Исследование сингулярных полей напряжений в конструкциях соединений из разнородных материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Зорнина Наталья Александровна

ИССЛЕДОВАНИЕ СИНГУЛЯРНЫХ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ В КОНСТРУКЦИЯХ СОЕДИНЕНИЙ ИЗ РАЗНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Специальность: 01.02.04—Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г в ноя гт

Санкт-Петербург 2013

005540524

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» на кафедре Сопротивление материалов.

Научный руководитель: Фёдоров Александр Сергеевич,

д. т.н. профессор, профессор СПбГМГУ

Официальные оппоненты:

Рябов Виталий Михайлович,

д.т.н., главный научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный

центр»

Ривкинд Виктор Нохимович

ктн., старший научный сотрудник ФГУП «ЦНИИ КМ «Прометей»

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Московский авиационный

институт» г Москва

Защита состоится «17» декабря 2013 г. в 16-00 часов на заседании диссертационного совета Д 212228.02 при Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете по адресу: 190008, г. Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д.З, ауд.А-313.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Автореферат разослан « Щ » ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

Кадыров Сергей Газимурович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Постановка задачи.

Разрушение конструкции начинается с мест с сильной концентрацией напряжений. Особо опасными являются области, в которых напряжения оказываются сингулярными, все компоненты напряжений или некоторые из них стремятся к бесконечности. Практическая значимость исследования этих областей состоит в том, что окрестность сингулярных точек является зоной бесконечной концентрации напряжений. Сингулярные области различного типа встречаются достаточно часто, например, ими являются предельно острые надрезы и трещины.. В работе изучаются сингулярности, появляющиеся на поверхностях, по которым сопрягаются элементы конструкций, выполненный из материалов с существенно отличающимися упругими свойствами. Условия совместности деформаций приводят к тому, что на контурах сопрягаемых поверхностей стремятся к бесконечности (прежде всего) касательные напряжения. Изучению таких областей посвящена эта работа.

Большие напряжения вызывают большие деформации, которые существенно меняют геометрию сингулярных областей и их окрестностей. Поэтому исследование необходимо выполнять в геометрически нелинейной постановке. Геометрически нелинейные эффекты могут радикально изменить условия деформирования материала и характер зарождающегося здесь разрушения. Вплоть до того, что в некоторых условиях сингулярность может и не возникнуть. Разработка методов, позволяющих избежать появления сингулярных областей необходима для создания эффективных конструкций.

Решению различных аспектов вопроса нахождения путей ликвидации областей сингулярных напряжений посвящены работы авторов: Новожилова В.В., ПартонаВ.З., Нифагина В.А., Пальмова В.А., Лалина В.В., Зданчука Е.В., Харлаба В.Д., Нифонтова В.А., Леонова A.B., Матвеенко ВН., Пламеневского Б.А., Мазьи В Р. В работах показано, что к анализу сингулярных областей существуют разные подходы, основанные на механике трещин, критерии хрупкого разрушения, моментной теории упругости.

Целью проводимого исследования является разработка аналитических и численных методов исследования напряженного состояния в окрестности сингулярных точек и поиск путей ликвидации сингулярности и существенного снижения концентрации напряжений.

Объектами исследования являлись:

- Стержень, закрепленный на абсолютно жестком основании в качестве базовой модели, отражающий характерные стороны явления.

- Соединения элементов конструкции, выполненных из разнородных материалов с сильно отличными упругими свойствами, в которых возможно возникновение бесконечных напряжений и нарушение закона парности касательных напряжений.

Задачей является разработка нового метода ликвидации областей конструкции с сингулярными напряжениями и снижение концентрации напряжений.

Новизна научных результатов.

- На примере простой задачи показано, что сингулярность может быть ликвидирована путем изменения геометрии сопряжения двух соединяемых поверхностей.

- Показано, что геометрически нелинейные эффекты, в частности, сдвиги, возникающие под действием касательных напряжений, в ряде случаев формируют такие изменения геометрии, при которых сингулярность не возникает.

Положения, выносимые на защиту.

Сингулярности поля напряжений могут бьпь устранены незначительным изменением геометрии.

- Установлено, что существуют такие углы сопряжения элементов конструкции, при которых исчезают области бесконечных напряжений и области, в которых в исходной конструкции нарушался закон парности касательных напряжений.

- Геометрически нелинейное моделирование деформирования конструкции позволило установить, что в ряде случаев необходимые углы сопряжения образуются автоматически в результате деформации сдвига, вызванных высокими касательными напряжениями.

Достоверность положений, результатов и выводов подтверждается.

- Использована теоретически аргументированная и апробированная процедура и программа решения геометрически нелинейных задач методом конечных элементов.

Личный вклад автора.

При непосредственном участии автора выполнялись расчетные исследования, производилась обработка и анализ данных, а также их интерпретация. Разработанная методика может быть применена для узлов соединения с сильно отличающимися упругими свойствами материалов.

Апробация результатов работы.

Основные положения работы докладывались на следующих научных семинарах и конференциях: XVIII Международная научно-техническая конференция «Системный анализ, управление и навигация» (г. Евпатория, 1.07-7.07, 2013г); XVII Международная научно-техническая конференция «Системный анализ, управление и навигация» (г. Евпатория, 29.06-5.07, 2012г); «ВСЖОР-2012г» I ЦНИИ МО РФ; П научно-техническая конференция молодых специалистов «Старт в будущее», посвященная 50-летию полета Ю.А.Гагарина в космос ОАО «КБСМ»; конференция по строительной механике корабля, посвященная памяти профессора П.Ф. Папковича (ФГУП «Крыловский государственный научный центр», 2012 г); 1-я молодежная межрегиональная научно-техническая конференция «Современные методы и системы ЗБ

проектирования и автоматизации конструкторско-технологической подготовки производства» (г. Северодвинск, 2010 г).

Публикации.

Всего по теме диссертации опубликовано 9 научных работ. Из иих 2 научные работы выполнены без соавторства, авторская доля в остальных работах составляет 50%. В изданиях, рекмендованных перечнем ВАК, опубликованы 3 статьи, все в соавторстве. Авторская доля участия составляет 50%.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы. Основной материал изложен на 97 страницах текста и содержит 60 рисунков. Список использованной литературы включает в себя 85 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАКОТЫ

Во введешш обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы задачи и цель исследования и приведен сравнительный анализ результатов научных работ, изданных ранее по выбранной теме. Отмечены практическая значимость и новизна работы.

Примером соединения элементов с отличающимися упругими свойствами является упругий стержень, жестко закрепленный по одному из торцов на бесконечно жестком основании (Рисунок 1). Касательные напряжения при приближении к контуру стремятся к бесконечности, на боковой поверхности стержня все напряжения, в том числе касательные, равны нулю. Такие ситуации возникают и в тех случаях, когда стержень и основание обладают конечной жесткостью, но их упругие свойства значительно отличаются. Развиваемый в работе подход к сингулярности состоит в том, что всякая сингулярность должна быть ликвидирована, поскольку бесконечных напряжений никакой материал выдержать не может.

В диссертационной работе исследуется случай нарушения закона парности касательных напряжений, влекущий возникновение сингулярности в области концентратора напряжений, возникающем на фанице материалов с существенно различными упругими свойствами. Под сишулярностыо в данной работе понимается появление особых точек, в которых при исследовании напряженною состояния все компоненты напряжений стремятся к бесконечности, вместе с напряжениями к бесконечности стремятся и деформации, в результате чего граничные условия в исследуемой области выполняться не могут.

В качестве базовой выбрана задача о нагружении осевой силой упругого круглого цилиндрического стержня, закрепленною на абсолютно жестком основании.

В первом главе анализируются особенности геометрически линейного и геометрически нелинейного подхода к решению поставленной задачи.

В первом разделе главы приведены используемые в работе соотношения линейной теории упругости. В основе исследования лежат предположения о

Рис. 1. Базовая модель

малости деформаций и поворотов. В силу теоремы о существовании единственности линейной теории упругости, решение должно существовать. В работе оно строится, методом конечных элементов, без применения специальных

сингулярных элементов, подобных тем, которые используются в задачах механики трещин.

Осесимметричная задача решается в цилиндрической системе координат. Определение напряжений в теле вращения, загруженном симметрично относительно оси, сводится к нахождению упругих перемещений в направлении осей гиг, которые должны удовлетворять граничным условиям на поверхности тела.

Во втором разделе описаны основные зависимости геометрически нелинейного подхода, позволяющего получить решение поставленной задачи для всего объема нагружаемого тела. Перемещения точек тела соизмеримы с его размерами; деформации и повороты не являются малыми, условия равновесия выполняются в деформированном состоянии тела.

Уравнения, описывающие движение тела записываются в приращениях и интегрируются численно, пошагово методом конечных элементов. Па каждом шаге нагружения за отсчетную конфигурацию принимается текущая конфигурация в конце предыдущег о шаги Па первом шаге отсчетная конфигурация совпадает с начальной. Пространственные координаты пересчитываются на новую отсчетную конфигурацию с учетом произошедших перемещений.

Малые приращения деформации определяются по отношению к текущей конфигурации. Компоненты тензора приращения деформаций представляют собой отношение приращений длин тех векторов, которые в текущей конфигурации параллельны пространственным координатным осям к их длинам в текущей конфигурации, а приращения сдвиговых деформаций определяются как изменение прямого угла между векторами, взаимно перпендикулярными в отсчетной конфигураггии. (если материальные оси не поворачиваются, то интегрирование тензора приращений деформаций приводит к тегаору логарифмических деформаций).

Физические соотношения принимаются линейными в приращениях: приращения компонентов тензора деформаций связагго закоггом Гука с приращениями тензора напряжений. Такие соотношения описывают упругое тело, если эти тензоры являются энергетически сопряженными. С используемым в работе тензором нрирагцений деформаций энергетически сопряжегг тензор напряжений Кирхгофа, связанный с тензором напряжений Коши соотношением:

^ ОУ = {ок"пх ) , где ./-коэффициент кратности изменения объема.

Во второй главе приводится конечно-элементное представление решения задачи в геометрически линейной и геометрически нелинейной постановках, предложенное в работах A.C. Федорова.

Принцип возможных перемещений позволяет установить эквивалентность между напряжениями и узловыми силами. Узловые усилия, действующие на конечный элемент, связаны с напряжениями формулой:

(R) = l[B]r-(ö)-dv , (1)

где (с) -матрица столбец, составленная га компонентов тензора напряжений, [ Z?]

содержит координаты узловых точек элемента.

Если задача решается в приращениях, то соотношение (1) должно быть продифференцировано. В геометрически нелинейной задаче следует учесть, что [ß]T содержит координаты узловых точек элемента. Приращение координат узлов

тождественны приращениям перемещений узлов. Отсюда следует соотношение:

И)=

(2)

которое преобразуется к виду: [С] = [Слин + СНЕЛШ ]. (3)

Линейное слагаемое этой формулы образуется из первого слагаемого формулы (2), а нелинейное - из второго слагаемого.

В конце шага координаты узловых точек пересчитываются с учетом перемещений, которые произошли на этом шаге.

- При пошаговом нагружении нужны соотношения, связывающие приращения узловых сил с приращениями перемещений. Приращение нагрузок на шаге предполагается малым, допускающим приведение уравнения деформирования к линейному виду.

17- чЛ

\_СнЕЛ ] —

fri ~дв~

д

•G +

[*1

du

(du)>

{сК)={[Слин}+[Сншин})-{с1и),

где [С] - матрица жесткости в геометрически нелинейной задаче, коэффициенты которой меняются от шага к шагу в результате изменения координат узлов, размеров, формы и напряженного состояния элемента.

В третьей главе приведены результаты решения основной задачи в линейной постановке.

При исследовании напряженного состояния методом линейной теории упругости в материале могут образовываться особые точки, напряжения в которых стремятся к бесконечности. Вместе с напряжениями к бесконечности стремятся и деформации. Большие деформации сдвига принципиально меняют геометрию поверхности тела даже в тех случаях, когда они возникают в сколь угодно малой

области. Показано, что в задаче о напряженно-деформированном состоянии тела эти изменения приводят к появлению качественно новых решений.

В первом разделе проведен анализ напряженного состояния в стержне цилиндрической формы, имеющем жесткое закрепление по торцевой поверхности и нагруженном растягивающей силой (рисунок 2а).

а)

г

0=

а.90*

¡Г—~

б)

в)

Рис. 2. а) Расчетная модель для базовой задачи;

б) Конечно-элементное разбиение; в) Область сгущения конечно-элементной сетки

Используются четырехуголные осесимметричные элементы с 8 степенями свободы. Дня более детального исследования окрестности особых точекконечно-элементная сетка была сильно сгущена к особой точке С (рисунок 2в). Все полученные результаты не подвергались никакой дополнительной обработке и сглаживанию. Файлы, полученные в процессе конечно-элементного решения, прямо передавались процедурам построения графиков. Не использовались никакие специальные конечные элементы с сингулярными точками.

Полученные результаты характеризуются рисунком 3. На графиках представлены эпюры распределения по радиусу касательных и нормальных напряжений в сечениях, прилегающих к заделке.

Вблизи закрепления напряжения по сечению распределены неравномерно. В слое, ближайшем к сечению закрепления, нарушаются граничные условия: касательные напряжения т^ и нормальные напряжения аг не стремятся к нулю (верхние кривые). Во всех остальных сечениях граничные условия и закон парности выполняются практически точно. Во всех слоях конечных элементов при приближении к особой точке стремятся к нулю не только компоненты радиальных напряжений, но и производные от них по радиусу. При дроблении конечно-элементной сетки область, в которой нарушаются граничные условия, может быть сделана сколь угодно малой.

-100

<Г--5,4 ' 'Ж Г

Рис. 3. Распределение касательных и нормальных напряжений около особой точки

Во втором разделе описана попытка нахождения путей ликвидации сингулярности и существенного снижения концентрации напряжений в элементах конструкции обсуждаемого типа. Предварительные расчеты, выполненные методом конечных элементов, показали, что создание скруглений типа галтели проблему не решают. Сингулярности перемещаются в другие точки, но не исчезают. Реальный путь решения проблемы был найден в решении вспомогательной задачи. Пусть боковая поверхность стержня вблизи закрепления имеет коническую форму, образующая вблизи основания наклонена к оси г под некоторым углом а. (Рисунок 4).

10.0 10,5 г

'' Пгнпняпи^ Г1ТТ1ТТТТТ-Гря

а) г б)

Рис. 4. а)Наклонная образующая; б) Криволинейная часть вертикальной образующей боковой поверхности стержня

Рассмотрим напряженно-деформированное состояние вблизи угловой точки. Наклонная поверхность свободна от напряжений, а в сечении закрепления радиальные и осевые деформации равны нулю. Показано, что существуют такие углы наклона образующей, при которых эти граничные условия выполняются без возникновения бесконечных напряжений и нарушения закона парности касательных напряжений. Установлено, что в случае плоского напряженного

состояния, этот угол определяется зависимостью а = arctgy|li (4), где ц-коэффициент поперечной деформации (при |д=0.3, а=0,501 радиан или 28.7°).

В

условиях

плоской деформации

а = шт1£

1-ц

(при ц=0.3, а=0.58 радиан или 33.2°). Если конструкция стержня такова, что угол примыкания образующей к основанию соответствует вышеописанному решению, сингулярность не возникает.

В третьем разделе главы приведены результаты расчета углового соединения, которое показано на рисунке 46:

Угол а принят равным 33.2°, поскольку осесиммеггричная задача при абсолютно жестком основании соответствует плоской деформации. Результаты показаны на Рис. 5: 100

-100

Рис. 5. Распределение нормальных, осевых, касательных напряжений по радиусу

Видно, что все компоненты напряжений принимают конечные значения и не демонстрируют стремление к росту при приближении к угловой точке, свидетельствуя о том, что зона сингулярности не возникает. Коэффициент концентрации напряжений близок к единице.

В четвертой главе представлены результаты решения базовой задачи в геометрически нелинейной формулировке.

Геометрически нелинейные эффекты могут существенно менять условия возникновения сингулярных областей. Показано, что области существования сингулярности, определяемые в линейно упругом решении, исчезают при учете геометрически нелинейных эффектов.

В первом разделе главы приведено результаты расчета базовой модели при действии растягивающих напряжений.

Рис. 6. Конечно-элементная сетка

Характерные результаты расчетов показаны на рисунке 7. На всех графиках приведены компоненты тензора напряжений Коши (тензора истинных напряжений).

Результаты, полученные на первом упругом шаге соответствуют линейному решению, приведенному в главе 3. Наблюдается явно выраженная синглярность.

В процессе деформирования геометрия угла наклона вертикальной образующей боковой поверхности стержня меняется с каждым шагом нагружения и по мере увеличения угла наклона образующей к вертикали.

На рисунке 7 приведены результаты, соответствующие углу наклона образующей 30°, при котором сингулярность в соответствии с результатами

раздела 3.2 должна исчезнуть. Показаны эпюры напряжений СУГ, СТ2, Тг/ в нескольких слоях конечных элементов, ближайших к поверхности закрепления. Видно, что напряжения в окрестности угловой точки конечны, сингулярность поля напряжений отсутствует.

-640

-680

10.0

9.8 9.9 10.0

Рис. 7. Распределение касательных, нормальных напряжений около особой точки по мере формирования угла а

При дальнейшем увеличении нагрузки угол наклона не меняется, касательные напряжения в окрестности угловой точки не растут. Граничные условия на наклонившейся боковой поверхности выполняются.

Таким образом, если решать задачу в геометрически нелинейной постановке, то сингулярность не возникает.

Полученные результаты допускают следующую интерпретацию. При нагружении базовой модели с самого начала в окрестности особой точки, в малой (бесконечно малой) области, касательные напряжения приводят к образованию сдвигов, блокирующих возникновение сингулярности. При росте нагрузки область сдвигов развивается, захватывая конечные объемы материала Конечно-элементное решение фиксирует появление этой области тогда, когда она охватывает конечный элемент, ближайший к особой точке. Геометрически нелинейное решение базовой задачи при действии растягивающих нагрузок не содержит сингулярных областей.

Во втором разделе базовая модель нагружалась сжимающей силой.

На линейном шаге результаты от линейного растяжения отличаются только знаком напряжений.

По мере роста нагрузки, угол наклона образующей к вертикали тоже меняет знак, что приводит к образованию еще более острого концентратора напряжений. При этом сингулярность сохраняется.

Характерные результаты распределения напряжений приведены на рисунке 8.

______^ . I

9.6 * 9:8 ............. 10.0

Рис. 8. Распределение касательных, нормальных напряжений около особой точки по мере формирования угла а

При сжатии условия образования зон сингулярности сохраняется и в геометрически нелинейной задаче.

В пятой главе исследуется напряженно-деформированное состояние клеевого слоя, который является примером соединения разнородных материалов с резким отличием свойств клеевого компаунда от свойств склеиваемых элементов. Толщина компаунда предполагается достаточной для возможности управления геометрией сопряжения.

В первом разделе главы исследуемая конструкция представляет собой пару стержней цилиндрической

формы, склеенных торцами, находящихся под действием растягивающих усилий . На рисунке 9 показана четверть продольного сечения конструкции.

Клей г

Рис. 9.Чегверть модели клеевого соединения

В силу симметрии образца на линии ЛЬ запрещены перемещения точек в направлении оси г. Нагрузки приложены по торцу АБ. Боковая образующая клеевого слоя строго перпендикулярна торцевой поверхности стержня. В угловой точке С напряженное состояние сингулярно.

Рис. 10. Конечно-элементная сетка

На Рис.10 представлена часть конечно-элементной сетки, примыкающая к сингулярной точке С, которая расположена на поверхности стержня в месте соединения с клеевым слоем.

Эпюры касательных, радиальных и осевых напряжений, посчитанные на первом геометрически линейном шаге для растяжения, показаны на Рис.11. Видно, что как и в базовой задаче граничные условия выполняются для всех слоев, кроме слоя, ближайшего к линии склейки: при приближении к боковой поверхности, радиальные напряжения и касательные напряжения стремятся к нулю. Уже во втором слое выполняются граничные условия.

25 15

"г

9.6

140 120 100

9.7

га

9.9

10.0

80.

9.<Г

9.7

9.8 9.9 10.0

-60 -40

-20

9.6 9.7 9.8 9.9 10.0

Рис. 11. Распределение касательных, нормальных, окружных, главных напряжений в клеевом соединении около особой гонки в геометрически линейном решении

Качественно эти результаты соответствуют тем, которые были получены на базовой модели. На границах соединяемых материалов существуют сингулярные области.

Для снижения концентрации напряжений в уг ловой области соединения угол наклона вертикальной образующей клеевого слоя варьировался. Создавая плавный переход образующей по кривой, касательная к которой в точке сопряжения материалов наклонена к оси 2 под необходимым углом, можно получить соединения с низкой концентрацией напряжения (см. Рис. 12). Значение угла, при котором все граничные условия выполняются и отсутствует сингулярность было определено равным 35°.

Шт

50 40 30 20 III

Ч

Ог

(1„

9.2

9.4

9.8 111.11

9.4

9.6

9.8 10.0

9.2

9.4

9.6

9.8 111.11

Рис. 12. Конечно-элементная сетка со скруглением и эггюры напряжений от, а/, и т/г

15

Па рисунке 12 приведены эшоры напряжения С,-, СТ/, ТГ7 , полученные в решении линейной задачи. Как и следовало ожидать, сишулярность не возникла.

Во втором разделе главы задача, которая обсуждалась в первом разделе повторена в условиях действия сжимающей нагрузки. Результаты, полученные в геометрически линейном решении, отличаются от предыдущих результатов на растяжение только знаком.

По результатам, полученным на следующих геометрически нелинейных шагах нагружения можно судить, что концентрация напряжений вблизи угловой точки соединения сохраняется и даже усиливается, все компоненты напряжения резко растут.

-400

9.6 9.8 10.0 9.6 9.§ 10,0

в)

-400

9.6 9.8 10.0

Рис. 13. Распределение касательных, нормальных напряжений в клеевом соединении около особой точки в геометрически нелинейном решении

Полученные результаты объясняются тем, что в процессе прикладывания сжимающей нагрузки происходит выдавливании клеевого слоя, в результате чего вблизи особой точки образуется острый угол.

Разрешение возникшей сингулярности возможно путем моделирования начальной геометрии боковой поверхности клеевого слоя, создания сопряжений иод необходимым углом.

Распределение напряжений дня этого случая показано на Рис. 14 .

Рис. 14. Эпюры напряжений от, аг и та при сжатии

Полученные результаты для сжатия отличаются от растяжения знаком и величиной напряжений примерно на 5%. Эти расхождения объясняются тем, что графики, как было отмечено выше, приведены для напряжений Коши, а физические соотношения приняты линейными в напряжениях Кирхгофа. В напряжениях Кирхгофа результаты, полученные при растяжении и сжатии совпадают с точностью до погрешности округления.

Выводы по работе.

Основные результаты диссертационной работы:

- В узлах конструкций, состоящих из материалов с сильно отличающимися упругими свойствами, на границе раздела могут образовываться сингулярные области, в которых все компоненты напряжений, или только некоторые из них стремятся к бесконечности и нарушается закон парности касательных напряжений.

- В рамках классической линейной теории упругости методом конечных элементов исследовано напряженное состояние в растянутом стержне с жестко закрепленным торцом. Полученное решение удовлетворяет всем граничным условиям на всей поверхности тела за исключением области вблизи сингулярной точки. Дроблением конечно-элементной сетки эту область можно сделать сколь угодно малой.

- Показано, что существуют такие углы наклона боковой поверхности стержня, при которой существуют несингулярные решения. Следовательно, путем рационального проектирования соединения можно избежать сингулярности и снизить коэффициенты концентрации напряжений с бесконечности до значений, незначительно превышающих единицу.

- Выполнено геометрически нелинейное исследование поля напряжений в той же задаче. Показано, что при действии на стержень растягивающих усилий, касательные напряжения, возникающие в точке концентрации напряжений,

вызывают сдвиги, меняющие геометрию стержня и ликвидирующие сингулярность. При достижении определенного значения угла в сопряжении двух соединяемых поверхностей, граничные условия на наклонившейся боковой поверхности выполняются точно, сингулярность исчезает, компоненты напряжений в угловых точках приобретают конечные значения.

— При действии сжимающей нагрузки формирование геометрии угла соединения, необходимой для ликвидации сингулярности, не происходит. Касательные напряжения меняют угол наклона в противоположную сторону, образуя еще больший концентратор напряжений.

- В качестве примера соединения материалов с различными упругими свойствами рассмотрено клеевое соединение двух стержней. При приложении растягивающих нагрузок необходимая геометрия углового сопряжения, позволяющая избежать возникновения сингулярных полей напряжений, формируется в результате действия геометрически нелинейных эффектов. Результата исследования поведения клеевого соединения при сжимающей нагрузке показали образование острого концентратора за счет выдавливания материала клеевого слоя. Всех неприятностей, связанных с сингулярностью, законом парности касательных напряжений и высокой концентрацией напряжений можно избежать путем профилирования боковой поверхности.

Публикации по теме диссертации

а) Публикации в изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК РФ:

1. Зорнина НА, Федоров АС. Способ определения концентрации напряжений в особых точках соединений конструкции, выполненных из разнородных материалов. // Биржа интеллеюуальной собственности. 2012. №12. С.47-53. (автор- 50%).

2. Зорнина НА, Федоров АС. Исследование концентрации напряжений вблизи особых точек в геометрически нелинейной постановке. // Изобретательство. 2012. №8. С.32-37. (автор- 50%)

3. Зорнина НА., Федоров АС. Метод исследования концентрации напряжений в узлах соединений корабельных рулевых устройств при сжатии в геометрически нелинейной постановке. // Изобретательство. 2013. Том ХШ №6. С.52-56. (автор- 50%)

б) Прочие публикации:

4. Зорнина НА., Федоров АС. Концентрация напряжения в особых точках. // Труды научно-технической конференции «Старт в будущее», ОАО «КБСМ», Санкт-Петербург 201 1г. С. 193-197. (автор- 50%)

5. Зорнина НА, Федоров АС. Исследование полей напряжений вблизи особых точек в соединениях из разнородных материалов с учетом нелинейных эффектов. // МСНТ Итоги диссертационных исследований. Материалы IV Всероссийского конкурса молодых ученых Том 4, г. Миасс. 2012. С.115-121. (автор- 50%).

6. Зорнина НА., Федоров AC. Analysis of stress concentration near particular points in geometrically non-linear formulation. // Сборник тезисов докладов XVII Международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация»,г. Евпатория 2012 г. С. 69-68. (автор- 50%)

7. Зорнина НА, Федоров АС. Исследование концентрации напряжений вблизи особых точек в геометрически нелинейной постановке. // Сборник тезисов докладов

конференции по строительной механике корабля, посвященная памяти П.Ф. Папковича. 2012. С.25 (автор-50%)

8. Зорнина Н.А. Исследование концентрации напряжений вблизи особых точек в клеевом соединении при сжатии в геометрически нелинейной постановке. // Сборник тезисов докладов XVIII Международной научной конференции «Системный анализ, управление и навигация».г. Евпатория 2013 г. С. 34-35. (автор-100%)

9. Зорнина НА. Геометрически нелинейный анализ напряженного состояния в клеевом соединении. // Сборник докладов конференции «Балтийский экватор», Санкт-Петербург 2013 г., С. 32-37. (автор- 100%)

Издательство СШГМТУ, Лоцманская, 10 Подписано в печать 12.11.2013. Зак. 4578. Тир.80.1,0печ.л.

Минобрнауки России федеральное государственное бюджетное образовательное учреиедение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический

университет» (СПбГМТУ)

Зорнина Наталья Александровна

Исследование сингулярных полей напряжений в конструкциях соединений из разнородных материалов

Специальность: 01.02.04. Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель д.т.н., профессор Федоров А.С.

Санкт-Петербург 2013 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ГЛАВА 1 НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ................................................................................9

1.1 Геометрически линейная постановка......................................................9

1.2 Геометрически нелинейная постановка...............................................13

ГЛАВА 2 МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ................................................17

2.1 Метод конечных элементов в геометрически линейных задачах....17

2.2 Метод конечных элементов в геометрически нелинейных задачах 24

2.3 Использование изопараметрических элементов в методе конечных элементов для решения геометрически нелинейной задачи...................28

2.4 Построение выражений для основных к переходных матриц четырехузлового элемента с использованием функций формы.............31

ГЛАВА 3 БАЗОВАЯ ЗАДАЧА. ЛИНЕЙНАЯ ПОСТАНОВКА.................39

3.1 Решение методом конечных элементов................................................39

3.2 Разрешение сингулярности в рамках линейной задачи....................43

3.3 Техническое приложение результатов Стержень, прикрепленный к основанию в соответствии с предложенными мерами ликвидации сингулярности...................................................................................................46

3.4 Заключение и выводы по главе 3............................................................52

ГЛАВА 4 БАЗОВАЯ ЗАДАЧА. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНАЯ ПОСТАНОВКА....................................................................................................53

4.1 Основная задача. Растяжение..................................................................53

4.1.1. Шаг А. Первый шаг нагружения.....................................................55

4.1.2. Шаг Б. Шаг нагружения при котором угол наклона образующей близок к 30°.............................................................................57

4.1.3. Шаг В.....................................................................................................59

4.1.4. Шаг Г....................................................................................................62

4.1.5. ШагД.....................................................................................................65

4.2 Сжатие.......................................................................................................69

4.3 Заключение и выводы по главе 4............................................................74

ГЛАВА 5 КЛЕЕВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ...........................................................75

5.1 Растяжение. Геометрически линейное решение..................................75

5.2 Сжатие. Геометрически линейное решение..........................................80

5.3 Геометрически нелинейный анализ клеевого соединения................81

5.4 Геометрически нелинейный анализ клеевого соединения с профилированной кромкой............................................................................83

5.5 Заключение и выводы по главе 5............................................................85

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................87

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................................89

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшей задачей механики деформируемого твердого тела является оценка прочности конструкций и ее соединений. Практический опыт эксплуатации конструкций позволяет судить о том, что в процессе нагружения в зоне соединения образуются области, в которых напряжения существенно превышают типичные значения, есть области высокой концентрации напряжений. Точки, в которых напряжения возрастают неограниченно, стремятся к бесконечности, принято называть сингулярными. Эти бесконечные напряжения могут быть отягощены теми или иными сильными эффектами. В частности существуют такие области, в которых традиционная сингулярность сопровождается нарушением закона парности касательных напряжений. Такие области являются объектом исследования в настоящей работе.

В качестве базовой задачи выбрана задача о закреплении круглого цилиндрического стержня на абсолютно жестком основании, нагруженном вдоль вертикальной оси.

Рис. 1. Цилиндрический стержень на абсолютно жестком основании

Стержень выполнен из упругого материала с заданными характеристиками, основание принято абсолютно жестким. В месте сопряжения торцевой поверхности стержня с жестким основанием образуется малая угловая область с возникающим острым концентратором напряжений. Сингулярные точки находятся на окружности, по которой

поверхность цилиндра пересекается с перпендикулярной плоскостью закрепления. На боковой поверхности касательные напряжения равны нулю, а в сечении закрепления при приближении к кромке касательные напряжения стремятся к бесконечности. Большие деформации сдвига принципиально меняют геометрию поверхности тела даже в тех случаях, когда они возникают в сколь угодно малой области. Сингулярность усугубляется тем, что на свободной боковой поверхности, перпендикулярной к основанию, касательные напряжения равны нулю, т.е. нарушается закон парности касательных напряжений.

Целью работы является исследование напряженно деформируемого состояния в геометрически линейной постановке и установление характера распределения напряжений по объему стержня, включая область особых точек. Исследуются методы, позволяющие ликвидировать сингулярность в базовой модели. Проводилось решение задачи в геометрически нелинейной постановке с выяснением возможности разрешения сингулярности в результате изменения геометрии угла соединения под действием высоких касательных нагрузок.

Случаи возникновения сингулярных полей напряжений, подразумевающих наличие особых точек, рассматривались многими авторами. В основу исследуемого направления следует отнести работы Нейбра Г., Черепанова Г.П., Новожилова В.В., Михайлова С.Е., Каландия А.И., Ибрагимова В.А., Нифагина В.А.[22, 24, 42, 46, 47, 48, 64], а также работы в области математической теории упругости Партона В.З., Перлина П.И., Борзенкова С.М., Матвеенко В.П. [8,39,50] . В работе Каландия А.Щ24] установлено, что наличие нерегулярных точек значительно усложняет построение решения, адекватного реальной картине распределения напряжений и деформаций. И даже при гладких краевых условиях в особых точках возможно появление сингулярных напряжений. Большой вклад в исследование задач теории упругости в окрестности особых точек внесли Кондратьев В.А., Мазья В.Г., Пламеневский Б.А., Эскин Г.И.[27]. Они показали, что решение в окрестности этих точек может быть представлено в виде асимптотического ряда бесконечно дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей. Эти решения зависят только от краевых условий и локальных характеристик (угла примыкания).

В работах Партона В.З., Перлина П.И., Матвеенко В.П. [39, 50]был проведен анализ способов нахождения особых решений для случаев

возникновения сингулярных полей напряжений.Были изучены особые решения уравнений теории упругости, определены их математический и физический смысл. Установлено, что определение напряженно деформируемого состояния в окрестности угловой точки сводится к двум основным задачам: построение сингулярных решений и определение коэффициентов коэффициенты интенсивности напряжений при них. играющих существенную роль в механике разрушения.

При решении таких задач могут быть выделены два основных подхода: построение решений, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и однородным граничным условиям для областей, содержащих особы точкиили применение преобразований Меллина. Оба подхода приводят задачу к характеристическому уравнению относительно показателя сингулярности. Для оценки сингулярных напряжений необходимо знать число корней характеристического уравнения. При наличии таких корней вероятность реализации напряженного состояния с бесконечной особенностью в точке тем больше, чем больше их число. При исследовании поля напряжений с качественной стороны важно знать характер первых корней этого уравнения (комплексные они или действительные) [39].

Существуют другие подходы к анализу сингулярных областей. В работе Морозова Н.Ф., Семенова Б.Н.[45] был исследован подход для определения разрушающих нагрузок с применением критерия хрупкого разрушения Новожилова В.В. [47] на примере упругой плоскости, ослабленной луночным отверстием при задании на бесконечности поля напряжений, слагающегося из одноосного растяжения и чистого сдвига.

В упруго-пластических задачах о концентраторах напряжений в рамках различных теорий пластичности получил распространение вариант метода возмущений, описанный в статье В. А. Нифагина[48] .Применение стандартного метода возмущений дает существенную погрешность на границе области концентратора напряжений за счет того, что базовым является линейное решение (первый член), в то время как в окрестности угловой точки базовой является нелинейная часть диаграммы деформирования (кубический член). Для исследования напряженно-деформируемого состояния тела был разработан другой вариант метода, в котором первый член разложения получался на основе кубического слагаемого закона деформирования, а остальные члены выступали в качестве поправок к нему. Варианты такого подхода были использованы для тел с трещинами при различных определяющих соотношениях теорий

пластичности, применении локальных характеристик совместно с критериями разрушения, а также при построении эффективных алгоритмов численного анализа полных решений с помощью сращивания полей напряжений вблизи угловой точки и на удалении от нее.

Одной из основных гипотез классической механики сплошных сред является принцип напряжений Коши, устанавливающий эквивалентность действия всех внутренних сил, приложенных к элементарной площадке, действию их равнодействующей, приложенной к центру площадки. Действие произвольной системы сил эквивалентно действию главного вектора и главного момента. При этом в среде возникают моментные напряжения, образующие несимметричные тензоры.Чтобы учесть эти факторы, необходимо допустить в среде наличие дополнительных степеней свободы и рассмотреть физически бесконечно малый объем не как материальную точку, а как более сложный объект, обладающий новыми степенями свободы: ротационными, осцилляторными или способностью к микродеформации. Таким образом можно предположить у физически бесконечно малого объема существование внутренней структуры зернистого или волокнистого строения реальных материалов.

В теории Коссера каждая материальная точка континуума наделяется свойствами твердого тела путем учета рациональных степеней свободы. Появление модели Коссера ознаменовало собой переход в механике сплошных сред от механики Ньютона, исходным объектом которой является материальная точка, к механике Эйлера, имеющей в качестве исходного объекта твердое тело. [43, 44]

Существуют некоторые эффекты, такие как затухание волн илизначительная дисперсия, которые плохо описываются классическими моделями сплошной среды. Для описания таких свойств подходят неклассические модели с дополнительными степенями свободы, такие как моментная теория упругости или среда Коссера. [34, 49]

Отличительная особенность редуцированной среды Коссера заключается в том, что в статике она неотличима от классической сплошной среды, в которой вращательные степени свободы не являются независимыми, так как выражаются через перемещения, а тензор напряжений является статически определимым [33].

В работах [35, 52, 72]проведено исследование и сравнение способов нахождения определяющих соотношений несимметричной теории упругости

с использованием асимптотических методов осреднения композитов с периодической структурой. Рассматривается композит с упругой матрицей и регулярными сферическими упругими включениями меньшей жесткости, для которого определяются материальные константы среды Коссера и подтверждается существенность эффектов моментной теории.

Существуют другие подходы к анализу сингулярных областей: в механике трещин. Общее состояние исследований в данной области достаточно полно отражают работы [76, 77], где в рамках двумерной задачи для трещин рассмотрены практически все возможные варианты. Задача исследования напряжений для пространственных трещин отличается необходимостью построения трехмерного решения. В работах [3, 14, 15, 68, 69, 70, 71, 74, 82] получены численные результаты.Возникновение сингулярности связано с появлением острых концентраторов в остриях трещин, радиус скругления в которых стремится к нулю. В работах [28, 39]описана возможность численного построения сингулярных решений трехмерных задач теории упругости для анализа характера сингулярности в окрестности вершин двух пересекающихся плоских клиновидных трещин при различных граничных условиях на боковых гранях. Проблема сингулярности напряженного состояния в вершинах трещин решается методами механики разрушения, основанными на анализе устойчивости трещин, который проводится энергетическими и силовыми методами, начало которым было положено исследованиями Гриффитса и Ирвина. В работах Харлаба В.Д.[67, 68, 69] обсуждаемая проблема связывается с градиентным эффектом прочности, согласно которому неоднородность поля напряжений повышает прочность упругого тела.

Развиваемый в работе подход к сингулярности состоит в том, что всякая сингулярность должна быть раскрыта, поскольку бесконечных напряжений никакой материал выдержать не может. Для снижения уровня концентрации напряжений используются различные приемы, в том числе выбор оптимальной геометрии примыкания в окрестности особых точек. В работе Севодиной Н.В.[59]исследовалась задача выбора оптимального варианта конструктивного исполнения изделий в окрестности особых точек, обеспечивающего оптимальное распределение напряжений в угловой зоне соединения. Решение проводилось методом конечных элементов с использованием типовых конечных элементов. Выводы по работе сводятся к тому, что концентрации напряжений можно избежать путем создания скругления в месте примыкания частей конструкции.

В диссертационной работе исследуется случай нарушения закона парности касательных напряжений, влекущий возникновение сингулярности в области концентратора напряжений, возникающем на границе материалов с существенно различными упругими свойствами. Под сингулярностью в данной работе понимается появление особых точек, в которых при исследовании напряженного состояния все компоненты напряжений стремятся к бесконечности, вместе с напряжениями к бесконечности стремятся и деформации, в результате чего граничные условия в исследуемой области выполняться не могут. Такого рода сингулярности встречаются в инженерных задачах при расчетах соединений разнородных материалов с разными упругими характеристиками.

ГЛАВА 1 НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ

1.1 Геометрически линейная постановка

В работе выполнено исследование напряженного состояния вблизи особой точки в линейной и нелинейной постановке. В основе геометрически линейной теории упругости лежат предположения о малости деформаций и поворотов. В точках с бесконечной концентрацией касательных напряжений деформации сдвига вместе с напряжениями стремятся к бесконечности и, следовательно, в окрестности особой точки условия линейной теории некорректны. Тем не менее, линейное решение представляет определенный интерес. Покажем, что современные численные методы позволяют его получить для всего тела за исключением сколь угодно малой области, примыкающей к точке сингулярности.

Напряжения описываются тензором напряжений, компоненты которого представляют собой нормальные и касательные напряжения, действующие на площадках, которые параллельны координатным плоскостям.В декартовых координатах тензор напряжений имеет вид.

V

II

Где Ох, Оу, а2- нормальные напряжения.Тх2и Т2Х- касательные напряжения.

N

■а

// А»/}

У

.¿х-

Рис. 1.1. Элементарный параллелепипед

В классической линейной теории упругости тензор симметричен. Касательные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным

площадкам, удовлетворяют закону парности, Т7Х = тХ2. В обсуждаемой задаче именно эти напряжения создают проблему. В сингулярной точке в поперечном сечении они стремятся к бесконечности, а на свободной боковой поверхности равны нулю, т.е. закону парности касательных напряжений они не удовлетворяют.

Напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия.

дтп _

= 0

дх —--ду 1-— &

К доу 1 у

дх \ ду дг

1 Г

дх ду дг

= 0

(2)

Рассматриваемая нами конструкция представляет собой стержень цилиндрической формы, симметричный относительно вертикальн�