Напряженное состояние и предельное равновесие пологих оболочек с поверхностными и сквозными трещинами с учетом пластических деформаций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

$й 0$ З'Д

ЛКАДЕЛ\ИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ И МАТЕМАТИКИ им. Я. С. ПОДСТРИГАЧА

На правах рукописи

М А С Е Л К О Татьяна Евгеньевна

УДК 539.3

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ПРЕДЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ПОВЕРХНОСТНЫМИ И СКВОЗНЫМИ ТРЕЩИНАМИ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Специальность — 01.02.04 механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Львов — 1992

Работа выполнена в Институте прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача АН Украины.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор физ.-мат. наук, профессор В. А. Осадчук.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Л. А. Фильштинский, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

М. В. Хай.

■ ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Львовский государственный университет им. И. Франко.

Защита состоится Й: » . . . . 1992 г. в 15.00 часов

на заседашш специализированного совета К 016.59. 01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук и кандидата технических наук в Институте прикладных проблем механики и математики им. Я- С. Подстригача АН Украины (г. Львов, ул. Научная, 3 «Б»),

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача АН Украины (г. Львов, ул. Научная, 3 «Б»),

Отзывы на автореферат просим направлять но адресу: 290053, ГСП, г. Львов-53, ул. Научная, 3 «Б». Ученому секретарю специализированного совета.

Автореферат разослан > ^ЧЛ^^А- . . 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета

П. Р. ШЕВЧУК

шдая ХЙРАШЕРКСШКА РАБОТЫ

"т •.< > Актуальность проблемы. Для конструкций» испытывающих, в основном, воздействие статических нагрузок, ёктуйльной задачей в проблеме повышения их надежности становится 'исключение преждевременного вязкого разрушения, особенно в таких ответственных сооружениях и изделиях, . какими являются магистральные газопроводы и сосуды высокого давления. Их работоспособность во многих случаях определяется наличием остроконечных концентраторов напряжений типа трещин. Поэтому исследования напряженно-дефорлированного состояния оболочек с трещинами при упругстшшстичесЕом поведении материала представляет: большой практический интерес. Поиски ф®ей повышения прочности и надежности . оболочечных элементов, оптимального выбора конструкционных прорезей в оболочках придал? этой проблеме особуэ актуальность.

Вопросам напряженного состояния упругих оболочек с трещинаш посвящено больаое количество работ советскими зарубежных авторов. Обзор литературы по этим вопросам\содергятся в ыоногргфпях З.В.Пана-свка, М.И.Севрука, А.ПЛащдвш; Н.П.Саврука; В.А.Осадчука; обзорных . статьях Париса, Си; Да. Симмеедса, Да.Школьссна; Д .Бергера; Д^Оидьштинскцго; ВЛ.Осадпука, Я.С«Подетрягвча.

.Экспериментальными я теоретическим! исследованиями установлено,. что в .условиях плоского яшряаенного состояния пгастзческае деформации, развивающиеся в охфестноста веретн трещин, локализуйся в некоторых слоях весьма калой толщины по сравнения с пх протяженность!) •

Поскольку рассмотрение, упругопластнческах задач для тез с трещинами в строгой классической постановке, когда соткияио растится .две систекы уравнений (одра в упругой сбхзстл, а другая — з пластической -при неизвестном ягагтуре, розделящеа дярдвв области), встречает значительные трудности, •»угоупттагя» уц»яу»н».».н»

модели, согласуются с экспериментальный! данными. Так, применительно к тонкостенным элемента!! конструкций, разрушении которые предшествует развитие значительных зон пластических деформаций,

Исследованию влияния пластического ^^йыироБания на напря-ценное состояние пластин с трещлнами посвяцзны работы ll.fi.Леонова, П.М.Витвицкого, С.Я.Яреш, Е.М.Морозова, Ы.П.Саврука, И.В.Прокоп- ; чука, Райса,.1еш и других авторов.

Задачи о напряженном состоянии оболочек с трещшама с учетом пластических деформаций, в рамках аналога ¿/с -модели являются более трудным!. В работах 5.Эрдогана, М.Ратваки; В.А.Осадчука, В.И.Ки-

рьянг, Ы.М.Нлкедисина решены задачи о напряженном состоянии оболочек из идеально упрутопластического материала с одиночная! трещ!-наки. В работе Зрдогана, Дилайяа проведено обобщение упругопласта-ческой модели трецины Дагдейла на случай несквозной трещины больной глубины. В указанных работах не изучалось взаимное влияние трещин ., влияние неравномерности распределения напряжений в концевой зоне треяршы.

Таким образом, исследования . влияния пластического депортирования на напрятанное состояние и предельное равновесие оболочек с трещина*!:-: наряду с практическим представляет теоретический интерес.

Цельд настоящей работа является развитие методики определения напряаекно-двформнрованного состояния и предельного равновесия пологих оболочек со сквозными и поверхностными трещинами с учетом пластического деформирования; исследование влияния взаимодействия трещин, упругой среды, упрочнения материала оболочки, геометрических и физико-механических параметров на предельно равновесное состояние оболочки. " '

Научная новизна работы состоит в следующем: - развита методика сведения к системам сингулярных интегральных уравнений задач с капрязенно-д сформированном состоянии пологих

о

оболочек со сквоэныкз и поверхности^ тразшая с учете:! пластического дсфорияровгЕил;

- получено аналитическое и численное регение систем негшейных сингулярных интегральных уравнений;

- дай пологой сферической оболочки исследовано влияние изменения сопротивления упругого основания, упрбчненкя материала оболочки, длпнн тресты на вел гашу раскрытая тресты и длину пластических зон;- исследовано взаимодействие двух кодлннеарннх грег^н з сферической оболочке при их сбясЕекки;

- для пологах оболочек с поверхностшагя тре^п 121:1 определен характер разрупекия (остановка яла переход в нестабильное состояние после возникновения сквозной трещшы) в зависимости от глубина трег?жы.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгости) постановки задач л аатенатичесплс кетодов,- прпкпгт&зт при сведении задач к систеьгам сингулярных пктегралышх уравнений; применением для селения систем сингулярных пнтегралькаг уравнений теоретически обоснованных численных катодоз; сопоставлением некоторых частных регеккй е. известными в .литературе, пкзучегваса другпгл иетодага. Р

. Практическая ценность работа. Получеяннэ результаты позволяет оценить влияние различных факторез т прочность я дефорпгпв- ■ ность обол очечных элементов конструп?«15 с дефектами тпш'трЕ^н с учетом пластических деформаций; сделать прятлчссше-'ргзгзрз трел?шоподобных дефектов ила кр-гтлческуз нагрузку з ствстстветгз сооружениях.

Результаты исследовании нащзягенно-д^орстрсванного ссетоя-кня и предельного равновесия пологах оболочек- с ^грег^згл с уче-"' том пластического деформирования^ которые проводилась з ража

о

отдельного задания межотраслевого научно-технического комплекса "Институт электросварки им. Е.О.Патона", используются в ИЭС вн. Е.0.Патсна АН Украины при разработке расчетного метода оценки несущей способности элементов сварных конструкций' со сквозны-ки и поверхностными дефектами при статической нагрузке.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на X конференции молодых ученых Института прикладных проблем механики и математики АН УССР (Львов, 1984); на I районной конференции молодых ученых и специалистов "Проблемы повышения-качества материалов, приборов и оборудования* (Львов, 1984); на Ш Всесоюзном совещании-семинаре молодых ученых "Актуальные проблемы .механики оболочек* (Казань, 1988); на Ш Всесоюзном симпозиуме со механике разрушения (Еитоадр, 1990); на Ш Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур (Львов, 1991). .

В целом работа обсуждалась на семинаре по механике деформируемого твердого тела Института прикладных проблем механики и мате-капля им. Я.С.Додст£игача М Украины и на семинаре отдела меха» нивн неоднородных тел ИШММ им. Я .С . Подстригача АН Украины

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 научных работ.

Обьем работы. Диссертационная работа состоит-из шести глав (в тон числе введения и заключения), списка использованной литературы, включавдего 98 наименований, а также приложения, в кото- ' ром представлена справка об использовании результатов работа. Общий обьем диссертации 120 страниц, включая 16 рисунков-.

ССЩЕРЖАШЕ ДИССЕРТАЦИЙ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы ис— следова ий, дач анализ современного состояния проблемы. Изложена цель работы, сформулированы основные положения и результаты, ко-торте выносятся на защиту, дано краткое содержание диссертации

по глава«. '

Во второй главе излокены основгае положения и используеше в дальнейшем соотношения теории пологих оболочек с собственными напряжениями, полученные в работах Я.С.Подстрлгача и В.А.Осадчука.

Дана постановка и способ сведения к системе сингулярных интегральных уравнений -задачи об определении напряженно-деформированного состояния пологой идеально упругопласютескоЯ оболочки, ослабленной прямолинейной в плане трещиной длиной . При ■ зто:л предполагается, что берега трещины, находятся под действием самоуразно-вешенной нагрузки и в процессе дефорлации оболочки не контактируют между собой, а напряженное состояние оболочки симметрично относительно лиши трещины.

В соответствии с -моделью пластические зоны впереди трещины, возникающие в процессе нагрукешя оболочки, заменяем лггшзг-П! разрыва упругих смещений и углов поворота, на которых нормальное усилие // и изглбаащий момент /Ц дожни удовлетворять условие пластичности. В качестве такого условия монно принять условие пластичности Треска

■ и*6? - .

или условие пластического париира

! 2Ш А*бг

где - предел текучести.

Таким образом, в рамках принятой модели пластические деформации впереди трещины длиной йво учитываются путем введения в рассмотрение новой трещины длиной , на берегах которой действует нагрузка вэда *

^ (ш -W*), а

Здесь ¿=£0 + £р » ¿р - длина пластической зоны впереди трещины; fjj- , - усилие и моменту приложенные к берегам трещины;

¡Ctl^- ¿о ! fJz • Мх ~ усилие и момент на линии трещины в оболочке без трещины; // , /4 - неизвестные усилие и момент, действующие в пластической области.

Задача определения напряженного' состояния рассматриваемой оболочки с трещиной длиной приводится к системе сингулярных интегральных уравнений

е

/

pesereie которой должно удовлетворять условиям неразрывности перемещений и углов поворота в вершинах трещина L

(5)

Здесь /

с1с » - параметры, характеризующие геометрию оболочки; 3/1

и £ - соответственно толщина оболочки и радиус срединной поверхности; '¡Сс{1<£'0 - непрерывные для всего множества действительных

значений £е л £ функция-

Решение система (4) усложняется тем, что в интегральных уравнениях неизвестны границы интегрирования (длина пластических зон), усилие М и момент М , действующие'в пластических зонах, а также тем, что. правые части уравнений - разрывные функции. Присоединив я системе (4) условие пластичности (I) или (2), и условие ограниченности усилий и моментов в конце пластической зоны

получим полную систему уравнений для определения неизвестных неличин.

Третья глава посвящена исследовании предельяо-рзшовесяого со- • стояния пологих оболочек со сотознкш трещинами с учетом пвас^гчес-ких деформаций.

Рассмотрена изготовленная из идеально упругопластического ?:ате-рнала сферическая оболочка с иеридиальной прямолинейной в плсгэ' трэ-щиной. Оболочка находится под деЯстслеи растягивающих усилий, а ьз-рега трещины свободны от нагрузки. На основании результатов предыдущей главы задача сведена к системе нелинейных сингулярных интегральных уравнений.. Предложена методика решения такой систсма ураз-нений и построено аналитическое решение этой система в езде рада по степеням параметра Д. , характеризующего относительную д.~и:у трэ-щгшы:

I £ , (Н'З) (7)

где еД ■

Раскрытое трещины определялось через скачка перемещений п углов поворота по формуле: '

+г£&ЛС<х)7 ' - >8) '

где 2 - расстояние от срединной поверхности оболочки по нерпля

' ' • *

• V

К ней. ■

Соотношение (8) при замене в нем величины значением критического раскрытия трещины <5/с . переходит в критериальное уравнение, устанавливающее связь ыегду приложенной нагрузкой, дайной трещины, физико-механическими и геометрическими параметрами оболочки в условиях предельно-равновесного состояния.

Проведен численный анализ зависимости относительной длины пластической зоны и раскрытия вершины трещины от кривизны оболочки и величины нагрузки. Полученнйе результаты сравнивались с соответствующими результатами для пластины, ослабленной трещиной.

В этой же главе исследовано взаимодействие двух.коллинеарных трещин в сферической оболочке. Задача по аналогии с предыдущим сведена к системе сингулярных интегральных уравнений. Предложен алгоритм численного решения этой системы совместно с условием пластичности и условиями (6). Из-за разрывности правых частей системы (4) решение ищем в виде:

У}(и)~ 1с {¿I) + £/¿7, ; {¿-¿Ю _ (9)

где /[¿(и)- решение системы

удовлетворяющее условиям .

-1

Тогда функции /у/#/ являются решением системы интегральных уравнений с непрерывными правыми частями 4.

2 ш} & + ¿^¿[¿(а^иа --% е*>.

х <3) (И)

с условиями ^ Рс[и)с1а - О,

-I о

ГДв {«£

Воспользовавшись формулами обращения интеграла типа Кош, ищем решение системы (10) в аналитическом виде. Решение системы (II) строим с помощью обобщенного метода механических квадратур.

В случае симметричной относительно линии расположения трещин нагрузки исследовано изменение раскрытия внешних и внутренних вершин трещин в зависимости от расстояния между трещинами.

В этой же главе рассмотрено предельное равновесие цилиндрической оболочки, ослабленной продольной трещиной. Как и для сферической оболочки, задача приведена к системе интегральных уравнений, которая решена аналитически с помощью метода малого параметра. Проведен численный анализ раскрытия вершины трепли для оболочки под дейстшем растягивающих усилий. При этом определялось на внешней ( ^-А, ), внутренней (

) и срединной поверхностях оболочки. При рассматриваемой нагрузке отклонения раскрытий на поверхностях оболочки от раскрытия на срединной поверхности пренебреяимо

' " "О

малы. Исследовано влияние геометрических и физико-механических параметров на длину пластической зоны и раскрытие вершины трещины.

В четвертой главе предложенная методика использована для определения раскрытия несквозных трещан в пологих оболочках. Предпола- '

е

гается, что поведение материала, нагрузка и размера трещины такие, что пластические деформации развиваются узкой полосой по всей толщине оболочки в некоторой окрестности трещины. При этом на продолжении трещины по ее глубине мембранные напряжения постоянны и равны пределу текучести материала, а в пластических зонгх впереди трещины при ёс<1я!с£ действуют постоянные нормальное усилие Л' и изгибающий момент М . Величины , Ж , // - неиэвест-

ные.

Используя аналог -«одели, пластические зоны -заменяем линиями разрыва упругих смещений и углов поворота, на которых действуют напряаение. , усилие М и ггамснт М . Бри этом последние должны удовлетворять условию пластичности (I) или (2).

В рамках принятой модели пластические деформации в окрестности несквозной поверхностной трещины длиной учитываются путем-

введения в рассмотрение сквозной трещины длиной , на берегах

которой действует нагрузка '

Ж (що)-.

I ео^/ж^-е; (к)

1-де $1 - глубина трещины, остальные обозначения те же, что и з

Ъ).

Для конкретной оболочки,-построив интегральное представление решения соответствующих разрешающих уравнений, учитывающих наличие трещины и удовлетворив условия (12), получим систему сингулярных интегральных уравнений вида -(4). Интегральные уравнения (4) с правыми частями (12) совместно с условиями пластичности (I), условия-ьк: ограниченности усилий и моментов в пластической зоне (6) составляют замкнутую систем уравнений для определения предельно-равновесного достояния оболочки с поверхностной трещиной.

Методой малого параметра -построено решение систеш сингулярных интегральных "уравнений при симметричной относительно линии трещины нагрузке для сферической ^болочкч и для цилиндрической оболочки с г продольной поверхностной трещиной. Исследовано изменение относитель-

ного раскрытия, трещины в зависимости от ее глубины и длины. На основе анализа раскрытия берегов поверхностной трещины в ее центральной части и раскрытия вершины сквозной; трещшы определен характер дальнейшего развития вязкого разрушения.

Пятая глава посвящена исследованию влияния упругого основания и упрочнения материала на напряженное состояние и предельное равновесие сферической оболочки с прямолинейной трещиной.

Рассмотрена сферическая оболочка с трещиной, находящаяся в упругой среде, для которой справедлива гипотеза Виннлера. Тогда на оболоч^ ку» кроме заданной внешней нагрузки,будут действовать силы реакции упругой среды, направленные по нормали к срединной поверхности оболочка и пропорциональные прогибу ОТ . Система разрешающих дифференциальных уравнений в данном случае имеет вид

(13)

о

& ч7ах= - Во РЛ^/)

а

хА&.у) = <$л ЫЗЩ) - ЩХ .

^ Цу) = - СаЧ^По(у), к/лс Л?/^ /

-14 -

функция Дирака, £ - коэффициент сопротивления упругой среды перемещению иУ . ' .

Построив с помощью двойного преобразования Фурье интегральное представление решений уравнений (13) и удовлетворив граничным условиям (3), получим систему сингулярных интегральных уравнений вида (4). Построено решение этой системы и исследован зопрос о влиянии, коэффициента упругого основания на длину пластической зоны и на раскрытие вершины трещины при симметричной нагрузке.

В этой же главе рассматривается сферическая-оболочка из упрочняющегося материала, ослабленная меридиальной сквозной трещиной

• Оболочка находится под действием симметричных относительно линии трещины усилий и моментов, а берега трещины свободны от нагрузки.

Обобщая аналог (Г/с -модели на оболочки, изготовленные из материалов с упрочнением, предположим, что .неизвестные усилие и момент, приложенные к берегам фиктивной трещины, распределены по линейному закону

Здесь М. - л - предел прочности материала, Л'* *

неизвестные постоянные, которые должны удовлетворять заданному условию пластичности, например, условию пластического шарнира

\А+ - 4,

где (б-? (е-&>) + •

Таким образом, упругопластическая задача определения предельного равновесия оболочки сзрещиной длиной 3.@о сведена к задаче

теории упругости для оболочки с трещиной длиной && , на берегах которой действует нагрузка вида (3), где /Vи М (&) определяются по формулам (14). По аналогии с предыдущим рассматриваемая задача сведена к системе сингулярных интегральных уравнений, которая решена численно. Исследовано влияние изменения параметра Ггъ , характеризующего упрочнение материала; на длину пластической зоны и на раскрытие трещины.-

Все рассмотренные в работе задачи проиллюстрированы графиками, на основании которых сделаны соответствующие выводы.

В заключении кратко сформулированы полученные результаты и приведены основные выводы.

' ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВНВОДЫ

I. Развита методика сведения К системам«сингулярных интегральных уравнений задач о напрякенно-деформярованном состоянии и предельной равновесии пологих оболочек со сквозными и поверхностными трешками с учетом пластического деформирования.

^ 2. Получены систолы сингулярных интегральных уравнений ряда задач о предельном равновесии пологих сферических и цилиндрических оболочек^ изготовленных из идеально- упругопластического или упрочняющегося материала.

3. Построены аналитическое (в .виде радов по малому параметру) П численное (с помощью метода механических квадратур) решения сингулярных интегральных уравнений с неизвестными пределами интегрирования и разрывными правыми частями.

4. Проведены исследования влияния расстояния между трещинами на взаимодействие возмущенных полей напряжений.

'■ На основании проведенного в работе численного анализа сделаны следующие выводы: '

1. С ростом длины трепаны, .¡фивкзны оболочки и нагрузки плас- . тическая зона и раскрытие трещины увеличивается.

2. Дри равных прочих условиях раскрытие трещины в сферической оболочке больше,чем в цилиндрической.

3. Взаимодействие полей напряжений двух коллинеарных трещин

«

одинаковой длины в сферической оболочке для различных значений нагрузки /(¿¡* ~начинается при разных расстояниях ыезду трещша-ми. Так, для Щ^ЦВ,взаимовлияние начинается приблизительно при §о~ ( §о ~ • <^<2 - расстояние менду центрами тре-

щин), "а для 3 - при £0~ фЛИ . Изменение раскрытия-вершин

трещин' носит немонотонный характер. 3 начале взаимодействия раскрытие внутренних вершин трещин уменьшается. При дальнейшем сближении трещин раскрытие вершин трещин увеличивается, при этом внутренних вершин - намного быстрее.

4. На основе анализа раскрытия берегов поверхностной трещины

в ее центральной части и раскрытия сквозной трещины в вершине определен характер дальнейшего развития вязкого разрушения. Пр; большой глубине трещины ( Ъ 0,9 , ■> ^сС ~ глубина трещины)

разрушится только материал лод трещиной и образовавшаяся сквозная трещина дальше не развивается. В лротивоположность этоъцг, с уменьшением (¿* максимальное -раскрытие несквозной трещины меньше раскрытия вершины сквозной трещины. В этом случае при достижении критического раскрытия несквозной трещинывслед за разрушением материала под трещиной начнется разрушение оболочки вдоль трещины.

5. В случае, когда оболочка с «трещиной находится в упругой среде, щд. которой справедлива гипотеза Винклера, увеличение коэффици- , ента податливости упругого основания приводит % уменьшению дайны

пластической зоны я раскрытия трещины.

6. Длина пластической зоны и раскрытие берегов трешины меньше в оболочках из упрочняющегося материала- Увеличение параметра /тг (hb-^/ <Г<р) > характеризующего упрочнение матергала, приводит к уменьшению длины пластической зоны и раскрытия трещины.

Основные результаты диссертации изложены в работах

1. Маселко Т.Е. Напряженное ссстогаке и предельное равновесие пологах оболочек, ослабленных трещинами, с учетом пластических деформаций // Материалы X конференции молодых ученых Института прикл.проблем мех. я мат. АН УССР, Львов, 15-17 мая 1984.- Львов, 1984.- 4.1, с. 130-134.- Деп. в ВИНИТИ Ю. 11.84 1? 7196-84 Деп.

2. Цаселко Т.Е. Влияние пластического деформирования на напряженное состояние пологой сферической оболочка с прямолинейной в плане трещиной // Материалы ~снф. мол.учен, и спец. "Проблемы повышения качества материалов, приборов и оборудования", Львов, 25-28 сентября 1984.- Львов, 1934.- С. 103-106.- Деп. в ВИШИ 17.01.85,

!? 479-85 Деп.

3. Маселко Т.Е. Предельное равновесие находящейся на упругом основании сферической оболочки, ослабленной кесквозноЯ трещиной

// Материалы Н Всес. совещания-семинара мол.уч. "Актуальные проблемы &6хйникк оболочек", Казань, I9S3» Тезисы дохсл*— Нлззкь, 1988.- С. 135.

4. Цаселко Т.Е. Раскрытие несквознсй продольной трещины в циллндри-ческой оболочке с учетом упругсгогас тачес ко г о деформирования

// Мат.метода и фнз.-мея. поля.- 1990.- Вып. 31.- С. 66-70.

5. Маселко Т.Е., Кяколксин U.U. Влияние упрочнения матертала ка предельное равновесие сферической оболочки с трещиной // Трещино-стойкост-. мзтергалоз и элементов конструкций. Тезисы докл. 1С Всес. симпозиума по механике разрупения, Еэткир, 30 октября - I ноября 1990.- Киев, 1990.- С. 66.

6. Николшпин U.U., Маселко Т.Е. Предельное равновесие пологов цилиндрической оболочки с продольной трещиной с учетом пластических деформаций // Мат-мет оды и физ.-мех.поля.- 1986.- Выл.23.-С.60-64.

7. Николишн М.М., Маселко Т.Е. Раскрытие несквозной трещины в сферической оболочке с учетом пластического деформированияМат. методы и физ.-ыех.подя— 1988.-Вкп.28.- С.74-78.

6. Осадчук В .А., Николишн Ы.М., Маселко Т.Е. Предельное равновесие находящейся на упругом основании сферической оболочки, ослабленной трещиной // Прикл.механика,- 1986.- 22, »10.- С. 47-52.

9. Осадчук Б.А., Николишн Ü.M., Шабо А.Г., Маселко Т.Е. Предельное равновесие ослабленных трещинами оболочек иэ упрочняющегося материала // Црикл. механика.-1991,-ЭТ, »2.-С. 67-72.