Напряженное состояние пологих ортотропных оболочек произвольной кривизны с системой разрезов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ И МОМЕНТОВ ДЛЯ ПОЛОГИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК, ОСЛАБЛЕННЫХ СИСТЕМОЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ РАЗРЕЗОВ

§ 1.1. Постановка задачи о напряженно-деформированном состоянии ортотропной оболочки с разрезами

§ 1.2. Преобразование Фурье кусочно-непрерывных функций двух переменных

§ 1.3. Фундаментальные решения статики пологих ортотропных оболочек

§ 1.4. Интегральные представления внутренних усилий и моментов для тонких оболочек с разрезами

§ 1.5. Вычисление ядер и неинтегральных добавок в интегральных представлениях внутренних усилий и моментов.

ГЛАВА П. СИСТЕМА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧИ О НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ОРТОТРОПНОЙ ОБОЛОЧКИ С

КРИВОЛИНЕЙНЫМИ РАЗРЕЗАМИ.

§ 2.1. Метод построения системы граничных интегральных уравнений.

§ 2.2. Условия единственности решения системы ГИУ

§ 2.3. Условие отсутствия контакта берегов криволинейных разрезов.

§ 2.4. Распределение усилий и моментов вблизи концов разрезов.

§ 2.5. Приближенно-аналитическое решение для тонкой оболочки с дугообразным разрезом

ГЛАВА III. УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРОИЗ

ВОЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ РАЗРЕЗАМИ

§ 3.1. Интегральные уравнения для оболочки с произвольно/ориентированными прямолинейными разрезами

§ 3.2. Исследование напряженного состояния оболочек с трещиной вдоль линии кривизны

§ 3.3. Взаимное влияние двух параллельных трещин в ортотропных оболочках произвольной кривизны

§ 3.4. Исследование КИН в оболочке с двумя коллинеарными разрезами

Тонкие оболочки различного очертания широко применяются в современном машиностроении, авиа- и ракетостроении, промышленном и гражданскомительстве.

Научно-технический прогресс предъявляет все более высокие требования к прочности конструкционных материалов. В настоящее время широко используются композиты, получаемые путем армирования (укрепления) материала ориентированными прочными и жесткими волокнами; металлы, обработанные давлением, и другие высокопрочные материалы, обладающие ортогональной анизотропией. Эффективное конструирование изделий из таких материалов возможно лишь при учете и правильном использовании их упругих свойств. Так как высокопрочные материалы склонны к хрупкому разрушению, наличие микродефектов, конструктивных разрезов и остроконечных полостей существенно влияет на прочность конструкций и может привести к их полному или локальному разрушению. Поэтому исследования напряженно-деформированного состояния около разрезов в тонких ортотропных оболочках представляют теоретический и практический интерес.

Разработке теории и методов решения двумерных задач механики хрупкого разрушения посвящено большое количество работ советских и зарубежных авторов, достаточно полный анализ которых приведен в монографиях Г.П.Черепанова / 82 /, В.З.Партона, Е.Н.Морозова / 60 /, В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацышин / 58 /, В.З.Партона, П.И.Перлина / 61, 62 /, Л.Т.Бережницкого, М.В.Деляв-ского, В.В.Панасюка / 5 /, А.Н.Гузя, М.Ш.Дышеля, Г.Г.Кулиева, О.Б.Миловановой / 65 /, обзорных статьях Г.И.Баренблатта / 4 /, Париса, Си / 59 /, Г.Н.Савина, В.В.Панасюка / 67 /.

Анализ перечисленных исследований показывает, что в настоящее время существует два подхода к решению задач о напряженно-деформированном состоянии вблизи разрезов в пластинах и оболочках:

1) метод комплексных переменных с решением задачи сопряжения, связанный с предельным переходом к разрезу в задаче о концентрации напряжений около эллиптического отверстия. Этим методом, например, была решена задача о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической оболочки с продольным, поперечным и произвольно ориентированным разрезами в работах МХМигИш

K.P. Паю} Л К. Hew / ш, иг /, К V. Lakshmi -nazcuf&na ? M.V. MuztUy /109/;

2) метод граничных интегральных уравнений (ГИУ), которым получены наиболее существенные результаты при исследовании распределения напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Основными достоинствами метода ГИУ являются уменьшение размерности задачи, применение аналитических и численных методов решения интегральных уравнений, возможность сразу определять неизвестные величины на границе, не вычисляя их во всей области.

Для построения системы интегральных уравнений обычно используется один из следующих методов:

- метод, основанный на теории функций комплексного переменного и интегралов типа Коши (в работах Л.М.Линькова, Н.И.Мусхе-лишвили, М.П.Саврука, Л.А.Филынтинского);

- метод интегральных преобразований (в работа х /.А/. Sneddon, E.5.Fo&aSJ J.G. SimnxOndz, М.П.Саврука, В.П.Шевченко); метод потенциалов (в работах В.А.Осадчука, J. ¿.Sandez^ В.П.Шевченко, Л.А.Филыптинского).

Близко к теме настоящего исследования примыкают задачи механики оболочек с тонкими включениями, для решения которых также используется метод ГИУ. В работах Д.В.Грилицкого,В.К.Опанасовича, И.П.Шацкого / 17-19 / предельным переходом к разрезу в задаче о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической оболочки с тонким включением получены коэффициенты интенсивности усилий и моментов, характеризующие напряженное состояние вблизи вершин разреза (КИН) для цилиндрической оболочки с прямолинейным разрезом.

Ряд авторов / 14, 115 / приводят исходную краевую задачу к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода, которая затем решается численно. Однако этот метод технически гораздо сложнее, чем широко применяемые в настоящее время прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений (СИУ) / 27, 30, 61, 96 /.

Изотропные и анизотропные пластины с прямолинейными и криволинейными разрезами, находящиеся под воздействием различных нагрузок, рассмотрены в работах / 3, 5-8, 13-15, 35, 36, 56-58, 68, 73 /.

Как показывают экспериментальные исследования, прочность оболочек с трещинами ниже, чем тонких пластин. Однако из-за трудностей математического и вычислительного характера исследования концентрации напряжений около трещин в оболочках начали развиваться только в последние два десятилетия.

Первые решения были получены для оболочек частного вида: цилиндрической и сферической.

В 19б5-67г.г. E.S.FoliAZ рассмотрена симметричная задача о находящейся под давлением сферической оболочке с меридиальной трещиной / 102 / и цилиндрической оболочке с продольной / ЮЗ / или поперечной / 101 / трещиной. Автор свел задачу к двум СИУ,

Решение системы уравнений для трещин "малой" длины = ° (I)» где уВ^г ^ ^ " коэффициент Пуассона;

- радиус кривизны и толщина оболочки; £Ц - длина трещины) при постоянной нагрузке на трещине представлялось в виде ряда. КМН были вычислены в первом приближении.

Полученные В. 5. Ро(Л&5 интегральные уравнения позже были численно решены Р. В. ВгДо^бип, ^ 1 Л / 97 / и

Р. В\ ЕгсЛо^Олг, М. Яси^&По / 99 / для сферической и цилиндрической оболочек с продольной или поперечной трещиной "средней" длины. В работах / 105, 106 / проводится сравнение решений с численными результатами Р. Е. ЕгЛода^

J.J.K:Шi.

В работе / 104 /В.$, Ро(лС1£> обобщает полученные им результаты. Наряду с рассмотренным ранее методом решения системы интегральных уравнений, он предлагает еще один метод - разлагать искомые функции в ряд по функциям Бесселя 1-го рода. В этой работе также получены решения для конической и тороидальной оболочек и показано какое влияние оказывает упругое основание на КИН.

В.Т.Сапунов и Е.М.Морозов / 69 / на основе работы / 102 / исследовали характер напряжений в тонкостенной сферической оболочке с исходной сквозной трещиной, нагруженной равномерным внутренним давлением.

В 19бб-б7г.г. С.Я.Ярема и М.П.Саврук / 89 / независимо от В^РоОлСС^ рассмотрели симметричную задачу о напряженном состоянии цилиндрической оболочки с продольной или поперечной трещиной.- Этими же авторами рассмотрена цилиндрическая оболочка с произвольно ориентированной трещиной / 90 / и пологая изотропная оболочка произвольной двоякой кривизны с разрезом "малой" длины вдоль линии кривизны / 86-88, 91 /.

В 1969 г. 6. у / 92 / получили

СИУ симметричной задачи.для цилиндрической.оболочки с продольной трещиной, находящейся под равномерным внутренним давлением (отличные от уравнений ЕЛ.Рокаь / юз /).

В 1976 г. 6г. Ыт то их с!$$ М.Я.ВьаЛРеу /Н7/ рассмотрели находящуюся под произвольным давлением изотропную оболочку двоякой кривизны, содержащую "короткую" трещину, ориентированную вдоль линии кривизны срединной поверхности оболочки. В первом приближении ими получены формулы для КИН при растяжении и изгибе оболочки. Авторы показали влияние исходной кривизны оболочки на КИН и связь полученных ими результатов с результатами /. СорРе^у Л/. Ьлнс/ег^, для цилиндрической и сферической оболочек.

Позднее 1 £ 5¿Мг»>ОПс/я>, М* Я* ЬгаЛбц, J. V/. кЛскоЬ ОК. / 118 / рассмотрели пологую изотропную оболочку, подверженную произвольной самоуравновешенной нагрузке и содержащую "короткую" прямолинейную трещину, составляющую произвольный угол с направлениями кривизны срединной поверхности.

Наиболее полно результаты исследований напряженно-деформированного состояния пологих изотропных оболочек с трещинами отражены в монографии В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацышин / 58 /. Для цилиндрической и сферической оболочек с "малыми" трещинами приведены КИН во втором приближении, а для оболочек двоякой кривизны с произвольно ориентированной трещиной - в первом приближении.

В монографии М.П.Саврука / 68 / предложена методика сведения основных задач для пологих оболочек с криволинейными трещинами к ГИУ и получены в первом приближении коэффициенты интенсивности мембранных усилий для оболочки с дугообразной трещиной, находящейся под воздействием равномерного внутреннего давления.

Во всех перечисленных выше работах рассматривались только изотропные оболочки. В связи с широким использованием композитов актуальными являются исследования влияния анизотропии на напряженное состояние оболочки вблизи трещины.

В статье ЕЕ. ЕъДо^ Л/г / 95 / описан метод решения для ортотропной цилиндрической оболочки с продольной трещиной в предположении, что модуль сдвига ^^ не является независимым параметром, а выражается через модуль Юнга и коэффициент Пуассона как и в случае изотропии

Это позволяет свести задачу к решению системы интегральных уравнений, соответствующих изотропной оболочке. Симметричная задача рассмотрена F. EzdoeftiHj М\ RaAwanL; U. l/useog&s / 100/, антисимметричная - М. VuSeOflht, RE ¿do flan. / 121 /.

Исследованию напряженно-деформированного состояния изотропных, трансверсально-изотропных и специально ортотропных оболочек частного вида с прямолинейной трещиной посвящены работы / 34, 51, 54, 63, 93, 94, 108, НО, ИЗ, 115, 116, 120 /.

Отсутствие решений для общего случая ортотропии материала оболочки было вызвано трудностями получения ядер ГИУ.

В работах В.П.Шевченко, В.К.Хижняка / 75-77,83,84 / методом двумерного интегрального преобразования Фурье от обобщенных функций получены интегральные представления решений уравнений теории пологих ортотропных оболочек с разрезами,найдены фундаментальные решения в виде, пригодном для дальнейшего использования, и разработан общий метод.построения ГИУ.

В.А.Цвангом, В.П.Шевченко / 78-81 / получена система интегральных уравнений для ортотропной оболочки, ослабленной криволинейной трещиной, и проведены численные расчеты для ортотропных и изотропных оболочек с прямолинейной трещиной.

Замкнутая по одной из координат и бесконечная по другой анизотропная оболочка, ослабленная системой поперечных трещин, рассмотрена В.А.Любчаком, Л.А.Филынтинским / 40, 74 /. В качестве примера исследована ортотропная цилиндрическая оболочка с поперечной трещиной, рассмотрено влияние подкрепляющего ребра на КИН.

Зти результаты получены для общего случая ортотропии материала.

Большой теоретический и практический интерес представляют исследования взаимного влияния нескольких трещин на величину КИН, которые начали проводиться сравнительно недавно.

Симметричная задача для подверженной внутреннему давлению цилиндрической оболочки, содержащей две осевые коллинеарные трещины равной длины, рассмотрена £ Егс1од&п /95/и £ Еъс!ода.ь, И. Я^и/аги / 98 /.

Наиболее существенные результаты при исследовании взаимовлияния прямолинейных трещин получены методом дисторсий для тонких упругих оболочек с разрезами, разработанным, в работах Я.С.Под-стригача, В.А.Осадчука, Е.М.Федюка, М.М.Николишина / 44, 45, 64 /. Этот метод позволяет свести исходную краевую задачу к системе СИУ типа Коши.

В работах В.А.Осадчука, Е.М.§едюка рассмотрены пологие изотропные цилиндрические оболочки с продольными и поперечными кол-линеарными трещинами / 52, 53, 71 /.

Е.М.Федюком / 72 / исследовано взаимовлияние двух коллине-арных.и четырех.крестообразно расположенных трещин в пологой изотропной сферической оболочке.

В работах В.А.Осадчука и М.М.Николишина / 46, 49, 50 / рас-мотрены замкнутые изотропные и трансверсально-изотропные цилиндрические оболочки с использованием уравнений общей моментной теории оболочек и установлены пределы применимости результатов, полученных на основе теории пологих оболочек.

В перечисленных выше работах Я.С.Подстригача, В.А.Осадчука, Е.М.Федюка и М.М.Николишина использовались уравнения равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях. В работах В.А.Осадчука и И.С.Костенко (Ярмощук) / 31, 32, 47, 55 / исследовано упругое равновесие изотропных и специально ортотропных (при тех же ограничениях на модуль сдвига » что и в работах р.В.Е £с1о-К ) оболочек с использованием комплексного преобразования Новожилова, позволяющего вдвое понизить порядок исходных дифференциальных уравнений и тем самым упростить процедуру построения аналитических решений.

Из-за трудностей получения в явном виде ядер СИУ для оболочек произвольной гауссовой кривизны исследования взаимного влияния нескольких трещин ограничивались изотропными и специально-ортотропными оболочками частного вида (сферической и цилиндрической) .

Во всех перечисленных выше исследованиях решение строилось в предположении, что в процессе деформирования оболочки отсутствует контакт берегов разреза. Контроль выполнения граничных условий на контуре трещины осуществлялся в работах В.А.Осадчука, М.М.Николишина, Е.М.Федюка, И.С.Костенко, а также в работах В.П.Шевченко, В.А.Цванга и Л.А.Филыптинского, В.А.Любчака.

При решении симметричной задачи эти авторы ограничивались случа^ ем растягивающей нагрузки на линии разреза или комбинации растя^ загруженной тонкой пластине отсутствует контакт берегов.

Целью настоящей работы является развитие методики применения теории обобщенных функций и двумерного интегрального преобразования Фурье к решению задачи о напряженном состоянии ортотропной оболочки произвольной кривизны с системой разрезов; исследование влияния кривизны оболочки, ортотро-пии материала, размеров трещин, а также их взаимного влияния на КИН в оболочках, подверженных комбинированному воздействию растяжения и изгиба; определение области нагрузок, при которых имеет место частичный или полный контакт берегов разреза.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Развита методика построения граничных интегральных уравнений для краевых задач теории ортотропных оболочек произвольной кривизны, ослабленных системой криволинейных разрезов.

1.1. Исходная краевая задача сведена к системе 4 N СИУ" типа Коши с неинтегральными добавками. Ядра интегральных уравнений и неинтегральные добавки представлены в замкнутом виде.

1.2. Получены 4Л/ дополнительных условий для обеспечения единственности решения системы СИУ, соотношений для опре-деленя постоянных интегрирования и условие для проверки отсутствия контакта берегов разрезов.

1.3. На основе разработанной методики решения краевых задач для оболочек с криволинейными разрезами построено приближенно-аналитическое решение для изотропной оболочки с дугообразным разрезом. Для тонкой пластины с идентичным разрезом, находящейся под комбинированным воздействием растяжения, сдвига и изгиба, исследована область нагрузок, при которых имеет место частичный или полный контакт берегов разреза.

2. Для ортотропных оболочек с системой произвольно ориентированных прямолинейных разрезов предложен более эффективный вариант выбора неизвестных функций и четвертого граничного условия, позволяющий избавиться от неинтегральных добавок в СИУ, уменьшить в три раза количество неизвестных постоянных интегрирования, а также существенно упростить условия единственности решения системы СИУ.

3. Исследовано влияние ортотропии материала, кривизны оболочки, взаимного расположения и длины разрезов на КИН для оболочки, ослабленной одним или двумя (параллельными или коллинеар-ными) разрезами, ориентированными вдоль линий главных кривизн, и находящейся под комбинированным воздействием растяжения и изгиба. На основании проведенных численных исследований сделаны следующие выводы:

3.1. Для оболочек произвольной кривизны КИН выше при продольной, чем при поперечной ориентации разреза. Коэффициент интенсивности усилий Дц для оболочки больше, а коэффициент интенсивности моментов Дгг меньше соответствующих коэффициентов для тонкой пластины. Кривизна оболочки влияет сильнее на Л^ в случае поперечной ориентации разреза и на ^^ в случае продольной.

3.2. Ортотропия материала существенно влияет на напряженное состояние тонкой оболочки вблизи вершин разрезов. Ее влияние на КИН проявляется сильнее, если разрезы ориентированы вдоль направления упругости с меньшим модулем Юнга, чем когда они ортогональны ему.

3.3. Коэффициент интенсивности усилий для оболочек произвольной кривизны больше в том случае, если разрезы ориентированы вдоль направления упругости с меньшим модулем Юнга. Исключение составляет цилиндрическая оболочка с поперечным разрезом, для которой коэффициенты , , , не зависят от ориентации главных направлений упругости материала.

3.4. В тонкой оболочке, ослабленной двумя разрезами, при определенном расстоянии между ними наблюдается уменьшение по сравнению со значениями, соответствующими одному разрезу. Этот эффект проявляется тем сильнее, чем больше кривизна оболочки и длина разрезов. В цилиндрической оболочке с поперечными разрезами и тонкой пластине коэффициент ¿¡¿{ изменяется монотонно.

4. Определены пределы применимости соотношений для специально ортотропных материалов при вычислении КИН в оболочках произвольной кривизны, изготовленных из различных реальных ортотропных материалов.

4.1. При вычислении КИН в оболочках произвольной кривизны по формулам для специально ортотропных материалов погрешность увеличивается с ростом относительной длины разреза.

4.2. Для ортотропной цилиндрической оболочки с продольными разрезами, находящейся под воздействием равномерного внутреннего давления, погрешность не превышает 2 % при ОЛ^ ¿0.9 Для разрезов "малой" и "средней" длины.

5. Для оболочек, ослабленных разрезами вдоль линий главных кривизн и находящихся под комбинированным воздействием растяжения и изгиба, определена область нагрузок, при которых имеет место частичный или полный контакт берегов разрезов. Показано, что для оболочек эта область меньше, чем аналогичная область для тонкой пластины, и существенно сужается с увеличением длины разрезов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек.- М.: Наука, 1974.- 446 с.

2. Ашкенази Е.К., Ганов З.В. Анизотропия конструкционных материалов. Справочник.- Л.: Машиностроение, 1980.- 247 с.

3. Баничук Н.В. Определение формы криволинейной трещины методом малого параметра.- Изв. АН СССР, МГТ, 1970, № 2, с. 130-137.

4. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении.- Журн. прикл. механики и техн. физики, 1961, № 4, с. 3-56.

5. Бережницкий Л.Т., Делявский М.В., Панасюк В.В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин.- Киев : Наук, думка, 1979.- 400 с.

6. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В. О взаимодействии двух квази-коллинеарных трещин.- Физ.-хим. механика материалов, 1971, 7, № 4, с. 99-101.

7. Бережницкий Л.Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле.- Киев : Наук, думка, 1983.- 288 с.

8. Бережницкий Л.Т., Садивский В.М., Онышко Л.И. Изгиб анизотропной пластины с трещиной.- Прикл. механика, 1978, 14, № II, с. 42-49.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.: Физмат-гиз, 1967.- 436 с.

10. Ю.Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.- М.: Наука,.1976.- 280 с.

11. П.Гельфанд.И.М., Шилов.Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними.- М.: Физматгиз, 1958.- 470 с.

12. Гольденвейзер АЛ. Теория упругих тонких оболочек.- М.: Наука, 1976.- 512 с.

13. Гольдштейн Р.В., Савова Л.Н. Об определении раскрытия и коэффициентов интенсивности напряжений для гладкой криволинейной трещины в упругой плоскости.- Изв. АН СССР, МТТ, 1972, № 2, с. 69-78.

14. Гольдштейн Р.В., Салганик Р.Л. Плоская задача о криволинейных трещинах в упругом теле.- Изв. АН СССР, МТТ, 1970, № 3, с. 69-82.

15. Гольдштейн Р.В., Салганик Р.Л. Хрупкое разрушение тел с произвольными трещинами.- В кн.: Успехи механики деформируемых сред, М.: Наука, 1975, с. I56-I7I.

16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.- М.: Наука, 1971.- 1100 с.

17. Грилицкий Д.В., Евтушенко A.A., Сулим Г.Т. Полуплоскость с произвольно ориентированным линейным упругим включением.- Изв. АН Арм.ССР. Механика, 1980, 33, № I, с. 12-20.

18. Грилицкий Д.В., Опанасович В.К., Шацкий И.П. Напряженное состояние пологой оболочки с тонким упругим включением.- В кн.: Теория пластин и оболочек. ХШ Всесоюз. конф. (Таллин): Докл., Таллин, 1983, т. 2, с. 23-28.

19. Грилицкий Д.В., Опанасович В.К., Шацкий И.П. Напряженное состояние цилиндрической оболочки с тонким упругим включением.- В кн.: Смешанные задачи механики деформируемого тела.

20. П Всесоюз. конф. (Днепропетровск, 15-18 сентября 1981 г.): Тез. докл., Днепропетровск, 1981, с. 105-106.

21. Довбня E.H. Напряженное состояние ортотропных оболочек с системой произвольно ориентированных трещин.- В кн.: Концентрация напряжений. Респ. симпозиум (Донецк, 31 мая-17 июня1983 г.): Тез. докл., Донецк, 1983, с. 35.

22. Довбня E.H.,. Шевченко В.П. Напряженное состояние ортотроп-ных оболочек с системой „симметрично расположенных трещин.- В кн.: Смешанные задачи механики деформируемого тела.

23. П Всесоюз.конф. (Днепропетровск, 15-18 сентября 1981 г.): Тез', докл., Днепропетровск, 1981, с. 69-70.

24. Довбня E.H., Шевченко В.П. Симметричная задача для ортотропных оболочек произвольной кривизны с системой параллельных трещин.- Теор. и прикл. механика. 1983, вып. 14, с. 52-58.

25. Довбня E.H., Шевченко В.П. Система прямолинейных трещин в пологой ортотропной оболочке произвольной кривизны.- Теор. и прикл. механика. 1984, вып. 15, с. 48-53.

26. Довбня E.H., Шевченко В.П. Напряженное состояние ортотропной оболочки произвольной кривизны с системой криволинейных трещин.- Донецкий ун-т, Донецк, 1984.- 18 с. (Рукопись деп. в УкрНИИНТИ 19 апр. 1984 г., № 730Ук-84 Деп.).

27. Довбня E.H., Хижняк В.К., Цванг В.А., Шевченко В.П. Напряженное состояние пологих ортотропных оболочек с трещинами.- В кн.: Теория пластин и оболочек. ХШ Всесоюз. конф. (Таллин) : Докл., Таллин, 1983, т. 2, с. 72-77.

28. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости.- М.: Наука, 1973.- 304 с.

29. Качанов Л.М. Основы механики разрушения.- М.: Наука, 1974.-.312 с.

30. Корн Т. , Корн I. Справочник по математике для научных работ. ников л.инженеров.- М.: Наука, 1973.- 831 с.

31. Корнейчук А.А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов.- В кн.: Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. М.: Наука, 1964, с. 64-74.

32. Костенко И.С. Исследование напряженного состояния цилиндрических оболочек с разрезами.с использованием комплексного преобразования. Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук.- Львов. 1982.- 18 с.

33. Костенко И.С. Упругое равновесие замкнутой ортотропной оболочки с продольными разрезами.- Физ.-хим. механика материалов, 1980, 5, с. 67-71.

34. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов.- М.: Физ-матгиз, 1967.- 500 с.

35. Кудрявцев В.А. Напряжения в эллипсоидальной оболочке с произвольно ориентированной трещиной.- Изв. АН СССР, МТТ, 1971, № 2, с. 81-85.

36. Линьков A.M. Задачи теории упругости для плоскости с конечным числом криволинейных разрезов.- Исслед. по упругости и пластичности. 1976, вып. II, с. 3-II.

37. Линьков A.M. Задачи теории упругости для плоскости с периодическими системами разрезов.- Исслед. по упругости и пластичности. 1976, вып. II, с. 11-18.

38. Линьков A.M. Интегральные уравнения теории упругости для плоскости с разрезами, нагруженными уравновешенными системами сил.- Докл. АН СССР, 1974, 218, № 6, с. 1294-1297.

39. Линьков A.M., Меркулов В.А. Задачи об изгибе пластин с разрезами.-.Изв.АН СССР, MÎT, 1975, № I, с. III-II8.

40. Любчак В.А. Исследование напряженного состояния анизотропных пластин и. оболочек, с. трещинами и ребрами. Автореф. дисс.. канд. физ.-мат. наук.- Казань, 1982.- 17 с.

41. Любчак В.А., §илыптинский Л.А. Вторая краевая задача для упругой среды, ослабленной криволинейными разрезами.- Изв. АН СССР, МГТ, 1978, К 5, с. 98-101.

42. Методы расчета оболочек, т. I. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями (А.Н.Гузь.И.С.Чернышенко,Вал.Н.Чехов и др.).- Киев : Наук, думка, 1980.- 636 с.

43. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.- М. : Наука,. 1966.- 707 с.

44. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.- М.: Физматгиз, 1962.- 511 с.

45. Осадчук В.А. Исследование напряженно-деформированного состояния и предельного равновесия оболочек с разрезами. Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук.- Казань, 1981,- 47 с.

46. Осадчук В.А. Метод дисторсий в задачах об упругом равновесии оболочек с разрезами (трещинами).- Шт. методы и физ.-мех. поля, 1979, вып. 10,'с. 27-50.

47. Осадчук В.А. Напряжения в замкнутой цилиндрической оболочке с системой -коллинеарных трещин.- Мат. методы и физ.-мех. поля, 1978, вып. 7, с. 38-42.

48. Осадчук В.А., Костенко И.С. Напряженное состояние пологой цилиндрической оболочки с бесконечным рядом параллельных трещин при симметричной нагрузке.- Физ.-хим. механика материалов, 1979, 15, Ш I, с. 33-38.

49. Осадчук В.А., Костенко И.С. Напряженное состояние замкнутойцилиндрической оболочки.с.продольными разрезами (трещинами). . -Прикл. механика,. 1982, 18, № 2, с. 42-47.

50. Осадчук В.А., Николйшин М.М. Напряженное состояние замкнутой трансверсально-изотропной цилиндрической оболочки и бесконечной пластины с трещинами.- Мат. методы и физ.-мех. поля, 1976, вып. 3, с. 30-36.

51. Осадчук В.А., Николишин М.М. Напряженное состояние в замкнутой цилиндрической оболочке с системой трещин.- Прикл. механика, 1976, 12, № 4, с. 26-31.

52. Осадчук В.А., Подстригач Я.С. К определению напряженного состояния в замкнутой цилиндрической оболочке и бесконечной пластинке с трещинами.- Изв.' АН СССР, МТТ, 1973, № 3, с. 6978.

53. Осадчук В.А., Федюк Е.М. Система произвольно ориентированных трещин в пологой сферической оболочке.- Докл. АН УССР, Сер. А, 1975, № 8, с. 7II-7I4.

54. Осадчук В.А., Федюк Е.М. Система продольных трещин различной длины в пологой цилиндрической оболочке.- В кн.: Физ.-мех. поля в деформируемых средах. Киев : Наук, думка, 1978,с. 45-51.

55. Осадчук В.А., Федюк Е.М. Напряженное состояние трансверсально-изотропной пологой сферической оболочки с трещиной.- Изв. АН СССР, МТТ, 1978, № 5, с. 179-187.

56. Осадчук В.А., Ярмощук И.С. Упругое равновесие замкнутой цилиндрической оболочки с системой периодически расположенных трещин.- В кн.: Физ.-мех. поля в деформируемых средах. Киев : Наук, думка, 1978, с. 51-58.

57. Панасюк В.В. Предельное равновесие.хрупких тел с трещинами.- Киев : Наук, думка, 1968.- 246 с.

58. Панасюк В.В., Лозовой Б.Л. Определение предельных напряжений при растяжении упругой плоскости с двумя неравными трещинами.- В кн.: Вопросы механики реального твердого тела, т. I, Киев : Изд-во АН УССР,.1962, с. 37-56.

59. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках.- Киев : Наук, думка, 1976.- 444 с.

60. Парис., Си Дж. Анализ напряженного состояния около трещин. В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения.- М.: Мир, 1968, с. 64-142.

61. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения.- М.: Наука, 1974.- 416 с.

62. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости.- М.: Наука, 1977.- 312 с.

63. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости.- М.: Наука, 1981.- 688 с.

64. П1дстригач Я.С., Осадчук В.А. До визначення напруженого стану в замкнут1й цил1ндричн1й оболонц1 з тр1щиною.- Доп. АН УРСР, Сер. А, 1972, № I, с. 79-83.

65. Подстригач Я.С., Осадчук В.А., Федюк Е.М., Николишин М.М. Метод дисторсий в теории тонких оболочек с трещинами.- Мат. методы и физ.-мех. поля, 1975, вып. I, с. 29-41.

66. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами (А.Н.Гузь, М.Ш.Дышель, Г.Г.Кулешов, 0.Б.Милованова).- Киев : Наук, думка, 1981.- 184 с.

67. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий.- Киев : Наук, думка, 1968.- 888.с.

68. Савин Г.Н., Панасюк В.В. Развитие исследований по теории предельного равновесия хрупких тел с трещинами (обзор).- Прикл. механика. 1968, 4, № I, с. 3-24.

69. Саврук М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами.- Киев : Наук, думка, 1981.- 324 с.

70. Сапунов В.Т., Морозов Е.М. Анализ напряженного состояния в сферической оболочке с трещиной.- В кн.: Прочность и деформация материалов в неравномерных физических полях, т. 2,

71. М.: Атомиздат, 1968, с. 260-271.

72. Уиттекер В., Ватсон Д.Н. Курс современного анализа, т. 1,П.- М.: Физматгиз, 1964.- 342 с.

73. Федюк Е.М. Напряженное состояние пологой цилиндрической оболочки с системой поперечных трещин.- Мат. методы и физ.-мех. поля, вып. 8, с. 39-45.

74. Федюк Е.М. Взаимодействие трещин в пологой сферической оболочке.- Изв. АН СССР, МТТ, 1982, № 2, с. 125-129.

75. Фильштинский Л.А. Упругое равновесие плоской анизотропной среды, ослабленной произвольными криволинейными трещинами. Предельный переход к изотропной среде.- Изв. АН СССР, МТТ,1976, № 5, с. 91-97.

76. Фильштинский Л.А., Любчак В.А. Исследование влияния анизотропии материала и подкрепляющего ребра на напряженное состояние оболочки с трещиной.- В кн.: Теория пластин и оболочек. ХШ Всесоюз. конф. (Таллин) : Докл., Таллин, 1983,т. 4, с. 212-216.

77. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Действие сосредоточенных сил на анизотропные оболочки.- Изв. АН СССР, МТТ, 1972, № 4,с. 123-128.

78. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Напряженное состояние ортотроп-ных оболочек, ослабленных трещинами.- В кн.: Теоретична и приложна механика, Ш Нац. конг., Варна, 1977. Докл., София,1977, кн. I, с. 604-609.

79. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Смешанные задачи теории пластин и оболочек. (Учебное пособие).- Донецк : Изд-во Донецкого ун-та, 1980.- 128 с.

80. Цванг В.А. Напряженное состояние тонких пологих ортотропных оболочек с разрезами (трещинами). Автореф. дисс. . канд. физ.-мат. наук.- Л., 1983.- 16 с.

81. Цванг В.А., Шевченко В.П. Изотропная оболочка произвольной кривизны с прямолинейной трещиной.- Теор. и прикл. механика, 1981, вып. 12, с. 60-65.

82. Цванг В.А., Шевченко В.П. Напряженное состояние ортотропной оболочки, ослабленной прямолинейной трещиной.- Докл. АН УССР, Сер. А, 1980, № 12, с. 41-44.

83. Цванг В.А., Шевченко В.П. Напряженное состояние ортотропной оболочки с прямолинейной трещиной при антисимметричном на-гружении.- Теор. и прикл. механика, 1980, вып. II, с. 55-58.

84. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения.- М.: Наука, 1974.- 640 с.

85. Шевченко В.П. Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек. (Учебное пособие).- Донецк : Изд-во Донецкого ун-та, 1977.- 114 с.

86. Шевченко В.П. Методы фундаментальных решений в теории тонких упругих оболочек. Автореф. дисс. . докт. физ.-мат. наук.- Казань, 1983.- 32 с.

87. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спец. курс.- М.; Наука, 1965.- 328 с.

88. Ярема С.Я., Саврук М.П. Антисиметричний напружений стан б1ля.тр1щини. в полог1й оболонц1.- Доп. АН УРСР, Сер. А, 1969, № 8, с. 726-730.

89. Ярема С.Я., Саврук М.П. Влияние кривизны на напряженное -состояние оболочки с трещиной.- Прикл. механика, 1970, 6, № II, с. 32-40. .

90. Ярема С.Я., Саврук М.П. Напружений стан полого1 оболонки з тр1щиною при симетричному навантаженн1.- Доп. АН УРСР, Сер. А, 1969, № I, с. 55-58.

91. Ярема С.Я., Саврук М.П. Напружений стан цил1ндрично1 оболонки з поздовжньою або поперечною тр1щиною при симетричному навантаженн1.- Доп. АН УРСР, Сер. А, 1967, № 8, с. 720-724.

92. Ярема С.Я., Саврук М.П. Напряжения в цилиндрической оболочке с произвольно ориентированной трещиной.- Физ.-хим. механика материалов, 1969, 5, Ш 3, с. 328-337.

93. Ярема С.Я., Саврук М.П. Пологая оболочка с трещиной.- В кн.: Концентрация напряжений, т. 3. Киев : Наук, думка, 1971,с. 208-214.

94. Ezdogan FE.} Gupta G.%).?CookTS. Numezlcai Sotuiion of singuPas intecjzaé. equcdíons. ~ /V Mdhods of Jna&'s¿s and SoPutíons of Czack Pzo&iem5. JLwdesi: Ñoozdkoff iniezn.1. Puit, />. 3GÍ-42S.

95. Ezdogan Fmj Rcdwa.nl M. Fatigue, and fac-tuz¿ of skeife aontaJnín^ a.

96. CcZCUh* ^&zeyit¿a.í cza.ck. -int. J. Ftxct. Mech.^ Í9W¡ v. G, //4, p. Syg-392.100. £zdooan F. Rodv^/ani M. yuseoatu U. On ik¿ etfeet of ozthotzopu in a czacked cuhktd'üacué i*t. J. Fzact.mf v. io, p. 3e0-3¥t.

97. FoÍíols B. S. J uzcun^fe^entlué czack Ln a. pzessuzized cuíífídzKiaí skéif. / V. J. Fzad. Meci.t iQCt, 3J tJi, p. í-li.

98. Fofas F. s. i flnlH lene, czack ¿n cl pze$$u2i¿ed zpkezicai ske££.-¡niJ,Fz¿ic,t. Meck.t Í96S, i, p. 20-U,

99. Foí¿<xz F. S. J¡y\ axiaí czack in apzessuzizzd cuhHclzicag ske?¿ -int.J. Fzací. Meck. Í9£5

100. Foíías E.S. JsyMptotic affí'zoxlryia.ttons to czazk f>u>itiv*s in skeéis. Mzckanicsof ГгьсЫгг, im, tJЬ 9 p. foiidb E S. Ой. tU effeci of initial cuzvcl-tuzt Oh ctacked flat sßie&£&, ~ int. J. Fzaét. Meek., Í9É9, V. 5, л/4, p.iSLt-ЪИ.

101. Folias f. S. Он ikn -ккедгу of fzactuzA of cuzved Fzad. Heck.t ¿вЩ V. 2, V2, p. lïd-Ш.

102. H3. S&holevs J. I. Cctcoa^fezeyctiai -ihzougk czacks L* cykndzicai zhetiz undez tension. -r£a»s JISME, i922 £49 V/ pJOi-W. ii4. Stwdezs J.I, Cut-euts ¿ft shatfob/ shetts. Tza»s JISMB ¿920, F3¥

103. H5f Sih G.C., Qoizeff PtC. C*a.ck-tine i^pezjlectio* l* ol %phetuccJ sheli ~ Gfa&aow

104. Math. J9¥ij * V/, p. ¿S-t*.

105. H6. Slk Q. Ctj Hatjehdozj? N. C. On -ike czacks in shews wiih she&z defozmaiio^?. — Mechanics of Fz&ctute. a/3 p.ZOj1. ZZ9

106. Scmmohds J.G.j BzadPey M,R% Shess-inhnsiiy. faciozs /oz vezy shozt cz&cksin az&iizcL^ pzessuzized sheii$> -Tzans

107. J SHE, i9Ht E43, t/4, />. 6SV-K2.

108. Si**mohds BzadSey M.R.,tficho£$onJV. Sizess-inhhsiiu Jlactozs foz ¿niLtzuziiy oziented czacks in &ha.lfo\*/ sheiis.-Twris ASHE, i9¥Sj //i p. ¿35-did.

109. H9. Sneddon /. M ¡uteqzal tzan&fozm methods.