Выделение сингулярности при численном решении задач механики трещин тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГб од

2 1 СЕН

На правах рукописи

Кабо Елена Альбертовна

ВЫДЕЛЕНИЕ СИНГУЛЯРНОСТИ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТРЕЩИН

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-11егербург 1998

Работа выполнена па кафедре "Механика и процессы управления" Санкт-1 lciepóyprcKoro государственного технического университета.

1 (аучнып руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор 13.В. ЕЛИСНПВ

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

В.Р. СКВОРЦОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент В.В. ТИХОМИРОВ

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

Jamu ra диссертации coc í опт ся 1998 г. в "¿Г"

iу

часов на заседании диссертационного совета К.063.38.20 при Санкт-Пегербургском государственном техническом университете по адресу: 195251, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке CI16ГТУ. Автореферат разослан "-J

" C£?¿7¿íZ7lJ\998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандн/им физико-матема! ических наук

В.II. НОСОВ

ОКЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАГ.ОГЫ

Актуальность темы Прочность тел с дефектами определяется поведением самого дефекта. В задачах механики трещин решающее значение при опенке прочности имеют не столько величины напряжении, сколько коэффициенты интенсивности напряжений (КИП) и связанная с ними трещинодвижущая сила. Решение задач механики деформируемого тела для областей с разрезами сопряжено с известными трудностями вследствие наличия особых точек Поэтому эффективное решение большинства подобных задач требует вмешательства современной вычислительной техники с применением мощных численных методов, особенно метода конечных элементов (МКЭ). При этом необходимо учесть сингулярный характер напряжений на фронте трещины Введение специальных (сингулярных) элементов обычно требует сильного сгущения сетки в окрестности вершины трещины или приводит к разрывным перемещениям на границе сингулярных элементов с обычными конечными элементами, те к нарушению незыблемых основ МКЭ. Методы суперпозиции аналитических и конечно-элементных решений эффективны при исследовании дефектов, форму которых можно представить математически. Однако реальные трещиноподобные дефекты в элементах конструкций могут иметь сложную пространственную форму. Поэтому по-прежнему существует потребность в создании метода достоверного расчета КИН с применением МКЭ.

Цель работы. В диссертационной работе ставится задача разработки вычислительной процедуры расчета трещи нодвижущих сил на фронте произвольной трещины при комбинированном нагружении тела с использованием МКЭ и создания программной системы на ее основе.

Методы исследования. Для решения поставленной задачи используются методы механики и численного моделирования. Аналитические изыскания основывакися на положениях классической линейной теории упругости и линейной механики разрушения Численная реализация осущестЕцтяется при использовании МКЭ

Научная новизна определяется следующими результатами, являющимися предметом чащи ш:

1 Предложены новые вариационные постановки задачи лиисйнои механики трещин как модификации принципа Лагранжа с выделением н фчнкционале энергии деформации прифронтовой области, зависящей от КИП

2 Рафабокшы новые методики расчета трещинодвижущих сил с ■ использованием МЮ, обеспечивающие сингулярность напряжений ' без

внедрения специальных элементов в окрестности фронта трещины.

3 Осуществлена численная реализация предложенных алгоритмов.

4 Проведены расчеты параметров механики разрушения для ряда конкретных задач е помощью разработанной программной системы.

Практическая ценность работы заключается в создании и численной реализации нового, более простого метода численного решения задач линейной механики разрушения. Эффективность разработанного подхода расчета трещинодвижущих сил позволяет использовать его для анализа усталостного и докритического роста трещин, в частности, для оценки прочности проектируемых термоядерных установок.

Достоверность результатов проведенных исследований обеспечивается использованием в диссертационной работе строгих положений механики деформируемого твердого тела и корректным применением математического аппарата, согласованностью численных результатов, полученных при помощи предложенных методик расчета, с решениями, полученными традиционными методами, и точными аналитическими решениями.

Апробация работы. Научные результаты и основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийских и Международных конференциях: I и II Международных конференциях "Научио-1схиическис проблемы прогнозирования надежности и долговечности мегалдокопс1р\кций и методы их решения" (Санкт-Петербург, 1995 и 1997), Российской научно-технической конференции "Инновационные наукоемкие 1СХ1ШЛ01 им для России" (Санкт-Петербург, 1995), Международной конференции "Средета мшемашческого моделирования" (Санкт-Петербург, 1997), XVI Международной конференции "Математическое моделирование в механике деформируемых гел Методы граничных и конечных элементов" (Санкт-Петербург. 199Х)

Структура и обт.еч диссертации Диссертация состоит из введения, шести |лав. включения и списка лигературы Диссертационная работа представлена на

142 страницах и содержит 23 рисунка. В список литературы включены 77 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются основные направления работы.

Глава /. Основные положения линейной механики разрушения

Первая глава имеет вводный характер. Она начинается с изложения необходимых понятий и основных положений линейной механики разрушения, включая модельное представление тела с трещиной, асимптотику перемещений и напряжений, критерии развития трещины.

При исследовании трещины в деформируемом твердом теле всегда можно выделить на ее границе фронт — линию, на которой смыкаются берега трещины. Причем под трещиной здесь подразумевается разрез — поверхность внутри тела, на которой вектор перемещений может претерпевать разрыв. Очевидно, что вблизи фронта будет наблюдаться наибольшая концентрация напряжений, и именно здесь будет происходить локальное разрушение материала.

Асимптотические формулы для перемещений и напряжений в окрестности фронта трещины имеют структуру:

где г и 0 — полярные координаты на фронте, #(0), /(0) — комбинации тригонометрических функций, ц — модуль сдвига Те. вблизи вершины трещины поля перемещений и напряжений отличаются лишь постоянным множителем К , зависящим от внешних нагрузок, геометрических размеров тела, расположения и длины трещины.

Следуя Райсу и Друкеру (1967 г), вводится фундаментальное в механике разрушения понятие трещинолвижушей силы, связанной с коэффициентами интенсивности напряжений К,.

и* — г,2£(0) + ..„ О* К Г"|2/(0) + "-,

К

(1)

Формулируется критерий разрушения пока трещннодвижущая сила мала, прочность 1ела обеспечена.

Рассматривается инвариантный шисграл 1'айса(1968 г )

контурч ('. окружающему вершину трещины Доказываются два замечательных свойства, которыми обладает .1-интеграл равенство нулю для всех замкнутых контуров, не охватывающих вершину трещины, и равенство 3 = [ для всех разомкнутых контуров, начинающихся на одном берегу и заканчивающихся на другом

Здесь же выводятся асимптотические представления для не часто встречаемой в литературе задачи о трещине на границе раздела двух сред с разными упругими свойствами. Эта задача представляет интерес для механики разрушения композитных материалов и применительно к клеевым соединениям, а также является идеализацией сварного соединения двух разных тел с изъянами или трещинами вдоль сварного шва.

I! случае плоской деформации известные асимптотические представления для перемещений в окрестности вершины трещины, проходящей на границе раздела двух материалов с различными свойствами, носят странный характер (математически получается перехлестывание берегов трещины, что физически невозможно) Для антиплоской деформации удалось получить асимптотические формулы для перемещений совершенно простого вида.

а формч.ты для напряжений совпадают с формулами в задаче о трещине в однородной среде:

где П=1

I/ /2

\12лг 2

К, . О

А', О

Т,. = «К-

' у/2пг 2

соз- + ... = !

О

Усыновлено также выражение для трещинодвижушей силы

Глава 2. Численные методы расчета коэффициентов интенсивности

напряжении для упругого тела с трещиной с использованием МЮ

При анализе прочности конструкций с трещинами заслуживают внимания три группы методов

1. Асимптотические (прямые) методы, предусматривающие непосредственную подстановку перемещений или напряжений, вычисленных в окрестности вершины трещины, в асимптотические формулы вида (1). Улучшение точности решения при прямом подходе может быть достигнуто за счет следующих операций:

• сгущения сетки конечных элементов у вершины трещины;

• поэтапного решения (сначала находят перемещения на грубой сетке для всего тела, затем выделяют область вокруг вершины трещины, решают задачу вновь при мелком разбиении с граничными условиями, полученными в предыдущем расчете);

• различных процедур экстраполяции К к вершине трещины;

• использования конечных элементов более высокого порядка.

В диссертационной работе должное внимание уделено анализу методов с использованием сингулярных элементов, в которые преднамеренно включены типичные особенности решения. Чаще всего для получения сингулярности напряжений в вершине трещины вводят элементы со сдвинутым промежуточным узлом на 1/4 длины стороны по направлению к вершине. Такие сингулярные элементы со "сдвинутыми" узлами требуют сгущения конечно-элементной сетки в окрестности вершины трещины.

Среди элементов, при построении которых используются асимптотические представления полей напряжений и перемещений, следует отметить так называемые гибридные грешинные элементы. Различают гибридные элементы в перемещениях, основанные на принципе минимума потенциальной энергии и гибридные элементы в напряжениях, полученные на основе принципа минимума дополнительной работы По попытка создания гибрида из асимптотических представлений полей перемещений и напряжений и привычных для МЮ полиномиальных шперполяций приводит к разрывным перемещениям на границе сингулярных элементов с обычными

2. Энергетические методы, основывающиеся на соотношениях между уменьшением пшенниалмшм энергии и коэффициентами интенсивности

напряжении. Обсуждаются вопросы расчета КИП методами податливости, внргуального роста трещины и с помощью интеграла Раиса

В общем случае можно сипаи,, что решение, полученное каким-либо из энергетических методов, поишляет установит!, среднее значение К. Испольювание J-ннтеграла при сравнительно грубых сетках .позволяет получить удовлетворительную точность, если исключить контуры интегрирования, которые находятся в непосредственной близости ог вершины трещины. Но не понятно, как быть в пространственном случае, ведь интеграл Райса введен для плоской задачи.

3. Методы суперпозиции решений, полученных аналитически и с помощью конечно-элементною анализа.

Приверженцы методов суперпозиции отмечают высокую точность и экономичность. Однако эти методы не позволяют исследовать поведение дефектов произвольного очертания, форму которых не удается описать математически. Таким образом, достижение результата требует проявления особой изобретательности.

Представленные в диссертации результаты обзора доступной литературы дают основание сделать вывод о недостаточной корректности и эффективности существующих методов расчета Поэтому остается актуальной проблема разработки и численной реализации метода непосредственного расчета КИН на фронте произвольной трещины при использовании МКЭ. Решение этих вопросов составляет суть диссертационной работы, им посвящены все последующие главы.

Глава 3. 'Экстремальные пришиты с варьированием коэффициентов интенсивности напряжений в задачах линейной механики разрушения

Предлагается модификация вариационного принципа Лафанжа в задачах линейной механики трещин При лом коэффициенты интенсивности рассматриваются как самостоятельные неизвестные. Рассматривается плоская задача статики для линейно-упругого тела с трещиной, нагруженного поверхностными силами пх = /> по части С1' внешней границы и

скрепленного по части г раницы ("' 15 функционале энергии

Э(и, Ka,v)= J n(e)i/S +<?(*„)-\pudl, = и„ (4)

У с

Hi- = + v (по а — суммирование, а = 1, 2 ). (5)

особо выделяется энергия деформации е прифронтовой области S', определяемая по асимптотическим формулам (5)с точностью до трансляции v вершины трещины. Из условия стационарности функционала получены как обычные уравнения теории упругости, так и дополнительные интегральные соотношения:

де/8Ка = ¡N_-x U adl, (6)

с

¡N-ldl = 0 =-N). (7)

Показана минимальность функционала.

Рассматривается вариант постановки задачи с силовыми условиями на границе С" выделяемой области в окрестности вершины трещины:

У с с

Здесь — известные функции из асимптотических формул для напряжений:

1 = 1«*»-

Этот принцип не минимален. Варьирование функционала приводит к системе линейных уравнений относительно неизвестных КИН:

де/дКп = ^Ц-^-иМ. (Ю)

с"

Путем преобразования интегралов в (6) и (10) при введении дополнительного контура С'2 вокруг изначально выделенного контура С\ (Б', — площадь, заключенная между контурами С[ и С, и частями берегов трещины) получены полезные для вычислительных приложений соотношения:

де/ЗК^^-^- Чи^ dS+ х , (П)

■ч с;

де/дКа = + ¡^х^^!. (12)

с; г; г;

Вариационные принципы сформулированы для линейно-упругого тела с трещиной в условиях плоской или антиплоской деформаций. Особое внимание уделяется вариационной постановке пространственной задачи

15 пространственной постановке КИП К, являются функциями дуговой координаты 5, изменяющейся вдоль линии фронта трещины — кривой Г. Фронт трещины, имеющий произвольную конфигурацию, окружен трубкой,

Соотношения / = г (-О и ек =Пхе, = ^. £3 = ^, (...) з ) определяют орт касательной / на Г и вектор кривизны и кручения П. На границе С сечения трубки А вводятся дуговая координата /, орт нормали /V и орт касательной I к С таким образом, чтобы выполнялось равенство /V х / = /.

Получено выражение для потенциальной энергии деформации в объеме трубки V°:

|п(е)с/К = §е{К,)сЬ, е = |п(е) (1 + Гх х )(1А ,

I " I А

где П±=(2-Пг/, с!А=с1х1ск2 —элемент площади.

Для трехмерного тела с трещиной предлагается рассматривать следующий функционал энергии:

Э{и,К,^)= \р исЮ + <$е{К,)с1.ч, (13)

| о' г

Ч\,г = Ч- - К (*)+!:(*)•

Условие стационарности и произвольность вариаций 6К, и 5у порождают интегральные соотношения:

де/дК, = |[Л^ + /х(Пхх)] •т-и,с/1, (14)

г

}[А/ + /Х(Пхх)]-Г£// = 0. (15)

Вариационная постановка пространственной задачи может быть изменена:

Э(ч, К,) = J П (с)dV - J р ■ и d() - |e{Kt) ds +

I I

+ jK.ds + -tidl , u\(). =u. . (16)

i с

Здесь T — известные функции из асимптотических формул для напряжений:

* = К (О (17)

Равенство 8Э = 0 и произвольность вариаций приведет к уравнениям Эйлера, асимптотическим представлениям (17) на контуре С и интегральным соотношениям

де/дК, = J[yV + / х (fi х *)] ■ Г • ud\. (18)

с

Эта вариационная постановка не содержит трансляции фронта трещины v, но принцип не минимален.

В этой же главе исследуется вопрос о корректности предложенной вариационной постановки. Аналитически обосновывается вариационная постановка плоской задачи механики трещин путем доказательства тождественного выполнения нетривиальных равенств (6), (7) и (10) при подстановке в них асимптотических представлений (5) и (9). Аналогично доказывается справедливость вариационной постановки для случая антиплоской деформации.

Но возможен и другой путь аналитического обоснования. Рассматривается задача для круговой области с краевой трещиной (вершина трещины — в центре круга). В качестве области S' вокруг вершины трещины выбирается круг радиуса X На внешней границе CR при г = R задается условие

, I [2/7 . о - , Sl" 2 (,9) т е перемещение на контуре определяет асимптотическая формула при Л', = 1.

На внутреннем контуре С" при г = к ставится условие

I к ,, ,, I ¡21 . 0

u[.,=K,U, U = sin-. (20)

Решение уравнения равновесия и нетривиальная минимизация функционала (13) для области 7^<r<R при условиях (19) и (20) приводят к одному и тому же результату, искомый КИП А", = 1

Таким образом, получено еще одно подтверждение корректности предложенной вариационной постановки.

Глава 4. Методы расчета коэффициентов интенсивности напряжений с учетом сингулярности на фронте

Предложены новые методы расчета трещинодвижущих сил, позволяющие учесть сингулярный характер напряжении на фронте трещины, используя обычный МЮ без введения специальных элементов.

Все методы представлены для задач о плоской и антиплоской деформациях тела с трещиной, а также в трехмерном случае. Обратимся к ним, рассматривая линейно-упругое тело с трещиной в условиях плоской деформации.

На основе вариационной постановки представляется возможной следующая итерационная процедура расчета КИП:

(1) находятся напряжения т в задаче для исходной области 5 = 5"+5' (без

обязательного учета сингулярности);

(2) из системы уравнений (10) (или (6)-(7)) определяются Ка (и V);

(3) решается задача для области 5' с исходными граничными условиями по внешней границе С" +СГ и условием (9) или (5) на контуре С' при полученных на (2) шаге КИН;

(4) по вычисленным т из (10) или (6)-(7) определяются уточненные КИН.

Сходимость разработанного итерационного метода расчета КИН обоснована при достаточно малой окрестности фронта.

Предложен метод суперпозиции решений двух задач с использованием различных вариационных постановок Пользуясь линейностью задачи, состояние нагруженного гела с трещиной, те. перемещения и напряжения в нем, можно представить суперпозицией двух состояний.

и = ¡[п + А', и и , (21)

т= тп + А'.т^. (22)

В методе суперпозиции предполагается решение двух задач. Задача I . Рассматривается тело с трещиной при исходных условиях на внешней границе и условием отсутствия усилий на внутреннем контуре:

V • т =0 на Я", п • т | _ = р , мо|(.„ = и., п ■ т | = 0. (23)

Задача 2. Рассматривается та же область .4", но при отсутствии внешних сил и нулевых перемещениях на внешнем контуре и с усилиями, определяемыми по асимптотическим формулам при единичном коэффициенте интенсивности на внутреннем контуре:

'V-! =0 на .V", • и-т |_г=0, »,, = 0, «• Х„|г, =• (24)

Если разыскиваются оба коэффициента интенсивности, то эта задача решается для каждого К^ в отдельности.

При таком выборе суперпозиции решения (формулы (21) и (22)) КИП определяются решением системы:

де1дК{1 = \Ы-Тг-{и_„ + Каип)сИ. (25)

с

Глава 5. Программная и численная реализация конечно-элементной процедуры решения задач линейной механики разрушения

Реальная вычислительная эффективность алгоритмов установлена для задач о теле с трещиной в условиях плоской и антиплоской деформаций с помощью созданного программного комплекса. В данной главе обсуждаются проблемы численной реализации разработанных методов. Здесь же проводится анализ основных результатов сравнительного тестирования традиционного и новых подходов расчета КИП при различных параметрах конечно-элементных моделей, даются практические рекомендации по вопросам численного интегрирования.

В качестве проверки точности и надежности предлагаемого подхода и работоспособности программы был рассмотрен ряд задач, решенных численно и аналитически Приведем результаты тестовых расчетов тех задач, решение которых осуществлялось для области, половина (или четверть, в зависимости от граничных условий и расположения трещины) которой схематически изображена на рис. 1. Подобласть 5" представляет собой окружность радиуса /?. Трещина (или половина трещины) имеет длину / и расположена вдоль оси .V. Вычисления проводились на сетках, содержащих от 144 до 576 конечных элементов. Характерная для тестовых примеров конечно-элементная сетка и окрестности вершины трещины представлена на рис. 2. За исключением последней задачи геометрию определяют Ь = 10см, / = 0.5 см, И = 10 см В

таблице прицелены результаты при пяти значениях К/1 лля следующих тестовых задач

1 Антиилоская задача о чистом сдвиге бесконечной области с цен тральной трещиной. Известно точное значение КИП К,=х^к1 При конечно-элементной процедуре решения задачи выбиралось т = 100 кг/см2.

2 Антиилоская задача для области с краевой трещиной, точное решение которой определяют асимптотические представления. В численном эксперименте на контуре ЕРОА (см рис. 1) задавались перемещения по асимптотической формуле при К, = т (т= 100 кг/см2)

3 Плоская задача о сдвиге бесконечной среды с центральной трещиной В этой задаче точное решение К, = Ту[к~1, А", = 0. Задавалось т = 100 кг/см2.

4. Плоские задачи для области с краевой трещиной, точное решение которых дается асимптотическими формулами. Решаются численно две плоские задачи, в первой из которых К, = 1, К2 =0, а во второй К1 =0, К2 = 1 при

граничных условиях' г/1_____=и,, г/, =0, т„ =0 (задача 4.1) и ч\,,,. =11,,

' - — 4:111.1 —I \Dl-_ " 1/)А 1/-/(|| —2'

1/..1, =0,о,1 = 0 (задача 4.2).

Ч/'/ '!/)/

5 Плоская задача о растяжении узкой полосы с краевой трещиной. Геометрические характеристики таковы. Л = 60см, I = 2 см , Ь = 6см.

Поставлены граничные условия: мг| =0, = ст (о = 100 кг/см2).

Относительная ошибка в определении КИП новым методом заключена в пределах от -1 86 % до +0.41 %, традиционный метод дает разброс от +0.21 % до +4 89 % Таким образом, при всех возможных недоработках численного воплощения предложенный подход выделения сингулярности позволяет получать приемлемые результаты без сгущения конечно-элементной сетки экономичным с точки зрения затрат машинного времени способом

Рис I. Область, рассматриваемая при численном решении задач

_________- . ___^_________!-------.--- . .

Ю сетка в окрестности вершины трещины

Рис. 2. Конечно-элементная сетка для те сто вой задач и

№ кл К с использованием интегральных соотношений К но методу суперпозиции К,р с помощью .[-интеграла

Значение, кг/см12 Огносит ошибка, % Значение, кг/см12 Относит ошибка, % Значение, кг/см12 Относит ошибка, %

1 0,01 124,28 -0,84 125,24 -0,07

0,02 124,42 -0.73 125,24 -0,07

0,03 124,85 -0,38 125,24 -0,07

0,05 124,95 -0,30 125,24 -0,07

0,10 125,04 -0,23 125,24 -0,07

2 0,01 99,24 -0,76 100,01 0,01

0,02 99,54 -0,46 100,01 0,01

0,03 99,68 -0,32 100,01 0,01

0,05 99,72 -0,28 100,01 0,01

0,10 99,85 -0,15 100,01 0,01

3 0,01 123,35 -1,58 125,15 -0,14 126,85 1,21

0,02 124,64 -0,55 125,45 0,10 126,86 1,22

0,03 124,98 -0,28 125,53 0,16 126,85 1,21

0,05 125,03 -0,24 125,68 0,28 126,87 1,23

0,10 125,42 0,07 125,84 0,41 126,84 1,20

4.1 0,01 98,90 -1,10 100,02 0,02 100,69 0,69

0,02 99,41 -0,59 100,02 0,02 100,54 0,54

0,03 99,10 -0,90 100,04 0,04 100,52 0,52

0,05 99,77 -0,23 100,06 0,06 100,51 0,51

0,10 99,82 -0,18 100,06 0,06 100,53 0,53

4.2 0,01 98,71 -1,29 99,77 -0,23 104,39 4,39

0,02 98,77 -1,23 99,78 -0,22 104,89 4,89

0,03 99,04 -0,96 99,78 -0,22 104,78 4,78

0.05 99,35 -0,65 99,77 -0,23 104,76 4,76

0,10 99,84 -0,16 99,77 -0,23 104,73 4,73

5 0,01 439,56 -1,81 444,56 -0,70 448,67 0,22

0,02 439,56 -1,81 444,56 -0,70 448,59 0,20

0,03 440,87 -1,52 442,93 -1,06 448,61 0,21

0,05 441,49 -1,40 441,55 -1,37 448,68 0,22

0,10 440,78 -1,54 439,37 -1,86 448,64 0,21

В заключении перечислены основные результаты работы, которые и выносятся на защиту.

1. Предложена модификация вариационного принципа минимума потенциальной энергии для линейно-упругих тел с трещинами. Коэффициенты интенсивности напряжений представлены как независимые переменные. В функционале особо выделена энергия деформации прифронтовой области, зависящая от коэффициентов интенсивности. Из условия стационарности функционала наряду с уравнениями Эйлера получены дополнительные интегральные соотношения. Вариационная постановка выведена для плоской, антиплоской и пространственной задач Все указанные задачи рассмотрены и в случае задания по асимптотическим представлениям силового граничного условия на внутреннем контуре в окрестности вершины трещины (на поверхности прифронтовой трубки в пространственной постановке)

2. Получено аналитическое обоснование вариационной постановки для задач о плоской и антиплоской деформации тела с трещиной.

3. Разработаны новые методики расчета трещинодвижущих сил с использованием МКЭ без введения каких-либо специальных элементов, обеспечивающие необходимый учет сингулярности на фронте трещины и не усложняющие обычную процедуру конечно-элементного анализа. Обоснована сходимость итераций при достаточно малой области, выделяемой в окрестности фронта трещины.

4. Осуществлена численная реализация алгоритмов, разработанных на основе предложенных вариационных принципов. Создана программная система расчета параметров механики трещин, позволяющая получать приемлемые результаты при минимальных затратах

5. Проведено сравнительное 1естирование традиционных и новых методик расчета КИИ с помощью разработанной программной системы анализа работоспособности элементов конструкций с трещинами. Реальная практическая эффективность разработанных программ подтверждается их успешным использованием в учебных и научно-практических целях в лаборатории "Компьютерные технологии в механике" при Санкт-Петербургском государственном техническом универешеге

Основные материалы диссертации отражены в следующих

он) бл и кованных работах:

1 Елисеев В В., Кабо I- Л. Применение новых вариационных принципов при численном решении задач механики разрушения. — Доклады I Международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлоконструкций и методы их решения" Санкт-Петербург, 28-30 ноября 1995 г. — СПб : СПбГТУ. 1995 —С. 55-56.

2 Елисеев ВВ., Кабо Е.А. Новый вариационный подход к решению пространственной задачи механики разрушения. Доклады II Международной конференции "Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности металлоконструкций и методы их решения". Санкт-Петербург. 18-20 ноября 1997 г. —СПб.: СПбГТУ, 1997 — С. 34-35.

3 Кабо Е.А. Численный метод для упругих тел с трещинами с выделением сингулярности. Тезисы докладов Российской научно-технической конференции "Инновационные наукоемкие технологии для России". Санкт-Петербург, 25-27 апреля 1995 г. — СПб: СПбГТУ, 1996 —С. 77

4 Елисеев ВВ., Кабо Е.А., Орлов С.Г. Вариационные постановки и суперпозиция в линейной механике трещин. Доклады XVI Международной конференции "Математическое моделирование в механике деформируемых тел Методы граничных и конечных элементов". Санкт-Петербург, 23-26 июня 1998 г.

5 Eliseev V.V., Kabo Е.А. A new variational formulation of the three-dimensional fracture mechanics problems. Proceedings of the Symposium on Inelasticity and Damage in Solids Subject to Microstructural Change. St. John's, Newfoundland, Canada, 3-6 September, 1996.

6 Eliseev V.V., Kabo E.A. Extreme principle of the three-dimensional crack mechanics problem with stress intensity factors varying. Proceedings of the International Conference on Tools for Mathematical Modelling. Saint-Petersburg, 3-6 December, 1997. — Saint-Petersburg: SI'bSTU, 1998. — C. 36-41



САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 531

Кабо Елена Альбертовна

ВЫДЕЛЕНИЕ СИНГУЛЯРНОСТИ ПРИ ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ТРЕЩИН

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Елисеев В В.

Санкт-Петербург 1998

Содержание

Введение...........................................................................................................4

Глава 1. Основные положения линейной механики разрушения...........8

1.1. Постановка задачи о трещине в однородном упругом теле........8

1.2. Поля напряжений и перемещений вблизи фронта трещины. Коэффициенты интенсивности напряжений................................9

1.3. Критерии прочности....................................................................14

1.4. Трещинодвижущая сила и критерий развития трещины...........17

1.5. Интеграл Райса и его связь с трещинодвижущей силой............20

1.6. Трещина на границе раздела двух сред......................................25

Глава 2. Численные методы расчета коэффициентов интенсивности напряжений для упругого тела с трещиной с использованием МКЭ..................................................................33

2.1. Конечно-элементный анализ в статической линейной упругости.......................................................................................33

2.2. Изопараметрические конечные элементы..................................38

2.3. Асимптотические (прямые) методы............................................44

2.4. Энергетические методы...............................................................54

2.5. Методы суперпозиции и альтернирования.................................60

Глава 3. Экстремальные принципы с варьированием

коэффициентов интенсивности напряжений в задачах линейной механики разрушения................................................65

3.1. Плоская деформация....................................................................65

3.2. Антиплоская деформация............................................................70

3.3. О вычислении интегралов...........................................................72

3.4. Пространственный случай...........................................................76

3.5. К обоснованию вариационной постановки................................83

Глава 4. Методы расчета коэффициентов интенсивности

напряжений с учетом сингулярности на фронте......................92

4.1. Итерационный алгоритм.............................................................92

4.2. Обоснование сходимости итерационного алгоритма................94

4.3. Метод суперпозиции....................................................................96

Глава 5. Программная и численная реализация конечно-элементной процедуры

решения задач линейной механики разрушения...................101

5.1. Архитектура программной системы.........................................101

5.2. Проблемы численного интегрирования....................................104

5.3. Результаты сравнительного тестирования традиционного и новых методов расчета

коэффициентов интенсивности напряжений............................113

Заключение..................................................................................................130

Список литературы.....................................................................................132

Введение

Теория разрушения занимает особое место в механике деформируемого твердого тела.

Многочисленные разрушения конструкций и сооружений при напряжениях значительно меньше расчетных подтверждают недостаточность классических представлений о прочности как о постоянной материала. Поэтому в исследованиях прочности появилось направление, в основе которого лежит детальное изучение самого процесса разрушения. Согласно этому подходу, поскольку разрушение происходит в результате развития реальных дефектов, при оценке прочности нужно учесть имеющиеся в теле трещины и определить их влияние на прочность.

Явление разрушения изучается с разных позиций, в частности, с позиций механики сплошной среды. Настоящая работа основывается на положениях линейной механики разрушения, связанной с изучением состояния тел с трещинами в предположении о том, что материал сохраняет свойство линейной упругости вплоть до разрушения во всем объеме тела, за исключением, быть может, небольшой окрестности вершины трещины.

Но, считая материал сплошным, однородным, упругим и пользуясь аппаратом линейной теории упругости, мы приходим к парадоксальному выводу о том, что напряжения по мере приближения к вершине трещины растут неограниченно. Этот парадокс служит расплатой за простоту, связанную с распространением линейной теории упругости на область, в которой она заведомо не верна. Но простая и лаконичная теория позволяет решать задачи для тел с трещинами сложной конфигурации. Так не будем ругать ее за кажущиеся недостатки!

В первой главе данной работы излагаются необходимые понятия и основные положения линейной механики разрушения: модельное представление тела с трещиной, асимптотика перемещений и напряжений, критерии развития трещины. Выдвигается основной тезис: прочность тела с дефектом определяется не столько величиной напряжений, сколько поведением самого дефекта. Вводится фундаментальное понятие в механике разрушения — понятие трещинодвижущей силы. Формулируется критерий разрушения: пока трещинодвижущая сила достаточно мала, прочность тела обеспечена. Рассматривается интеграл Райса, не зависящий от пути интегрирования, и его связь с трещинодвижущей силой. Здесь же выводятся асимптотические представления для не часто встречаемой в литературе задачи о трещине на границе раздела двух материалов с разными упругими свойствами.

Решение задач механики деформируемого тела для областей с разрезами связано с известными трудностями вследствие наличия особых точек. Поэтому эффективное решение большинства подобных задач требует вмешательства современной вычислительной техники. Среди численных методов решения задач механики разрушения в настоящее время наиболее широкое распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). При анализе поведения конструкций с трещинами заслуживают внимания три группы методов:

• методы с использованием сингулярных элементов, в которые преднамеренно включены типичные особенности;

• энергетические методы, основывающиеся на соотношениях между уменьшением потенциальной энергии и коэффициентами интенсивности напряжений;

• методы суперпозиции решений, полученных аналитически и с помощью конечно-элементного анализа.

С кратким обзором этих и некоторых других возможных подходов и свойственных им проблемах можно ознакомиться, обратившись ко второй главе.

Представленные в диссертации результаты обзора доступной литературы дают основание сделать вывод о недостаточной корректности и эффективности существующих методов расчета. Поэтому остается актуальной проблема разработки и численной реализации метода непосредственного расчета коэффициентов интенсивности напряжений на фронте произвольной трещины с использованием МКЭ. Решение этих вопросов составляет суть диссертационной работы, им посвящены все последующие главы.

В главе 3 предлагается модификация вариационного принципа Лагранжа в задачах линейной механики трещин. Коэффициенты интенсивности напряжений рассматриваются как самостоятельные неизвестные. Вклад области вокруг фронта трещины представляется отдельным слагаемым в функционале. Варьируются не только перемещения, но и коэффициенты интенсивности. Из условия стационарности функционала получены как обычные уравнения теории упругости, так и дополнительные интегральные соотношения. Сформулированы вариационные принципы для линейно-упругого тела с трещиной в условиях плоской или антиплоской деформаций. Особое внимание уделяется вариационной постановке пространственной задачи. Рассматривается вариант постановки задач с заданием силовых условий на границе выделяемой области в окрестности фронта трещины.

Завершает эту главу доказательство корректности предложенной вариационной постановки. Аналитически обосновывается вариационная постановка плоской и антиплоской задач механики трещин.

В главе 4 рассматривается новый подход, эффективный для численного решения задач линейной механики трещин, позволяющий учесть сингулярный характер напряжений на фронте трещины, используя обычный МКЭ без введения специальных элементов. Вниманию читателя предлагаются разработанные методы расчета трещинодвижущих сил: итерационный метод с обоснованием сходимости при достаточно малой окрестности фронта и метод суперпозиции с использованием различных вариационных постановок.

Реальная вычислительная эффективность алгоритмов установлена для задач о теле с трещиной в условиях плоской и антиплоской деформаций с помощью созданного программного комплекса. Проблемы численной реализации разработанных методов обсуждаются в пятой главе. Здесь же проводится анализ основных результатов сравнительного тестирования традиционного и новых методов расчета коэффициентов интенсивности напряжений при различных параметрах конечно-элементных моделей, даются практические рекомендации по вопросам численного интегрирования.

Глава 1

Основные положения линейной механики разрушения

1 Л. Постановка задачи о трещине в однородном упругом теле

Определим математическую модель трещины. При рассмотрении трещины в деформируемом твердом теле можно всегда выделить на ее границе фронт — линию, на которой смыкаются берега трещины. Очевидно, что вблизи фронта будет наблюдаться наибольшая концентрация напряжений, и именно здесь будет происходить локальное разрушение материала.

С точки зрения постановки и решения задачи теории упругости берега трещины играют роль дополнительной границы тела, причем из-за малости расстояния между берегами реальную трещину можно рассматривать как математический разрез, т.е. полость нулевого объема, ограниченную двумя геометрически совпадающими поверхностями — берегами разреза.

V/ V» ЧУ

Отметим, что прямолинейный туннельный разрез в неограниченном теле или сквозной разрез в тонкой пластинке является основным идеализированным образом реальной трещины [20], так как в произвольной малой окрестности точки фронта трещину можно рассматривать как плоскую с прямолинейным фронтом. Следовательно, изучение напряженно-деформированного состояния в окрестности любой точки фронта трещины можно проводить в рамках плоской или антиплоской задач теории упругости.

Трещины хрупкого разрушения можно представлять как поверхности разрыва вектора смещений и [24]. Вообще говоря, на такой поверхности все три компоненты этого вектора могут претерпевать разрыв. Исходя из этого, выделяются три вида независимых кинематических движений верхней и нижней поверхностей трещины по отношению друг к другу. Самый общий случай полей деформаций и напряжений у кончика трещины можно получить путем взаимного наложения напряжений следующих частных видов плоской и антиплоской деформаций (рис. 1.1).

Вид I связан с отрывным смещением, при котором поверхности трещины симметрично расходятся одна от другой относительно плоскости, в которой была расположена трещина до деформации. Вид II соответствует перемещениям, при которых поверхности трещины скользят друг по другу в одной плоскости, но в противоположных направлениях. III вид связан с антиплоской деформацией, при которой одна поверхность скользит по другой параллельно фронту трещины.

1.2. Поля напряжений и перемещений вблизи фронта

трещины. Коэффициенты интенсивности напряжений

Для определения компонент напряжений и перемещений на границе трещины принято выбирать систему координат как на рис. 1.2: ось у перпендикулярна плоскости трещины, а оси х, г принадлежат касательной плоскости (х перпендикулярна контуру трещины, а г направлена по касательной к фронту).

Рис. 1.1. Основные виды смещений поверхностей трещины:

I - нормальный отрыв,

II - поперечный сдвиг,

III - продольный сдвиг

Рис. 1.2. Система координат у фронта трещины

У

Рис. 1.3. Два положения фронта трещины при определении трещинодвижущей силы

Построению асимптотических представлений вблизи края трещины посвящали свои труды многие специалисты [8, 15, 18, 21, 22, 24, 36, 64, 72]. Но, к сожалению, не часто можно встретить в литературе безошибочные формулы, описывающие распределение напряжений и перемещений в окрестности фронта трещины. Поэтому приведем их, сославшись на [8], а также результаты их аналитического вывода различными способами.

Для трещины 1 типа (трещины отрыва или нормального разрыва) асимптотические формулы для напряжений и перемещений в полярных координатах гиб имеют вид:

а:,

о, =

о.

л/2 тиг

К,

е

,-СОБ

Л/271 г 2

V

0 . 30^

— БШ —

2 2)

0 . 30^|

— БШ —

2 2;

К

8 0

30

Л

БШ — СОБ — СОЗ--1- ...,

пг 2 2 2

= У(СТ V + а V ) '

(1-1)

Кх \ г 0

иг = —LJ— соэ — ц\2л 2

1-2У + 81П -

К,

=

81П

V 0 ^

ц. v 271 2

2 - 2у - соэ2

V

0 2

+....

+...

(1.2)

и2 = 0.

Для трещины II типа (трещины поперечного сдвига)

к, . е

Л/27С г 1

\ е зе^

2 +cos—cos — 2 2 j

а

К,

е . е 39

- ,----cos — sin — cos--К..,

1 y[2nr 2 2 2

AT,

e

* 2

\ . 0 . 30^ 1-sin—sin — 2 2

(1.3)

x. =x, =0,

xz vz

az = v(ax + a>,);

K? r . 0

uY = —J—sin— ц, \ 2тс 2

f ел

2-2v + cos2 —

v 2,

u.

K,

cos

0

(

¡а V 271 2

и =0.

2v-l + snr

2

+...,

(1.4)

Формулы записаны для случая плоской деформации, ц — модуль сдвига, v — коэффициент Пуассона. Многоточия стоят вместо слагаемых, которые пренебрежимо малы по сравнению с выписанными.

Для трещины III типа (трещины продольного или антиплоского сдвига)

К, . 0 л/2л;г 2

К, в Tvz= cos — + ...,

л/2717* 2

<*х = а у = = = 0;

(1.5)

v

К, í27 . в

и =—-—sin —+ ...,

ц V л 2 (1 6)

их - и = 0.

Три параметра К]7 К2, Кг называются коэффициентами интенсивности напряжений для трех указанных выше видов деформаций.

Все выписанные формулы имеют одинаковую структуру:

К -j=/(9) + ...,

л/ г

и « — л[г g(Q) +...

й

Вблизи вершины трещины каждого вида поля перемещений и напряжений могут отличаться только постоянным множителем К, зависящим от внешних нагрузок, геометрических размеров тела, расположения и длины трещин. Распределение же напряжений и смещений по радиальной и угловой координатам всегда одинаково. Коэффициенты интенсивности напряжений имеют размерность силы, деленной на длину в степени три вторых.

Таким образом, коэффициенты K¡ определяют интенсивность напряжений и играют существенную роль в определении прочности при хрупком разрушении твердых тел с трещинами.

1.3. Критерии прочности

Расчет тела на прочность неразрывно связан с определением его

напряженного состояния. Это необходимо не только в целях нахождения

опасной точки и компонент напряженного состояния в ней, но и для

суждения о прочности материала в этой точке, так как большинство

14

критериев наступления опасного состояния выражается именно через компоненты напряженного состояния. Для многих тел и схем нагружения определение напряженного состояния в опасной точке сводится к вычислению коэффициентов концентрации напряжений [19]. Эти коэффициенты представляют собой отношение максимального значения какой-либо компоненты тензора напряжений к соответствующему номинальному значению и, таким образом, выражаются безразмерными числами.

При наличии в теле трещины для суждения о характере ее распространения и тем самым для суждения о прочности также необходимо знание напряженного состояния. Задача определения напряженного состояния около конца трещины отличается от обычных задач определения концентрации напряжений тем, что геометрически линеаризованная постановка краевых условий и физически линейная теория упругости приводят к бесконечным напряжениям в вершине трещины. При этом понятие коэффициента концентрации напряжений теряет смысл. Разумеется, можно было бы попытаться сохранить числовое безразмерное значение посредством учета сложных детальных особенностей деформации материала у конца разреза. Однако для решения задач о трещине совсем не обязательно интересоваться детальными процессами, происходящими в весьма малой окрестности конца разреза. Достаточно знать характер и интенсивность напряженного состояния в области, окружающей вершин) трещины, где сосредоточен механизм разрушения. Это означает решительный отказ от использования коэффициента концентрации напряжений в пользу асимптотического представления напряженного состояния вблизи фронта трещины.

Для суждения о прочности тела недостаточно располагать решением задачи о концентрации напряжений вблизи дефекта. Необходимы еще и

критерии прочности. Процесс разрушения складывается из двух стадий — зарождения трещины и ее распространения, причем каждая из этих стадий подчиняется своим законам. Естественно, что среди критериев прочности одни описывают условия зарождения трещины, а другие — условия их распространения. Критерии первой группы характеризуют условие наступления опасного состояния в точке в рассматриваемый момент (классические теории прочности), для критериев второй группы характерно исходное утверждение о наличии трещины в теле (они и находятся в сфере наших интересов).

Критерий начала распространения трещины (или критерий разрушения), являющийся фундаментом механики разрушения, н