Исследование сингулярности напряжений в вершине круговых и некруговых конусов

Накарякова, Татьяна Олеговна

Исследование сингулярности напряжений в вершине круговых и некруговых конусов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Накарякова, Татьяна Олеговна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Пермь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Исследование сингулярности напряжений в вершине круговых и некруговых конусов»

Автореферат диссертации на тему "Исследование сингулярности напряжений в вершине круговых и некруговых конусов"

00346В423

На правах рукописи

Накарякова Татьяна Олеговна

ИССЛЕДОВАНИЕ СИНГУЛЯРНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ВЕРШИНЕ КРУГОВЫХ И НЕКРУГОВЫХ КОНУСОВ

01.02.04 — механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Пермь — 2009

003466423

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН, г.Пермь.

Научный руководитель: доктор технических наук,

академик РАН Матвеенко В.П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Бураго Н.Г.

доктор физико-математических наук, профессор Вильдеман В.Э.

Ведущая организация: Институт математики и механики

УрО РАН, г. Екатеринбург

Защита состоится 23 апреля 2009 г. в 10 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 в Учреждении Российской академии наук Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614013, г.Пермь, ул. Академика Королёва 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.

Автореферат разослан ¡¡. 1 марта 2009 г.

Учёный секретарь диссертационноп доктор технических наук _

[д

ета

Березин И.К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одно из наиболее характерных свойств эллиптических уравнений, к которым принадлежат и уравнения Ламе, состоит в гладкости решения, если граница области, краевые условия и исходные данные, определяемые коэффициентами уравнений, гладкие. При нарушении этих условий в решениях могут появляться особенности. Точки нарушения указанных условий называются особыми. В задачах теории упругости особенность решения проявляется в появлении бесконечных напряжений в точках границы, где имеет место нарушение гладкости поверхности, смена типа краевых условий или контакт различных материалов. Особые точки могут иметь место не только на границе, но и внутри области, где нарушается гладкость поверхности контакта различных материалов.

Анализ расчетных схем различных прикладных задач теории упругости позволяет сделать вывод о том, что особые точки различного типа встречаются достаточно часто. Необходимо отметить, что сингулярные решения являются следствием идеализации реального объекта при построении расчетных схем. Практическая значимость этих решений состоит в том, что окрестность особых точек является, как правило, зоной ярко выраженной концентрации напряжений.

В работе Кондратьева В.А. показано, что для уравнений линейной теории упругости р окрестности угловых точек имеет место асимптотическое представление

KkfkrXk~\ г 0, с < ДеАх < ReX2 < ...< Re\k < ...

к=1

(или более сложное, с логарифмическими составляющими в случае кратных точек спектра Л&). Здесь г - расстояние до угловой точки, Кк - коэффициенты интенсивности, Д - функции углового распределения поля напряжения г в окрестности угловой точки. В плоском случае Д зависят от одной полярной угловой переменной ip при с = 0, в пространственном -от двух сферических в при с = —0.5.

В двумерных задачах исследование сингулярности напряжений, как правило, связано с анализом напряженного состояния в окрестности вер-

шины плоских клиньев. За почти полувековую историю решения этих задач рассмотрены почти все возможные варианты клиновидных тел: однородные, составные, изотропные, анизотропные при различных граничных условиях и т.д.

Для трехмерных задач можно выделить два класса объектов: 1) ребро пространственного клина (ребро необязательно прямолинейное, угол раствора клина может изменяться вдоль ребра); 2) вершина многогранного клина или вершина конуса. Интерес к задачам первого класса был исчерпан результатами ряда работ. Одной из первых была работа Михайлова C.B. Было показано, что решения плоской и антиплоской задач для клиньев, получаемых в плоскостях, перпендикулярных ребру пространственного клина, определяют вид сингулярности напряжений в точках ребра, через которые проходит соответствующая плоскость.

Работы, посвященные исследованию сингулярности напряжений в вершине многогранного клина или в вершине конуса, стали появляться в последние годы. Для решения этих задач в основном используются разные варианты численных методов, основанные на методе конечных элементов (Матвеенко В.П., Apel Т., Mehrmann V., Watkins D., Dimitrov A., Andra H., Schnack E. и др.), методе граничных элементов (Koguchi H., Savruk M.P., Shkaraev S.V. и др.) или применении преобразования Меллина к исходным двумерным граничным интегральным уравнениям (Бабешко В.А., Глуш-ков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н. и др.). Одно из исключений - работа Мазьи В.Г., в которой на основе построенного аналитического решения исследована сингулярность напряжений в вершине однородного кругового конуса при однородных граничных условиях на боковой поверхности.

Рассматривая работы, посвященные анализу сингулярности напряжений в трехмерных телах, можно отметить относительно небольшой (по сравнению с двумерными задачами) объем полученных численных результатов. Это стимулирует как развитие новых методов и алгоритмов решения рассматриваемой проблемы, так и решение новых задач.

напряжений при различных геометрических и механических параметрах. Научная новизна работы состоит в том, что:

1. Разработан аналитический метод построения собственных решений для круговых сплошных конусов и на его основе получены численные результаты о характере сингулярности напряжений в вершине конуса при различных граничных условиях на боковой поверхности, в т.ч. при смешанных граничных условиях.

2. Предложен численно-аналитический метод и алгоритмы его численной реализации для расчета показателей сингулярности в вершине конических тел на основе классической постановки задачи теории упругости в перемещениях и вариант метода на основе постановки задачи теории упругости в перемещениях, применимой как для сжимаемых, так и для несжимаемых материалов.

3. Впервые выполнено численное исследование характера сингулярности напряжений в вершине конуса с эллиптическим основанием, полого конуса, составного конуса, конуса с внутренней 'особой точкой при различных граничных условиях на боковых поверхностях.

Достоверность подтверждается сравнением отдельных полученных численных и аналитических результатов с известными решениями, а также численными экспериментами, иллюстрирующими сходимость вычислительных процедур.

Практическая значимость полученных результатов определяется разработанными алгоритмами и программами для расчета показателей сингулярности напряжений в вершинах различных типов конических тел, а также полученными численными результатами, позволяющими оценивать характер напряженного состояния в вершинах конических тел в зависимости от их геометрии и механических характеристик материалов.

теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006г.); III Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2006г.); конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах"(Пермь, 2006г., 2007г.); 15-ой Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2007г.); XV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2007г.); XXXV International Summer School "Advance problem in mechanics" (St. Petersburg, 2007г.); Международной конференции "XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды" (Саратов, 2007г.); конференции молодых ученых "Актуальные проблемы математики, механики, информатики (Пермь, 2008г.); V Всероссийской конференции "Механика микронеоднородных материалов и разрушение" (Екатеринбург, 2008г.); 22nd International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Adelaide, Australia, 2008r.).

Публикации. Результаты работы освещены в 19 публикациях, в т.ч. 2 - из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержит 25 рисунков и 1 таблицу. Объём диссертации составляет 125 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приводится обзор литературы, посвященный анализу сингулярности напряжений, обосновываются актуальность темы диссертационной работы и используемые методы исследования, сформулированы цель работы, научная новизна, достоверность и практическая значимость.

В первой главе приводятся математическая постановка задачи о характере сингулярности напряжений в вершине кругового конуса и результаты исследования характера сингулярности напряжений в вершине кругового конуса на основе аналитических решений.

Общая идея построения аналитического решения была предложена И.Н. Шардаковым. Рассматривается полубесконечный круговой конус (рис. 1), вершина которого совпадает с центром сферических координат

(г, 9,<р), а основание перпендикулярно оси 9 = 0. Конус занимает объем О < г < оо, 0 < <р < 2-к, 01 < в < а его граница определяется координатными поверхностями в = в = во- Вариант в\ = 0 соответствует сплошному конусу.

Искомые собственные решения совпадают по виду с асимптотическим представлением решения, полученным В.А. Кондратьевым.

ик(г,е,<р)~г%(е,1р) (к = 1,2,3) (1)

Эти решения должны удовлетворять уравнениям равновесия в перемещениях:

, * агай (Пуп + У2и = 0 (2)

1 - 2и

и однородным граничным условиям на боковых поверхностях (поверхности) конуса.

На боковой поверхности могут быть заданы нулевые перемещения

и = О (3)

нулевые граничные условия в напряжениях

V 1

-——псИум -+- п • Уи + -пх гоЫ = 0 (4)

1 - ¿Л/ и

или вариант граничных условий, соответствующий условиям идеального

скольжения на боковой поверхности (смешанные граничные условия)

Ug = О

+ = ° (5)

1 1 дщ cot ви,р п Tvs - + --г - ü

Здесь и - вектор перемещений, п - единичный вектор внешней нормали, V - коэффициент Пуассона, иг. щ, и^ - компоненты вектора перемещений, туа, - компоненты тензора напряжений.

Если 01 = 0, то есть рассматриваемая область ограничена только одной координатной поверхностью, то при 0 = 0 должны выполняться условия регулярности:

^ = 0,^ = 0,1^ = 0 (6)

Построенные собственные решения позволяют установить наличие сингулярности напряжений и оценить ее характер. Если среди собственных решений есть решения с Re< 1, то эти решения являются сингулярными.

Частные решения однородной краевой задачи (1)~(6) можно представить в виде ряда Фурье по циклической координате <*р\

иг (г, (р, в) = Щ (в) ГА + £ {ип (в) гА sin (п<р)}

п=1 00

щ (г, if, 9) = va (в) гЛ + £ {vn {в) rA sin (пу>)} (7)

п=1 00

Чр (r> <Р> в) = wo {0) rx+J2 {wn (б) rA cos (np)}

n=l

где Л - характеристический показатель, который будет определяться из условия существования нетривиального решения (7).

После подстановки решения (7) в уравнение равновесия (2) получается для каждого целочисленного значения п система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно ип(6),уп(9),и)п(в). Необходимо отметить, что ситуация, когда п = 0, рассматривается отдельно, так как не следует явным образом из общего алгоритма построения частных решений системы дифференциальных уравнений для любого значения п ф 0.

Выбирая какой-либо тип соответствующих однородных краевых условий, можно получить однородные системы линейных алгебраических уравнений относительно постоянных этих решений. Коэффициенты получаемых систем однородных алгебраических уравнений зависят от углов при вершине конических поверхностей, от коэффициентов Пуассона и характеристического показателя Л. Из условия равенства нулю определителей однородных систем линейных алгебраических уравнений находятся допустимые значения характеристических показателей, позволяющие оценить характер поведения напряжений в окрестности вершины конуса, в т.ч. характер сингулярности напряжений.

С помощью этого решения рассмотрена задача о сингулярности напряжений в вершине сплошного кругового конуса для граничных условий (3) и (4). Результаты проведенных исследований совпадают с результатами аналитического решения, приведенными в работе Мазьи В.Г.

Далее приводятся результаты решения новой задачи. На рис. 2 представлены характеристические показатели ReXк < 1 для сплошного кругового конуса при граничных условиях (5), соответствующих условиям идеального скольжения. Зависимости иллюстрируют тот факт, что при реализации данных граничных условий напряжения имеют сингулярный характер не обязательно при изменении угла упругого конуса в диапазоне 90° < < 180°, как это имеет место при граничных условиях (3) и (4). Кроме этого, для п = 0 ReXk < 1 не зависят от коэффициента Пуассона.

Во второй главе приводится изложение численного метода построения собственных решений для конических тел. В данном разделе математическая постановка задачи построения собственных решений для конических тел, приведенная в первой главе, имеет следующие дополнения.

Наряду с круговым конусом могут рассматриваться некруговые конуса, у которых основанием являются различные фигуры, например, эллипс. Для этих фигур имеется единственное ограничение. Они должны иметь гладкий контур.

Кроме однородного конуса объектом исследования служит составной конус, например, круговой конус, занимающий область V = Vi + V2, где подобласть У\ выполнена из материала с модулем сдвига Gi, коэффициен-

1.0 ReXk

\ л = 0

у = п,45 / ^

135 e0

Рис. 2. Зависимость НеХк от угла раствора конуса для различных значений коэффициента Пуассона при граничных условиях на боковой поверхности, соответствующих идеальному скольжению.

том Пуассона v\, и ее геометрия определяется соотношениями 0 < г < оо, 0 < <р < 360°, 62 < б < а подобласть Vi имеет соответственно механические характеристики G2, V2 и геометрию 0<г<оо, 0<!/?< 360°, в\ < в < во- В частных случаях 62 и 6q могут быть соответственно равны 0 и 180°.

При рассмотрении составного конуса собственные решения (1) должны в каждой из подобластей V\ и Vi удовлетворять уравнениям равновесия (2), которые будут различаться только значениями упругих постоянных материала. При этом на поверхностях в = в% (б2 Ф 0) и в = во {во ф 180°) может быть задан один из вариантов граничных условий (3), (4) или (5), а на поверхности контакта в = в\ могут быть заданы условия идеального скрепления слоев

к«

jl> _ W (1) _ (2) (1) _ (2)

ае ~ае> Ттв — Ттв 1 \в — Tipe

или условия идеального скольжения

UW _ ,.(2) (1) _ (2) (1)

"Д — "Д — Оа , 7_й

r(2) _ (1) _ (8) _ 0

тгв — Vff —\в — и

(8)

Для построения собственных решений подставляем (1) в уравнения (2) и получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно функций ср) и параметра Л:

= 0 (к = 1,2,3) (10)

Граничные условия (3), (4) с учетом (1) преобразуются соответственно к виду:

& = 0, Мк(\ = 0 (А = 1,2,3) (11)

Здесь Ьк и Мк - дифференциальные операторы.

Решение поставленной задачи осуществляется следующим образом. Полученные дифференциальные уравнения записываются в слабой форме, для чего умножаются на соответствующие вариации ¡р) и интегрируются по области 5, вырезаемой конусом на сфере. " з

.Ь= 1

¿5 = 0 (12)

Наряду с вышеизложенными вариантами численного метода разработан вариант численного метода для круговых конусов, где имеется возможность представления функций ф) в виде ряда Фурье по окружной координате <р. В этом случае исходная задача вместо уравнения (12) сводится к совокупности одномерных (по координате в) уравнений для каждой из гармоник ряда Фурье п.

Для численной реализации полученных уравнений используется процедура метода конечных элементов. Для уравнений (12) выполняются тождественные преобразования с целью понижения порядка производных, что позволяет использовать известные варианты двумерных конечных элементов, обеспечивающих необходимые требования к аппроксимирующим функциям.

Вариант численного метода на основе классической постановки задачи теории упругости в перемещениях (уравнения Ламе) неприменим для несжимаемых материалов. Кроме этого, из опыта решения других задач известно, что при численной реализации возможны большие погрешности для

слабосжимаемых материалов. В связи с этим в работе разработан численный метод для расчета показателей сингулярности напряжений на основе постановки задачи теории упругости в перемещениях (уравнения Томпсона), справедливый для всех значений коэффициента Пуассона.

Процедура Галеркина в совокупности с методом конечных элементов приводит рассматриваемые задачи к отысканию собственных значений и собственных векторов алгебраической несимметричной матрицы, имеющей ленточную структуру.

йеЬЩХ)} = 0 (13)

Для решения полученной алгебраической проблемы комплексных собственных значений был использован оригинальный алгоритм, основанный на применении метода Мюллера и принципа аргумента.

Достоверность и эффективность разработанного алгоритма по определению показателей сингулярности напряжений в вершине конуса и созданного на его основе пакета программ подтверждена различными численными экспериментами.

Рис. 3. Собственные значения для однородного сплошного конуса для различных вариантов граничных условий: в перемещениях (а), в напряжениях (б). Сходимость численных решений для кругового конуса (в).

Первый из них связан с возможностью сопоставления для однородного сплошного кругового конуса численных и аналитических результатов. На рис. 3 приведены результаты для собственных значений ЯеХк при нулевых перемещениях на боковой поверхности (а) и при нулевых граничных

условиях в напряжениях (б) для v = 0.3. Отличие численных и аналитических результатов в двумерном варианте при числе узловых переменных ~ 103 составляет менее одного процента.

Другой вычислительный эксперимент связан с анализом сходимости численных результатов от степени дискретизации расчетной области. На рис. 3,в представлено численное решение (сплошная кривая) для сплошного кругового конуса при однородных граничных условиях в напряжениях в зависимости от числа узловых переменных N и аналитические результаты (штриховая кривая) при во = 120°, v = 0.3.

В третьей главе приведены результаты исследований характера сингулярности напряжений в вершине конуса с эллиптическим основанием, составного конуса, полого конуса, конуса с внутренней особой точкой при различных вариантах граничных условий на боковых поверхностях.

Предложенный численный метод расчета показателей сингулярности напряжений в вершине различных вариантов конических тел допускает возможность его приложения к некруговым конусам. В качестве примера рассматривается конус с эллиптическим основанием. Геометрия границы поверхности S, вырезаемой конусом на сфере, определяется соотношением:

tg6 = tg60(cos2 ¡p + ее'2 sin2 <p)~1/2

Здесь se = a/b - коэффициент эллиптичности, а и Ъ - полуоси эллипса, 20о ~ угол раствора конуса в плоскости, проходящей через вершину конуса и полуось о.

В рассматриваемой задаче при заданных граничных условиях исследуемые параметры X¡-, определяющие характер решения в вершине конуса, зависят от геометрических параметров во и аз и от коэффициента Пуассона материала. Целью вычислительных экспериментов было исследование влияния указанных величин на характер сингулярности напряжений.

На рис. 4 приведены значения ReXk < 1 для граничных условий в перемещениях (а) и при свободной от нагрузок боковой поверхности (б) при различных коэффициентах эллиптичности для во = 120° и для значения коэффициента Пуассона v = 0.3. Здесь и далее сплошная линия соответствует действительным собственным значениям, а штриховая - комплекс-

Рис. 4. Зависимость ИеХк от ® для = 120° при нулевых перемещениях на боковой поверхности (а); при свободной от нагрузок боковой поверхности (б).

ным.

Был проведен анализ характера напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины упругого кругового конуса с двумя граничными коническими поверхностями (полый конус), на которых заданы различные граничные условия (рис. 5,а).

Ч 1

- п=0 — п=2

Рис. 5. Полый конус (а). Зависимость ЯеХк от в\ при во = 90° (б).

В данном случае может быть использован вариант метода, основанный на представлении решения в виде ряда Фурье по угловой координате ср.

На рис. 5,6 приведено изменение значений показателя сингулярности напряжений для конуса с внешним углом раствора во = 90°, V = 0.3 в

зависимости от угла внутренней конической полости в\. На конических поверхностях заданы нулевые граничные условия в напряжениях.

Также исследовались зависимости собственных значений ДеА/; от угла внешней конической полости 9а при различных комбинациях граничных условий (3)-(4) на внутренней и внешней конических поверхностях.

На основе разработанного метода были выполнены расчеты для составного конуса (рис. 6,а), позволяющие оценить влияние соотношений механических характеристик слоев конуса на показатели сингулярности напряжений.

1.0

0.9

0.7

0.6

\ !-П=0:

* /

— 4 .*» * Г Г^т- —»

0.8 —Г^Г

0.0 0.1 0.2 0.3

04 0.5 VI, V2

Рис. 6. Составной конус (а). Зависимость йеЛ^ при различных значениях коэффициента Пуассона для во = 120°, 9\ — 60° (б).

Для составного кругового конуса на границе контакта внутренней и внешней подобластей дополнительно к граничным условиям (3)-(5) на боковой конической поверхности выполняются условия идеального контакта (8) при 9 = 91.

Выполнено исследование зависимости показателей сингулярности напряжений от соотношений упругих постоянных внутренней и внешней подобластей при различных значениях 9\ и Независимость собственных значений от коэффициента Пуассона для Сп/Сг = 1 представлена на рис. 6,6. Внешний угол конуса 0О = 120°, внутренний угол - 9\ = 60°. Сплошной линией обозначены собственные значения для ь^ = 0.3 в зависимости от , штрих-пунктирной - для иг — 0.3 в зависимости от

Выполнены расчеты показателей сингулярности напряжений для составного конуса с внутренней особой точкой (рис. 7,а).

Рис. 7. Составной конус с внутренней особой точкой (а). Зависимость ИеХк от £п/С2 для идеального скрепления различных материалов по границе в = в\ при В\ = 60°, г^ = г^ = 0.3 (б).

На границе различных материалов в — рассмотрены условия идеального контакта между слоями (8) и условия идеального скольжения (10).

На рис. 7,6 приведены показатели сингулярности напряжений при условии идеального скрепления на поверхности контакта различных материалов для = 60°, VI = у-2. — 0.3 при различных отношениях модулей сдвига подобластей составного конуса. Во внутренней особой точке при любом соотношении модулей сдвига внутреннего и внешнего конуса реализуется условие сингулярности напряжений, кроме тривиального варианта 01 = 90°.

В работе исследовано влияние внутреннего угла #1 на показатели сингулярности напряжений во внутренней особой точке при условиях на поверхности контакта слоев в виде идеального скрепления и идеального скольжения при различных значениях механических характеристик материалов.

Предлагаемый метод позволяет вычислить все представляющие интерес собственные значения. Кроме этого, в пределах погрешности численного метода он позволяет вычислять кратные собственные значения. Так в работе Мазьи В.Г., были приведены для кругового однородного конуса при нулевых граничных условиях в напряжениях на боковой поверхности

аналитические результаты о кратности собственных значений А = 1. В частности, кратность равна б при во = 90° и 9 при во = 180°. Рассматриваемый численный метод позволяет найти все собственные значения с точностью до 3 знака при числе конечных элементов порядка трех тысяч.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

2. Предложен численно-аналитический метод и алгоритмы его численной реализации для расчета показателей сингулярности в вершине конических тел на основе классической постановки задачи теории упругости в перемещениях и вариант метода на основе постановки задачи теории упругости в перемещениях, применимой для сжимаемых и несжимаемых материалов.

3. Разработан вариант численного метода расчета показателей сингулярности напряжений в вершине круговых конусов для задач, допускающих представление решения в виде ряда Фурье.

4. Выполнены численные эксперименты, иллюстрирующие сходимость метода и его достоверность на основе сравнения с известными аналитическими и численными результатами.

5. Впервые выполнены исследования характера сингулярности напряжений в вершине конуса с эллиптическим основанием, составного конуса, полого конуса, конуса с внутренней особой точкой при различных вариантах граничных условий на боковых поверхностях для различных геометрических параметров задач и механических характеристик материалов.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих основных публикациях:

1. Матвеенко В.П., Накарякова Т.О., Севодина Н.В., Шардаков И.Н. Исследования сингулярности напряжений в вершине эллиптического конуса. // Доклады Академии Наук. 2006. Т.411. N.3. С. 326-329.

2. В.П. Матвеенко, Т.О. Накарякова, Н.В. Севодина, И.Н. Шардаков. Сингулярность напряжений в вершине однородных и составных конусов при разных граничных условиях. // ПММ. М.: Наука, Т.72. Вып. 3, 2008, С. 487-494.

3. Накарякова Т.О.,Севодина Н.В. Численные исследования сингулярности напряжений в вершине кругового и эллиптического конусов. // Тезисы докладов IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород, 2006. С. 157-158.

4. Накарякова Т.О., Севодина Н.В. Исследования сингулярности напряжений в вершине кругового конуса. // Сборник научных трудов "Вычислительная механика". 2006. N.4, С. 20-26.

5. Матвеенко В.П., Накарякова Т.О., Севодина Н.В. Сингулярность напряжений в вершине однородного и составного конуса. // Сборник научных трудов конференции "15 зимняя школа по механике сплошных сред". Пермь, 2007. Часть 3. С. 7-10.

6. Накарякова Т.О., Шардаков И.Н. Об одном варианте построения аналитического решения для кругового конуса // XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды: Материалы Междунар. конф. / Под ред. акад. Н.Ф. Морозова. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. - С. 215-217.

7. Valeriy Matveyenko, Tatyana Nakaryakova, Natalya Sevodina. Numerical analysis of stress singularity in three-dimensional problems of elasticity theory. // XXII International Congress of Theoretical and Applied Mechanics. Australia, Adelaide, 2008. CD-ROM Proceedings. ISBN 9780-9805142-1-6.

Подписано в печать 16.03.2009. Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1. Формат 60х90/16. Набор компьютерный. Заказ № 44/2009.

Отпечатано в типографии ИД "Пресстайм" Адрес: 614025, г. Пермь, ул. Героев Хасана, 105

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Накарякова, Татьяна Олеговна

Введение

1 Построение аналитическими методами собственных решений для кругового конуса и анализ на их основе сингулярности напряжений

1.1 Математическая постановка задачи о характере сингулярности напряжений в вершине кругового конуса.

1.2 Построение собственных решений для кругового конуса аналитическими методами.

1.3 Исследование характера сингулярности напряжений в вершине кругового конуса при различных вариантах краевых условий на боковой поверхности конуса.

2 Численные методы построения собственных решений для конических тел

2.1 Численный метод построения собственных решений для конических тел па основе классической постановки задач теории упругости в перемещениях.

2.2 Вариант численного метода, основанный на возможности представления собственных решений в виде ряда Фурье

2.3 Вариант численного метода построения собственных решений в окрестности особых точек в упругих телах из несжимаемого или слабосжимаемого материалов.

2.4 Основные особенности алгоритма численной реализации и его апробация на тестовых задачах.

3 Исследование сингулярности напряжений в вершине круговых и некруговых, однородных и составных конических тел

3.1 Некруговой конус.

3.2 Исследование характера сингулярности напряжений в вершине полого конуса

3.3 Численный анализ сингулярности напряжений в вершине составного конуса.

3.4 Сингулярность напряжений в вершине составного кругового конуса с внутренней особой точкой.

Введение диссертация по механике, на тему "Исследование сингулярности напряжений в вершине круговых и некруговых конусов"

Одно из наиболее характерных свойств эллиптических уравнений, к которым принадлежат и уравнения Ламе, состоит в гладкости решения, если граница области, краевые условия и исходные данные, определяемые коэффициентами уравнений, гладкие. При нарушении этих условий в решениях могут появляться особенности. Точки нарушения указанных условий называются особыми. В задачах теории упругости особенность решения проявляется в появлении бесконечных напряжений в точках границы, где имеет место нарушение гладкости поверхности, смена типа краевых условий или контакт различных материалов. Особые точки могут иметь место не только на границе, но и внутри области, где нарушается гладкость поверхности контакта различных материалов.

Наличие особых точек значительно усложняет построение решения, адекватного реальной картине распределения напряжений и деформаций. В работе Каландии [17] установлено, что даже при гладких краевых уеловиях в нерегулярных точках границы возможно появление неограниченных (сингулярных) напряжений. Круг упругих задач с нерегулярной границей, для которых может быть найдено точное решение довольно узок. При применении же приближенных методов, аналитических или численных, возникает ряд проблем. Если необходимые условия наличия особенности выполнены, то эта особенность обязательно будет проявляться во всех решениях, полученных приближенными методами, либо большими значениями напряжений, либо большими градиентами напряжений в особых точках, что определяется свойствами выбранного аппроксимирующего базиса. Таким образом, наличие больших напряжений либо градиентов напряжений в особых точках говорит о возможности сингулярности, и решение в их окрестности нуждается в дополнительном исследовании.

В работе Гринченко [14] был сделан вывод, что для получения достоверных значений напряжений в нерегулярных точках границы помимо краевых условий необходима некоторая дополнительная информация, отражающая физическую сущность рассматриваемой задачи. В работе Во-ровича И.И. [9] для выделения класса физически осмысленных решений, обладающих свойством единственности, используется принцип возможных перемещений и условие конечности энергии. На основе строгого анализа задачи установлено, что этого условия достаточно для вскрытия характера решений в особых точках границы.

Большой вклад в исследование поведения решений общих краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы внесли Кондратьев В.А., Мазья В.Г., Пламепевский Б.А, Эскии Г.И. [19], [128], [129], [130], [97]. Они показали, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда бесконечно дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного и плоского угла и типа краевых условий).

В работе [19] показано, что для уравнений линейной теории упругости в окрестности угловых точек имеет место асимптотическое представление

KkfkrAfc1, г —» 0, с < Re Ai < ReX2 <.< ReXk < . k=1 или более сложное, с логарифмическими составляющими в случае кратных точек спектра Хк). Здесь г - расстояние до угловой точки, Кк - коэффициенты интенсивности, Д - функции углового распределения поля напряжения т в окрестности угловой точки. В плоском случае Д- зависят от одной полярной угловой переменной ip при с = 0, в пространственном -от двух сферических (р, в при с = —0.5.

В некоторых случаях, асимптотическое решение может быть точно построено, в частности, если мы рассматриваем специальную геометрию и свойства материалов [177], [107], [63], [83].

В монографии В.З. Партона, П.И. Перлина [48] изучены особые решения уравнений теории упругости, установлен их математический и физический смысл, проведен анализ результатов многочисленных работ, посвященных проблеме особых решений.

Задача определения напряженно-деформированного состояния в окрестности угловой точки распадается на две: задачу построения сингулярных решений и задачу определения коэффициентов при сингулярных решениях (коэффициентов асимптотики).

Неизвестные коэффициенты асимптотики, называемые коэффициентами интенсивности напряжений (КИН), играют существенную роль в механике разрушения. Задача их определения в общей математической постановке рассмотрена в работе Мазьи В.Г. и Пламеневского Б.А. [131].

Для двумерных клиньев вычисление интенсивности напряжений вблизи их вершины оказывается сравнительно простым [104], [77], [180]. Отдельные работы [93], [95], [152] посвящены определению точной структуры упругого поля вблизи вершины тела (задача па собственные вектора и собственные значения). Например, Чен [74] получил собственные значения и собственные вектора для клина, составленного из двух материалов, с помощью метода комплексных функций. В работе [65], [66] вычислены КИН в вершине четверти трещины в полубесконечном пространстве. Для анализа коэффициентов асимптотики в составных клиньях используются различные подходы, такие как: метод конечных элементов с использованием сингулярных конечных элементов [167],[77]; метод граничных интегральных уравнений [72]; численный метод основанный на известных аналитических функциях (метод экстраполяции) [137]; метод интегрирования по контуру в сочетании с МКЭ [154].

Для нахождения неизвестных коэффициентов напряжений в вершине различных видов трещин возможно использование сингулярных конечных элементов [173], [174], [108], [120], [124], [160]. Работа [179] посвящена вычислению КИН с использованием метода граничных элементов (МГЭ) в межплоскостпой трещине.

Небольшое количество работ, в частности [117], посвящено вычислению интенсивности напряжений для трехмерных составных клиньев с различной геометрией и материальными характеристиками, за исключением трещины. В работе [119] вычисляется интенсивность напряжений вблизи ■ вершин трехмерных клиньев с помощью М-интеграла двух состояний. Для трехмерных трещин (пересечение фронта трещины и свободной поверхности) возможно использование J-интеграла для вычисления углового коэффициента интенсивности напряжений [139]. Вариационный метод Ритца применяется к трехмерной задаче о прямоугольном разрезе (трещине нормального отрыва) вблизи ребра упругого клина [6]. Сделан расчет КИН для трех типов граничных условий на гранях клина. Интенсивность напряжений угловой трехмерной сингулярности получена в работе [118] для вершины поперечной трещины, ограниченной свободной плоскостью в слоистых композиционных материалах. В работе [8] произведены расчеты КИН для конуса с дисковой трещиной.

В работах [53], [72], [117],[153] приведено обоснование использования критического значения коэффициента интенсивности в качестве критерия разрушения в угле поверхности раздела составного клина.

Однако какой бы подход не использовался при определении неизвестных коэффициентов, для его реализации необходимо знать показатель сингулярности напряжений.

В двумерных задачах исследование сингулярности напряжений связано с анализом напряженного состояния в окрестности вершины плоских клиньев и в вершине трещины на граиице раздела составной плоскости. За почти полувековую историю решения этих задач рассмотрены почти все возможные варианты клиновидных тел: однородные, составные, изотропные, анизотропные, при различных граничных условиях, окрестность внутренней особой точки (сумма углов, составляющих клин, равна 360°), клинья из пьезоматериалов и т.д. [57], [68], [69], [70], [71], [169], [113], [84], [88], [89], [101], [137], [98], [75], [75], [166], [74], [112], [127], [184], [56], [79], [182], [81], [102], [149]. Были получены решения для трещины в изотропном материале [145], [106], межплоскостной трещины [178], [155], [98], [103], [165], трещины в вязкоупругой среде [134]. Для двумерных задач проблема построения сингулярных решений практически закрыта.

При решении этих задач доминировали два аналитических подхода. Один из них связан с построением решений, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и однородным граничным условиям для областей, содержащих особые точки. Первой из работ этого подхода была статья Ви-льямса [177]. При другом подходе применяются преобразования Меллина [133] и теория вычетов, как, например, в работах [67], [39], [101], [175]. Оба подхода приводят рассматриваемую задачу к трансцендентному (характеристическому) уравнению относительно показателя сингулярности, которое имеет счетное множество корней, в общем случае комплексных, как с положительными, так и с отрицательными действительными частями.

Решения с неограниченными смещениями (ReXk < 0) приводит к напряжениям, порядок бесконечности которых в особой точке больше единицы. Поэтому условие конечности энергии деформации оказывается нарушенным, в силу чего эти решения исключаются из дальнейшего рассмотрения.

Для оценки характера сингулярности напряжений важно знать число корней характеристического уравнения, для которых ЯеХ[. < 1. При наличии таких корней вероятность реализации напряженного состояния с бесконечной особенностью в точке тем больше, чем больше их число. При исследовании поля напряжений с качественной стороны важно знать характер первых корней этого уравнения (комплексные они или действительные).

Следует заметить, что нахождение корней трансцендентного уравнения представляет собой самостоятельную довольно трудоемкую задачу, которая находится под пристальным вниманием исследователей, стремящихся создать наиболее оптимальный алгоритм его численной реализации.

Обобщая результаты исследований о характере распределения напряжений в окрестности особых точек для плоской задачи Боджи Д.Б. [4] показал, что при т —> 0 (г -расстояние от особой точки) поле напряжений имеет особенность порядка V

0(гЛ11), если А1 действительно;

1005(7711п г) или т^1 1вт(?711пг)], если А1 = £1 + гг}1 комплексно; а — \ 0(гЛ1 Чпг), если трансцендентное уравнение В = 0 не имеет нулей в полосе 0 < ЯеХ < 1, но ^ = 0 при Л = 1;

0(1), если И не имеет нулей в полосе 0 < ЯеХ < 1 и ^ ф 0 при Л = 1, где Ах- корень трансцендентного уравнения И = О в полосе 0 < В,еА < 1 с минимальной действительной частью.

Таким образом, допускается два типа сингулярности напряжений: бесконечные напряжения и те напряжения, которые сами являются ограниченными, но имеют бесконечные производные. Второй тип сингулярности, или так называемая логарифмическая сингулярность, рассмотрен в работах [142], [171], [76] . Аналитически этот тип сингулярности изучен в [159] с использованием преобразования Меллина и в [84] - с использованием функции напряжений Эри. Если сингулярность напряжений существует и пропорциональна гл, то граничные условия вблизи для клипа г = О являются однородными. Логарифмическая сингулярность напряжений может появиться при неоднородных граничных условиях вблизи г = О [171]. Сарг-сян [50] исследовал вопрос о возможности появления логарифмической особенности напряжений в антиплоских задачах теории упругости для клина в зависимости от вида граничных условий и величины угла раствора клина. Получены условия, при которых в окрестности вершины клипа напряжения имеют логарифмическую особенность. В работе [142] сделай вывод, что сингулярность напряжений логарифмического типа в угловых точках полигонального включения устраняется лишь для квадратного включения определенной ориентации.

Необходимо сделать вывод, вытекающий из обзора по исследованию сингулярности напряжений в особой точке границы тела. Он состоит в том, что проблема изучения сингулярности напряжений в трехмерных телах аналитическими методами не получила должного развития. Имеется лишь небольшое число исследований, посвященных данной проблеме.

Для трехмерных задач можно выделить два класса объектов. Первый - это ребро пространственного клина (ребро не обязательно прямолинейное, угол раствора клина может изменяться вдоль ребра), второй - вершина многогранного клипа или вершина конуса. Интерес к первой проблеме был исчерпан результатами ряда работ. Одной из первых была работа [39]. Здесь было показано, что решение плоской и антиплоской задач для клиньев, получаемых в плоскостях, перпендикулярных ребру пространственного клина, определяет вид сингулярности напряжений в точках ребра, через которые проходит соответствующая плоскость. Авторы работы [123] исследуют сингулярность напряжений на границе осесимметричного соединения, состоящего из двух скрепленных усеченных конусов. Асимптотическое распределение напряжения в этом случае может быть различным при осесимметричной деформации и при плоско-деформируемом состоянии, при этом сингулярность напряжений одинакова. Основное решение основывается на решении Буссинеска [170]. Авторы работ [141], [125] на основе подхода Вильямса исследуют сингулярность напряжений в осесим-метричных скрепленных соединениях (внутренняя особая точка). В плоском случае показатели сингулярности напряжений зависят от угла соединения и параметров Дандерса, в трехмерном случае поле сингулярных напряжений определяется коэффициентами Пуассона и отношением коэффициентов сдвига.

Работы, посвященные исследованию сингулярности напряжений в вершине многогранного клипа или в вершине конуса, стали появляться в последние годы.

После применения подхода Вильямса исходная задача о характере сингулярности напряжений в вершине кругового конуса при нулевой гармонике распадается на две: осесимметричную задачу и задачу на кручение. Интересен факт, что для задачи на кручение для всех углов раствора конуса все собственные значения являются действительными и никогда не бывают меньше единицы, то есть сингулярности напряжения не возникает.

В случае, когда компоненты не зависят от угловой координаты в уравнения равновесия приводятся к дифференциальному уравнению Лежандра [126]. Решениями данного уравнения являются функции Лежандра.

Для исследования особенностей кусочно-однородной среды с поверхностью раздела сред в виде кругового конуса использовался метод представления перемещений через гармонические функции (представления Папковича-Нейбера) [148].

Трехмерные задачи о сингулярности напряжений для конических выточек или включений (или вершина конуса) были изучены аналитически в работах [19], [62], [148], [163], [116], [150], [140], [48].

Базант и Кир [62] показали, что твердое коническое включение порождает более сильную сингулярность напряжений в его вершине, чем коническая выточка тех же размеров (конус с углом раствора больше 90°). Это утверждение сохраняет значимость, даже если включение находится в трансверсально изотропном материале.

В работе [115] на основе построенного аналитического решения была исследована сингулярность напряжений в вершине однородного кругового конуса при однородных граничных условиях в напряжениях и перемещениях на боковой поверхности в трехмерной постановке. Здесь при использовании представления решения в виде ряда Фурье по окружной координате были получены аналитические решения для всех гармоник ряда Фурье.

В работе Морозова Н.Ф. [7] методом интегральных преобразований (Меллина в случае статики и Лебедева-Конторовича в случае динамики) строятся аналитические решения задач о кручении упругого кругового конуса. В предположении, что внешние силы сосредоточены в окрестности вершины конуса, исследуется асимптотика дальнего поля. Попов Г.Я. исследует задачу о кручении упругого однородного и составного конуса при наличии центра вращения у острия конуса [49].

Денисюк И.Т. [15] исследует упругое равновесие среды с коническими включениями. Это предполагает знание локального напряженного состояния вблизи особых точек.

Некоторые несимметричные конфигурации были изучены аналитически. Используя методы, основанные на теории потенциала, Кир и Парихар [146], [147] исследовали трехмерную сингулярность напряжений в углах штампов, клиновидных трещин и пирамидальных выточек в изотропном материале. Для многих из этих случаев показатели сингулярности оказались больше показателя сингулярности в вершине трещины, равного -0.5 [90]. Интересно, что это аналитическое решение такое же и для трещины в анизотропном материале [161]. В работах [176], [172] получено решение для трещины между плоскостями клина, выполненного из различных анизотропных композиционных материалов, со свободными гранями и с внутренней особой точкой [78].

Полуаналитический подход для нахождения показателей сингулярности напряжений в угловой точке свободной поверхности с фронтом трещины в трехмерном случае (вершина четверть-бесконечной трещины в полупространстве) был представлен в работах [65], [66]. Было показано, что показатель сингулярности зависит от коэффициента Пуассона v. В работе [82] был предложен полуаналитический метод для вычисления показателей сингулярности и функций углового распределения поля напряжения т в окрестности угловой точки многогранного клина для трех основных типов краевых условий, для изотропных и анизотропных материалов.

Для решения трехмерных задач о сингулярности напряжений, в подавляющем большинстве используются различные варианты численных методов. Работы, посвященные задачам этого направления, стали появляться в основном в последние годы и их классификацию можно осуществить по двум признакам: геометрия рассматриваемой области, вариант численного метода. По геометрии можно выделить следующие объекты: многогранный (в т.ч. трехгранный) клин [24], [13], конус [115], [62], трещина [91], угол Фикера [54].

Под углом Фикера понимается трехмерная область, которая может быть описана как куб, из которой удален куб меньшего размера [54], или угол тела между тремя непараллельными плоскостями [85].

Можно выделить работы, направленные на вычисление показателей сингулярности напряжений для различной геометрии поверхностного угла в однородных материалах [60], [65], [93] и для угловых точек фронта трещин, расположенных в плоскости соединения двух разнородных материалов [164], [58], [93]', [95], [152], [109], [96].

Процедуры исследования сингулярности напряжений в трехмерных телах, как правило, основаны на дискретных методах: метод конечных элементов (МКЭ) [16], метод граничных элементов (МГЭ) [5].

Базант [60] первый разработал основную численную процедуру для определения трехмерной сингулярности напряжений, используя МКЭ. Позднее Базаит и Естенсорро [61] расширили этот метод для определения порядка сингулярности напряжений в вершине прямолинейной трещины, выходящей на поверхность. Сомаратна и Тинг [164] обобщили конечно-элементную схему, разработанную в [61], для исследования угловых трещин в анизотропных материалах. Авторами были получены показатели сингулярности напряжений в слоистых композиционных материалах. В работе [99] были включены еще и дииамические эффекты. Необходимо отметить несколько важных работ, касающихся точности метода [93], [95]. Накамура и Парке [139] исследовали трехмерное напряженное состояние в окрестности фронта сквозной трещины изотропной пластины, используя МКЭ и получили зависимость сингулярности напряжений от коэффициента Пуассона около пересечения фронта трещины и свободной поверхности. Также МКЭ применяется для исследования трехмерных клиньев, выполненных из анизотропных материалов [143], [144], [181]. Итерационный МКЭ был предложен авторами работы [57], [58].

Отметим, что МКЭ для исследования задачи сингулярности напряжений изначально был развит для изотропных материалов [61], и затем появились приложения для анизотропных материалов [164].

В работе [111] с помощью МГЭ был выполнен анализ трехмерных соединений (или многогранных клиньев) и показано, что порядок сингулярности напряжений в вершине трехмерного соединения более высокий, чем в вершине плоского соединения. Эти же результаты с помощью МКЭ были получены Лабосьером [117]. Зная значение показателя сингулярности, можно оценить коэффициент интенсивности напряжений в вершине соединения из распределения напряжений, полученного МГЭ и МКЭ, рассматривая сингулярность напряжений как интерполяционную функцию. Более того, когда показатель сингулярности напряжений определяют на плоскости параметров Дандерса, то возможно получить КИН для различных типов материалов. В работе [110] впервые исследован показатель сингулярности напряжений в вершине прямоугольного параллелепипеда и затем изображена плоскость параметров Дандерса, которые определяются из трехмерного напряженного состояния. Показано, что показатель сингулярности в трехмерных соединениях (клиньях) зависит от модулей упругости материалов.

В работе [91] разработан комбинационный метод численного решения пространственных задач механики разрушения, в котором МГЭ использован для анализа поля напряжений в окрестности концевой зоны трещины, а МКЭ - для расчета напряжений и деформаций в остальной части рассматриваемого тела.

Следует отметить, что численный метод по сравнению с аналитическим методом имеет более широкие возможности, например, при анализе сингулярности напряжений в неоднородных или анизотропных телах, при смешанных краевых условиях.

Авторы работы [13] рассматривают удобную классификацию численных методов, связанную с вариантом дискретизации исходной задачи. При данной классификации численные методы делятся на три группы: прямая аппроксимация исходной задачи (дискретизация по трем переменным); МГЭ [111] или выделение в искомом решении гЛ в явном виде (дискретизация по двум переменным) [24]; применение преобразования Меллина к исходным двумерным граничным интегральным уравнениям (сведение исходной задачи к одномерным интегральным уравнениям) [12].

Первый подход приводит к системам линейных алгебраических уравнений большой размерности, решение которых требует значительных вычислительных затрат. Используются специальные сингулярные элементы и специальные базисные функции [21], [184], [143], [77], [57], [64], [160], [100].

Второй подход является самым распространенным при вычислении конкретных характеристик сингулярности напряжений [168], [25], [54], [152], [121], [61], [98], [85], [119], [52], [183].

Третий подход предложен для определения особенности контактных напряжений в вершине клиновидного штампа и обобщен затем на случай клиновидных трещин, трещин, выходящих на поверхность, и произвольных многогранных углов [1], [159], [96].

Для численной реализации полученных уравнений с помощью второго подхода возможно использование метода Галеркина [25], [85], [51], вариационного принципа Лаграижа [152], [166], принципа минимума потенциальной энергии [119], [118], [164], [93]. Далее для численного решения возможно применение метода граничных элементов, метода конечных элементов и метода конечных разностей.

Приемы численного решения с использованием МГЭ на сгущенных сетках и граничного интегрального метода разработаны в работах [159] и [96], соответственно.

Исходная задача теории упругости сводится к квадратичной задаче на собственные значения в форме (Х2М + А(? + К)и = 0 , где К, С, М

- несимметричные квадратные матрицы, и - собственный вектор узловых перемещений [55], [164], [93], [162], [132]. Общая схема сведения квадратичной задачи к линейной приведена в работе [93].

Спектральные свойства задач на собственные значения для системы уравнений Ламе изучались в [114], [115], [116].

При дискретизации полученных интегральных уравнений в подавляющем большинстве работ используются треугольные [25], [93], [95] и четырехугольные Лаграпжевы элементы [152], [119], [164] с линейной и квадратичной аппроксимацией.

Процедура МКЭ сводит поставленную задачу к отысканию комплексных собственных значений Л и собственных векторов алгебраической несимметричной матрицы, имеющей ленточную структуру. Для решения полученной алгебраической проблемы комплексных собственных значений используются различные методы и подходы.

В настоящее время широкое распространение для вычисления собственных значений получил метод Арнольди [157], [85]. В работе [54] рассматривается метод Арнольди в неявном виде. Другой подход связан с вычислением собственных значений с помощью метода Мюллера [25], [136], [92]. В работе [119] используется метод обратных итераций, который очень эффективно применяется для расчета собственных векторов. По мнению авторов работы [152], для неосесимметричной задачи нахождение собственных значений возможно только путем сканирования комплексной плоскости [82].

Точки, в которых пересекаются две или более кривых собственных значений, называются точками пересечений, а точки, в которых два действительных собственных значения становятся парой комплексных сопряженных собственных значений называются точками бифуркаций. Помимо вычислений самих собственных значений, существует и проблема определения точек пересечений и бифуркаций. В частности, собственные значения с геометрической кратностью, которая отлична от алгебраической кратности, являются причиной неустойчивостей асимптотического разложения поля перемещений, известного как парадокс Степберга - Койтера [54], [156].

С использованием вышеописанных методов и подходов были получены решения для различных задач теории упругости.

Задача о клиновидной выточке или включении в упругом пространстве была изучена в [147] с использованием метода граничных интегральных уравнений.

В работе Глушкова [2] разработанный для клиновидных штампов и обобщенный для произвольных многогранных углов метод выделения сингулярных составляющих линейно-упругого решения в окрестности угловых точек тела применяется для исследования особенностей угловых точек фронта трещин, расположенных в плоскости соединения двух разнородных материалов. Метод основан на сведении с помощью преобразования Мел-лина эталонных трехмерных краевых задач к спектральным задачам для одномерного интегрального оператора. В рамках данного подхода выведен вид интегрального оператора для рассматриваемой задачи, осуществлена компьютерная реализация и проведен численный анализ зависимости характеристик сингулярного разложения как от раствора угла трещины, так и от соотношения упругих свойств материала.

Для решения задачи угловой сингулярности в вершине пирамидального включения используется метод двумерных граничных уравнений [159]. С помощью этого подхода в [158] были получены известные численные результаты для случая конической выточки или включения [148], угла Фикера [163] и клиновидной выточки в полупространстве [61].

Используя подход Вильямса, исследован характер сингулярности напряжений в вершине кругового полубесконечного изотропного конуса при различных граничных условиях (нулевые напряжения или нулевые перемещения на боковой поверхности), а именно, найдены зависимости действительной части собственных значений от угла раствора конуса [62], [54], [85]. В работе [54], [85] для круглого конуса были определены собственные значения для угла раствора конуса 120° и коэффициента Пуассона V = 0.3. В работе [62] методом конечных разностей получены результаты для осе-симметричпой задачи и задачи па кручение для кругового конуса.

В работах [54], [85], [98] исследована зависимость собственных значений от материальных параметров для вершины Фикера при различных вариантах граничных условий. В работе [85] рассмотрена задача о характере сингулярности напряжений для двух поверхностей ортогональных третьей (угол Фикера). Решение является функцией угла между двумя плоскостями. Данная задача решена для однородного материала {ь> = 0.3) и для двух материалов с соотношением модулей Юнга равным 10 {Е1/Е2 = 10). Подобная задача рассматривалась в работе [54] при заданных нулевых напряжениях на боковых поверхностях. Получены собственные значения в зависимости от различных материальных параметров Также получено решение для изотропного материала и граничных условий в перемещениях [159].

Подавляющее число работ посвящено изучению характера сингулярности напряжений на кончике трещины, выходящей на поверхность [59]. Рассмотрены задачи для разных типов граничных условий, углов пересечения трещины с поверхностью и материальных параметров. В работах [85], [122], [54], [152], [12] получены зависимости собственных значений от различных углов фронта трещины и коэффициентов Пуассона для изотропного материала. Относительно плоскости трещины получается одно симметричное и два антисимметричных решения. Симметричное решение является действительным для всех собственных значений и коэффициентов Пуассона. Два антисимметричных решения являются комплексно-сопряженными. Частный случай для а = 90° (четверть трещины в полубесконечном пространстве) изучен в работах [54], [61], [85], [159], [164], [93]. В данных работах исследовалась зависимость собственных значений при различных коэффициентах Пуассона.

Для клиновидной трещины на поверхности раздела двух материалов при граничных условиях в напряжениях получены следующие результаты. Были найдены показатели сингулярности напряжений для различных соотношений модулей Юнга и коэффициента Пуассона и = 0.3 [85], [54].

Среди трехмерных тел вызывают интерес такие точки, как вершина многогранного клина, в которых задача анализа особенности напряжений не сводится к рассмотрению двумерных задач. Развитие работ этого направления можно проследить в [24], [13], [25]. Также показатели сингулярности напряжений в вершине трехмерных клиньев обсуждаются в работах [110], [152], [95], [93], [59], [164], [61], [65], [66]. В работе [80] решается задача на основе представления Лехницкого, учитывающего плоскую и антиплоскую деформации. На гранях клина заданы нулевые напряжения, и показатели сингулярности напряжения разыскиваются с помощью подхода Вильямса. Для показателей сингулярности получено трансцендентное уравнение, решение которого исследуется как функция угла раствора клина. Изучена зависимость показателя от материальных констант (модуль Юнга, модуль сдвига) и ориентации волокон. На основе МКЭ в сочетании с методом Стеклова в работе [183] вычислены собственные значения и собственные вектора для соединений из различных материалов с различными видами граничных условий, трещины в разнородных материалах. Димитров и др. исследуют трехмерную сингулярность вблизи окрестности углов в слоистых композитных материалах [86]. С использованием преобразования Меллина исследована сингулярность напряжений от материальных констант и геометрических параметров V- и Т-образных соединений [135].

Известно, что концентрация напряжений на линии контакта тройных соединений, вызванная температурной или упругой анизотропией волокон, играет главную роль в появлении трещины. В работе [94] проанализирована концентрация напряжений в тройном соединении, вызванная упругой анизотропией, и показано, что концентрационный эффект намного сильнее в трехмерном случае, чем подобный, полученный в плоской конфигурации. Пику и Гупта [151], используя МКЭ, изучили сингулярность напряжений в точке пересечения линии контакта тройного соединения со свободной поверхностью в однофазных поликристаллах. В более поздней работе этих авторов [152] можно найти исследование зависимости показателей сингулярности напряжений от различных углов и различных материалов тройного соединения.

Точка пересечения фронтов трехмерных трещин называется угловой точкой. В работе [138] излагаются результаты подробного расчета сингулярности напряжений в угловой точке для сквозной и полукруглой трещин при нагружении по моде II. Обсуждаются специфические признаки локальных напряжений по результатам конечно-элементного расчета.

В работе Матвеенко В.П. и др. [26] был изложен метод, позволяющий получить результаты о характере сингулярности напряжений в вершине конуса с эллиптическим основанием при однородных краевых условиях.

Целью работы является разработка аналитических и численных методов для оценки характера сингулярности напряжений в вершинах различных вариантов конусов и анализ на основе этих методов сингулярности напряжений при различных геометрических и механических параметрах. Научная новизна работы состоит в том, что:

1. Разработай аналитический метод построения собственных решений для круговых сплошных конусов и на его основе получены численные результаты о характере сингулярности напряжений в вершине конуса при различных граничных условиях на боковой поверхности, в т.ч. при смешанных граничных условиях.

2. Предложен численно-аналитический метод и алгоритмы его численной реализации для расчета показателей сингулярности в вершине конических тел на основе классической постановки задачи теории упругости в перемещениях и вариант метода на основе постановки " задачи теории упругости в перемещениях, применимой как для сжимаемых, так и для несжимаемых материалов.

3. Впервые выполнено численное исследование характера сингулярности напряжений в вершине конуса с эллиптическим основанием, полого конуса, составного конуса, конуса с внутренней особой точкой при различных граничных условиях на боковых поверхностях.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на: конференции молодых ученых по механике сплошных сред, посвященной 80-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР A.A. Поз-деева "Поздеевские чтения" (Пермь, 2006г.); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006г.); III Всероссийской конференции, посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2006г.); конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2006г., 2007г.); 15-ой Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2007г.); XV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2007г.); XXXV International Summer School "Advance problem in mechanics" (St. Petersburg, 2007г.); Международной конференции "XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды" (Саратов, 2007г.); конференции молодых ученых "Актуальные проблемы математики, механики, информатики (Пермь, 2008г.); V Всероссийской конференции "Механика микронеоднородных материалов и разрушение" (Екатеринбург, 2008г.); 22nd International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Adelaide, Australia, 2008r.).

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Во второй главе для классической постановки задачи теории упругости в перемещениях разработан метод расчета показателей сингулярности напряжений в вершине круговых и некруговых конусов и алгоритм его численной реализации на основе метода конечных элементов. Разработан вариант численного метода расчета показателей сингулярности напряжений в вершине круговых конусов для задач, допускающих представление решения в виде ряда Фурье. Разработан метод и алгоритм его численной реализации для расчета показателей сингулярности напряжений в вершине круговых и некруговых конусов для постановки задачи теории упругости, справедливой для всех коэффициентов Пуассона. Выполнены численные эксперименты, иллюстрирующие сходимость метода и его достоверность на основе сравнения с известными аналитическими и численными результатами.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Выводы по работе

В данной работе получены следующие результаты:

2. Предложен численно-аналитический метод и алгоритмы его численной реализации для расчета показателей сингулярности в вершине конических тел на основе классической постановки задачи теории упругости в перемещениях и вариант метода на основе постановки задачи теории упругости в перемещениях, применимой для сжимаемых и несжимаемых материалов.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Накарякова, Татьяна Олеговна, Пермь

1. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В.// ДАН. 1981. Т.257. N.2. С.289-294.

2. Барсуков С.А., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Сингулярность напряжений в угловых точках фронта трещины, находящейся на границе раздела двух сред.// МТТ. 2002. N.2. С.77-85.

3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.Н. М.: Наука, 1966. 632 с.

4. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982.-248с.

5. Бураков В.А., Пожарский Д.А. О прямоугольном разрезе в трехмерном упргом клине.// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. и. Прикл. 2004. N.8. С.3-7.

6. Будаев Б.В., Морозов Н.Ф., Нарбут М.А. Кручение кругового конуса при статическом и динамическом нагружении.// ПММ. 2004. Т.58. N.6. С.152-155.

7. Вознюк С.Н., Николаев А.Г. Напряженно-деформируемое состояние конуса с дисковой трещиной. // Теор. и прикл. мех. 2005. N.41. С.9-13.

8. Ворович И.И. О поведении решений особых краевых задач теории упругости в окрестности особых точек границы.// Тез.докл. III Все-союз. Съезда по теорет. и прикл. механике. 1968. С.80.

9. Германн Л.Р., Томе Р.М. Преобразование уравнений поля упругой среды к новой форме, пригодной для всех допустимых значений коэффициента Пуассона.// Прикладная механика. Труды Американского общества инженеров-механиков. 1964. N.1. С.166-167.

10. Германн Л.Р. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых и почти несжимаемых материалов// Ракетная техника и космонавтика. 1965. N.10. С.139-144.

11. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Лапина О.Н.// Изв. АН СССР. МТТ. 1998. N.5. С.146-153.

12. Глушкова Н.В., Глушков Е.В., Хофф Р. Сингулярность напряжений в многогранных угловых точках упругих разномодульных соединений.// ДАН. 2000. Т.370. N.2. С.181-185.

13. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания тел конечных размеров. Киев: Наук.думка. 1978. 264с.

14. Денисюк И.Т. Напряжения вблизи конической точки поверхности раздела средю.// Изв. РАН. МТТ. N.3 С.68-77.

15. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.:Мир, 1975.-542с.

16. Каландия А.И. Замечания об особенности упругих решений вблизи углов.// Прикл. матем. и мех. 1969. Т.ЗЗ. N.1. С.132-135.

17. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука. 1972. 576 с.

18. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. // Тр. ММО. 1967. Т. 16. С.209-292.

19. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1973. 736 с.

20. Лущик О.Н. Сингулярные конечные элементы. Обзор и классификация. // Изв. РАН. МТТ. 2000. N.2. С.103-114.

21. Кожевникова Л.Л. Матвеенко В.П. Некоторые особенности расчета конструкций из несжимаемых или почти сжимаемых материалов// Полимерные материалы в машиностроении. Научные труды ППИ. Изд-во ПНИ. Пермь, 1974. N. 146, С.104-109

22. Матвеенко В.П. Метод численного анализа сингулярности напряжений в угловых точках трехмерных тел.// Изв. РАН. МТТ. 1995. N.5. С.71-77.

23. Матвеенко В.П., Минакова С.Г. Численный анализ сингулярности напряжений в вершине трехгранного упругого угла. // Механика и прикладная математика. Тула. 1988. С.38-42.

24. Матвеенко В.П., Накарякова Т.О., Севодина Н.В., Шардаков И.Н. Исследование сингулярности напряжений в вершине эллиптического конуса.// ДАН. 2006. Т. 411, N.3, С.326 329.

25. Matveenko V.P., NakaryakovaT.O., Sevodina N.V., Shadakov I.N. Investigation of Singularity of Stresses at the Apex of a Cone with an Elliptic Base.// Doklady Physics. 2006. V.51, No.ll. P.630-633.

26. Матвеенко В.П., Накарякова Т.О., Севодина Н.В. Сингулярность напряжений в вершине однородного и составного конуса.// Сборник научных трудов конференции "15 зимняя школа по механике сплошных сред". 2007. Часть 3. С.7-10.

27. В.П. Матвеенко, Т.О. Накарякова, Н.В. Севодииа, И.Н. Шардаков. Сингулярность напряжений в вершине однородных и составных конусов при разных граничных условиях.// ПММ. М.: Наука, Т.72. Вып. 3, 2008, с.487-494.

28. Матвеенко В.П., Накарякова Т.О., Севодина Н.В. Численный анализ сингулярности напряжений в трехмерных задачах теории упругости.// Тезисы докладов конференции молодых ученых "Численные методы в математике и механике". Ижевск, 2007. С. 5-6.

29. Matveenko V.P., Nakaryakova Т.О., Sevodina N.V. Investigation of . stress singularities at the vertex of conic bodies.// Book of abstracts of International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". St.Petersburg, 2007. P. 82-83.

30. Матвеенко В.П., Накарякова Т.О., Севодина Н.В. Сингулярность напряжений в вершине полого и составного конуса.// Научно-образовательный центр. Неравновесные переходы в сплошных средах. Итоги работы за 2006 год. Пермь, 2007. С. 90-94.

31. Матвеенко В.П. Об одном алгоритме решения задачи о собственных колебаниях тел методом конечных элементов.// Краевые задачи теории упругости и вязкоупругости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1980. С.20-24.

32. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. -М.: Высшая школа. 1967. 546 с.

33. Михайлов С.Е. Сингулярность напряжений в окрестности ребра в составном неоднородном анизотропном теле и некоторые приложения к композитам. // Изв. Ан СССР. МТТ. 1979. N.5. С.103-110.

34. Накарякова Т.О., Севодина Н.В. Численные исследования сингулярности напряжений в вершине кругового конуса.// Сборник научных трудов конференции "Поздеевские чтения". Пермь, 2006. С.94-97.

35. Накарякова Т.О., Севодина Н.В. Численные исследования сингулярности напряжений в вершине кругового и эллиптического конусов.//

36. Тезисы докладов IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Нижний Новгород, 2006. С. 157-158.

37. Накарякова Т.О., Севодина Н.В. Исследования сингулярности напряжений в вершине кругового конуса.// Сборник научных трудов "Вычислительная механика". 2006. N.4. С.20-26.

38. Накарякова Т.О. Исследование сингулярности напряжений в вершине кругового и некругового конусов.// Конференция молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь, 2006. С. 4647.

39. Накарякова Т.О., Шардаков И.Н. Об одном варианте построения аналитического решения для кругового конуса.// Тезисы докладов международной конференции "XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды". Саратов, 2007. С.79-80.

40. Т.О. Накарякова, И.Н. Шардаков. Построение собственных аналитических решений для кругового конуса. // Материалы конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". Пермь, 2007. С.337-340.

41. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981.-688 с.

42. Попов Г.Я. Напряженное состояние упругого составного конуса при наличии центра вращения у острия конуса.// ПММ. 2006. Т.70. N.4. С.660-672.

43. Саргсян А. М. О логарифмической особенности напряжений в антиплоской задаче теории упругости для клина.// Изв. АН Армении. Мех. 2004. Т.57. N.2. С.11-17.

44. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1977.-349с.

45. Abdei-Messei Y.S., Thatcher R.W. Estimating the form of some three- ' dimensional singularities.// Commun. Appl. Numer. Meth. 1990. No.6. P.333-341.

46. Akisanya A.R., Meng C.S. Initiation of fracture at the interface corner of bi-material joints.// Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2003. No.51. P.27 46.

47. Apel Т., Mehrmann V., Watkins D. Sructured eigenvalue methods for the computation of corner singularities.// Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 2002. No. 191. P.4459-4473.

48. Bai Z., Sleijpen G., H. van der Vorst, Quadratic eigenvalue problems, Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: A Practical Guide.// SIAM. Philadelphia. 2000. P.281-289.

49. Barroso A., Mantic V., Paris F. Singularity analysis of anisotropic multimaterial corners.// Int. J. Fract. 2003. No.119, P.l-23.

50. Barsoum R.S. Theoretical basis of the finite element iterative method for the eigenvalue problem in stationary cracks.// Int.J.Numer. Meth. in . Engng. 1988. No.26. P.531-539.

51. Barsoum R.S. Asymptotic fields at interfaces using the finite element iterative method.// Comput. Struct. 1990. No.35. P.285-292.

52. Barsoum R.S., Chen T. Three-dimensional surface singularity of an interface crack.// Int.J. Fract. 1991. No.50. P.221-237.

53. Bazant Z. P. Three-dimensional harmonic functions near termination or intersection of gradient singularity lines: a general numerical method.// Int. J. Eng. Sci. 1974. No.12. P.221-243.

54. Bazant Z.P., Estenssoro L.F. Surface singularity and crack propagation. // Int. J. Solids Struct. 1979. No.15. P.405-426.

55. Bazant Z.P., Keer. L.M. Singularities of elastic stresses and of harmonic functions at conical notches and inclusions.// Int.J.Solids Struct. 1974. No.10. P.957-964.

56. Beagles A.E, Sandig A.M. Singularities of rotationally symmetric solutions of boundary value problems for the Lame equations.// Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik.

57. Benthem J.P. The quarter-infnite crack in a half-space; alternative and additional solutions.// Int. J.Solids Struct. 1980. No.16. P. 119-130.

58. Bogy D.B. Edge-bonded dissimilar orthogonal elastic wedges under normal and shearing loading.// J. Appl. Mech. 1968. No.35. P.460-466.

59. Bogy D.B. Two edge-bonded elastic wedges of different materials and wedges angles under surfase tractions.// J. Appl. Mech. 1971. No.38. P.377-386.

60. Bogy D.B. On the plane elastostatic problems of a loaded crack at a material interface.// J. Appl. Mech. 1971. No.38. P.911-918.

61. Bogy D.B. The plane solution for anisotropic elastic wedges under normal and shear loading.// J. Appl. Mech. 1971. No.39. P.1103-1109.

62. Bogy D.B., Wang K.C. Stress singularities at interface corners in bonded dissimilar isotropic elastic materials.// Int. J. Solids Struct. 1971. No.7. P.993-1005.

63. Carpenter W.C, Byer C. A path independent integral for computing stress intensities for V-notched cracks in a bi-material.// Int. J. Fract. 1987. No.35. P.245-268.

64. Chaudhuri R. A. Three-dimensional asymptotic stress field in the vicinity of the circumference of a penny shaped discontinuity.//Int. J. Solids Struct. 2003. No.40. P.3787-3805.

65. Chen D.H. Analysis of singular stress fields around the inclusion tip.// Engng. Fract. Mech. 1994. No.49. P.533-546.

66. Chen D. H., Nisitani H. Singular stress field in two bonded wedges.// Transactions of Japan Society of Mechanical Engineers Series A. 1992. No.58. P.457-464.

67. Chen D. H., Nisitani H. Logarithmic singular stress field in bonded wedges.// Transactions of Japan Society of Mechanical Engineers Series A. 1993. No.59. P.2687-2693.

68. Chen M.C., Sze K.Y. A novel hybrid finite element analysis of bimaterial wedge problems.// Engng. Fract. Mech. 2001. No.68. P.1463-1476.

69. Chen H.P. Stress singularities in anisotropic multi-material w edges and junctions.// Int. J. Solids Struct. 1998. N.35. P.1057-1073.

70. Chuang W.Y., Sung J.C., Chung W.G. Stress singularities of two special geometries of wedges with free-mixed boundary conditions.// Computers and Structers. 2003. No.81. P.167-176.

71. Chue C.H., Liu C.I. A general solution on stress singularities in an anisotropic wedge.// J. Appl. Mech. 2001. No.38. P.6889-6906.

72. Chue C.H., Chen C.D. Decoupled formulation of piezoelectric elasticity under generalized plane deformation and its application to wedge problems.// Int. J. Solids Struct. 2002. No.39. P.3131-3158.

73. Costabel M., Dauge M., Lafranche Y. Fast semi-analytic computation of elastic edge singularities.// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2001. No.190. P.2111- 2134.

74. Dauge M. Elliptic Boundary Value Problems on Corner Domains-Smoothness and Asymptotics of Solutions.// Lecture Notes in Mathematics. Springer. 1988. V.1341.

75. Dempsey J.P., Sinclair G.B. On the stress singularities in the plane elasticity of the composite wedge.// Journal of Elasticity. 1979. No.9. P.273-391.

76. Dimitrov A., Andra H., Schnack E. Efficient computation of order and mode of corner singularities in 3D-elasticity.// Int. J. Numer. Meth. Engng. 2001. No.52. P.805-827.

77. Dimitrov A., Andra H., Schnack E. Singularities near three-dimensional corners in composite laminates.// Int. J. Fract. 2002. No.115. P.361-375.

78. England A. H. On the stress singularities in linear elasticity.// Int. J. Engng Sci. 1971. No.9, 571-585.

79. Erdogan F. Stress distribution in bonded dissimilar materials with cracs.// J. Appl. Mech. 1965. No.32. P.403-410.

80. Fenner D.N. Stress singularities in composite materials with an arbitrary oriented crack meeting interface.// Int. J. Fracture. 1976. V.12. No.5. P. 705-721.

81. Follias E.S. On the three-dimensional theory of craced plates.// J. Appl. Mech. 1975. No.42. P.663-674.

82. Frangi A., Novati G. BEM-FEM coupling for 3D fracture mechanics applications.// Comput.Mech. 2003. V.32. No.4-6. C.415-422.

83. Gelard C.F., Wheatley P.O. Applied Numerical Analysis.// Addison-Wesley. Reading. MA. 1984.

84. Ghahermani F. A numerical variational method for extracting 3D singularities.// Int. J. Solids and Struct. 1991. V.27. P.1371-1386.

85. Ghahermani F., Hutchinson J.W., Tvegard V. Three-dimensional effects in microcrack nucleation in brittle polycrystals.// J. Amer. Ceram. Soc. 1990. No.73. P.1548-1554.

86. Ghahremani F., Shih C.F. Corner singularities of three-dimensional planar interface cracks.// Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1992. V. 59. No.l. P.61-68.

87. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Lapina O.N. 3D elastic stress singularity at polyhedral corner points.// Int. J. Solids Struct. 1999. No.36. P.1105-1128.

88. Grisvard P. Singularities in Boundary value Problems. // Recherches en mathematiques appliques. Masson. Springer: Paris. 1992.

89. Gu L., Belytschko T. A numerical study of stress singularities in a two-material wedge.// Int. J. Solids and Struct. 1994. V.31. P.865-889.

90. Gudmudson P., Ostllund S. Stress singularities at the free surface of a dynamically growing crack.// J. Appl. Mech. 1990. No.57. P. 112-116.

91. Guzina B.B., Pak R., Martinez-Castro A. Singular boundary elements for three-dimensional elasticity problems.// Engng. Analyss wih BE. 2006. No.30. P.623-639.

92. Hein V.L., Erdogan F. Stress singularities in a two-material wedge.// Int. J. Fract. 1971. No.7. P.317-330.

93. Heinrich B. Singularity functions at axisymmetric edges and their representation by Fourier series.// Math. Meth. Appli. Sci. 1993. V. 16. P.837-854.

94. Hutchinson J.W., Mear M.E., Rice J.R. Crack paralleling to an interface between dissimilar materials.// ASME J. Appl. Mech. 1987. No.54. P.828-832.

95. Im.S. Application of the two-stste M-integral for computing an intensity of singular near-tip field for a generic composite wedge.// J. Mech. Phys. Solids. 2000. No.48. P.129-151.

96. Imanaka M., Ishii K., Nakayama H. Evaluation of fatigue strength of adhesively bonded single and single step double lap joints based on stress singularity parameters.// Engineering Fracture Mechanics. 1999. No.62. P.409-424

97. Karp, S. N. and Karal, F.C.J. The elastic field in the neighbourhood of a crack of arbitary angle.// Commun. Pure Appl. Math. 1962. No.15. P.413-421.

98. Kassir MK, Sih GC. Three Dimensional Crack Problems. Mechanics of Fracture Noordhoff: Leiden, 1975.

99. Khalil S.A., §un C.T. Hwang W.C. Application of a hybrid finite element method to determine stress intencity factors in unidirectoral composites.// Int. J. Fract. 1986. No.31. P.37-51.

100. Koguchi, H., Muramoto, T., Ihara, I. Analysis for stress singularity leld at a vertex in three-dimensional bonded structures.// JSME Int. J. 1999. No.42. P.80-89.

101. Koguchi, H., Muramoto, T., 2000. The order of stress singularity near the vertex in three-dimensional joints.// Int. J. Solids Struct. V.37. P.4737-4762.

102. Koguchi, H. Stress singularity analysis in three-dimensional bonded structure.// Int. J. Solids Struct. 1997. V.34. No.4. P.461-480.

103. Koguchi, H., Tadanobu, I., Toshio, Y. Stress singularity at the apex in three phase bonded structure.// Transactions of JSME Series A. 1993. No.59. P.163-170.

104. Koguchi H., Inoue T., Yada T. Stress singularity in three-phase bonded structure.// J. Appl. Mech. 1995. No.63. P.252-258.

105. Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Rossmann J., Spectral properties of operator pencils generated by elliptic boundary value problems for the Lame system.// Rostocker Math. Kollog. 1997. No.51. P.5-24.

106. Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Rossmann J., Spectral Problems Associated with Corner Singularities of Solutions to Elliptic Equations, American Mathematical Society.// Providence. RI. 2001.

107. Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Schwab C., On singularities of solutions of the displacement problem of linear elasticity near the vertex of a cone.// Arch. Ration. Mech. Anal. 1992. No.119. P.197-227.

108. Labossiere P.E.W., Dunn M.L. Fracture initiation at three-dimensional bimaterial interface corners.// J. Mech. Phys. Solids. 2001. No.49. P.609-634.

109. Lee Y., Jeon I., Im S. The stress intensities of three-dimensional corner singularities in a laminated composite.//Int. J. Solids and Str. 2006. V.43. P.2710-2722.

110. Lee Yongwoo, Im Seyoung. On the computation of the near-tip stress intensities for three-dimensional wedges via two-state M-integral.//J.Mech. and Phys. of Solids. 2003. V.51. P.825-850.

111. Lee J., Gao H. A hybrid fiite element analysis of interface cracks.// Int. J. Numer. meth. Engng. 1995. No.38. P.2465-2482.

112. Leguillon D, Sanchez-Palencia E. Computation of Singular Solutions in Elliptic Problems and Elasticity.// Masson. Wiley: Paris. 1987.

113. Li Y.L., Hu S.Y., Yang Y.Y. Stresses around the bond edges of axisymmetric deformation joints.// Engng. Fract. Mech. 2000. P.153-170.

114. Lin K.Y., Mar J.W. Finaite elemen analysis of stress intencite factor for cracks at a bi-material interface.// Int. J. Fract. 1976. No.12. P.521-531.

115. Liu Y.H., Xu J.Q., Ding H.J. Order of singularity and singular stress field about an axisymmetric interface corner in three dimensional isotropic elasticity.// Int. J. Solids Struct. 1999. No.36. P.4425-4445.

116. Lure A.I. Three-dimensional Problems of the Theory of Elasticity.// John Wiley and Sons. New York. 1964.

117. Ma C.C., Hour B.L. Analysis of dissimilar anisotropic wedges subjected to antiplane shear deformation.// Int. J. Solids Struct. 1989. No.25. P.1295-1309.

118. Mazja V.G., Nasarow S.A., Plamenewski B.A. Asymptotishe Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singular gestorten Gebieten.// Mathematishe Lehrbucher und Monographien: 2 Abteilung. AkademieVerlag: Berlin, 1991.

119. Maz'ya V. G. and Plamenevskij B. A. The first boundary value problems of classical equations of mathematical physics in domains with piecewise smooth boundaries.// ZAA 2 1983. No.4. P.335-359.

120. Meerbergen K., Tisseur F., The quadratic eigenvalue problem// SIAM Rev. 43 (2001) 235-286

121. Mellin H.// Acta math., 1902 V.25. P.139-164.

122. Meng L.U., Lee S.B. Eigenspectra and orders of singularity at a crack tip for a power-law creeping medium.// Int. J. Fract. 1998. No.92. P.55-70.

123. Mikhailov S. E., Namestnikova I. V. Stress-singularity analysis in space junctions of thin plates.// J. Engn. Math. 2000. No.37. P.327-341.

124. Muller D.E. A method for solving algebraic equation using an automatic computer.// Mathematical Table. 1956. P.208-215.

125. Munz D., Yang Y.Y. Stress singularities at the interface in bonded dissimilar matreials under mechanical and thermal loading.// ASME J. Appl. Mech. 1992. No.59. P.857-861.

126. Murakami Y., Natsume H. Stress singularity at the corner point of 3-D surface crack under mode II loading.// JSME Int. J. A. 2002. V.45. No.2. P.161-169.

127. Nakamura T., Parks D.M. Three-dimensional stress field near the crack front of a thin elastic plate.// ASME J. Appl. Mech. 1988. No.55. P.805-813.

128. Nkemzi B. On solution of Lame equations in axisymmetric domains with conical points.// Math. Methods Appl. Sciences 2005. V28. iss.l. P.29-41.

129. Noda N., Tsuji T. Stress singularities in edge-bonded dissimilar wedges (three-dimensional axisymmetrical elastic problems).// Trans JSME (in Japanese) 1992. V.58. No.546. P.123-129.

130. Nozaki H., Horibe T., Taya M. Stress field caused by polygonal inclusion.// JSME Int. J.A. 2001. V.44. No. 4. P.4T2-482.

131. Pageau S. S., Biggers S. B. (Jr) . A finite element approach to three-dimensional singilar stress states in anisotropic multimaterial wedges and junctions. // Int. J. Solids and Struct. 1996. V.33. No.l. P.33-4T.

132. Pageau S. S., Biggers Sherrill B. (Jr) . Enrichment of finite elements with numerical solutions for singular stress fields.// Int. J. Numer. Meth. Engng. 1997. No.40. P.2693-2713.

133. Pageau S.S., Joseph P.F., Biggers S.B. Finite element analysis of anisotropic materials with singular inplane stress fields.// Int. J. Solids Struct. 1995. No.32 P.571-591.

134. Parihar K.S., Keer L.M. Singularity at the vertex of pyramidal notches with three equal angles.// Q.J. Appl. Math. 1977. No.35. P.401-405.

135. Parihar K.S., Keer L.M. The singularity at the corner o a wedge-shaped crack or inclusion.// J.Appl.Mech. 1978. N.45. P.791-796

136. Parihar K.S., Keer L.M. Elastic stress singularities at conical inclusions.// Int. J. Solids Struct. 1978. V.14. P.261-263.

137. Parihar K.S., Keer, L.M. The singularity at the apex of a boundary wedge-shaped stamp.// J.Appl.Mech. 1979. No.46.

138. Picu C.R. Stress singularities at vertices of conical inclusions with freely sliding interfaces.// Int. J. Solids Structures. 1996. V.33 No.17, P.2453-2457.

139. Picu C. R., Gupta V. Singularities at grain triple junction in two dimensional polycrystals with cubic and orthotropic grains.// J. Appl. Mech. 1994.

140. Picu C. R., Gupta V. Three-dimensional stress singularities at the tip of a grain triple junction line interesting the free surface.// J.Mech. Phys. Solids, 1997. V.45, No.9, P.1495-1520.

141. Qian Z.Q., Akisanya A.R., Imbabi M.S. Edge effects in the failure of elastic/viscoelastic joints subjected to surface tractions.// Int. J. Solids Structures. 2000. No.37. P.5973-5994.

142. Qian Z.Q. On the evaluation of wedge corner stress intencity factors of bimaterial joints with surface tractions.// Comp. and Struct. 2001. No.79. P.53-64.

143. Rise J.R., Sih G.C. Plane problems of cracks in dissimilar media.// ASME J. Appl. Mech. 1965. No.32. P.418-423.

144. Rossle A., Sandig A.-M., Stress singularities in bonded dissimilar materials under mechanical and thermal loading.// Comput.Mater. Sci. 1996. No.7 P.48-55.

145. Saad Y. Variations on Arnoldi' method for computing eigenelemets of large unsymmetric matrices.// Linear Algebra and Its Applications. 1980. No.34. P.269-295.

146. Savruk M.P., Shkaraev S.V. Stress singularities for three-dimensional corners using the boundary integral eguation method.// Theoretical and applied Mechanics. 2001. No.36. P.263-275.

147. Schmitz H., Volk K., Wendland W.L. On three-dimensional singularities of elastic fields near vertices.// Numer. Meth. Partial Diff. Equat. 1993. No.9. P.323-337.

148. Seweryn A. Modeling of singular stress fields using finite element method.// Int. J. Solids and Struct. 2002. No.39. P.4787-4804.

149. Sih G.C., Paris P.G., IrwinG.R. On cracks in rectilinearly anisotropic body.// Int. J. Fracture Mech. 1965. No.l. P.189-202

150. Sleijpen G.L.G., H.A. van der Vorst, M.B. van Gijzen, Quadratic eigenproblems are no problem.// SIAM News 29 (1996) P.8-9.

151. Somaranta N., Ting T. C. T. Three dimensional stress singularities at conical notches and inclusions in transversely isotropic materials.// J. Appl. Mech. 1986. No.53. P.89-96.

152. Somaranta N., Ting T. Three dimensional stress singularities in anisotropic materials and composites.// Int. J. Solids and Struct. 1986. V.24. P.1115-1134.

153. Suo Z. Singularities interacting with interfaces and cracks.// Int. J. Solids and Struct. 1990. No.107. P.135-43.

154. Sze K.Y., Wang H-T. A simple finite element formulation for computing stress singularities at bimaterial interfaces.// Finite Elements in Analysis and Design. 2000. No.35. P.97-118.

155. Tan M.A, Meguid S.A. Analysis of bimaterial wedges using a new singular finite element.// Int. J. Fract. 1997. No.88. P.373-391.

156. Thatcher R.W. Estimating the form of an elastic vertex singularity with mixed boundary conditions.// In Boundary Value Problems and Integral Equations in Nonsmooth Domains.Proc. Conf. CIRM. N.Y.: M.Dekker. 1995. P.285-298.

157. Theocaris P.S. The order of singularity at a multi-wedge corner of a composite plate.// International Journal of Engineering Science. 1974. No.12. P.107-120.

158. Timoshenko S.P., Goodier J.N. Axisymmetric stress and deformation in a solid of revolution.// Theory of elasticity, 3rd ed. Kogakusha: McGraw-Hill. 1970. P.428-437 Chap. 12.

159. Ting T.C.T. Anisotropic Elasticity theory and applications. Oxford University Press. New York. 1996.

160. Ting, T.C.T., Chou, S.C. Edge singularities in anisotropic composites.// Int. J. Solids and Str. 1981. V.17. No.ll. P.1057-1068.

161. Tong P., Pian T., Lasary S.J. A hybrid-element to crack problems in plane elasticity.// Int. J. Numer. Meth. Enghg. 1973. No.7. P. 297-308.

162. Tong P. A hybrid crack element for rectilinear anisotropic material.// Int. J. Numer. Meth. Engng. 1977. No.ll. P.377-403.

163. Tranter C.J. The use of the Mellin transform in finding the stress distribution in ah infinite wedge.// Quaterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. 1948. No.l. P.125-130.

164. Wang S.S., Choi I. The interface crack between dissimilar anisotropic composite material.// J. Appl. Mech. 1982. No.49. P.541-548.

165. Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension. // J. Appl.Mech. 1952. V.19. No.4. P.526-528.

166. WilliamsM.L. The stress around a fault or crack in dissimilar media.// Bulletin of the Seismological Society of America. 1959. No.49. P.199-204.

167. Xiao F., Hui C.Y. A boundary element method for calculating the K fields for cracks along a bimaterial interface.// Comput. Mech. 1994. No.15. P.58-78.

168. Xua J, Liub Y-H, Wanga X-G. Numerical methods for the determination of multiple stress singularities and related stress intensity coefficients.// Engineering Fracture Mechanics. 1999. No.63. P.775-790.

169. Yamada Y., Okumura H. Analysis of local stress in comosite materials by the 3-D finite element.// Proceedings of the Japan -U.S. Conference. Tokio. P.55-64.

170. Yin W. L. Anisotropic Elasticity and Multi-Material Singularities.// J. Elasicity. 2003. No.71. P.263-292.

171. Yosibash Z. Computing edge singularities in elastic anisotropic three -dimensional domains// Int. J. Fracture 1997. No.86. P.221-245.

172. Zhang N., Joseph P. F. A nonlinear finite element eigenanalysis of singular plane stress fields in bimaterial wedges including complex eigenvalues. // Int. J. Fract. 1998. V.90. No.3. P.175-207.