Мерные задачи свободных низкочастотных колебаний вязкоупругих оболочек с учетом воздействия внешних факторов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ ©Ь- АКАДЕМИЯ

УДК 639.3

БОТОГОВА Марина Георгиевна

МЕРНЫЕ ЗАДАЧИ СВОБОДНЫХ НИЗКОЧАСТОТНЫХ КОЛЕБАНИЙ ВЯЗКОУПРУГИХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ВОЗДЕЙСТВИЯ ВНЕШНИХ ФАКТОРОВ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск 1997

Работа выполнена в Белорусской государственной политехнической академии

Научный руководитель

Научный консультант

доктор физ.-мат.наук, профессор ЧИГАРЕВ A.B.

кандидат физ.-мат. наук, доцент МИХАСЕВ Г.И.

доктор физ.-мат.наук, с.н.с. КУЛИКОВ И.С.

доктор физ.-мат. наук, профессор ВИХРЕНКО B.C.

Белорусский государственный университет

. сС

Защита состоится 1997 года в на заседании совета по

защите диссертаций Д 02.05.07 в Белорусской государственной политехнической академии / 220027, г.Минск, пр.Ф.Скорины, 65, главный корпус, к.201.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Белорусской государственной политехнической академии.

Автореферат разослан 1997 года.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций

Официальные оппоненты

Оппонирующая организация

¿У/к"

Н.И.ЧЕПЕЛ1

* 1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Тонкостенные оболочки являются частью многих инженерных конструкций в современной технике. Они используются при проектировании самолетов и ракет, надводных и подводных кораблей, трубопроводов и резервуаров, куполов и покрытий в инженерных сооружениях. Повышение их надежности и долговечности в соответствии с требованиями научно-технического прогресса приводит к необходимости более полного исследования собственных колебаний оболочечных конструкций с учетом упругости, пластичности и ползучести материала оболочки и воздействия внешних факторов.

Существует большое количество приближенных методов расчета оболочек: методы, основанные на представлении решений в виде рядов (метод К.З. Галимо-ва, метод Х.М. Муштари); вариационные методы (метод Ритца-Тимошенко, метод Бубнова-Галеркина, метод Власова В.З, метод Папковича); метод сеток. Недостатком этих методов является то, что при решении конкретных задач они предполагают фиксирование определенных параметров, что естественно не дает возможности во всей полноте описать спектр собственных колебаний. Кроме того, применение этих методов связано с большими вычислительными трудностями. Для двумерных задач динамической и статической устойчивости характерной чертой является то, что колебания локализованы в окрестностях некоторых точек или линий. Наиболее эффективными в этом случае могут быть асимптотические методы, сочетающие в себе за счет локализации, простоту и точность.

Данная работа посвящена проблеме нахождения частот собственных колебаний вязкоупругих оболочек. Края оболочек не обязательно плоские кривые, радиус кривизны - функция , зависящая от окружной координаты. Оболочка может находиться в температурном поле, не обязательно равномерном, под действием осевого нагружения. Частоты собственных колебаний определяются с точностью ц2, где ц - естественный малый параметр. Предполагается, что колебания сосредоточены вдоль образующей, называемой "наиболее слабой". Для определения частот используется асимптотический метод Товстика.

Цель и задачи работы. Цель работы - исходя из классических линейных двумерных уравнений с учетом вязкости определить низшие собственные частоты свободных колебаний вязкоупругих пологих оболочек и, соответствующие им

числа, характеризующие скорость убывания колебаний при удалении о "наиболее слабой" образующей, используя асимптотический метод Товстика; ж следовать их зависимость от выбранного ядра релаксации; геометрических факте ров, таких как наличие косого края, радиуса кривизны, зависящего от окружно координаты; внешних факторов: однородного и неоднородного температурног поля, осевого нагружения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи,

1. Разработать методику расчета собственных частот и соответствующих ш декрементов затухания некруговой косоусеченной вязкоупругой коническо] (цилиндрической) оболочки.

2. Исследовать влияние однородного температурного поля на частоту коле баний и декремент затухания для вязкоупругой некруговой цилиндрической обо лочки со свободным краем.

3. Изучить влияние неоднородного температурного поля на частоту колеба ния и декремент затухания круговой цилиндрической оболочки со свободныи плоским краем.

4. Разработать методику расчета собственных частот колебаний вязкоупру гой оболочки с учетом воздействия осевого усилия.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

- впервые получена формула, связывающая частоты вязкоупругих кониче ских и цилиндрических оболочек с соответствующими им упругими частотами;

- исследовано влияние неоднородного температурного поля на частоты колебаний круговой цилиндрической оболочки;

- получена формула для определения собственных частот колебаний вязко-упругих оболочек с учетом воздействия однородного и неоднородного осевогс усилия.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту .

1. Получена асимптотическая формула для определения собственных частот колебаний некруговой косоусеченной вязкоупругой конической (или цилиндрической) оболочки с различными граничными условиями.

2. Исследовано влияние однородного температурного поля на частоту колебаний и декремент затухания для вязкоупругой некруговой цилиндрической обо-

ючки со свободными краями, в случае, когда края оболочки - не обязательно плохие кривые.

3. Исследовано влияние неоднородного температурного поля на частоту солебаний и декремент затухания круговой цилиндрической оболочки со свобод-шм плоским краем.

4. Получена асимптотическая формула для определения частот колебаний и зоответствующих им чисел, характеризующих скорость затухания колебаний, с учетом осевой нагрузки.

5. Исследован случай перестройки асимптотического разложения для вязко-упругого цилиндра под действием осевой нагрузки.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнена в рамках тем Т 13-133 Фонда фундаментальных исследований, ГБ - 92-40, Республиканской научно-технической программы "Триботехника" (тема 3.21).

Личный вклад соискателя. Все основные результаты выполненной работы получены автором лично.

Практическая значимость полученных результатов. Результаты работы могут быть использованы в научно-исследовательских и проекгно-конструкторских организациях при определении напряженно-деформируемого состояния ответственных элементов конструкций, расчете надежности, долговечности и несущей способностей деталей машин и сооружений.

Экономическая значимость полученных результатов состоит в том, что они позволяют избежать проведения дорогостоящих лабораторных, натурных экспериментов и связанных с ними энергетических и материальных затрат при определении собственных частот колебаний и напряженно-деформируемого состояния реальных конструкций, оценки технико-эксплуатационных свойств промышленных изделий и сооружений.

Апробация результатов диссертации . Основные положения диссертационной работы докладывались на Белорусском учредительном конгрессе по теоретической и прикладной механике "Механика-95" (Минск, 1995), 51-ой научно-технической конференции БГПА (Минск, 1995), Международной научно-технической конференции "Полимерные композиты - 95" (Солигорск, 1995), Международной конференции "Экологическое моделирование и оптимизация в ус-

ловиях техногенеза) (Солигорск, 1996), International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Japan, 1996), Международной математической конференции "Еругинскне чтения - IV" (Витебск, 1997), на семинарах кафедры "Теоретическая механика" БГПА (1994-1997).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов и списка использованной литературы. Работа содержит 90 страниц машинописного текста, 15 рисунков. Библиографический список включает 110 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введение обоснована актуальность темы, сформулирована цель исследования и основные этапы по ее достижению, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации.

С математической точки зрения исследование свободных колебаний оболочек сводится к нахождению собственных чисел и соответствующих им векторов сложных систем дифференциальных уравнений . Точное решение подобных задач связано с непреодолимыми трудностями . Проинтегрировать эти уравнения в замкнутом виде удается лишь в простейших случаях одномерных задач при однородном исходном состоянии, когда уравнения имеют постоянные коэффициенты. В данной же работе рассматривается случай двумерных задач, когда исходное напряженное состояние в оболочке по каким-либо причинам является неоднородным в направлении круговой координаты. В этом случае колебания оболочек сосредоточены в какой-то части ее поверхности. Для исследования таких колебаний наиболее эффективными являются асимптотические методы, сочетающие в себе за счет локализации простоту и точность. Известны работы в этом направлении Гольденвейзера, Болотина, Алумяэ, Лидского, Товстика, Михасева, Филиппова.

Кроме того, в первой главе обсуждается вопрос о применимости уравнений пологих оболочек для различных оболочек. Этой проблемой занимались Новожилов, Муштари, Галимов, Власов, Доннелл. Также в обзоре литературы указывает-

ся на ряд проблем, которые остались нерешенными и обосновывается необходимость их дальнейшего исследования.

Вторая глава посвящена основным уравнениям колебаний вязкоупругих оболочек. Предполагается, что оболочка является изотропной.

В первом параграфе рассмотрены основные уравнения общей линейной теории оболочек и показано, каким образом из этих уравнений получаются уравнения теории пологих оболочек. Уравнения теории пологих оболочек имеют вид:

(1)

v£<d+dv4w-z=o

J-v4o-v2w = o,

Eh к

где

D = -

Eh

12(1 — v ) 1

LjL2

Jlf h. J_ A]+Jif LlJlA

Salbi R2 да) + Эр1ь2 Ri dp.

L,L

12

dalb, oaj + opU2 SP.

Z - нормальная к поверхности оболочки компонента внешней нагрузки, Ф- функция напряжений, W- нормальный прогиб, Е- модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона, h - толщина оболочки, а,Р - криволинейные координаты , Ri,R2-главные радиусы кривизны линий a = const, Р = const, Lt и L2 -коэффициенты первой квадратичной формы срединной поверхности оболочки.

Во втором параграфе второй главы выведены уравнения пологих оболочек с учетом вязкости. Зависимость между напряжениями и деформациями для материала оболочки принимаются в виде

Sg(t) = 2G

a(t) = K

eij(t)-fK(t-s)ei(s)ds

9(t) — / К ] (t — s)0(s)ds о

(2)

CTjj = Sjj +CT

где Бу, еу- компоненты девиаторов напряжений и деформаций, ст - среднее объемное напряжение, 0-объемная деформация, О-мгновенный модуль сдвига, К*-мгновенный модуль деформации ядра. Ядра К (0 и К](1) выражаются через

R(t) и R i (t) - ядра релаксаций для сдвиговых и объемных напряжений следующим образом : К (t) =——R'(t), К ¡(t) = —Ц-R J (t). Учитывая (2), и то, что

2G К

K(t) = К ,(t) для v = const, можно записать:

°н(0 = ~~~—J(eii) +---J(e)Sii (3)

IJ 1 + v (l + v)(l-2v) w 1J

Оператор J задается формулой t

J = z-JK(t-s)z(s)ds (4)

0

В дальнейшем рассматривая оболочки предполагаем справедливость гипотез Кирхгофа -Лява и сохранение изотропии в течении всего процесса деформирования. Из условия 033 = 0 следует, что З(езз) = - ^ V [j(e) ]) + vj(e22)] • Таким образом, соотношение (3) примет вид:

°ll=-^T[j(en) + vJ(e22)] (5)

1- v

ст22 =-r[J(e22) + vJ(en)]

1-v

Подставляя (5) в формулы, определяющие усилия и моменты, получим, что уравнения колебаний однородной изотропной упруго-вязкой оболочки легко получить из соответствующих уравнений колебаний упругой оболочки простой заменой компонент деформаций на величины J(z), где z- компоненты деформации. Выражения, связывающие деформации срединной поверхности с перемещениями U) ,u2 >и3 • одинаковы для упругой и вязкоупругой оболочки.

Следуя из вышесказанного, уравнения пологих оболочек с учетом вязкости можно переписать в следующем виде:

DV4J(W) + у£ф + ph^ = О dt

J--V4a>-V2J(W) = 0 (6)

Eh к

4 7

В третьем параграфе первой главы приведены основные модели линейной вязкоупругости. |

В данной работе рассматриваются свободные колебания оболочек нулевой гауссовой кривизны . Характерной особенностью оболочек нулевой гауссовой кривизны является наличие на их поверхности асимптотических линий. Нейтральное напряженное состояние у таких оболочек описывается функциями, медленно меняющимися вдоль асимптотических линий и быстро меняющихся в направлении перпендикулярном асимптотическим линиям. Как следствие этого, вмятины локализуются вдоль "наиболее слабой" образующей и тянутся от края до края. Именно этот факт при исследовании свободных колебаний заставляет заниматься удовлетворением граничных условий. В четвертом параграфе второй главы обсуждается задача о выделении из граничных условий двух главных, которым нужно удовлетворить при построении полубезмоментных интегралов, описывающих главное напряженно-деформированное состояние. Для уравнений пологих оболочек главные граничные условия в нулевом приближении будут иметь следующий вид

1) для жесткого закрепления

^ = ^- = 0; (7)

ОБ

2) для шарнирного закрепления

= Ф = 0; (8)

3) для свободных краев

8Ф ■

Ф = ^ = 0. (9)

&

Кроме того, в четвертом параграфе описан итерационный процесс, который используется для построения частот и форм собственных колебаний.

В третьей главе рассматриваются двумерные задачи оболочек нулевой кривизны. Подробно разбирается асимптотический метод Товстика, с помощью которого уравнения пологих оболочек сводятся к последовательности одномерных задач.

В первом параграфе третьей главы приводятся основные асимптотические формулы. Рассматриваются свободные колебания некруговой конической оболочки . На срединной поверхности вводится система координат б, ф, так , чтобы пер-

1 1111

вая квадратичная форма поверхности имела вид: с1ст = Я (ск + б dф ). Здесь

б= б0 - расстояние до вершины конуса, II - характерный размер срединной

поверхности, ф - координата на направляющей. Считаем, что оболочка ограничена двумя краями (ф) <б<Э2(Ф), 0<ф <. Материал оболочки - линейновязко-упругий с мгновенным модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V. Для описания спектра колебаний может быть использована система уравнений пологих оболочек, записанная в безразмерной форме:

/А2

W' - jK(t-T)W'(x)dx

к(ф) а^Ф +--2~ Р

dsz

a2w а2

= о

(10)

ВДО 5 Ц Д Ф - г

S &2

А a2 i а2

as1 s аф2 sas

W' - jK(t-x)W'(T)dx

—оо

1 а

= о

и

12R2(l-v2)'

W' = /r_1W\ Ф = Ф*(ц4Еь) \ mp=pR2(n4E)~1.

Здесь ц- малый параметр, W", Ф* - нормальный прогиб и функция напряжений соответственно, р - плотность материала, K(t - т) - функция скорости релаксации. Слагаемые в (10), содержащие функцию K(t - т), будем называть "вязкими".

В качестве граничных условий на краях Sj = sj (ф) рассмотрим группу шарнирного закрепления с точностью до величин порядка ц2:

\У' = Ф = 0 при s=sj^), i = l,2. (11)

Функции к(ф), Sj (ф) предполагаются бесконечно дифференцируемыми. Представим решение системы (10) в виде: W' = W(s^,n)exp(iQt), Ф = F(s,ф,n)exp(i£2t), n = co + ia (12)

где со- искомая частота, a - число, характеризующее скорость затухания колебаний.

Подставляя (12) в (10) и замечая, что / K(t — т) exp(ii2t)dt =exp(iQt)C,

где С = / К(0) ехр(1О0)с10, получим следующую систему уравнений: о

(1-С)д4Д2\У +

Б й>2 р

ц Д Б--

-V/ = 0.

8 дв*

Принимая во внимание зависимость радиуса кривизны и краев оболочки б, (ф) от ф, предполагается, что оболочка имеет "наиболее слабую" образующую ф = Фо, вблизи которой локализуются собственные формы колебаний. Решение системы уравнении (13) при удалении от "наиболее слабой" образующей может быть представлено в виде ВКБ-функций:

(14)

(15)

(16)

О = П0 + иП! + ц2Я2, к(ф) = к(ф0) + р1/2к'(Фо) + 0.5цк"(Фо)

4-00

wI(s,4)= 4 = Ц~1/2(Ф-ФО).

п=0

где - полиномы по ф = Фо - "наиболее слабая" образующая, в окрест-

ности которой локализуются колебания, р, Ь - неизвестные числа (1ш р = 0, 1тЬ > 0). Число р определяет изменяемость в направлении ф, а параметр Ь характеризует скорость уменьшения глубины вмятины при удалении от нее. Функция Б ищется в виде (14).

Подставляя (14), (15), (16) в (13) и приравнивая коэффициенты при

одинаковых степенях р."2, получим последовательность уравнений для определения \уп(б,£) , которая может быть записана в виде:

Ь0\у0=0, 1^+1^0 = 0, Ь0\у2+1^+1^0=0 (17)

Здесь

(1-Ср)р4г к(фр)(1-С0) в2 °-^- -^-Т2

Б р ОБ

д2 ^

30 г 5 ^

дь .

2

- ШрОоБг,

(18)

+00

с0= 1К(0)ехР(чадае.

о

Из-за громоздкости операторы Ь]г, здесь не приводятся. Граничные условия для имеют следующий вид:

= 0.

& Зэ

Во втором параграфе третьей главы рассматривается краевая задача, возникающая в нулевом приближении. Из нулевого приближения получим уравнение, связывающее частоту колебаний и число, характеризующее скорость затухания колеба-

2арСйо сор - ар

где В0 = ReCp, А0 = -1шС0

(20)

А0 1-В0

Приведены расчеты сор и ар для двух предлагаемых ядер релаксации. Далее здесь же рассмотрены наименьшие собственные частоты колебаний оболочек. Установлено, что со =сй(р,ф0). Величины р,фр, при которых частоты колебаний наименьшие, находятся из следующих соотношений

1 w0—^-w0ds=0 s, ^Р

(21)

/w0|0w0ds + ^(l-C0^

s, <% рч

k2s's3

f з__з \

dv/Q д w 5wq ^ w

5s ds3 8s gs3

= 0

В третьем параграфе найдены поправки к собственным частотам колебаний вязкоупругих оболочек. В случае Sj = const получены асимптотические формулы

для определения собственных частот и соответствующих им чисел , характеризующих скорость затухания колебаний

ReQ = co0+nco, +0(ц2) = шек°|1 +-ФоФ°, РР-к,!

2Х

+ 0(ц2)

2 О

Imi2 = a0 + na] +0(ц ) = соеки

ч 1/2

о , ^ЧфрЧр) к1

^а +

2Х

+ 0(ц2),

(22)

где

1,0 _ Ар

Ксо - > Ка ~

2к<

2 '

(23)

\

к1 -1-Во ш ~~ 1,0

(в1Ше-2кО) +

ч кш /

(24)

,.1 _1-в0

° к0

о >

(в,ше-2к°)

X - частота колебаний соответствующей упругой конической оболочки. В четвертом параграфе третьей главы определяются собственные частоты колебаний упругой слабоконической оболочки. Рассматривается следующая краевая задача

С 2 Л 3 д \у

с12\У

д? )

п \у

+ г--Хл1р5\У = О

Б

(25)

w = —— = 0 при э = Б, ¡=1,2. ds

Б? — 31

Делаем замену переменных б = б2 (1 - уу), X ~ - ■ Тогда (25) примут вид

1А1

а dy2

О-ХУ)

? /

dy2 )

Ъ(1-ХУ)-

(1-ХУ У)

\у = 0

(26)

W :

¿у2

= 0 при у = 0, 1.

Здесь введены обозначения р4 = аЧ\ Х0 = ЬП, Т(ф) = ^, т](ф) =

2 *

(27)

Уравнение (26 ) является эталонными в том смысле, что оно содержит три параметра а, Ь, х, которые при его решении можно считать независящими от вида функции Б} (ф), Б2(ф), к(ф). В замкнутом виде оно не интегрируется . Асимптоти-

х

а

ческое интегрирование данного уравнения приведено во второй части данного параграфа.

Для слабоконической или сильноусеченной оболочки ■/,—>()• Тогда решение (26) будем искать в виде

Ь = Ь0 + хЬ] + х2ь2 •

Подставляя (28) в (26) получаем соотношения, связывающие параметры а, Ь, %

Ь = а + — + х

4 'за ЗИЧ

2 а

(29)

Необходимые условия экстремума функции А-о = Яо(р, Ф) , из которых можно найти Х°0, ро, Фо, записываются в виде:

^и^о, (30)

др да аф0 5ф0 5х5фо Первое из этих уравнений определяет функции а = а(х), Ь = Ь°(х) = Ь(а(х),х) • Из второго уравнения находится наиболее слабая образующая ф = фо и соответствующее ей значение

4 = ПоС Ро =а0Т0, Ъ°о = Ь°(хо), хо = Х(Фо), (31)

ЧЪ-ЧЧфЗ), % = т1(Фо)-

Используя первое из уравнений (30), определим что

= Ь8 = я2л/(2-ЗХ)(2 + ЗХ) (32)

Из (32) легко найти Х.ои ее производные по р и фо, для того чтобы воспользоваться формулой (22).

Четвертая глава посвящена изучению влияния температурного поля и осевого нагружения на собственные колебания вязкоупругих цилиндрических оболочек. В первом параграфе данной главы исследованы колебания тонкого цилиндра с учетом воздействия однородного температурного поля. Установлено, что увеличение температуры приводит к уменьшению декремента затухания и увеличению частот колебаний со о- Наиболее существенно это влияние для оболочек с

а

малой частотой со® упругих колебаний. Во втором параграфе определяются частоты колебаний круговой цилиндрической оболочки в неоднородном температурном поле. В третьем параграфе рассматриваются колебания тонкого цилиндра под действием статической осевой нагрузки Т," = рЕИТ^ . В качестве исходных уравнений используются уравнения (10) (к первому добавляется дополнительное 2

слагаемое р Т1——) . Подстановкой (12) они сводятся к виду (13). На краях &2

оболочки пусть выполняются условия шарнирного закрепления , позволяющие искать решения £ в виде:

№ = шт(ф)5т(р-1ргаз)^ Г = Гт(ф)зт(ц-1рт8) (33)

Тогда уравнения колебаний перепишутся следующим образом

(1 - С)р4 - 2ц2к(ф)(1 - С)р2т + р4т(1 - С)*т +

бф Зф (34)

+ Ртк(ФКт - РтТ1^т - трЯ2\Ут = 0

И ¿Г^ - 2)Х2Рт + Р^т - РтКФХ! - С)шт = 0 5ф дф

Решение (34) представляется в виде (14), (15), (16). При р ~ 1 происходит перестройка асимптотики. Данный случай рассматривается в четвертом параграфе четвертой главы. В пятом параграфе рассматривается круговой цилиндр под действием неоднородного нагружения.

ВЫВОДЫ

1. Разработана методика расчета собственных частот и соответствующих им декрементов затухания колебаний косоусеченной некруговой вязкоупругой конической оболочки. Для цилиндрической оболочки получена асимптотическая формула для определения собственных частот колебаний.

2. Исследовано влияние температурного поля на частоту колебаний вязко-упругой некруговой цилиндрической оболочки со свободными краями. Установлено, что увеличение температуры приводит к увеличению частоты колебаний и уменьшению декремента затухания.

3. Получены асимптотические формулы для определения частот свободных колебаний и соответствующих им декрементов затухания с учетом осевой нагрузки. Установлено, что возрастание осевого усилия приводит к увеличению поправок к частоте и декременту затухания. При приближении осевого усилия к некоторому критическому усилию происходит потеря устойчивости. Полученные формулы становятся непригодными. Показано, что критическое усилие для упругих оболочек равно двум.

4. Исследован случай перестройки асимптотического разложения для вяз-коупругого цилиндра под действием осевой нагрузки. Для этого случая также получены асимптотические формулы для частоты и декремента затухания.

5. Для кругового цилиндра под действием неоднородного осевого усилия установлено, что "наиболее слабая" образующая определяется из условий

Т, (фо) = 0,Т1 < 0 , где Т,(Ф0) " осевая нагрузка в безразмерном виде, ф0 -

окружная координата.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. M.G. Botogova, G.I. Mikhasev. Free Vibrations of a Non -uniformly Heated Viskoelastic Cylindrical shell // Technische Mechanic. -1996.- Band 16,- Heft 3. - p. 251-256.

2. Ботогова М.Г., Михасев Г.И. Свободные низкочастотные колебания вяз-коупругой цилиндрической оболочки с учетом воздействия температурного по-ля.//Весщ АН Беларусь Сер. ф;з.-тэхн,- 1997,- № 2,- с. -117 - 123 .

3. Ботогова М.Г., Михасев Г.И. Свободные низкочастотные колебания равномерно нагретой вязкоупругой некруговой цилиндрической оболочки. // Механика - 95: тез. докл. Белорусского учредительного конгресса по теоретической и прикладной механики. - Минск, 1995. - с. 50, 284.

4. Ботогова М.Г., Михасев Г.И. О свободных колебаниях вязкоупругой конической оболочки с учетом равномерного нагрева.// 51-научная конференция профессоров, преподавателей, научных работников, аспирантов и студентов БГПА: Материалы конференции,- Минск, 1995. - ч.1 - с. 22.

5. Ботогова М.Г., Михасев Г.И. Свободные колебания вязкоупругой некруговой конической оболочки с учетом неравномерного нагрева. //Полимерные ком-позиты-95: Тез.докладов международной научно-технической конференции. - Со-лигорск, 1995 - с.

6. Botogova M.G., Mikliasev G. I. Free vibrations of a cylindrical shells taking into account the non-uniform temperature field. // The XlXth International Congress of Theoretical and Applied Mechnics: Book of Abstracts. - Kyoto, 1996. - p. 342.

7. Ботогова М.Г., Михасев Г. И. Исследование влияния температурного поля на свободные низкочастотные колебания конической оболочки //Экологическое моделирование и оптимизация в условиях техногенеза: Тез. докл. международной конференции. - Солигорск, 1996. - с.

8. Ботогова М.Г. Об одном решении интегро-дифференциальных уравнений, описывающей свободные колебания вязкоупругой конической оболочки// Еругинские чтения - IV. Тезисы докладов международной конференции,- Витебск, 1997.-с. 137.

РЕЗЮМЕ

Ботогова Марина Георгиевна Двумерные задачи свободных низкочастотных колебаний вязкоупругих оболочек с учетом воздействия внешних факторов. Ключевые слова: пологие оболочки; частота колебаний, декремент затухания; вязкость, ядро скорости релаксации; естественный малый параметр; "наиболее слабая" образующая; метод ВКБ- приближений.

В работе решается задача нахождения наинизших собственных частот колебаний вязкоупругих конических и цилиндрических оболочек средней длины. Задача характерна тем, что собственные колебания локализуются в окрестности "наиболее слабой" образующей на поверхности оболочки. Для исследования колебаний используется асимптотический метод Товстика, который позволяет свести двумерную задачу теории оболочек к последовательности одномерных задач. Получена асимптотическая формула для определения собственных частот колебаний некруговой косоусеченной вязкоупругой конической ( цилиндрической ) оболочки с различными граничными условиями в зависимости от частот колебаний соответствующих упругих оболочек. Изучено влияние вязкости на собственные

16

4

частоты колебаний. Исследовано влияние температурного поля, осевого нагруже-ния на нижний спектр свободных колебаний.

Полученные результаты могут быть использованы в научно-исследовательских и проектно-конструкгорских организациях при определении напряженно-деформируемого состояния элементов конструкций, расчете надежности, долговечности и несущей способности деталей машин и сооружений.

РЭЗЮМЭ

Батаговай Марыны Георпеуны Двухмерныя задачы свабодных ваганняу вязкапругах абапонак, ул1чваючы уздзеянне вонкавых фактарау . Кшочавыя словы: пакатыя абалонм; частата ваганняу, дэкрымент затухания; вяз-касць, ядро скорасш рэлаксацьп; натуральны малы параметр; межавая задача; "найслабейшая" утваральная; метад ВКБ-прыбл1жэння;

У дысертацьн вырашаецца праблема знаходжання найшжэйшых уласных частот ваганняу вязкапругюх кашчных 1 цылищрычных абапонак сярэдняй даужыш. Задача характерная тым, што уласныя ваганш знаходзяцца каля адной "найслабейшай" утваральнай на паверхш абалони. Для даследвання ваганняу вы-карыстоуваецца аымптатычны метад Тоусщка, ям дазваляе прывесш двухмернаю задачу к паслядоунасщ аднамерных задач. Атрымана аимптатычная формула для знаходжання уласных частот ваганняу некругавой косаусечанай кашчнай (цылшдрычнай абалоню) з розным1 межавым1 умовам!, у залежнасщ ад частот ваганняу адпаведных пругшх абалонак. Вывучаецца уплыу вязкасш на уласныя частоты ваганняу. Таксама у рабоце даследуецца уплыу тэмпературнага поля, во-севай нагрузю на шжш спектр уласных ваганняу. Атрыманыя вынш могуць быць выкарастаныя у навуковадаследчых шстытутах, канструктарсшх установах пры вызначэнш напружана-дэфармаванага стану элементау канструкцый, разл1ку над-зейнасщ, доугавечнасщ дэталяу машын и будынкау.

SUMMARY

Botogova Marina Georgievna Two-dimensional problems of low-frequency free vibrations of a viscoelastic cylindrical shells taking into account outer factors.

Key words: slanting shells; frequency of a oscillations, damping decrement; viscosity, relaxation kernel; natural small parameter; "weakest"generatrix; boundary-value problem; WKB - approximation method.

The problem of obtaining the lowest spectrum of free vibrations of viscoelastic conical and cylindrical shells is solved. The characteristic property of the problem under consideration is the localisation of vibrations modes in a vicinity of "weakest" generatrix. For investigation of a vibrations the Tovstic asymptotic method is used. This method reduces a two-dimensions boundary problem to a consequence of unidimensional problems. The asymptotic formula for finding the frequency of oscillations of noncircular viscoelastic conical (cylindrical) shells with various boundary conditions is obtained. The influence of viscosity on the frequency of free vibrations is studied. The influence of temperature field, axial load on the lowest spectrum of free vibrations is investigated. Obtained result can be used in research institutes for the defining the stress state of construction elements.