Модель развития трещины в упругопластической среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

^ Ь 0& На правах рукописи

г л (Р

ЛАВИТ Игорь Михайлович

МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ ТРЕЩИНЫ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Тула-1998

Работа выполнена в Тульском государственном университете.

Научный консультант - доктор физико-математических наук,

профессор Л.А. Толокоиников|

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Р.В. Гольдштейн

доктор физико-математических наук, профессор А.С. Кравчук

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Шачнев

Ведущая организация: Институт машиноведения РАН

им. А.А. Благонравова

Защита диссертации состоится йЧ декабря 1998 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 063.47.07 Тульского государственного университета по адресу: 300600, Тула, просп. Ленина, 92.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 1998 г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Многообразие трещин, встречающихся в твердых телах и отличных друг от друга формой, размерами, расположением в теле, а также способностью влиять друг на друга, приводит к многообразию постановок задач механики разрушения. Наиболее важный с точки зрения оценки прочности тела и наиболее экспериментально исследованный класс таких задач - это задачи об условиях роста изолированных прямолинейных поверхностных трещин нормального отрыва в плоскодефсрмированпых телах, находящихся под действием поверхностных нагрузок, изменяющихся квазистатическн пропорционально одному параметру. Росттрешипы в упругой среде имеет следствием хрупкое разрушение, а вупругонластической - более или менее вязкое т зависимости от пластических свойств материала и соотношения размеров трещины и тела.

Постановка задачи о росте трещины предполагает получение зависимости приращения длины зреЩииы от параметра нагрузки методами механики деформируемого твердого-теда. На ее решение существенно влияет закон состояния среды, в которой распространяется трещина. Так, задача о росте трещины в линейно упругом материале - задача о хрупком разрушении - решается методами линейной механики разрушения, основанной на постулатах Гриффнтса: 1) трещину можно рассматривать как не имеющий ширины разрез и сплошной*

среде, кромки которого ire взаимодействуют; 2} трещины существуют п теле н в естественном состоянии, при отсутствии на пряжений н деформаций;

3) трещина растет в том и только в том случае, когда производная потенциал!, ной энергии тела по длине трещины (временпподобному параметру при квп зистатпческом росте трещины) становится равной (по модулю) удвоенной удельной поверхностной энергии - прочностной константе материала:

4) трещина распространяется в линейно упругой среде.

Для решения задачи о распространении трещины в упругопластнческои среде необходима модификация основных положений теории Гриффнтса. Ирвин и Орован (независимо) выделили разновидность разрушения тел из пластичных материалов -.квазихрупкое разрушение, происходящее на фоне чисто упругого деформирования тела. Теория роста трещины, приводящего к квазнх-рупкому разрушению, - механика квазихрупкого разрушения основана на предположении, что размеры зоны пластических деформаций вокруг кончика трещины малы по сравнению с размерами тела и длиной трещины. В процессе роста трещины эта зона перемещается вместе с кончиком трещины не изменяясь. Задача расчета напряжений «'деформации в теле с трещиной формулируется как задача линейной механики разрушения; существование пластической зоны учитывается заменой третьего постулата Гриффнтса: предполагается, чгс высвобождающаяся при продвижении трещины потенциальная энергия ндег не

только на образование новой поиерхпости - приращения граничных поверхностей трещины, но и (как правило, в значительно большей степени) па преодоление сопротивления пластическому деформированию окрестности движущегося кончика трешины. Рассеивающаяся при этом энергия, приходящаяся на единицу приращения длины трещины, так же, как и удельная поверхностная энергия, является константой материала. Сумма этих двух констант, эффективная удельная поверхностная энергия заменяет удельную поверхностную энергию в критерии Гриффигса. Все остальные исходные положения теории Гриффигса остаются без изменения. Таким образом, линейная механика разрушения оказывается не только механикой хрупкого разрушения, но и механикой квазихрупкого разрушения.

Рассмотрение общего случая роста трещины в упругопластической среде предпринято Райсом. В созданной им теории, нелинейной механике разрушения, четвертым постулат изменяется: предполагается, что наряду с упруги?.!», в теле могут возникать н пластические деформации; третий постулат принимается таким, как в теории Ирвина-Орована. Это означает, фактически, разграничение пластической зоны на две: малую но размерам зону значительных пласти-'ческих деформаций, действие которых учитывается и критерии роста трещины (третий постулат), и окружающую ее, в общем случае обширную и изменяющуюся при росте трещины, зону умеренных пластических деформаций, определяемых при решении упругопластической задачи. Это разделение, конечно, условно п неформализуемо, однако оно существенно упрощает теорию: механика квазихрупкого разрушения оказывается частным случаем нелинейной механики разрушения (при отсутствии второй зоны)..

Решение конкретных задач о распространении трещины в постановке нелн-•нейной механики разрушения наталкивается на проблему особой точки: поля напряжений и деформаций сингулярны в кончике трещины." Эта проблема есть и в линейной механике разрушения, но там она легко решается - существуют достаточно надежные методы, позволяющие определить напряжения и деформации в окрестности кончика,трещины. При построении решения (по необходимости численного) упругопластической задачи использование метода упругих решений оказывается невозможным в силу того, что асимптотики упругого и упругопластического решений в данном случае существенно различны. Острота проблемы во многом снимается, если ограничиться определением критического значения параметра нагрузки, при достижении которого трещина начинает расти. В этом частном (но- практически, наиболее важном) случае критерий роста трещины формулируется с использованием инвариантного. 7-интеграла, который может быть вычислен вдоль контура, значительно удаленного от кончика трещины. Попытка получить решение задачи о распространении трещины в общем случае, когда определение условий ее роста не сводится к вычислению ./-интеграла, была сделана Атлури и Нишиокой, но их метод ре-

шения нельзя считать корректным, так как он предполагает вычисление контурного интеграла (в отличие от /-интеграла, неннвариантного) вдоль априорно назначаемого контура.

Невозможность построить решение поставленной задачи в общем случае, оставаясь в рамках нелинейной механики разрушения, определила путь дальнейших исследований - изменение постулатов теории. Камнем преткновения при решении задачи оказалась сингулярность напряженного состояния в кончике трещины - и поэтому в работах автора, Корнека, Хатчинсона и др. первый из постулатов был изменен. Предполагалось, что кромки трещины взаимодействуют, причем силы этого взаимодействия, называемые силами сцепления, распределены таким образом, что кончик трещины перестает быть особой точкой напряженно-деформированного состояния (такая модель трещины была ранее предложена (независимо) Леоновым и Панасюком, Баренблаттом, Да-гдейлом и применялась для решения линейно упругих задач). Третий и четвертый постулаты в упомянутых работах совпадали с принятыми в'нелинейной механике разрушения. Введение в рассмотрение сил сцепления позволяет применить к решению поставленной задачи метод упругих решений Ильюшина и тем самым включить ее в круг типичных упругопластических краевых задач.

Однако в силу того, что в работах упомянутых авторов третий и четвертый постулаты приняты так, как в нелинейной механике разрушения, разработанные ими методы решения задачи о росте трещины оказываются недостаточно универсальными. Дело в том, что устойчивый рост трещины в упругопластиче-ской среде - это lie обязательно ее посткритический рост при монотонно возрастающей нагрузке. В отличие от упругой среды, в пластическом материале возможен устойчивый рост-трещины и при циклической нагрузке - ее усталостный рост. Решение задачи об усталостном, росте трещины невозможно получить ни методами, развитыми в работах упомянутых авторов, ни методами теории квазихрупкого разрушения (усталостная трещина может расти и в условиях применимости, этой теории): согласно экспериментам, усталостная трещина растет при значениях параметра нагрузки, заведомо ниже критического, то есть еще до того, как сформируется пластическая зона, фигурирующая в теории Ир-вина-ОрОвана.

Таким образом, задача- об устойчивом росте трещины в упругопластиче-ской среде к настоящему времени полностью не решена - получены решения лишь для частного случая посткритпческого роста при монотонно возрастающей нагрузке, причем, эти решения не допускают обобщений на задачу об усталостном росте трещины. Актуальной является такая постановка задачи, в которой отпадает необходимость з разделении пластических зон и, следовательно, критерий роста трещины формулируется так ж г, как в теории Гриффитса.

Цель работы состоит в решении проблемы механики деформируемого твердого тела - разработке основ теории устойчивого квазистатическога роста

трещины в -упругопластичеоком материале как при монотонно возрастающей, так и ори циклической нагрузке.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) построена и обоснована, исходя из физических представлений, система постулатов математической модели трещины в унругопластическом материале; проведен термодинамический анализ процесса роста трещины применительно к предложенной модели;

2) на основе этой модели разработан метод расчета процесса распространения трещины в упругопластической среде;

3) выведено граничное интегральное уравнение задачи линейной механики разрушения для произвольной односвязной области с краевой трещиной;

4) получены согласующиеся с экспериментом решения улругопластических задач, моделирующих рост трещины при монотонно возрастающей и циклической нагрузках. :

Достоверность полученных результатов подтверждается полнотой и непротиворечивостью принятых допущений, корректностью используемых методов исследования, согласованностью полученных результатов с экспериментальными данными.

Практическое знамение работы определяется универсальностью разработанной теории, дающей единообразное описание явлениям, традиционно рассматривавшимся как независимые. Наиболее существенным результатом исследования является возможность моделирования теорией усталостного роста трещины. Разработанный метод может быть использован в расчетах деталей малин на усталостную прочность. -

Также важным для практики результатом можно считать создание метода расчета коэффициентов интенсивности напряжений для плоской области с в общем случае криволинейной краевой трещиной - численного метода линей-нон механики разрушения. О!! может быть использован при оценке прочности сосудов давления и других ответственных конструкций.

Диссертационная работа связана с планом основных научно-исследовательских работ ТулГУ. Работа частично выполнялась в рамках научно-технической программы "Недра России" и была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранг 95-01-00121 "Построение нелинейной механики разрушения, основанной на концепции сил сцепления").

Н§.зац1ИТОМНР£ЯГ£3 следующие основные результаты диссертационной работы;

1} система постулатов, на которой основана математическая модель трещины в унругопластическом материале, и результаты термодинамического анализа процесса рост трещины применительно к предложенной модели; 2) теория процесса распространения трещины в упругопластической среде;

3) метод определения коэффициентов интенсивности напряжений для произвольной односвязной области с краевой трещиной;

4) результаты численного исследования процессов роста трещины при монотонно возрастающей и циклической нагрузках.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на IX Конференции по прочности и пластичности (ИПМ РАН, Москва, 1996), 11 Европейской конференции по разрушению (Франция, 1996), Международном симпозиуме "Механика п технология в процессах формоизменения" (Орел, 1997), Международной конференции "Итоги развития механики в Туле" (Гула, 1998), семинаре ио механике разрушения ИПМ РАН (Москва, 1998), научно-исследовательском семинаре им. A.A. Ильюшина МГУ (Москва, 1998), научно-исследовательском семинаре Института машиноведения им. A.A. Благонравова (Москва, 1998), семинарах по механике деформируемого твердого тела ТулГУ, ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава ТулГУ.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликованы 22 статьи. В автореферате приведен список 13 основных работ.

Структура й объем работы. Диссертация состоит из введения, шести разделов/заключения и четырех приложении. Работа содержит 232 страницы, в том числе 61 рисунок и 7 таблиц. Списки литературы включают 201 наименование. •

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы диссертационной работы, указаны цель и основные направления исследований, отмечена научная нониша работы, излагаются основные положения, выносимые на защиту.

В первом разделе'анализируется проблема моделирования роста трещины в упругопластическом материале методами механики деформируемого твердого тела. Показано, что оставаясь в рамках классической механики разрушения, невозможно построить математическую модель указанного процесса. Причина этого - в сингулярности полей напряжений и деформаций в кончике трещины. Обоснован выбор модели трещины с взаимодействующими кромками - трещи-. ны Баренблатта - как основы построения теории процесса распространения трещины в упругопдастнческой среде. Проанализированы предшествующие исследования в этом направлении, выявлены их недостатки. Необходимо отметить, что значительный вклад в изучение проблем, исследуемых а диссертации, внесли отечественные и зарубежные ученые В.М. Александров, Г.И. fjapeiio-латт, В.В. Болотин, Л.Р. Ботпнна, Р.В. Гольдштейн, A.A. Ильюшин, ПО. Клев-цов, В.М. Корнев, А.Я. Красовский, М.Я. Леонов, ü.M. Морозов, Н.Ф. Морозов. Н.И. Мусхелшпвили, В.В. Новожилов, В.В. Панасюк, В.З. Партон, О Н. 1'ома-нив, М.П. Саврук, Л.И. Слепян, С.А. Христианович, Г.Г1. Черепанов, S.N. Atluri,

A. Comee, D.S. Dugdale, W. Elber, A.A. Griffith, M.E. Gurtin, J.W. Hutchinson, G.R. Irwin, E.O. Orowan, P.S. Paris, J.R. Rice и др.

Во втором разделе рассмотрены исходные допущения теории и общая постановка краевых задач. Класс решаемых задач определяется следующим образом:

1) к телу, содержащему изолированную поверхностную трещину (рис.1), прикладываются поверхностные усилия р, изменяющиеся квазистатически пропорционально одному параметру q; последний может как увеличиваться, так и уменьшаться; ,

2) форма тела и распределение нагрузок таковы, что в теле реализуется состояние плоской деформации;

3) след пересечения плоскостью поперечного сечения тела граничной поверхности трещины - отрезок прямой линии (1 на рис.1; а - длина трещины); напряженно-деформированное состояние тела симметрично.относительно этой прямой, и рост -такой трещины (трещины нормального отрыва) сводится, в силу симметрии, к ее удлинению;

4) материал тела моделируется однородной и изотропной сплошной средой, которая может испытывать только упругие и пластические деформации,

N причем упругие деформации малы и связаны с напряжениями законом Гука. В результате решения задачи определяется зависимость, связывающая параметр нагрузки с длиной трещины. Для получения этой зависимости необходим критерий роста трещины. Он следует из разработанной в диссертации модели трещины, построение которой опирается на физические представления о разрушении и термодинамический анализ.

Рост трещины в микроскопическом аспекте - эго разделение атомных слоев, проявляющееся в разрыве межатомных связей. Типичная зависимость силы взаимодействия двухчизолированных атомов F от расстояния между ними г представлена на рис.2. Отрицательные значения F соответствуют отталкиванию, положительные - притяжению. Процесс роста трещины схематично мох<-но представить как изменение характера взаимодействия двух рядов атомов, образующих ее кромки (рлс.З): зона I представляет собой зону недеформиро-ванных и слабодеформиронанных связей, соответствующую участку А на рис.2; II - зону сильно деформированных связей, соответствующую участку В на рис.2, а в зоне III, в которую попадает вся оставшаяся область -трещины, связи разорваны (экранированы). Зона II обратима - при снижении нагрузки она уменьшается (прн этом расширяется область I); и если зона III отсутствует, то трещина в конце концов исчезает (залечивается). Экранирование связей обусловлено взаимодействием атомов разъединяемых слоев с остальными атомами решетки, а также с электронным газом, и, в значительно большей степени, взаимодействием с атомами окружающей среды, проявляющимся в адсорбции и химических реакциях. В результате этого поверхностный слой материала на

сыщается инородными веществами (обычно окислами), которые служат барьером закрытию трещины при уменьшении наг рузки.

Соотнесем микромодель разрушения с макромоделями трещины, которые используются в механике разрушения. Материал в зоне I естественно моделировать непрерывной сплошной средой (трещины нет), а в зоне Ш - сплошной средой с разрезом, кромки которого моделируют слои атомов с экранированными (разорванными) связями. В предположении отсутствия зоны II получается трещина Гриффитса, кончик которой расположен на границе зон I и III. Попытка построения более реалистичной модели, учитывающей зону II, предпринята в данной работе. Предполагается, что кончик трещины находится на границе зон I и И, там, где усилие взаимодействия раздвигаемых атомов достигает максимума (см. рис.2). В пределах зоны II кромки трещины еще взаимодействуют между собой, так как связи, ранее удерживающие материал в одно целое, ослабевают не сразу, а по мере роста расстояния между кромками. Действие этих связей моделируется распределением сил сцепления, притягивающих кромки трещины друг к другу. Максимальное значение этих сил Gu (континуальный аналог максимальной величины силы F(cm. рис.2)) является материальной константой - прочностью бездефектного материала, достижимой в экспериментах с нитевидными кристаллами. Силы сцепления распределены в концевой области, моделирующей зону II на рис.2, - на отрезке х, (рис.1), прилегающем к кончику трещины, в пределах которого они убывают от величины GK, (в кончике трещины) до нуля (при т, =-S). Связь между изменением параметра нагрузки q и величинами 8 и и устанавливается постулатом об уничтожении особенностей: напряжения и деформации в кончике трещины конечны. Длина концевой области изменяется от ну ля до некоторого предельного значения дь. В начальном состоянии, когда параметр нагрузки q = 0, сил и сцепления не действуют и 8 = 0 (кончик трещины находится в точке В). С ростом q концевая область удлиняется (точка О - копчик трещины движется в направлении положительных х, при неподвижной точке В), а как только величина S достигнет значения точки О и В начинают перемещаться совместно при сохраняющемся расстоянии между ними 5 = Распределение сил сцепления при этом неизменно (Баренблагг). Концевая область отличается от остальной области трещины не только тем, что в пей распределены силы сцепления. Концевая область обратима - обратима п том смысле, что при увеличении параметра нагрузки она образуется и растет (до определенного предела), а при уменьшении - укорачивается и исчезает. Кромки трещины в концевой области еще не являются истинными барьерами, разделяющими материал, что и находит свое выражение в существовании сил сцепления." 13 противоположность этому кромки трещины вне концевой области - сформировавшиеся границы поверхностей. Они не исчезают при нулевой нагрузке, более тою, даже если их

прижать друг к другу, сплошность материала не обязательно восстанавливается: для залечивания трещины необходима значительная контактная пластическая деформация. Поэтому при уменьшении параметра нагрузки происходит следующее. Точка В неподвижна, а точка О движется по направлению к точке В (концевая область укорачивается). Если деформации упруги, то точка О совпадет с точкой В (концевая область исчезнет) в момент, когда параметр нагрузки станет равным нулю. Трещина при этом полностью закрывается, но не залечивается: при возрастании параметра нагрузки начинает расти концевая зона так, как это описано выше. Если же в теле есть пластические деформации и соответствующие им остаточные напряжения, то принципиально реализуемы две возможности: •

1) к моменту, когда параметр нагрузки станет равным нулю, точка О не доходит до точки В", при этом действие сил сцепления будет уравновешиваться действием остаточных напряжений;

2) точка О достигнет точки В при ненулевом значении параметра нагрузки. Дальнейшее уменьшение параметра нагрузки в этом случае будет приводить к закрытию (но не залечиванию) трещины. Ее кончик (точка О) все это время будет перемещаться влево от точки S; силы сцепления при этом будут равны нулю, а конечность 'Напряжений в кончике трещины будет обусловлена совместным действием внешних сил и остаточных напряжений.

Действие сил сцепления на кромки трещины аналогично действию штампа, вдавливаемого в упругопластическую среду. И поскольку давление такого штампа очень велико (а оно превышает предел текучести материала приблизительно в той же пропорции, в которой прочность бездефектного материала превышает его предел прочности, то есть на порядок), то, в соответствии со схемой Прандтля, произойдет потеря несущей способности кромки и начнется неограниченное Пластическое течение. В конце концов на участке сцепления трещина полностью закроется, а его граница - точка fi станет особой точкой поля напряжений, и трещина с концевой областью превратится в трещину Гриффитса. Для разрешения этого парадокса следует рассмотреть условия су-, шествования трещины в у пру го пластической среде. Ключевой момент здесь -зарождение трещины. Известно весьма большое число наблюдений (Зинер, Стро, Копрелл и др.), показывающих, что трещины образуются в местах скопления {(¿распространяющихся дислокаций. Так как пластическое деформиро-ианне - это движение дислокаций, то появление в некоторой области упомянутою скопления следует интерпретировать как прекращение в ней иластическо-ю деформирования. А это значит, чю материал в указанной области будет при дальнейшем росте нагрузки деформироваться только упруго и напряжения мо-ryt достичь величины прочности бездефектною материала и инициировать об-рашиание трещины. Следовательно, материал достаточно малой окрестности зародившейся трещины пожег деформировался только упруго, так как иго

пластичность за счет скопления {^распространяющихся дислокаций уже исчерпана, и'таким образом, процесс пластического закрытия трещины оказывается невозможным.

Процесс скопления дислокаций представляется в терминах механики деформируемого твердого тела как прекращение пластического деформирования в итоге накопления значительных пластических деформаций. В качестве меры последних используется параметр Одквнста, обозначаемый далее как ег При малых и даже достаточно больших значениях е, влияние этой величины на процесс пластического деформирования отсутствует (дислокации распространяются беспрепятственно), и только когда с, приближается к некоторому предельному значению е/, пластическое деформирование становится затрудненным и вскоре прекращается совсем. Принимается допущение, что при е, < е( пластическое деформирование протекает в соответствии с законом текучести, но как только е, станет равной величине е!, пластическое деформирование прекращается. е( - это материальная константа, характеризующая пластическое деформирование. Ее величина зависит от структурной неоднородности материала. Чем более химически чист и механически однороден материал, тем £/ больше, и в предельном случае ег стремится к бесконечности. Свойства константы е} аналогичны свойствам предельной деформации (истинной) еь при разрыве образца, что дает основание в первом приближении их отождествить.

Далее в разд.2 приведен термодинамический анализ условий роста трещины в упругопластической среде. Пусть А - некоторая область, прилегающая к кончику трещины, ограниченная контуром Г (который в предельном случае может совпадать с контуром ¿). Рассмотрение энергетического баланса этой области в случае распространяющейся трещины, в окрестности кончика которой действуют силы сцепления, следствием чего оказывается регулярность поля напряжений, приводит к соотношению (при неизменной температуре)

Г = 2 : ' = 0) где щ - вектор перемещений, / - удельная свободная энергия - функция тензора упругих деформаций, <ткт - тензор напряжений, Ерт1 - тензор пластических деформаций, J - контурный 7-интеграл Эшелби-Черепанова-Райса, рк - усилия, приложенные извне к контуру Г; - силы сцепления (приложенные к кромкам трещины в окрестности ее кончика равные по величине распределенные нагрузки, притягивающие кромки друг к другу). Силы сцеплеиия действуют в концевой области - на отрезке х, е[-5,0]. Они подчиняются следующим условиям:

1) распределение внешних нагрузок и сил сцепления таково, что напряжения в кончике трещины конечны (Христианович, Баренблатт; Леонов, Панасюк; Дагдейл);

2) эпюра сил сцепления ограничена гладкой кривой ¡§| = #(*,). Эта функция монотонно возрастает на отрезке [-£,0]; ее производные на концах отрезка равны нулю.

Требование равенства нулю производных на концах интервала обусловлено тем, что концевая область перемещается вместе с кончиком трещины. Напряжения при этом должны изменяться непрерывно.

Рассмотрим, как изменяется величина X в процессе роста трещины. Выделяются два этапа роста трещины: первый этап - обратимый рост при удлинении концевой области (0<3 <дь), и второй этап - необратимый рост (рост собственно трещины) при неизменной максимальной длине концевой зоны б = 5Ь.

При удлинении концевой области величина У возрастает, а при укорочении - уменьшается до нуля. На втором этапе роста трещины значение X, во-• обще говоря, переменно (даже если силы сцепления постоянны, за счет пластического деформирования изменяются перемещения и), однако если в ближай-' шей окрестности кончика трещины пластическое деформирование уже прекратилось, X будет мало отличаться от своего предельного значения Хк. Если материал упругий, то последнее равно, в соответствии с критерием Гриффитса (упомянутый выше постулат 3), величине 2/ , где у - удельная поверхностная энергия - материальная константа, в противном случае Хь > 2у. Таким образом, на втором этапе роста справедливо условие 2 у <Х < Хь. Чем более ограничено пластическое деформирование материала ближайшей окрестности кончика трещины, тем уже этот интервал. Принимается допущение о его малости [Хь -2у)/Хь «1. Тогда на всем протяжении второго этапа устойчивого роста

трещины выполняется условие X = 2у. Как следствие, распределение сил сцепления при этом неизменно, и поэтому в качестве материальной константы используется величина их коэффициента интенсивности'напряжений (с противоположным знаком) К1Ь - поверхностная - вязкость разрушения, связанная с удельной поверхностной энергией формулой '

К1Ь = ^2Еу/{ 1-у2) (2)

где Е - модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона. -

Таким образом, на втором этапе роста трещины уравнение (1) принимает

вид

де'

J+¡alm^-dA = 2y (3>

л ^

При тех или иных дополнительных предположениях из него получаются используемые в механике разрушения критерии роста трещины.

Механика хрупкого разрушения. Пусть е^ =0. 'Гои 1а выражение (3) записывается как J -=2у, иными словами, для трещины, расчущей «упругой среде, справедлив критерий Гриффитса. Если величина 5Ь много меньше длины тре-- щины и расстояния от кончика трещины до ближайшей точки контура I, то допустим предельный переход при 8Ь -> 0; кончик трещины становится при этом особой точкой поля напряжений.

Механика квазихрупкого разрушения. Пусть пластические деформации сосредоточены в малой области Ли(Л0с л), прилегающей к кончику трещины. Из формулы (3) получается выражение для 3 -интеграла

г~ д£р

•/ = 2у- /ст^-аМг, . (4)

Б теории Ирвина-Орована предполагается, что при росте трещины правая часть формулы (4) неизменна'и равна материальной константе ; при 'лом величина ./ определяется методами линейной механик» разрушения. По теоретическим оценкам, для типичных металлов превосходит величину 2у в 103 - 104 раз. Предположим (Баренблатт), что правую часть уравнения (4) можно заменить выражением, аналогичным выражению, определяющему ./'

3 = 2 ' (5)

где - эквивалентные, обобщенные силы сцепления, Д - длина обобщенной концевой области. Таким образом, в данном случае формулировка критерия роста трещины и при учете, и без учета Сил сцеллення такая же, как в механике хрупкого разрушения, с.тем отличием, что вместо константы 2у используется константа ,11С.

Нелинейная механика разрушения. Момент старт трещины без ограничений теории квазихрупкого разрушения исследован Райеом. Естественно предположение, что при- нагружршш тела с неподвижной трещиной реализуются условия простого нагружения, и следовательно, для описания пластического деформирования в начальный период роста трещины можно использовать деформационную теорию пластичности. При этом упругопластическое деформирование среды, в которой распространяется трещина, эквивалентно деформированию нелинейно упругого материала: Выбрав подходящую зависимость для /, можно представить левую чрсть формулы (3) в виде У-интеграла. Однако критерий старта трещины в нелинейной механике разрушения не ./ = 2у , как это следует из уравнения (3), а J-Jt(, как в теории Ирвина-Орована. Чтобы согласовать теорию Райса с теорией квазихрупкого разрушения, следует пред-

положить, в согласии с экспериментами Ботвиной и Клевцова, что пластич( скую область вокруг кончика трещины можно, в первом приближении, разд( лить на две: область значительных пластических деформаций Ай и охвать вающую ее область умеренных пластических деформаций. Свойства облает Аа определяются гипотезами Ирвина-Орована. Пластические деформации, фт гурирующие в теории Райса и обусловливающие нелинейность краевой задач! - это упомянутые умеренные пластические деформации. В случае их отсутс: вия трещина растет в условиях квазихруикого разрушения.

В общем случае роста трещины левую часть уравнения (3) нельзя предстг вить в виде не зависящего от пути интегрирования контурного интеграла. Пр сохранении упрощающего предположения о возможности разделения зош пластической деформации на две вместо уравнения (3) получается следующе выражение

2 )G^-dxl=J+la^dA = Jlc . С6

-А ^ А & I

Пластические деформации, фигурирующие в формуле (6), - это упомянуты умеренные пластические деформации. Можно использовать критерий рост трещины (6) как с учетом (автор, Корнек и др.), так и без учета (Атлури и др. сил сцепления. В последнем случае А -> 0 и кончик трещины оказывается осо бой точкой напряженно-деформированного состояния. При этом нахожденн величин, входящих в уравнение (6), предполагает наличие корректных вычис лительиых процедур, позволяющих преодолевать проблемы, связанные с син гулярностыо поля напряжений в кончике трещины, применительно к числен ному решению упругоплагтической задачи. Такие процедуры не известны Противоположная ситуация имеет место при учете действия сил сцепления Решение упругопластической задачи в данном случае находится методом упру гих решений Илыошина. Применение этого метода обусловлено pei-улярно стью поля напряжений в кончике трещины.

Разделение пластической зоны на две, необходимое для получения уравне ния (6) и существенно упрощающее вычислительные процедуры, невозможш строго формализовать. Другой, более важный его недостаток. - в том, что ош ограничивает класс решаемых задач только задачами о посткритическом рост( трещины. Hi рассмотрения выпадает докритический, в частности, усталостны! рост трещины, когда стабильная зона значительных пластических деформаций фигурирующая в теории Ирвина-Орована, еще только формируется.

В дайной диссертации реализован подход к решению задачи, устраняющий эти недостатки. Пластическая зона, окружающая кончик трещины, не разбива етси на две, а рассматриваемые силы сцепления - это "истинные" силы сцеиле ния, обусловленные взаимным притяжением кромок трещины.

Увеличение сопротивлению росту трещины на тором этапе ее роста обусловлено расширением пластической области, окружающей кончик трещины. Последнее вызвано тем, что при росте трещины изменяются граничные условия, которым удовлетворяет поле напряжении, что приводит к дополнительному пластическому деформированию. Этот процесс эквивалентен приложению к кромкам трещины дополнительных распределенных усилий (см. ниже) - так формируются обобщенные силы сцепления. С ростом трещины растет коэффициент интенсивности напряжений, обусловленный их действием (коэффициент интенсивности напряжений от истинных сил сцепления при этом неизменен). Как показывают расчеты (см. ниже), существует предельное распределение обобщенных сил сцепления, характеризуемое предельным коэффициентом интенсивности напряжений, который интерпретируется как вязкость разрушения, К1С (с обратным знаком). Полученное предельное распределение обобщенных сил сцепления применяется при моделировании устойчивого роста трещины с использованием уравнения (6).

В Третьем разделе рассмотрена постановка задачи (максимально упрощенная) о росте трещины в упругопластической среде. Причин упрощений две: первая из них - это стремление выявить основные факторы изучаемых процессов, а вторая - минимизировать трудности численных расчетов.

Расчетная схема задачи изображена на рис.1. Начало системы координат х,Ох2 всегда находится в кончике трещины. Задача о распространении трещины в упругопластической среде - это совокупность последовательно решаемых упругопластических задач для области, изображенной на рис.1; переход к следующей из них обусловлен изменением длины, трещины а:-а+Аа, где Аа -заданное малое приращение длины трещины.

Предполагается, что максимальная длина концевой области много меньше длины трещины 5Ь « а (Баренблагт). Это допущение позволяет моделировать поведение трещины большой длины с тем отличием, что реальную трещину сопровождает поле заторможенных дислокаций, образовавшееся еще до ее зарождения. Следствием существования этого поля является невозможность пластического деформирования близкой окрестности кончика трещины, и независимость вновь образующихся пластических деформаций, в силу их удалечно-сти от кончика трещины, от деталей распределения сил сцепления. Новые пластические деформации образуются не за счет напряжений от сил сцепления, а из-за того, что при продвижении трещины - разрыва в сплошной среде - изменяются граничные условия и поле напряжений становится неуравновешенным. Поэтому в модели, последовательно описывающей рост трещины с момента ее зарождения, при вычислении приращений пластических деформаций достаточно^ асимптотических формул для расчета напряжений от действия сил сцепления, справедливых на большом удалении от кончика трещины. В рассматриваемом же случае упомянутое поле заторможенных дислокаций создается са-

мой трещиной, поэтому задание конкретного закона распределения сил сцепления необходимо, и наиболее приемлем, в силу сказанного, простейший закон распределения (с учетом сформулированных выше ограничений):

где 7 =- л:,/<У. Распределение (7) зависит только от одного параметра - длины концевой области 5 е[0,<Уь]. <

Для описания деформирования материала используется тензор малых деформаций с, компоненты которого связаны с компонентами вектора перемещений и соотношениями ст„ =(дта„ +д„ит)/2. Деформации представляются в виде суммы - е'т + где индекс е обозначает упругую составляющую, а р - пластическую. В предположении изотропии и однородности материала, а также ею несжимаемости не только в пластической, но и в упругой области, соотношения закона Гука представляются в виде о-,пп=а8тг1+2ЕЕ'тГ11Ъ, где <т=сги/3, бтп - символ Кронекера. Условие несжимаемости записывается как гг = (с,, + £^2 + —0, причем выполняются также соотношения ее=0, ег =0. Приращения пластических деформаций связаны с напряжениями соот-ношет1Ями Мгаеса. = АЦсг„,„ - &$„„), где с1л > 0. Используется критерий текучести Мизеса, учитывающий изотропное упрочнение ст, = ау + цЕс,, где

<г( = - сг^)(сгтг, -¿¿>„,„) - интенсивность напряжений, р - коэффициент

линейного упрочнения, <7У - предел текучести. Параметр Одквнста записывается в виде

Пластическое деформирование возможно, только если о; > сгг и £) < ¿у, где £/ -предельная пластическая деформация. Разгрузка происходит по упругому закону.

Напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия дт<ттп-0; сгтг, = ат. Требования плоской деформации предполагают выполнение условий еп = £23 = е,3 = 0; <т13 = <т2, = 0 и независимость всех остальных полевых величин ОТЛ',.

Приложенные к контуру Ь внешние нагрузки представимы в виде рк = р4<?, где параметр нагрузки, изменяющийся в зависимости от приращения длины трещины, рк - фиксированное распределение нагрузки, соответствующее значению <7 = 1. Напряжения на контуре I удовлетворяют граничным условиям

= /^Г-о^К, -^Л = 2- ¡а;М (8)

Pi ~akmnm> " единичная внешняя нормаль к поверхности тела. Кромки

трещины свободны от нагрузки (д =0=> стп = ап =0) за исключением концевой области - отрезка х, е[-£,0] , где действуют силы сцепления:

s,=а = -S(*I)î => ап = о;^=¿;(*>)

- на верхней кромке и

fi=0;& = g(x,);=>CT1J=û,ir2i = g(.ïl)

- на нижней; функция определяется формулой (7), где длина концевой области S - известная величина.

Связь между изменением параметра нагрузки q и величинами 8и а устанавливается постулатом об уничтожении особенностей напряженно-деформированного состояния: напряжения н деформации в кончике трещины конечны.

Решение упругопластической задачи сводится, согласно Илыошину, х решению задач линейной упругости с распределенными по сечению D объемными силами f, обусловленными пластическими деформациями. Напряжения при таком рассмотрении представляют собой сумму напряжений от действия внешней нагрузки, напряжений от сил сцепления и напряжений от объемных сил. Напряжения от действия внешних сил находятся из решения краевой задачи линейной механики разрушения для области £)(см. рис.1). Постулат уничтожения особенностей эквивалентен требованию равенства нулю суммарного коэффициента интенсивности напряжений

+ 0 (9)

где К[д, Кю, Ку - коэффициенты интенсивности напряжений соответственно о т действия поверхностной нагрузки (/i^ = К^, Сил сцепления и объемных сил,

обусловленных пластическим деформированием.

При продвижении кончика трещины на величину А а начало координат также перемещается и выполняется соотно'шенне f(x, ):= f(х, + Ая). Величина Да может быть как положительной, так и отрицательной.

Пусть ц, - длина трещины в начальном состоянии, когда <5 = 0; q = 0 и f = 0 (точка О на рис.! совпадает с точкой В). С ростом трещины из начального состояния длина концевой области увеличивается ( 3: = S + àa - точка О движется вправо при неподвижной точке В) до тех пор, пока не достигнет предельной величины Sb. При дальнейшем росте трещины значения¿> остается неизменным (точки О и В перемещаются вправо при постоянном расстоянии между ними).

При смене удлинения трещины укорочением (Ла<0) концевая область укорачивается.,(S:~ S + Да (предельный случай - о = 0)) - точка В неподвижна, а. точка О движется влево, оставаясь правее точки В. Дальнейшее уменьшение длины трещины (точка В неподвижна, а точка О движется влево, находясь ле-

нее точки В), если юно возможно (см. формул}' (9)), происходит при отсутствии сил сцепления (<5 = 0); при этом, очевидно, Кю = 0.

Если укорочение трещины вновь сменяется удлинением (Да>0), трещина растет при 3 = 0 (точка В неподвижна, а точка О движется вправо, находясь левее точки В) до значения а, при котором длина концевой области достигла нулевого значения при укорочении трещины; с этого момента опять выполняется соотношение д':= <5+ Аа и т.д.

Далее в разделе 3 приводится решение задачи о квазихрупком росте трещины, когда размеры пластической зоны, окружающей копчик трещины, предполагаются малыми как по сравнению с размерами поперечного сечения (см. рис.1), так и с длиной трещины. Напряжения от действия внешних сил пред-ставнмы в виде суммы регулярного и сингулярного (в кончике трещины) слагаемых. В данном случае величина регулярного слагаемого значительно меньше предела, текучести материала. Поэтому при решении упругопластической краевой задачи им допустимо пренебречь, и выражения напряжений от действия внешних сил сводятся только к сингулярным составляющим. Иными словами, влияние внешних нагрузок на напряженно-деформированное состояние окрестности кончика трещины проявляется только через величину коэффициента интенсивности напряжений.

Принятое допущение позволяет разделить краевую задачу на две: внутреннюю и внешнюю. Первая из них - это упругопластическая задача для плоскости с нолубескоиечной трещиной; ее постановка и решение не зависят от внешней зада-'И. Равенство (9) можно представить в виде

Ки + К-Ю+К'у= о (10)

где коэффициенты интенсивности напряжений от действия сил сцеп-

ления и объемных сил для расчетной схемы внутренней задачи, а А'|г определяется.формулами

= +ЛКЮ + АКу ; АКю = Кю г К;\ Щ = ^ - Ц (11)

'1 ак как распределение сил сцепления известно, то можно найти величину К!с. Решение упругопластической задачи для плоскости с полубесконечной грещииой позволяет определить К'у а следовательно, и Ки. Значения ДА'|(7 и ДА'у вычисляются по известному решению урругопластическон' задачи для плоскости с пилубесконечцон трещиной. По этому решению в общем случае нолучаеюя, что вдоль контура I (см. рис.1) распределены напряжения Даи, чю эквивалентно приложению к нему извне нагрузки Др, = м4Д<тА/, где пк -внешняя нормаль к контуру Так как в действительности этой нагрузки нет, к кеппуру / следует приложить дополнительную нагрузку -Ар, результатом

действия которой будут указанные приращения коэффициентов интенсивности напряжений. Теперь из первого уравнения системы (11) определяется величина , а по ней - искомый параметр нагрузки д.

Таким образом, для нахождения параметра нагрузки q необходимо уметь вычислять коэффициенты интенсивности напряжений для области Д нагруженной распределенной нагрузкой р при определении зависимости А',, (17) и нагрузкой - Др для нахождения приращений АКю и ДА',,. Вычисление этих коэффициентов - вторая, внешняя задача, представляющая собой совокутюсгь двух задач линейной механики разрушения для области О. Решение внутренней задачи универсально: его можно рассматривать как характеристику материала. Все особенности геометрических характеристик сечения О и распределения нагрузки р влияют только на решение внешней задачи. Ее можно решать каким-либо численным методом линейной механики разрушения; так, в настоящем исследовании использовался метод, изложенный в' разделе 4 диссертации:

Рассмотрим алгоритм решения внутренней, упругопластической задачи, основой которого служит метод упругих решений Илыошина. Пусть в плоскости имеется известное из предыдущей итерации ноле начальных напряжении *„»(**)• Тензор напряжений представляется разностью

' " - 0™=',»*-^ . ' С2)

где тензор (пп связан с деформациями законом Гука (для несжимаемого мате* риала)

',„„ ='4„,+у £«'„„; /•=/,м,/3 = о-„,„/3 (13)

Начальные напряжения определяются формулой-

= С) = ! я*!. (И)

С учетом гипотез несжимаемости и плоской деформации получим л1,, % =0. Напряжения 5„ и л22 симметричны относительно оси абсцисс, а напряжение 5|2 - антисимметрично. Подстановка выражений (12) и уравнения равновесия дает

= С5) .

При известных функциях /, получается (для определения ?„м) задача линейной теории упругости с заданными объемными силами /„. Рассмотрим граничные условия. К кромкам трещины приложены силы сцепления интенсивностью ¿'(.г,). Действие внешних сил сводится к уничтожению особенности напряженного состояния п кончике трещины. Найденное решение должно обращаться в нуль в бесконечно удаленной точке.

Решение поставленной задачи распадается на два этапа. Вначале рассматривается задача нахождения напряжений в упругой плоскости от действия распределенных объемных сил /п. При этом предполагается, что трещина отсутствует. Получим с использованием решения задачи Кельвина

'i!1 + 'и = "~Re[wi(z)+

$ -4!' + 2/ДО = -¿[tf2(z) + /72(z) + //3(z,z) + 7/j(z,z)] (16)

где введены обозначения

Н, (г) = [-¿-J.Q; (z) = j^-clü; H}(zj) =

n? 2 nb 2 n \b~Z)

Ht(z)=H¿¿), ¿=1,2; ЯДг,z) = //.(z.z) - (17)

Здесь область Q - часть верхней полуплоскости, в которой распределены начальные напряжения, £ - комплексная координата точки приложения силы / = /, +i/2, z - комплексная координата точки, в которой вычисляются напряжения. Напряжения и s12 на линии трещины в общем случае не равны нулю. Так как напряжения а22 на кромках трещины равны нулю (за исключением концевой области, где они равны í;(x{)), к кромкам трещины следует приложить нагрузку таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям. Эта нагрузка (упомянутые выше обобщенные силы сцепления) равна

С(*,)= $(*,)-ia(*,)-g(*,) US).

Действие этч.й нагрузки вместе с внешними силами приводит к появлению Поля напряжений . Последние вычисляются по формулам

1/2 00

= + -2 ± JG(CR ; (19)

я, о

Таким образом в точке плоскости о координатой г вычисляются напряжения ¿Ц; суммируя их с напряжениями и вычитая начальные напряжения $»я> получаем напряжения <т„„, (см. формулу (12)). Далее находятся приращения пластических деформаций в соответствии с законом Мизеса и приращения начальных напряжений (14)

. && = Л^К,, - Ь.<г) ; ¿Ч„, = \ = |Е{сгпп -." ' (20)

Они пропорциональны неизвестному пока параметру ДА>0; последний нахо-

Если получается, что ДД<0, значит, пластическое деформирование в данной точке не происходит и следует положить ДА=0. Приращение параметра Од-

2

квиста определяется формулой Дг, =-<т(ДЯ. Если при этом оказывается, что ' е, + &£, > е.], то величина ДА находится из условия е, + Ас, = е/ или

Далее полагается + выполняется следующая итерация и т.д. до

сходимости процесса.

В разделе 4 изложен разработанный численный метил решения красны:-' задач линейной механики разрушения, используемый для решения упомянутой внешней задачи. Применительно к рассматриваемому классу задач анапогчч-ные методы созданы Савруком, а также Запгом и Гудмундсоном. Уравнения, выведенные в этих работах,.различны, но в обоих случаях решение задачи механики' разрушения сводится к решению сингулярного интегрального уравнения первого рода для производной скачка перемещений на линии трещины. Суть разработанного метода п том, что поперечное сечение тела, содержащею трещину, конформно отображается на область, в которой комплексные потенциалы голоморфны всюду, включая кончик трещины. В этом случае их определение сводится к решению граничного интегрального уравнения типа Муске-лншвили.

Рассмотрим односвязную (конечную или бесконечную) область О. пред ставляющую собой поперечное сечение тела с поверхностной трещиной. Область О ограничена кусочно-гладким контуром Г, часть которого является коп туром трещины, в общем случае криволинейной (рис.4). Гак как в данном случае не представляет интереса напряженное состояние в непосредственной близости угловых точек контура, отличных от кончика трещины (точки /1,.Г, Н н рис.4), можно сгладить контур в окрестности этих, точек, например, с«щр.-п-п гладкие участки контура окружностями малого радиуса г. Таким образом, б с • потери общности считается, что область О ограничена сон г} ром Г. гчад;;»"* повсюду за исключением кончика трещины. Поместим нача то к'>оршн/!г кончик трещины и направим ось абсцисс но касательной к чинки ¡решит.!

дится из условия выполнения условия текучести Мизеса

или

(22)

направлении ее роста. Напряженное состояние п области О определяется двумя функциями комплексной переменной (комплексными потенциалами) <р{£) и

где -х + ¡у, удовлетворяющими на контуре Г уравнению

_ _ -

<р(г)+ т<р'(г)-ь И'г) = /(г); /(г) = / ](рх +1Ру)сЬ (23)

о

где г - комплексная координата точки контура, 5 - длина дуги контура, рх, ру -компоненты вектора поверхностной нагрузки. Если трещины нет, то комплексные потенциалы аналитичны в области Д включая ее границу, и в этом случае их можно найти, решив, например, граничное интегральное уравнение Мусхе-1ШЩВ1ШИ. При наличии трещины ее кончик является точкой возврата, следовательно, уравнение Мусхелишвили неприменимо. Функции <р(£), неанали-тичны в кончнке трещины. Их можно представить следующим образом

<р{£) = £<РА£)+<Р№< КО = ^.(0+^,(0; ' (24) • где <р6(С)> ^а^)' - функции, аналитические в области Д, включая граничный контур. Пусть - конформное Отображение области Д на

область Е такое, что комплексные потенциалы аналитичны в области £, включая ее граничный контур I. Уравнение (21) преобразуется при этом так:

где г - комплексная координата точки контура Будем искать потенциалы <р, у/ в виде произведения функций, аналитических в области Е, включая ее граничный контур Ь

^) = П(г)0(2); = (26)

где О(г) - заданная функция (ее вид будет определен ниже), новые неизвестные задачи. Получим вместо (25) следующее соотношение

где введены обозначения

Так как функция х{2) - аналитическая в области Е, включая ее граничный контур, то для граничных значений этой функции справедлива формула

' ,28>

т} 4-1

С учетом соотношения (27) получим

Учтем, что в силу аналитичности функции в области Е, включая ее граничный контур, для граничных значений этой функции справедлива формула

■ *•>

Используя интегрирование по частям, приведем уравнение (29) к виду

т * т ( /

-МА1Щ& сзп

т{ ' _ _ т { 4-1

Уравнение (31) представляет собой интегральное уравнение относительно функции <9(г). Будем называть его обобщенным уравнением Мусхелишвили. Оно сводится к уравнению Мусхелишвили при - со(г) = 1.

Исследуем разрешимость уравнения (31). Пусть вначале П(г) = 1. При этом так же, как и уравнение Мусхелишвили, уравнение (31) имеет нетривиальные решения при нулевой правой части (собственные функции), иными словами, оно в общем случае неразрешимо. Однако если нагрузки, приложенные к телу, удовлетворяют уравнениям статики, то уравнение (31), гак как оно тождественно дифференциальному уравнению (27), обязательно имеет решение в силу теоремы существования решения задач теории упругости. Собственные функции уравнения (31) обусловлены поступательным перемещением тела как целого (рй = =с0 и жестким вращением гд -/с,^; =0, где с0 '- комплексная, а с, - действительная произвольные постоянные. Других собственных функций, в силу теоремы единственности решения задач теории упругости, нет. Наличие собственных функций приводит к неединственности решения уравнения (31) при О(г) = 1. И хотя собственные функции не влияют на значения коэффициентов интенсивности- напряжений, неединственность решения может затруднить или даже сделать невозможным процесс решения уравнения (31). С целью обеспечить единственность решения и вводи гея функция-П(г) в выражения (26). Помимо аналитичности зга функция должна удовлетворять еще одному требованию: обращаться в нуль в какой-либо точке области Е или ее граничного контура. Теперь собственные функции определяются выражениями >90(г) = с0/П(г); Хч{г)~ Так как вн хразыскиваются в классе функций, аналитических в Е, включая граничный контур, то это решение невозможно.

Для исключения собственных функций, обусловленных жестким вращением, воспользуемся методом Щермана. Прибавим к левой части уравнения (27)

выражение ¿|а>(/)/й>'(г) + Г|/о(/), где Ь - чисто мнимая постоянная; умножим

обе части уравнениями о>'(г)с(() и проинтегрируем по Ь. Используя интегрирование по частям, получим

2/ 1т

+ 21'Ыт

= |/(г)Й1'(Г)Л # (32)

Если момент внешних сил равен нулю, то 11е|/(/)й/(г)<Л = 0, а следова-

I

тельно, 6=0. Таким образом, при выполнении уравнения статики уравнение (27) и уравнение, модифицированное,, указанным выше образом, эквивалентны. Преобразовывая модифицированное уравнение так же, как и уравнение (27), приходим к уравнению (31) с тем отличием, что к его левой части добавляется слагаемое •

(34)

('>0 - < ]М<) - £ /ИМ » (33'

Определим постоянную Ь следующим образом

где г, - некоторая внутренняя точка области Е. Теперь, если 9, - собственная функция, обусловленная жестким вращением,

5,(4=|С1а>(г)/0(г) (35)

то из равенства (34) следует с[ = -¡Ь . Но так как при нулевой правой части 6=0, решение (35) оказывается тривиальным.

Наложешшые условия делают обобщенное.уравнение Мусхелишвили однозначно разрешимым. Механическая интерпретация этих- условий - фиксация перемещений и поворота сечения как твердого тела.

Построен численный метод решения упомянутого уравнения, проверенный на тестовых задачах. . . •

В результате решения уравнения определяется функция и далее-- коэффициенты интенсивности напряжений

. . К,-¡К,. • (36)

а> (г) .

где 2„ - координата кончика трещины (на плоскости Е). -

ПаТМЙ--ВЭЗДШ1 диссер1ации содержит результаты численных расчетов. . Здесь выделены четыре типа задач. К первым трем типам относятся задачи ква-

зихрупкого роста трещины, когда влияние внешних нагрузок на напряженно-деформированное состояние окрестности кончика трещины проявляется только в величине коэффициента интенсивности напряжений. При этом задачи первых двух типов - это задачи, в которых можно пренебречь влиянием размеров и формы поперечного сечения на решение, то есть ограничиться решением внутренней задачи.

Задачи первого типа - это задачи о росте трещины под действием монотонно возрастающей нагрузки. Вначале рост трещины - это рост концевой зоны, которая при разгрузке исчезает. После того как коэффициент интенсивности напряжений от действия внешней нагрузки Ки достигает величины К]ь, начинается рост собственно трещины, по определению, необратимый (концевая область при этом постоянна). Если материал может деформироваться только упруго, то при выполнении равенства К]с = К[ь начинается неустойчивый рост трещины. Способность материала к пластическому деформированию приводит К превышению Ки величины К1Ь, и это превышение тем больше, чем больше ' приращение длины трещины. Если пластическое деформирование материала ограничено (в качестве меры пластического деформирования 6 настоящей работе используется параметр Одквиста), то зависимость Ки{Аа), где Аа - приращение длины трещины, имеет конечный предел при Аа—* оо. Этот предел интерпретируется квк Кк - вязкость разрушения материала. Для хрупких материалов Кк = Кн, а для пластичных К]С тем больше К1к, чем более обширна пластическая зона, окружающая кончик трещины, и чем больше максимально возможное значение параметра Одквиста. Полученные результаты находятся в согласии с гипотезой квазихрупкого разрушения Ирвина-Орована, которая не входит в число исходных предпосылок теории. Можно считать эти результаты теоретическим подтверждением упомянутой гипотезы.

Основным результатом решения задач первого типа является зависимость, связывающая К[е с приращением длины трещины Да и с другими параметрами задачи. С учетом анализа размерностей можно записать

= НА°.. , вм, ,//,£>);

Аа, = Да/бь ; Ои, = 0„/*г ; А',,,. = А',/А'„ (37)

При проведении численных расчетов принимались значения £/СЛ, = 10; // = 0,01, О,,, =20. Последняя величина при Е = 2-](У Н/мм2 соответствует ау = 1000 Н/мм2 - характерному для распространенных в машиностроении марок сталей пределу текучести. На рис.5 показаны рассчитанные для монотонного нагружения зависимости К[е, от Да, при различных значениях предельной пластической деформации с{. Зависимость 1 получена при е, =0,05; 2 -при £{ =0,10; 3 - при неограниченной, величине параметра Одквиста (скачок

Ки. на линии 3 обусловлен появлением вторичных пластических деформаций). Более жесткие ограничения на величину пластического деформирования делают кривую более пологой. 11ри ef -у « величина Л',,, с ростом Да, неограниченно возрастает, но когда максимальная деформация et конечна, существует предел

lim Къ.щКк. (38)

по которому находится К[г = KiC,Kib - вязкость разрушения материала.

Второй тип задач отличается от первого тем, что нагрузка прикладывается циклически. Такие задачи моделируют'усталостный рост трещины. Циклическое изменение внешней нагрузки проявляется в данном случае в циклическом изменении коэффициента Ки. Описываемые ниже численные эксперименты проводились для пульсацнонного цикла: ■ АКи - К[тлх. На рис.6 изображена зависимость Kic,{Aa.) при ef =0,1,■ ЬКи, =3. В данном случае разгрузка, понимаемая как уменьшение К[е., не является упругой за счет того, что кончик трещины движется в обратном направлении. Это приводит к- увеличению длины трещины в каждом следующем цикле нагружения. При уменьшении нагрузки вначале укорачивается и исчезает концевая область, затем начинается закрытие -(но не залечивание) невзаимодействующих участков кромок трещины - эффект, наблюдаемый в эксперименте. Зависимости, аналогичные приведенной на рис.6, получаются и. при других значениях ДА',,. и сf. У более хрупкого материала скорость роста трещины выше; в предельном случае, когда пластическое деформирование невозможно, трещина либо покоится, либо растет квазистати-чески пли динамически (для хрупкого материала А'|6 совпадает с ЛТ1С). Таким . образом, результаты расчетов согласуются с представлением, что усталостный рост трещины - это явление, обусловленное пластичностью материала, и чем пластичней материал, тем, при прочих равных условиях, меньше скорость роста усталостной трещины.

С увеличением числа циклов N приращение длины трещины за одни цикл стабилизируется (см. рис.6), и когда число циклов велико, отношение Да,/AN перестает зависеть от N и можно записать

-da./dN = o{bK\„ß/GufJu.WfJl) (39)

Здесь, в дополнение к переменным, фигурирующим в формуле (37), появляется новая - коэффициент асимметрии цикла R =К1етт/К,етх (для пульсацнонного цикла R = 0). На рис.7 представлен график зависимости (39) при постоянных значениях всех аргументов, кроме АКи,. В логарифмических координатах получается известная из эксперимента сигмоидальная кривая. Ее линейный участок описывается формулой Париса

da, / äN = СД/v. (40)

Вычисленная величина показателя степени и =2,8 лежит в диапазоне экспериментально получаемых значений н = 2...4 .

Расчеты показывают, что если при циклически изменяющейся нагрузке длина концевой области не достигает величины 8Ь, усталостный рост трещины невозможен. Следовательно, существует, в согласии с экспериментом, пороговое значение Кл = , которое тем больше Кн, чем пластичнее материал.

Порядок этих величин совпадает. '

Задачи третьего типа также относятся к классу задач о квазихруиком росте трещины, основанных на предположении, что влияние вйешнен нагрузки на-напряженное состояние окрестности кончика трещины проявляется только в величине коэффициента интенсивности напряжений. В отличие от задач первых двух типов, в данном случае учитывается влияние на напряженное состояние формы и размеров сечения. Решение задачи получается в два этапа: вначале решается внутренняя задача, а затем по ее известному решению строится решение внешней задачи методом, изложенным в разделе 4. Расчеты показывают, что влияние формы и размеров поперечного сечения начинает сказываться, только когда размеры сечения становятся соизмеримыми с пластической зоной, окружающей кончик трещины. Но в этом случае условие возможности квазихрупкого роста трещины не выполняется. Таким образом, результаты расчетов позволяют сделать вывод, что для математического моделировании квазихрупкого роста трещины достаточно решения внутренней задачи. Этот результат подтверждает гипотезу Ирвина-Орована и представление о вязкости разрушения как о материальной константе (получается, что зависимости, изображенные на рис.5, можно рассматривать как характеристики материала).

Четвёртый тип задач, рассмотренных в разделе 5, - это задачи о вялсом росте трещины. В этом случае влияние внешней нагрузки на напряженное состояние окрестности кончика трещины не сводится только к величине коэффициента интенсивности напряжений. Показано, что приняв гипотезу о возможности разделения пластической зоны на две: снльнодеформированную зону, действие которой на остальной материал моделируется обобщенными силами сцепления, и слабодеформированную зону, изменяющуюся в процессе роста трещины, можно получить достаточно простое конечноэлемешиое решение задачи. Такие решения были получены ранее, однако вследствие неизвестности распределения обобщенных сил сцепления вдоль кромок трещины, приходилось решать обратную задачу: задавать экспериментально полученную зависимость точки приложения силы от приращения длины трещины и а результате расчета получать соответствующее распределение сил сцепления. Результаты решения задач упомянутого выше первого типа дают возможность найти распределение, обобщенных сил сцепления, устанавливающееся при киазнстацио-нарном режиме роста трещины, когда коэффициент интенсивности напряжений обобщенных сил сцепления праближаекя к величине вязкости разруше-

ния. Это распределение является недостающим исходным данным для приближенного конечноэлементного подхода.

Далее в разделе 5 рассматривается вопрос об определении фигурирующих в теории материальных констант. Кроме тех, которые находятся из диаграммы одноосного растяжения, необходимо знать еще две: прочность бездефектного материала и поверхностную вязкость разрушения Ки. Непосредственное измерение в данном случае вряд ли возможно, и поэтому для их определения следует использовать данные экспериментов по определению вязкости разрушения Л'|Г и порогового коэффициента интенсивности напряжений Л',А.

Шестой раздел посвящен анализу перспектив развития теории. Разработанная в диссертации теория позволяет дать количественное описание зарождения трещины. Схема построения математической модели данного явления, такова. На рис.6 изображена растягиваемая на бесконечности полуплоскость с концентратором напряжений радиусом Д. Рассмотрим вначале случай квазистатического приложения нагрузки. Начиная с некоторого значения р0, в окрестности концентратора образуется зона пластических деформаций, которая с дальнейшим ростом р увеличивается. Максимальная интенсивность деформаций будет в точке А, лежащей на граничном контуре. С увеличением нагрузки возрастает значение параметра Одквиста в этой точке до тех пор, пока не достигнет предельной величины с 1. После этого пластическое деформирование в точке А прекращается. С дальнейшим ростом нагрузки вокруг точки А образуется упруго деформирующееся ядро, в котором дислокации заторможены. Напряжения в этом ядре, которое с ростом нагрузки расширяется, возрастают с увеличением р, и наконец при некотором значении р = р, напряжение а12 достигает величины прочности бездефектного материала С этого момента начинает образовываться трещина - сильный разрыв ноля перемещений. По мере роста нагрузки трещина растет от Точки А в глубь материала. Ее кромки пришиваются друг к другу -силами сцепления так, что обеспечивается конечность напряжений в ее кончике. На этом этапе тренинга обратима, и при снятии ширузки'она может бесследно исчезнуть (залечиться). Но если длина трещины превысит максимально возможную длину концевой области 6\, в теле образуется уже собственно трещина, не исчетющая и после снятия нагрузки. Дальнейший анализ ее роста описан в предыдущих разделах.

Механизм образования трещины при циклическом нагружении тот же: в окрестной ш концешрагора образуется пластическая зона, в которой пластические деформации либо знакопеременны, либо возрастают с каждым циклом за счет циклического разупрочнения. В обоих случаях параметр Одквиста от цикла к циклу увеличивается до тех нор, пока не достигнет предельной величины После зюы) окрестность точки А начинает деформироваться упруго. Зона, I конурой вошожноегь пластическою деформирования исчерпана, с число!*

циклов будет возрастать, вследствие чего напряжения в точке А будут увеличиваться. Если концентратор достаточно острый, напряжение хтп достигнет величины Ом и образуется трещина так, как это описано выше. В случае усталостного нагружения в качестве концентраторов могут рассматриваться также поверхностные дефекты и дефекты структуры материала.

В приложении 1 рассмотрены конечные деформации упругопласгического материала, записаны соотношения, используемые в разделе 2 (в автореферате, ради простоты, приведены формулы только для малых деформаций).

В приложении 2 дан анализ уравнения энергетического батанса движущегося объема применительно к выводу соотношений, рассматриваемых в разделе 2.'

В приложении 3 изучается распределение сил сцепления в окрестности конника трещины в случае зависимости их величины от раскрытия трещины.

Приложение 4 содержит описание численного метода вычисления напряжении в точках плоскости от действия начальных напряжений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. На основе физических представлений, главным из которых является представление о нелокальности разрушения на микроуровне, построена математическая модель трещины.'Предполагается, что трещина состоит из двух областей: собственно трещины, которая не исчезает при нулевой нагрузке, и обратимой концевой области. Кромки трещины в пределах концевой области притягиваются друг к другу. Силы взаимодействии кромок - силы сцепления и внешняя нагрузка связаны условием уничтожения особенностей напряженно-деформированного состояния: напряжения и деформации в кончике трещины конечны.

2. Проведен термодинамический анализ условий роста трещины без учета и с учетом сил сцепления; установлены условия эквивалентности обоих подходов. Получен энергетический критерий роста трещины для упомянутой выше модели.

3. Показано, что пои действии сил- сцепления равновесие трещины в упру-гопластнческой среде возможно, только если пластическое деформирование материала ограничено. В качестве меры пластических деформаций принят па' раметр Одквиста. Его. максимально допустимое значение считается постоянной

материала.

4. Разработан метод расчета движения трещины в упругопластичесюй среде в предположении, что влияние внешней нагрузки на напряженное cocrountié окрестности кончика трещины проявляется только в пеличинс коэффициента интенсивности напряжений. При этом возможно разделение нсмнпюй упруц>-

пластической краевой задачи на две последовательно решаемые задачи: внутреннюю - задачу о плоскости с полубесконечной трещиной, и внешнюю, в которой учитывается влияние формы и размеров сечения. Внутренняя задача -это задача о росте полубесконечной трещины в упругопластпческой плоскости. Ее решение, в силу конечности напряжений в кончике трещины, строится методом упругих решений Ильюшина. Внешняя задача сводится к совокупности двух.задач линейной механики разрушения для плоской односвязной области с краевой трещиной.

5. Разработан численный метод решения задачи линейной механики-разрушения для плоской односвязной области с краевой трещиной. Поперечное сечение тела, содержащего трещину, конформно отображается на область, в которой комплексные потенциалы голоморфны всюду, включая кончик трещины. Их определение сводится к решению граничного интегрального уравнения типа Мусхелишвили. Построен алгоритм численного решения этого уравнения, и получены решения ряда задач для конечных и бесконечных областей.

6. Получены численные решения внутренней задачи для монотонно возрастающей нагрузки. Показано, что с ростом трещины коэффициент интенсивности напряжений от действия внешней нагрузки стремится к "пределу - вязкости разрушения. Рассчитанные значения эгой величины согласуются с экспериментальными данными.

7. Найдены решения внутренней задачи для циклически прикладываемой нагрузки, моделирующие усталостный рост трещины. Расчеты показывают, что приращение длины трещины ог цикла к циклу обусловлено тем, что пластическое деформирование происходит не только при увеличении нагрузки, но и при ее уменьшении за счет того, что кончик трещины движется в обратном направлении. Закрытие трещины при разгрузке и существование порогового коэффициента интенсивности напряжений - известные из эксперимента эффекты - моделируются разработанной теорией. Расчетные зависимости, скорости роста усталостной трещины от амплиту ды коэффициента интенсивности напряжений от внешней нагрузки согласуются с найденными экспериментально. Уставов- -лена совокупность материальных констант, управляющих ростом усталостной трещины.

8. Проведены расчеты, имеющие целью изучить влияние формы и размеров сечения на кивихрупкнй рост трещины. Показано, что в задачах о квазихрупком росте трещины этим влиянием можно пренебречь, что позволяет рассматривать, в соответствии с гипотезой квазихрупкого разрушения Ирвина-Орована, вязкость разрушения как материальную константу.

9. Проанализирован случай вязкого роста трещины при монотонном на-гружении, когда влияние внешней нагрузки на напряженно-деформированное состояние окрестности кончика трещины не сводится к величине коэффициента интенсивности напряжений. Усовершенствован, с использованием решения

упомянутой внутренней задачи, разработанный ранее приближенный конечно-элементный метод решения задачи о вязком росте трещины.

10. Показана применимость разработанной теории к аналшу зарождения трещины в процессе нагружения. Образование трещины п упругоппастпческой среде возможно только тогда, когда параметр Одквнста достигнет предельного значения, а максимальное главное напряжение - величины прочности бездефектного материала.

Наиболее важные результаты исследований и защищаемые положения отражены в следующих публикациях:

1. Лавит И.М., Толоконников JI.A. Силы сцепления и J-mneipaji//Изв. Сев,-

Кавказского науч. центра высш. школы. Естественные науки. 1085. Ks 1. С.28-30. •

2. Лавит И.М. Об устойчивом росте трещины'в упруго-пластическом материале//Проблемы прочности. 1988. №7.С.18-23.

3. Лавит U.M., Толоконников Л.А. Термоупругопластнческая задача механики разрушения для полого цилиндра с внутренними трещинами П Прикл. проблемы прочности и пластичности. Методы решения. Горький: Изд-во Горь-ковского ун-та. 1990. С.55-60.

4. Лавит U.M. Граничное интегральное уравнение для тела с поверхностной трещиной // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: ТулГТУ, 1993. С.№9-113.

5. Лавит И.М. Граничное интегральное уравнение для криволинейной краевой трещины // ПММ. 1994. Т.58. Вып. 1. С. 1-16-154.

6. Лавит ИМ. Силы сцепления в механике разрушения // Изв. Тульского гос. университета. Математика, механика, информатика, 1995. Т.1. Вып.2. С. 8089.

7. Лавит И.М, Толоконников Л.А. Исследование роста трещины в упруго -пластическом материале // Труды IX Конференции по прочности и пластичности. Т.1. М: БИ, 1996. С. 114-119.

8. Лавит U.M., Толоконников Л.А. Распределение сил сцепления в окрестноеги вершины трещины // Изв. Тульского гос. университета. Математика, механика, информатика. 1996. Т.2. Вып.2. С. 59-66.

9. Lavit I.M. Conception of cohesive forces in nonlinear fracture mechanics // Proceedings of the Eleventh Biennial European Conieience on Fracture ECF 11, Poitiers, Futuroscope, France, September 3-6, 1996. Wat ley, U.K.: F.MAS, 1996.

10. Лавит И.М. Математическая модель квпистатического роста трещины в упругопласгической среде. I. Исходные допущения и постановка краевых задач // Изв. Тульского гос. университета, Математика, механика, информатика. 1997. Т.З. Вып.1. С. 118-123.

И. Лавит И.М. Математическая модель квазистатического роста трещины в упругогшастической среде. 2. Вычислительный алгоритм и результаты расчетов // Изв. Тульского гос. университета. Математика, механика, информатика. 1997. Т.З. ВыпД. С. 124-129.

12. Лавит Ü.M., Покровский Ю.Ю., Толоконников Л.А. К теории резания квазихрупких материалов // Проблемы прочности. 1997. № 5. С.30-34.

13. Лавит ИМ., Толоконников Л.А. Малоцикловая усталость полых цилиндров, нагруженных внутренним давлением И Изв. Тульского гос. университета. Проблемы специального машиностроения. 1997. ВыпД. С.124-128.

Автор благодарен проф. Л.А.Толокошшкову (1923-1998) за внимание к работе, полезные обсуждения результатов и моральную поддержку.

F

О / i i А i в г

Рис. 2

Рис.3

Рис. 6

Надшюшо» печать ' Л '¿.Формат бумаги 60хШ Ш6. Бумага типографская Л4 2 Офсетная уит, Усл. кеч. л. ¡/ . Усл. кр.-оп. , . Уч. и>д л. /У

Тираж {-О жх Заказ -¡[¿, . " '

Тульски» тосуаарстценный университет. 300600, г. Тула, ир. Ленина, 92. Рмакимоино- издательский центр Тульского »осударсменнаго университета. 300600, г. Тула, ул. Еолдина, 151

- '"7 У ,Л ,0 / /

Тульский государственный университет

На правах рукописи

Лавит Игорь Михайлович

МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ ТРЕЩИНЫ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация

на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Президиум ВАК России

(решение19^№^

присудил ученую степень,

наук

Начальник управления ВАК России

¿л

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор Л.А.Толоконников

Тула -1998

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................6

1. ПРОБЛЕМА МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА РОСТА ТРЕЩИНЫ МЕТОДАМИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО

ТЕЛА.......................................................................................................9

1.1. ГЕНЕЗИС И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ.................9

1.2. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ ТЕОРИИ И ОБЛАСТЬ ЕЕ

ПРИМЕНЕНИЯ.....................................................................................27

ЛИТЕРАТУРА.......................................................................................33

2. ИСХОДНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ И ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.....38

2.1. КЛАСС РЕШАЕМЫХ ЗАДАЧ...............................................................38

2.2. РОСТ ТРЕЩИНЫ................................................................................42

2.2.1. Трещина как физический и механический объект.........................42

2.2.2. Механическая модель трещины.....................................................52

2.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ КВАЗИСТАТИЧЕСКОГО РОСТА ТРЕЩИНЫ............................................................................................58

2.3.1. Анализ без учета сил сцепления....................................................58

2.3.2. Анализ с учетом сил сцепления......................................................77

2.4. ДЕФОРМИРОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ КОНЧИКА ТРЕЩИНЫ.........87

2.5. ПОСТУЛАТЫ ТЕОРИИ.......................................................................93

2.5.1. Общие замечания............................................................................93

2.5.2. Класс решаемых задач....................................................................93

2.5.3. Свойства сил сцепления.................................................................94

2.5.4. Свойства концевой области............................................................94

ЛИТЕРАТУРА.......................................................................................96

3. МЕТОД РАСЧЕТА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОКРЕСТНОСТИ КОНЧИКА ТРЕЩИНЫ...........................................101

3.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ........................................................101

3.2. ЗАКОН СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СИЛ СЦЕПЛЕНИЯ...............................106

3.3. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ....................................................109

3.4. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УПРУГО ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ..........112

3.5. КРИТЕРИЙ РОСТА ТРЕЩИНЫ........................................................120

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................123

4. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ..............................................................125

4.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ....................................................................125

4.2. ГРАНИЧНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ.................................127

4.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ.................130

4.4. РАЗРЕШИМОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ......................130

4.5. ВЫБОР ЗАДАВАЕМЫХ ФУНКЦИЙ..................................................133

4.5.1. Конечная область..........................................................................133

4.5.2. Бесконечная область.....................................................................133

4.6. АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ...........................................136

4.7. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА........................................................................138

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................143

5. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ................................................................146

5.1. КВАЗИХРУПКИЙ РОСТ ТРЕЩИНЫ.................................................146

5.1.1. Монотонное нагружение................................................................146

5.1.2. Циклическое нагружение...............................................................153

5.1.3. Учет конечности сечения...............................................................155

5.2. ВЯЗКИЙ РОСТ ТРЕЩИНЫ...............................................................159

5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНСТАНТ МАТЕРИАЛА......................................165

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................166

6. НАПРАВЛЕНИЕ ДАЛЬНЕЙШИХ ИССЛЕДОВАНИЙ.........................186

6.1. ОБСУЖДЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.............................186

6.2. ЗАРОЖДЕНИЕ ТРЕЩИНЫ...............................................................192

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................197

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................198

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.........................................198

БЛАГОДАРНОСТИ.............................................................................201

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА.......................................202

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................211

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА

ДВИЖУЩЕГОСЯ ОБЪЕМА..............................................................212

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................215

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ СЦЕПЛЕНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ В СЛУЧАЕ ЗАВИСИМОСТИ

ИХ ВЕЛИЧИНЫ ОТ РАСКРЫТИЯ ТРЕЩИНЫ.................................216

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................222

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛОСКОСТИ И НАГРУЗОК НА КРОМКИ ТРЕЩИНЫ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ

ДЕЙСТВИЕМ НАЧАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ...................................223

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................232

ВВЕДЕНИЕ

Процесс разрушения имеет два аспекта: микроскопический, в котором разрушение предстает как разрыв межмолекулярных связей, и макроскопический, в котором оно проявляет себя в увеличении граничной поверхности тела без заметного деформирования последнего. В соответствии с этим физика разрушения изучает явление разрушения на микроуровне, рассматривая его как изменение характера взаимодействия точечных материальных частиц, а механика разрушения - на макроуровне, интерпретируя его как рост трещины. Между обоими описаниями, несомненно, есть связь, и эта связь, согласно общим представлениям механики, должна устанавливаться через макрохарактеристики статистического ансамбля микрочастиц. Главной из этих характеристик является энергия, и именно благодаря тому, что в лежащем в основе механики разрушения критерии Гриффитса используется понятие энергии, идущей на увеличение поверхности тела, - энергии разрушения, методами механики разрушения удается успешно прогнозировать уровень разрушающих нагрузок для очень широкого диапазона изменения геометрических и силовых параметров деформирования твердых тел.

Механика разрушения дает адекватное математическое описание распространения трещин в хрупких материалах. Но приложение теории к материалам, способным деформироваться пластически, например, к типичным металлам и металлическим сплавам1, требует модификации критерия Гриффитса. Модифицированные теории: механика квазихрупкого разрушения, нелинейная механика разрушения - дают согласующиеся с экспериментом предсказания усло-

1 Ниже везде под пластичностью подразумевается пластичность только этих материалов.

вий старта трещины. Однако построить математические модели устойчивого роста трещины в упругопластической среде (модель вязкого разрушения) и усталостного роста трещины в рамках этих теорий не удается. Поэтому в настоящее время ведутся исследования, имеющие целью создание теорий указанных процессов. Вариант такой теории представлен в настоящей диссертации. В нем предполагается, что и вязкое (упругопластическое) разрушение, и усталостный рост трещины характеризуются единым критерием - энергетическим критерием Гриффитса. Другим основанием теории является теория сил сцепления Ба-ренблатта, позволяющая применить к решению упругопластических задач механики трещин метод упругих решений Ильюшина. Приложение теории предполагает использование численных методов линейной механики разрушения. Один из таких методов разработан при проведении данного исследования. Вычислительные алгоритмы доведены до компьютерных реализаций. Результаты численных расчетов дают возможность сопоставить теоретические данные с экспериментальными. Несмотря на то, что в расчетах использовались наиболее простые соотношения, указанное сопоставление свидетельствует об адекватном математическом моделировании теорией роста трещины в упругопластической среде.

В первом разделе диссертации дается общий анализ проблемы моделирования процесса роста трещины методами механики деформируемого твердого тела. Сформулирована цель и показана актуальность исследования, отмечена его научная новизна, рассмотрены достоверность полученных результатов и их практическая ценность. Второй раздел посвящен исходным допущениям (постулатам) и постановке краевых задач. Значительное место занимает в нем термодинамический анализ процесса роста трещины. Третий раздел содержит описание метода расчета параметров упругопластического деформирования окрестности кончика квазистатически распространяющейся трещины. В четвертом разделе

изложен численный метод решения краевых задач линейной механики разрушения, представляющий собой составную часть математической модели роста трещины в упругопластической среде. В пятом разделе приведены наиболее важные результаты численных расчетов и данные по сопоставлению их с экспериментами. Шестой раздел посвящен анализу полученных результатов и перспектив дальнейшего развития теории.

1. ПРОБЛЕМА МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА РОСТА ТРЕЩИНЫ МЕТОДАМИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО

ТВЕРДОГО ТЕЛА

1.1. ГЕНЕЗИС И СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

Разрушение на макроуровне представляет собой процесс катастрофического развития трещины - и поэтому усилия исследователей прочности материалов, начиная с пионерской работы Гриффитса [1], направлены на поиски адекватных математических формулировок условий образования и роста трещин. К настоящему времени эта проблема полностью не решена, хотя достигнутые результаты достаточны для решения многих прикладных задач [2-4].

Процесс развития трещины состоит из нескольких этапов. Первый из них, ее зарождение в значительной степени определяется неоднородностью и дефектами структуры материала. Второй этап - это развитие трещины до размеров, когда указанные факторы перестают влиять на ее дальнейший рост. Можно говорить о трещине на первых двух этапах роста как о микротрещине, а на дальнейших - как о макротрещине. Третий этап развития трещины - квазистатический рост, и наконец четвертый, заключительный этап - лавинообразный рост (долом), завершающийся обычно разделением тела на части - разрушением. Тело, содержащее трещину, сопротивляется нагрузке до наступления долома, который протекает при постоянном или уменьшающемся усилии в течение очень короткого промежутка времени. Таким образом, начало долома можно рассматривать как момент исчерпания прочности тела, определяемой как его способность сопротивляться нагрузке не разрушаясь. Вследствие этого с практической точки зрения наибольшее значение имеет формулировка критерия

перехода от третьего этапа развития трещины к четвертому. Такой критерий, представляющий собой критерий прочности тела, формируется в итоге исследования третьего этапа развития трещины. Поэтому главным направлением механики разрушения является изучение именно этого этапа.

Многообразие трещин, встречающихся в твердых телах и отличных друг от друга формой, размерами, расположением в теле, а также способностью влиять друг на друга, приводит к многообразию постановок задач физики и механики трещин. В данной работе, предметом которой является изучение механических условий роста трещин, рассматривается только один класс таких задач - наиболее важный с точки зрения оценки прочности тела и наиболее экспериментально исследованный - задачи об условиях роста изолированных прямолинейных поверхностных трещин нормального отрыва в плоскодеформированных телах, находящихся под действием поверхностных нагрузок. Все геометрические особенности задачи данного класса демонстрирует чертеж поперечного сечения тела плоскостью, на котором фронт трещины вырождается в точку - кончик (вершину, устье) трещины. Сама трещина на этом чертеже представляется отрезком, длина которого называется длиной трещины. Рост трещины в данном случае - это просто ее удлинение.

Основные положения (постулаты) механики разрушения сформулированы Гриффитсом [1]. Первый из них устанавливает, что трещину можно рассматривать как не имеющий ширины разрез («математический» разрез) в сплошной среде, кромки которого не взаимодействуют. Второй утверждает, что трещины могут существовать в теле и в естественном состоянии, при отсутствии напряжений и деформаций. Следующий постулат представляет собой условие роста трещины: трещина растет в том и только в том случае, когда производная потенциальной энергии тела по длине трещины (времениподобному параметру

при квазистатическом росте трещины) становится равной (по модулю) удельной поверхностной энергии' - прочностной константе материала. Это условие (критерий Гриффитса) имеет ясную термодинамическую интерпретацию: высвобождающаяся при продвижении трещины упругая энергия идет на образование новой поверхности - приращения граничных поверхностей трещины. Далее, материал предполагается однородным, так как рассматривается третий этап роста трещины, и кроме того, изотропным и линейно упругим. Критерий Гриффитса выполняется (при определенной нагрузке) для трещин, длина которых не меньше некоторой вычисляемой величины, которая называется критической длиной трещины. Если длина трещины меньше критической, то такая трещина, согласно теории Гриффитса, должна покоиться. Однако экспериментально наблюдаются случаи роста трещин при длине, меньше критической. Такой рост трещины, называемый докритическим, может вызываться либо процессами, протекающими на молекулярном уровне, либо ползучестью, химическими воздействиями, циклически прикладываемой нагрузкой и др.

Теория, построенная на постулатах Гриффитса, - линейная механика разрушения дает согласующиеся с экспериментом оценки прочности тел из хрупких материалов, деформации которых малы и упруги вплоть до разрушения. Поэтому линейную механику разрушения можно рассматривать как механику хрупкого разрушения. Хотя в постулатах Гриффитса и не содержится условие перехода от третьего этапа роста трещины к четвертому, оно естественно из них следует как условие потери устойчивости роста трещины. Трещина растет устойчиво, если бесконечно малому приращению ее длины соответствует бес конечно малое приращение нагрузки. Квазистатический рост трещины может

1 Ниже везде под удельной поверхностной энергией подразумевается ее удвоенное значение.

реализовываться только как устойчивый, поэтому момент потери устойчивости квазистатического роста трещины суть начало долома.

Построение механики разрушения тел, материал которых способен пластически деформироваться, достигается модификацией основных положений теории Гриффитса. Важный шаг был сделан Ирвином [5] и Орованом [6], предложившими теорию квазихрупкого разрушения, то есть разрушения тел из пластичных материалов, практически ничем не отличающегося от разрушения тел из хрупких материалов. Согласно этой теории, высвобождающаяся при продвижении трещины потенциальная энергия идет не только на образование новой поверхности - приращения граничных поверхностей трещины, но и на преодоление сопротивления пластическому деформированию окрестности движущегося кончика трещины. Предполагается, что рассеивающаяся при этом энергия, приходящаяся на единицу приращения длины трещины, так же, как и удельная поверхностная энергия, является константой материала. Сумма этих двух констант, эффективная удельная поверхностная энергия заменяет удельную поверхностную энергию в критерии Гриффитса. Все остальные исходные положения теории Гриффитса остаются без изменения. Таким образом, линейная механика разрушения оказывается не только механикой хрупкого разрушения, но и механикой квазихрупкого разрушения.

Чтобы выполнялся постулат Ирвина-Орована и разрушение было бы квазихрупким, необходимо, чтобы пластическая зона, окружающая кончик трещины и перемещающаяся вместе с ним, была бы мала по сравнению с длиной трещины и размерами тела. В случае достаточно пластичных материалов, таких, как металлы, это требование представляет собой серьезное ограничение и выполняется не всегда.

Дальнейшие модификации теории имеют целью снять упомянутое ограничение и смоделировать тем самым вязкое разрушение, то есть разрушение, сопровождаемое заметным пластическим деформированием. Можно предположить, что наряду с малой зоной сильнодеформированного материала, которая перемещается вместе с кончиком трещины и вносит определяющий вклад в эффективную удельную поверхностную энергию, в теле может существовать достаточно обширная зона умеренных пластических деформаций. Такое предположение эквивалентно отказу от постулата о линейно упругом поведении материала при сохранении остальных постулатов линейной механики разрушения. Это кажущееся небольшим изменение теории таково только на первый взгляд. Дело в том, что в кончике трещины при линейно упругом де�