Разрушение полос переменной толщины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рштиси

Мирсалимов Мир Ахмед Керим Вагиф оглы

РАЗРУШЕНИЕ ПОЛОС ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Специальность 01 02 04 - механика деформируемого твердого

тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тула-2007

□0306В5Т1

003066571

Работа выполнена на кафедре математического моделирования в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Грязев Михаил Васильевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Пеньков Виктор Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор

Сильвестров Василий Васильевич

Ведущая организация Казанский государственный

технический университет

Защита диссертации состоится « октября 2007 года в 14 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 27102 при ГОУ ВПО «Тульский государственный университет» по адресу 300600, г Тула, пр Ленина, 92,12-303

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тульского государственного университета

//

Автореферат разослан «' '» сентября 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета

Л. А. Толоконников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пластины переменной толщины являются конструктивными элементами различных машин, строительных конструкций, летательных аппаратов, гидротехнических сооружений Создание любых изделий и сооружений неизбежно приводит к вопросу о величине их несущей способности, превышение которой часто именуется нарушением прочности

В настоящее время особую актуальность приобрела проблема зарождения и развития имеющихся в изделиях трещин Для уменьшения веса пластинчатых конструкций в большинстве случаев применяют пластинки переменной толщины Пластинчатые конструкции и оболочки переменной толщины со сквозными трещинами исследованы очень мало Отсутствуют исследования по зарождению дефекта типа 1 трещины в пластинах (полосах) переменной толщины

На современном этапе развития науки о прочности материалов и конструкций значительное внимание уделяется концепциям механики разрушения материалов При этом процесс разрушения, те потеря прочности, трактуется как процесс зарождения и роста трещины в деформируемом твердом теле

Приведенный в работе обзор позволяет констатировать, что особую актуальность для исследования представляют пластины и оболочки переменной толщины, ослабленные дефектами типа трещины Именно пластины и оболочки переменной толщины широко применяются в современных конструкциях Это вызвано тем, что изделия требуемых свойств чаще всего можно достичь за счет использования различных листовых материалов с помощью варьирования их толщины Оценка несущей способности пластин (полос) переменной толщины при наличии трещин не получила к настоящему времени достаточного развития В связи с этим необходимы исследования по построению математической расчетной модели, описывающей зарождение и развитие трещин в пластинах (полосах) переменной толщины при различных нагружениях

В диссертации рассматриваются некоторые задачи механики о зарождении и развитии трещин для пластин и полос переменной толщины при действии силовой и тепловой нагрузок

Цель работы состоит в исследовании напряженно-деформированного состояния пластин (полос) переменной толщины с прямолинейной сквозной трещиной, зарождения и роста трещин в

пластине (полосе) переменной толщины при действии силовой и тепловой нагрузок

Научная новизна Развита эффективная методика решения задач механики разрушения для пластан переменной толщины при воздействии силовой и тепловой нагрузок,

Впервые решен класс задач о зарождении трещины в пластинах переменной толщины при воздействии силовой и тепловой нагрузок,

Впервые решен новый класс задач теории упругости и пластичности для полос переменной толщины, ослабленных сквозными прямолинейными трещинами, |

Получены зависимости коэффициентов интенсивности напряжений, контактных напряжений, длин полос пластичности и зоны контакта берегов трещины, раскрытие трещин в ее конце в зависимости от приложенной нагрузки, длины трещины, предела текучести материала пластины, а также параметров, характеризующих переменность толщины пластины;

Получены соотношения, описывающие докритическую и критическую стадии роста трещины в полосе переменной толщины

Методика исследования Решение задач осуществляется методом возмущений и аналитическими методами теории функций комплексного переменного и его приложениями к плоской задаче теории упругости Предлагаемый способ решения поставленных в диссертации задач представляет собой комбинацию различных аналитических и численных методов

Эффективность этой методики заключается, в частности, в том, что предложен единый путь построения решения методом возмущения в каждом приближении Этот путь позволяет получить в каждом приближении точное решение единым методом теории аналитических функций

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач и методов их решения, применением фундаментальных законов механики и сравнением получаемых результатов с уже имеющимися известными решениями в частных случаях

Практическая ценность Практическая значимость работы определяется широким кругом отмеченных выше практических приложений использования пластин (полос) переменной толщины в современной технике Полученные результаты могут быть использованы непосредственно в инженерных расчетах прочности и долговечности

пластинчатых конструкций, позволяют проанализировать развитие трещины (разрушение) в пластинчатых конструкциях переменной толщины, достоверно устанавливать их основные параметры, обосновывать пути повышения живучести листовых конструкций, прогнозировать скорость роста трещин и несущую способность поврежденных пластинчатых элементов конструкций, на стадии проектирования конструкций обосновано выбирать конструктивные параметры.

Апробация работы Результаты диссертационной работы докладывались.

-на I Международной конференции «Деформация и разрушение материалов» ОЕМ 2006, Москва, 13-16 ноября 2006 г,

-на Международной научной конференции «Современные проблемы Математики, Механики, Информатики» Тула, 28 - 30 ноября 2006 г,

-ХП1 Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», им А Г Горшкова, Москва, 12-16 февраля, 2007 г ,

-на научном семинаре кафедры «Теория упругости» МГУ им М В Ломоносова (2007 г рук профессор И А. Кийко),

-на научно-исследовательских семинарах кафедры математического моделирования в ТулГУ (2007 г, рук профессор А А. Маркин)

Публикации По материалам диссертации опубликовано шесть печатных работ

Структура и объем работ Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы Работа содержит 165 страниц машинописного текста, 25 рисунков, библиографию из 139 наименований отечественных и зарубежных авторов

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

пь и актуальность рассматри-теме исследуемых задач, ука-

Во введении кратко определены це ваемой проблемы, дается обзор работ по зан круг обсуждаемых вопросов и в краткой форме изложены основные результаты работы

Первая глава диссертации посвящена исследованию зарождения трещины в пластине переменной толщины

В § 1 1 на базе модели полосы предразрушения в состоянии пластического течения при постоянном напряжении поставлена и решена задача о зарождении трещины в пластине переменной толщины Раз-

работала методика приведения общих уравнений статического деформирования пластин переменной толщины с полосой предразрушения конечной длины к задачам плоской теории упругости По мере нагру-жения пластины силовой нагрузкой будут возникать зоны предразрушения, которые моделируем как области ослабленных межчастичных связей материала. В исследуемом случае возникновение зародышевой трещины представляет собой процесс перехода области предразрушения в область разорванных связей между поверхностями материала При этом размер зоны предразрушения заранее неизвестен и должен быть определен в процессе решения задачи Полоса предразрушения ориентирована в направлении максимальных растягивающих напряжений, полученных из решения упругой задачи Задача заключается в определении напряженно-деформированного состояния пластины переменной толщины, а также в нахождении предельной нагрузки, по достижении которой произойдет появление трещины Сведением к задаче линейного сопряжения в каждом приближении получено точное решение краевой задачи Получено уравнение, позволяющее определить длину полосы предразрушения При известном законе изменения толщины пластины это уравнение решается численно методом итерации Получено соотношение, которое дает возможность (при заданных характеристиках сопротивления материала трещинообразова-нию) найти критическую внешнею нагрузку, при которой происходит зарождение трещины в пластине переменной толщины

В последнем параграфе этой главы рассматривается тонкая упругая пластина переменной толщины из изотропного и однородного материала. Рассматривается система произвольно размещенных полос предразрушения в состояния пластического течения при постоянном напряжении

Взаимодействие берегов полос предразрушения моделируется путем введения между берегами связей, имеющих заданную диаграмму деформирования

Считается, что на удаленной границе пластаны действуют равномерно распределенные напряжения ет0, параллельные оси ординат Сведением к системе сингулярных интегральных уравнений в каждом приближении получено решение соответствующей краевой задачи, при этом комплексные потенциалы, описывающие напряженно-деформированное состояние, выражены через раскрытие берегов полос предразрушения и функцию изменения толщины пластины

С помощью квадратурных формул типа Гаусса интегральные уравнения сведены к конечным алгебраическим системам уравнений

Анализ предельно-равновесного состояния пластины переменной толщины при наличии взаимодействующих систем полос предразру-шения и действии силовой нагрузки сводится к параметрическому исследованию решения полученных алгебраических систем при различных упругих, геометрических характеристиках пластин

Вторая глава диссертации посвящена исследованию изгиба полос (балок) переменной толщины, ослабленных сквозными прямолинейными трещинами

В первом параграфе на основе методов теории упругости проводится математическое описание расчетной модели зарождения трещины в полосе (балке) переменной толщины, когда полоса изгибается в ее плоскости заданной системой внешних нагрузок (постоянными изгибающими моментами, равномерно распределенным давлением и другими)

По мере нагружения полосы силовой нагрузкой будут возникать зоны предразрушения, которые моделируем как области ослабленных межчастичных связей материала В изучаемом случае возникновение трещины представляет собой процесс перехода области предразрушения в область разорванных связей между поверхностями материала При этом размер зоны предразрушения заранее неизвестен и должен быть определен в процессе решения задачи Считается, что в зоне предразрушения имеет место пластическое течение при постоянном напряжении Задача заключается в определении напряженно-деформированного состояния полосы (балки), а также в определении предельной нагрузки, по достижении которой произойдет появление трещины

Сведением к задаче линейного сопряжения в каждом приближении получено точное решение соответствующей краевой задачи Получено условие для определения критических внешних нагрузок, вызывающих появление трещины в полосе (балке)

Во втором параграфе этой главы рассматриваются задачи о напряженно-деформированном состоянии полос (балок) переменной толщины для случая, когда полоса ослаблена одной сквозной прямолинейной трещиной, расположенной в области растягивающих напряжений. Найдены коэффициенты интенсивности напряжений

В § 2 3 рассматриваются задачи механики разрушения для полос (балок), ослабленных сквозными прямолинейными трещинами с час-

тично контактирующими берегами, когда полоса изгибается в ее плоскости заданной системой внешних нагрузок (постоянными изгибающими моментами, равномерно распределенным давлением и другими) Толщина полосы считается переменной Под действием внешней нагрузки в зоне сжимаемых напряжений берега трещины на некотором участке \ < х < ^, где а < Л, и Я^ < Ь , войдут в контакт, что приведет к появлению контактных напряжений на данном участке берегов трещины Вне этого участка берега трещины свободны от контактных напряжений Размеры зоны контакта берегов трещины заранее неизвестны и подлежат определению в процессе решения задачи механики разрушения Рассматриваемая задача заключается в определении контактных напряжений на участке контакта берегов трещины, напряженно-деформированного состояния полосы переменной толщины вне трещины

Сведением к задаче сопряжения в каждом приближении получено точное решение соответствующей краевой задачи, при этом комплексные потенциалы, описывающие напряженно-деформированное состояние, выражены через контактное напряжение и функцию изменения толщины полосы Для определения контактных напряжений получено в каждом приближении сингулярное интегральное уравнение Условие ограниченности контактных напряжений при х—Х служит для определения неизвестного параметра Л, характеризующего длину зоны контакта

В четвертом параграфе этой главы рассматривается задача об изгибе полосы (балки) переменной толщины, ослабленной сквозной прямолинейной трещиной, с учетом пластических деформаций Материал полосы принимается упруго-идеально пластическим, подчиняющимся условию пластичности Треска-Сен-Венана

Под действием силовой нагрузки в кончиках трещины будут возникать области пластических деформаций Рассматривается задача о начальном развитии пластических деформаций в кончиках трещины Берега трещин свободны от внешних усилий Дается общее решение поставленной задачи. Найдены размеры пластических зон в зависимости от физических и геометрических параметров задачи и приложенной внешней нагрузки Исследовано влияние переменности толщины полосы и пластических эффектов на развитие трещины

Получены основные соотношения, описывающие докритическую и критическую стадию развития

Третья глава диссертации посвящена исследованию вопросов разрушения полос (стержней) переменной толщины при неравномерном нагреве

Первый параграф этой главы посвящен математическому моделированию зарождению трещины в полосе переменной толщины при неравномерном нагреве Считается, что температура является только функцией х и не зависит от других координат

Рассматриваемая задача заключается в определении напряженно-деформированного состояния стержня переменной толщины, а также в определении предельной интенсивности неравномерного нагрева (тепловой нагрузки), по достижении которой произойдет появление трещины По мере нагружения полосы тепловой нагрузкой будут возникать зоны предразрушения, которые моделируем как области ослабленных межчастичных связей материала Пусть ось х системы координат 0ху совмещена с линией зоны предразрушения (а<х<Ь)

Исследование зарождения трещины в полосе (стержне) под действием неравномерного нагрева проводится на базе модели полосы предразрушения в состоянии пластического течения при постоянном напряжении При этом размер области предразрушения заранее неизвестен и должен быть определен в процессе решения поставленной задачи

Граничное условие в зоне предразрушения будет сгу=аг3, Тф = 0, при7 = 0, а<х<Ь

Решение системы уравнений статического деформирования полосы (стержня) ищем в виде разложений по малому параметру

Граничные условия задачи принимают соответственно вид для нулевого приближения

= N£> = 0, пряу = 0, а0<х<Ь0,

для первого приближения

Л;-1Л£=-А(х,0)Аг,, при .у = О, ах<х<Ьх,

где а = й0+£йг!+. , Ь-Ь0 +£&,+..., N¿=2 И(х,у) = /г0[1 + £Й(х,з')] - толщина полосы,

Искомое напряженное состояние представлялось в виде

Здесь , Л^ - соответственно, нормальные и сдви-

гающие усилия, приходящиеся на единицу длины, в сплошной бездефектной полосе и вызванные неравномерным нагревом в нулевом

приближении, , Л^, - соответственно, нормальные и сдвигающие усилия, вызванные наличием зоны предразрушения, ,

Ну}> - усилия в сплошной полосе при отсутствии зоны предразрушения и вызванной неравномерным нагревом в первом приближении, , , - частное решение уравнений плоской теории

дк дй

упругости при наличии объемной силы X, =А^0) ——,

дх ду

у —+ —, - общее решение уравнений

у ду дх 71 %

плоской теории упругости в первом приближении при отсутствии объемных сил

Сведением к задаче линейного сопряжения в каждом приближении получено точное решение соответствующей краевой задачи Получено уравнение, позволяющее определить длину полосы предразрушения Установлено соотношение, которое дает возможность (при заданных характеристиках материала и известном законе изменения толщины полосы) найти критическое тепловое состояние (перепад температуры), при котором происходит зарождение трещины в полосе переменной толщины при неравномерном нагреве

Во втором параграфе этой главы рассматривается задача механики разрушения для полосы (стержня) переменной толщины при неравномерном нагреве для случая, когда полоса ослаблена одной сквозной прямолинейной трещиной

Граничные условия на берегах трещины имеет вид 2^=0, N^,=0 при.у = 0, а<х<Ъ

Нацдены коэффициенты интенсивности напряжений Зная коэффициенты интенсивности напряжений с помощью критерия хрупкого разрушения проведен анализ развития трещины Получена зависимость

длины трещины от интенсивности распределения температуры, геометрических и физических параметров полосы.

На рисунке построена диаграмма остаточной прочности стержня с толщиной изменяющей по линейному закону В расчетах было при-

нято, что V = 0,3, М-30, е - 0,25 , (кривые 1-3)

ДГЛ „ „ А¡3^ _ р ^ А\Тр _ ^

Л

= 1,0,

А

А

Здесь

ж[аЕ{1+у)Т0]2 |

В рассматриваемом случае причиной торможения трещины являются сжимающие напряжения термоупругих полей, переменность толщины полосы и изменение вязкости разрушения материала

В § 3 3 исследовано напряженно-деформированное состояние полосы (стержня) переменной толщины, орлабленной сквозной прямолинейной трещиной с контактирующими берегами, при неравномерном нагреве. Считается, что полоса с нецентрально расположенной трещиной подвергается неравномерному нагреву по ширине поперечного сечения

Под действием тепловой нагрузки в зоне сжимающих напряжений берега трещины на некотором неизвестном участке \<х<\, где а < \ и /¡з <Ь, войдут в контакт, что приведет к появлению контактных напряжений на данном участке трещины. Вне этого участка берега трещины свободны от внешних напряжений Размеры зоны контакта берегов трещины заранее неизвестны и подлежат определению в процессе решения задачи механики разрушения Рассматриваемая задача заключается в определении контактных напряжений на участке контакта берегов трещины, напряженно-деформированного состояния вне трещины, а также в нахождении критической нагрузки, при которой трещина начинает расти по сечению полосы

Для рассматриваемой задачи на участках берегов трещины, свободных от напряжений, имеем краевое условие

ЛГ,=0, N^=0

на участке контакта берегов, т е при .у = О, \<х<?^

Лг;(х,0) = Лг(х,0), г/(х,0)-1Г(х,0) = 0

Кроме того, примем, что касательные напряжения на берегах трещины подчиняются закону Кулона

где р- коэффициент трения

Сведением к задаче линейного сопряжения в каждом приближении получено точное решение соответствующей краевой задачи, при этом комплексные потенциалы, описывающие напряженно-деформированное состояние, выражены через контактное напряжение и функцию изменения толщины полосы Для определения контактных напряжений в каждом приближении получено сингулярное интегральное уравнение Решение сингулярного интегрального уравнения в каждом приближении получено в замкнутом виде. Удовлетворяя условиям ограниченности контактных напряжений при х = Я, и х = Лг получены соотношения для определения неизвестных величин \ и , характеризующие зону контакта берегов трещины В последнем параграфе этой главы рассмотрен неравномерный нагрев полосы (стержня) переменной толщины, ослабленной сквозной прямолинейной трещиной с концевыми пластическими зонами Считается, что полоса с нецентрально расположенной трещиной подвергается неравномерному нагреву по ширине поперечного сечения

Принято, что температура является только функцией х и не зависит от других декартовых координат Материал полосы считается упруго-идеально пластическим, удовлетворяющим условию пластичности Треска-Сен-Венана, Под действием температурных напряжений, вызванных неравномерным нагревом, в кончиках трещин будут возникать зоны пластических деформаций.

Рассматривается задача о начальном развитии пластических деформаций в кончиках трещины. Берега трещины свободны от внешних усилий Дается общее решение упругопластической задачи для полосы с переменной толщиной Найдены размеры пластических деформаций в кончиках трещин в зависимости от температурного поля и закона изменения толщины стержня Исследовано влияние переменности толщины стержня и пластических деформаций на развитие трещины

Получены основные соотношения, описывающие докритическую и критическую стадии разрушения стержня при неравномерном нагреве

Переходя к безразмерным переменным в интегралах и заменяя интегралы квадратурными формулами, основные соотношения, описывающие докритическую и критическую стадии разрушения стержня, приведены к виду удобному для численного решения Полученные уравнения дают возможность при заданных характеристиках материала найти критическое тепловое состояние, при котором происходит рост трещины

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1; Развита эффективная методика приведения общих уравнений статического деформирования пластинчатых элементов конструкций переменной толщины, ослабленных сквозными трещинами конечной дайны, к задачам плоской теории упругости.

2 Создана эффективная методика решения широкого класса задач механики разрушения о зарождении и развитии трещин в пластине (полосе) переменной толщины при действии силовой и тепловой нагрузок Эффективность этой методики заключается, в частности, в том, что предложен единый путь построения решения методом возмущения в каждом приближении Этот путь позволяет получить в каждом приближении точное решение единым методом теории аналитических функций

3 На основе разработанной расчетной модели а) исследовано зарождение трещины в пластине (полосе) при воздействии силовой нагрузки и неравномерного нагрева, б) предложен метод расчета контактных усилий возникающих между берегами трещины входящих контакт, в полосах переменной трещины

4 Решен новый класс задач механики разрушения о зарождении дефекта типа трещины в пластине (полосе) переменной толщины при различных видах силовой нагрузки и неравномерного температурного поля Получены соотношения для определения предельной нагрузки, при которой происходит появление трещины в пластине (полосе) переменной толщины

5 Найдены в общем виде формулы, определяющие коэффициенты интенсивности напряжений вблизи концов сквозной прямолинейной трещины в зависимости от геометрических параметров переменности толщины полосы в окрестности вершин трещин, параметра внешнего нагружения

6 Решен новый класс задач теории пластичности для полос переменной толщины, ослабленных сквозными прямолинейными трещинами, при действии силовой нагрузки и неравномерного температурного поля. Получены формулы для определения размеров пластической зоны и раскрытия трещины в ее кончиках при изменениях толщины полосы в зависимости от параметра внешнего нагружения, длины трещины, предела текучести материала Получены основные соотношения, описывающие докритическую и критическую стадию разрушения полос переменной толщины при монотонном нагружении

7 Показано, что при определенном соотношении геометрических параметров полосы переменной толщины с трещиной возникают зоны сжимающих напряжений, в которых берега трещины входят контакт. Получены зависимости для контактных напряжений и длины зоны контакта берегов трещины в зависимости от приложенной нагрузки, длины трещины, а также параметров, характеризующих переменность толщины полосы

В Исследовано влияние взаимодействия полос предразрушения на появление трещины в пластинах переменной толщины при действии силовой нагрузки

9 Созданная расчетная методика, отличаясь простотой и малой трудоемкостью, ^позволяет достоверно оценивать напряженно-деформированное состояние и прогнозировать возможность появле-

ния и развития трещин в пластине (полосе) переменной толщины при различных видах силовой и тепловой нагрузок

Публикации по теме диссертации:

1 Мирсалимов М В Решение задачи механики разрушения для полосы переменной толщины // Известия Тульского государственного университета Серия Актуальные вопросы механики - Т 1 -Вып 2 - 2006 - С 241-247

2 Грязев М В , Мирсалимов М В Предельно-равновесное состояние полосы переменной толщины при наличии трещины с пластическими концевыми зонами // Известия Тульского государственного университета. Серия Механика деформируемого твердого тела и обработка металлов давлением Вып 2 - 2006 -С 13-25

3 Мирсалимов М В, Зарождение трещины в полосе переменной толщины // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им И.Я Яковлева. Серия Механика предельного состояния - 2007 - № 1 - С 59-69

4 Мирсалимов М В Контактное взаимодействие берегов прямолинейной трещины в стержне переменной толщины при нерав-, номерном нагреве // Механика машин, механизмов и материалов Международный журнал - 2007 - № 2 - С 28-33

5 Мирсалимов М В Контактное взаимодействие берегов трещины при изгибе полосы переменной толщины // Механика машин, механизмов и материалов Международный журнал - 2007 - № 1 - С 46-52

6 Мирсалимов МВ Предельно-равновесное состояние полосы (стержня) переменной толщины при неравномерном нагреве П Известия Тульского государственного университета Серия Строительные материалы, конструкции и сооружения - Вып 11 -2007 -С 68-79 i

/

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать & ОЙ. О ? Формат бумаги 60x84 1/16 . Бумага офсетная. Усл.-печ. л. О^ Уч.-изд. л. . Тираж $0 экз. Заказ 2 3 Тульский государственный университет ЗООбОе, г. Тула, пр. Ленина, 92 Отпечатано в издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, ул. Боддина, 151

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Зарождение трещин в пластине переменной толщины.

1.1. Моделирование зарождения трещины в пластине переменной толщины.

1.2. Взаимодействие полос предразрушения в пластине переменной толщины.

ГЛАВА И. Изгиб полос (балок) переменной толщины, ослабленных сквозными прямолинейными трещинами.

2.1. Зарождение трещины в полосе (балке) переменной толщины.

2.2. Предельно-равновесное состояние полосы (балки) переменной толщины, ослабленной прямолинейной трещиной.

2.3. Контактное взаимодействие берегов трещины при изгибе полосы переменной толщины.

2.4. Предельно-равновесное состояние полосы переменной толщины при наличии трещины с пластическими концевыми зонами.

ГЛАВА Ш. Разрушение полосы (стержня) переменной толщины при неравномерном нагреве.

3.1. Зарождение трещины в полосе переменной толщины при неравномерном нагреве.

3.2. Напряженно-деформированное состояние полосы (стержня) переменной толщины с трещиной при неравномерном нагреве.

3.3. Контактное взаимодействие берегов прямолинейной трещины в стержне переменной толщины при неравномерном нагреве.

3.4. Предельно-равновесное состояние полосы переменной толщины, ослабленной сквозной трещиной с концевыми пластическими зонами, при неравномерном нагреве.

Пластины переменной толщины являются конструктивными элементами различных машин, строительных конструкций, летательных аппаратов, гидротехнических сооружений.

Одной из важнейших задач механики деформируемого тела является разработка и внедрение новейших методов оценки сопротивления материалов разрушению. В связи с широким использованием в технике высокопрочных материалов и крупногабаритных конструкций, сооружений в различных областях современной техники теория распространения трещин в твердых телах приобрела особую актуальность.

Создание любых изделий и сооружений неизбежно приводит к вопросу о величине их несущей способности, превышение которой часто именуется нарушением прочности.

В реальных материалах всегда имеется большое количество различного рода дефектов типа трещин, развитие которых под действием внешней нагрузки приводит к локальному или полному разрушению материала. Это особенно сказывается при изготовлении различных деталей машин, конструкций и аппаратов современной техники.

Механика разрушения, изучающая равновесие деформируемых тел с трещинами, является разделом нелинейной механики сплошных сред. Нелинейность ее задач вызвана тем, что контур трещин неизвестен заранее и его нужно определить в ходе решения задачи.

Первые фундаментальные результаты в механике разрушения относятся к началу двадцатого века. Здесь, в первую очередь, следует отметить работу А. Гриффитса [89], в которой трещина моделируется математическим разрезом, и напряженно-деформированное состояние описывается в рамках линейной теории упругости. Широкое практическое применение теория разрушения получила после 1957 года, когда американский ученый Дж. Ирвин на основе использования сингулярных решений линейной теории упругости установил связь между работой, затрачиваемой на разрушение, и критическим значением коэффициента интенсивности напряжений. Ограниченность силового критерия Ирвина обусловлена использованием для описания докритического и критического состояний аппарата линейной теории упругости.

Более общие интегральные критерии разрушения материала, справедливые и в рамках нелинейной теории упругости, связаны с именами Дж. Райса [94] и Г.П. Черепанова [107]. Описание разрушения в рамках нелинейной теории упругости приводится в работах К.Ф. Черныха [112]. Использование интегральных критериев для упругопластических материалов ограничено, как и применение силового критерия Ирвина, условием малости зоны пластического деформирования в окрестности концевой точки.

Впервые, в 1959 году, переход к непосредственному учету пластического деформирования был проведен М.Я. Леоновым и В.В. Панасюком и несколько позже Д.С. Дагдейлом.

Существенным отличием данного подхода была конечность напряжений в примыкающей к кончику разреза пластической зоне. Теории разрушения, исключающие бесконечные значения напряжений в упругих моделях, были предложены С.А. Христиановичем, Г.И. Баренблаттом, J1. Прандтлем, В.М. Битовым, P.JI. Салгаником.

С основными результатами в этой области можно ознакомиться в монографиях В.В. Панасюка [85], В.М. Финкеля [104], Снеддона и Ловенгрубба [130], Г.П. Черепанова [107, 108], В.З. Партона и Е.М. Морозова [87], Броберга [115], В.В. Болотина [114], В.В. Панасюка, М.П. Саврука и АД Дацышина [84], В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива и В.З. Партона [86], Л.Т. Бережницкого, М.В. Делявского и В.В. Панасюка [10], Н.Ф. Морозова [77], В.В. Панасюка, А.Е. Андрейкива и С.Е. Ковчика [83], Е.М. Морозова и М.В. Зернина [76], В.З. Партона и В.Г. Борисковского [88], Г. Плювинажа [92], Хеллана [105], Н.Г. Стащука [100], Г.С. Кита и М.Г. Кривцуна [53], В.А. Левина, Е.М. Морозова и Ю.Г. Матвиенко [60], В.И. Астафьева, Ю.Н. Радаева и Л.В. Степановой [7], К.Ф. Черныха [112], Э.Б. Завойчинской и И.А. Кийко [41], М.П. Саврука [95],

М.П. Саврука, П.И. Осипова и И.В. Прокопчука [97], Е.М. Морозова и Г.П. Ни-кишкова [75], А.Н. Гузя [38, 39], Г.С. Кита и М.Г. Кривцуна [52], А.А. Каминского [52], В.М. Мирсалимова [66, 68], в отдельных главах монографии Н.И. Мусхелишвили [81], Л.И. Седова [98], а также в ряде обзорных статей Г.И. Ба-ренблатта [9], Д.Д. Ивлева [44], Гудьера Дж. и Либовца Г. [99], Си Г. и Либов-ца Г. [99], Райса [94], Р.В. Гольдштейна [29, 30], Г.П. Черепанова [109], П.М. Витвицкого, В.В. Панасюка, С.Я. Яремы [17] и других.

Достаточно полный обзор и анализ новых результатов исследований по разрушению дан в трудах IX Международной конференции по разрушению [40]. Отметим также справочное пособие [86, 96] под общей редакцией В.В. Панасюка.

Важным этапом для теории трещин оказались работы Ирвина [89] и Оро-вана, в которых был распространен подход Гриффитса на материалы, не являющиеся идеально хрупкими. Ирвин и Орован обратили внимание на тот факт, что многие пластичные материалы, т.е. ведущие себя как весьма пластичные при обычных испытаниях на растяжение, при появлении трещин разрушаются квазихрупким образом.

Концепция квазихрупкого разрушения позволила значительно расширить область применения теории хрупкого разрушения.

Значительному развитию механики разрушения способствовали модели Дагдейла[89], М.Я. Леонова, В.В. Панасюка [85], Уэллса [107], учитывающие наличие тонкой пластической области на продолжении трещины.

Жизнь всегда требует улучшения качества всех видов выпускаемой продукции, в том числе материалов, определяющих надежность и ресурс конструкций, машин и сооружений.

Анализ разрушения многих сооружений, машин, конструкций показывает, что разрушение, как правило, начинается с поверхности различных выточек, отверстий, щелей и других концентраторов напряжений, ослабляющих детали конструкций. Наличие устойчивых трещин в конструкциях и сооружениях, работающих в определенных режимах изменения внешних нагрузок, гораздо менее опасно, а искусственное усиление таких конструкций может значительно продлить их срок службы.

Следует отметить, что решению различных задач теории пластин и оболочек посвящена обширная литература [10, 11, 13, 16, 42], причем большей частью рассматривались задачи расчета напряжений и смещений в пластинах и оболочках постоянной толщины с заданной геометрией.

В настоящее время особую актуальность приобрела проблема развития имеющихся в изделиях трещин. В общем случае нагружения пластин, кроме растягивающих и касательных усилий, действующих в плоскости пластины, приложены также изгибающие, крутящие и перерезывающие усилия. Проблема определения напряженно-деформированного состояния около трещин в пластинах и оболочках переменной толщины еще недостаточно разработана. Впервые асимптотический характер изгибающих напряжений в окрестности конца трещины с учетом теории изгиба Кирхгофа методом разложения по собственным функциям был изучен Уильямом [99].

Асимптотическое разложение смещений и напряжений в окрестности вершины трещины впервые было получено на основе классической теории изгиба пластин. При этом имеет место высокий порядок особенности у поперечных сил, что является следствием приближенности применяемой теории изгиба пластин.

В работе [28] доказано, что теорию Кирхгофа-Лява можно рассматривать как математически обоснованный метод построения напряженно-деформированного состояния. В статье [14] показано, что теория Кирхгофа является частным случаем современной теории пластин, которую автор статьи предлагает называть теорией Кирхгофа-Рейсснера.

Си и Райе [99] распространили результат Уильямса на случай изгиба моментами и поперечной нагрузкой пластин, составленных из разных упругих материалов. Причем трещина считалась имеющейся на линии соединения материалов.

Ряд публикаций [10, 11] был посвящен развитию общей методики нахождения коэффициентов интенсивности напряжений для широкого класса концентраторов напряжений при изгибе моментами и перерезывающими силами пластин, ослабленных остроугольными дефектами.

В работах [10, 95] решение по теории Кирхгофа первой основной задачи изгиба тонкой пластины, имеющей конечное число сквозных трещин вдоль одной прямой или вдоль дуг одной окружности, сведено к задаче линейного сопряжения. Метод сопряжения использовался при решении задач теории изгиба также в работах [43,44, 61, 100].

Для ряда случаев найдены коэффициенты интенсивности напряжений. Обнаружено, что отклонение трещины от прямолинейной формы при изгибе сказывается слабее, чем при растяжении. Исида [25] с помощью метода рядов Лорана и классической теории жестких пластин исследовал изгиб пластин, ослабленных системой произвольно расположенных прямолинейных сквозных трещин. На основе классической теории Кирхгофа исследованы [95] задачи об изгибе пластин с криволинейными трещинами. Для рассматриваемых задач с помощью фундаментальных решений разрешающих уравнений теории изгиба получены сингулярные интегральные уравнения. В работах [10] рассмотрен изгиб круглой пластины постоянной толщины с центральной сквозной прямолинейной трещиной. Изгиб осуществлялся моментами, действующими вдоль внешнего контура пластины. Для коэффициентов интенсивности напряжений получены рекуррентные формулы, позволяющие проводить вычисления коэффициентов интенсивности напряжений с любой наперед заданной степенью точности.

В работе [42] рассмотрены задачи теории изгиба тонких пластин в виде полосы с разрезом, параллельным боковым сторонам. Задачи сведены к решению интегральных уравнений первого рода с особыми ядрами. Построены асимптотические методы решения интегральных уравнений по некоторому параметру. На основе полученных решений приводятся формулы для коэффициентов интенсивности напряжений на концах трещины для ряда практически важных задач.

При решении задачи изгиба пластины с трещиной по различным уточненным теориям, свободным от основной гипотезы классической теории недеформируемости нормалей к срединной поверхности пластины, показано, что поперечные силы при приближении к вершине трещины стремятся к нулю. Наблюдается различие в распределении изгибающих напряжений около концов разреза, вычисленных по классической и уточненным теориям [10].

Е. Рейсснером была предпринята попытка уточнить теорию изгиба пластин Кирхгофа, прежде всего, за счет учета деформаций поперечного сдвига, существенных у ряда современных материалов. Подробности о выводе уравнений Рейсснера и о соотношениях между решениями по теории Рейсснера и по теории Кирхгофа можно найти в [10].

В работе [125] рассматривалось взаимодействие двух произвольно ориентированных прямолинейных трещин на основе теории пластин Рейсснера. Задача сведена к сингулярным интегральным уравнениям, которые решались численно.

Обзор работ по изгибу пластин, ослабленных трещиной, по уточненным теориям, приведены в монографиях [10, 95].

В последние годы при решении задач о вытянутых поверхностных трещинах в пластинках и пологих оболочках, широкое применение получил приближенный метод «пружинок», предложенный Райсом и Леви. Этот метод позволяет свести указанную существенно трехмерную задачу для плоской в плане трещины к двум двумерным задачам: 1) задаче растяжения и изгиба пластинок (или задаче теории оболочек), в которой поверхностная трещина заменена сквозной с линейно-упругими связями между берегами; 2) плоской задаче о растяжении и изгибе полосы с надрезом [33].

Для уменьшения веса пластинчатых и оболочечных конструкций в большинстве случаев применяют оболочки и пластинки переменной толщины.

Пластины и оболочки переменной толщины со сквозными трещинами исследованы очень мало. Можно назвать работы Исиды [46], Зака и Вильямса [99], Эрдогана [119], А.Г. Таги-заде [101 - 103] и другие.

В работах А.Г. Тагизаде [101 - 103] и Ш.Г. Гейдарова [23, 24] проводились исследования малых выточек и утолщений на рост сквозной полубесконечной трещины в статическом случае нагружения. Проведен анализ развития трещины в пластине переменной толщины [103].

Дальнейшее развитие исследований в этом направлении было проведено в работах [2, 3] Т.М. Алиевым. Им исследовано влияние выточек или утолщений на разрушение пластинки, ослабленной сквозной трещиной конечной длины. Предполагается, что толщина пластины постоянна, за исключением некоторой области где толщина пластины представляет собой некоторую функцию координат. Рассмотрены локальные изменения в толщине пластины в виде выточек (выдавок) или, наоборот, наплавлений (утолщений) материала. В статье [3] рассматриваются вопросы торможения развития трещины в пластинчатом элементе конструкции с помощью локальных выточек (выдавок) или наплавлений (утолщений) вблизи концов трещины нормального разрыва. Рассмотрена упругопластическая задача для неограниченной пластины с одной прямолинейной сквозной трещиной длиной 2-Е, в концах которой имеются локальные изменения в толщине пластины в виде некоторых выточек или утолщений. Берега трещины свободны от внешних усилий. Материал пластины удовлетворяет условию пластичности Треска-Сен-Венана.

Найдены размеры пластических зон в зависимости от физических и геометрических параметров задачи и приложенной внешней нагрузки. Исследуется влияние переменности толщины пластины в пределах области ¿> на концах трещины и пластических эффектов на развитие трещины. Рассмотрены наиболее распространенные на практике формы выточек и утолщений.

Следует отметить цикл работ [69 - 71], в которых впервые проведено исследование предельно-равновесного состояния пластин конечных размеров с переменной толщиной, ослабленных сквозной прямолинейной трещиной.

В работах [68, 72, 113] рассматриваются конкретные задачи теории изгиба пластин переменной толщины, ослабленных сквозными прямолинейными трещинами. Предполагается, что толщина пластинки меняется плавно, материал пластины однородный и изотропный. Используя метод малого параметра, получены уравнения нулевого, первого, второго и других приближений, которые по виду совпадают с уравнениями классической теории изгиба пластин постоянной толщины. Решение задачи в каждом приближении сводится к задаче линейного сопряжения. Во всех рассмотренных задачах получены формулы для коэффициентов интенсивности напряжений (моментов) на левом и правом концах трещины. Дан анализ возникновения устойчивого роста трещины в пластинах переменной толщины, которое связано непосредственно с изменением толщины пластины. Исследовано влияние на развитие сквозных трещин, имеющих на поверхности пластины технологические или конструктивные выточки или утолщения. В этой задаче предполагается, что толщина изгибаемой пластинки постоянна, за исключением некоторой области, и трещина расположена у этой области. Материал пластины считается однородным и изотропным. Рассмотрены наиболее распространенные на практике формы выточек и утолщений. Найдены локальные коэффициенты интенсивности напряжений (моментов).

На современном этапе развития науки о прочности материалов и конструкций значительное внимание уделяется концепциям механики разрушения материалов. При этом процесс разрушения, т.е. потеря прочности, трактуется как процесс зарождения и роста трещины в деформируемом твердом теле. Как известно, техническая прочность реальных материалов на два - три порядка меньше их теоретической. Это вызвано различными дефектами в структуре реальных твердых макротел, которые приводят к обеспечению начальных стадий разрушения материала.

Процессы разрушения реальных материалов имеют сложный характер и протекают для различных материалов по разному. Это зависит от особенностей структуры материала, его химического состава, вида нагружения и других.

Прочность твердых тел обеспечивается силами притяжения между частицами. Независимо от вида сил, возникающих при сближении частиц, общий характер их остается одинаковым: на относительно больших расстояниях появляются силы притяжения, быстро увеличивающиеся с уменьшением расстояния между частицами. В настоящее время известны различные механизмы образования трещин [60, 62, 85, 76]. В процессе движения дислокаций возможно возникновение ситуаций, приводящих к такому расхождению между атомными плоскостями, при котором между ними утрачивается силовое взаимодействие. Такие щелеобразные пустоты можно трактовать как микротрещины, с размерами порядка характерных размеров решетки.

На основании сказанного представляется актуальным рассмотреть зарождение поверхности разрыва в деформируемых телах без начальных дефектов.

Проблема зарождения трещин сложна, прежде всего, с физической и с технической точек зрения.

Отсутствуют исследования по зарождению дефекта типа трещины в пластинах (полосах) переменной толщины. Следует отметить, что в последние годы в виду важности этой проблемы появились некоторые работы по решению задач механики разрушения о зарождении дефекта типа трещины. В статьях [121, 122] проведены исследования об образовании зародышевой трещины и ее развития в фрикционных накладках тормозных механизмов автомобиля. В работах [63 - 65] М.В. Мир-Салим-заде поставлены и решены задачи механики разрушения о зарождении трещины в подкрепленных пластинах. В статьях [19 - 21, 67] построены модельные представления для исследования зарождения дефекта типа трещины в деталях контактной пары. В работах [49 - 51] Н.М. Калантарлы впервые исследован класс плоских задач механики разрушения о зарождении дефекта типа трещины в круговых дисках. Исследованы задачи о зарождении трещины в круговом диске при воздействии силовой нагрузки, повышенных температур и центробежных сил.

Следует отметить большой цикл работ В.В. Глаголева [25] и A.A. Маркина и В.В. Глаголева [26, 27, 61] по построению модели образования новых матермальных поверхностей и ее применение для постановки и решения задач деформирования и разделения упругопластических тел.

Приведенный обзор позволяет констатировать, что особую актуальность для исследования представляют пластины и оболочки переменной толщины, ослабленные дефектами типа трещин. Именно пластины и оболочки переменной толщины широко применяются в современных конструкциях. Это вызвано тем, что изделия требуемых свойств чаще всего можно достичь за счет использования различных листовых материалов с помощью варьирования их толщины при различных способах соединения. Оценка несущей способности пластин, (полос) переменной толщины при наличии трещин не получила к настоящему времени достаточного развития.

Исследование вопросов зарождения трещин в пластинах (полосах) переменной толщины при различных силовых нагружениях и неравномерном нагреве имеет важное значение для прогнозирования срока службы деталей машин и конструкций. В связи с этим необходимы исследования по построению математической расчетной модели, описывающей зарождение трещин в пластинах (полосах) переменной толщины при различных условиях эксплуатации строительных конструкций.

Данная диссертационная работа посвящена вопросам моделирования и решения задач о зарождении и развитии трещин в пластинах (полосах) переменной толщины при различных силовых нагружениях и неравномерном нагреве.

В диссертации рассматриваются некоторые задачи механики о зарождении и развитии трещин для пластин и полос переменной толщины при действии силовой и тепловой нагрузок.

Цель работы состоит в исследовании: напряженно-деформированного состояния пластин (полос) переменной толщины с прямолинейной сквозной трещиной; зарождения и роста трещин в пластине (полосе) переменной толщины при действии силовой и тепловой нагрузок.

Научная новизна. Развита эффективная методика решения задач механики разрушения для пластин переменной толщины при воздействии силовой и тепловой нагрузок;

Впервые решен класс задач о зарождении трещины в пластинах переменной толщины при воздействии силовой и тепловой нагрузок;

Впервые решен новый класс задач теории упругости и пластичности для полос переменной толщины, ослабленных сквозными прямолинейными трещинами;

Получены зависимости коэффициентов интенсивности напряжений, контактных напряжений, длин полос пластичности и зоны контакта берегов трещины, раскрытие трещин в ее конце в зависимости от приложенной нагрузки, длины трещины, предела текучести материала пластины, а также параметров, характеризующих переменность толщины пластины;

Получены соотношения, описывающие докритическую и критическую стадии роста трещины в полосе переменной толщины.

Методика исследования. Решение задач осуществляется методом возмущений и аналитическими методами теории функций комплексного переменного и его приложениями к плоской задаче теории упругости. Предлагаемый способ решения поставленных в диссертации задач представляет собой комбинацию различных аналитических и численных методов.

Эффективность этой методики заключается, в частности, в том, что предложен единый путь построения решения методом возмущения в каждом приближении. Этот путь позволяет получить в каждом приближении точное решение единым методом теории аналитических функций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач и методов их решения, применением фундаментальных законов механики и сравнением получаемых результатов с уже имеющимися известными решениями в частных случаях.

Практическая ценность. Практическая значимость работы определяется широким кругом отмеченных выше практических приложений использования пластин (полос) переменной толщины в современной технике. Полученные результаты могут быть использованы непосредственно в инженерных расчетах прочности и долговечности пластинчатых конструкций, позволяют проанализировать развитие трещины (разрушение) в пластинчатых конструкциях переменной толщины, достоверно устанавливать их основные параметры, обосновывать пути повышения живучести листовых конструкций, прогнозировать скорость роста трещин и несущую способность поврежденных пластинчатых элементов конструкций, на стадии проектирования конструкций обосновано выбирать конструктивные параметры.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

- на I Международной'конференции «Деформация и разрушение материалов» DFM 2006, Москва, 13-16 ноября 2006 г.;

- на Международной научной конференции «Современные проблемы Математики, Механики, Информатики» Тула, 28 - 30 ноября 2006 г.;

- XIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», им. А.Г. Горшкова, Москва, 12- 16 февраля, 2007 г.;

- на научном семинаре кафедры «Теория упругости» МГУ им. М.В. Ломоносова (2007 г. рук. профессор И.А. Кийко);

- на научно-исследовательских семинарах кафедры математического моделирования в ТулГУ (2007 г., рук профессор A.A. Маркин).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть печатных работ [134-139].

Структура и объем работ. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Работа содержит 165 страниц машинописного текста, 25 рисунков, библиографию из 139 наименований отечественных и зарубежных авторов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Развита эффективная методика приведения общих уравнений статического деформирования пластинчатых элементов конструкций переменной толщины, ослабленных сквозными трещинами конечной длины, к задачам плоской теории упругости.

2. Создана эффективная методика решения широкого класса задач механики разрушения о зарождении и развитии трещин в пластине (полосе) переменной толщины при действии силовой и тепловой нагрузок. Эффективность этой методики заключается, в частности, в том, что предложен единый путь построения решения методом возмущения в каждом приближении. Этот путь позволяет получить в каждом приближении точное решение единым методом теории аналитических функций.

3. На основе разработанной расчетной модели: а) исследовано зарождение трещины в пластине (полосе) при воздействии силовой нагрузки и неравномерного нагрева; б) предложен метод расчета контактных усилий возникающих между берегами трещины входящих контакт, в полосах переменной трещины.

4. Решен новый класс задач механики разрушения о зарождении дефекта типа трещины в пластине (полосе) переменной толщины при различных видах силовой нагрузки и неравномерного температурного поля. Получены соотношения для определения предельной нагрузки, при которой происходит появление трещины в пластине (полосе) переменной толщины.

5. Найдены в общем виде формулы, определяющие коэффициенты интенсивности напряжений вблизи концов сквозной прямолинейной трещины в зависимости от геометрических параметров переменности толщины полосы в окрестности вершин трещин, параметра внешнего нагружения.

6. Решен новый класс задач теории пластичности для полос переменной толщины, ослабленных сквозными прямолинейными трещинами, при действии силовой нагрузки и неравномерного температурного поля. Получены формулы для определения размеров пластической зоны и раскрытия трещины в ее кончиках при изменениях толщины полосы в зависимости от параметра внешнего нагружения, длины трещины,, предела текучести материала. Получены основные соотношения, описывающие докритическую и критическую стадию разрушения полос переменной толщины при монотонном нагружении.

7. Показано, что при определенном соотношении геометрических параметров полосы переменной толщины с трещиной возникают зоны сжимающих напряжений, в которых берега трещины входят контакт. Получены зависимости для контактных напряжений и длины зоны контакта берегов трещины в зависимости от приложенной нагрузки, длины трещины, а также параметров, характеризующих переменность толщины полосы.

8. Исследовано влияние взаимодействия полос предразрушения на появление трещины в пластинах переменной толщины при действии силовой нагрузки.

9. Созданная расчетная методика, отличаясь простотой и малой трудоемкостью, позволяет достоверно оценивать напряженно-деформированное состояние и прогнозировать возможность появления и развития трещин в пластине (полосе) переменной толщины при различных видах силовой и тепловой нагрузок.

1. Александров В.М., Сметанин Б.И. Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М.: Наука, 1993. 224 с.

2. Алиев Т.М. Влияние выточек и утолщений на разрушение пластины, ослабленной трещиной // Сб. Научных трудов по механике. Баку: АЗИСУ, 1997, вып. 2, №7, с. 65-70.

3. Алиев Т.М. Упругопластическая задача для тонкой пластины с выточками в кончиках трещины // Механика разрушения и динамика деформируемых тел и конструкций / Сб. научных трудов, Баку: ЭЛМ, 1995, с. 62-67.

4. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976. - 272 с.

5. Андрейкив А.Е., Иваницкий Я.Л., Варивода Ю.Ю. КРТ критерий для тел с трещинами при сложном напряженном состоянии // Докл. АН УССР. - 1987, А. - № 2. - с. 38-40.

6. Андрейкив А.Е., Никитин Л.В. О применении механики разрушения в инженерной практике // Механика разрушения материалов. Завод, лаб. -1989,№4-с. 98- 102.

7. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н., Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Сам. гос. ун-т, 2001, 631 с.

8. Баренблатт Г.И., Ботвина Л.Р. Методы подобия в механике разрушения // Физ.-хим. мех. материалов. 1986, 22, № 11, - с. 57-62.

9. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // ПМТФ. 1961. - № 4 - с. 3 - 56.

10. Бережницкий Л.Т., Делявский М.В., Панасюк В.В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин. Киев: Наукова думка, 1979. - 400 с.

11. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Т. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наукова думка, 1983.-288 с.

12. Биргер И.А. Общие алгоритмы решения задач теории упругости, пластичности и ползучести. // Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975, с. 51-73.

13. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. -М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

14. Васильев В.В. Об асимптотическом методе обоснования теории пластин // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1997, №3, с. 150- 155.

15. Вашакмадзе Т.С. Теория упругих пластин // Успехи механики, 1988, Т. 11, № 3, с. 43-76.

16. Векуа И.Н. Теория тонких пологих оболочек переменной толщины. -Тбилиси: Мецниереба, 1965. 103 с.

17. Витвицкий П.М., Панасюк В.В., Ярема С.Я. Пластические деформации в окрестностях трещин и критерии разрушения (обзор) // Проблема прочности. 1973. -№ 2.

18. Власов В.В. Жабицкий А.Г. Полосы и плиты под локальными нагрузками // Расчеты на прочность. Вып. 33 М.: Машиностроение, 1993, с. 106 -119.

19. Гаджиев В.Д., Мирсалимов В.М. Предельно-равновесное состояние детали типа втулки контактной пары при наличии трещин со связями между берегами // Оптимальное проектирование механических систем. Баку: ЭЛМ, 1999, с. 50-63.

20. Гаджиев В.Д., Мирсалимов В.М. Модельные представления для исследования зародышевой трещины в деталях контактной пары // Механика. Баку: АЗИСУ, 2001, № 11, с. 15 20.

21. Гаджиев Г.Х Развитие зародышевой трещины в составном цилиндре контактной пары // Междун. научн. техн. сб.: Надежность и долговечность машин и сооружений. Киев, 2004, № 2 (23), с. 27 32.

22. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640 с.

23. Гейдаров Ш.Г. Влияние конусовидной выточки на рост сквозной трещины в пластине // Темат. сб. «Механика разрушения и оптимизация деформируемых тел и конструкций» Азерб. инж. техн. ун-та им. Ч, Ильдрыма, Баку, 1991. с. 33 - 37.

24. Гейдаров Ш.Г. Влияние параболоидальной выточки, находящейся перед трещиной, на рост сквозной трещины в пластинах // Тематический сборник научных трудов Азерб. инж.-техн. ун-та им. Ч. Ильдрыма, Баку, 1991, с.19-24.

25. Глаголев В.В. Об одном подходе к описанию направленного разрушения среды // Вестник Новосибирского госуд. университета Сер. Математика. Механика. Информатика, 2003, т.З, вып. 1, с. 10-18.

26. Глаголев В.В., Маркин A.A. Модель установившегося разделения материального слоя // Изв. РАН. Механика твердого тела, 2004, № 5. с. 121 -129.

27. Глаголев В.В., Кузнецов К.А., Маркин A.A. Модель процесса разделения деформируемого тела // Изв. РАН Механика твердого тела, 2003, № 6, с. 61-68.

28. Гольденвейзер A.JI. О приближенных методах расчета тонких упругих оболочек и пластин // Изв. РАН Механика твердого тела. 1997, № 3, с. 134- 149.

29. Гольдштейн Р.В. Разрушение при сжатии // Успехи механики, 2003, т. 2, с. 3-20.

30. Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Структуры в процессах разрушения // Изв. РАН Механика твердого тела, 1999, № 5 с. 449 471.

31. Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. Рост трещин по границе соединения материалов // Проблемы механики: Сб. статей к 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003, с. 221 -238.

32. Гольдштейн Р.В., Перельмутер М.Н. Трещина на границе соединения материалов со связями между берегами // Изв. РАН. Механика твердого тела, 2001, № 1,с. 94-112.

33. Гольдштейн Р.В., Корельштейн Л.Б. Асимптотический метод решения задач о несквозных вытянутых вырезах и трещинах в упругой пластинепри произвольном нагружении // Препринт № 319, ИПМ АН ССР, 1988, с. 3-71.

34. Горшков А.Г., Старовойтов Э.И., Тарлаковский Д.В. Теория упругости и пластичности. М.: Физматлит, 2002. 416 с.

35. Горшков А.Г., Трошин В.Н., Шалашилин В.И. Сопротивление материалов. М.: Физматлит, 2002, 544 с.

36. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости. Киев: Наукова думка, 1981, - 544 с.

37. Гудьер Дж., Либовиц Г. Математические основы теории разрушения. Т. 2.-М.: Мир, 1975.-763 с.

38. Гуз. А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными напряжениями. Киев: Наукова думка, 1983. - 295 с.

39. Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981. 184 с.

40. Достижения в исследовании разрушения / Труды 9-й Международной конфер. по разрушению в шести томах (англ. языке), Сидней, 1997, т. 1 -6,3122 с.

41. Завойчинская Э.Б., Кийко И.А. Введение в теорию процессов разрушения твердых тел. М.: МГУ, 2004, 168 с.

42. Зеленцов В.Б. Асимптотические решения интегральных уравнений задач . теории трещин для тонких пластин // Приклад, матем и механ. 1988. т.52, № 1. — с 153 159.

43. Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности М.: Высшая школа, 1990. 368 с.

44. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. т. 2, М.: Физматлит, 2002. 448 с.

45. Ильюшин A.A. Пластичность. М.; Л.: ГИТТЛ. 1948. 376 с.

46. Исида М. Изгиб пластин с произвольно расположенными трещинами. -Нихон кикай гаккай ромбуасю, 1977, 43, с. 825 834. - РЖ «Механика», 1978, 4В152, Яп.

47. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001, 704 с.

48. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973.-304 с.

49. Калантарлы Н.М. Зарождение трещины в равномерно вращающемся круговом диске // Прикладная механика, 2004, № 2, с. 117 124.

50. Калантарлы Н.М. Напряженно-деформированное состояние диска с полосой предразрушения // Прикладная механика, 2004, № 2, с. 110-116.

51. Калантарлы Н.М. Система краевых радиальных полос предразрушения в состоянии пластического течения в равномерно вращающемся круговом диске // Механика. Машиностроение, 2004, № 4, с. 17 20.

52. Каминский A.A. Хрупкое разрушение вблизи отверстий. Киев: Науко-ва думка, 1982.- 158 с.

53. Кит Г.С., Кривцун М.Г. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1983. - 277 с.

54. Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: МГУ, 1994, 189 с.

55. Кулиев В.Д., Насибов В.И. Краевая трещина в биупругой полосе // Механика композиционных материалов. 1983. - № 4. - с. 594 - 599.

56. Кулиев В.Д., Новрузов Г.М. К проблеме разрушения кусочно-однородной среды с трещиной // ДАН СССР. 1986. - 288, № 5 - с. 1079 -1081.

57. Кулиев В.Д., Каплун А.Б., Садыхов Н.Э. Прочность и долговечность слоистых композитных материалов с центральной трещиной // Физ. -хим. мех. матер. 1989. т. 25, № 2. -с. 23 -25.

58. Лавит И.М. Рост трещин в условиях квазихрупкого разрушения при монотонно возрастающей и циклической нагрузках // Изв. РАН. Механика твердого тела, 2001, № 2, с. 109 120.

59. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. 4-ое изд. М.: Наука, 1973. - 736 с.

60. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.: Физматлит, 2004. 408 с.

61. Маркин А.А, Глаголев В.В. К выбору критерия направленного разрушения упругопластических материалов // Проблемы механики: Сб. статей к 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. с. 546-554.

62. Матвиенко Ю.Г. Физика и механика разрушения твердых тел. М.: Эди-ториал УРСС, 2000, 74 с.

63. Мир-Салим-заде М.В. Решение задачи механики разрушения о зарождении дефекта типа трещины в подкрепленной пластине с круговым отверстием // Механика. Машиностроение, 2002, № 3 4, с. 19 - 22.

64. Мир-Салим-заде М.В. Развитие зародышевых трещин в подкрепленных пластинах транспортных систем // Сб. докладов Международ, конгресса «Механика и трибология транспортных систем 2003», Ростов-на-Дону, 2003, т. 2. с. 143- 146.

65. Мир-Салим-заде М.В. Моделирование зарождения дефекта типа трещины в подкрепленной пластине // Изв. Тульского гос. ун-та, Серия Математика, Механика, Информатика, 2004, т. 10, вып. 2, Механика, с. 153 — 161.

66. Мирсалимов В.М. Разрушение упругих и упруго-пластических тел с трещинами. Баку: ЭЛМ, 1984. - 124 с.

67. Мирсалимов В.М. Зарождение дефекта типа трещины во втулке контактной пары // Математическое моделирование, 2005, т. 17, № 2, с. 35 -45.

68. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи. М.: Наука, 1987.-256 с.

69. Мирсалимов В.М., Исаев А.Г. Изгиб пластины переменной толщины с трещиной // Материалы Международного симпозиума, поев. 90-летию со дня рождения А.А Ильюшина / Сб. Упругость и неупругость. М.: МГУ, 2002, с. 310-317.

70. Мирсалимов В.М., Ширалиев В.А. Предельное равновесие прямоугольной пластины переменной толщины, ослабленной сквозной прямолинейной трещиной. // Материалы научной конф. по механике и математике, поев, юбилею проф. К.А. Керимова. Баку, 1993, с. 10-15.

71. Мирсалимов В.М., Абдуллаев М.А., Ахмедов Р.Н. Предельное равновесие круглой пластины переменной толщины, ослабленной сквозной прямолинейной трещиной // Ученые записки АзТУ, 1994. № 1, с. 7-12.

72. Мирсалимов В.М., Шалбузов A.M. Об одном методе решения задачи задач механики разрушения для пластин переменной толщины при изгибе // Сб. научных трудов по механике № 8, вып.1, Баку: ЭЛМ, 1998. с. 102106.

73. Мирсалимов В.М., Шалбузов A.M. Торможение роста трещины малыми выточками в изгибаемой пластине // Сб. научных трудов по механике № 7, Баку: АЗИСУ, 1997, с. 7-10.

74. Морозов Е.М. Двухкритериальные подходы к механике разрушения // Проблемы прочности. 1985. - № 10. - с. 103 - 108.

75. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. - 254 с.

76. Морозов Е.М., Зернин М.В. Контактные задачи механики разрушения. М.: Машиностроение, 1999. 544 с.

77. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.-255 с.

78. Морозов Н.Ф. Проблемы хрупкого разрушения и их исследование методами теории упругости: Мех. и науч. тех. прогресс, т. 3. 12. 1988. с. 54 -63.

79. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. Проблемы динамики разрушения твердых тел. СПб, 1997. 132 с.

80. МР1-95. Определение характеристик трещиностойкости (вязкости разрушения) при статическом нагружении // Механика катастроф. М.: МИ БСТС, 1995, с. 7-82.

81. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

82. Образцов И.Ф., Кулиев В.Д., Каплун А.Б. К теории разрушения многослойных материалов с трещиной. Статическое нагружение // Докл. АН СССР. 1988. - 303, № 4. с. 818 - 821.

83. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Ковчик С.Е. Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов. Киев: Наукова думка, 1976.443 с.

84. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976.444 с.

85. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наукова думка. 1991. - 416 с.

86. Панасюк В.В., Андрейкив А.Е., Партон В.З. Механика разрушения и прочность материалов: Справ, пособие. Т. 1. Основы механики разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1988. - 487 с.

87. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. -М.: Наука, 1985.-504 с.

88. Партон В.З., Борисовский В.Г. Динамическая механика разрушения. -М.: Машиностроение, 1985. 263 с.

89. Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения твердых тел. СПб.: Профессия, 2002, 320 с.

90. Петров Ю.В. О влиянии формы дна глубоких выточек и тонких вырезов на концентрацию напряжений // Вестник ЛГУ. Мат. мех. астрон. Л., 1985. 12 с - ВИНИТИ. - № 6041 - 65 ДЕП.

91. Писаренко Г.С., Науменко В.П. Характеристика трещиноватости хрупкого материала. Что это такое? // Проблемы прочности. 1985. - № 11.-с. 17-24.

92. Плювинаж Г. Механика упругопластического разрушения. М.: Мир, 1993. 448 с.

93. Работнов Ю.И. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987. -80 с.

94. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения. Разрушение, ред. Г. Л Дибовиц. Т.2. М.: Мир, 1975. с. 204 - 395.

95. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наукова думка, 1981.- 324 с.

96. Саврук М.П. Механика разрушения и прочность материалов: Справочное пособие. Т. 2: коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. Киев: Наукова думка, 1988. 620 с.

97. Саврук М.П., Осипов П.И., Прокопчук И.В. Численный анализ в плоских задачах теории трещин. Киев: Наукова думка, 1989. - 248 с.

98. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: 1994. т.2 - 560 с.

99. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения. Разрушение, ред. Г. Либовиц. т. 2. М.: Мир, 1975. с. 89 - 203.

100. ЮО.Стащук Н.Г. Задачи механики упругих тел с трещиноподобными дефектами. Киев: Наукова думка, 1993, 358 с.

101. Ю1.Таги-заде А.Г. Решение краевых задач теории пластин переменной толщины методом малого параметра // Изв. АН Аз.ССР 1967. - № 2. - с. 33 -37.

102. Ю2.Таги-заде А.Г. Влияние малых выточек на рост сквозных трещин в пластинах постоянной толщины. М.: ВИНИТИ, 1978, №3700 78 ДЕП, 17 с.

103. ЮЗ.Таги-заде А.Г. Пластина переменной толщины с трещиной. М.: ВИНИТИ, 1978, № 3214 - 78. ДЕП. - 19 с.

104. Угодников А.Г. К решению плоской задачи теории упругости при произвольных объемных силах // Прикладная механика, 1977. т. 3, № 7. с

105. Ю5.Хеллан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988. 364 с.

106. Юб.Чебаевский В.П. Зависимость вязкости разрушения от толщины образца // Изв. вузов. Стр-во и архит. 1989. - № 5. - с. 103- 106.

107. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974. - 640 с.

108. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. -М.: Наука, 1983.-286 с.

109. Черепанов Г.П. Современные проблемы механики разрушения // Проблемы прочности, 1987, № 8, с. 3 13.

110. Ю.Черепанов Г.П., Кулиев С.А. Пластинки и оболочки переменной толщины // Приклад, механика. 1979. - 15, № 10, - с. 70 - 74.

111. П.Черепанов Г.П., Таги-заде А.Г. Одна новая обратная задача теории упругости. В кн.: Механика деформируемого твердого тела. Вып. 2, Куйбышев, 1976. с. 88-94.

112. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука, 1996. 287 с.

113. ПЗ.Шалбузов A.M. Изгиб пластины переменной толщины, ослабленной прямолинейной трещины. // Ученые записки АзТУ, 1996, № 2. с.

114. Bolotin V.V. Stability problems in fracture mechanics. N.Y. John Wiley and Sons, 1996, 188 p.

115. Broberg K.B. Cracks and Fracture. Academic press, 2003, 859 p.

116. Budianscky В., Evans A.G., Hutchinson J.W. Fiber-matrix de bonding effects on cracking in aligned fiber ceramic composites // Int. J. Solid Structures, 1995, v.32, No 3-4, p.315-328.

117. Cornee A., Yuan H., Lin G. Cohesive zone model for ductile fracture // GKSS Rept. 1994, No E73, p.269-274.

118. Cox B.N., Marshall D.B. Concepts for bridged cracks fracture and fatigue // Acta Met. Mater, 1994, vol.42, No 2, p.341-363.

119. Erdogan F. Stress intensity factors // Trans ASME: J Appl. Mech., 1983, SO, №46, P. 992-1002.

120. Goldstein R.V., Perelmuter M.N. Modeling of bonding at the interface crack // Int. J. Fracture, 1999. vol. 99, No 1-2, p. 53-79.

121. Heidarov Sh. G. Fracture of friction lining of the brake system at car braking // Int. J. of Damage mechanics, v.l 1, №1, 2002, p.27-39.

122. Heidarov Sh. G. Research of an initial crack in the friction of car brake / In: Proc. of the 5-th Intern. Fracture Conference, Elaziq-Turkey, 2001, p.108-112.

123. Hill D. L., Cements David L. On determations of cracked // J.Elast, 1984, v.14, №4, p. 401-413.

124. Mir-Salim-zadeh M.V. Fracture of an elastic rib reinforced plate weakened by a circular cracked hole // Int. J. Fracture, 2003, vol. 122, No 1-2, p. LI 13-L117.

125. Morozov E.M. Local fracture criterion for notched structures // Notch effects in fatigue and fracture, Eds. G. Pluvinage and M. Gjonaj, 2001, Kluwer Acad. Publ., p. 51-57.

126. Needleman A. An analysis of decohesion an imperfect interface // Int. J. Fracture, 1990. vol. 42, No 1, p.21-40.

127. Panasyuk V.V., Savruk M.P., Datsyshyn A.P. A general method of solution of two-dimensional problems in the theory of cracks // Eng. Fract. Mech., 1997, vol.59, №2, p.481-497.

128. Sneddon I.N., Lowengrub M. Crack problems in the classical theory of elasticity. № 4. Ld., Wiley, 1969. - 221 p.

129. Tvergaard V, Hutchinson J.W. The relation between crack growth resistance and fracture process parameters in elastic-plastic solids // J. Mech. and Phys. Solids. 1992, vol. 40, No 6, p. 1377-1397.

130. Tvergaard V., Hutchinson J.W. The influence of plasticity on mixed mode interface toughness //J. Mech. Phys. Solids, 1993, vol. 41, No6, p.l 119-1135.

131. Wei Y., Hutchinson J.W. Models of interface separation accompanied by plastic dissipation at multiple scales // Int. J. Fracture, 1999, v. 95, Nol, p. 1-17.

132. Мирсалимов M.B. Решение задачи механики разрушения для полосы переменной толщины // Известия Тульского государственного университета. Серия. Актуальные вопросы механики. Тула: ТулГу, Т. 1. вып. 2. - 2006. с. 241 -247.

133. Мирсалимов М.В. Зарождение трещины в полосе переменной толщины // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2007, № 1, с. 59-69.

134. Мирсалимов М.В. Контактное взаимодействие берегов прямолинейной трещины в стержне переменной толщины при неравномерном нагреве // Материалы, технологии, инструменты. 2007, т. 12, №3, с. 12-17.

135. Мирсалимов М.В. Контактное взаимодействие берегов трещины при изгибе полосы переменной толщины // Механика машин, механизмов и материалов 2007. Т. 1, № 1, с. 56 - 59.

136. Мирсалимов М.В. Предельно-равновесное состояние полосы (стержня) переменной толщины при неравномерном нагреве // Известия Тульского государственного университета. Серия. Строительные материалы, конструкции и сооружения. Тула: ТулГу, Вып. 11, 2007.