Сингулярные эллиптические краевые задачи в областях с угловыми точками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Киселевская Светлана Викторовна

СИНГУЛЯРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЛАСТЯХ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ

01.01.02. - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2006

Работа выполнена во Владивостокском государственном университете экономики и сервиса

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Катрахов Валерий Вячеславович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Фролов Николай Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Подгаев Александр Григорьевич

Ведущая организация

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Защита диссертации состоится 9 ноября 2006 г. в час. на заседании диссертационного совета ДМ 212.056.11 при Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27, к. 343.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

Автореферат разослан 9о*ж.я^л 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного сов доктор физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия построена общая теория эллиптических задач в областях, границы которых содержат особенности -углы, конические точки, ребра и т.д. Эта теория имеет широкие и важные приложения в физике, в механике сплошных сред, в частности, в теории трещин. Одной из первых и основополагающих работ здесь является работа В.А. Кондратьева. В монографии С.А. Назарова, Б.А. Пламеневского дано подробное изложение главных разделов теории эллиптических задач в областях с кусочно-гладкой границей. Эллиптическим уравнения второго порядка посвящён ряд работ, среди которых отметим работы Д. Гилбарга, Н. Трудингера, Т.Р. Мамтиева, А.К. Гущина, В.П. Михайлова и др. Отдельно отметим серию работ, опубликованных М. Косте бел ем, М. Доуж и другими, в которых рассматриваются как общие эллиптические системы, так и некоторые прикладные задачи электро- и магнитостатики. Рассмотренные ими особенности решений в данной работе считаются слабыми и в рамках диссертации будут относиться к регулярным. В случае сильного вырождения уравнение кроме ограниченных решений имеет и неограниченные (сингулярные) вблизи характеристической части границы решения. Для уравнений математической физики соответствующие факты приведены в книгах А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, C.JI. Соболева, O.A. Ладыженской. Во всех цитированных и других работах этого направления в основном рассматриваются решения с особенностями не более чем степенного или логарифмического характера.

Решения эллиптических задач могут терять гладкость в особых точках. Это обстоятельство играет важную роль: возникают вопросы о поведении решений вблизи особых точек, о выборе специальных функциональных пространств, в которых порождённый краевой задачей оператор обладает "хорошими" свойствами (оказывается непрерывным). Поэтому постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах, а также создание эффективных методов их решения является актуальным.

Цель работы состоит в доказательстве теорем об однозначной и непрерывной разрешимости краевой задачи для уравнения Пуассона в плоских областях с угловыми точками, сингулярной краевой задачи в областях на конусе и краевой задачи для одного неоднородного метагармонического уравнения.

Научная новизна. В работе вводится новое понятие в определённом смысле нелокального сигма-следа (¿г- следа) функции. Так как в данном случае невозможно использовать теорию известных ранее функциональных пространств, то в диссертации вводятся новые функциональные пространства типа Фреше (счётно-нормируемые) в которые вложены пространства Соболева-Никольского-Бесова. Известные функциональные весовые пространства обычно обладают тем свойством, что порядок особенности функций из этих пространств зависит от показателя гладкости и убывает с возрастанием гладкости. Последнее обстоятельство для рассматриваемого случая неприемлемо. Особо отметим, что в диссертации впервые рассмотрены сверхстепенные сингулярности решений, а в некоторых случаях (например, для метагармонической функции) сингулярности в угловой (особой) точке являются совершенно произвольными особенностями (типа существенных особенностей голоморфных функций, определяемых всей сингулярной частью ряда Лорана). Для изолированных граничных точек аналогичные решения рассматривались ранее в работах В.В. Катрахова.

Практическая значимость работы. В задачах механики твёрдого тела наблюдается концентрация напряжений в угловых (особых) точках границы, в частности, в вершинах трещин. Аналогичным образом дело обстоит и в гидродинамических задачах. Это приводит к сингулярностям решений в особых точках. В такой ситуации обычно рассматривают так называемые энергетические решения, имеющие наиболее слабую сингулярность. В настоящей работе рассматриваются решения с сингулярностью произвольного порядка, относящиеся к классу неэнергетических решений. Проблема, поставленная в работе, также возникает в классической задаче электростатики об определении потенциала поля, создаваемого заряженными точечными

объектами, каковыми могут быть точечные заряды, диполи и, вообще, мультиполи произвольных порядков, а также их конечные и бесконечные комбинации.

Методы исследования. В диссертации применяются современные методы исследования эллиптических краевых задач в соответствующих функциональных пространствах, которые вводятся и изучаются базовым методом операторов преобразования.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

1) на научном семинаре кафедры теории функций и функционального анализа Дальневосточного государственного университета под руководством проф. H.H. Фролова (г. Владивосток, 2004 г.);

2) систематически на семинарах кафедры математики и моделирования Владивостокского государственного университета экономики и сервиса под руководством доц. JI.C. Мазелиса;

3) на V Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" (г, Владивосток, 2003г.).

4) на Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В.Золотова (г. Владивосток, 2003 — 2004 гг.).

5) на международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (г. Хабаровск, 2003 г.).

6) на объединённом научном семинаре ИПМ ДВО РАН под руководством чл.-корр, РАН Н.В. Кузнецова и чл.-корр. РАН В.Н. Дубинина (г. Владивосток, 2004 г.).

7) на объединённом семинаре кафедр Высшей математики и Прикладной математики и информатики ХГТУ под руководством проф. А.Г. Подгаева (г. Хабаровск, 2004 г.).

8) на семинаре Института математики им. СЛ.Соболева Сибирского отделения РАН по неклассическим краевым задачам под руководством д.ф.-м.н., проф. А.И. Кожанова (г. Новосибирск, 2004 г.).

9) на семинарах МГУ под руководством академиков В.А. Ильина, Е.И. Моисеева (г. Москва, 2004 г.).

10) на XII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" (г. Владивосток, 2005г.).

11) на XIII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" (г. Владивосток, 2006г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.

Объём и структура работы.

Диссертация изложена на 101 странице компьютерного текста (набранного в системе Ям$ ЬлТеХ) и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 56 наименований.

Содержание диссертации.

Первая глава состоит из пяти разделов.

В первом из них приводятся основные обозначения и определения.

В пространстве К2 рассматривается ограниченная область П. Предполагается, что начало координат о принадлежит границе сЮ области П, за исключением точки о граница считается гладкой, а сама точка о является угловой. Через обозначается круговой сектор радиуса Л с центром в точке о раствора Фе[0,2;г], а через Я0 >0 такое число, что открытый круговой сектор совпадает с соответствующей частью области П. При этом, не

ограничивая общности, угловую координату будем отсчитывать от одной из сторон угла и, как обычно, против часовой стрелки.

Пусть Оа = дО. \ о. Операторы <Р и 3 называются операторами преобразования, если имеют место формулы В = <Р АЗ , А= У в<Р

и операторы <Р и 5 взаимно обратим на подходящих функциональных пространствах. В частности, в качестве А и В берутся следующие дифференциальные операторы:

А =

В = B0=D

г .2о+1

D.

ду* г

Оператор Ви называется оператором Бесселя с параметром о. Следует отметить, что в этом случае известны следующие операторы преобразования

\dfip)

-Jx.r~v~l/2 00 (после интегрирования по частям)

0

dp

dp =

»u+l/2

Г(и + 1)

Pô\n(p)

f(r) + (v2-1/4) J

-2"+1/2Г(и + 1) rf

л/я- ar

(после дифференцирования интеграла по параметру) (2r)u+l/2r(u + l/

•Jtz

/<r)-(u'-l/4)J

f(rp)dp

i VT^ï

где - функции Лежандра первого рода порядка V —1/2, /'Jl'i/î "

присоединённые фикции Лежандра первого рода порядка и-1/2. Здесь и всюду ниже через V(/j) обозначается гамма-функция Эйлера. Оператор <PU называют оператором Пуассона, а оператор Sa - оператором Сонина. В этом же разделе приводятся основные свойства этих операторов.

Так как известные функциональные пространства в исследуемой ситуации не пригодны, то возникла необходимость во введении новых функциональных пространств типа Фреше. Эти пространства подробно изучены во втором разделе. Они содержат все гармонические функции, имеющие произвольные особенности в конечном числе фиксированных угловых (особых) точек, а вне особых точек локально они совпадают с пространствами Соболева-Никольского-Бесова (не ограничивая общности, рассмотрен случай одной особой точки). Здесь же доказаны теоремы вложения для этих пространств.

&

Введём множество Т03(П0) функций / бСл(Ол), для которых в круговом секторе справедливо разложение

/-£Л(Г)К*(Л ук = (Лкф), Лк=^> (1) ф

где /к (>)=)/(г, ф)Ук {ф) с1ф являются коэффициентами Фурье разложения по о

ортонормированной в пространстве £2(0,Ф) системе {)*}* При этом предполагается, что натуральное число К своё для каждой функции / и, что

функции г~Лкпринадлежат множеству С™(0,) = (РуС"[0,Яа), где

и = Лк. Здесь через %{г) обозначена бесконечно дифференцируемая функция

на полуоси [0,°о), равная 1 при 0 ^ г ^ 1 и нулю при г ^ 2, и функция

Хя(г) = х(г/К). ^

Введём пространство Яд как обобщённое замыкание множества

состоящего из бесконечно дифференцируемых на замыкании П области П функций, в пространстве Ь2 (О) по норме

п а+2/^п 1

■иг,«+2 К/Г

а+2/=чг"

ДО

здесь =Оа д' =£>^1£>"22А/, мультииндекс а = (а1,а2)> \а\ = а1 +а2,

хг - декартовы координаты.

На Т°° (Г20 ) определим для целых и 0 < Л < Ка систему норм

' Л

(2)

где/);=—. ¿г*

Через обозначим замыкание множества Т°°(П0) по топологии,

определяемой системой норм (2), при фиксированном $ и любом Я е (О, /О •

В третьем разделе вводится понятие с-следа. Для функций /еТ00(П<:1) определим сг -след в точке о как предел

аГ\о= 1ип оГ(г^), (3)

° Г-++0

понимаемый в классическом поточечном смысле. Здесь

°г(г,Ф)=хг** л(г)ук(ф) - Ь(г,Ф'тгЖФ')^Ф\

к о

где ядро 2 интегрального оператора <т можно представить в явном виде

{ф - л) - со{§ (ф + ф')^

— 2г*/Ф — + — СОЙ^-^ (¿ф + ф')^ 4- г^*^ ^

где г < 1.

Введём пространство а -следов А [О, Ф] как множество функций Ч7, определённых на отрезке [0,Ф] и допускающих разложение в ряд Фурье по синусам

к=I

для которого для любого А > 0 конечны нормы

к=1

Это пространство является полным счётно-нормируемым пространством. В четвертом разделе доказываются прямая и обратная теоремы о следах.

Теорема 1,4.1, [прямая теорема о сг-следах]. Пусть $ ¿2Тогда для каждой

функции / еМг(П) существует сг-след <у/\0 еЛ[0,Ф]. При этом оператор / ь-> о/* \а непрерывно отображает пространство М* (О) в пространство

Л[0,Ф].

Теорема 1.4.2. [обратная теорема о сг-следах]. Отображение

задаваемое формулой /(г,ф) = ^£1к¥кгХкУк, при 5>0 непрерывно из Л[0,Ф] в

к

М5 (СТ), при этом с/|о = .

В последнем разделе первой главы рассматривается краевая задача, определяемая уравнением Пуассона

Ди = /(х), х е П, краевыми условиями на границе О0

и в (особой) угловой точке о ои\0=Ч(ф\ ф е [0,Ф].

Основным результатом первой главы является

Теорема 1.5.1. Пусть чётное 5>-0' и пусть функции /еМ5(А) и Ч* е Л[0,Ф]. Тогда у поставленной краевой задачи решение и в пространстве существует и единственно. При этом отображение {/, и непрерывно из пространства 3 = Л/5+2 (О) х Л[0,Ф], наделённого топологией

прямого произведения, на пространство М"*2(О). Перейдём к описанию результатов второй главы.

Первый раздел носит вспомогательный характер и является подготовительным к следующим разделам второй главы. Обозначим через , О < Л < оо, открытый круговой конус с вершиной в точке OQ с образующими

длиной Л и углового размера Ф, при этом под угловым размером понимается раствор сектора, получающегося из конуса путём разрезания его по одной из образующих и последующим развёртыванием в плоский сектор 5. Для определённости будем считать, что Ф < 2я\

Здесь рассматривается ограниченная область с0, для которой вершина конуса Оф является граничной точкой, изолированной от остальной части

границы, последнюю будем считать гладкой кривой класса С°° и обозначать через Од.

Обозначим через К, 0 < Л < «>, максимальное расстояние от вершины конуса Од до границы (7д, а через 2Ка > 0 минимальное расстояние от

вершины конуса Од до границы Од.

В дальнейшем, для определённости и, не ограничивая общности, мы будем считать, что операция указанного разрезания (с последующим

развертыванием) производится по образующей, проходящей через одну из наиболее удалённых от вершины точек границы Од.

Положим 910я=5лсД2, П = С = ^Юд, причём пусть точка

А

о - У* (>д совпадает с началом координат на плоскости К . Граница области

Пс^ с Я2 состоит из трёх частей - точки о, разорванной гладкой кривой О и двух отрезков С', С, являющихся образами преобразования 91 берегов выбранного разреза, причём пусть поворот от С к С, происходящий по области П, осуществляется против часовой стрелки и пусть отрезок О' лежит на оси абсцисс.

Цель второй главы состоит в изучении ниже поставленной сингулярной эллиптической краевой задачи в области Ид на конусе, однако, используя

преобразование 5Д, она рассматривается сразу в области П на плоскости. Обратным преобразованием её можно трансформировать в краевую задачу в области на конусе.

Рассматривается краевая задача

при дополнительном условии периодичности П с периодом Ф (условие П, состоящее в том, что после замены угловой переменной ф -»• у/ - 2фя!Ф область П преобразуется в ограниченную область с гладкой границей) по угловой переменной ф всех участвующих в этой задаче функций - это по сути дела есть краевое условие на частях границы О". Понятие сигма-следа аи\0 разъяснено ниже.

Дц = /(д:),хеП,

(4)

(5)

(6)

Второй раздел посвящён функциональным пространствам и соотношениям между ними. Здесь по аналогии с первой главой вводятся новые

функциональные пространства М^ (П), тп '(П).

В третьем разделе вводится операция усреднения по угловой переменной:

f (г} , °° 2 1, г 2лк

оГ(г,ф) = ^Г* + /к}{г)У1к{ф\ Лк ,

1п Г А=1/=1 Ф

где

У^ф)=м4Ф, У^ф) = 4Шсов(ЛкфХ Ук2(ф) = ^2/Ф5т(Акф), к> О,

Ъ(г,Ф')г&Ф\ к>о,

о о

Здесь же даётся определение сг-следа для функций f е 7*п (О) в точке о как предел ~ \imafir,ф) понимаемый в классическом поточечном смысле.

Ядро интегрального оператора £ можно вычислить в явном виде

ПгЖФ*) = --—1—т-.

Ф 1-2г2*'фсоз№(ф-ф')} + г4*/ф

где г < 1.

Понятие сг-следа распространяется на функции из пространства Л/^ (П), с помощью прямой теоремы о сг-следах. Верна и обратная теорема о следах.

Отметим, что общность понятия сг-следа характеризует то, что у любой гармонической в окрестности точки о функции, исключая саму эту точку, в которой она может иметь произвольную особенность, с-след существует и однозначно определяет её сингулярную часть.

Четвертый раздел посвящён изучению однозначной разрешимости поставленной краевой задачи. Определим оператор

Я:и»Яи»{Аи,и\0,ои\о}. (7)

Снабдим пространство

М 5П = Ми(П)хН^п(0)х Лп[0,Ф]

топологией прямого произведения.

Основной результат главы состоит в следующем утверждении.

Теорема 2.4.2. Пусть чётное 5 £ 0. Тогда оператор Я имеет обратный

оператор Я непрерывно отображающий пространство на пространство М%2( П).

Результаты последней третьей главы являются прямым обобщением результатов предыдущей главы. В этой главе рассматривается сингулярная краевая задача в таких же областях на конусе и в таких же функциональных пространствах, при тех же краевых условиях, что и во второй главе, но для более общего уравнения вида Ди - Л2и = /. Применяемая в этой главе техника при Л * 0 напрямую не переносится на случай X = 0, рассмотренный во второй главе. Поэтому эти два случая потребовали отдельного рассмотрения при сохранении, конечно, общей схемы исследования.

В первом разделе описываются новые свойства функциональных пространств Мд (П).

Второй раздел носит вспомогательный характер, здесь доказываются результаты, необходимые для доказательства основной теоремы. Третий раздел посвящён изучению краевой задачи: Д«-Л2к = /(*), хеП, (8)

и1о=Я(*)> ^С, (9)

си¥(<*), Фе[0,Ф]. (Ю)

Основной результат этого раздела состоит в следующем предложении. Теорема 3.3.1. Пусть 5 > 0- чётное и параметр Л- вещественный, и пусть /еА/п(£1), % е 3/2(<3), ¥ е Лп[0,Ф]. Тогда краевая задача (8) - (10) имеет

единственное решение и е А/п+2(П), причём отображение

непрерывно из пространства М п = М^ (П)х #п+3/2(С)х Лп[0,Ф], наделённого

топологией прямого произведения, в пространство М п+2 (О).

Замечание. В рамках диссертации для упрощения изложения рассматриваются: 1) области с одной угловой точкой, хотя аналогичные построения позволяют рассматривать и случай нескольких таких точек; например, рассматривать многоугольные области с углами любых растворов; 2) однородные краевые условия на границе, на самом деле однородные условия достаточно рассматривать только в некоторой окрестности угловых точек, а на остальной части границы они могут быть неоднородными; 3) то же самое относится и к коэффициентам рассматриваемых эллиптических уравнений, т.е. можно тем же самым методом рассматривать (с небольшим удлинением изложения) эллиптические операторы, совпадающие с рассмотренными в окрестностях угловых точек.

Можно отметить, что во введённых в диссертации пространствах тем же методом можно изучить некоторые уравнения высших порядков, причём в многомерных областях.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.В. Катрахову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список работ, опубликованных по теме диссертации

1. Киселевская C.B. Счетно-нормируемые функциональные пространства в областях с особыми угловыми точками И Конференция "Вологдинские чтения". Тезисы докладов. - Владивосток, 2003. - С.15 - 16.

2. Киселевская C.B. Функциональные пространства в областях с особыми угловыми точками // Пятая международная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России". Тезисы докладов. -Владивосток, 2003. - С,18-22.

3. Киселевская C.B. Сингулярная краевая задача для уравнения Пуассона в плоских областях с угловыми точками И Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Н.В.Золотова, Тезисы докладов, -Владивосток, 2003. - С.ЗО -31.

4. Киселевская С.В, Сингулярные сигма следы // Труды ДВГТУ - 2004. -№135. -С.15 -19.

5. Киселевская C.B. Сингулярная краевая задача в плоской области с разрезом // Труды ДВГТУ. - 2004. 135. - С.117 - 123.

6. Катрахов В.В., Киселевская C.B. Сингулярная краевая задача в областях с угловыми точками // Сб. докладов международной научной конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики». - Хабаровск: ХГТУ, 2003.-С.183-189.

7. Катрахов В.В., Киселевская C.B. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками: Препринт ИПМ ДВО РАН. - № 8. -Владивосток, 2004. - 28 с.

8. Катрахов В.В., Киселевская C.B. Эллиптическая краевая задача на конусе: Препринт ИПМ ДВО РАН. - № 7, - Владивосток, 2004. - 32с.

9. Катрахов В.В., Киселевская C.B.Сингулярная краевая задача для одного метагармонического уравнения // Международная научная конференция «Современные проблемы прикладной математики и математического

N

моделирования»: Материалы конференции. - Воронеж: Воронежская государственная академия, 2005, -С.109.

10. Катрахов В.В., Киселевская C.B. Об одной сингулярной эллиптической краевой задаче в областях на конусе // Труды семинара «Неклассические уравнения математической физики» - Новосибирск: изд-во Института математики им. СЛ.Соболева СО РАН, 2005. - С.133-152.

11. Катрахов В.В., Киселевская C.B. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. 1. Функциональные пространства // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 3, — С. 395-403.

12. Катрахов В.В., Киселевская C.B. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. 2. Краевая задача // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 4. - С. 514-520.

13. Катрахов В.В., Киселевская C.B. Сингулярная краевая задача в областях на конусе // Доклады Академии Наук. - 2006. - Т.407, № 6. - С. 732-735.

Киселевская Светлана Викторовна

Сингулярные эллиптические краевые задачи в областях

с угловыми точками

АВТОРЕФЕРАТ

Подписано в печать 2 ?. ¿^Л<Формат 60x84 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл.пл. 1,3 Уч.-изд.л. 1,1

Тираж 100 экз. Заказ 4041

Издательство Владивостокского государственного университета экономики и

сервиса (ВГУЭС) 690600, Владивосток, ул. Гоголя, 41 Отпечатано в типографии ВГУЭС 690600, Владивосток, ул. Державина, 57

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПЛОСКИХ ОБЛАСТЯХ

С УГЛОВБ1МИ ТОЧКАМИ. ф 1.1. Операторы преобразования.

1.2. Функциональные пространства (одномерный случай)

1.3. Функциональные пространства (двумерный случай)

1.4. Теоремы о следах

1.5. Краевая задача

9 ГЛАВА 2. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОБЛАСТЯХ НА КОНУСЕ

2.1. Некоторые определения и обозначения

2.2. Определение пространств и теоремы вложения

2.3. Прямая и обратная теоремы о а-следах

2.4. Краевая задача на конусе.

ГЛАВА 3. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО НЕОДНОРОДНОГО

МЕТАГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

3.1. Пространства Мд(П) и обобщённые гармонические функции

3.2. Вспомогательные результаты.

3.3. Краевая задача

Актуальность проблемы (работы). В последние десятилетия построена общая теория эллиптических задач в областях, границы которых содержат особенности - углы, конические точки, рёбра и т.д. Эта теория имеет широкие и важные приложения в физике, в механике сплошных сред, в частности, в теории трещин. Одной из первых и основополагающих работ ® здесь является работа В.А.Кондратьева [32]. В монографии С.А.Назарова, Б.А. Пламеневского [45] дано подробное изложение главных разделов теории эллиптических задач в областях с кусочно гладкой границей. Эллиптическим уравнениям второго порядка посвящён ряд работ, среди которых отметим работы Д. Гилбарга, Н. Трудингера [б], Т.Р. Мамтиева [37], А.К. Гущина, В.П.Михайлова [9], В.Н. Масленниковой [39], Ю.А. Алхутова и В.А, Кондратьева [1], В.А.Козлова, В.Г.Мазьи [54]. Отдельно отметим серию работ 9 опубликованных М. Костебелем, М. Доуж и другими (см. [55] и ссылки там), в которых рассматриваются как общие эллиптические системы, так и некоторые прикладные задачи электро- и гидростатики. Рассмотренные ими особенности решений нами считаются слабыми и в рамках данной диссертации будут относится к регулярным.

В случае сильного вырождения уравнение имеет не только ограниченные решения, но и неограниченные (сингулярные) вблизи характеристической части границы решения. Такие задачи для гиперболических уравнений изучались Т.Н. Кигурадзе [31], [46], а для эллиптических уравнений В.П.Глушко, Н.А. Ярцевой [7], P.M. Гобеджшвили [8]. Для уравнений математической фиф зики соответствующие факты приведены в книгах А.Н. Тихонова, А.А. Самарского [50], С.Л.Соболева [49], О.А.Ладыженской [33]. В работе [10] изложена теория разрешимости задач для эллиптического уравнения, в которых значения решения на границе рассматриваемой области выражаются через его значения во внутренних точках и других точках границы. В работах Г.А. Чечкина [53] и Л.Г. Михайлова [42] изучены краевые задачи с различными условиями на малых участках границы. В частности, в [53] рассматрива-Ф ется задача Аи£ + /=0, ад£|г=0, исследуется поведение решений задачи при стремлении параметра, характеризующего период изменения типа граничных условий, к нулю и даётся оценка этих решений. Во всех цитированных и других работах этого направления в основном рассматриваются решения с особенностями не более чем степенного или логарифмического характера.

Решения эллиптических задач могут терять гладкость в особых точках. Это обстоятельство играет важную роль: возникают вопросы о поведении решений вблизи особых точек, о выборе специальных функциональных пространств, в которых порождённый краевой задачей оператор обладает пхо-рошими|,свойствами (оказывается непрерывным). Поэтому постановка и изучение новых краевых задач для уравнений с сильным вырождением в соответствующих им функциональных пространствах, а также создание эффективных методов их решения является актуальным.

Цель работы состоит в доказательстве теорем об однозначной и непре-^ рывной разрешимости поставленных краевых задач. А именно, сингулярной краевой задачи в плоских областях с угловыми точками и краевой задачи в областях на конусе, а также сингулярных краевых задач для уравнений высших порядков.

Научная новизна. В работе вводится новое понятие в определённом смысле нелокального сигма-следа (а-следа) функции. Так как в данном случае невозможно использовать теорию известных ранее функциональных пространств, то в диссертации вводятся новые функциональные простран-® ства типа Фреше (счётно-нормируемые) в которые вложены пространства Соболева-Никольского-Бесова, (последние подробно описаны, например, в работах С.Л Соболева [48], Д. Гилбарга, М. Трудингера [б], В.П.Михайлова [41], О.А. Ладыженской [33] и во многих других). Известные весовые функциональные пространства обычно обладают тем свойством, что порядок особенности функций из этих пространств зависит от показателя гладкости и забывает с возрастанием гладкости. Последнее обстоятельство для рассматриваемого случая неприемлемо. Особо отметим, что в диссертации впервые рассмотрены сверхстепенные сингулярности решений, а в некоторых случаях (например, для метагармонической функции) сингулярности в угловой (особой) Ш точке являются совершенно произвольными особенностями (типа существенных особенностей голоморфных функций, определяемых всей сингулярной частью ряда Лорана). Для изолированных граничных точек аналогичные решения рассматривались ранее в работах В.В. Катрахова [30].

Практическая значимость работы. В задачах механики твёрдого тела наблюдается концентрация напряжений в угловых (особых) точках границы, в частности, в вершинах трещин. Аналогичным образом дело обсто-ф ит и в гидродинамических задачах. Это приводит к сингулярности решения в особых точках. В такой ситуации обычно рассматривают так называемые энергетические решения, имеющие наиболее слабую сингулярность. В настоящей работе рассматриваются решения с сингулярностью произвольного порядка, относящиеся к классу неэнергетических решений, введённому Н.Ф.Морозовым [40], в этой связи некоторые вопросы механики сплошных сред также были рассмотрены Н.С.Зориным, А.Б. Мовчаном, С.А.Назаровым [11], В.Н.Власовым [4]. Проблема, поставленная в работе, также возникает в классической задаче электростатики об определении потенциала поля, создаваемого заряженными точечными объектами, каковыми могут быть точечные заряды, диполи и, вообще, мультиполи произвольных порядков, а также их конечные и бесконечные комбинации.

Методы исследования. В диссертации применяются современные методы исследования эллиптических краевых задач в соответствующих функцио-^ нальных пространствах, которые вводятся и изучаются базовым методом операторов преобразования. Остановимся на нём поподробнее. Операторы преобразования исследовались достаточно полно в работах многих авторов, достаточно подробная их теория изложена в работах С.Г. Самко, А.А. Килбаса, О.И. Маричева [47], А.А. Килбаса, С.А. Шлапакова [24]. Известные классы операторов Сонина и Пуассона нашли также применение в теории сингулярных гиперболических уравнений. Ряд результатов в этом направлении получен Е.А.Ларионовым [34]. В работах В.В. Катрахова [12], [14], [13], [30] ® введены новые операторы преобразования, которые применены в теории сингулярных эллиптических уравнений, в теории псевдодифференциальных операторов, спектральной теории.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

1) научных семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Дальневосточного государственного университета под руководством проф. Н.Н. Фролова (г.Владивосток, 2004 г.);

2) семинарах кафедры математики и моделирования Владивостокского государственного университета экономики и сервиса под руководством доц. Л.С.Маз елиса (г.Владивосток, 2004-2006 гг.);

3) 5-ой Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России"(г. Владивосток, 2003 г.).

4) дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В . Золотова (г.Владивосток, 2003 - 2004гг.).

5) международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики."(г.Хабаровск, 2003г.), ф 6) объединённом научном семинаре ИПМ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецова, чл.-корр. РАН В.Н. Дубинина (г. Владивосток, 2004 г.).

7) объединённом семинаре кафедр ВМ и ПМиИ ХГТУ под руководством проф. А.Г. Подгаева. (г.Хабаровск, 2004г.).

8) семинаре института математики им. С.Л.Соболева Сибирского отделения РАН по неклассическим краевым задачам под руководством д.ф.-м.н., проф. А.И. Кожанова, (г. Новосибирск, 2004 г.).

9) семинарах МГУ под руководством академика В.А. Ильина и академика Е.И. Моисеева, (г. Москва, 2004 г.).

10) 7-ой Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" (г. Владивосток, 2005 г.).

11) 8-ой Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых исследователей "Интеллектуальный потенциал вузов Дальневосточного региона России" (г. Владивосток, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15]-[22], [25]-[29], из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.

Объём и структура работы. Диссертация изложена на 101 странице компьютерного текста (набранного в системе ЖГцХ) и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 56 наименований.

1. Алхутов Ю.А., Кондратьев В.А. Разрешимость задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в выпуклой области //Диф.ур. -1992. 5. С. 806 - 818.

2. Бейтемен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. -М.: Наука, Т. 1. 1973. 294 с.

3. Бейтемен Г.,Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. -М.: Наука, Т. 2. 1974.- 294 с.

4. Власов В.И., Пальцев А.Б. Метод решения задачи Дирихле для области с узкой щелью // Докл. АН (Россия). 1993. - Т. 330, № 2. - С. 140 - 143.

5. Г'афуров Ф.Н. Граничная задача с производными в краевом условии для уравнения второго порядка эллиптического типа на плоскости // Докл. АН респ. Таджикистан 1992. - № 1. - С. 12 - 15.

6. Гилбарг Д., Трудингер. Н Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, гл.ред.физ.- ат. лит., 1989. - 464 с.

7. Глушко В.В., Ярцева Н.А. Об одной эллиптической периодической задаче с вырождением в Lp // Мат.заметки. 1998. - Т. 63, № 4. - С. 628-632.

8. Гобеджишвили P.M. О единственности решений внешних краевых задач эллиптических уравнений второго порядка // Вестник МГУ. 1992, - Сер.1, № б. - С. 45 - 47.

9. Гущин А.К., Михайлов В.П. О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения // Мат.сб. 1991. - Т. 182, № 6. - С. 787-810.

10. Гущин А.К., Михайлов В.П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка // Мат.сб. 1994. - Т. 185, № 1. - С. 121 - 160.

11. Зорин Н.С., Мовчан А.Б., Назаров С.А. Об использовании тензора упругой поляризации в задачах механики трещин // Мех. твёрд, тела. 1988.- № б. С. 128 - 134.

12. Катрахов В.В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений // Мат.сб. 1980. - Т. 112, №3.- С. 354 379.

13. Катрахов В.В. Об одной сингулярной краевой задаче для уравнения Пуассона // Мат.сб. 1991. - Т. 182, № б. - С. 849 - 876.

14. Катрахов В.В. Краевая задача для уравнения Пуассона с особенностями произвольного порядка в граничных точках // Коррект. краев, задачи для некласс, ур-ий /АН СССР. Ин-т мат. 1990. - С. 109 - 123.

15. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная краевая задача в областях с угловыми точками // Сб. докладов международной научной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики". Хабаровск:ХГТУ, 2003. С. 183 - 189.

16. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками: Препринт ИПМ ДВО РАН. № 8. -Владивосток, 2004. - 28 с.

17. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Эллиптическая краевая задача в областях на конусе: Препринт ИПМ ДВО РАН. -К0- 7. Владивосток, 2004. - 32 с.

18. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. 1. Функциональные пространства // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т. 42, № 3. - С.395 - 403.

19. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях с угловыми точками. 2. Краевая задача // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т.42, № 4. - С. 514 - 520.

20. Катрахов В.В., Киселевская С.В. Сингулярная краевая задача в областях на конусе // Доклады Академии Наук.- 2006. Т. 407, № 6. С. 732-735.

21. Катрахов В.В., Мазелис JI.C. Непрерывность, пополнение, замыкание в метрических пространствах. Владивосток: ДВГУ, 2000. - 112 с.

22. Килбас А.А., Шлапаков С.А. Об интегральном преобразовании типа Бесселя и его композиции с интегральными и дифференциальными операторами // ДАН Беларуси. 1993. - Т. 37, №4. - С.10 - 14.

23. Киселевская С.В. Счётно-нормируемые функциональные пространства в областях с особыми угловыми точками // Конференция "Вологдинские чтения": Тезисы докладов. Владивосток, 2003. - С. 15 - 16.

24. Киселевская С.В. Сингулярная краевая задача для уравнения Пуассона в плоских областях с угловыми точками // Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В.Золотова: Тезисы докладов. -Владивосток, 2003. С. 30 - 31.

25. Киселевская С.В. Сингулярные сигма-следы // Труды ДВГТУ 2004.- № 135. С. 15 - 19.

26. Киселевская С.В. Сингулярная краевая задача в плоской области с разрезом // Труды ДВГТУ. 2004. - № 135. - С. 117 - 123.

27. Киприянов И.А., Катрахов В.В. Сингулярные краевые задачи для некоторых эллиптических уравнений высших порядков: Препринт ИПМ ДВО АН СССР. Владивосток, 1989. 25 с.

28. Кигурадзе Т.Н. О периодических краевых задачах для линейных гиперболических уравнений // Диф.ур. 1993. -Т. 29, № 2. - С. 281 - 297.

29. Кондратьев В.А. Граничная задача для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московского Математического общества. 1967.- вып. 16. - С. 227 - 313.

30. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. - 576 с.

31. Ларионов Е.А. Дифференциальные уравнения гиперболического типа // Диф.ур. 1992. - № 1. - С. 91 - 96.

32. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи матем.наук. 1951. - 6, № 2. - С. 102 - 143.

33. Лионе Ж.-Л.,Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 371 с.

34. Мамтиев Т.Р. О разрешимости первой краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка с однородными коэффициентами. //Ин-т мат. и мех. АН Азерб. Респ. Баку. 1995. - 26 с.

35. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. -Киев: Наукова думка, 1977. 331 с.

36. Масленникова В.Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.: Изд-во РУДН, 1997. 445 с.

37. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука,1984.-256 с.

38. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.-392с.

39. Михайлов А.Г. О некоторых сингулярных уравнениях с частными произбодными // Докл.АН СССР. 1991. - Т. 319, № 1. - С. 46 - 52.

40. Михлин С.Г. Курс матеметической физики. СПб.: изд-во Лань, 2002. - 576 с.

41. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.:Мир, 1977.-504с.

42. Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука, 1991.-336 с.

43. Расулов М.Л., Ибрагимов Т.М., Рагимова Т.А. Об одном методе решения задач с краевым условием для нелинейного уравнения гиперболического типа первого порядка // Изв. АН Азерб. Респ. Сер.наук о земле. 1990. - № 3-4. - С. 45 - 49.

44. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.-Минск: Наука и техника,1987.-688 с.

45. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. - 808 с.

46. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. 5 изд.,испр. М.: * Наука, 1992. - 431 с.

47. Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 736 с.

48. Финер Г. Асимптотическое поведение электрического поля и плотности электрического заряда в окрестности сингулярных точек проводящей поверхч ности // Успехи матем.наук. 1975. - Т. 30, № 3. - С. 103 - 124.

49. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965. - 379 с.

50. Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат.сб. 1993.- Т. 184, № 6. - С. 99 - 150.

51. V.A. Kozlov, V.G. Maz'a. On stress ingularities near the boundary of apolygonal crack //Proc.Roy. Soc., Edinburg Sect.A. 1993. - Vol. 117(1-2). -P. 31-37.

52. Martin Costabel, Monique Dauge. Crack singularities for general elliptic systems / Math. Nachr. 2002. - Vol. 235. P. 29 - 49.

53. Yari Zhimin Differential operators and function spaces // Several Complex Variables China: Providence (R.I.), 1993. P. 121 - 142.