе материалов. Как следствие, это привело к появлению различных технологий нанесения покрытий и их активное внедрение в промышленное производство.

Один из наиболее распространенных способов соединения материалов, конструкций, деталей является сварка, позволяющая получить прочное соединение. Существует множество технологий сваривания. Среди них выделим диффузионную сварку в вакууме, которая происходит за счет диффузии на молекулярном уровне. Для этого вида сварки применяются высокие температуры нагрева (до 0,7 температуры плавления материалов) и низкое удельное давление. Диффузионная сварка обеспечивает высококачественное соединение материалов без внутренних напряжений на границе раздела, она позволяет соединять разнородные материалы: сталь, алюминий, титан, медь, никель и другие металлы, а также неметаллические материалы. Этот вид сварки используется в машиностроении, космической, военной промышленности.

Другой вид соединения - наплавка. Она представляет процесс нанесение слоя металла с помощью сварки плавлением, используется для получения материалов с заданными свойствами. Конструкционную прочность обеспечивает основной материал, а наплавленный слой выполняет защитные функции: коррозионную устойчивость, износостойкость, жаропрочность и т.п.

Еще одним способом получения биметаллических материалов является сварка взрывом, технология которой основана на энергии взрыва. Сварка взрывом используется для соединения больших площадей для таких металлов, как сталь - титан, сталь - алюминий и многих других комбинаций, которые методами традиционной сварки трудно или невозможно получить.

Экспериментальные исследования сварных соединений показывают наличие внутренних трещиноподобных дефектов, возникающих в результате производства или эксплуатации. Известно, что трещины являются внутренними или поверхностными концентраторами напряжений, и при нагружении изделий провоцируют процессы разрушения. Учет влияния таких дефектов позволяет наиболее точно производить оценку износостойкости и усталостной прочности материалов и деталей инженерных конструкций.

Поэтому разработка методов оценки напряженно-деформированного состояния составных элементов конструкций (усиленных накладками или покрытиями) является актуальной научно-технической задачей для современного промышленного производства.

Особый теоретический и практический интерес представляют задачи об изучении концентрации напряжений в окрестности трещин, находящихся вблизи границы раздела материалов. В задачах о трещинах в составных упругих телах оптимальным выбором геометрических и (или) физических параметров можно добиться уменьшения коэффициента интенсивности напряжений и, тем самым, предотвратить распространение дефектов.

В настоящее время разработка аналитических методов решения таких задач является актуальной фундаментальной проблемой, так как такие

методы дают не только возможность найти точное решение задачи, но и позволяют провести качественный и количественный анализ характера влияния геометрических и физических параметров задачи на напряженно-деформированное состояние исследуемого изделия. Усовершенствование аналитических методов решения задач механики разрушения позволяет более активно использовать их в различных инженерно-технических расчетах. Научные исследования в этой области нашли свои практические приложения в машиностроении, строительстве, судостроении, авиастроении и других отраслях промышленного производства. Вопросам износостойкости и прочности инженерных конструкций посвящены смешанные задачи теории упругости, решения которых представлены в работах зарубежных ученых: G.R.. Irwin, A.R. Zak, M.L. Williams, T.S. Cook, F. Erdogan, V. Biricikoglu, M. Isida, F. Delale, H. Kasano, T. Watanabe, H. Matsumoto, I. Nakahara, G. Tsamasphyros, G. Dimou S.H. Chen, T.C. Wang, S. Kao-Walter и др.

Изучению проблемы исследования концентрации напряжений в окрестности трещин в упругих телах посвящены монографии В.В. Панасюка, МП. Саврука, А.П. Дацышин, С.М. Мхитаряна, Y. Murakami, В.М. Александрова, Б.И. Сметанина, Б.В. Соболя, V. Lazarus, Л.M. Качанова, В.З. Партона, Е.М. Морозова, Л.И. Седова.

В развитие механики разрушения и механики деформируемого твердого тела большой вклад внесли работы известных ученых: И.И. Воровича, В.М. Александрова, В.А. Бабешко, А.О. Ватульяна, С.М. Айзиковича,

A.Е. Андрейкива, Н.Х. Арутуняна, A.A. Баблояна, A.B. Белоконя,

B.Н. Берковича, А.Н. Бескопыльного, Л.А. Галина, Е.В. Глушкова, Н.В. Глушковой, Р.В. Гольдштейна, А.Г. Горшкова, И.Г. Горячевой, А.Б. Ефимова, Е.В. Коваленко, A.C. Кравчука, B.C. Макаряна, A.B. Манжирова, Н.И. Мусхелишвили, С.М. Мхитаряна, Б.М. Нуллера, О.В. Онищука, П.И. Перлина, Д.А. Пожарского, Г.Я. Попова, B.C. Проценко, Ю.Н. Работнова, В.Л. Рвачёва, В.В. Сильвестров, Л.И. Слепяна, Б.И. Сметанина, Б.В. Соболя, А.Н. Соловьева, М.А. Сумбатяна, В.М. Толкачёва, А.Ф. Улитко, Я.С. Уфлянда, М.И. Чебакова, Г.П. Черепанова, Е.И. Шифрина, J.R. Barber, G.M. Gladvvell, K.L. Johnson, J.J. Kalker, L.M. Keer, I. Sneddon и др.

Цели и задачи исследования.

- Исследовать научно-техническую задачу повышения надежности и долговечность составных элементов конструкций за счет разработки математического аппарата для оценки их напряженно-деформированного состояния и прогнозирования возможного разрушения.

- Построить аналитическое решение задачи о концентрации напряжений в окрестности вершины трещины конечной длины, расположенной перпендикулярно границе раздела составного упругого тела. Исследовать известные частные случаи.

- Модифицировать метод разрывных решений для сведения указанных задач к решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений.

- Построить решение полученных сингулярных интегральных уравнений методами коллокаций и малого параметра, провести анализ структуры этих решений, исследовать их эффективность.

- Исследовать влияние геометрических и физических параметров задач на концентрацию напряжений в вершинах трещины.

- Основной целью исследования в каждой из рассматриваемых задач является определение коэффициента интенсивности напряжений в окрестности вершин трещины - важнейшей характеристики в механике разрушения.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- Методом разрывных решений получено сингулярное интегральное уравнение I рода с ядром Коши для задачи о концентрации напряжений в окрестности вершины трещины конечной длины, расположенной в полуплоскости со свободной границей.

- Получено аналитическое решение задачи о концентрации напряжений в окрестности вершины трещины конечной длины, расположенной перпендикулярно границе раздела составного упругого тела.

- Решена новая задача о концентрации напряжений в окрестности вершины трещины конечной длины, расположенной перпендикулярно границе раздела двух упругих тел - полуплоскости и полосы. Использование метода разрывных решений позволило свести задачу к решению сингулярного интегрального уравнения I рода с ядром Коши.

- При решении задачи о составной полуплоскости проведена аппроксимация регулярной части ядра интегрального уравнения. Предложенная структура аппроксимирующей функции дает необходимую точность и позволяет получить аналитическое решение задачи.

-Получены значения коэффициента интенсивности нормальных напряжений в окрестности вершины трещины для различных комбинаций геометрических и физических параметров задачи.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в развитии аналитических и численных методов решения задач механики твердого тела, которые могут быть использованы при решении подобных задач математической физики.

Практическая значимость работы обусловлена широким использованием биматериалов и деталей с покрытиями в различных отраслях промышленности. Учет наличия трещин при расчетах таких деталей позволяет более точно прогнозировать их прочность и износостойкость. Полученные аналитические и численные решения, графическое представление результатов в доступной и понятной форме делает данный материал удобным для использования в инженерных целях.

Методы исследования. Теоретические исследования и численные эксперименты выполнены на основании законов классической механики деформируемого твердого тела, теории упругости, методах математического и функционального анализа, вычислительной математики. Используются методы интегрального преобразования Фурье, асимптотические методы, метод разрывных решений, методы малого параметра и коллокаций.

Основные положения, выносимые на защиту:

- Аналитическое решение задачи о концентрации напряжений в окрестности вершины трещины конечной длины, расположенной перпендикулярно границе раздела составной упругой плоскости.

- Методы сведения двумерной задачи о напряженно-деформированном состоянии полуплоскости, ослабленной поперечной внутренней трещиной и усиленной накладкой (полосой), к сингулярному интегральному уравнению I рода с ядром Коши.

- Структура аппроксимирующей функции регулярной части ядра сингулярного интегрального уравнения, позволяющая получить решение задачи о составной полуплоскости, ослабленной поперечной внутренней трещиной, в аналитическом виде.

- Результаты анализа структуры решения полученных уравнений для частных случаев задачи методом малого параметра.

- Результаты качественного и количественного анализа влияния полосы на концентрацию напряжений в вершине трещины.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается корректными математическими постановками, применением строгих математических аналитических и численных методов решения, сопоставлением результатов решения одной задачи разными методами, сравнением результатов исследования в частных постановках с решениями других авторов.

Участие в научно-исследовательских работах и грантах. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ). Грант РФФИ 10-08-00839-а «Методы расчета и оптимизация элементов конструкций, ослабленных технологическими и эксплуатационными дефектами», 2010-2012 гг. Грант РФФИ 14-08-00142-а «Идентификация и исследование равновесных состояний трещиноподобных дефектов в крупногабаритных неоднородных упругих телах с тонкими покрытиями», 2014 г.

Апробация результатов исследования. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на VIII Международной конференции «Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред» (г. Горис, г. Степанакерт, г. Ереван, Институт механики национальной Академии наук республики Армении, 2014); конференции «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (г. Ростов-на-Дону, Южный

федеральный университет, 2012,2014); Международном научном симпозиуме технологов-машиностроителей и механиков «Волновые и виброволновые технологии в машиностроении, металлообработке и других отраслях» (г. Ростов-на-Дону, Донской государственный технический университет, 2014), конференции «Управление и информационные технологии» (г. Пятигорск, Донской государственный технический университет, 2014); Всероссийской научно-практической конференции «Теория сооружений: достижения и проблемы» (г. Махачкала, Дагестанский государственный технический университет, 2012); на ежегодных научно-практических конференциях ДГТУ (г. Росгов-на-Дону, Донской •государственный технический университет, 2012-2014).

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, из них 3 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В совместных работах постановки задач и рекомендации по выбору методов решения принадлежат соавторам, аналитические и численные исследования и основные результаты - автору диссертационной работы.

Содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников. Общий объем работы составляет 129 страниц машинописного текста, содержит 35 рисунков, 6 таблиц, 1 приложение, список литературы из 162 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, проведен анализ научной литературы, посвященной теме диссертационной работы сделан обзор состояния проблемы исследования. Определены цели и задачи исследования, изложены научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации работы и публикациях.

В первой главе рассматриваются постановки задач: о трещине в полуплоскости со свободной границей; о трещине в составной плоскости; о трещине в составной полуплоскости, которая является более общей по отношению к первым двум.

В общем случае рассмотрена статическая задача теории упругости для полуплоскости —сю < х < оо , у < 0 , ослабленной прямолинейной поперечной трещиной длины 2а, центр которой расположен на расстоянии с1 от границы и перпендикулярно к ней. На границе полуплоскости находится упругий слой толщины к. Нормальное сечение полосы занимает область —оо < х < со , о < у < Л . В направлении, перпендикулярном линии трещины, приложены нормальные растягивающие усилия, обеспечивающие ее раскрытие. В силу линейности задачи, при постановке воспользуемся принципом суперпозиции, согласно которому будем рассматривать равновесную трещину в бесконечном составном теле. Трещина

(1)

поддерживается в раскрытом состоянии действием нормальных напряжений ах интенсивности —р(у), приложенных к ее берегам (рис. 1).

Граничные условия задачи: при у = /г: = 0,Тху=0,

Условия сопряжения: при у = 0: и« = и™, 17« = гт£> = г« где Оу\т® - компоненты тензора напряжений, соответствуют накладке) = 1 и подложке) = 2.

А у

(2)

значения индексов

Рис. 1. Постановка задачи о полуплоскости (2), усиленной накладкой (1) и ослабленной внутренней трещиной

В задаче о трещине в полуплоскости со свободной границей будем считать частным случаем общей постановки, когда ширина накладки /1 = 0.

В этом случае, граничные условия задачи:

гт(1) - гт(2)

1д-у — ^xyl и у Ыу

(3)

(4)

при У = 0: Тху = 0, СГу - 0.

В задаче о трещине в составной плоскости ширина накладки к Граничные условия (условия сопряжения): при у = 0: и« = иИ, = »<*>. т™ - т£\

Вторая глава посвящена получению интегральных уравнений методом разрывных решений.

В рассмотрение вводятся функции разрывов перемещений и и ду/дх при х = 0

х = -0

= 4>(у), (5)

х = +0

для которых устанавливается связь У (у) = х'(у )- (6)

Представив перемещения в форме интегралов Фурье и применив преобразования Фурье по переменной х к уравнениям равновесия, получаем

х — —0 х = +0

: х(у), 51

неоднородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно трансформантов Фурье.

Находим общее решение полученной системы, при этом для нахождения частного решения, дополнительно применяем преобразование Фурье по переменной у, которое позволяет перейти к системе линейных алгебраических уравнений.

и = [3 - 2у - |<г||!7 - у\№ + (с, + с2\а\у)е^У

V = ~ у)[2У - \a\lrj - у№ +

+1 а (с, + с2(\а\у - х))еМу . (7)

Граничные условия и условия сопряжения задачи позволяют найти неопределенные постоянные с1( с2 . В общем случае они имеют вид:

С2 = «) х(л) ¿ч. (8)

где Г£(?7,а) - выражения сложной структуры, зависящие от упругих и геометрических параметров двух сред. На рис. 2,3,4 приведены их графики. Проведен анализ поверхностей Р((г|, а), который показал, что при малой толщине накладки их графики стремятся к плоскостям, соответствующим случаю задачи о полуплоскости со свободной границей и при И = 0 -совпадают с ними. С увеличением толщины накладки плоскости переходят в поверхности, которые при большом значение И приближаются к асимптотам, соответствующим решению задачи о составной плоскости и при /г -»оо совпадают с ними.

Исходя из условия равенства нормальных напряжений ах интенсивности —р(у) при х=0, составим интегральное уравнение. В трансформантах левая часть интегрального уравнения имеет вид (9), где подынтегральная функция регулярной части ядра К(а,т],у') имеет достаточно громоздкий вид.

Я* - '—^С-а^е-^КМ\v-y\- 3) -

(9)

Аналогичные функции для задачи о трещине в полуплоскости со свободной границей Кс(а,т],у) и для задачи о трещине в составной плоскости КА(а,т],у) имеют вид (10), (11) соответственно (рис. 5):

Кс(.а,ц,у) = —а(3а(у + ч) + 5gя а(2агуц + 5)), (10)

КаОЛ-У) = -а(а(Лг У + ЧгЛ) ~ » «(Чза2УЛ + Чч))' (1 О

где константы«?;, определяются упругими и геометрическими параметрами задачи.

а

Рис.2. Графики поверхностей Р,(г|, а) для задачи о трещине в полуплоскости с накладкой (1) и для задачи трещине в составной плоскости (2).

Р20/,а)

Рис.3. Графики поверхностей Р2(т1, а) для задачи о трещине в полуплоскости с накладкой (1) и для задачи трещине в составной плоскости (2).

Применив обратное преобразование Фурье к выражению (9), получаем левую часть интегрального уравнения. В частных случаях задачи (о полуплоскости со свободной границей и о составной плоскости) интегрирование в аналитическом виде не предоставляет никаких трудностей, а при решении задачи общего вида из-за сложной структуры подынтегральной функции получить аналитический вид несобственного интеграла не предоставляется возможным, хотя его численное решение происходит без каких-либо сложностей.

полуплоскости с накладкой, задачи о полуплоскости со свободной границей (прямая С) и для составной плоскости (прямая А)

К(о,-2,-21

Рис.5. Графики функций Кс(а,-2,-2), КА(а,—2,—2) и К(а,-2,-2) для накладок различной толщины

Для получения аналитического решения задачи будем аппроксимировать ядро подынтегральной функции К(а,Т1,у), функцией вида КА(а,г°,у) (11) с неизвестными коэффициентами. Аппроксимацию производим методом наименьших квадратов, в результате чего получаем легко интегрируемую функцию К (а, Г|, у):

К (а, г/, у) = -а{а(кгу + к2г]) - sgn а{къа2ут] + /с4)), (12)

где /сг(1 — 1. ■•■,4) определяются численно методом наименьших квадратов.

Непосредственный асимптотический и численный анализ подтвердил, что принятая аппроксимация представляется весьма удачной.

Проводим интегрирование выражения (9) с подынтегральной функцией в его регулярной части вида (12). Применив метод интегрирования по частям, получаем сингулярное интегральное уравнение 1 рода с ядром Коши для определения производной скачка перемещений на берегах трещины (13).

С^хМ^"172^™2)^ = -^РОО, (13) где Я;(( = 1,...,3) постоянные, получаемые в результате интегрирования на основе найденных коэффициентов /с,-.

Определим следующие переменные и функции, позволяющие свести интегральное уравнение (13) к безразмерному виду:

Я = ~, (А<1) (14)

а а

д'Ю = а2-й). (16)

О 2

Получаем интегральное уравнение

</'(0 + Ш.2)\ Ц = -71/(2), (17)

где Щ, г) = X-ц^-гР-"

Рассмотренные задачи об определении напряженно-деформированного состояния упругой полуплоскости со свободной границей, задачи о составной плоскости и общей задачи о составной полуплоскости относятся к одному классу задач; полученные сингулярные интегральные уравнения во всех случаях имеют одинаковую структуру и отличаются только постоянными коэффициентами.

В третьей главе рассматривается решение полученных сингулярных интегральных уравнений методами коллокаций и малого параметра.

Для проведения качественного анализа решения интегрального уравнения (17), построим его асимптотическое решение с помощью метода малого параметра. Безразмерный параметр X (14) характеризует относительное расстояние от центра трещины до границы раздела. В частности, случай X -> 0 соответствует бесконечно большому удалению трещины от границы.

Методом малого параметра найдено асимптотическое разложение фактора влияния (19), который представляет собой отношение

Ы{2)=К,{2)/К1а,{2\ (18)

где К,(г) - коэффициент интенсивности нормальных напряжений в окрестности вершин трещины ( г = ±1 ), - соответствующая

величина для случая такой же трещины в бесконечной упругой плоскости. Фактор влияния N(2) показывает изменения концентрации напряжений,

обусловленные влиянием физических и геометрических параметров накладки и границами сред.

. 1 т22,2 ™32 -з , / т42 3тп44 т222\

+ ± (~т52 - ^ + Я5) + 0(Л6) (19)

где гпц характеризуют физические параметры задачи.

Используя метод коллокаций, построим решение интегрального уравнения (17) в виде линейной комбинации базисных функций, явно

учитывающих особенность в окрестности края трещины:

= ХпТЛ0 (20)

при этом

6(0 = -угг^тхи Хп ^ (О (21)

где Т„ , ип - полиномы Чебышева I и II рода соответственно, Хп -коэффициенты при базисных функциях, М - количество узловых точек. В качестве узловых точек будем использовать корни полиномов Чебышева:

= = 1,2.....М) (22)

Для определения коэффициентов Хп решаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

(23)

амг - амм) \ХМ) \п[Сгм)/

Из очевидного условия §(±1) = 0 находим Х0 = 0. Вычисление коэффициентов

осуществляется в два этапа (для каждого слагаемого подынтегральной функции). Сингулярная часть представляет собой табличный интеграл:

А = пип-1 (*)• (25)

который вычисляется аналитически. Регулярная часть:

/Дъю^ц^ж (26)

находится численно.

Значение функции g'(z)пoзвoляeт получить коэффициент интенсивности нормальных напряжений:

К, = - Нш (27)

При выборе числа узлов коллокаций необходимо учитывать значение параметра X. С увеличением X происходит падение точности решения. Как

показывают непосредственные вычисления, при значениях X < 0,95, для получения решения с точностью в пределах 3% достаточно использовать 8 узлов коллокапий.

Проведены расчеты фактора влияния в окрестности вершин

трещины методом малого параметра и методом коллокаций. Выполнен анализ возможности использования метода малого параметра в зависимости от геометрических и физических параметров составного упругого тела, ослабленного внутренней поперечной трещиной. На рис. 6, 7 представлены расчеты фактора влиян'ия методом малого параметра и методом коллокаций для задачи о составной плоскости, когда верхняя полуплоскость выполнена из более мягкого и более жесткого материалов, чем материал подложки. Исследована оценка точности решения задачи методом малого параметра с остаточным членом 0(А6). Для этого проведено сравнение результатов, полученных методом малого параметра с аналогичными результатами решения задачи методом коллокаций с различным количеством узловых точек.

- конструкционная сталь). Расчет методом коллокаций - сплошная линия, методом малого параметра - пунктирная линия.

Исследовано влияние геометрических и физических параметров: 1(14) и р = Сг(у2 - 1)/(С2 (V ^ — 1)) на точность решения. Для модельной задачи на рис. 8 представлены кривые расхождения методов для различных комбинаций ц и X. Выявлено, что с ростом ц и X, происходит усиление влияния накладки (верхней полуплоскости), в тоже время уменьшается точность решения, полученного методом малого параметра

15

Рис. 7. Влияние жестких материалов верхней полуплоскости на интенсивность напряжений: XV - вольфрам, N¡0 - нихром, Ъх - цирконий, (материал подложки - конструкционная сталь). Расчет методом коллокаций - сплошная линия, методом малого параметра - пунктирная линия.

при различных значениях параметра ц (материал подложки -конструкционная сталь)

Проведен анализ эффективности использования метода малого параметра. Сделан вывод о целесообразности использования этого метода в диапазоне А < 0,8 и ц < 0,7, при этом погрешность вычисления составила не более чем 4%.

В работе была изучена сходимость решения, выполненного методом коллокаций. Проведено сравнение результатов расчета фактора влияния при различном количестве узловых точек. Установлено, что эффективность метода коллокаций достигается при использовании восьми узловых точек. Для составной полуплоскости, ослабленной внутренней поперечной трещиной проведены расчеты концентрации напряжений в окрестности вершин трещины методом коллокаций. Выполнен анализ зависимости фактора влияния N{ 1) от геометрических и физических параметров накладки. Анализ результатов показывает, что накладка из более жесткого материала по сравнению с материалом подложки, в зависимости от ее толщины может увеличивать или уменьшать значения фактора влияния (рис. 9).

N(1)

0.S

____. _____—-.---■---'А

0 , 0 . 0 6 о S 1-0

Рис.9. Изменение фактора влияния в вершине трещины в зависимости от параметра Я для накладок разной толщины, предельные случаи: h/a = со -составная плоскость, h/а = 0 - свободная полуплоскость. Материал подложки - конструкционная сталь. Материал накладки - вольфрам. Численным экспериментом установлено, что в случае, когда относительная толщина накладки h/a > 8, фактор влияния N{ 1) задачи о полуплоскости с накладкой отличается от фактора влияния для составной плоскости не более чем на 5%. С уменьшением относительной толщины накладки, величина фактора влияния рассматриваемой задачи приближается к величине фактора

влияния для случая свободной полуплоскости. Решения задачи для частных случаев являются предельными для задачи в общей постановке.

На рис. 10 представлены результаты вычислений фактора влияния в случае накладки из более мягкого материала, чем подложка. Численным экспериментом установлено, что в этом случае, при относительной толщине накладки h/a > 16, фактор влияния отличается от фактора влияния для составной плоскости не более чем на 5%.

Рис.10. Изменение фактора влияния в вершине трещины в зависимости от параметра А. для накладок разной толщины, предельные случаи: h/a = со -составная плоскость, h/a = 0 - свободная полуплоскость. Материал подложки - конструкционная сталь. Материал накладки - алюминий. Метод коллокаций.

В работе проведено сравнение полученных результатов с аналогичными результатами, представленными в работах Б.В. Соболя, A.A. Краснощекова. На рис. 11 -изображены кривые фактора влияния N( 1) в случае тонкой накладки для различных материалов. Показано отличие фактора влияния, рассчитанного методом коллокаций в общей постановке задачи и в случае, когда граничные условия заменены специальной математической моделью. Численным экспериментом установлено, что выполненные расчеты совпадают с точностью до 2%.

Рис.11. Расчеты фактора влияния, выполненные методом коллокаций для случая тонкой накладки по общим формулам (сплошная линия) и в случае моделирования накладки специальным условием (пунктирная линия). Подложка - конструкционная сталь. Материал накладки указан на рисунке. Значения геометрических параметров: h = 0.01, а = 0.2.

Проведен анализ влияния толщины накладки на концентрацию напряжений в вершине трещины. Анализ результатов исследования показал, что коэффициент интенсивности нормальных напряжений, а, следовательно, и фактор влияния возрастает в следующих случаях:

- с увеличением размера трещины;

- при приближении трещины к границе раздела материалов;

- с уменьшением толщины накладки.

Исследовано влияние относительной толщины накладки h/a при фиксированных геометрических параметрах трещины ( Я = const ). Установлено, что накладка значительно влияет на уменьшение интенсивности напряжений для больших трещин близких к границе раздела материалов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

В диссертационной работе получено решение научно-технической задачи определения напряженно-деформированного состояния составных элементов крупногабаритных конструкций с внутренними поперечными трещинами, которое позволяет оценить надежность и прочность конструкции.

Перечислим основные итоги представленной работы:

1. Получил развитие метод разрывных решений для задачи о составной упругой полуплоскости, ослабленной поперечной внутренней трещиной, а также для частных случаев задачи:

- задачи об однородной упругой полуплоскости со свободной границей, ослабленной поперечной внутренней трещиной;

- задачи о составной упругой плоскости, ослабленной поперечной внутренней трещиной.

2. Метод разрывных решений позволил свести уравнения равновесия в перемещениях к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом поиск частного решения системы был сведен к решению системы линейных алгебраических уравнений. В результате модификации метода задача сведена к решению сингулярного интегрального уравнения I рода с ядром Коши.

3. Для частных случаев задачи методом малого параметра получены аналитические решения в виде асимптотического разложения по малому параметру X , характеризующему геометрические особенности задачи, отношение полуразмера трещины к расстоянию удаления центра трещины от границы раздела сред. Данные решения позволяют провести качественный и количественный анализ влияния физических и геометрических параметров задачи. Решение задачи для частных случаев является предельными для задачи в общей постановке. Сравнение асимптотических решений сточными численными решениями, полученными методом коллокаций, позволили установить диапазоны эффективности асимптотических решений для различных значений геометрических и физических параметров задачи.

4. Установлено, что рассмотренные задачи об определении напряженно-деформированного состояния упругой полуплоскости со свободной границей, с накладкой конечной толщины, а также задача о составной плоскости относятся к одному классу задач, полученные аналитически интегральные уравнения этих задач имеют одинаковую структуру.

5. Для решения общей задачи использовалась аппроксимация регулярной части ядра интегрального уравнения. В качестве аппроксимирующей функции использована специальная функция, имеющая структуру ядра задачи о составной плоскости с неопределенными коэффициентами. Предложенная структура аппроксимирующей функции обеспечивает необходимую точность и позволяет получить аналитическое решение задачи.

6. В общем случае построено решение задачи методом коллокаций в виде разложения в ряд по полиномам Чебышева, явно учитывающих особенность в окрестности вершины трещины. Проведен анализ сходимости метода коллокаций. Установлено, что точность решения методом коллокаций с увеличением количества узловых точек (восемь - десять - пятнадцать) в среднем не превышает 1%. Поэтому, целесообразно использовать метод коллокаций с восемью узловыми точками.

7. В общем и для всех частных случаев постановки задачи определен коэффициент интенсивности напряжений в окрестности вершин трещины -важнейшая характеристика в механике разрушения.

8. Непосредственные вычисления позволили установить характер влияния различных геометрических и физических факторов на концентрацию напряжений в окрестности вершин трещин. Для составной полуплоскости выполнен анализ зависимости фактора влияния N(z) в вершине трещины. Накладка из более жесткого материала, по сравнению с материалом подложки, в зависимости от ее толщины, может давать величину фактора влияния и больше, и меньше единицы, то есть может быть как сдерживающим фактором, так и усиливающим раскрытие трещины. Установлено, что в случае более жесткой накладки, чем подложка, при ее относительной толщине h/a> 8 , фактор влияния N( 1) задачи о полуплоскости с накладкой отличается от фактора влияния для составной плоскости не более чем на 5%. Аналогичный эффект выявлен и в случае более мягкой накладки, если ее относительная толщина h/a >16. С уменьшением относительной толщины накладки, величина фактора влияния рассматриваемой задачи приближается к величине фактора влияния для случая свободной полуплоскости. Исследовано влияние относительной толщины накладки h/a при фиксированных геометрических параметрах трещины, установлено, что накладка значительно влияет на уменьшение интенсивности напряжений для больших трещин близких к границе раздела материалов.

9. Анализ результатов исследования показал, что К И H возрастает в следующих случаях: с увеличением размера трещины; при приближении трещины к границе раздела материалов; с уменьшением толщины накладки.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ

ПУБЛИКАЦИИ В ЖУРНАЛАХ ИЗ ПЕРЕЧНЯ ВАК РФ

1. Соболь Б.В. Аналитическое решение задачи о равновесной поперечной трещине в составной упругой плоскости/ Б.В. Соболь, Е.В. Рашидова, Е.В. Борисова// Экологический вестник научных центров ЧЭС. -2014. - №4 - С.69 -78.

2. Соболь Б.В. Равновесная плоская трещина с угловыми точками контура в упругом слое/ Б.В.Соболь, Е.В. Рашидова, Е.В. Борисова, С.Б. Петренкова// Вестник ДГТУ. - 2012.-№5 - С. 61-70.

3. Борисова Е.В. Идентификация трещиноподобных дефектов в составных упругих телах сложной геометрии/ Е.В. Борисова, П.В. Васильев //Инженерный вестник Дона, 2014, №; URL: ivdon.ru/magazine/ archive/nly2011/370.

ПУБЛИКАЦИИ В ДРУГИХ ИЗДАНИЯХ

1. Соболь Б.В. Аналитическое и конечно-элементное моделирование тонких покрытий и их влияния на концентрацию моделирования / Б.В. Соболь, А.Н. Соловьев, A.A. Краснощекое, П.В. Васильев, Е.В. Борисова // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: тез. докл. VII Всерос. школы- семинара. - пос. Дивноморское, 28 мая-01 июня 2012. - Ростов н/Д: ЮФУ, 2012. - С. 22-23.

2. Рашидова Е.В. Равновесие составного упругого тела, ослабленного внутренней поперечной трещиной/ Е.В. Рашидова, Е.В. Борисова, Ю.Ф. Рашидова//Равновесие составного упругого тела, ослабленного внутренней поперечной трещиной: сб. науч. трудов всерос. научно-практ. конф. «Теория сооружений: достижения и проблемы», г. Махачкала, 2012-С. 71-80.

3. Соболь Б.В. Задача о поперечной внутренней трещине в составной упругой полуплоскости/ Б.В. Соболь, Е.В. Рашидова, Е.В. Борисова // Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред: труды VIII междунар. конф., 22-26 сент. 2014г., Горис-Степанакерт.-Ереван, 2014. -С. 403-407.

4. Соболь Б.В. Асимптотический анализ ядра интегрального уравнения в задаче о трещине, перпендикулярной границе составного упругого тела/ Б.В. Соболь, Е.В. Рашидова, Е.В. Борисова // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: тез. докл. IX Всерос. школы- семинара. - пос. Дивноморское, 26-30 мая 2014.- Ростов н/Д: ЮФУ, 2014.-С. 26.

5. Соболь Б.В. Концентрация напряжений в вершине трещины вблизи границы раздела би-материала / Б.В. Соболь, Е.В. Рашидова, Е.В. Борисова// Волновые и виброволновые технологии в машиностроении, металлообработке и других отраслях: сборн. трудов междунар. научн. симпоз. технологов-машиностроителей и механиков, 7-10 октября 2014г., г. Ростов-на-Дону. - Ростов н/Д: ДГТУ, 2014. - С. 305-306.

6. Соболь Б.В. Особенности асимптотического анализа ядер интегральных уравнений в системе символьных вычислений Mathematica / Б.В. Соболь, Е.В. Рашидова, Е.В. Борисова// Управление и информационные технологии: материалы Всерос. научн.-техн. конф., 24-25 апр. 2014г., г. Пятигорск / РИА на КМВ. -2014. - С. 6-7.

в печать <¿-5". <9^.2015.

Объем 1,0 усл. п.л. Офсет. Формат 60x84/16.

Бумага тип №3. Заказ № . Тираж 100 экз. Бесплатно.

Издательский центр ДГТУ

Адрес университета и полиграфического предприятия: 344000, г.Ростов-на-Дону, пл. Гагарина,!.