Модель упругопластического деформирования трещины поперечного сдвига тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

КУНАШОВ НИКИТА ДМИТРИЕВИЧ

МОДЕЛЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРЕЩИНЫ ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

5 ДЕК 2013

Тула 2013 005542274

005542274

Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование» ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Глаголев Вадим Вадимович

Официальные оппоненты: Пеньков Виктор Борисович, доктор физико-

математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный университет».

Шоркин Владимир Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Госуниверситет — УНПК.

Ведущая организация: Воронежский государственный университет

Защита диссертации состоится «30» декабря 2013 г. в 10-00 ча_ сов на заседании диссертационного совета Д.212.271.02 при ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу: 300600, г. Тула, пр. Ленина, 92 (12-105).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Автореферат разослан « 29 » ноября_2013 г. Ученый секретарь

С. /Л

Л.А. Толоконников

с //'

диссертационного совета

Общая характеристика работы

Актуальность работы. В настоящее время имеют место два основных подхода моделирования трещиноподобного дефекта. Первый - традиционная модель трещины в виде математического разреза. Основной недостаток данного представления - сингулярность поля напряжений в концевой области. Подавить сингулярность возможно введением сил сцепления. Однако распределение этих сил задается априори, без решения соответствующей краевой задачи, и может быть использована для частных случаев нагружения, например нормального отрыва.

Вторым представлением трещины является разрез физический на определенном масштабном уровне. В этом случае решение задачи о нахождении НДС в окрестности кончика трещины будет существенно зависеть от формы окончания разреза. В частности, задание формы разреза в виде прямоугольника, клина или эллипса будет приводить к разным результатам. Поэтому представляется рациональным построение моделей, в которых НДС в окрестности окончания физического разреза не будет зависеть от формы его границы. При этом в отличие от математического разреза, должна отсутствовать сингулярность напряжений.

Из анализа экспериментальных данных известно, что направление развития трещины типа II не совпадает с ее ориентацией. Причина этого - сложное напряженное состояние в концевой области трещины. Кроме того в упру-гопластическом материале при достижении определенного критерия может происходить образование зон пластичности. Как правило, разрушение является завершающим этапом процесса деформирования, и материал проходит стадию как упругого, так и упругопластического формоизменения. Однако в силу того, что переходы в состояние пластичности и разрушения определяют разные физические механизмы, может возникнуть ситуация, когда при упру-гопластическом деформировании конструкции процесс разрушения начнется в области упругого деформирования, а не в зоне пластического деформирования. В этом случае необходимо знание количественных характеристик напряженно-деформированного состояния (НДС) тела для вычисления того или иного критерия. Решение данной задачи в рамках модели математического разреза приводит к проблемам в выборе закона действия сил сцепления. Прямое моделирование методом конечного элемента для физического разреза приведет к неоднозначности решения от выбора формы разреза. Таким образом, разработка математической модели, позволяющей адекватно описывать форму и развитие пластической области при сдвиговом характере нагружения, является достаточно актуальной.

Цель работы состоит в исследовании процесса зарождения и развития пластической области в вершине трещины моды II с учетом возможного разрушения.

з

Научная новизна. Показано, что классическая модель трещины в виде математического разреза не может объяснить отсутствие тонкой пластической зоны в вершине трещины моды II.

Для трещины моды II предложена математическая модель, в которой исключена сингулярность напряжений, и форма ее окончания не влияет на напряженно-деформированное состояние концевой зоны.

Поставлена и решена новая задача антисимметричного нагружения берегов трещиноподобного дефекта в виде физического разреза для идеально упругопластического материала.

Теоретическая ценность работы состоит в решении важной научной задачи нахождения критериальных величин напряженно-деформированного состояния для трещины моды II в упругопластическом материале.

Практическая ценность полученных результатов состоит в возможности их использования для описания сдвигового характера нагружения при расчете на прочность поврежденного упругопластического материала.

Работа выполнена в рамках проекта РФФИ №13-08-00134

Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается использованием фундаментальных положений механики деформируемого твердого тела, сравнением частных выводов с результатами других авторов, использованием апробированных методов решения получаемых уравнений.

На защиту выносятся:

- модель трещины моды II для идеально упругопластического материала;

- численные результаты исследования процесса деформирования тела с полубесконечным трещиноподобным дефектом при антисимметричном нагружении его берегов.

Апробация работы. Основные результаты по теме данной диссертации были доложены и обсуждены на регулярных научных семинарах кафедры «Математическое моделирование», г. Тула, 2010-2013.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, 3 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации: диссертация состоит из введения, четырёх разделов, заключения, списка литературы. Работа содержит _72_ страницы машинописного текста, включая 30 рисунков и список литературы из _116 _ наименований.

Содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяются цели исследований, излагаются научная новизна и практическая значимость работы, приводится структура диссертации. Рассмотрены подходы к описанию поведения твердых тел, ослабленных трещиной, на различных масштабных уровнях, приведенных в работах Н.Ф. Морозова, Е.М. Морозова, Ю.В. Петрова, М.В. Паукшто, Р.В. Гольдштейна, В.З. Партона, В.Б. Пень-кова, И.М. Лавита, В.И. Астафьева, Ю.Н. Радаева, Ф. Маюслинтока, Г.Б. Ол-сона, М. Каннинена, Дж. Н. Гудьера, Л. Прандтля и ряда других отечествен-

ных и зарубежных исследователей. Отмечен метод Нейбера - Новожилова,

развитый в работах В.М. Корнева.

В первом разделе рассматривается нагружение берегов полубесконечной трещины, моделируемой физическим разрезом с характерной толщиной ¿0 и материальным слоем на его продолжении, антисимметричной системой сил согласно схеме Рис.1 в линейно упругой постановке. Граница разреза полагается неопределенной и показана на Рис. 1 пунктирной волнистой линией.

Рисунок. 1 Схема нагружения.

Все величины, имеющие размерность длины, относятся к толщине слоя ¿0, а напряжений - к параметру /3 = лЕ/2(\-у2)РЛЯ плоской деформации и [] = ггЕ/2 в случае плоского напряженного состояния.

Вводятся напряжения на границах слоя: о" 2 х С*1)= °21(х1>^о/2)'

<Ъ1(*1) = *21(*1.-*О/2). 42(х1) = а22(хи36/2), ®й(*1>=*22(*1-*о/2) И средние по толщине слоя напряжения аи,а22,^21- Использование средних характеристик по толщине позволяет отказаться от конкретной формы окончания физического разреза.

Средние напряжения и деформации в слое определяем через их граничные значения следующим образом:

?21 ) = 0.5(о-^ (4) + а2\)) ' (1)

а 22 (*1) = 0.5(0-22 (XI) + о"22 ))' (2)

£22(Х1) = («2(Х1)-И1(Х1)), (3)

гцОц)= 0.5

За, Ъи\ ——к

дх\ дх^

-Л

(4)

£Ма)=0,

Элг]

ди2 ди7

—— + —-

дх\ ЙХ]

Л

Ц-г-г. (5)

При антисимметричном нагружении берегов полуплоскостей на границах слоя принимаются соотношения:

<т21 = ст21 ^ (6)

(7)

Из условий равновесия получена связь средних и граничных напряжений:

даП- = (тЫх[)-а'п{х0> (8)

&] Зсг21

= о-22(Х1)-<Т}2(Х1). (9)

с!*!

Определяющие соотношения на минимально допустимом с точки зрения гипотезы сплошности материальном объеме считаются справедливыми для средних величин. Закон Гука для средних по слою характеристик принимается в виде:

¿11 = Лстц -Ва22, £22 = Аа22 ~Ва{х,а\2 = Се12. „„ л я УЯ 2([-И

где л - у; а = -——-гс =—-— для случая плоского деформирования,

. п ™ .г 2(1-»/)

л"7' - для случая плоского напряженного состояния,

.¿2 к

V— коэффициент Пуассона.

На основе решения Фламана распределение перемещений точек границы верхней и нижней полуплоскости под действием нагрузок, действующих со стороны слоя, рассматривалось в форме, удобной для последующей численной реализации:

= (10)

4Р)" = "2 = (12) О

здесь а, - расстояние от вершины разреза до точки приложения силы Р; Ь -координата удаленной точки с нулевым перемещением; индекс (р) относим к материалу полуплоскостей.

Из первого уравнения закона Гука для средних напряжений и (4), (6),

(7), (8) получаем: а 22 - 0, что с учетом (2) приводит к связи

С 22 = -°22 •

С учётом (5), (7), (9)-(11) получено интегро-дифференциальное урав-нигал гггнопите.ттьно спепнего сдвигового напряжения в слое:

Ь + о )

а-21

\

+с -Р1п

/ \

дим к системе уравнений:

1 Ч

<721 —

(

+ С -

V

Р"22 =

°"21 =

до-21

дх^

о

Ь+сц) 0

(16)

= —2сг 22 >

с граничным условием: егц |х=0 = 0 •

Неизвестными системы являются средние по слою и граничные напряжения, которые определяются заданием сосредоточенной антисимметричной силы, приложенной к берегам физического разреза.

Напряжения по слою совместно с сосредоточенными

силами можно рассматривать в качестве граничных условий для сопряженных полуплоскостей и находить напряженное состояние с помощью фундаментального решения в рамках линейно упругой среды. В этом случае напряженное состояние в верхней полуплоскости, находится по формулам:

» _ У ±. I — П - ! / I I

(17)

2

"22 = — Ж

Рк{хх +а1х2-601г)2

(*! ~<ГХ*2 -¿о/2)2

+ I а\ 1(^)7----

4?

Рк{х[+а)3

. ({х1+ау+{хг-30/2у)г о ((Х1-^+(х2-6о/гУ)

+ К.07- ,

2

°"21 =~:

-¿о/2Х*1 + д)2 * + /а (х{-фг-30!2)2 -^2+J<722W7-

•к®, ь-*'2**-^

0 ((х1-^)2+(Х2-<У0/2)2/Г

(19)

Для нижней полуплоскости (д^ < 0) напряженное состояние определяется следующими компонентами:

'гг •

Р(х,+а1х7+Зй!2)7 {х2+30!2 )3

_((*1 + а)2 +{х2+5012)2У О 22 ((х1-{)2+(х2+б0/2)2У

о ((х1-#)2+(Х2+г0/2)2;

(20)

^1+д)3 (х,-£)2(Х2+60/2) ^

_{{х1+а)2 +(хг+5а!2)2) о 22 ((х,-5)2+(х2+<У0/2)2)2

и,-?)3

(и-^+^+^о/г)2)2

(21)

2 к

Р{х2+30/2Хх1+а)2 ^ ^ (Х1-ф2+30/2)2 ^ \1х1+а)2+(х2+6ъ!2)2Ч 0 22 ((,,-^+(,2+<5о/2)2)2

(22)

Таким образом, постановка (16)-(22) полностью определяет напряженное состояние в слое и сопряженных с ним полуплоскостях.

Во втором разделе на основе соотношений (16)-(22) строилось дискретное решение. Полагалось постоянство напряженного состояния на квадрате элемента слоя с единичной стороной. В этом случае система интегро-

дифференциальных уравнений (16) преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений:

(23)

где с?^^',сгсг222^'ст21 *^" средние по толщине и граничные напряжения ¿-ого элемента, отнесенные к его середине:„г,^) = + ; левая и правая координаты А'-ого элемента по оси х,.

Установлена вычислительная сходимость решения полученной в общем случае бесконечной системы алгебраических уравнений. Так для решения с относительной погрешностью менее 0.01% достаточно ограничиться тысячью уравнений.

На основе дискретного решения (23) определялось напряженное состояние в структурных элементах слоя и прилегающих к нему полуплоскостей согласно схеме Рис. 2 на предмет наступления состояния пластичности и разрушения. Условием перехода из упругого состояния в пластическое считался критерий Треска - Сен-Венана. В качестве критериальной величины начала разрушения бралось максимальное главное напряжение. Все критерии рассчитывались для средних напряжений. Средние напряжения в верхней

, 1-5 &

полуплоскости определялись по формулам: о* = | \а , а

-0.5 &

для нижней-сГу = | \а^(х^,х2)<1х\фс2-

Рисунок 2. Расположение структурных элементов.

Напряжения сгу{х\,х2) в полуплоскостях определялись исходя из решения по нагружению линейно упругой полуплоскости сосредоточенной и распределенной нагрузкой, определяемой из (23) по соотношениям (17)-(22).

При толщине слоя равной нулю (<$д=0) предложенная модель вырождается в классическую с математическим разрезом, где на его продолжении может быть получено аналитическое решение. Проинтегрировав соответствующее решение по координате X. на единичных элементах найдены средние напряжения:

—а г crir, =--arcsin

л

/

а — jq

a + jq

ôf. = <т£ =0. (24)

11

22

ю

! 1 1 1

1 1

10 20 30 40 50

Рисунок 3. Сравнение результатов.

На Рис. 3 приведено сравнение аналитического решения (24)(пунктирная линия) с дискретным решением (23) (непрерывная линия) для средних по слою напряжений. На графике напряжения отнесены к зна-

Рисунок 4. Распределение максимальных главных напряжений для модели слоя конечной толщины.

Для модели (23) рассмотрено распределение максимальных главных напряжений на продолжении слоя и прилегающих к нему полуплоскостях. Непрерывные линии на графике на Рис. 4 и в дальнейшем будут определять напряжения в слое, штриховые — по границе с верхней полуплоскостью, штрихпунктирные — с нижней полуплоскостью. Рассматривая в качестве критерия разрушения достижение максимального главного положительного

напряжения критического значения, видим, что разрушение будет зарождаться в нижней полуплоскости, а при смене знака пары сил — в верхней. Этот результат соответствует экспериментальным данным.

Рисунок 5. Распределение максимальных главных напряжений для модели математического разреза.

Распределение максимальных главных напряжений на продолжении математического разреза и смежных с ним полуплоскостях показано на Рис.5.Из Рис.5 следует, что разрушение должно идти вдоль математического разреза, что противоречит эксперименту.

На Рис. 6 приведено распределение максимальных касательных напряжений для модели (23). Максимальные касательные напряжения в структурных элементах вне слоя совпадают, и соответствующие графики сливаются, при этом условие пластичности не достигается. Из упругого решения (см. Рис. 6) видно, что оставаясь в рамках критерия Треска - Сен-Венана пластическое деформирование, по крайней мере, на начальной стадии должно развиваться вдоль слоя.

Рисунок 6. Распределение максимальных касательных напряжений.

В третьем разделе приводится постановка задачи, в которой пластическая зона моделируется прямоугольником со сторонами <5"0, £рс неопределенной геометрией левой границы (см. Рис. 1), а вне слоя материал рассматривается в рамках линейной упругости. В слое выделяются три области: область упругого деформирования: х\ € [¿р+1,ъ\, область перехода из упругого состояния в пластическое:&[1р,(р +1], область упругопластического деформирования: Х|

В области упругопластического деформирования для среднего касательного напряжения предполагается выполнение условия текучести Треска

- Сен-Венана: |<х21| = где тЬ5 = г5 //? - безразмерный предел текучести; для граничных напряжений слоя считаем справедливыми соотношения (6) и (14); а условие равновесия (9) с учетом (14) принимает вид: даг\¡Зх\ = -2ст. Таким образом, для упругопластического поведения слоя приходим к следующей системе уравнений:

^Г^ (25)

°"22 = ~а~22' 1*21=0-2 Г

В упругой области е р + 1,ь] материал описывается системой уравнений (23). В области перехода^ е[( р,( р + 1\ добавим к системе (23) уравнение достижения средними касательными напряжениями предела текуче-сти:|ог21| = г£, в результате получим:

/

СГ21 =0.25С

& 22 =_022;

Щ

«т£, (26)

1^211 =

Системы уравнений (25), (26), (23), описывающие упругопластическое деформирование слоя, решаются при удовлетворении граничного условия: 042о =0' Результатом решения является напряженное состояние слоя и

значение сосредоточенной силы, обеспечивающей данное состояние. При дискретном решении соответствующих систем изначально задается количество элементов в пластическом состоянии, один элемент считается переходным. а остальные рассматриваются в упругом состоянии. Увеличивая количество элементов слоя в упругопластическом состоянии, строился процесс развития тонкой пластической зоны с последующим определением посредством (17)-(22) напряженного состояния в смежных полуплоскостях.

На Рис. 7 и 8 показано распределение максимальных касательных напряжений в слое и прилегающих к нему структурных элементах верхней и нижней полуплоскостей.

1.0

0,5 0.0

12 а б а п

Рисунок 7. Распределение максимальных касательных напряжений при пластическом течении на первом элементе слоя.

Ы*! 1.0

0.5

0.0

1 2 4 6 8 П

Рисунок 8. Распределение максимальных касательных напряжений при пластическом течении на первых двух элементах слоя.

Из распределения Рис. 8 следует достижение критериальной величины касательными напряжениями за пределами слоя и пластическая область должна выйти за пределы слоя. Однако, возникает вопрос, возможно ли такое состояние, или разрушение вне слоя произойдет быстрее. На Рис. 9 представлено распределение максимальных главных напряжений при пластическом

к.'.........\

течении на первом элементе слоя. В этом случае максимальное главное напряжение вне слоя на структурном элементе нижней полуплоскости более

Рисунок 9. Распределение максимальных главных напряжений для пластического деформирования первого элемента слоя.

Для большинства конструкционных материалов это означает, что разрушение наступит быстрее, чем пластическая область выйдет за пределы слоя. При этом разрушение по моде II будет зарождаться в области деформируемой упруго.

Результаты и выводы.

1) Предложена модель трещины поперечного сдвига для идеально упругопла-стического материала, основанная на представлении трещиноподобного дефекта физическим разрезом с характерной толщиной <У0 и материальным слоем на его продолжении. Состояние слоя определяется средними по толщине и граничными напряжениями, что обеспечивает конечность напряжений и независимость напряженного состояния от геометрии концевой зоны.

2) Решена упругопластическая задача нагружения трещины моды II. Из решения задачи выявлены тенденции к развитию пластической области и разрушения для трещины поперечного сдвига.

3) Найдена взаимосвязь от момента пары сил, приложенных к берегам трещиноподобного дефекта и началом разрушения.

4) Из решения модельной задачи трещины поперечного сдвига в упругопласти-ческом материале установлено, что процесс разрушения, несмотря на наличие пластической области, будет проходить в зоне упругих деформаций. Следовательно, разрушение, проходящее по данному типу в упругопластиче-ском материале, является хрупким.

5) Тип плоской задачи поперечного сдвига практически не влияет на результаты расчетов в отличие от нормального отрыва, где существенная гидростатическая составляющая тензора напряжений при плоской деформации существенно влияет на результаты расчетов.

6) Показано, что при описании трещины моды II в рамках хрупкого разрушения модель с физическим разрезом лучше соответствует экспериментальным данным по сравнению с классическим представлением в виде математического разреза.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

Статьи в журналах, входящих в список ВАК:

1. Кунашов Н.Д. Модель упругого деформирования трещины в концепции слоя взаимодействия при продольном сдвиге// Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. — 2012. — Вып. 3. - С. 84-92.

2. Глаголев В.В., Глаголев JI.B., Кунашов Н.Д. Продольный сдвиг в рамках дискретного подхода к разрушению// Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Серия: Механика предельного состояния. — №4(14) — 2012. - С. 17-25.

3. Кунашов Н.Д. Модель упругопластического деформирования трещины нормального отрыва в концепции слоя взаимодействия при плоском напряженном состоянии// Известия Тульского государственного университета Естественные науки. —2012. — Вып. 2. — С. 136-144.

Другие публикации:

1. Айрих В.А., Кунашов Н.Д. Сравнение численного и асимптотического решений варианта постановки задачи нормального отрыва // Вестник ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. - Т. 16. - Вып. 1. Механика. - 2010. - С. 7-19.

2. Кунашов Н.Д. Исследование траектории нагружения для одной модели трещины нормального отрыва в плоско-напряженном состоянии //Современные проблемы математики, механики и информатики. Материалы конференции. — 2011. — С. 72-77.

3. Кунашов Н.Д. Моделирование напряженно-деформируемого состояния в концевой области трещины нормального отрыва при упругопластиче-ском деформировании // Современные проблемы механики и математики глазами студентов. - Вып. 6. — 2011. — С. 19-22.

4. Кунашов Н.Д. Модель упругого деформирования в концевой области трещины нормального отрыва // V-я магистерская научно-техническая конференция. Доклады статей. Ч. 2. - 2010. - С. 62.

Изд.лиц.ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 26.11.2013 Формат бумаги 60x84 '/i6. Бумага офсетная.

Усл.печ. л. 0,9 Уч.изд. л. 0,8 Тираж 100 экз. Заказ 095 Тульский государственный университет. 300012, г. Тула, просп.Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ. 300012, г. Тула, просп.Ленина, 95.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный университет»

На правах рукописи

04201453256

КУНАШОВ НИКИТА ДМИТРИЕВИЧ

МОДЕЛЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРЕЩИНЫ ПОПЕРЕЧНОГО

СДВИГА

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого

тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Глаголев В.В.

Тула 2013

Оглавление

Введение.............................................................................. 3

Глава I. Постановка задачи нагружения берегов трещиноподобного дефекта парой сил в линейно упругом материале....................................................................................11

Глава II. Дискретное решение задачи поперечного сдвигав рамках соотношений линейной упругости...................................21

Глава III. Модель трещины поперечного сдвига в упругопластическом материале...................................................39

Выводы по диссертационной работе....................................57

Литература..........................................................................59

Введение.

В настоящее время исследование проблем прочности и разрушения твердых тел представляется актуальной задачей, как в теоретическом, так и в прикладном плане. Под разрушением понимается макроскопическое нарушение сплошности тела в результате воздействия на него внешнего воздействия. В настоящее время разрушение принято рассматривать на разных масштабных уровнях [1,9,28,30,36,50,24,38,49,54-59,70,82-84,101103,106,113,1 16]. И в этом случае модель трещины определяет соответствующий математический аппарат для её исследования.

На сегодняшний момент существуют два основных подхода для описания модели трещины. Первый, заключается в представлении трещины в виде математического разреза. Главный недостаток этого подхода — сингулярность поля напряжения в вершине трещины. Возможно получить результат без сингулярности, если ввести в модель силы сцепления, однако эти внешние нагрузки устанавливаются a priori, без решения соответствующей граничной задачи, и могут быть использованы только для некоторых случаев, например в случае нормального отрыва. Здесь стоит отметить работы Баренблатта [5,36,83], Гольдштейна [20-26,87], Лавита [47,48], который обобщил соответствующий подход на случай упругопластического деформирования [31-35,37,29].

Основы описания трещины как математического разреза были заложены английским ученым А. А. Гриффитсом, [91-92]. Он предложил энергетический подход для описания разрушения. Суть подхода состоит в том, что для роста трещины роста трещины необходимо, чтобы количество высвобождающейся потенциальной энергии должно превышать поверхностную энергию необходимую

для преодоления сил взаимодействия слоев атомов. Этот подход называют энергетическим критерием разрушения. Изначально критерий Гриффитса был предложен для трещины нормального отрыва в упругом вплоть до разрушения тела.

Из критерия разрушения Гриффитса следует, что при достижении внешними нагрузками определенных критических значений трещина может самопроизвольно расти без увеличения внешней нагрузки. Такой процесс роста трещины называют неустойчивым, а сами трещины в этом случае называются неравновесными.

Подход Гриффитса был обобщен Орованом [104] для

материалов, при разрушении которых в кончике трещины

развиваются необратимые пластические деформации. Было

установлено, что пластические деформации сосредоточены в

малой зоне вблизи кончика трещины. Из этого было сделано

предположение, что затраты энергии в процессе создания новых

поверхностей при развитии трещины главным образом связаны с

работой пластической деформации объемов материала,

расположенных перед фронтом трещины. Ирвин [54,94-96]

установил, что процесс разрушения материала при

распространении трещины обуславливается напряженно-

деформированным состоянием в окрестности вершины трещины,

которое в свою очередь, в линейно упругом теле определяется

коэффициентом интенсивности напряжений. Поэтому

предполагается, что трещина распространяется при достижении

коэффициентом интенсивности напряжений некоторого

критического значения. Критические значения коэффициентов

интенсивности [60-66] напряжений являются постоянными

материала, характеризующими его трещиностойкость при

заданной температуре, внешней среде и т.п. Этот критерий

4

разрушения получил название силового критерия разрушения. Ирвином была показана эквивалентность силового критерия разрушения энергетическому критерию Гриффитса.

В настоящее время интенсивно разрабатываются так называемые нелокальные критерии прочности [39-41], в частности интегральный критерий, или критерий средних напряжений. Этот критерий обычно связывают с именами Г. Нейбера [63] и В.В. Новожилова [64-65].

Интегральный критерий применим как для гладких (тупых), так и для сингулярных (трещиноподобных) концентраторов напряжений. В отличие от традиционных критериев прочности, интегральный критерий дает конечное значение критического напряжения при использовании сингулярного решения линейной теории упругости.

В настоящее время активно развивается моментная теория упругости и ее применение в теории трещин [3,4,6,60,81]. Однако, отсутствие оценок введенного линейного параметра для конкретных материалов не дает право применению соответствующей теории в практике расчетов поврежденных конструкционных материалов.

Второй подход представляет трещину как физический разрез

с характерной толщиной. Здесь отметим работы Прандтля [27],

Гудьера и Канинена [89], где на продолжении физического разреза

вводится слой со связями типа пружин, работающих на растяжение

и сжатие. В работе Прандтля [105] рассматриваются два упругих

тела (балки), скрепленные по всей длине за исключением

конечного отрезка (трещины) поперечными упругими связями,

хрупко разрушающимися по достижении некоторого удлинения, и

принимаются условия предельного равновесия такой системы под

действием равномерно распределенных отрывающих усилий. В

5

модели отсутствует сингулярность, но ее применимость ограничена нормальным отрывом. В статье [89] взаимодействие связей трактуется на межатомном уровне.

Отметим, что для трещин в виде математического и физического разрезов может быть применен критерий J-интеграла, предложенной Черепановым [80] и Райсом [109-111] для хрупких материалов и обобщенный в работах [8,13,14] на случай упругопластического деформирования.

Возможность описания трещины в виде физического разреза дается в работе Ф. Маклинтока [53,100]. Однако, выбор величины характерного размера физического разреза, а также постановок соответствующих задач механики сплошной среды в данной работе и последующих работах автора не приведено.

В случае использование модели трещины в виде физического разреза, решение задачи о нахождении напряженного состояния будет обусловлено формой кончика разреза. Форму кончика трещины в различных случаях считают прямоугольной, клиновидной или эллиптической. При выборе заданных форм кончика трещины из решения соответствующей задачи получаются различные результаты.

Таким образом, целесообразным представляется рассмотрение модели, в которой напряженное состояние в окрестности кончика трещины не будет зависеть от его формы, и при этом в окрестности вершины трещины не возникает сингулярности, в отличие от математического разреза.

В работах В.В. Глаголева и A.A. Маркина [11,12,16-18,88]

была предложена модель трещины в виде физического разреза и

материального слоя на его продолжении. Напряженное состояние

слоя описывается средними и граничными напряжениями,

связанными условиями равновесия. Использование средних по

6

толщине слоя напряжений позволяет отказаться от рассмотрения формы окончания физического разреза. В статье [12] на основе предложенной модели была предложена постановка и решена задача о развитии тонкой пластической области в окрестности трещины нормального отрыва.

Отметим, что большинство представленных в литературе работ рассматривает нагружение нормальным отрывом. Трещинам продольного и поперечного сдвига [2,7,17,20,21,42,46,71, 77] уделено не так много внимания в силу сложного напряженного состояния в концевой зоне трещины, где преобладает сдвиговое деформирование.

Проводя анализ рассмотренных выше подходов, можно сделать следующие выводы:

1. Подходы, основывающиеся на модели трещины в виде математического разреза достаточно хорошо прогнозируют трещиностойкость хрупких и квазихрупких материалов, используя в качестве критерия разрушения следствия сингулярного решения линейной теории упругости. Однако, вопрос перехода из стадии упругого деформирования в упругопластическое для соответствующих материалов остается открытым. В этом случае локальная пластичность квазихрупких материалов неявным образом присутствует в основной характеристике трещиностойкости — вязкости разрушения.

Использование подхода Нейбера - Новожилова хотя и позволяет определить начало пластического деформирования для структурного объема рассматриваемого материала в рамках естественных критериев механики сплошной среды, но решение упругопластической задачи в данном случае проблематично в силу того, что для определения напряженного состояния в структурных

элементах используется решение линейной теории упругости.

7

Отметим, что конечность напряжений в рассматриваемых структурных элементах дает право определить не только состояние разрушения, но и предельное состояние соответствующее переходу упругопластического материала необратимым деформациям. Однако, используя модель линейно упругого тела для получения распределения поля напряжений, возможно получить только оценку предполагаемой области пластических деформаций без решения упругопластической задачи.

2. Использование в модели математического разреза сил сцепления требует их задания a priori, что ограничивает область применения данной модели нагружением типа нормального отрыва.

Таким образом, является актуальным построение и развитие таких моделей в упругопластическом материале, которые позволяли бы рассматривать процесс деформирования в рамках классических критериев механики сплошной среды в плане как перехода из упругой стадии деформирования в упругопластическую, так и процесса образования новых материальных поверхностей. В соответсвующих моделях отсутствовала бы сингулярная составляющая как для нормального отрыва так и при выраженном сдвиговом характере нагружения.

В данной работе на основе модели трещины в виде физического разреза и материального слоя продолжении рассматривается постановка задачи типа поперечного сдвига для идеального упругопластического материала исключающая сингулярность в концевой зоне. Изучаются тенденции к развитию пластической области и разрушения.

В первом разделе рассмотрено нагружение берегов

полубесконечной трещины, моделируемой физическим разрезом и

8

материальным слоем на его продолжении, антисимметричной системой сил, равноудаленных от кончика трещины, в линейно упругой среде. Получена система интегродифференциальных уравнений, описывающих напряженное состояние слоя. Определено напряженное состояние в верхней и нижней полуплоскостях через граничные напряжения слоя.

Во втором разделе на основе полученной системы интегродифференциальных уравнений строится система линейных алгебраических уравнений. Установлена вычислительная сходимость её решения. На основе дискретного решения системы уравнений определено напряженное состояние внутри слоя и в граничащих со слоем элементах. Проведено сравнение полученного дискретного решения с подходом Нейбера-Новожилова для трещины в виде математического разреза. Установлено хорошее соответствие решений на небольшом локальном удалении от вершины трещины. На основе критерия Кулона для дискретных решений математического и физического разрезов выявлены тенденции к возможному хрупкому разрушению. С учетом экспериментальных данных показано, что предлагаемая модель трещины лучше согласуется с экспериментом для случая нагружения по моде II. На основе упругого решения определено направление развития области пластического деформирования.

В третьем разделе приводится упругопластическая

постановка задачи, в которой пластическая зона моделируется

прямоугольником с неопределенной границей, лежащем на

продолжении физического разреза. Проведено исследование

напряженного состояния в слое и прилегающих к нему

структурных элементах при развитии пластической области. В

качестве критерия перехода из упругого состояния в

9

упругопластическое используется критерий Треска - Сен-Венана, а для определения возможного разрушения — критерий Кулона. Из решения упругопластической задачи показано, что разрушение будет происходить в сопряженной со слоем области, деформируемой упруго.

В заключении приведены основные выводы по работе.

Глава I. Постановка задачи нагружения берегов трещиноподобного дефекта парой сил в линейно упругом материале.

На Рис 1.1 представлена схема нагружения, соответствующая, следуя терминологии Г. П. Черепанова [80] поперечному сдвигу. Отметим, что заданный тип нагружения в литературе [112] носит название разрушения по моде И.

Рассмотрим деформирование бесконечной линейно упругой плоскости ослабленной полубесконочной трещиной системой сосредоточенных сил, показанное на Рис. 1.2, соответствующее нагружению поперченного сдвига.

Трещиноподобный дефект представим в виде физического разреза с характерной толщиной 80. Подобный подход использовался в работе [12]. В модель трещины наряду с вырезом включим материальный слой, лежащий на его продолжении, и

Рисунок 1.1 Поперечный сдвиг. (Нагружение по моде II)

называемый слоем взаимодействия [10-13]. Граница разреза полагается неопределенной и показана на Рис. 1 пунктирной волнистой линией.

Рисунок 1.2. Схема нагружения.

Задачу будем решать в безразмерном виде. Все величины, имеющие размерность длины, отнесем к толщине слоя <5о, а

напряжений - к параметру (3 = я2?/2(1-у2)для плоской деформации и /? = я£/2в случае плоского напряженного состояния. Вводятся напряжения на границах слоя:

>

а 22 ) = °"22 2)

/

а22 (л:1) = а22 (Х1

и средние по толщине слоя напряжения а

Граничные напряжения слоя естественным образом совместно с сосредоточенными силами формируют граничные условия для верхней и нижней полуплоскости. Соответствующие схемы показаны на рис 1.3.

А' 0, Х2 Ч

г ч -------> \SQJ2

1 Р а <Е-& сг21 /

Рисунок 1.3. Граничные условия для верхней и нижней

полуплоскостей.

Использование средних характеристик по толщине позволяет отказаться от конкретной формы окончания физического разреза.

Средние напряжения и деформации по толщине слоя в силу предположения о предельной величине введенного характерного размера определяем через их граничные значения следующим образом:

С21 (*1) = 0.5(о^ (хО + ^С*!)), 0-22=0.5(0-22(^1) + <722{Хх)) , £22(*1) = (*4(*1)-И2(*1)) >

ди\

^ц(х1)=0.5

/ , л

дщ —— +-

дх\ дх\

= 0.5

бх,

^ дгц ди

_ \

+ -

ч дх{ дхх

ди1 дх.

= их —их

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

При антисимметричном нагружении берегов полуплоскостей на границах слоя принимаются соотношения:

°21 =<>21

и,

-и, .

(6) (7)

Запишем условия равновесия в проекциях на ось :

бег,, дет,

12

и ось х2:

сЬс, 1 дх2

^2,

= 0,

(В)

= 0,

(9)

сЬе, дх2

Проинтегрировав эти условия равновесия по толщине слоя, получим связь средних напряжений слоя с его граничными напряжениями.

= стп (*1) - <Т\2 (*1)'

0x1 д(Т2\

дх

— 22 М-а^М1

(10) (11)

Определяющие соотношения на минимально допустимом с точки зрения гипотезы сплошности материальном объеме считаются справедливыми для средних величин. Закон Гука для средних по слою характеристик принимается в виде:

БП = Ааи-Ва22, Б22 = Ло:22-вё11'

(12)

(13)

(14)

гд &А = —,В = ——— 2 2(1-у)

_2(1-и)

С ---- для

7Г

случая

плоского

деформировани я;А = — ,В = — ,С = ——— для случая плоского

2 2 7Г

напряженного состояния, у- коэффициент Пуассона.

На основе решения Фламана распределение перемещений точек границы верхней и нижней полуплоскости под действием нагрузок, действующих со стороны слоя, рассматривалось в форме, удобной для последующей численной реализации [43]:

, (15)

О

=4 (16)

О

ь

и^-=Ы2 , (17)

О

л £

= щ = р\п - ¡оъЮьВ-^е (18)

\ь + а) 0 ь — д

здесь а, - расстояние от вершины разреза до точки приложения силы Р; Ь - координата удаленной точки с нулевым перемещением; индекс (р) относим к материалу полуплоскостей.

Из (12) для средних напряжений и (4), (6), (7), (8) получаем: су22 =0, что с учетом (2) приводит к связи

сг22=-<Т22'

(19)

С учётом (5),(7),(11),(14)-(16) получим интегро-дифференциальное уравнение относительно среднего сдвигового напряжения в слое:

( 1да2\{§) йу*

о-21 =0.25 С

+

г с , \

+ с -Р1п XI +а\

+ )

4*21 0

(20)

Для решения задачи деформирования слоя из (6), (11), (9), (20) приходим к системе уравнений:

г

1<д<72\(%)

\

о"2