Численное решение задач кручения и антиплоской деформации упруго-идеальнопластического тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Г Я»* О с

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНХЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ии. В.В.КУЙБЫШЕВА

На правах рукописи

ВОЛКОВ Сергей Владимирович

.ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КРУЧЕНИЯ И АНГЛПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГО-ИДЕАЛЬНОПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА

01.02.04 - Механика деформируемого твердого ' . та

Автореферат

диссертации на соиокание ученой степени кандидата технических наук

Москва 1991

Работа выполнена в Московской ордена Трудового Краевого Знаиени иняенерно-строитедьноы институте им. В.В.Куйбышева.

Научный руководитель - докгор физико-иагейатичеоких наук,

профессор А.М. ПКШЕНКО

Официальные опйоненты - докюр фиаико-ыахенатических наук

. доцент Е.В. ЛОМАКИН

- кандидат технических наук А.О. РЕВО

Ведущая организация - Центральный научао-яоспедовательский

и проектный институт.строительных металлоконструкций ии. Н .П .Мельникова

Защита оретоитоя " ".-¿¿А А7?3- 1992 г. в чаоов на заседании специализированного Совета Д.0рЗ.И.02 при ШСИ ии. В.В.Куйбышева по адресу» 118114» Мооква» Шлюзовая наб. 8

> ауд. 409.

С диооертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Отаыз на автореферат в двух экземплярах просим направлять по адреоу! 129337» Москва, Яроолавокое шоссе д.26, Ученый совет. ¿Л

Автореферат разоолан

*М« ЛИЖ/ЬЯ. шИг.

Ученый секретарь споциализированного Совета! профессор» доктор технических наук

Г.З.Шаблинский

n.i. »..icivi! v-тдол j

^«■ртпц^кИальность темы. Проведение раочетов на прочность» учитывающих реальное поведение материалов» является актуальный. Анализ работы элементов конструкций показывает» что в мдотах концентрации напряжений появляются начальные трещины» которые начинают развиваться задолго до полного разрушения. При этой многие материалы в вершине трещины претерпевают пластическую деформацию, величина и интенсивность которой в значительной иере определяют характер разрушения тела. Это в первую очередь отнооится к иеталлаи И сплавам» которые имеют площадку текучеоги» и поэтому в широкой диапазоне деформирования могут рассматриваться как упруго-идеаль-иоплаотичеокие.

Труднооти, с которыми приходится оталкиватьоя при определении напряжений и деформаций в упругопластичеоком теле» обуславливают применение численных методов. В работе автор применил предложенный А.Ы.Проценко подход к решению эадач пластичности» основанный на методе двойственности в сочетании о методой проекции градиента. Такой подход применялся ранее к раочету статичео-ки неопределимых стержневых систем (Б.И.Тихомирова), к решению плоских задач (А.О.Рево), к определению взаимодействия грунтов с подземными сооружениями (Б.В.Савранский), к исследованию подкрепленных пластинок сложной формы (Ы.А.Яхно) и.другим задачам. В нашем случае, па основе названного подхода рассматриваются задачи кручения и антиплоской деформации упруго-идеальноплаотичес-кого тела. В работе реализована вариационная постановка задачи и разработан алгоритм ее решения» ооповавный на конечнозлеыентной аппрокоиыации. При этом оообоа внимание уделено моделированию напряженно-деформированного состояния в вершине трещины.

Цель диссертационной работы. Разработать и реализовать на

j

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

А

ЭВЫ алгоритм численного решения задач кручения и антиплоокой деформации упруго-идеальноплаотического гада и на его основа провести исследование процесса образования и развития плаотичеоких деформаций. ' '

Научная новизна. Новыми в диссертационной рабом являютоя«

- алгоритм определения напряженно-деформированного состояния, оонованный на конечноэлементной аппроксимации смешанного функционала типа Рейсснера»

- разработка специального конечного элемента в вершине трещины!

- результаты численного решения эадач кручения и антиплоской деформации.

Практическая ценность работы заключаема в возможности использовать разработанную программу в научно-исследовательской и инженерной работе для расчета элементов конструкций о учетом пластических деформаций.

Апробация работы. Полученные результаты обсуадалиоь на Х1УП научно-технической конференции МИСИ им. В.В.Куйбышева (1991)I на семинаре "Исследование и проектирование металлических конструкций" в ЩИИПрооктогальконструкция им. Н.П.Мельникова (1991). на кафедре строительной механики МИСИ им. В.В.Куйбышева (1991).

На защиту выносятся:

- методика численного решения поотавленных задач!

- формулировка и результаты тестирования специального конечного элемента в вершине трещины!

- результаты численного решения модельных,и более сложных задач.

Основные результаты работы опубликованы в 2 статьях.

Объем работы. Диссертация состоит и8 введения» четырех глаВ| заключения и списка литературы (174 наименования). Она со-

р .

держит 127 страниц» иа них 35 рисунков и 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе приведен обзор результатов и методов решения задач кручения и антиплоской деформации»,обоуждены поотановки упругопластических эадач» специальные конечные элементы.

Антиплоокая деформация является одним из простейших случаев напряженного оосюяния» что позволило найти точное решение ряда задач. Для задач о трещинах получены решения, основанные на двух подходах» основное отличие которых оостоиг в той» что в первом трвбувюя непрерывноать перемещений в упругой и пластической частях тела, а во втором - допускается разрыв перемещений на некоторых ливиях, моделирующих узкие пластические полосы.

В рамках первого подхода влияние трещин и вырезов на напряжения и деформации в материале» следующем диаграмме Прандтля, наследовали Дж.Виртман (3 Weerttnan.), М.Коокинен» Ф.Макклин-ток» В.Г.Новиков» Дж.РаЙс, Е.Треффтц, Я.Хальв. Хао Тиан-ху {На.0 Tian- hriL)» Г.П.Черепанов. Влияние упрочнения рассмотрели К.Гуо (/Г. G-UO), Л.Кир (¿/У. Кеег ), Г.НеЙбер, Дж.Райс, В.В.Соколовский.

Задачу о трещинах типа III в предположении» что пластическая зона сконцентрирована в бесконечно узком олое на продолжении трещины впервые рассмотрели Б.В.Кортров и Л.В.Никитин» Ф.Филд» Ф.Эрдоган. Дальнейшее развитие дискретного подхода нашло в работах Ф.Артура и В.Блэкберна, П.М.Витвицкого, Д.Ивинга ф.£та£ ), в.А.Кривеня.

Наряду о трещинами концентрацию напряжений вызывают инородные включения. Для тел о жесткими включениями при ангиплоской деформации получены как непрерывные» гак и разрывные решения. В точной постановке жесткое включение в улруго-идеальноплаотичес-

б

ком материале исследовали Ву Йовг-Чанг ( Wu. Уопд- Скипу), Р.С.Громяк» А.Ю.КраЙнов» В.А.Кривень, Е.ЯЛанеш» Л.В.Никитин. Хао Тиан-ху.

Разрывные решения о включениях поосроили в ряде работ П.Ы.Витвицкйй и В.А.Кривень в предположении, что возникающие пла-тические зоны распространяются» начивая от точек маноимальвой ковцентрации напряяевий(концоввключения)t в виде совких слоев, примыкающих к включение, ; : ;

По сравнению о антиплоокой деформацией задача упруго-ппаеж-чеокого кручения являетоя более сложной. Точное райение удаесся получись лишь для проотых форм поперечных оечений о помощью полуобратных мегодов.когорыа предложили Н.Х.Арутюнян. Л.А.Галин» P.ltaöeci Ю.Н.Радаев» В.В.Соколовский.

Впервые вопросы пдастичеокого кручения были изучены А.Надай» а в навей о срано H.U.Беляевым и Г.А.Смирновым-Аляевым. Применение аналитических методов к задаче кручения. вопросы существования решения рассмотрены в работах Б.Д.Аннина» Г.И.Быковцева, Л.А.Галина» Г.Дюво» Л.Каффарелли iL. Kaffareeei ), А.И.Кошелева» С.Крайора Сгуег ), ЁЛаншон, ЖД.Лионса, Дж.Поцци j

Т.Тинга ( 71 Twj- ) • А .Фридмана (А. Fried/na/)), В.Д.Цветкова.

Для решения задач упругоплаотического кручения широко применяются численные методы. Их-разработке» исследованию и реализации поовятили работы Б.Д.Авнин> Н.В.Баничук, Ю.А.Боган» К.Ге-ракович, Р.Гловиаски» Т.Катаяма (7~KcitayaniO), Л.И.Качанов, Д.Кристоферсон. Е.Л.Лионо, Л.Иарини Marini ), п.И.Перлин, А.М.Проценко, Дл.Редди 0. fledcLy. )• К.А'.Сариджанов» А.Сатакэ (A.Satilke)> Р.Саусвелл, Т.Секия (TSetya.), р.Ссаус. Р.Тремольер, Ф.Ходк, Р.Хоппе {F.Hoppe), ф.Шоу, Ф.Л.Черноусько и многие другие.

Кручение при конечных деформациях рассмотрено в работах

Н.Л.Арутюняна. К.Нила Ю.Н.Радаева, С.Шриваставы

тяЫих.). Кручение гэл временного сочевия исследовали ДяЛэррер {7, Са/гег), Л.Ы.Качанов» Э.Леунг (Е1.еипу ), В.А.Лупи я» А.А.Остсемин. К.А.Сариджанов. В.В.Соколовский, Дя.Теллес, З.Чанг (2. СЬеад)* Ф.Шоу. Р.Эдди. '

Нежную практическую задачу - определение предельного крутящего момента для олонных форы поперечных сечений решали Д.Ангвр (2>. Шхуег), Г.В.Артюх» В.Л.Данилов. М.ЯЛеонов, Б.А.ОбодовскиЙ, В.Д.Передерий» Г.В.Тютюкин.

Операторная и вариационные постановки упругопластичоских задач рассмотрены на основе двух подходов к задаче кручения. В первой считается иавео!гнш крутящий момент. во втором - угол закручивания на единицу длиЯы (крутка). Вариационным постановкам в форме минимизации функционала отавятся в соответствие эквивалентные формулировки в форма вариационного неравенства. Отмечено,;что изучению этого вопроса поовягили овои работы Б.Д.Аннин» Р.Гловин-оки, Г.Дюво, С.КраЙер, Ж.Л.Лионо, Дх.Редди, А.Сатакэ, Р.Тремольер и другие.

Первая глава закапчивается обэором работ, посвященных моделированию особенности напряжений и деформаций в вершине трещины с помощью специальных конечных элементов (СКЭ). Применительно к нашему случаю обсуждены СКЭ» используемые при решении двумерных статических задач.

Во второй главе даиа вариационная постановка задачи в рамках теории течения и приведено ее решение в окрестности вершины трещины.

Рассматривается упруго-идеальнопластическое тело длиной. /, о поперечным сеченном А и границей огнеоенное к декартовой оистеие координат. Ось 2 направлена параллельно образующей. Введем следующие обозначения! Г/^ - боковая поверхность тела» Г^- и

а

Г £ - поперечные оачения» отвечающие Н в О и | Г+ и Г_ -верхний и низший берега трещины» - депланация поперечного сечения тела! 9 - угол закручивания на единицу длины (крутка)! ^""Г^хг вектор напряжений!£ = (?хг £угУ~,вектор деформаций!1 п**(пХ}п.у)Т. Векюр направляющих кооинусов н Г^ I (г- модуль одви-га| А. - предел текучеоти при сдвиге! А - пластический множитель! Р - усилие> направленное вдоль оси Е I и - крутящий момент» 3 -вектор» нулевой при антиплоокой деформации» (-у; * )Т ПРИ КРЗ" чении.

Уравнения и неравенства* определяющие скорости изменения напряженно-деформированного соотояния упруго-идеальнопластичеокого тела при кручении (б) и антиплоокой деформации (а)» запишем в ВИЛО«

<Иу г - О . (I)

ТтЛ.=р НА Гь (2а)

на Гк 9 /т^сМ-М НА Г, иГ2 <2б>

А .

£-динАм 9$ <8)

Сг

А>0 , ТтТ-2?(1:)4 0 (5)

А (ъгъ-'зе(тО)=0 (б)

Здесь условие плаотичности принято в виде:

тЧ •= (ъср/нУх 7

В выражениях (5) » (б) индикаторная функция О . если Ф(т)-о

( , если сР(Г'с)< О

Задаче (1)-(б) ставится в соответствие функционал типа Рейсснера в теории упругости. В случае антиплоской деформации он примет вид:

Х)'"^ /~СТ± ¿А - /+

Гх А

В олучае кручения:

А А

Седловые точки этих функционалов определяют действительное

поле скоростей напряжений и деформаций. При этом можно менять порядок поиска оедловой точки» гак как результаты» соответствующие переставленным процедурам поиска, совпадают (И.Эклавд и Р .Темам).

Далее приведено решевие рассматриваемых задач в окрестности вершины трещины (А.Ц.Проценко» 1984). Показано» что в вершине трещины напряженное состояние не меняется» перемещения непрерывны» а деформации имеют оообеннооть О (1//л). Этот результат использован в следующей главе при построении специального конечного элемента.

• 'В третьей главе описан специальный конечный элемент» точно моделирующий напряженно-деформированное состояние в окреотности вершины трещины, и приведены алгоритмы решения задач кручения и антиплоокой деформации.

Круговая область в вершине трещины

разбиваетоя на пх, секторов» каждый из которых делится на треугольный и четырехугольный конечные элементы (рис.1).

ю

Депланация И/ обласги_!2 полностью определяется своими веизвесгными узловыми значениями и может быть представлена в виде суммы сингулярной и регулярной ооставляювотЙ'гИ^+И^ Перемещения И^ равны нулю в вершине трещины» принимают конечные значения на границе треугольных и четырехугольных элементов и равны нулю на Г (рио.2).

Рассмотрим сингулярный коночный элемент в вершине трещины -равнобедренный треугольник о выоотой Ь. и основанием 2£. , Дня получения особенности совместим декартовую систему координат (У^у.) с вершиной злемента (точкой 0) и введем локальную оистеку коорди-ват (<3) (рио.1), гак что:

Составляющие депданации Щ и На определяются о помощью пяти неизвестных узловых значений , Цг > И: • ^¿о следующим образом«

ИЬ. ж М Ъ + ^ + К и0 }

где Н^ = 0»5 ^(И- %сингулярные функции формы»

№,2 - ^^(Ъ + Ъ), " линейные функции формы.

Изменяя величину оС » можно получить различные распределе--ния перемещений IVПринятые.функции формы отражают перемещение тбиа как жесткого целого и позволяют получить точное значение матрицы жесткости сингулярного треугольного коночного элемента.

Депланация W четырехугольного конечного элемента области.52 определяется через шесть неизвестных узловых значений £¿1

I » ^ч следующим образом«

- А^г* Кг,

где Л',' = + = I»......»> " линейные функ-

ции формы четырехугольного линейного изопараметрического элемента.

Матрица жеоткости рассматриваемого элемента получается расширением матрицы жесткости линейного черыхугольного изопарамет-ричеокого элемента аа очех добавления компонентов! соответствующих узловым значениям S-f в S2 , и вычисляется численно.

Полученный сингулярный конечный элемент позволяет оценить вклад сингулярной Щ и регулярной составляющих в деплана-цию IV и вычислить вапряженно-деформируемое состояние в окрестности вершины трещины.

Далее строятся алгоритмы решевия поставленных задач. Рассматривается пропорциональное нагружение» ооотоящее иэ этапов последовательного приложения нагрузки. Это позволяет» согласно принципу Хаара-Кармана» перейти от задачи в скоростях к конечным значениям переменных.

Представив нагрузку на этапе как , имеем:

AW»lVA~fc, а&*&а£ » где а£ - параметр. Функ-

ционалы Рейоснера» записанные относительно Ар * лМ t AT, ЛИ/, А О %а \ , будут иметь ют же вид» что и функционалы в скороотях. Полученная задача при уменьшении этапа нагружения аппроксимирует задачу вскоростях.

Рассмотрим задачу об антиплоской деформации. Выбрав сетку конечных элементов» спроецируем на пее функционал задачи» записанный относительно приращений переменных»

* 2 Ар aw + / 22 А\[(~С

Здесь Т - величина напряжений» достигнутых к началу этапа нагружения, & - матрица дифференцирования перемещений, 4 - сим-

вол приращения.

Определим пгххл. ^.(¿СС, дИ/, дХ);

лТ

После его подстановки в функционал задачи, определяя аХ)> получаем: ,

ар * &11 ВТ[А\(Т+АТ)] ,

где К - глобальная матрица жесткости.

Для нахождениятаХ Л) применяется метод проек-

д

ции градиента.

- Градиенты определены из уоловия <

' <РС*шх),

Проектирование градиентов выполняется по правилу:

0 _ ГО, если Я^т-мт) < 0 д Х- о;

I ФСТ+Я-Х иначе. Рассматривая далее некоторый итерационный процесс, достигший за Г1 шагов значения аХ , значение дХ на этапе представим следующим образом:

Здесь у - шаг, определяемый для каждого конечного злемента из условия стационарности функционала по направлению поиска:

Разлогав в ряд Тейлора и получив из условия

ГГ>С1% /^ДА+К?)выракение для шага, определим X по формуле!

I- 2. & \ (х. д~с) (~с+ дх) 'Л + .

На осиозании полученных выракений построен итерационный про-шзсс ,плп нахождения седловой точки функционала задачи об авгиплоо-

кой деформации.

Пусть на Л. -ой итерации вычислены д И/*", &Тп', дХ . ТЛ. Тогда для Л+ 4. - ой итерации имеет

I. км^ър + аИ

Здеоь обозначено Тл+ЛТ**^

Перейдем к алгоритму решения задачи кручения. После разбиения сечения на конечные элементы функционал задачи кручения в приращениях примет вид:

^(А^АЩа^ЛХ) ^^22ахтАХ -ЦАТ^Ш* +АВ[АМ - 21АТт$] +±12^[(Т+атУ(Т+АТ):Т].

Аналогично задаче об антиплоской деформации из условия ГП1П ^"^^^¿^опрвделяаи:

С учетом этого выражения ицеи/гкХ л/ЛН^А в реаульта-

&ЩА&

те получаем уравнения равновесия: '

/¿дн/+¿'0-6 = £ 7 +Ав1 = М .

Выше обозначено:

Ь-&11вТв , ^&1гЬГ[А\(т+А т)]7 3~ &Ц б7^ ;, М~АМ + &Н[ДХ(Т+лт)] 5.

Из уравнений равновесия находин:

âw-K-iCê-AW, à W4)/fa-trIC4) ê

Уоловиe/7Ш1 RfàT.AW.àbfà А)приводит к тем же резулма-tau, что и в предыдущей олучае. '-'.-у (

Полагая» что н а Л. -ой итерации подученй значения ЛИ7 . д (? , А~С , д Л , Т , запишем итерационную процедуру для случая кручения:

I. А 9

2. 8.

В четвертой главе проведено тестирование алгоритма и решены задачи для тел с трещинами. Обоуждены результаты» полученные для напряжений и деформаций в вершине трещины, влияние снятия нагрузки и положения трещины на развитие пластических деформаций.

Для тестирования алгоритма выбраны задачи» имеющие точные решения. Рассмотрено кручение стержней, поперечные сечения которые представляют собой круг» квадрат и овал Соколовского. Сравнивались зависимости// В и положение упругоплаотиЧеокой границы. Совладение результатов численного и аналитического решений позволило сде-

* * ' '

дать вывод о возможности использования предложенного алгоритма при раочете упруго-идеальнопластических тел о трещинами.

На примере кручения и антиплоской деформации круглого стержня с радиальной трещиной проведено исследование овойств предложенного треугольного СКЭ. Показгчо, что и СКЭ и линейные треугольные конечные элементы могут быть использованы для моделирования переме-

щений в вершине трещины. Но линейные элеиенты приводят к ошибочным результатам для напряжений.

Рассмотрено" развитие зон пластичнооти. В случав кручения при малом уровне нагружейия пластические деформации окружают вершину трещины» о увеличением нагрузки развиваются вдоль ее берегов» а затем возникают на контуре поперечного оечения (рис.3).

При автиплоокой деформации развитие пластичности происходит в соответствии с известными данники (например» М.Коскннена): пластические зоны» появившись в вершине трещишь интенсивно развиваются на ее продолжении» пока не достигнут свободной поверхности тела (рисЛ).

Далее описан олучай снятия нагрузки после предварительного пластического деформирования. При зтои в вершине трещины возникает пластичность обратного знака» а уравновешенные остаточные напряжения имеют выраженный знакопеременный характер (рис.?).

В этой главе рассмотрено более десяти задач» в которых исследовано образование и развитие зон пластичности при кручении круглых» квадратных и прямоугольных стержней» содержащих трещины.' На рис. 6» 7-и 8 приведены некоторые из них: круглый составной стержень с радиальной трещиной на границе двух материалов» квадратный стержень с двумя боковыми и перпендикулярной ии цет-ральной трещинами (показана правая верхняя четверть поперечного сечения)» прямоугольный стержень с двумя трещинами» выходящими на его ребра. Нагруаениэ состояло из этапов. Величина приращения нагрузки на этапе равнялась 1/32 предельного эпачонил крутящего иоиента для стержня соответствующего поперечного сечения без трещин.-

На основе сопоставления решенных задач установлены но^оторые закономерности пластического деформирования при кручении тел с трещинами.

В заключении подведены общие итоги диссертационной работы» которые позволили сделать следующие выводы«

1. Разработана методика численного решения задач кручения и антиплоокой деформации упруго-идаальноплаогического тела» основанная на конечноэлементной аппроксимации. В ее оонову положены алгоритмы метода двойственнооти и метод,проекции градиента.

2. Предложенные алгоритмы реализованы экономично. В процессе вычислений глобальная матрица жесткости обращается один рва. Затраты машинного времени на решение задачи пластичнооти незначительно превышают затраты на упругое решение.

3. Совпадение численных и,аналитических результатов при решении тестовых задач дало,возможность испольвовать разработанную программу для расчета упруго-идеальноппастических тел о трещинами.

к. Предложен новый специальный конечный элемент (СКЭ).моделирующий напряженно-деформированное ооотояние в окрестности вершины трещины. Введение сингулярных функций форгы и представление поля перемещений в вида суммы сингулярной и регулярной составляющих обеспечили высокую точность результатов. Матрица жесткости элемента вычисляется точно, без применения численного интегрирования.

э. Проведено исследование образования и развития зон пластичнооти для тел» поперечное сечение которых содержит трещины.

Ооновные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях» '

1. Проценко A.M., Волков C.B. Определение перемещений при кручении и антиплоокой деформации упруго-идеальнопластичеокого тела с трещиной.//Проблемы прочности» 1990» й II» - с.21-24.

2. Проценко A.M., Волков C.B. Численное решение задачи упру-го-идеальноплаотического кручения.// Строительная мйсаника и расчет сооружений, 1991» № 2» - с.87-90.

I? ,'îf

p.

г Nr«

ад

t

//

Рис Л. К построению расчетной' схвии

(область в вершине трешини i?),

Pic.2. Сингу.вярная (а)* регулярная Vv£ '(б ) составлявшие перемешены.

1$ 16

10 * £ 5 2' Рио.З. Развитие пластических деформаций при кручении круглого стержня с радиальной трешиной (цифры обозначают номер этапа нагружения) .

оТПт7штТПТП777Т7ТТ7Т) . \ 5 7 8

Рве. ^. Пластические деформации в круглом стержне с

радиальной грешной при антиплоской деформации;

(цифры акзначают номер этапа нагружения).

/С

Рис.5*. Пластические деформации в вершине трешины в результате нагружения(1 ), посл& снятия, половины нагрузки( 3 ); полной разгрузки ( 2 ).

Рис. Развитие пластических де1ормацпй при вручении , составного круглого стертая с раяиагыюЕ "трошиной, лежаз!,еи на границе двух материалов.

Рис. 7. Развитие пластических деформаций ори кручении

квадратного стержня с двумя боковыми в перпендикулярной ем центральной трешиной

24

Рже. %. Развитие пластических деформаций при кручении прямоугольного стержня с двумя трешинами, выходящими на ребра стержня.