Сингулярные эллиптические краевые задачи в областях с угловыми точками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Киселевская Светлана Викторовна

СИНГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЛАСТЯХ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2005

Работа выполнена во Владивостокском государственном университете

экономики и сервиса

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Катрахов В.В

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Чеботарев А.Ю

кандидат физико-математических наук, доцент Денисов В Н.

Ведущая организация Институт математики им С. Л. Соболева

СО РАН

Защита диссертации состоится 3 марта 2005 г. в час. На

заседании диссертационного совета КМ 212.056.03 при Дальневосточном государственном университете по адресу г Владивосток, ул.Октябрьская. 27, к 343

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета

Автореферат разослан « Л » ¿хл 2005 г

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор - Фролов Н.Н

W40

Общая характеристика работы

103$ ГРУ

Актуальность темы. В последние десятилетия построена общая теория эллиптических задач в областях, границы которых содержат особенности - углы, конические точки, рёбра и т.д. Эта теория имеет широкие и важные приложения в физике, в механике сплошных сред, в частности, в теории трещин. Одной из основных работ здесь является монография С А Назарова, С.А. Пламеневского, в которой дано подробное изложение главных разделов теории эллиптических задач в областях с кусочно-гладкой границей. Эллиптическим уравнения второго порядка посвящен ряд работ, среди которых отметим работы В,А. Кондратьева, Д. Гилбарга. Н. Трудингера, Т Р. Мамтиева, А.К. Гущина, В.П. Михайлова и др Отдельно отметим серию работ опубликованных М.\,Костебе\-лсм. М. Доуге и другими, в которых рассматриваются как общие эллиптические системы, так и некоторые прикладные задачи электро- и гидростатики Рассмотренные ими особенности решений в данной работе считаются слабыми и в рамках диссертации будут относиться к регулярным. В случае сильного вырождения уравнение кроме ограниченных решений имеет и неограниченные (сингулярные) вблизи характеристической части границы решения. Для уравнений математической физики соответствующие факты приведены в книгах А.Н Тихонова, А.А Самарского, С JI Соболева, O.A. Ладыженской. Во всех цитированных и других работах этого направления в основном рассматриваются решения с особенностями не более чем степенного или логарифмического характера.

Решения эллиптических задач могут терять гладкость в особых точках Это обстоятельство играет важную роль: возникают вопросы о поведении решений вблизи особых точек, о выборе специальных функциональных пространств, в которых порождённый краевой задачей оператор обладает "хорошими" свойствами (оказывается непрерывным). Поэтому постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах, а также создание эффективных методов их решения является актуальным.

Цель работы состоит в доказательстве теорем об однозначной и непрерывной разрешимости поставленных краевых задач. А именно, сингулярной краевой задачи в плоских областях с угловыми точками и краевой задачи в областях на конусе, а также сингулярных краевых задач для уравнений высших порядков.

рис. н*!!.: ь;г ■

2'jO

Научная новизна. В работе вводится новое понятие в определённом смысле нелокального сигма-следа (сг - следа) функции. Так как в данном случае невозможно использовать теорию известных ранее функциональных пространств, то в диссертации вводятся новые функциональные пространства типа Фреше (счётно-нормируемые) в которые вложены пространства Соболева-Никольского-Бесова. Известные функциональные весовые пространства обычно обладают тем свойством, что порядок особенности функций из этих пространств зависит от показателя гладкости и убывает с возрастанием гладкости. Последнее обстоятельство для рассматриваемого случая неприемлемо. Особо отметим, что в диссертации впервые рассмотрены сверхстепенные сингулярности решений, а в некоторых случаях (например, для метагармонической функции) сингулярности в угловой(особой) точке являются совершенно произвольными особенностями (типа существенных особенностей голоморфных функций, определяемых всей сингулярной частью ряда Лорана). Для изолированных граничных точек аналогичные решения рассматривались ранее в работах В.В. Катрахова.

Практическая значимость работы. В задачах механики твёрдого тела наблюдается концентрация напряжений в угловых (особых) точках границы, в частности, в вершинах трещин. Аналогичным образом дело обстоит и в гидродинамических задачах. Это приводит к сингулярности решения в особых точках. В такой ситуации обычно рассматривают так называемые энергетические решения, имеющие наиболее слабую сингулярность. В настоящей работе рассматриваются решения с сингулярностью произвольного порядка, относящиеся к классу неэнергетических решений. Проблема, поставленная в работе, также возникает в классической задаче электростатики об определении потенциала поля, создаваемого заряженными точечными объектами, каковыми могут быть точечные заряды, диполи и, вообще, мультиполи произвольных порядков, а также их конечный и бесконечные комбинации.

Методы исследования. В диссертации применяются современные методы исследования эллиптических краевых задач в соответствующих функциональных пространствах, которые вводятся и изучаются базовым методом операторов преобразования.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

1) научных семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Дальневосточного государственного университета под руководством проф. H.H. Фролова (г. Владивосток, 2004 г.);

2) систематически на семинаре кафедры математики и моделирования Владивостокского государственного университета экономики и сервиса под руководством доц. Л.С. Мазелиса;

3) 5-ой Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" (г. Владивосток, 2003г.)

4) дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В.Золотова (г. Владивосток, 2003 - 2004 гг.).

5) международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики", (г. Хабаровск, 2003 г.).

6) на объединённом научном семинаре ИПМ ДВО РАН под руководством чл -корр. РАН Н.В. Кузнецова, чл.-корр. РАН В.Н. Дубинина (г. Владивосток, 2004 г.).

7) на объединённом семинаре кафедр ВМ и ПМиИ ХГТУ под руководством проф. А.Г. Подгаева. (г. Хабаровск, 2004 г).

8) на семинаре института математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения РАН по неклассическим краевым задачам под руководством д.ф -м н., проф. А.И. Кожанова (г. Новосибирск, 2004 г.).

9) на семинарах МГУ под руководством академиков В.А. Ильина, Е.И. Моисеева, (г. Москва, 2004 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.

Объём и структура работы.

Диссертация изложена на 101 странице компьютерного текста (набранного в системе Ям? и состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 55 наименований

I Содержание диссертации.

Первая глава состоит из пяти разделов.

В первом из них даются основные обозначения и определения.

В пространстве И2рассмотрена ограниченная область О. Предполагается. что начало координат о принадлежит границе дС1 области О, за исключением точки о граница считается гладкой, а сама точка О является угловой. Через обозначен круговой сектор радиуса Я. с цен-

гром в точке о раствора Ф е[0,2я"], а через Яа > 0 такое число, что

открытый круговой сектор совпадает с соответствующей частью

области О. При этом, не ограничивая общности, угловую координату будем отсчитывать от одной из сторон угла и, как обычно, против часовой стрелки.

Пусть (¡0=д£2\о. Операторы <Р и Я называются операторами преобразования, если имеют место формулы

В = Ф А$ , А = 5 В (Р и операторы <Р и ,У взаимно обратны на подходящих функциональных пространствах В частности, в качестве А и В берутся следующие дифференциальные операторы:

(У2 Г

Оператор В0 называется оператором Бесселя с параметром V Следует отметить, что в этом случае известны следующие операторы преобразования

1/2

ср /У» = (после интегрирования по частям)

Ф

с1р =

■1' 2

20+1/2Г(» + 1) -2

\

и+1/2

г(»+1) </

с(г г

lP.lv:

г \ г

\р.

(после дифференцирования интеграла по параметру)

(2/')"+| 21> + 1)

(

4п

Дг)-(V2 -1/4)|

Лгр)с1р

'

где 2 - функции Лежандра первого рода порядка »-1/2 , Р~_1{/г -присоединенные функции Лежандра первого рода порядка ь — М2 Здесь и всюду ниже через Г(//) обозначается гамма-функция Эйлера. Оператор </'„ называют оператором Пуассона, а оператор Л'„- оператором

Сонииа. В этом же разделе приводятся основные свойства этих операторов.

Так как известные функциональные пространства в исследуемой ситуации не пригодны, то возникла необходимость во введении новых функциональных пространств типа Фреше. Эти пространства подробно изучены во втором разделе. Они содержат все гармонические функции, имеющие произвольные особенности в конечном числе фиксированных угловых (особых) точек, а вне особых точек локально они совпадают с пространствами Соболева-Никольского-Бесова (не ограничивая общности, рассмотрен случай одной особой точки). Здесь же доказаны теоремы

вложения для этих пространств. Введём множество T°°(Q0) функций

r / е ("°°(П(|), для которых в круговом секторе S^ справедливо разложение

к Pi жк

/ = /(/\Р) = 1Л№(р), rt=J-=-sin(^), я, =—, (1)

к=1 V Ф ф

<1>

где fk(r)-j f(r,(p)Yk((p)d<p являются коэффициентами Фурье разло-

о

жения по ортонормированной в лебеговом пространстве ¿2(0,Ф) системе {К, } При этом предполагается, что натуральное число К своё для каждой функции / и, что функции г"^ (г)/к (г) принадлежат множеству С'"(О,/?о) = <Р0С°°[0,Ro), где о = Хк . Здесь через %(г) обозначена бесконечно дифференцируемая функция на полуоси [0,оо), равная I при 0 < г < 1 и нулю при г > 2, и функция Xr (r) = X(r IК) ■

Введём пространство Нд как обобщённое замыкание множества щ C,Q0(Q). состоящего из бесконечно дифференцируемых на замыкании i) области Q функций, в лебеговом пространстве Z,2 (Г2) по норме

MI/2/i(u)= Л/Г£/0+ I =

л и a+2/=s Q

WS1

a+2l=s

W<1

здесь Пр-' = ОаА' = О*10"2 А1, мультииндекс а = (а^аЛ

|а| = а, + а2, х,, х2 - декартовы координаты.

На Тда(£~10) определим для целых 5>0, и 0 </?</?„ систему норм

Г20+,/аГ(о + 1)11

1/2

(2)

где =-.

ciK

Через М" (Q) обозначим замыкание множества Т°° (П0 ) по топологии, определяемой системой норм (2), при фиксированном s и любом

Re(0,Ro).

В третьем разделе вводится понятие а -следа. Для функций / е Т°° (£10 ) определим а -след в точке о как предел

=üm <>f(r,p), (3)

понимаемый в классическом поточечном смысле. Здесь

<р) = Т,г*/к (г)Ук (<р) = }f(r, <р')£(r, <р, (p')d(p',

к О

где ядро X интегрального оператора о можно представить в явном виде

I (г,<рУ) =

Í Г - \ г_

„я/Ф/ч „2п/Ф\

(1 - г

) № ~ Ч>') j - (9 + <?') ]

-2глф eos где г < 1.

Ф

(<р-<р')\ + г

2я/Ф

j _ 2гя/ф eos!

Введём пространство а -следов Л[0,Ф] как множество функций, определённых на отрезке [О, Ф] и допускающих разложение в ряд Фурье по синусам

к=\

для которого для любого А > О конечны нормы

к

Это пространство является полным счётно-нормируемым пространством. Кроме того, в этом же разделе доказываются прямая и обратная теоремы

о следах.

Теорема 1.4.1. [прямая теорема о а-следах]. Пусть л > 2 Тогда для каждой функции / е М" (О) существует а -след о/|о е А[О, Ф]. При

этом оператор / н> о/ |0 непрерывно отображает пространство М'(£1) в пространство А[О, Ф].

Теорема 1.4.2. [обратная теорема о а-следах]. Отображение

Ч* /, задаваемое формулой /(г,(р) = ^Ч^г^У*. ПРИ Л >0 непре-

к

рывно из Л[0,Ф] в М3(С1) , при этом а/\о = .

Рассмотрим краевую задачу, определяемую уравнением Пуассона Дм = /(х), хеП, краевыми условиями на границе 00 и |(.в = 0, х еС0,

и в (особой) угловой точке о аи\=Щ9\ ре[0,Ф]. Основным результатом первой главы является Теорема 1.5.1. Пусть чётное 1>0 и пусть функции / еМ^Й) и Ч1 ^ /1[0,Ф]. Тогда у поставленной краевой задачи решение и в пространстве М<+2 (О) существует и единственно. При этом отображение У,1?-» и непрерывно из пространства ' = М(О) х А[ 0,Ф], наделённого топологией прямого произведения, на пространство М"+2(П).

Перейдём к описанию результатов второй главы.

Первый раздел носит вспомогательный характер и является подготовительным к следующим разделам второй главы. Обозначим через , О < Я < оо. открытый круговой конус с вершиной в точке с образующими длиной N и углового размера Ф, при этом под угловым размером понимается раствор сектора, получающегося из конуса путём разрезания его по одной из образующих и последующим развёртыванием в плоский сектор Для определённости будем считать, что Ф < 2лг

Здесь рассматривается ограниченная область с: О , для которой вершина конуса Од является граничной точкой, изолированной от остальной части границы, последнюю будем считать гладкой кривой класса С°° и обозначать через Од.

Обозначим через К , 0 < Я < оо, максимальное расстояние от вершины конуса (?д до границы Од, а через 2Я0 > 0 минимальное расстояние от вершины конуса Од до границы вд.

В дальнейшем, для определённости и не ограничивая общности, мы будем считать, что операция 91 указанного разрезания (с последующим развертыванием) производится по образующей, проходящей через одну из наиболее удалённых от вершины точек границы Од.

Положим - Бк сгЯ2, а = 9*ад, 0=9Юд, причем пусть

точка о = У?Од совпадает с началом координат на плоскости Я . Граница области Псв^ с Я2 состоит из трёх частей - точки о, разорванной гладкой кривой ви двух отрезков О', С, являющихся образами преобразования 9? берегов выбранного разреза, причём пусть поворот от О' к О", происходящий по области О, осуществляется против часовой стрелки и пусть отрезок О' лежит на оси абсцисс.

Цель второй главы состоит в изучении ниже поставленной сингулярной эллиптической краевой задачи в области Пд на конусе, однако,

используя преобразование 91, она рассматривается сразу в области О на плоскости Обратным преобразованием её можно трансформировать в краевую задачу в области Од на конусе.

Рассматривается краевая ¡задача

А и = /(*), хеД (4)

"1< ; = хеО, (5)

т, \0= *¥(</>), ре[0,Ф], (6)

при дополнительном условии периодичности П с периодом Ф (условие П, состоящее в том, что после замены угловой переменной (р —> I// = 2<рж/ Ф функции в новых переменных становятся гладкими в соответствующем смысле) по угловой переменной (р всех участвующих в этой задаче функций - это по сути дела есть краевое условие на частях границы С, С. Понятие сигма-следа ои \а разъяснено ниже.

Второй раздел посвящен функциональным пространствам и соотношениям между ними. Здесь по аналогии с первой главой вводятся новые

функциональные пространства М^ (П), Ап [О, Ф], Г® (£2).

В третьем разделе вводится операция усреднения по угловой переменной.

,/•(/■= +1Ьлмг)у[(ч>), к = ^,

1п Г к=и=\ ф

где

к0' ((р) = I / л/ф, У,' (<р) = ^í2гф СО

- л[2/Ф $\п(кк(р), к> О,

о о

Здесь же даётся определение а -следа для функций / е. Тц(€Е). в точке о как предел в/|о = Пш о/{г,(р) понимаемый в классическом

поточечном смысле Ядро интегрального оператора £ можно вычислить в явном виде

27.2Л/Ф С°8

ф 1 - 2г2п1ф сое!

где /• ' 1

— {Ч>-9')\-гм

/

Понятие а -следа распространяется на функции из пространства М[л (Í2), с помощью прямой теоремы о а -следах. Верна и обратная теорема о следах.

Отметим, что общность понятия а -следа характеризует то, что у любой гармонической в окрестности точки о функции, исключая саму эту точку, в которой она может иметь произвольную особенность, о -след существует и однозначно определяет её сингулярную часть.

В четвертый раздел посвящён изучению однозначной и непрерывной разрешимости поставленной краевой задачи. Определим оператор

Я : и ь» Я и s {Аи, и аи \а}. (7)

Снабдим пространство

Ы<п=МЪ(П)хН£3'ЧО)хАп[ 0,Ф]

топологией прямого произведения.

Основной результат главы состоит в следующем утверждении

Теорема 2.4.2. Пусть чётное s > 0. Тогда оператор Я имеет обратный оператор Я 1, непрерывно отображающий пространство 3Í п на

пространство М(Q).

Результаты последней третьей главы являются прямым обобщением результатов предыдущей главы В этой главе рассматривается сингулярная краевая задача в таких же областях на конусе и в таких же функциональных пространствах, при тех же краевых условиях, что и во второй

главе, но для более общего уравнения вида Аи - Á2u = f . Применяемая в этой главе техника при X Ф 0 напрямую не переносится на случай X = 0, рассмотренный во второй главе Поэтому эти два случая потребовали отдельного рассмотрения при сохранении, конечно, общей схемы исследования.

В первом разделе описываются новые свойства функциональных пространств M 'h (Q).

Второй раздел носит вспомогательный характер, здесь доказываются результаты, необходимые для доказательства основной теоремы

Третий раздел посвящён изучению следующей краевой задаче. Рассматривается уравнение

Аи - Х2и = /(*), xeQ, (8)

с краевым условием на границе

«|( ;=*(*), ХбС, (9)

и для а -следа

аи \о ~ фкфХ Ф е [0,2зг]. (10)

Основной результат этого раздела состоит в следующем предложении

Теорема 3.3.1. Пусть л1 > 0 - чётное и параметр А - вещественный, и пусть / б М п (П), % € #п+3/2 (С>)> ^ € Л1 ф] ■ Тогда краевая задача (8) - (10) имеет единственное решение и е М^2(П), причём отображение « непрерывно из пространства СМ ^ = (П) х Я [!+3/ 2 ((?) х [0, Ф], наделённого топологией прямого произведения, вМ^2(П).

Замечание. В рамках диссертации для упрощения изложения рассматриваются 1) области с одной угловой точкой, хотя аналогичные построения позволяют рассматривать и случай нескольких таких точек, например, рассматривать многоугольные области с углами любых растворов. 2) однородные краевые условия на границе, на самом деле однородные условия достаточно рассматривать только в некоторой окрестности угловых точек, а на остальной части границы они могут быть неоднородными. 3) тоже относится и к коэффициентам рассматриваемых эллиптических уравнений, то есть, можно тем же самым методом рассматривать (с небольшим удлинением изложения) эллиптические операторы, совпадающие с рассмотренными в окрестностях угловых точек.

Отметим ещё, что в тех же пространствах (Л/', А и др.) и тем же методом можно изучить некоторые уравнения высших порядков, причём в многомерных областях.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В В. Катрахову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1 Киселевская C.B. Счетно-нормируемые функциональные пространства в областях с особыми угловыми точками. // Конференция "Во-логдинские чтения". Тезисы докладов. - Владивосток, 2003. С 15-16.

2 Киселевская C.B. Функциональные пространства в областях с особыми угловыми точками.//Пятая международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" Тезисы докладов. - Владивосток, 2003. С. 18-22

3. Киселевская C.B. Сингулярная краевая задача для уравнения Пуассона в плоских областях с угловыми точками. // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е В Золотова Тезисы докладов. - Владивосток, 2003.С 30-31

4 Киселевская С В. Сингулярные сигма следы. // Труды ДВГТУ №135. 2004. С. 15-19.

5. Киселевская C.B. Сингулярная краевая задача в плоской области с разрезом. // Труды ДВГТУ. №135 2004. С. 117 - 123.

6 Киселевская C.B. Одна сингулярная краевая задача в областях на конусе // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е В.Золотова. Тезисы докладов. - Владивосток, 2004. С.33 - 34.

7 Катрахов В В., Киселевская С В. Сингулярная краевая задача в областях с угловыми точками. //Сб докладов международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" -Хабаровск ХГТУ, 2003 С.183-1Х9.

8 Катрахов В В , Киселевская С В Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками Препринт ИПМ ДВО РАН №8 - Владивосток, 2004.-28с.

9 Катрахов В.В., Киселевская C.B. Эллиптическая краевая задача на конусс / Препринт ИПМ ДВО РАН. №7 - Владивосток, 2004 - 32с

Киселевская Светлана Викторовна

Сингулярные эллиптические краевые задачи в областях с угловыми

точками

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 19 01.2005 г. Формат 60x84 1/16. мага типографская. Печать офсетная Усл.п.л. 1,3 Уч.-изд.л. 1,1 Тираж 100 экз Заказ

Издательство Владивостокского государственного университета экономики и сервиса (ВГУЭС) 690600, Владивосток, ул. Гоголя, 41 Отпечатано в типографии ВГУЭС 690600. Владивосток, ул. Державина, 57

01.01- 01. 05

РНБ Русский фонд

2005-4 41940

\ , 387

2? -- -