Управление траекторией роста трещины сдвига в многослойных материалах при внешних воздействиях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Почетуха, Оксана Валерьевна
АВТОР
|
||||
|
кандидата технических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи,
Почетуха Оксана Валерьевна
Управление траекторией роста трещины сдвига в многослойных материалах при внешних воздействиях
Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
003162998
Работа выполнена в Московском государственном открытом университете
- доктор физико-математических наук, профессор В Д Кулиев
-доктор технических наук, профессор Разумовский И А Институт Машиноведения РАН им А А. Благонравова
- доктор технических наук, Власов Н М
ФГУП "НИИ НПО "Луч"
Ведущая организация - Координационный центр по безопасности оборудования и трубопроводов атомных станций
Защита состоится « /¿f » ноября 2007 года в « /3_» часов на заседании
диссертационного совета Д 212137 02 в Московском государственном университете по адресу: 107996, г Москва, ул Павла Корчагина, д 22, e-mail msou@msouru
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГОУ
Научный руководитель.
Официальные оппоненты
Автореферат разослан « // » октября 2007 г
Ученый секретарь у НВ Лукашина
диссертационного совета д
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Проблема прочности многослойных элементов конструкций и сооружений и необходимость ее практического решения вызвала и вызывает большой интерес многих исследователей к изучению процесса их деформирования и разрушения Одна из важнейших задач такого рода - исследование поведения трещин в многослойных 1-слойных) материалах с целью повышения прочности и эксплуатационной надежности многих современных многослойных конструкций при экстремальных условиях их работы Постановка задачи предполагает введение трещины в интересующем нас месте При этом многослойные материалы рассматриваются как полосы с разными упругими свойствами и толщиной, жестко сцепленными между собой В этом случае процесс разрушения п -слойных материалов с трещиной исследуется в три этапа трещина полностью находится на одном из боковых слоев, трещина образована разрывом в этом слое и ее вершина находится на границе раздела разорванного и соседнего целого слоев, на третьем этапе направление роста трещины и ее тип, согласно теоретическим и экспериментальным исследованиям зависит от Ор у,, где б, - модуль сдвига^-го слоя, V, - коэффициент Пуассона того же слоя; от прочности адгезии на границах раздела (прочность адгезии, согласно теории адгезии при сдвиге аналогичной теории Гриффитса - Ирвина, определяется одной новой постоянной - вязкостью скольжения контактного слоя Кпс, а также размером дефекта или слабого места на контакте двух материалов), от микроструктуры пограничного слоя, примыкающего с одной или двух сторон к границе раздела
Заметим, что при создании и эксплуатации биметаллов в пограничном слое возможны сложные релаксационные процессы, такие как рекристаллизация, образование-новых фаз и другие, изменяющие его физико-механические свойства Для того, чтобы в более точном приближении оценить влияние пограничного слоя на прочность материала, необходимо определить толщину этого слоя - например, определить границы зоны диффузии при
диффузионной сварке, те смещение поверхности Крикенделла, а также изменение его механических характеристик слоя при удалении от первоначальной границы раздела
Решение таких вопросов необходимо при создании эксплуатации биметаллов и композитов Кроме того, подобные составные конструкции встречаются в ракетостроении, авиационной технике и других сложных технических системах, что позволяет считать тему диссертации актуальной Цель работы:
Разработка метода, позволяющего построить решения новых задач механики разрушения многослойных сред с трещинами продольного сдвига и изучение на йх основе процессов торможения трещины, если торможение трещины в первом слое-материале невозможны, то определение дальнейшего направления развития трещины в процессе перехода ею границы раздела Эти цели достигаются решениями и анализами следующих новых задач
• Краевая трещина продольного сдвига с вершиной в первом слое многослойного материала.
• Краевая трещина продольного сдвига с вершиной во втором слое многослойного материала
• Трещина продольного сдвига в первом и во втором слое многослойного материала
• У-образный вырез с вершиной на границе раздела двух различных материалов
• Краевая трещина продольного сдвига на границе раздела двух различных материалов
• Краевая трещина продольного сдвига на границе раздела двух однородных изотропных упругих полуполос
Научная новизна работы:
• Построение точных замкнутых решений новых задач механики разрушения многослойных сред с трещинами продольного сдвига
• Установление условий, при выполнении которых происходит торможение трещины
• Получение формулы, позволяющей исследовать комплексные влияния толщины и модуль сдвигов слоев на коэффициент интенсивности напряжений Кш при заданных внешних нагрузках
• Установление условий, при выполнении которых можно предсказать траектории роста краевой трещины продольного сдвига в многослойных материалах, и, тем самым, управлять направлением ее роста
Достоверность исследований подтверждает апробированность исходных положений работы в постановках задач теории упругости и теории трещин, математическая точность и строгость в решении и удовлетворении граничных условий рассматриваемых задач, сравнение конечных аналитических и числовых данных в частных случаях с известными в литературе
Практическая значимость работы определяется возможностью внедрения полученных результатов Результаты диссертационной работы были внедрены в производственный процесс в ФГУП «НПО «ТЕХНОМАШ» при создании новых образцов ракетно-космической техники
На защиту выносятся следующие основные результаты работы:
• решения новых задач механики разрушения многослойных сред с трещинами продольного сдвига,
• асимптотическое распределение напряжений и смещения вблизи вершины У-образного надреза (вершина, которого находится на границе раздела двух сред),
• формулы коэффициентов интенсивности напряжений для трещин продольного сдвига, находящихся в многослойных материалах
Апробация работы. Отдельные разделы диссертационной работы были доложены на семинаре факультета «Прикладная математика» Московского государственного открытого университета (2005 - 2007 гг), на ХЫ1 Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-
технический прогресс», г Новосибирск, 2004 г, на XIV Международном семинаре «Технологические проблемы прочности», г Подольск, 2007 г, а также на Ш-V, VII Международных симпозиумах молодых ученых, аспирантов И студентов «Техника и технология экологически чистых производств», г. Москва, (1999-2001, 2003 гг) и на Юбилейной научно-технической межвузовской конференции, г. Санкт-Петербург, 2000 г
В целом работа обсуждалась на общеуниверситетском семинаре по механике деформируемого твердого тела при МГОУ, г Москва, 2007 г.
Публикации. По основным результатам диссертации опубликованы 6 статей в периодической печати Две статьи изданы в журнале, который входит в перечень издательств рекомендованных ВАК РФ
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов (заключения) и списка литературы из 115 наименований. Общий объем диссертации 128 страниц Работа содержит 21 рисунок
Основное содержание работы.
Во введении обосновывается актуальность проблемы исследований и кратко излагаются основные научные положения, которые выносятся на защиту.
В первой главе, состоящей из семи параграфов, дан обзор по теме диссертации (§1), приведены некоторые известные сведения (§2 Представление Папковича - Нейбера перемещений и напряжений через три гармонические функции, §3 Преобразование Меллина в плоской задаче теории упругости, §4 Метод В Д Кулиева для решения канонических сингулярных задач теории упругости кусочно-однородных сред, §5. Трещина, перпендикулярная границе раздела двух различных упругих сред), необходимые в работе.
Из наиболее важных исследований в механике разрушения многослойных сред следует отметить работы Д В Грилицкого, В.Д Клюшникова, В Д Кулиева, Б М Морозова, JIВ Никитина, В 3 Партона, Ю Н. Работнова, М П
8
Саврука, Р.Л. Салганика, Г.П. Черепанова, Д.И. Шермана, Ашбауха, Вилышса, Зака, Ингленда, Кортена, Райса, Си, Хилтона, Эрдогана.
В §6 методом В.Д. Кулиева автором данной диссертационной работы (совместно с В.Д. Кулиевым) построено решение канонической сингулярной задачи теории упругости кусочно-однородных сред (антиплоская деформация). Геометрия исследуемой задачи показана на рис. 1.
Граничные условия задачи имеют следующий вид:
(<т«),(г,а) = 0, (Ов)2(г,Л = 0, (1)
Г(<г»),(г.+0) = (<гя)2(г,-0), (2)
{ ус,(/-,+0) = м>2(г,-0).
Кроме того, если л < а — ¡5 < 2л, то при г —> О
{оМг.Щ-^Ш-г-*, (3)
где Л = Х(к,а,Р) е ]0,1[, к =
Методом В.Д. Кулиева построено решение краевой задачи (1)-(3) в виде:
при 0 < в < а
л/2^ япО-Л)«
при /? < <9< О
К'„, sm(l~2)(/?-6>) , (5)
(сгвг)г(г,в)--
Ля sm(l-A)/?
•Jin sm(l -X)P
. K'm cos(l - X)( fi - в) _M
w,(r,ff) --"L- ■—--—--г м
(1 - sin(l - Л)р
В (4) и (5) предполагается, что а* 0, О, (а- Р) е ]ж, 2л{. Кроме того,
X = Mk, а, Р) е ]0,1 [ является корнем уравнения
Д(р, к, а, р)ш{к- l)sin p(fi + а)+{к + l)sm р(а - /?) = 0, (р = Я-1) (6)
Анализ функции А(р,к,а,/3) показывает-
1 Если « = - Д то функция A(p,k,a,J3) /с е ]0,да[ имеет нуль первого
7Г
порядка в точке р = Я -1, где Я -1 - - Отсюда.
1.1 Если кусочно-однородная среда занимает область 0 < г < оо, -а< в< а,0 <2а< я (двугранный угол), то Я < 0 Следовательно, приходим к краевым задачам класса S В частности, при 2а —> О, Я -со (кусочно-однородная полоса), при 2а= я, Я-0 (кусочно-однороднаяполуплоскость) 1 2 Если кусочно-однородная среда занимает область 0 < г < оо,
-ай 0< а, ж < 2а < In, то X <
Следовательно, приходим к краевым
задачам класса N. В частности, при а-л, Я = ^ (трещины продольного сдвига
на границе раздела двух однородных изотропных сред)
2 Если £ = 1, то функция А(р,к,а,@) имеет нуль первого порядка в л
точке р~/1-1, где Д = 1-
а-уЗ
2 1 Если однородное изотропное упругое тело занимает область 0<г<оо, р< в< а, 0 < а- Р< я, то Л < О (краевые задачи класса 5) При (си - Р) —> О, Л -> -оо (однородная изотропная упругая полоса), при а - ¡3 = п, 2=0 (однородная изотропная упругая полуплоскость).
2 2 Если однородное изотропное упругое тело занимает область
1"
0<г<°о, р < в <а, я <а- /3<2я, то Л е
°'2
(краевые задачи
класса Щ\ при а~р = 2я (трещина продольного сдвига в однородной
1 3 я
изотропной упругой среде), Л = - при а-/?=— (однородная изотропная
упругая среда с прямоугольновидным вырезом)
Утверждение 1. Характеристическое уравнение (6) при любых фиксированных значениях к е ]0, со[, а и р {ж < а - р < 2я) имеет единственный корень в полосе -1 < Ке/? = X -1 < О (Я = Л(к,а,Р) е ]0,1[), 11тр\ < ао, причем этот корень действителен
Приведенный численный анализ показывает, с увеличением к е ]0, со[ и (а - Р) е ]яг, 2я[степень особенности напряжений Л = Л(к,а,р) е]0,1[ увеличивается
Рассмотрим один частный случай
Полубесконечная трещина на границе раздела двух сред В этом случае
а — я,В = -я, Л = — н 2
Решение этой задачи в силу (4) и (5) будет иметь следующий вид. при 0<(9 <л (4а)
ММ)-^»
2'
, 2К1П л/г в
к (г, в) = —т— 4 ; 2
при -л<в<0 (5а)
/и2 у!1П £
Напряжения и смещения (4а) и (5а) совпадают с ранее известными. В §7 главы I указана цель и обоснована структура диссертационной работы.
Во второй главе*' рассматривается задача о краевой трещине продольного сдвига с вершиной в первом слое материала.
Пусть полоса 0 < х < Н, I у I < оо, составленная из N различных однородных изотропных упругих материалов /ик{к = 1,Л0, где /а - модуль сдвига, жестко
Зн
Рис. 2
сцепленных вдоль плоскостей х = (_/ = 1, N -1,
О < \ < И2 <... < /гЛ._, < /гЛ, = Н) содержит краевую трещину продольного сдвига (у = О, 0 < х < I < /г,), перпендикулярную свободным от внешних нагрузок границам х = 0 и х = Н (Рис. 2).
К берегам трещины приложено некоторое заданное напряжение. На бесконечности напряжения отсутствуют, а смещение исчезает. Граничные условия имеют вид
* = 0, (О,=0; х = Н, (ахХ =0, (7)
у = 0, 0 <х<1<\, (оД =-о-,(х), (8)
у = О, 1<х<\, О), = 0, (9)
Данная задача решена совместно с В.Д. Кулиевым
у = 0, Н,<х<к^, (, = 1.АГ-1), (Ю)
* = =("),♦„ (<хД=(<гД+1 0=1,^-1) (11)
Условие на конце трещины.
(12)
Условия на бесконечности (|}>| со, 0 < х < н)
("Д. =о(г»), (13)
(г = ч]х2 + уг, а< о)
Решение краевой задачи в областях 0 <х < /гь > 0 и
к) <х< /г7+1 (у = 1, Л^ — 1), у>0 ищем в форме О < х < й, (первая упругая среда /4)
(и»), (х,у) = ^"¡¿¡сЬЛхят ЛуМ + со$грсв!т), ^^
<*<*,+» (0+1)-ая среда, 7=1^1 ¡и^)
Напряжения (ах,и (егД через гармоническую функцию (п), определяются так
Удовлетворив граничные условия (7) - (14) и представив функцию в виде , где /(г) - новая неизвестная функция, с помощью (14)-(16)
приходим к сингулярному интегральному уравнению первого рода типа Коши. Пусть N = 2 Тогда сингулярное интегральное уравнение первого рода типа Коши приобретает вид
Л Я'^-Х Л 4
"ге'м> {¡ИЛИ - кскАк^кЛСскЛх , (17)
* кякЩ скЛк + с/гЯ/г, хкЛк
Здесь к = к =
(¿г
Отсюда с помощью метода В Д Кулиева о сведении определенного
класса сингулярных интегральных уравнений первого рода к интегральному
уравнению Фредгольма второго рода находим
2 'г о-<У> V (18)
— с1т=у,{х)+ Ут^л,
л№\ о Vх -г о
" ' J кМКпЫкл-скЖ.МЬ '
ШЩскХИ + сЬЩ.Ф1И Здесь
(19)
/0(г) - модифицированная функция Бесселя
Поскольку Ах)еКе[0Л[, те /(*) = , /0(х)е 4 где
2 <Л -х
Н"[-1, г] - класс функций Гельдера с показателем а (о < а < 1) на отрезке [-£,
/о(*)=-/о(*)> то функция 1//(х)е С1 [о, ¿\, где С'[о, 1\ - класс непрерывно
деформируемых функций на отрезке [о, ¿\
Коэффициент интенсивности напряжений Кш определяется так
кш=М1^у{е) " (20)
или
(21)
Здесь ц/(е) - определяется из фредгольмова уравнения (18), а /,,{£) - из
сингулярного уравнения первого рода типа Коши (17)
Тогда из (17), переходя к безразмерным переменным, получаем
1 ■ (22) ! = ¥,(*,)+/Ч'М*,,/,)^ (0<*,<1)
Здесь *,=* ,ХЛ = = А
II а Н
А|1*1.'|,М— J Г к Г и "Л-
к вк^ — с/гД, — + сИ Л, — яйЛ, —
н н н н
Таким образом, согласно формулам (20) и (23) коэффициент интенсивности напряжений для трещин продольного сдвига определяется так:
Ад
(24)
Автором данной работы разработана вычислительная программа (эта программа приведена в диссертационной работе), в которой решение уравнзния (22) сведено к решению системы линейных неоднородных алгебраических уравнений порядка тхт.
При выполнении расчетов установлено, что для получения трех устойчивых десятичных цифр в значении ЧК,(...) достаточно ш = 20.
Анализ показывает (рис. 2а и 26): если к < 1, то при любых значениях и
£ функция монотонно уменьшается с ростом —, т.е. происходит
Н Н^
торможение трещины; если же к > 1, то при любых фиксированных значениях и -у- функция ¥,(...) монотонно увеличивается, т.е. при определенных
н н
значениях — может происходить неустоичивыи рост трещины.
К
Рис.2а (к=0,1) В третьей главе рассматриваются две задачи:
Рис.2б (к=10)
Задача первая (§1) - краевая трещина продольного сдвига с вершиной во второй упругой среде
Задача вторая (§2) - краевая трещина и трещина с одной вершиной на границе раздела двухслойного материала, а с другой вершиной во второй упругой среде (рис 4)
Пусть вершина краевой трещины продольного сдвига, исходящая из первой упругой среды, находится во второй упругой среде (рис 3). Граничные условия задачи имеют вид
* = 0, Ю,=0, * = Я, (<хД=0, (25)
^ = 0, 0 < х < й, - О, {ау2\ = -<х,(х) , (26)
у = 0, А,+0<х</ + А1 =1, (сгД =-аг(х) , (27)
х = (О, = (сг„)2, , (28)
у = 0, Л, + / < х < Я, 0)2 = 0 (29) Условие на конце трещины имеет вид
= - ¿т )2 (*,0)] (30)
Условия на бесконечности в виде (13) сохраняются
Анализ показывает, что функции сг^х) и сг2(х) не могут быть независимыми, между ними существует связь- 0](/2] - 0) = каг0г\ + 0) Решение задачи 0<х < кьу> 0 и /г,<х<Н, у > 0 ищем в форме 0<х<к\ (первая упругая среда
[2* [2™ (31)
• я о ' я о
1 [Т-г /2-г (32)
—(сг„). (х,у) = л — \ХАх эш ХуйХ -Ь^е-'^т^^ ,
Л »я1 о Ь,'
1 |Т"г [2'г (33)
—(с^),^,^) = л— IЛЛ,{Х)сЮхсоъХуёХ -,)— соз^с/7 >
Щ ¥яг„ V 0
< х < Н (вторая упругая среда /¿2) (и-), (х.дО = М]и2(Х)М(х-Н)+ (34)
+ Вг (Л).М(х - Я)] вш Лус1Л + сое щ<1г},
= ЖШ2(Л^Л(х-Н) + Мг V я >
(35)
+ В2 (Л)скЛ(х - Н)]51П ЛуйЛ - этЩсЬт),
—(сг )2(х,.у) = ]-]л[А2(Л)скЛ(х-Н) + Мг
+ В2 (Л)яИЛ(х - Н)]соз Аус1Л -.(— Гсо 5
(36)
Из (32) следует, что условие (25а) удовлетворяется автоматически. В дальнейшем предполагается, что поэтому функции Ыт]) и се(ф
ищем в виде
(37)
\uwMV0(т)(1и,
а(л) = ^ \иц/г(и).1ц{г1и)с!и ^^
К
Здесь )//у(х) - новые неизвестные функции
Применяя обычную процедуру, с помощью граничных условий (25) -(30) , а также формул (31) - (34) приходим к системе интегральных уравнений
¥х{х)+'\¥х (и)Ки(х,и)с!и+ \у/г(и)Ка(х,и)<1и = — о (
(о <х<Их)
(39)
А| / 2 Х <т (т} ¥г{х)+ \ч/,(и)Кг,{х,и)^ + \уг(и)Кгг(х,и)(1и =-/ ¿т
0 А1 ~Т
(й, <х<Ь)
Мх мг
1 п ь
и
Выражения функций К1/(х,и) громоздки и по этой причине они здесь не приводятся.
В диссертационной работе с помощью метода Лапласа доказано, что система интегральных уравнений (39) является системой уравнений фредгольмова типа второго рода. Коэффициент интенсивности напряжений определяется следующим образом
Рис.3
(£#0).
Пусть к = 1,
/ = 0 и Н —» оо. Тогда ц/г(х) =0 , а ц/\ (х) определяется формулой
т ¡л1х2-1*
а коэффициент интенсивности напряжении - формулой
(40)
(41)
(42)
"о^-т'
что совпадает с известной в механике разрушения формулой.
Рассмотрим теперь достаточно интересный случай:
Краевая трещина продольного сдвига полностью разрушила первый монослой и, не испытав разветвления на границе раздела сред, образовала «микротрещину» во втором монослое.
В этом случае, коэффициент интенсивности напряжений определяется формулой
8 — — ага
Иг
/-»• +о.
Функция /0(...) определяется из решения сингулярного интегрального уравнения первого рода типа Коши (17) (только в формуле (17) вместо ( надо писать А,).
18
Г
Из (43) следует:
1. Если трещина продольного сдвига находится в более «мягком» слое материала (т.е. к<1), то 0 < <5 < ^ . Следовательно,
коэффициент интенсивности напряжений от продольного сдвига К,и стремится к нулю при £-»+0, т.е. краевая трещина в этом случае не может доходить до границы раздела.
2. Если трещина продольного сдвига находится в более жестком
слое материала (т.е. к > 1), то ^ < 5 < 1. В этом случае
коэффициент интенсивности напряжений от продольного сдвига Кт стремится к бесконечности при С +0. Известно, что гели трещина продольного сдвига перпендикулярно «падает» на границу раздела двух сред, то она при Ь1 не преломляется. Из этих двух утверждений следует, что если к > 1, то двухслойный материал разрушается полностью при соответствующих нагружениях.
3. Если к = 1, то 3 = ^. Этот случай рассмотрен в четвертой главе. Теперь рассмотрим вторую задачу главы II.
У м2
С У
и
я
Рис. 4
Граничные условия имеют вид (Рис. 4)
* = 0, кД=0; х = Н, (<гД=0, (44)
у = О, 0<х<£„ *\<К> (сг^), =-<г,(д:), ^ = 0, £1<х<к1-0, (и>),=0, У = 0, к1+й<х<11+1\=Ь<Н, (<гД=-ет2(х) ,
Х = К (О, = (Н = <»2 ,
у = О, Ь<х<к, (и<)2 = О Условия на концах трещины
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
Условия на бесконечности в виде (13) сохраняются Решение задачи в областях 0 < х < йь у > 0 (первая упругая среда м) и < х < Н, у > 0 (вторая упругая среда. /и2), ищем в виде (31) - (33) и (34) - (36) , соответственно Из (32) следует, что условие (44а) удовлетворяется автоматически. Функции Ь{г)), о(?;) (см (31)-(36)) ищем в виде
Подставляя (53) и (54) в (31) и (34), в силу разрывного множителя Дирихле имеем
(53)
(54)
(55)
(56)
Отсюда,
¿(х)—"^'"**" (Й, < X < I) (58)
их
Из (57) и (58) следует, что - функция <е л:1/2[0,^,], т е
/и(ж)ея-[О,Л] (0<а < 1), (59)
л/^1 _;х:
- функция ^ на обоих концах отрезка [йь £] имеет интегрируемую особенность, т е
л(х)= /м(*)е ¿] (о<«<1) (60)
(дг-й.) л/Х-дг
Решение данной задачи сведено к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода типа Коши
(61)
71 О ^ А, Л 0 ' Х
(о<х<г,),
Л И Л \ Л А, '
(й, < л: < Здесь
= }—7—^Г^зЬ-Ш-е-*7 эЬД?)сЬД«/Д = ]>'г(Д,х,/,, о До(Л>*:/ о
да л со
Кп (х, I) = -к Г—^ вЬ Лг эЬ Д(й, -х)ЛЛ = |/2', (А, X, /, , о Л) И*) о
+ е ^' 511 ДД вИ Д(х - /г,) + сЬ Щ сЬ Л(х - /г,)]й\Л^Л + ^,
(62)
(63)
Напряжения (<хД(;с,о) и (ау )2 (х,о) можно представить в виде
ж; я^-х
I л л Я и Я к. I X \
(65) (й, <х<1,)
Из (46) и (57) находим
ктт=м,фа7л.(/, -о) (66)
Степень сингулярности ^функции ./¿(х) определяется из анализа уравнения (62) В диссертационной работе показано, что
вЛагс1ё4к, (67)
п
что совпадает с ранее полученными результатами
Теперь определим коэффициент интенсивности напряжений Кццъ)
Функция ^(Л,при Л-»•-ко ведет себя следующим образом
у^Л^кУ^е-^е-^ (68)
Методом Лапласа из (68) и (64) при х -> й, - 0 находим
^ -г^ик^Уг (69>
' ' -хУ
С помощью (69) и (52) получаем
_ ~2У2^ц,/02(Й, +0У2г (70)
Коэффициент
интенсивности напряжений 2> определяется
аналогичным образом.
К^ъ^/Ж-О) (71)
В основном разными учеными разработана программа для численного решения сингулярного интегрального уравнения первого рода типа Коши
Автору не удалось найти программу для численного решения системы интегральных уравнений первого рода типа Коши
В диссертационной работе рассмотрены и проанализированы некоторые частные случаи, известные в литературе, данной задачи В четвертой главе рассмотрены две задачи
Задача первая Краевая трещина продольного сдвига на границе двух упругих полупространств
Задача вторая Краевая трещина продольного сдвига на границе раздела двух упругих полуполос
Первая задача (§1, гл IV, рис 5) Граничные условия
= 0 0=1,2), (72)
(сгД(г,+0)-(«-Д(г,-0)--чг(г), 0<г<1, (73)
КХОч+оМ^ДО-.-о),
(г,+0) = и>2 (г,—0), г>1 (74)
Условие на конце трещины (см (4а) и (5а))
(г' ±°)М'-0] = кш, (75)
lim
г->|-0
5w,(r, + 0)_3w2(r, -0)
дг Эг
(76)
Условия на бесконечности при
hm[>w, (г, 6»)] = const, (77)
где а > 0 - некоторая постоянная
Здесь а (г) (0 <г<1) - некоторая заданная функция, Кш - коэффициент интенсивности напряжений, подлежащий определению
У
рис. 5
С помощью преобразования Меллина, решение задачи (72)-(77) сведено к решению краевой задачи Римана. Построено решение краевой задачи Римана. Определен коэффициент интенсивности напряжений Кш в виде:
кш Л
п о л/1-*2 Л «
ф)
гсЬс,
(78)
• х " о мг -х~ Отсюда следует, что коэффициент интенсивности напряжений не зависит от свойств упругих материалов.
Рассмотрим теперь вторую задачу (§2, гл. IV).
Пусть краевая трещина продольного сдвига длиной £ (О<£<Н, где Я - ширина полосы) находится на границе раздела (Рис.6).
Боковые поверхности полосы х = 0, < со и х = Я |у| < да свободны от внешних нагрузок. Две упругие полуполосы 0<х<Н,0<у<оо (первая упругая среда: ц, где д -модуль сдвига) и 0<х<Н,-оо<у<0 (вторая упругая среда: //2) вдоль оси у = О ((<х<Н) жестко сцеплены между собой, т.е. +0)= ы2(х, -0),
Рис. б
КД(х, +О) = (о-Д(х, -0). если 1<х< II, где - смещения, (<хД(х,у) -
напряжения На берегах трещины у = 0,0<х<£ приложены напряжения, т е при у = 0,0<х^ (о-^^(х, + 0) = (ег„)2(х, -0) = -<т(х) где <т(х) - заданная фушщия Условие на концах трещины (4а).
На бесконечности напряжения отсутствуют, а смещение исчезает Решение данной задачи сведено к сингулярному интегральному уравнению с ядром типа Гильберта
Методом предложенным ВД Кулиевым дается обращение особого интеграла с ядром типа Гильберта Определен коэффициент интенсивности напряжений К,„ в окрестности вершины трещины продольного сдвига:
ш
■<r(t)clt
(79)
Рассмотрим частные случаи
1 Пусть Я -> -к» Тогда из (79) получаем
этот результат совпадает с ранее известным результатом. 2 Пусть ar(t) = ст0= const Тогда из (79) находим
так как
(80)
Рис. 7
Из (79) следует, что коэффициент интенсивности напряжений Кш не
К С
зависит от свойства материала. График зависимости —Щ= от —,
<70л/7Й? Я
определяемой по формуле (80) приведен на рис. 7
I
Из (80) следует, что коэффициент интенсивности напряжений при--> 1
Я
, „ 2<т0\/Я ведет себя так К,,, — 0 .
^Н)
Основные выводы
1. Разработанный метод решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела позволяет получить решения новых задач для многослойных конструкций с трещиной сдвига под воздействием внешних нагрузок.
2. Получены новые формулы, с помощью которых исследованы комплексные влияния геометрических и физико-механических свойств слоев многослойного материала на коэффициент интенсивности напряжений Кт при заданных внешних нагрузках.
3 Применение в работе асимптотических методов решения задач существенно уточнило механизм разрушения слоев многослойного материала
4 Установлены условия, при выполнении которых можно предсказать траекторию роста краевой трещины продольного сдвига в многослойных материалах, и, тем самым, управлять направлением ее роста.
Основные результаты изложены в следующих статьях:
1 Веремьева Н А, Почетуха О В Краевая трещина продольного сдвига с вершиной в первом слое материала -Новые технологии, 2006 г, №5, с 14-17
2 Кулиев В Д, Почетуха О В. Трещина продольного сдвига с вершиной на границе раздела многослойного материала -Новые технологии, 2007 г, №1, с. 2-6.
3 Кулиев В Д, Почетуха О В Краевая задача торможения трещины на границе раздела сред - Новые технологии, 2007 г,№4, с 2-4
4. Кулиев ВД, Бакуменко НА., Почетуха О.В. Краевая трещина продольного сдвига на границе раздела двух однородных изотропных упругих полуполос - Мат XIV международного научного семинара «Технологические проблемы прочности» Подольск. МГОУ, 2007 г., с. 52-55
5 Кулиев В Д, Лукашина Н.В , Почетуха О В , Бакуменко Н А Краевая трещина продольного сдвига на границе двух сред ~ «Инженерная физика» №4,2007 г, с 7-13.
6 Почетуха СХВ О разрушении биметаллов с краевой трещиной продольного сдвига - «Инженерная физика» №3, 2007 г, с 16-17.
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА 1.
Современное состояние вопросов разрушения многослойных материалов с трещинами.
§ 1. Обзор теоретических работ по теме диссертации.
§ 2. Представление Папковича-Нейбера перемещений и напряжений через три гармонические функции.
§ 3. Преобразование Меллина в плоской задаче теории упругости.
§ 4. Новый метод решения канонических сингулярных задач теории упругости кусочно однородных сред.
§ 5. Трещина, перпендикулярная границе раздела двух различных упругих сред.
§ 6. Каноническая сингулярная задача теории упругости кусочно однородных сред антиплоская деформация).
§ 7. Цель и структура диссертационной работы.
ГЛАВА II.
Разрушение многослойных материалов с трещиной продольного сдвига.
§ 1. Краевая трещина продольного сдвига с вершиной в первом слое материала.
ГЛАВА III.
Разрушение первого монослоя с краевой трещиной сдвига и взаимодействия двух трещин сдвига в биметаллах.
§ 1. Краевая трещина продольного сдвига с вершиной во второй упругой среде.
§ 2. Краевая трещина и трещина с одной вершиной на границе раздела двухслойного материала, а с другой вершиной во второй упругой среде.
ГЛАВА IV.
Краевая трещина продольного сдвига на границе двух сред.
§ 1. Краевая трещина продольного сдвига на границе раздела двух упругих полуплоскостей.
§ 2. Краевая трещина продольного сдвига на границе раздела двух однородных изотропных упругих полуполос.
Проблема прочности многослойных элементов конструкций и сооружений и необходимость ее практического решения вызвала и вызывает большой интерес многих исследователей к изучению процесса их деформирования и разрушения. Одна из важнейших задач такого рода -исследование поведения трещин в многослойных (и > 1 -слойных) материалах с целью повышения прочности и эксплуатационной надежности многих современных многослойных конструкций при экстремальных условиях их работы. Постановка задачи предполагает введение трещины в интересующем нас месте. При этом многослойные материалы рассматриваются как полосы с разными упругими свойствами и толщиной, жестко сцепленными между собой. В этом случае процесс разрушения и-слойных материалов с трещиной исследуется в три этапа: трещина полностью находится на одном из боковых слоев; трещина образована разрывом в этом слое и ее вершина находится на границе раздела разорванного и соседнего целого слоев; на третьем этапе направление роста трещины и ее тип, согласно теоретическим и экспериментальным исследованиям зависит: от Gj, vy-, где Gj - модуль сдвига j-го слоя, Vj - коэффициент Пуассона того же слоя; от прочности адгезии на границах раздела (прочность адгезии, согласно теории адгезии при сдвиге аналогичной теории Гриффитса - Ирвина, определяется одной новой постоянной - вязкостью скольжения контактного слоя К11С, а также размером дефекта или слабого места на контакте двух материалов); от микроструктуры пограничного слоя, примыкающего с одной или двух сторон к границе раздела.
Заметим, что при создании и эксплуатации биметаллов в пограничном слое возможны сложные релаксационные процессы, такие как рекристаллизация, образование новых фаз и другие, изменяющие его физико-механические свойства. Для того, чтобы в более точном приближении оценить влияние пограничного слоя на прочность материала, необходимо определить толщину этого слоя - например, определить границы зоны диффузии при диффузионной сварке, т.е. смещение поверхности Крикенделла, а также изменение его механических характеристик слоя при удалении от первоначальной границы раздела.
Решение таких вопросов необходимо при создании эксплуатации биметаллов и композитов. Кроме того, подобные составные конструкции встречаются в ракетостроении, авиационной технике и других сложных технических системах, что позволяет считать тему диссертации актуальной.
Научная новизна работы заключается в построении точных замкнутых решений новых задач механики разрушения многослойных сред с трещинами продольного сдвига, в установлении условий, при выполнении которых происходит торможение трещины, в получении формулы, позволяющей исследовать комплексные влияния толщины и модуля сдвигов слоев на коэффициент интенсивности напряжений Кш при заданных внешних нагрузках и в установлении условий, при выполнении которых можно предсказать траектории роста краевой трещины продольного сдвига в многослойных материалах, и, тем самым, управлять направлением ее роста.
Достоверность исследований подтверждает апробированность исходных положений работы в постановках задач теории упругости и теории трещин, математическая точность и строгость в решении и удовлетворении граничных условий рассматриваемых задач, сравнение конечных аналитических и числовых данных в частных случаях с известными в литературе.
Практическая значимость работы определяется возможностью внедрения полученных результатов. Результаты диссертационной работы были внедрены в производственный процесс в ФГУП «НПО «ТЕХНОМАШ» при создании новых образцов ракетно-космической техники.
На защиту выносятся следующие основные результаты работы:
• решения новых задач механики разрушения многослойных сред с трещинами продольного сдвига;
• асимптотическое распределение напряжений и смещения вблизи вершины V-образного надреза (вершина, которого находится на границе раздела двух сред);
• формулы коэффициентов интенсивности напряжений для трещин продольного сдвига, находящихся в многослойных материалах.
Отдельные разделы диссертационной работы были доложены на семинаре факультета «Прикладная математика» Московского государственного открытого университета (2005 - 2007 гг.), на XLII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2004 г., на XIV Международном семинаре «Технологические проблемы прочности», г. Подольск, 2007 г., а также на III-V, VII Международных симпозиумах молодых ученых, аспирантов и студентов «Техника и технология экологически чистых производств», г. Москва, (19992001, 2003 гг.) и на Юбилейной научно-технической межвузовской конференции, г. Санкт-Петербург, 2000 г.
В целом работа обсуждалась на общеуниверситетском семинаре по механике деформируемого твердого тела при МГОУ, г. Москва, 2007 г.
По основным результатам диссертации опубликованы 6 статей в периодической печати. Две статьи изданы в журнале, который входит в перечень издательств рекомендованных ВАК РФ.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов (заключения) и списка литературы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Разработанный метод решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела позволяет получить решения новых задач для многослойных конструкций с трещиной сдвига под воздействием внешних нагрузок.
2. Получены новые формулы, с помощью которых исследованы комплексные влияния геометрических и физико-механических свойств слоев многослойного материала на коэффициент интенсивности напряжений Кш при заданных внешних нагрузках.
3. Применение в работе асимптотических методов решения задач существенно уточнило механизм разрушения слоев многослойного материала.
4. Установлены условия, при выполнении которых можно предсказать траекторию развития краевой трещины продольного сдвига в многослойных материалах, и, тем самым, управлять направлением ее роста.
1. Ашбаух. Развитие конечной трещины, перпендикулярной поверхности раздела двух материалов. Прикладная механика, 1973, сер. Е, т.40, №2.
2. Бирюков А.П., Гольдштейн Г.В., Рабинович М.Л. Задача о двух трещинах на параллельных границах раздела в слоистой упругой среде. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1985, №4, с.79-88.
3. Веденеева Н.Н., Клюшников В.Д, Мазинг Р.И. Задача о склейке двух полуплоскостей. Изв. АН СССР, МТТ, 1974, №1.
4. Веремьева Н.А., Почетуха О.В. Краевая трещина продольного сдвига с вершиной в первом слое материала. Новые технологии, 2006 г., №5, с. 14-17.
5. Вэйншельбаум В.М., Гольдштейн Р.В. Осесимметричная задача о трещине на границе раздела слоев в многослойной среде. Изв. АН СССР, МТТ, 1976, №2.
6. Грилицкий Д.В. Об упругом равновесии неоднородной пластинки с разрезом. Прикладная механика, 1966, т.2, №5.
7. Журавлева Т.Ю., Конев Ф.Б., Кулиев В.Д., Панцхава Ш.И. Основы информатики. М.: ЭСКИМ, 2000.
8. Жуховицкий А.А., Шварцман Л.А. Физическая химия. М.: Металлургия, 1976.
9. Забрейко П.П., Кошелов А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
10. Зак, Вильяме. Сингулярности в напряжениях у конца трещины на поверхности раздела двух материалов. Прикладная механика, сер. Е, 1963, т.ЗО, №1.
11. Захаров В.В., Никитин Л.В. Влияние трения на процесс расслоения разнородных материалов. Механика полимерного материала, 1983, №1.
12. Захаров В.В., Никитин JI.B. О зоне проскальзывания и расслоении упругих материалов. Изв. АН СССР, Механика твердого тела, 1986, №3, 172-175.
13. Ингленд. Трещина между двумя разными средами. Тр. Америк. Об-ва инж.-мех., сер. Е, Прикладная механика, 1965, т. 32, №2.
14. Искендер-Заде Ф.А., Сейфуллаев А.И. К проблеме разрушения трехслойного материала с центральной трещиной нормального разрыва. Изв. АН Аз. ССР, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1986, №1, 55-69.
15. Канторович JT.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Физматгиз, 1962. 708 с.
16. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. О разрушении слоистых композитов. Физ.-хим. мех. матер. 1986,22, №1, 76-84.
17. Кулиев В.Д. Влияние параметров нагружения на рост усталости трещин. ДАН СССР, 1979, т.246, № 3.
18. Кулиев В.Д. Влияние симметричных отростков в конце трещины на ее развитие. Прикл. мех., 1979, т. 15, №8.
19. Кулиев В.Д. К теории криволинейных трещин. Изв. АН Азерб. ССР, сер. физ.-техн. и мат. н., 1978, № 6.
20. Кулиев В.Д. Некоторые проблемы механики разрушения и связанной с ней математики на рубеже XXI века. Новые технологии, сер. математика, 1999, № 2.
21. Кулиев В.Д. Пластическая деформация на конце краевой трещины. -ПММ, 1979, т. 43, вып. 1.
22. Кулиев В.Д. Сингулярные краевые задачи. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, 720с.
23. Кулиев В.Д. Трещина на границе раздела двух сред с ответвлением в одну из них в случае антиплоской деформации. Пробл. прочности, 1979, №7.
24. Кулиев В.Д. Трещина с конечным ответвлением в кусочно-однороднойупругой среде. Докл. АН СССР, 1979, т.246, №6.
25. Кулиев В.Д., Ахиев А.С. К проблеме разрушения биупругой среды под действием циклической температуры. Деп. ВИНИТИ, № 839-83,1983.
26. Кулиев В.Д., Ахиев А.С. Краевая трещина под действием циклической температуры. Физ.-хим. Механика материалов, 1983, № 2.
27. Кулиев В.Д., Бугаенко С.Е., Разумовский И.А. Разработка критериев проектирования многослойных материалов ИТЭР. Хрупкое разрушение многослойных материалов. В сб.: Термоядерный синтез. - М.: НИКИЭТ, 1998.
28. Кулиев В.Д., Бугаенко С.Е., Разумовский И.А. Хрупкая прочностьмногослойных материалов ИТЭР. Анализ особенностей НДС в зонахthстыка разнородных материалов. 15 International Conference on Structural Mechanics in Reactor Technology, 1999, Seoul, Korea.
29. Кулиев В.Д., Гасанов Ю.Н. Некоторые однородные и неоднородные сингулярные задачи теории упругости для трещины в упругой и биупругой среде. Деп. ВИНИТИ, № 2003-82,1982.
30. Кулиев В.Д., Жеков Н.Д. Сингулярные задачи теории упругости для трещин, перпендикулярных границы раздела сред. ПММ, 1985, т. 49, вып. 3.
31. Кулиев В.Д., Каплун А.Б., Садыхов Н.Э. Прочность и долговечность слоистых композиционных материалов с центральной трещиной // Физ.-хим. механика материалов. 1989. - №2.
32. Кулиев В.Д., Каплун А.Б., Садыхов Н.Э. Центральная трещина в многослойных материалах. Проблемы машиностроения и автоматизации. Москва-Будапешт, 1989, № 28.1Z1
33. Кулиев В.Д., Лукашина Н.В., Почетуха О.В., Бакуменко Н.А. Краевая трещина продольного сдвига на границе двух сред. -«Инженерная физика» №4, 2007 г., с.7-13.
34. Кулиев В.Д., Мехтиев А.К. Рост краевой трещины в клиновидной биупругой среде. Деп. ВИНИТИ, № 2002-82, 1982.
35. Кулиев В.Д., Мехтиев А.К., Насибов В.И. К проблеме разрушения многослойных сред с трещинами. Физ.-хим. механика материалов, 1986, №2.
36. Кулиев В.Д., Насибов В.И. К проблеме торможения трещины в многослойных средах. ДАН СССР, 1986, т. 288, № 3.
37. Кулиев В.Д., Насибов В.И. Краевая трещина в биупругой полосе. Мех. композитных материалов, 1983, № 4.
38. Кулиев В. Д., Насибов В.И. Торможение краевой трещины, перпендикулярной границе раздела двух упругих сред. Деп. АзНИИНТИ, № 293-АзА, 1985.
39. Кулиев В.Д., Насибов В.И. Центральная трещина в двухкомпонетном слоистом материале. Деп. ВИНИТИ, №3287-82, 1982.
40. Кулиев В.Д., Насибов В.И., Новрузов Г.М. О проблемах Римана для двух пар функций, встречающихся в механике разрушения. Изв. АН Азерб. ССР, сер. физ.-техн. и мат. н., 1985, № 3.
41. Кулиев В.Д., Насибов В.И., Новрузов Г.М., Мамедов A.M. Некоторые математические вопросы механики разрушения слоистых композитных сред. Деп. АзНИИНТИ, № 1620 - Аз 91, 13.03.1991.
42. Кулиев В.Д., Новрузов Г.М. Пластические линии разрыва в конце клина, находящегося в биупругой среде. Деп. ВИНИТИ, № 3288-82,1982.
43. Кулиев В.Д., Новрузов Г.М. Плоская задача для кусочно-однородной среды с ломаной трещиной. Прикл. механика, 1984, т. 20, № 9.
44. Кулиев В.Д., Новрузов Г.М. Трещина в биупругой полосе. Деп. АзНИИНТИ, № 310-Аз А, 1985.
45. Кулиев В.Д., Новрузов Г.П. К проблеме разрушения кусочно-однородной среды с трещиной. ДАН СССР, 1986, т. 288, № 5.
46. Кулиев В.Д., Почетуха О.В. Краевая задача торможения трещины на границе раздела сред. Новые технологии, 2007 г., №4, с. 2-4.
47. Кулиев В.Д., Почетуха О.В. Трещина продольного сдвига с вершиной на границе раздела многослойного материала. -Новые технологии, 2007 г., №1, с. 2-6.
48. Кулиев В.Д., Работнов Ю.Н., Черепанов Г. П. Торможение трещины на границе раздела различных упругих сред. Изв. АН СССР, МТТ, 1978, №4.
49. Кулиев В.Д., Разумовский И.А., Злочевская О.Б. Краевая трещина в двухслойных материалах. Аналитические и эксперементальные методы определения хрупкой прочности и остаточных напряжений. Научно-технический прогресс в машиностроении, 1990, вып. 29.
50. Кулиев В.Д., Разумовский И.А., К проблеме определения остаточных напряжений в биметаллах. ДАН СССР, 1990, т. 315, № 3.
51. Кулиев В.Д., Садыхов В.Э. Проблема Римана для двух пар функций и одно ее применение в теории упругости. Изв. АН Арм. ССР, Механика, 1979, т. 32, №2.
52. Кулиев В.Д., Сейфуллаев А.И. К проблеме разрушения многослойных материалов с центральной трещиной. Деп. ВИНИТИ, № 3967-87,1987.
53. Кулиев В.Д., Стаценко И.В, Слоистый материал с разорванным слоем. В сб. ВЗИСИ, Прикладная математика и механика, вып.1, 1988.
54. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье.-УМН: 1951,т. 6,№2.
55. Максудов Ф.Г., Искендер-Заде Ф.А., Кулиев В.Д. К проблеме разрушения биупругой среды. ДАН СССР, 1982, т.264, № 6, 1349-1352.
56. Моссаковский В.И., Рыбка М.Т. Трещина на границе соединения двух различных упругих полуплоскостей, Рукоп. деп., в ВИНИТИ, № 7666-В Деп. 13 ноября 1986.
57. Мусхелишвили Н.И, Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., Наука, 1966.
58. Никитин JT.B., Туманов А.Н. Анализ локального разрушения в композите. -Мех. композит, матер., 1981, № 4.
59. Образцов И.Ф., Кулиев В.Д., Разумовский И.А., Фарзалибеков Н.Э. К проблеме разрушения биметаллических материалов с краевой трещиной. Докл. АН СССР.
60. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацишин.А.П. Распределение напряжений около трещины в пластинах и оболочках. Киев, Наукова думка, 1976, 444 с.
61. Партон В.З, Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. -М.: Наука, 1977.
62. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М., Наука, 1974.
63. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М., Наука, 1981.
64. Положий Г.Н. Решение некоторых задач плоской теории упругости для областей с угловыми точками. Укр. матем. ж. АН УССР, 1949, № 4.
65. Почетуха О.В. О разрушении биметаллов с краевой трещиной продольного сдвига. «Инженерная физика» №3,2007 г., с. 16-17.
66. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. М., Машиностроение, 1981, 191 с.
67. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.
68. Работнов Ю.Н. Прочность слоистых материалов. Изв. АН СССР, МТТ,1979, №1.
69. Разрушение. М., Мир, 1973-1976, тг. 1-7.
70. Раис, Си. Плоские задачи о трещинах, расположенных на границе раздела двух различных сред. Прикл. мех., сер. Е, 1965, т.32, № 2.
71. Саврук М.П., Зеленяк В.М. Продольный сдвиг кусочно-однородного тела с криволинейными разрезами. "Физ-хим. мех. матер.". 1984, № 5, 72-77.
72. Салганик Р.Л. О хрупком разрушении склеенных тел. 1963, т.27, вып. 5.
73. Симонов И. В. Трещина на границе раздела в однородном поле напряжений. Мех. композит, матер Рига, 1965, № 6, 969-976.
74. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980.
75. Станкевич А.И., Григорьева О.Д., Михитвинова М.И. Новые подходы к расчету колебаний сложных систем. Ташкентский Политехнический Институт. Ташкент, 1986г. Деп. УзНИИНТИ, 478 Уз.
76. Станкевич А.И., Рабинский Л.И. Случайные нелинейные колебания цилиндрической панели сложной структуры, защемлённой по кромкам. Современные проблемы динамики машин. П., 1983, стр.36-39.
77. Фарзалибеков Н.Э. Экспериментальные исследования кинетики роста трещин под действием термомеханических нагрузок, изв. АН Азерб. ССР, 1987, № I, стр. 144-149.
78. Хечумов Р.А., Кулиев В.Д., Каплун А.Б, Инженерные задачи механики хрупкого разрушения. Москва, 1985.
79. Храпков А.А. Первая основная задача для кусочно-однородной плоскости с разрезом, перпендикулярным прямой раздела. -ПММ, 1963, т.32, вып.4.
80. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. Наука, 1983.
81. Черепанов Г.П. Механика разрушения многослойных оболочек. Теория трещин расслаивания. Прикл. матем. и мех., 1983, 47, № 5, с.832-845.
82. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974, 640с.
83. Черепанов Г.П. О напряженном состоянии в неоднородной пластине с разрезами. Изв. АН СССР, сер. мех. и машиностр., 1962, № 1.
84. Эрдоган Ф. Распределение напряжений в неоднородной упругой плоскости, имеющей трещины. Прикл. мех., сер.Е, 1963, т.30, № 2.
85. Эрдоган Ф. Распределение напряжений в связанных разнородных материалах с трещинами. Прикл. мех., сер.Е, 1965, т.32, № 2.
86. Adams G.G. Crack interaction in an infinite elastic strip. Int. J. Eng. Sci.,1980, v.18, №3, p.455-462.
87. Atkinson C. On stress singularities and interfaces in linear elastic fracture mechanics. Int. J. Fract., 1977, v. 13, №6, p.807-820.
88. Atkinson C. The interface crack with a contact zone (an analytic treatment). -Int. J. Fract., 1982, v. 18, №3, p. 161 -177.
89. Banks-Sills, Arcan M. An edge-crack modell II fracture specimen. Exp. Mech., 1983, p.257-261.
90. Bradley W.B., Kobayashi A.S. An investigation of propagating crack by dynamic photo elasticity. Exp. Mechanics, 10(3), 1970,106-113.
91. Chen E.P. A theory for laminated plates with a through-thickness crack. In: Adv. Fract. Res. Prepr. Sth Int. Conf. Gract., Cannes, 1981, v.3, Oxford e.a.,1981, p.1253-1263.
92. Chen E.P. Finite element analysis of a bimaterial interface crack. Theor. and Appl. Fract. Mech., 1985, v.3, №3, p.257-262.
93. Chen E.P., Sih G.C. Stress intensity factor for a three-layered plate with a crack in the center layer. Eng. Fract. Mech., 1981, v.14, №1, p.195-214.
94. Comninou M., Dundurs J.A. A closed crack tip terminating at an interface.
95. Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1979, v.46, №1, p.97-100.
96. Comninou M., Schmueser D. The interface crack in a combined tension compression and shear field. J. Appl. Mech. 1979, v. 46, №2, p. 345-348.
97. Erdogan F.E. Fracture of composite materials. Discussion, Atkinson C. Prospects Pract. Mech., Leyden, 1974, p. 477-492.
98. Erdogan F.E., Biricikoglu V. The bounded half planes with a crack going through the interface. Int. J. Eng. Sci. 1973, v.l 1, №7, p. 745-766.
99. Erdogan F.E., Gupta G.D. Layered composites with an interface flow. Int. J. Solids and Struct., 1971, v.7, №8.
100. Erdogan F.E., Gupta G.D. The inclusion problem with a crack crossing the boundary. Int. J. Fract., 1975, v.l 1, №1.
101. Erdogan F.E., Gupta G.D. The stress analysis of multy-layered composites with a flow. Int. J. Solids and Struct., 1971, v.7, №1.
102. Erdogan F.E., Gupta G.D., Ratwani M. Interaction between a circular inclusion and an arbitrarily oriented crack. Trans. ASME, 1974, v.E, №4.
103. Erdogan P., Gupta G.D., Cook T.S. Numerical solution in singular integral equation. Mech. Fract. 1. Method of Analysis and Solution. Ed. G.C.Sih. Leyden, Noordhoff Int. Publ. Co., 1973.
104. Etheidge J.V., Dally J.W. A critical review of methods for determining stress intensity factors from isochromatic fringes. Exp. Mechanics, 17(7), 1977, p. 248-254.
105. Gdouts E.E. Fracture of a bimaterial plate with a crack along the interface -Compos. Struct. 2: Pros. 2-nd Int.- Conf., Paisley 14-16 Sept., 1983, London, New York, 1983, p. 500-510.
106. Griffith A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids. Phil. Trans. Roy. Soc., 1920, №A221.
107. Griffith A. A. The theory of rupture. Proc. 1-st Int. Conf. Appl. Mech., Delft, 1924.
108. Irwin G.R. Discussion of Ref. 4. Proc. of SESA, 16,1958, p.93-96.
109. Irwin G.R. Fracture. In: Handbuch der Physik, 6. Berlin, Springer, 1958.
110. Lu Ming-Che, Erdogan F. Stress intensity factors in two bounded elastic layers containing crack perpendicular to and on the interface. I.Analysis.-Eng.Fract.Mech., 1983, v. 18, №3, p.491-506.
111. Malyshev B.M., Salganik R.L. The strength of adhesive joints using the theory of fracture. Int. J. Fract. Mech., 1965, v.l, №2.
112. Williams M.L. The fracture of viscoelastic material.- In: Fracture or solids (ed. by Drucker and Gilman). New York, Intersci. Publ., 1983.
113. Williams M.L. The stresses around a fault or crack in dissimilar media. Bull. Seismol. Soc. Amer., 1959, v.49, p.199-304.
