Задачи теории упругости о продольном сдвиге тел со счетным множеством линейных сингулярностей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ 6 од

- 8 ДьЛ »:*«

На правах рукописи

Тимофеева Наталия Николаевна

ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ О ПРОДОЛЬНОМ СДВИГЕ ТЕЛ СО СЧЕТНЫМ МНОЖЕСТВОМ ЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНОСТЕЙ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЧЕБОКСАРЫ — 1997

Работа выполнена на кафедре математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Сильвестров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Л.И. Чибрикова, кандидат физ ико-математических наук, доцент A.B. Романов.

Ведущая организация: Белорусская государственная политехническая академия.

Защита состоится 25 декабря 1997 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета К 064.15.02 в Чувашском государственном университете им. И.Н. Ульянова по адресу: г. Чебоксары, ул. Университетская, д. 38.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова.

Автореферат разослан ." ноября 1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Практически во всех реальных твердых телах имеются микротрещины, полости, инородные включения и другие микродефекты. Под действием приложенных нагрузок они приводят к появлению трещин и их росту, в итоге — к локальному или полному разрушению тел. В процессе эксплуатации, как правило, происходит количественный рост трещин, поэтому в определенный момент можно считать их множество бесконечным. В связи с этим представляют теоретический и практический интерес задачи теории упругости для тел с бесконечными множествами сингулярностей различных типов. К настоящему времени довольно хорошо изучены периодические, квазипериодические и другие связанные с ними краевые задачи теории упругости, которые являются частными случаями задач теории упругости для тел со счетным множеством сингулярностей. Им посвящено огромное число работ, подробный обзор которых имеется в работах В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышин, Л.Т. Бережницкого, М.Л. Бурышкина, Г.П. Черепанова, Э.И. Григолюка, Е Л. Нахмейна, Б.М. Нуллера и др. В случае произвольного расположения сингулярностей систематическое изучение задач теории упругости для областей со счетным множеством сингулярностей начато сравнительно недавно. Полученные в этой области результаты относятся в основном к плоским задачам (С.А. Назаров, Н.Б. Ромалис, В.Г1. Тамуж, В.В. Сильвестров), в то время, как исследования по продольному сдвигу тел с бесконечным множеством сингулярностей (антиплоским задачам) практически отсутствуют. Поэтому является актуальной разработка новых и обоснование имеющихся методов решения плоских задач теории упругости в случае счетного множества сингулярностей применительно к антиплоским задачам, а также решение самих задач, особенно в случае сингулярностей различных типов.

Цель работы. Разработка аналитических методов решения и нахождение решений задач теории упругости о продольном сдвиге тел (однородных и кусочно-однородных) со счетным множеством линейных сингулярностей; анализ напряженно-деформированного состояния вблизи критических точек и вычисление коэффициентов интенсивности напряжений (КИН).

Метод решения указанных антиплоских задач теории упругости также, как плоских задач, основан на теории краевой задачи Римана для счетного множества контуров, разработанной Л.И. Чибриковой, И.Г. Салеховой, М.Ф. Кулагиной и др.

Научная новизна полученных результатов. Обоснование применимости аналитических методов решения основных плоских краевых задач теории упругости для тел со счетным множеством коллинеарных сингулярностей к решению задач теории упругости о продольном сдвиге тел со счетным множеством линейных сингулярностей разных типов. В замкнутой форме получено решение ряда новых задач. Получены формулы для КИН вблизи вершин сингулярностей, приведены их расчетные данные для ряда конкретных задач.

Достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения, совпадением полученных решений в ряде частных случаев с известными решениями.

Теоретическая ценность работы состоит в обосновании применимости методов решения плоских задач теории упругости для тел со счетным множеством коллинеарных сингулярностей к решению задач о продольном сдвиге тел со счетным множеством линейных сингулярнстей разных типов. Практическую ценность представляют результаты решений ряда конкретных задач и формулы для КИН.

На защиту выносятся:

1. Обоснование метода решения плоских задач теории упругости для тел со счетным множеством сингулярностей, основанного на теории краевой задачи Римана для счетного множества контуров, применительно к решению задач теории упругости в случае продольного сдвига (антиплоских задач).

2. Решения основных краевых задач теории упругости о продольном сдвиге однородного пространства, ослабленного счетным множеством линейных сингулярностей, сгущающихся на бесконечности.

3. Решения основных краевых задач теории упругости о продольном сдвиге кусочно-однородного пространства со счетным множеством линейных сингулярностей, расположенных на поверхности раздела сред и сгущающихся на бесконечности.

4. Решения основных краевых задач теории упругости о продольном сдвиге кусочно-однородного пространства со счетным множеством линейных сингулярностей, расположенных на поверхности раздела сред и сгущающихся в конечной точке.

5. Аналитические решения и подробные исследования перечисленных задач в случаях периодического расположения сингулярностей во всей плоскости, только в полуплоскости и при наличии полубесконечной сингулярности; расчетные формулы для ККН в ряде конкретных случаев.

Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на всероссийском семинаре по актуальным проблемам математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении (Чебоксары, 1996), на седьмой научной межвузовской конференции по математическому моделированию и краевым задачам (Самара, 1997), на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела (руководитель — профессор Д.Д. Ивлев) и на итоговой научной конференции, посвященной 30-летию Чувашского государственного университета (Чебоксары, 1997).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 88 наименований. Содержит 22 рисунка. Ее текст изложен на 115 страницах.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы, краткий обзор литературы и краткое содержание диссертации.

В первой главе решаются основные кревые задачи теории упругости о продольном сдвиге однородного пространства, ослабленного счетным множеством туннельных трещин и тонких жестких остроугольных включений, сгущающихся на бесконечности, и соответствующая основная смешанная задача о продольном сдвиге однородного полупространства.

В § 1 приводятся основные положения математической теории упругости.

В § 2 даются постановки задач о продольном сдвиге однородного пространства, ослабленного счетным множеством туннельных трещин и тонких жестких остроугольных включений, расположенных в одной плоскости и сгущающихся на бесконечности. Сечение пространства произвольной плоскостью, перпендикулярной плоскости трещин и включений, представляет собой плоскость Л комплексного переменного Z = X + i у со счетным множеством разрезов, расположенных вдоль

отрезков Lk = к el действительной оси и удовлетворяющих

условиям

ак*\ ~ ак - d > = Ьк - ак <21 < +оо, к е I.

Отрезки Lk, к е /, соответствуют включениям, а отрезки Lk, к е 12 — трещинам, причем 1х\}1г = I, Множества /, /,, /2 в общем

случае считаются счетными бесконечными, но могут быть и конечными. В случаях, когда — 0 или /2 = 0, получаем первую или вторую основную задачу теории упругости соответственно.

Рассматривается напряженно-деформированное состояние пространства,

ay*(*,Q)

когда на берегах включении заданы частные производные - от

Зс

сдвигового смещения >v , а на берегах трещин — напряжения г*, (х) . Кроме того, считаются заданными, главные векторы Рп сил, действующих на берегах включений Ln,n е /,, которые при П —> со убывают как

0(|/l¡ ), X > 1. Граничные условия непрерывны по Гельдеру на каждом

отрезке Ln и убывают при X —» ±со как 0(|х| '), где ^.-некоторое число,

большее 1. Более того, они удовлетворяют априори условию равновесия пространства с сингулярностями и условиям однозначности смещений при обходе вокруг включений.

Так как в данном случае первая и вторая основные задачи являются частным случаем основной смешанной задачи, то рассматривается и решается следующая

Задача (механическая). Определить напряженно-деформированное состояние упругого однородного изотропного пространства, ослабленного счетным множеством включений и трещин, если на берегах трещин

заданы касательные сдвигающие напряжения г*. (.х), на берегах включений dw+:(x, 0)

— производные - от смещении W и, кроме того, заданы главные

дх

векторы Рп сил, действующих на берегах включений Ln. Решение найти в классе напряжений, которые в вершинах сингулярностей могут обращаться в бесконечность порядка меньше 1, вне любой фиксированной достаточно малой окрестности множества сингулярностей они ограничены и при Z = X + iy <х> убывают как 0(z х), где К —

некоторое число, большее 1.

С помощью аналогов формул Колосова-Мусхелишвили в антиплоском случае

- hyz(z) = F(z),

dw(z) r, EV \ ^

И—^ = ReF(z),

dx

(jj. - модуль сдвига), решение сформулированной задачи сводится к решению следующей смешанной краевой задачи теории аналитических функций.

Задача (математическая). В плоскости со счетным множеством коллинеарных разрезов Lk,k е I найти голоморфную функцию F(z)> имеющую на берегах разрезов Lk, k б /, заданную действительную часть

ReF±(x) = х е L«,L" = U4,

а на берегах разрезов Lk, к е /2 — заданную мнимую часть Im F+(x) = -т^(х), л е L', V = ULk.

kel2

Решение F(z) искать в классе функций, которые при больших Z, расположенных вне любой фиксированной малой £- окрестности UZ(L) линии L = L'VL", удовлетворяют неравенству

< M\z\\ v > 1, М > 0, (2)

на концах отрезков Lk могут иметь особенности интегрируемого

характера и удовлетворяют дополнительным условиям

1т )Л = Рк,ке11г (3)

Яе К^ЧО - - ОД е /2, (4)

Условия, наложенные на исходные данные и искомые решения задач, являются достаточными для единственности решений задач. Теорема единственности доказывается в § 2.

В § 3 решаются поставленные задачи. Решение сводится к построению функций

Ф,,2(г) = /'(г)±Щ (5)

для нахождения которых на основании формул (1) имеем следующие краевые задачи Римана в случае счетного множества отрезков Ьк, к е I:

Ф„+(х) = вп{х)ф-Й{х) + 28п(х), х е I, п = 1,2, (6)

где I = Ь'иЬ" = и4> <?2(*) = -</,(*),

-/(г* (х)+С(*)),* е!',

у"

, х еЬ".

\ ск ск

Функции Ф|>2(^) обладают такими же свойствами, что и искомый комплексный потенциал т.е. они на концах отрезков Ьк могут иметь

особенности интегрируемого характера, вне окрестности IIе(Ь) ограничены и при больших z € иеЩ удовлетворяют неравенству (2). Кроме того, они удовлетворяют условиям симметрии или асимметрии

и счетному множеству интегральных условий, являющихся следствиями условий (3), (4). Решения задач (6), (2) строятся на результатах, полученных Л.И. Чибриковой и ее учениками. Они находятся по формулам

Фя(г) = Хя(г)[Д,и> + £„(*) + &С0], п = 1,2,

Хя(г) = П-7Г=Чг=ГТ'и = с* = <fl* + Ь*У2' (7)

-ct) ¿х;(х) x-z

ад - -L J fff* ад. Л <»

nz X, (x)(x - z) ni [.. X2(x)(x - z)

где ряды (8), несобственные интегралы (9) и бесконечные произведения (7) сходятся абсолютно и равномерно в любой ограниченной области, не содержащей точек линии L. Действительные постоянные Ак, к е Iп при п

= 1 и п — 2 по-отдельности находятся из двух бесконечных систем линейных алгебраических уравнений

Iä„,A = Нт, т е /,,

ks.Ii

= Нт,т&12,

к <=¡2

5М, - / [у^Л, Нт = - |х;(*)[Д,(0 +

¿и * ¡-п

Решения этих систем надо искать в классах П, 2 таких действительных последовательностей Ак, к е /, и Ак, к € 12, что соответствующие им ряды (10) в любой замкнутой ограниченной области, не содержащей точек ск, где к е 1{ и к е /2 соответственно, сходятся равномерно и определяют такие функции 01>2(г), что функции 01>2(г) + £|,2(<0 при больших z £ и^Ь) удовлетворяют неравенству (2).

КИН вблизи вершин <7Л = ап и Цп - Ьп находятся по формулам

кшЮ = лМпЩЮ + + » е /„

и

Ц Lijiq„~0k)(qn-bk)

ktn

К1П(?Л) = щ2(дпЩЮ + ям + ОМЛ п е /2,

лло -

~ак)(яп~Ьк)

В § 4 речь идет об одном расширении класса решений задач теории упругости. Рассматривается напряженно-деформированное состояние, определяемое по формулам (1), (5) функциями Ф,2(.с), которые при

больших z Й С/е {Ь) имеют вид

Р

ф,(г)

Д -

®2U) = /JB2X2(z) + 0(rv),v>l,

где Р — главный вектор внешних усилий, приложенных к берегам всех сингулярностей, В12 — некоторые действительные постоянные, выражающиеся через значения напряжений при Z —> по каким-нибудь лучам, например, по мнимой полуоси J>0. В данном случае функции Ф, 2(z) находятся по формулам

ФÁz) = Хпи)[Г]Вп + ад + Sn(z) + Qn{z)\ п = 1,2.

В §§ 5-7 решаются первая, вторая антиплоские задачи теории упругости в случае периодического расположения разрезов на всей действительной оси и основная смешанная задача в случае периодического расположения разрезов только на полуосях, дополняющих друг друга до полной прямой, при этом на берегах разрезов, расположенных на одной полуоси, задаются значения сдвигового напряжения, а на берегах разрезов, расположенных на другой полуоси, — значения производной от смещения. Решения задач в случае периодического расположения разрезов на всей действительной оси ищутся при более слабых ограничениях на искомые решения по сравнению с общим случаем. Считается, что в окрестности бесконечности искомые решения ограничены и определяются функциями, имеющими при больших z &Ue(L) вид (11). Решения задач

и КИН в этом случае выражаются через тригонометрические функции, "обычный" и "подправленный" интегралы типа Коши и мероморфную функцию с заданными простыми полюсами, вычеты которой в этих полюсах находятся из бесконечной системы линейных алгебраических уравнений с разностными индексами. В некоторых случаях единственное решение этой системы находится явно, а в общем случае его можно найти методом редукции или методом последовательных приближений. В случае основной смешанной задачи, когда разрезы, соответствующие двум различным типам сингулярностей, располагаются на лучах, взаимно дополняющих друг друга до действительной оси, ее решение и КИН выражаются через гамма-функцию Эйлера, интегралы типа Коши и мероморфные функции с определенными свойствами. Решенные задачи иллюстрируются конкретными числовыми примерами расчета КИН, которые оформлены в виде графиков.

В §§ 8, 9 исследуются случаи, когда среди сингулярностей одного типа имеется полубесконечная сингулярность другого типа. В их рамках рассматриваются взаимодействия полубесконечной трещины с периодическим бесконечным рядом включений и полубесконечного включения с периодическим бесконечным рядом трешин. Данные задачи по терминологии Г.П. Черепанова являются задачами класса ТУ, т.е. они имеют ненулевые решения, даже если граничные условия и исходные данные равны 0. Приводятся формулы для КИН и их графики.

В § 10 рассматривается основная смешанная задача теории упругости о продольном сдвиге полупространства со счетным множеством линий смены типа граничных условий. В качестве примера рассматривается случай периодического расположения линий смены типа граничных условий.

Во второй главе рассматриваются основные задачи теории упругости о продольном сдвиге кусочно-однородного пространства со счетным множеством туннельных трещин и тонких жестких остроугольных включений, расположенных на поверхности раздела сред и сгущающихся в бесконечно удаленной точке. На граничные условия, другие исходные данные, а также на искомые решения задач налагаются такие же условия, как в главе 1, т.е. граничные условия непрерывны по Гельдеру и вместе с другими исходными данными убывают в окрестности бесконечно удаленной точки как некоторая степенная функция, степень которой меньше -1. Искомые напряжения

в вершинах сингулярностей могут обращаться в бесконечность порядка меньше 1 и при больших z, расположенных вне малой окрестности множества сингулярностей, удовлетворяют неравенству (2). Для решения этих задач используется тот же математический аппарат, что в главе 1. Полученные решения и результаты исследований аналогичны и в основном с небольшими отличиями повторяют результаты главы 1.

Подробно рассмотрены частные случаи: первая и вторая задачи теории упругости в случае периодического расположения сингулярностей в плоскости раздела сред; основная смешанная задача в случае, когда сингулярности расположены периодически в одной плоскости, причем с различными периодами для трещин и включений; случаи наличия полубесконечной сингулярности. Во всех случаях (в общем и частных) получены расчетные формулы для КИН.

В третьей главе решаются основные задачи теории упругости о продольном сдвиге кусочно-однородного пространства со счетным множеством межфазных туннельных трещин и тонких жестких остроугольных включений, расположенных в одной плоскости и сгущающихся в конечной точке.

В § 1 даются постановки задач. Рассматриваемое пространство состоит из двух упругих изотропных однородных полупространств, характеризующихся модулями сдвига ц,, ц, и жестко соединенных между собой. Сечение рассматриваемого тела произвольной плоскостью, перпендикулярной плоскости сингулярностей, представляет собой плоскость со счетным множеством разрезов вдоль отрезков Ьк - \ак,Ьк\, к е /, ок & 0, Ьк Ф О, действительной оси, сгущающихся в точке z ~ х+1у —Ос одной или с двух сторон и удовлетворяющих при больших к условиям

|- Ь~к \ > с1 > 0, а;1 - Ь;х </<+«>. (12)

Причем отрезки Ьк, к е /, соответствуют включениям, а Ьк, к е /2 -трещинам. Условия (12) выполняются, например, если отрезки таковы, что их образы при отображении = 1 / z, кроме, быть может, некоторого конечного множества, образуют периодическое множество на всей действительной оси или полуоси.

На берегах трещин заданы касательные напряжения на

я - ¿^(х.О)

берегах включении — частная производная - от сдвигового

дх

смещения \\>, а на бесконечности одного из полупространств — напряжения т« » тп ■ Кроме того, считаются заданными главные векторы Рк внешних усилий, действующих на берегах включений Ьк, к е /, убывающие при к —> со не медленнее, чем Л/^]2 Заданные функции непрерывны по Гельдеру на отрезках Ьк, к е I и при X —> О могут расти не быстрее, чем М\х\Хп, Л/ > 0, 0 < А,0 < 1.

Задача (механическая). Определить напряженно-деформированное состояние упругого кусочно-однородного изотропного пространства, ослабленного счетным множеством включений и трещин, если на берегах трещин заданы касательные сдвигающие напряжения т*г(х), а на берегах

а»*{х,о) , п

включении — производные - от смещении Решение наити в

дх

классе напряжений Тх_ и , которые в вершинах сингулярностей и в окрестности их точки сгущения Z = 0могут обращаться в бесконечность порядка меньше 1 и при у —> +со стремятся к Т*, и х'у, соответственно.

Решение сформулированной задачи сводится к решению следующей смешанной краевой задачи теории аналитических функций.

Задача (математическая). В плоскости со счетным множеством коллинеарных разрезов Ьк, к е/ найти голоморфную функцию Г(^), имеющую на берегах разрезов кк, к е /, заданную действительную часть

дм+{х,0)

RcF+(x) = ц,-

дх

Re F~(x) = i^Liil + dW'{x® ,x e L",L" = \]Lk,

1 + (j. дх 1 + ц дх

а на берегах разрезов Lk, к e 12 — заданную мнимую часть

Im/■*(*) = -*;,(*),

Im F (x) = x;(x) - г^тт^х), x e L\ V = \]Lk.

Искомая функция при малых Z, расположенных вне любой фиксированной

достаточно малой малой £-окрестности £/£ (/_,) линии Ь = Ь'\1Ь" (окрестность í/e.(L) определяется особым образом), удовлетворяет неравенству

на концах отрезков может иметь особенности интегрируемого характера, в окрестности бесконечности имеет вид

р

т = - п% + г + о(1~2),

71(1 + Ц )1

и удовлетворяет дополнительным условиям

¡-к ^ Яе - - ОД е 12,

и

где Р — главный вектор внешних устий, приложенных ко всем сингулярностям, а (Д.* = ц, / ц2.

В § 2 с помощью конформного отображения ^ = 1 / z данная задача приводится к задаче, аналогичной тем, которые рассмотрены в главах 1 и 2. Исходные данные, граничные условия и искомые решения новой задачи удовлетворяют всем условиям, налагаемым в случае продольного сдвига тела со счетным множеством сингулярностей, сгущающихся на бесконечности, кроме того, ряду дополншел.ьных условий в окрестности точки, в которую переходит бесконечность при отображении С, = 1 I Z^ При решении этой задачи используется тот же математический аппарат, что и в главах 1, 2. Получив решения и перейдя с помощью обратного преобразования г = 1 / С к поставленным задачам, мы находим искомый комплексный потенциал и КИН.

В § 3 подробно рассмотрены случаи первой, второй и основной смешанной задач, когда сингулярности таковы, что их образы при отображении С, = 1 / z располагаются периодически на всей действительной прямой или только на луче. Задачи проиллюстрированы конкретными примерами, в которых приводятся числовые данные и графики зависимости КИН от различных параметров.

В § 4 решаются основные задачи теории упругости о продольном сдвиге кусочно-однородного пространства, ослабленного межфазным

тонким жестким остроугольным макровключением и счетным множеством межфазных туннельных микротрещин, расположенных в одной плоскости с макровключением и сгущающихся в его вершине. Рассматриваются случаи, когда включение является конечным и полубесконечным.

Публикации. Основны.е результаты диссертации отражены в следующих работах.

1. Сичьвестров В.Б., Тимофеева H.H. Непериодические решения антиплоской задачи теории упругости для тел периодической структуры // Теория функций и ее приложения: Тезисы докл. школы-конф. Казань: Изд-во Казан, фонда "Математика", 1995. С. 60-61.

2. Сильвестров В.В., Тимофеева H.H. Основные квазипериодические задачи продольного сдвига упругого полупространства и пространства с разрезами // Вестник Чувашского ун-та. 1996, № 1. С. 125-135.

3. Сильвестров В.В., Тимофеева H.H. Об одной смешанной задаче теории аналитических функций и ее приложении в теории упругости // Алгебра и анализ: Материалы конференции, посвященной 100-летию Б.М. Гагаева, Казань: Изд-во Казан, матем. общества, 1997. С. 195-196.

4. Сильвестров В.В., Тимофеева H.H. Продольный сдвиг упругого пространства с полубесконечными периодическими массивами трещин и тонких жестких включений. Вестник Казанского техн. ун-та, 1997. № 4.

5. Тимофеева H.H. Антиплоский сдвиг пространства с периодическим множеством разрезов и полупространства при произвольных граничных условиях // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды шестой межвузовской конференции. Часть 1. Самара: Изд-во Самарск. уа-та, 1996. С. 111-113.

6. Тимофеева H.H. Взаимодействие макротрещины с бесконечным рядом мнкровключений в условиях антиплоской деформации // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды седьмой межвузовской конференции. Часть 1. Самара: Изд-во Самарск ун-та, 1997. С. 139-141.

7. Тимофеева H.H. Продольный упругий сдвиг кусочно-однородной среды со счетным множеством микроповреждений, сгущающихся в конечной точке. Чебоксары, 1997. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 26.06.97, № 2079-В97.

8. Тимофеева H.H. Продольный сдвиг упругого кусочно-однородного пространства с полубесконечными периодическими массивами межфазных трещин и включений // Вестник Чувашского ун-та. 1997, № 1. С. 186-195.